sistemas de control retroalimentados

ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO. TIPOS DE SISTEMAS. COEFICIENTES DE ERROR. Objetivo: Analizar el error en estado estacionario para sistemas con realimentacin unitaria y no unitaria. Como as tambin definir el tipo de sistema, es decir a que seal de referencia es capaz de seguir, con error nulo en rgimen permanente. Introduccin. Los errores en un sistema de control, se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los perodos transitorios y tambin pueden producir errores en estado estable. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como friccin esttica, juego o bamboleo, deriva trmica, envejecimiento o deterioro, pueden provocar errores en el estado estacionario. Sin embargo, no estudiaremos los errores producidos por las imperfecciones de los componentes del sistema, sino que analizaremos un tipo de error en estado estacionario, provocado por la incapacidad del sistema de seguir ciertos tipos de entradas. Un sistema puede no tener un error en estado estacionario para una entrada escaln, pero el mismo sistema puede exhibir un error en estado estable diferente de cero ante una entrada rampa. El que un sistema determinado exhiba un error en estado estable para un tipo especfico de entrada depende de la Funcin de transferencia de Lazo Abierto del sistema. En general, los errores en estado estable de sistemas de control lineales, dependen del tipo de seal de referencia y del tipo del sistema ( que se ver ms adelante). Cualquier sistema fsico de control sufre, por naturaleza un error en estado estable en respuesta a ciertos tipos de entrada. La nica forma de eliminar este error para estado estable, es modificar la estructura del sistema. Antes de emprender el anlisis del error en estado estable, se debe clarificar cul es el significado de error del sistema. En general el error se puede ver como una seal que rpidamente debe ser minimizada y si es posible reducida a cero.-

Con referencia al sistema en lazo cerrado de la siguiente figura: )(sR )(sEa )(sC

)(tr )(tea )(tc

- )(sB

)(sR

Cuando el sistema tiene realimentacin unitaria H(S) = 1, el error es simplemente: e(t)= ea(t)= r(t) y(t) Siendo definido el error en estado estable como:

)(lim teet

ss

Si H(S) 1, pero la ganancia esttica de realimentacin KH = 1

)(sG

)(sH

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control

1

Ejemplo )6(

)1(6)(

S

SSH siendo KH=limS0 H(S)) = 1

el error del sistema se puede an definir con la ecuacin e(t) = r(t) y(t) por ser la ganancia de realimentacin en estado estacionario unitaria. Pero cuando H(S) no es unitaria y KH 1, el error actuante, ea(t) ya no puede definirse segn la ecuacin e(t)= r(t) y(t) . Ejemplo: Si se considera un sistema con ganancia de realimentacin no unitaria KH 1, como es el caso de un sistema de control de velocidad , en donde la entrada escaln se emplea para controlar la salida del sistema, la cual es una rampa en estado estable que representa la velocidad angular del motor en rad/seg. En este ejemplo se utiliza un tacmetro, que es un dispositivo electromecnico cuya salida entrega un voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular de entrada, el cual se utiliza en este ejemplo como sensor de velocidad, es decir se lo usa como elemento de realimentacin para comparar la salida de voltaje que el entrega (la cual es proporcional a la velocidad angular que esta sensando) con la seal de entrada r(t) expresada en volts. En este caso, como y(t) [rad/seg] y r(t) [volts] no tienen las mismas dimensiones, no se puede definir el error como: e(t) = r(t) y(t). Por Ejemplo: Si KH = 10 V/rad/seg, para una entrada r(t) igual al escaln unitario de 1 Volt, la velocidad en estado estable debera ser 0,1 rad/seg, ya que cuando dicha velocidad se alcanza, la salida de voltaje del tacmetro ser de 1 V, y en este caso el error de estado estacionario entre la seal de entrada y la salida sera cero. Para lo cual se necesitara una nueva seal de referencia igual a la salida que valiera 0,1y un dispositivo adaptador que tuviera la misma ganancia que el bloque de realimentacin para convertir la seal referencia (0,1 rad/seg) en otra seal de entrada (1 Volt) que pudiera compararse con la seal proveniente del elemento sensor (1 Volt). Para este caso, el error del sistema debe definirse como la diferencia entre esa nueva seal llamada seal de referencia y la salida del sistema. e(t) = Sr(t) y(t) Es decir, para ello, debe definirse una seal de referencia Sr(t) [rad/seg] que es la seal que la salida y(t) est siguiendo, expresada en la misma magnitud de la salida, que es distinta a la seal de entrada r(t) [Volts] expresada en la misma magnitud que la salida del sensor que es el tacmetro. De esta forma el sistema de control de lazo cerrado SISO ( una sola entrada y una sola salida) quedara representado por el siguiente diagrama en bloques de la figura N1

)(sSR )(sR )(sEa )(sC

- )(sB

Fig. 1 Esquema de bloques para un control SISO

)(1 sG )(sG

)(sH

1

Volt

lt

0,1 rad/seg

KH=10 Volts/rad/seg

1Vol

t

0,1

rad/seg


2

En donde r(t) es la seal entrada, Sr(t) es la seal de referencia, ea(t) es el error actuante, e(t) es el error verdadero, y b(t) es la seal de realimentacin. Luego se pueden definir dos tipos de errores distintos para realimentacin no unitaria: Error verdadero: e(t) se define como la diferencia entre la seal de

referencia )(tSr y la seal de salida )(tc .

