sistema experto en deducción natural
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8/14/2019 Sistema Experto en Deduccin Natural
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SISTEMA EXPERTO EN DEDUCCINNATURAL
Gabriel Garduo Soto, 1
David Ren Thierry Garca,2
Rafael Vidal Uribe,1
Hugo Padilla Chacn3
1. Panorama actual del problema de la deduccinnatural
El problema de la deduccin natural ha sido aborda-do desde distintas perspectivas. En la mayor parte de
las investigaciones realizadas hasta la fecha se han
intentado soluciones que, con base en un enfoque
sintctico, tratan de probar la validez de las con clu -
siones propuestas a los diversos grupos de premisas
objeto de investigacin. En dichos enfoques sintcti-
cos, se utilizan tcnicas de recorrido lineal, o arbores-cen te, tal como el backtracking, o bien, bsquedas
heursti cas cuya mayor dificul tad es el enorme gasto
en tiempo y memoria de mquina empleado. Todo
usuario del lenguaje Prolog conoce el constante
riesgo de saturacin de la memoria RAM, a menos de
que se controlen estrictamente la emisin de reglas
de produccin (o transformaciones sintcticas) y el
recorrido global sobre cada una de las premisas
declaradas, mediante los comandos de corte incorpo-
rados enProlog.
De este modo, se han publicado trabajos con resul-
tados alentadores, pero incompletos, para la investi-gacin del problema de la deduccin natural; sirvana manera de ejemplo los enfoques siguientes:
Mtodos grficos de distribucin hiper-
geomtrica (Urquhart 1987).
Mtodos algortmicos de recorrido lineal sobre
todas las clusulas de Horn que se pueden pro-
ducir a partir del conjunto de premisas propues-
to (Arvind 1987) y mtodos de chequeo
clau sular con fuerza bruta, a travs de enfoques
en paralelo (Chen 1987).
Mtodos de bsqueda arborescente (Amir 1987). Mtodos de investigacin matemtica sobre
anillos booleanos (Nakao 1986).
Mtodos de investigacin sobre el tiempo de
mquina requerido para dilucidar la validez de
la conclusin propuesta (Walton 1987).
En el trabajo aqu presentado, se ha implementadouna aritmetizacin comple ta de la lgica bivalenteque bien podra denominarse lgica aritmetizada sinrastreo (backtracking), pues los algoritmos propues-tos permiten un acercamiento directo y prcticamen-te sin gasto de tiempo de mquina en la bsquedaheursti ca, ya que en su indaga cin acerca de la vali-dez de una conclusin, el sistema se dirige infalible-mente al lugar matemtico en donde se produce dichaconclusin, en caso de ser vlida; en el caso contra-rio, el sistema informa acerca de su no-validez.
En la mayor parte de los intentos que se han reali-zado para resolver el problema de la deduccin natu-ral se ha formalizado a la lgica desde distintasperspectivas, pero formalizar no es lo mismo quearitmetizar. Toda aritmetizacin de la lgica es, eoipso, una formali zacin; la inversa no siempre es v-lida. La relacin no es necesariamente simtrica.
2. Breves consideraciones sobre tres aritmetiza-ciones de la lgica
Es bien conocido el recurso fundamental de que se
sirve Gdel para desarrollar su teorema de incomple-tud (1931): aritmetiza el nivel de la lgica. A cada
sig no elemental, a cada frmula y a cada secuen cia
de frmulas de la lgica les asig na un nmero nico
(nmero de Gdel) de manera que la lgica queda
mapeada en la aritmtica. Este mapeo en Gdel no
es un fin en s mismo: es slo un recurso, entre otros,
de que se vale para al canzar el propsito de probar el
teorema. Quiz por ello no fue bice que el mapeo no
resultara biunvoco, es de cir, que mientras a cada
expresin o secuencia de expresiones lgicas les
corresponde un nico nmero (de Gdel), no todo
nmero es un nmero de Gdel y, por lo tanto, notodo nmero representa una expresin o se cuencia de
expresiones lgicas. Por esto la aritmetizacin de
Gdel no permite ir ms all, desde un punto de vista
operativo.
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1 Facultad de Filosofa y Letras, UNAM. Colegio de Filosofa, Divisin SUAFyL.
2 Facultad de Economa, UNAM. Divisin SUAE.
3 Facultad de Filosofa y Letras, UNAM. Divisin de Estudios de Posgrado.
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En diversos trabajos, ukasiewicz emple recur-sos de aritmetizacin para tratar problemas de lgica.Sin embargo, la aritmetizacin misma tampoco latuvo como fin en sus investigaciones. A diferencia deGdel que estableci un mecanismo estricto paragarantizar la univocidad (aunque no la biunivocidad,como se dijo antes), ukasiewicz siempre estableciconvenciones laxas y coyunturales, de manera quelos nmeros empleados, aunque reflejan ciertas estruc-turas profundas de la lgica, tampoco permiten unaoperatividad sistemtica.
