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Integracion numérica
TERCER PARCIAL, MÉTODOS NUMÉRICOS
PROFRA. SORAIDA ZUÑIGA
• En el proceso de integración el valor de
MÉTODOS DE NEWTON-COTES
1 1.- Método trapezoidal o del trapecio
n=1 , un intervalo
Simple
NOTA:
DONDE: h=𝑏−𝑎
𝑛
Trapecio simple n=1
Ejemplo 1. Método trapezoidal
Simple
1
h=𝑏−𝑎
𝑛
Trabajo en clase hacer
inciso c y d
numéricamente y hacer
inciso b c y d
analiticamente
Resultados Integral
analítica
b) 47.5
c) 90
d) 1
INCISO C
RESPUESTAS
Resultados
Integral
analítica
b) 47.5
c) 90
d) 1
PROBLEMA METODO DEL TRAPECIO SIMPLE . (TRABAJO EN CLASE)
Obtenga también el resultado
analítico de la integral
El gran error en el resultado
numérico es debido a que la
función es un polinomio de grado
5, el cual estamos aproximando
por un polinomio de grado 1
LA REGLA DEL TRAPECIO DE APLICACIÓN MULTIPLE
REGLA DEL TRAPECIO
MULTIPLE
Donde
Xi+1= Xi +h
h=𝑏−𝑎
𝑛
PARA “n” intervalos
tendremos “n+1” valores
limites de x .
Ejemplo para 3 intervalos
(n=3), tenemos x0, x1, x2,
x3, fig b
• 𝐴 = 𝜋𝑟2
PROBLEMA. REGLA DE TRAPECIO
MULTIPLE, trabajo en clase
Si se hace LA INTEGRAL ANALITICAMENTE se encuentra
. Con n igual a 2, (dos intervalos)
TRABAJO EN CLASE. EVALUE LA INTEGRAL ENTRE LOS
MISMO VALORES a y b, USANDO n=4, n=6 y n=8
Respuesta n=4 , I= 1.4848; n=6, I=1.5703 ; n=8, I=1.6008
I=ℎ
2𝑓 𝑋0 + 𝑓 𝑋1 +
ℎ
2𝑓 𝑋1 + 𝑓 𝑋2 =
0.4
2(0.2+2.456)+
0.4
2(2.456+0.232)
I=1.0688
X0=0 ; X1=0.4 ; X2=0.8
Donde : Xi+1= Xi +h
h=𝑏−𝑎
𝑛
TRABAJO EN CLASE/ TAREA 1. TRAPECIO MULTIPLE
respuesta
N=2 I=12.269
N=4 I=12.386
PROGRAMA
OCTAVE/MATLAB PARA
TRAPECIO MULTIPLE
2 MÉTODO DE SIMPSON 1/3
EL NUMERO DE
INTERVALOS “n” DEBE
SER PAR, ES DECIR 2,4,6,
etc
MÉTODO DE SIMPSON 1/3
Método de Simpson 1/3 SIMPLE (n=2)
h=𝑏−𝑎
2
N=2
EJEMPLO 2. METODO DE
SIMPSON SIMPLE (n=2)
2
-2
Método de Simpson 1/3 de aplicación múltiple
EL NUMERO DE
INTERVALOS “n” DEBE
SER PAR, ES DECIR 2,4,6,
etc
Respuesta
I=1.6234
TRABAJO EN CLASE
PARA 4 intervalos, n=4, tenemos de X0 a X4
PARA 2 intervalos, n=2, tenemos de X0 a X2
PROGRAMA OCTAVE/MATLAB DE
METODO DE SIMPSON 1/3, PARA
CALCULAR INTEGRALES NUMERICA,
EL NUMERO DE INTERVALOS DEBE SER
PAR.
EL PROGRAMA COMPLETO VIENE EN
LA PAGINA como simpson.m
TRABAJO EN CLASE 2/ TAREA. MÉTODO DE SIMPSON 1/3
• Evalue las siguientes integrales usando el método de Simpson 1/3,
multiple con n=2,4,6.
• Hacer también la integral analítica
N=2, I=12.432 ; n=4,
I=12.425; n=6, I=12.425
N=2, I=2056 ; n=4,
I=2056; n=6, I=2056
En éste método usamos 4 puntos, es
decir tres intervalos MÍNIMO
TRABAJO EN CLASE /TAREA 3 Trapecio
analítica = 1104
N=1, I=5280
n=2, I=2634
n=4, I=1516.9
Simpson
N=2, I=1752
N=4, I=1144.5
Trapecio
Analítica = 98.427
n=4, I=112.26
Simpson
N=4, I=99.45
3
TAMBIEN ES CONOCIDO COMO
GAUSS-LEGENDRE (libro CHAPRA)
CUADRATURA DE
GAUSS PARA 2
PUNTOS
2/3
ENTONCES SE ELIGE
Cuadratura de
Gauss 2 puntos
NOTA IMPORTANTE:
CAMBIO DE VARIABLE DE “X” A “Z”
z=2𝑥−(𝑎+𝑏)
𝑏−𝑎
CUADRATURA DE GAUS PARA MAS DE DOS
PUNTOS
Cuadratura de Gauss
para “n” puntos
EJEMPLO 3
despejando “x”
x=5
2(𝑧 + 1)
𝑰 = 𝟎
𝟓
𝒆−𝒙𝒅𝒙Usando:Calcular la integral I, usando el metodo
de cuadratura de Gauss para dos puntos.z=
2𝑥−(𝑎+𝑏)
𝑏−𝑎
𝑒−𝑥 = 𝑒−5/2(𝑧+1)
𝟎
𝟓
𝒆−𝒙𝒅𝒙 =𝟓
𝟐 −𝟏
𝟏
𝒆−𝟓𝟐(𝒛+𝟏)𝒅𝒛
𝟓
𝟐 −𝟏
𝟏
𝒆−𝟓𝟐(𝒛+𝟏)𝒅𝒛
𝑰 = 𝟎
𝟓
𝒆−𝒙𝒅𝒙 0.91752
0.99326
+
EJEMPLO 4. CUADRATURA DE GAUSS
x=2.3𝑧+0.7
2𝑑𝑥 =
2.3
2𝑑𝑧
2
2.3
𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz
dz
Integracion analítica
0.7213337
-
𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz
1
2π𝑒−𝑥
2/2
I=1
2π −0.81.5𝑒−𝑥
2/2 𝑑𝑥
+
−11
𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz
𝑒− 2.3(+0.5773502692)+0.72/8 =0.5980684
𝑒− 2.3(−0.5773502692)+0.72/8 =0.9519115
−11
𝑒− 2.3𝑧+0.72/8 dz
EJEMPLO 5. CUADRATURA DE GAUSS (trabajo en clase)
ENCUENTRE TAMBIEN SU SOLUCIÓN ANALITICA
0
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥a)
b)
( )*2
Solución analítica
I=0
= 0
RESULTADO
Trabajo en clase 1• 1.- Evalue la integral de la función siguiente, usando el método de cuadratura
de Gauss para dos puntos. En los límites de 0 a 0.8. El resultado analítico de
la integral es 1.640533
n Integral
2 1.5
3 3.1875
4 2.189781
5 2.671698
6 2.411356
TRABAJO/TAREA
TAREA