)()()( sCsSRsE

La magnitud es la misma que la seal Sr(t) y de la salida (Ejemplo: Las unidades pueden ser: c, rad/seg, m, m/seg etc).

Error actuante o seal activa: (t)ea , es la entrada al bloque G(s), se define

como la diferencia entre la seal de entrada r(t) y la seal de realimentacin primaria b(t).

)()()()()()()()()()( 1 sCsHsGsSRsCsHsRsBsRsEa

La dimensin de la )(tea es igual a la de )(tr , generalmente en [Volt].

La funcin de transferencia )(sH , se supondr de ac en ms que no tiene polos ni

ceros en el origen y representa al sistema de medicin, que generalmente realiza la medicin de la variable controlada )(tc y la convierte en otra variable o magnitud

)(tb , ms conveniente de procesar y transmitir como ser, tensin, corriente,

presin, etc.

Por lo tanto .)0( cteKH H

Como se puede apreciar la relacin entre la dimensin de la seal de salida, por ejemplo, C, metros, rad/seg. etc., y la seal de realimentacin, que es de la misma magnitud de la entrada que es por lo general Volts, estar dada por la ganancia esttica de la funcin de transferencia del elemento de medicin H(s) o sea KH. Por lo tanto deber ser la misma relacin entre la seal de referencia y la seal de entrada, o sea, la ganancia esttica de G1(s) deber ser tambin KH.

La funcin de transferencia )(1 sG , del llamado selector de referencia,

representa al elemento que convierte la seal de referencia )(tSr en una

variable adecuada, la seal de entrada )(tr , para poder ser comparada con la

medicin de la salida )(tb , por lo tanto: HRS KKsG )(1

G1(S) es usualmente una ganancia y siempre tiene una unidad dada por la relacin de unidades de la seal se entrada (que es la misma que la unidad de la seal primaria de realimentacin b(t) y la unidad de la seal de referencia que es la misma que la unidad de la salida c(t), por ejemplo [Volt/rad], [Volt/C], [Volt/m] , [Volt/rad/seg], etc.

Si se supone que RSKsG )(1 , la ganancia esttica de la funcin de transferencia del


3

sistema ser:

)0()0(

1)0()0(1

)0()0(

)0(

)0()0('

HG

K

HG

GKMK

SR

CM SRSRRS

Como se puede ver solo si )0(G , HRS KK , en consecuencia si G(s) no tiene

polos en el origen (G(o) no tiende a cuando S tiende a cero). Si G(S) no tiene polos en el origen y si adems se hace HRS KK el sistema tendr un error de

estado estacionario a una entrada escaln, el sistema corresponde a un sistema Tipo cero.

Si el error verdadero fuera siempre nulo para una referencia escaln, RSK deber

tener en el valor : HSR KG

HG

K )0(

1)0(

)0(

1 , pero ya no se respetara la

relacin comentada entre Sr(t) y la de entrada r(t).

Si )0(G , (es decir tiene un polo en el origen), y RSK se hace igual a la

ganancia esttica de )(sH (KSR=KH), en estos casos se tendr dicho error nulo, lo

que corresponde a un sistema Tipo uno.- Por lo tanto la seal de referencia sera:

RSK

trtSr

)()( que se emplear as:

HK

trtSr

)()(

En consecuencia la seal del error verdadero ser:

)()(

)( tcK

trte

RS

que se tomar as:

Para el tiempo tendiendo a infinito ser el error de estado estacionario en estudio. Error de Estado Estacionario para sistemas con realimentacin unitaria H(S)= 1

Cuando )(sH y )(1 sG valen 1, se dice que el sistema es de realimentacin unitaria

y, para este caso los dos errores coinciden y adems )()( trtSr ).()( sRsSR

Estos sistemas tienen un diagrama en bloques como el indicado en la figura 2. En ellos la seal de referencia y la de entrada coinciden o sea: )()( sRsSR

)()( sRsSR + )()( sEsE a )(sC

_ )()( sCsB

Fig. 2. Diagrama en bloques para un sistema de realimentacin unitaria.

)(sG

)()(

)( tcK

trte

H


4

(s + 1) G(s) =

2 2 es detipo2

s (s + 3s + 4)

En general cualquier funcin transferencia puede ser escrita en funcin de sus ceros y polos, como:

mkndonde

pss

zsK

pspss

zszsKsG

k

i

i

n

m

j

jn

k

n

mn

1

1

'

1

1

'

)(

)(

).(..........)(

)....().........()(

o en forma normalizada de constante de tiempo como:

)........21).(11(

).........1).(1()(

STSTs

TbSTaSKLAsG

n

Donde KLA es la ganancia normalizada de Lazo Abierto. El trmino Sn en el denominador, representa un polo de multiplicidad n en el origen. Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escaln, rampa, aceleracin etc. Este esquema de clasificacin es razonable porque las entradas reales se consideran a veces como una combinacin de las entradas mencionadas. Esta clasificacin se basa en el nmero de integradores en el origen de la Funcin de Transferencia de Lazo Abierto es decir en el tipo del sistema: tipo de sistema se define nicamente para sistemas con realimentacin

unitaria como: el nmero de integradores puros en la cadena directa G(S). Es decir el valor de n en la expresin anterior. El tipo de sistema indica que orden de seales de referencia puede seguir un sistema con error nulo en rgimen estacionario. Conforme el tipo es mayor, mejora la precisin, sin embargo al aumentar el tipo agrava el problema de estabilidad. Siempre se llega a un compromiso de equilibrio entre la precisin y la estabilidad relativa. En la prctica es muy raro tener sistemas de orden tres o superiores, porque por lo general resulta difcil disear sistemas estables que tengan dos o ms integradores en la trayectoria directa.