En el mtodo de Quine-Mcklusky para mini-mizar funciones booleanas cannicas, tambinpuede encontrarse una incipiente aritmetizacin.Tampoco es un objetivo en s misma y sloauxilia, dentro del propsito del mtodo, al finde agrupar los sumandos lgicos potencialmenteminimizables.
No hemos encontrado una aritmetizacin igual a laque ahora se expone en sus rasgos generales.
3. Aritmetizacin del clculo proposicional
3.1 La aritmetizacin que hemos desarrollado
est constituida por un grupo de algoritmos
que resuelven como problemas estrictamente
aritmticos los problemas del clculo proposi-
cional.
3.2 Las reglas de correspondencia permiten ga-
rantizar una biunivocidad, en el siguiente
sentido: a toda y a cada frmula del clculoproposicional le corresponde uno y slo un
nmero; a todo y a cada nmero le corres-
ponde una y slo una frmula del clculo
proposicional.
3.3 Los nmeros constituyen los valores que
pueden ser sustituidos por las variables,
parmetros y constantes en los algoritmos.
Los nmeros que resultan de rea li zar las ope-
raciones aritmticas sealadas en los al go rit-
mos representan la solucin par cial o total de
un problema lgico par cial o total.
3.4 Una vez resuelto un problema lgico por
medio de los algoritmos, en virtud de 3.2
(biunivocidad) la solucin aritmtica se
reinterpreta en notacin lgica.
3.5 La validez de los algoritmos fue probada por
medio de la induccin matemtica completa.
Como consecuencia de la aritmetizacin lograda,puede establecerse una conexin con el conocidoteorema de Shannon (1938). El teorema de Shannonestablece una biunivocidad entre las frmulas dellgebra booleana y los circuitos en serie-paralelo:cada frmula del lgebra booleana es realizablecomo un circuito en serie-paralelo; a la inversa, cada
circuito en serie-paralelo es representable como unafrmula del lgebra booleana. Ahora puede postular-se una exten sin de este teorema: a cada nmero lecorresponde una frmula booleana cannica y, pues-to que (por el teorema de Shannon) a cada frmulabooleana le corresponde un circuito en serie-parale-lo, entonces a cada nmero le corresponde un circui-to en serie-paralelo. La inversa es vlida tambin.
4. Sistema para resolver problemas de deduccin
Los algoritmos mencionados conforman un sistema
en el sentido en que grupos y subgrupos de los mis-mos estn destinados a resolver problemas especfi-
cos, pero todos ellos son interrelacionables y, por
esto, permiten resolver problemas con mayor grado
de comple ji dad. De esta manera, el siste ma, al que
denominaremos, SD, puede ser definido como:
SD = < {A1,A2, ... ,An}, {0, 1, 2, ... , n},R>
en donde {A1,A2 , ... ,An} es el conjunto de los algo-
ritmos; {0, 1, 2, ... , n} es el conjunto de los valores
que pueden cobrar las variables y constantes de los
algoritmos, yRes una relacin que permite la inter-
conexin entre los algoritmos.
El sistema que conforman los algoritmos es exper-to en el sentido en que puede simular la conductade un lgico especializado en problemas de deduc-cin dentro del clculo proposicional, aunque tam-bin dentro del clculo cuantificacional bajo ciertasrestricciones. La silogstica aristotlica, por ejemplo,aunque perteneciente por tradicin a una lgica detrminos, es manejable dentro del sistema. El siste -ma es exper to an en el sentido psicolgico en que elsistema puede dar sorpresas, inclusive a sus propios
creadores. A manera de ilustracin: cuando estabasiendo sometido a ensayos y provisto de informacinconcerniente a la silogstica clsica, reportabacomo invlidos varios silogismos incluidos comovlidos en algunos listados estndar: Bamalip ,Darapti, etc. Se pens, en pri mera y ms grave ins-tancia, en un error en los algoritmos; luego, en unerror en la interconexin; luego, en un error en la infor-macin, etc. No haba tal: el sistema estaba bien. Lossilogismos que rechazaba son dubitables en tanto que
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silogismos genuinos, puesto que implican una pre-suncin de existencia no contenida en las premisasuniversales. Para percatarse de esto, hubo necesidadde revisar las discusiones sobre la silogstica clsica.Los creadores del sistema, supuestos expertos, habanolvidado estas cuestiones.
No es posible ofrecer, en la reducida extensin
a que estn constreidos los trabajos que se presentanen una conferencia, los algoritmos que conforman elsistema. Su exposicin y explicacin consumiran untiempo equivalente, por lo menos, al de un curso conduracin de dos semestres acadmicos. No son muynumerosos, son aproximadamente cien. Tampocoson difciles de comprender, slo se requiere el mane -jo de dos teoras elementales, la de la lgica y la de losnmeros. Pero algunos de ellos son extensos y apa-rentemente complejos. No obstante, se destacarn enseguida algunas de sus caractersticas fundamentales:
4.1. Permiten distinguir entre las frmulas bien
formadas (wffs) y las simples expresiones.