Note que esta definicin es diferente a la de orden del sistema.

Ejemplo:

Teniendo en cuenta esta clasificacin, investigaremos el error en estacionario para varios tipos de sistemas, debido a las seales de referencia: impulso R(s)=1, escaln R(s)=1/s, rampa R(s)=1/S2 y parbola R(s)=1/S3 El Error en el dominio de Laplace, para sistemas de realimentacin unitaria, se obtiene como:


5

e(oo) = lim sE(s) = lim s 1

R(s) s~O s~O l + C(s)

1 E(s) =Ea (s) = R(s)- C(s) = R(s)

1 +G(s)

En rgimen permanente, el error de estado estable se obtiene aplicando el teorema del valor final, que relaciona un comportamiento estable de una funcin f(t) en el dominio temporal cuando t con el comportamiento estable de la transformada de Laplace de una funcin F(S) multiplicada por S cuando S0 :

Para ser aplicado el Teorema de Laplace debe existir el lim () y la funcin S.F(S) no debe tener polos en el semiplano derecho del plano S, ni en el eje jw (lo que equivale a decir que el sistema sea estable) y f(t) y df(t)/dt deben ser transformable por Laplace. A continuacin se definirn unas cifras de mrito denominadas constantes de error de estado estacionario. Las constantes de error (Kp, Kv, Ka) describen la capacidad que un sistema con realimentacin unitaria tiene para reducir o eliminar el error de estado estable. Por lo tanto indican el desempeo estable del sistema. Mientras ms altas son las constantes, ms pequeo es el error en estado estable. 1)- Constante de Error de Posicin Esttica Kp: Se define solamente para una entrada escaln. r(t) = R por lo tanto R(S) = R/S reemplazando en la funcin de error E(S) se obtiene:

)0(1)(lim1

1)

)(1(lim)(

0

0G

R

SGS

R

SG

See

S

SSS

Kp se define como: Por lo tanto el error en estado estable, se obtiene mediante:

Kp

ReeSS

1)(

1.1) Error de estado estacionario Sistema Tipo cero con entrada escaln.

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(

21 STST

STbSTaKLASG

R(S) = R/S

)0()(lim 0 GSGKp S


6

KLASTST

STbSTaKLAKp S

).........1)(.1(

)......1).(.1.(lim

21

0

100*1

)(%KLA

ReeSS

El sistema es capaz de seguir a una entrada escaln con un cierto error de estado estacionario que depender en forma inversamente proporcional a la ganancia normalizada de lazo abierto KLA y al valor de la ganancia de la entrada. A mayor ganancia se reduce el error de estado estacionario pero empeora la estabilidad. Mientras ms alta es la constante de error Kp mas pequeo es el error de estado estable. Siempre el error de estado estacionario, se considera un error en la posicin de la salida. La salida de un sistema puede ser Temperatura, Posicin, Velocidad, etc. Por lo tanto se interpretar a un error de posicin como a un error en la posicin de la variable de salida comparado con la posicin de la variable de entrada, es decir ser un error expresado en C, m, rad/seg, etc. Recordar que posicin representa la variable temperatura, velocidad, nivel, etc. En este caso de un sistema tipo cero exitado por una entrada escaln la posicin de la variable de salida difiere de la posicin de la variable de entrada en un valor finito expresado en tanto por ciento. Un sistema tipo cero es permisible si es posible tolerar errores pequeos para entrada escaln, siempre y cuando la ganancia KLA sea grande. Sin embargo, si la ganancia KLA es demasiado grande, es difcil obtener una estabilidad relativa suficientemente grande 1.2) Error de estado estacionario Sistema Tipo uno o ms con entrada

escaln. R(S) = R/S

)........21).(11(

).........1).(1()(

STSTs

TbSTaSKLAsG

n

).........1)(.1(

)......1).(.1.(lim

21

0STSTS

STbSTaKLAKp S

01

1)(

eeSS

Si se necesita un error de estado estable cero para una entrada escaln, el tipo del sistema debe ser uno o mayor. Un sistema tipo uno o ms sigue fielmente una entrada escaln. La posicin de la variable de la salida coincide exactamente con la posicin de la variable de entrada. Resumen: Un escaln puede ser seguido sin error, en rgimen permanente, por los sistemas tipo uno y superiores.


7

2)- Constante de Error de Velocidad Esttica Kv: Se define solamente para una entrada rampa

r(t) = R.t R(S) = R/S2

)0()(.lim

1)

)(1(lim)(

0

20 SG

R

SGSS

R

SG

See

S

SSS

Kv se define como: Por lo tanto el error en estado estable, se obtiene mediante:

Kv

ReeSS )(

El trmino error de velocidad se usa para expresar un error en estado estable en la posicin cuando el sistema es excitado por una entrada rampa. Es decir: el error de velocidad no es un error en la velocidad, sino un error en la posicin debido a una entrada rampa. La dimensin del error de velocidad es igual a la dimensin del error del sistema. 2.1)- Error de velocidad en estado estacionario para Sistema Tipo cero con entrada rampa.

2)(.)(

S

RSRtRtr

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(

21 STST

STbSTaKLASG

0).........1)(.1(

)......1).(.1.()(.lim

21

0

STST

STbSTaKLASSGSKv S

0

)(R

Kv

ReeSS

Un sistema tipo cero es incapaz de seguir a una entrada rampa

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

Outp

ut

y(t

)

Time, s

Respuesta de un sistema tipo cero a una entrada rampar(t)=t

ess -->oo

)0()(.lim 0 GSSGSKv S


8

Se debe dejar claro que el sistema es estable pero su comportamiento en estado estacionario para una entrada rampa da un error infinito, lo que se asemeja al comportamiento de una respuesta inestable. El sistema es estable pero al ser un sistema tipo cero, no sirve para una entrada rampa porque es incapaz de seguirla, si al mismo sistema se le saca la entrada rampa y se le aplicara una entrada escaln, seguira a la entrada escaln con un error finito que dependera de la ganancia de la entrada y de la ganancia de lazo abierto normalizada. 2.2)- Error de velocidad en estado estacionario para Sistema Tipo uno con entrada rampa.

2)(.)(

S

RSRtRtr

).........1)(.1.(

)......1).(.1.()(

21 STSTS

STbSTaKLASG

KLASTSTS

STbSTaKLASSGSKv SS

).........1)(.1.(

)......1).(.1.(.lim)(.lim

21

00

KLA

ReeSS )(

Un sistema tipo uno sigue a una entrada rampa con un error finito. Este error es

proporcional a la velocidad de entrada y es inversamente proporcional a la ganancia

de lazo abierto normalizada KLA.

En estado estable la velocidad de cambio de la salida es igual a la velocidad de cambio de la entrada, solamente hay un error debido a la diferencia de posicin de la salida respecto a la diferencia de posicin de la entrada. Existe un error llamado de velocidad de estado estacionario finito y constante que es debido solamente a la diferencia de posicin entre la recta de entrada y la recta de estado estacionario. Esto se debe a que la pendiente de la recta de entrada es la misma que la pendiente de estado estacionario, al ser dos rectas paralelas la distancia entre ellas se mantienen fijas, y como el error en estado estacionario coincide con esa distancia se mantiene finito y fijo para todo t. Apreciar que la ordenada al origen de la recta de estado estacionario tambin coincide con la distancia de

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

Outp

ut

y(t

)

Time, s

Entrada rampa r(t)=R.t

Respuesta sel sistema ess = R KLA

ess = R KLA

Respuesta de un sistema tipo unoa una entrada rampa


9

separacin entra ambas rectas, por lo que el error de estado estacionario se puede encontrar tambin como la ordenada al origen de la recta de estado estacionario. 2.3)- Error de velocidad en estado estacionario para Sistema Tipo dos o ms con entrada rampa.

2)(.)(

S

RSRtRtr

).........1)(.1.(

)......1).(.1.()(

21

2 STSTS

STbSTaKLASG

).........1)(.1.(

)......1).(.1.(lim

21

20 STSTS

STbSTaKLASKv S

0)( Kv

ReeSS

Recin un sistema tipo dos o ms sigue a una entrada rampa con un error cero. La

salida sigue fielmente a la entrada por lo que coinciden no solo la velocidad de

cambio de la salida respecto la entrada sino que tambin coinciden la posicin de la

salida respecto la posicin de la entrada (No hay error ni en la velocidad ni en la

posicin). Esto sucede porque la recta de estado estacionario coincide exactamente

con la recta de entrada. Son dos rectas coincidentes al tener la misma pendiente y la

misma ordenada al origen. Resumen: Una rampa puede ser seguida en rgimen permanente por sistemas tipo 2 y superiores.

3)- Constante de Error de Posicin Esttica Ka: Se define solamente para una entrada aceleracin.

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

Outp

ut

y(t

)

Time, s

rampa de entrada

respuesta de un sistema tipo dos

Respuesta de un sistema de segundo tipo

a una entrada rampa r(t)=Rt2


10

r(t) = R.t2/2 R(S) = R/S3

)0()(.lim

1)

)(1(lim)(

22

0

30 GS

R

SGSS

R

SG

See

S

SSS

Ka se define como: Por lo tanto el error en estado estable, se obtiene mediante:

Ka

ReeSS )(

3.1)- Error de aceleracin en estado estacionario para Sistema Tipo cero con entrada aceleracin.

3

2

)(2

.)(S

RSR

tRtr

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(

21 STST

STbSTaKLASG

0).........1)(.1(

)......1).(.1.()(.lim

21

22

0

STST

STbSTaKLASSGSKa S

0

)(R

Ka

ReeSS

3.2)- Error de aceleracin en estado estacionario para Sistema Tipo uno con entrada aceleracin.

3

2

)(2

.)(S

RSR

tRtr

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(

21 STSTS

STbSTaKLASG

0).........1)(.1(

)......1).(.1.()(.lim

21

22

0

STSTS

STbSTaKLASSGSKa S

0

)(R

Ka

ReeSS

3.3)- Error de aceleracin en estado estacionario para Sistema Tipo dos con entrada aceleracin.