4.2. Permiten saber si en un conjunto de wffscon-
sistentes, sintcticamente diferentes, una o
ms frmulas son redundantes, esto es, si son
semnticamente equivalentes; o bien, si la
ltima de las wffses redundante por deducti-
bilidad respecto de las wffsanteriores.
4.3. Permiten transformar cualquier frmula bien
formada, con cualquier nmero y combina-
cin de los operadores lgicos clsicos, en una
frmula cannica (normal disyuntiva).
4.4. Permiten decidir si una frmula determinada
cualquiera, con cualquier nmero y combina-
cin de los operadores lgicos clsicos, es o
no un teorema de un clculo proposicional
axiomatizado.
4.5. Permiten decidir, en deduccin natural, si una
frmula determinada se deduce o no de un
conjunto de premisas dado.
4.6. Permiten obtener, en deduccin natural,todaslas conclusiones semnticamente dis -tintas que se deducen de un conjunto de pre-
misas dado.
4.7. Resuelven un problema inusual dentro de la
lgica. A saber: permiten obtener, en deduc-
cin natural, todoslos conjuntos semntica-mente distintos de premisas de los cuales se
deduce una vez determinado el nmero de
va riables en que se quie ra encuadrar el pro-
blema una frmula cualquiera propuesta a
manera de conclusin.
4.8. Los problemas se pueden plantear con cual-
quier nmero y combinacin de los operado-res lgicos tradicionales; las soluciones, en
los casos 4.6 y 4.7, se obtienen en forma nor-
mal disyuntiva.
Con la adicin de dos subsistemas ms, cuyos algo-
ritmos estn en un avanzado proceso de elaboracin,
en un futuro cercano ser posible: a) obtener las
frmulas cannicas en forma minimizada y b) me-
diante una programacin de grficas, obtener direc -
tamente el diseo del circuito en serie-paralelo
minimizado, que corresponda a un determinado pro-
blema lgico planteado.
5. Sistema y Programacin
Los algoritmos contenidos en el sistema permiten
trabajar, en principio, con cual quier nmero finito de
variables proposicionales, tan grande como se quie-
ra. Sin embargo, las limitaciones propias de los equi-
pos de cmputo personales (PC), restringen su
efectividad, por ahora, a un mximo de cuatro varia-
bles. No obstante esto, se producen resultados intere-
santes: hay planteamientos, en el caso 4.6, en que se
llegan a obtener ms de 30,000 conclusionessemnticamente distintas, a partir de un conjunto de
premisas con cuatro variables.
6. Acotacin terica
La filosofa sub yacen te en el desarrollo de los algo -
ritmos es eminentemente constructivista. Por esto, la
lnea de investigacin se encuen tra cercana a los enfo -
ques del intuicionismo: Krnecker, Poincar, Borel,
Brower, Weyl, Heyting, etc., aunque esto no signifi-
ca que se asuman to das las te sis de esta co rriente.
Mayo de 1990
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Referencias:
Amir A.: Expressive Completeness Failure in
Branching Time Structures.Journal of Computer
and System Sciences34, (1), 27-42, 1987.
Arvind V., Biswas S.: An O(n2) Algorithm for the
Satisfiability Problem of a Subset of PropositionalSentences in CNFthat Includes all Horn Senten-
ces. Information Processing Letters 24, (1),
67-69, 1987.
Chen Wen-Tsuen, Liu Lung-Lung: Parallel
Approach for Theorem Proving in Propositional
Logic.Information Sciences41, (1), 61-76, Feb.
1987.
Nakao Z.: An Extension of Logic Functions on
the Quaternary Boolean Ring. The Transactions
of the IECE of Japan, E69, (11),1169-1172, Nov.
1986.
Urquhart A.: Hard Examples for Resolution.Journal of the Association for Computing Machi-
nery, 34, (1),209-219, 1987.
Walton Purdom P.Jr., Brow A. C.: Poly no-
mial-Average-Time Satisfiability Problems.
Information Sciences41, (1), 23-42, 1987.
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Nota editorial:
Este trabajo fue presentado en elIer . Coloquio en Ciencia Cognitiva. Universidad de Guadalajara y Sociedad
Filosfica Iberoamericana. Facultad de Filosofa y Letras de la Universidad de Guadalajara. Guadalajara. 19y 20 de Julio de 1990. Una versin preliminar de este documento fue publicada en: Va. Confer encia Internacional: Las Computadorasen Instituciones de Educacin y de Investigacin. Cmputo Acadmico UNAM, UNISYS, Mxico. Noviembre14 a Noviembre 16 de 1989.