3

2

)(2

.)(S

RSR

tRtr

)0()(.lim 220 GSSGSKa S


11

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(

21

2 STSTS

STbSTaKLASG

KLASTSTS

STbSTaKLASSGSKa S

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(.lim

21

2

22

0

KLA

R

Ka

ReeSS )(

3.3)- Error de aceleracin en estado estacionario para Sistema Tipo tres o mayor con entrada aceleracin.

3

2

)(2

.)(S

RSR

tRtr

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(

21

3 STSTS

STbSTaKLASG

).........1)(.1(

)......1).(.1.()(.lim

21

3

22

0STSTS

STbSTaKLASSGSKa S

0)(

R

Ka

ReeSS

Los sistemas de tipo uno y dos son incapaces de seguir a una entrada aceleracin o

parbola en estado estable. Recin un sistema tipo dos, puede seguir a una entrada

parbola con una seal de error finita.

Un sistema tipo tres o mayor con realimentacin unitaria sigue a una entrada

aceleracin con error cero en estado estacionario

Resumen: Una entrada parbola puede ser seguida sin error en estacionario por los sistemas tipo tres y superiores. 4- Error de estado estacionario para una Entrada Impulso: R(s)=1 r(t) = (t) R(S) = 1

).........1)(.1(

)......1).(.1.(1

lim))(1

(lim)(

21

00

STSTS

STbSTaKLA

S

SG

See

n

SSSS

4.1- Error de estado estacionario para una Entrada Impulso para Sistema Tipo cero r(t) = (t) R(S) = 1


12

0).........1)(.1(

)......1).(.1.(1

lim))(1

(lim)(.lim)(

21

000

STST

STbSTaKLA

S

SG

SSESee SSSSS

4.2- Error de estado estacionario para una Entrada Impulso para Sistema Tipo uno r(t) = (t) R(S) = 1

0

).........1)(.1(

)......1).(.1.(1

lim))(1

(lim)(.lim)(

21

000

STSTS

STbSTaKLA

S

SG

SSESee SSSSS

4.3- Error de estado estacionario para una Entrada Impulso para Sistema Tipo dos o ms r(t) = (t) R(S) = 1

0

).........1)(.1(

)......1).(.1.(1

lim))(1

(lim)(.lim)(

21

2

000

STSTS

STbSTaKLA

S

SG

SSESee SSSSS

Resumen: Un impulso puede ser seguido en rgimen permanente, sin error, por todos los tipos de sistemas. Coeficientes de error. Como vimos anteriormente los coeficientes de error se definen como:

Coeficiente de error de posicin para la entrada escaln:

)(lim0

sGKps

, como )()( sCysE tienen las mismas unidades, por tanto Ko es

adimensional.-

Coeficiente de error de velocidad para la entrada rampa: )(lim

0sGsKv

s , 1K tiene las dimensiones de segundo

-1.-

Coeficiente de error de aceleracin para la entrada parbola:

)(lim 20

sGsKas

, 2K tiene las dimensiones de segundo-2.-

Luego los errores finitos en estado estacionario para las seales de prueba siendo R la ganancia de la entrada y KLA la ganancia de lazo abierto normalizada son:

Para el escaln unitario en la entrada: KLA

Reess

1)(


13

IK~ / = 2 :::; O. 1 => K ~ 18 1+ 12 2+K

e(oo)= 1

. donde K0 = lim C(s) 1 + K0 s-?O

G(s)=--K __ (s+l)(s+2)

Para la rampa unitaria en la entrada: KLA

Reess )(

Para la parbola unitaria en la entrada: KLA

Reess )(

Resumiendo los resultados obtenidos en un cuadro de valores, para las diferentes seales de referencia con ganancia R se tendr:

TIPO DE ENTRADAS

TIPO DE

SISTEMA

IMPULSO

R(S) = 1

ESCALN

R(S) = R/S

RAMPA

R(S) = R/S2

ACELERACIN

R(S) = 1/S3

KP = KLA KV = 0 KA = 0

CERO 0 ess = R

1+KLA

ess = R = KV

ess = R = KA

UNO 0 KP = ess = 0

KV = KLA

ess = R

KLA

KA = 0

ess = R = KA

DOS 0 KP = ess = 0

KV = ess = 0

KA= KLA

ess = R

KLA

TRES 0 KP = ess = 0

KV = ess = 0

KA = ess = 0

Ejemplo. a) Dado el error calcular el rango de la ganancia del lazo (problema inverso). Sea el sistema de realimentacin unitaria, cuya planta tiene la transferencia:

Hallar el valor de K de manera que el error en estacionario sea e () 0.1 Solucin: El sistema es tipo cero, de manera que el error es:


14

4.2K 1 --~----

K (3.15) ( 1.5)(0.5)

1 1 e(oo)=-=---

K, limsG(s) . .--.o

C(s)= K(s+3.15) s(s + l .5)(s + 0.5)

b) Dado el sistema calcular los errores (Problema directo) Considere el sistema con realimentacin unitaria, cuya planta es:

El rango de K para la estabilidad del sistema es: 304.10 K .- Determine el error en estacionario cuando el sistema es excitado con diferentes tipos de seales de referencia, con la ganancia variando entre: 304.10 K .-

Entrada escaln e () = 0: pues el sistema es tipo 1. Entrada rampa:

En este caso e(), puede regularse, ajustando K dentro del rango ya mencionado.

Entrada parbola e() =

Error en estacionario debido a perturbaciones de tipo escalon. Dado el siguiente sistema de control de posicin de una antena como se indica la figura 3, sobre el cual adems de la referencia, acta una perturbacin, que introduce una cupla perturbadora sobre el eje del motor:

)(sDc [Nm]

)(1 sG + )(sDm )(2 sG

)(sR + )(sEa )(sU )(sPm + )(sC

[Volt] _ [Volt] Figura 3. Sistema con perturbacin

)(sGc )10(

5.2

s

)05.0(

/100

ss


15

El error debido a la perturbacin no se calcula con los coeficientes de error de posicin, sino que est dado por la misma expresin de la salida calculada para la entrada de perturbacin anulando la referencia. Es decir:

)()()()(1

)()()(

21

2 sDcsGsGsGc

sGsCsEDC

Si la perturbacin del par perturbador en la carga es de forma escaln unitario (DC(S)=1/S) el error en estacionario para la entrada de perturbacin anulando la referencia, se determina mediante:

ssGsGsGc

sGsSCssEse

sssDC

1

)()()(1

)(lim)(lim)(lim)(

21

2

000

)()(lim)(

1lim

)(

10

20

sGsGcsG

e

ss

DC

La perturbacin es usualmente una carga que acta sobre el sistema fuera del modelo normal. Al ser el sistema tipo uno se debera esperarse que no haya error de posicin, debido al polo del origen creado por el motor, es decir sistema tipo uno error cero para una entrada escaln. Ahora, supongamos que se levanta viento, dando lugar a la aparicin de una cupla sobre la antena de 1Nm, desplazando la antena de su set-point. Esta cupla se conoce como cupla de perturbacin, la cual impactar sobre el error en estado estacionario. En este caso la cupla de perturbacin reducida por la relacin de engranajes 10.0 , aparece sobre el eje del motor, generando una corriente de

perturbacin, que a su vez genera un par de reaccin a la perturbacin, en el eje del motor. Si el controlador introducido es del tipo proporcional, KcsGc )( , el diagrama

en bloques acondicionado tiene el aspecto indicado en la figura 4: )(sDc )(sDm + )(sC

_

Figura 4. Diagrama en bloques del control de posicin modificado. Donde la perturbacin Dc(s) es un escaln de 1Nm.- Cmo afecta esto al error en estacionario?

)10(

5.2

s

Kc

10.0 )05.0(

/100

ss

Como se puede observar, el valor del error es

directamente proporcional a la amplitud de la

perturbacin de entrada.

Mientras ms grande la perturbacin mayor

ser el error.


16

Como se sabe el error en estacionario de la respuesta total est dado por la suma del error de la respuesta a la entrada de referencia y el error de la respuesta a la entrada perturbacin.

)()()( CDRSS

eee ;

El error debido a la entrada de referencia escaln ser nulo pues el sistema es tipo1. El error debido a la perturbacin lo calculamos con la relacin ya deducida:

)()(lim)(

1lim

)(

10

20

sGsGcsG

e

ss

DC

Para nuestro caso ser:

Kc

s

Kcsse

ss

DC 5.2

1

)10(

5.2lim

/100

)05.0(lim

1.0)(

00

Por lo tanto: Kc

eSS40.0

)(

El clculo realizado demuestra que an siendo un sistema tipo uno, el error no es nulo, esto se debe al error generado por la perturbacin. Por otro lado se observa que el error es directamente proporcional a la magnitud de la perturbacin, pero inversamente proporcional a la ganancia del controlador proporcional. Se ve que aumentando la ganancia del controlador, Kc sedisminuye el efecto de la perturbacin sobre nuestro sistema de control automtico pero el error no se hace cero. El sistema as planteado no es un buen regulador. Si el controlador introducido fuera un controlador PI

0).(5,2./100)10)(05.0(

)10.(/100..1.0lim)(

0

KIKPSSSS

SSe

sDC

000)()()( CDRSS

eee

)10(

5.2

S

)10(

5.2

s

Kc

10.0 )05.0(

/100

SS

S

KIKPS .


17

Como se puede apreciar ahora s el error de estado estacionario total es cero. El controlador PI aporta un polo en el origen antes de la planta, es decir antes del sumador por donde se considera que ingresa la perturbacin. Esto hace que ese polo pase a ser un polo en H(S) para la entrada de perturbacin convirtindose luego en un cero de la Funcin de Transferencia de Lazo Cerrado para la entrada de perturbacin. Se puede concluir que para una perturbacin tipo escaln, si el sistema tiene un polo en el origen antes del sumador donde entra la perturbacin, al encontrar la funcin

de transferencia parcial, aparece un cero en el origen en el numerador, que para s 0, anula la salida parcial C2(t) volviendo la salida total C(t) al valor de estado estacionario que traa antes de ser aplicada la perturbacin. Es decir el sistema luego de aplicada la perturbacin se aparta temporneamente del valor deseado, pero luego de ese transitorio, el error para la entrada perturbacin cae a cero, volviendo la salida total al valor de estado estacionario que tena antes de aparecer la perturbacin. Bajo este comportamiento se puede decir, que el sistema no sigue a la perturbacin y reacciona como un Regulador Perfecto. Sistemas con realimentacin no unitaria a) error verdadero. El caso general se indica en la figura 5, llamaremos )()()( sGpsGcsG , donde )(sGc

y )(sGp son las funciones de transferencia del controlador y de la planta.-

)(sSR )(sR )(sEa )(sC

- )(sB

Figura 5. Sistema SISO con realimentacin no unitaria Se considerar en este estudio en principio que la ganancia del selector de referencia tiene un valor cualquiera, como se dijo por anteriormente es igual a la ganancia esttica de la funcin de transferencia del camino de realimentacin.- El error verdadero es:

)()()(1

)]()([)(1)(

)()()(1

)()()()()()(

1

1

sSRsHsG

sGsHsGsE

sSRsHsG

sGsGsSRsCsSRsE

Para encontrar una funcin G(S) equivalente a un sistema con realimentacin unitaria, se igualan las Funciones de Transferencia de Lazo Cerrado resultantes de considerar un sistema con realimentacin H(S) y un sistema de realimentacin unitaria:

)(1 sG

)(sG

)(sH


18

C(S) _s~ - + \_' L:JI----.--

,- ~ C(S)

1

-~ 1 ~- -----11 H(S) t----J

Gl(S) SR(S)

Figura 6. Equivalencia entre los diagramas de bloque con realimentacin H(S) y con realimentacin unitaria.

equiv

equiv

G

G

SHSG

SGSG

1)().(1

)().(1

))()().((1

)().(

))().()().(1

)().(

))().()().(1()().(

).().().().()().(

).().().().()().(

))().(1()().()1(

1

1

1

1

11

11

11

1

SGSHSG

SGSGG

SGSGSHSG

SGSGG

SGSGSHSGGSGSG

GSGSGGSHSGGSGSG

GSHSGGGSGSGSGSG

SHSGGSGSGG

equiv

equiv

equiv

equivequivequiv

equivequivequiv

equivequiv

Considerando un sistema con realimentacin unitaria y a la funcin Gequiv(S) como la funcin de camino directo se obtiene el siguiente sistema equivalente:

)(sSR + )(sE )(sC

_

Figura 7. Diagrama en bloques reducido de realimentacin unitaria.

Calculando el error verdadero, en el diagrama de la figura 7, obtenemos el mismo resultado que el ya obtenido precedentemente.

)(

)()(1

)()()(1)( 1 sSR

sHsG

sGsHsGsE

)]()()[(1

)()(

1

1

sGsHsG

sGsG


19

Al sistema de realimentacin unitaria de la figura 7 le aplicamos todo lo ya dicho respecto al error verdadero en rgimen estacionario, tipo de sistemas y coeficientes de error de los sistemas con realimentacin unitaria. El diagrama se puede simplificar as: SR(s) + E(s) C(s) _

Figura 7 a.

Donde la )(. sGequiv es:

)]()()[(1

)()()(

1

1.

sGsHsG

sGsGsGequiv

si HKsG )(1 :

])()[(1

)()(.

H

Hequiv

KsHsG

sGKsG

Como se puede apreciar si HKCtesH )( , la funcin equivalente del

camino directo del sistema con realimentacin unitaria ser

)()(. sGKsG Hequiv , por lo tanto el Tipo del sistema coincidir siempre con

los polos en el origen que tenga la funcin de trasferencia real del camino directo ).(sG

Si )(sH es una funcin con polos y ceros, (recordar que no pueden estar

el origen como se ha supuesto), el Tipo del sistema quedar determinado por los integradores de la funcin )(sG , solo en los casos

que la misma tenga uno o ningn polo en el origen.

Si )(sG tiene dos o ms integradores, el Tipo del sistema ser el

indicado por los integradores de la funcin )(sG , solamente en el caso

que la funcin de transferencia H(s) sea una constante, HKCtesH )( .-

Comentario: Considerar como error del sistema al error verdadero, significa tomar como salida del mismo la variable controlada verdadera, es decir C(s), la cual se compara con la seal de referencia SR(s). Clculo del Error verdadero mediante los coeficientes de la FTLC. Otra forma de calcular el error verdadero es con los coeficientes de los polinomios

de la funcin de transferencia del sistema ).(' sM

Se seguir suponiendo que: Hs

KsH

)(lim0

y adems que:RSK

trtSr

)()( con: HRS KK

El error verdadero ser:

)()(

)( tcK

trte

H

)(. sGequiv


20

Aplicando el teorema del valor final ser tendr:

)(lim)(lim0

sEsteest

EE

)(ssE debe tener todos sus polos en el semiplano izquierdo del plano s, esto equivale a decir que el sistema sea estable. Transformado por Laplace la primera ecuacin:

)()(11)()()()()()( sRsMKK

sRsMK

sRsC

K

sRsE H

HHH

Como )()( ' sMsMKH , se tendr:

ssRsMK

eH

sEE )()(1

1lim '

0

Si, .)()()()()(

)()( HSsHH

s KRtRtrtKtrK

trttSr

Como s

K

s

RsR H)( , se tendr:

)(1lim)( '0

sMunitarioescalnreferenciaes

EE

Si , .)()()()()(

)()( HSsHH

s KRttRtrttKtrK

trtttSr

Como 22

)(s

K

s

RsR H , se tendr:

s

sMunitariarampareferenciaes

EE

1)(1lim)( '

0

Si , .)(2

)()(2

1)(

)()(

2

1)( 222 HSSH

H

s KRttR

trttKtrK

trtttSr

Como 33

)(s

K

s

RsR H , se tendr:

2

'

0

1)(1lim)(s

sMparablicareferenciaes

EE

Se supondr que la funcin de transferencia del sistema )(

)()(

sR

sCsM , no tiene polos

en el origen y es de la forma:

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1 .............

)(

)()(

ssss

bsbsbsbsb

sR

sCsM

n

n

n

m

m

m

m ; donde: 00 ymn


21

Por lo tanto )(' sM ser:

01

2

2

1

1

01

2

2

1

1' .............

)(

)()(

ssss

bKsbKsbKsbKsbK

sSR

sCsM

n

n

n

HHH

m

mH

m

mH

Si llamamos:

.;; 2'

21'

10'

0 etcbbKbbKbbK HHH

01

2

2

1

1

0'

1'2

2'1

1''

' .............

)(

)()(

ssss

bsbsbsbsb

sSR

sCsM

n

n

n

mm

mm

Por ende se tendr:

01

2

2

1

1

0011

2

22' )()()(.............)(1

ssss

bsbsbssM

n

n

n

n

Reemplazando en las tres expresiones del error verdadero de estado estacionario, para las tres seales de referencia unitarias se llega al valor de los mismos, en

funcin de los coeficientes de la funcin de transferencia )(' sM y se resumen de la

tabla siguiente: Si la magnitud de los escalones o pendientes de las rampas de las seales de referencias, no son unitarias, los errores aqu indicados se debern multiplicar por el valor de esas magnitudes.

)(' sM

)(tSr

0'

0 b

1'

1

0'

0

b

b

2'

2

1'

1

0'

0

b

b

b

2'

2

1'

1

0'

0

b

b

b

)()( ttSr S

0

0'

0

b

0

0

0

)()( tttSr S

0

1'

1

b

0

0

)(2

1)( 2 tttSr S

0

2'

2

b

0


22

b) Error actuante. El error actuante se puede determinar en la misma dimensin o unidad que sale del comparador, generalmente en Volts, o en la misma unidad de la seal de referencia o de la de salida, por ejemplo C, rad/seg., metros, radianes, etc. Como se sabe:

)(1

)()(

sL

sRsEa

; (en Volts generalmente), por lo tanto:

)()(1

1)( sSRK

sLsEa H

; aplicando el teorema del valor final:

ssSRsL

KsEasteaea H

sst)(

)(1lim)(lim)(lim)(

0

Si s

sSRttSr S1

)()()(

Por lo tanto se tendr:

.;)0(1

)()( VoltsenteGeneralmenL

Kreferenciadeescaslnea H

Si 2

1)()()(

ssSRtttSr S

Por ende el error actuante ser:

.;)(lim

)()(

0

VoltsenteGeneralmensLs

Kreferenciaderampaea

s

H

Si 3

2 1)()(2

1)(

ssSRtttSr S

.;)(lim

)()(2

0

VoltsenteGeneralmensLs

Kreferenciadeparbolaea

s

H

Para considerar el error actuante, en la misma unidad que SR(s), como ya se menciono, el diagrama en bloques de la figura 5, conviene dibujarlo como indica la figura 8.

)(sSR )(' sE a )(sEa )(sC

)(sB _

Figura 8. Indicacin del error actuante.

Llamaremos )(' tae al error actuante en la misma dimensin que la Sr(t).-

)(1 sG

)(

)(

1 sG

sH

)(sG


23

Como se puede apreciar la relacin entre )()( ' taeytea , si HRS KKsG )(1 ser.

HK

teatae

)()('

El error actuante est dado por:

)()(

)()()(

1

' sCsG

sHsSRsE a

Reemplazando la salida C(s) en funcin de SR(s) obtenemos, la expresin para el clculo del error actuante, en las mismas unidades que la seal de referencia:

)()()(1

1)(

'sSR

sHsGsEa

Este error actuante, podra considerarse como el que se obtendra de un sistema de realimentacin unitaria como el indicado en la figura 9.

)(sSR + )(' saE )(sC salida / Medicin de la variable

controlada = B(s) _ Medicin

Fig. 9. Sistema equivalente de realimentacin unitaria mostrando E a(s).

Al sistema representado por el diagrama en bloques de la figura 9, se le puede aplicar todo lo dicho respecto de los sistemas de realimentacin unitaria, en cuanto al clculo del error, tipos de sistemas y coeficientes de error.-

Llamando: )()()()( 1' sGKsGsGsG H y HKsHsGsHsH /)()(/)()( 1

' ,

)()()()( '' sHsGsHsG , la funcin del lazo es igual a la real.-

La ganancia esttica de la funcin de transferencia )(' sH es siempre uno 1)0(' H .

Recordar que el error actuante est en la misma unidad que la seal de referencia.- Comentario: Considerar como error del sistema al error actuante, significa tomar como salida del sistema la medicin de la variable controlada verdadera, es decir

)()(

)()(

1

sCsG

sHsB , la cual se compara con la seal de referencia SR(s).

)()(1 sGsG )(

)(

1 sG

sH


24

sistemas de control retroalimentados

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