Sistema de numeracinUnsistema de numeracines unconjunto de smbolosyreglasde generacin que permiten construir todos losnmerosvlidos.

Un sistema de numeracin puede representarse como

donde: es el sistema de numeracin considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). es el conjunto de smbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}. son las reglas que nos indican qu nmeros son vlidos en el sistema, y cules no. En un sistema denumeracin posicionallas reglas son bastante simples, mientras que lanumeracin romanarequiere reglas algo ms elaboradas.Estas reglas son diferentes para cadasistemade numeracin considerado, pero una regla comn a todos es que para construir nmeros vlidos en un sistema de numeracin determinado slo se pueden utilizar los smbolos permitidos en ese sistema.Para indicar en qu sistema de numeracin se representa una cantidad se aade comosubndicea la derecha el nmero de smbolos que se pueden representar en dicho sistema.ndice 1Clasificacin 1.1Sistemas de numeracin no posicionales 1.2Sistemas de numeracin posicionales 2Teorema fundamental de la numeracin 2.1Ejemplo en el sistema decimal 2.2Ejemplo en el sistema binario 3Vase tambin 4Referencias 4.1BibliografaClasificacin[editar]Los sistemas de numeracin pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales: En los sistemas no-posicionales los dgitos tienen el valor del smbolo utilizado, que no depende de la posicin (columna) que ocupan en el nmero. En los sistemas de numeracin ponderados o posicionales el valor de un dgito depende tanto del smbolo utilizado, como de la posicin que se smbolo ocupa en el nmero.Por ejemplo, el sistema denumeracin egipcioes no posicional, en cambio elbabilnicoes posicional. Laslenguas naturalesposeen sistemas de numeracin posicionales basados en base 10 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Adems, en algunas pocas lenguas losnumeralesbsicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales ms pequeos.Sistemas de numeracin no posicionales[editar]Estos son los ms antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y despus se hablaba de cuntas manos se tena. Tambin se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos estn los sistemas del antiguo Egipto, el sistema denumeracin romana, y los usados enMesoamricapormayas,aztecasy otros pueblos .Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeracin de raz mixta de base 20 (vigesimal). Tambin los mayas preclsicos desarrollaron independientemente el concepto de cero (existen inscripciones datadas hacia el ao 36 a. C. que as lo atestiguan.).Sistemas de numeracin posicionales[editar]Artculo principal:Sistema de numeracin posicionalEl nmero de smbolos permitidos en un sistema de numeracin posicional se conoce comobasedel sistema de numeracin. Si un sistema de numeracin posicional tiene basebsignifica que disponemos debsmbolos diferentes para escribir los nmeros, y quebunidades forman una unidad de orden superior.Ejemplo en el sistema de numeracin decimalSi contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9unidades, hemosagotadolos smbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo smbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto aadimos una nuevacolumnaa la izquierda del nmero,reutilizamoslos smbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemosa cerolas unidades, y seguimos contando.De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemosagotadolos smbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad ms, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda yaha agotadolos smbolos disponibles, as que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.El cuenta kilmetros mecnico, al utilizar el sistema de numeracin posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (seagotanlos smbolos), sepone a ceroy se aade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresin.Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayora de la poblacin ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de numeracin diferentes al de base 10, y tan vlidos ytilescomo este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2sistema binario, de base 8sistema octaly el de base 16sistema hexadecimal. Tambin los antiguos mayas tuvieronun sistemade numeracin posicional el cual ya no se usa.Teorema fundamental de la numeracin[editar]Este teorema establece la forma general de construir nmeros en un sistema de numeracin posicional. Primero estableceremos unas definiciones bsicas:, nmero vlido en el sistema de numeracin., base del sistema de numeracin. Nmero de smbolos permitidos en el sistema., un smbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeracin.,: nmero de dgitos de la parte entera., coma fraccionaria. Smbolo utilizado para separar la parte entera de un nmero de su parte fraccionaria.,: nmero de dgitos de la parte decimal.La frmula general para construir un nmeroN, con un nmero finito de decimales, en un sistema de numeracin posicional de basebes la siguiente:

El valor total del nmero ser la suma de cada dgito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posicin que ocupa en el nmero.Esta representacin posibilita la realizacin de sencillosalgoritmospara la ejecucin de operacionesaritmticas.Ejemplo en el sistema decimal[editar]En el sistema decimal los smbolos vlidos para construir nmeros son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el nmero de smbolos vlidos en el sistema) es diezEn la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeracin aplicado alsistema decimal.

Los dgitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados pordn-1...d2d1d0, toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en funcin de la posicin que ocupan en el nmero, y representan respectivamente al dgito de las n-unidades (10n), centenas (10=100), decenas (10=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el grfico estn colocados en las posicionesn-1..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.Observar que las posiciones se numeran a partir de 0, desde derecha a izquierda, por lo que la utima posicin para un nmero de n digitos enteros, esn-1yno n, ya que en ese caso sera den+1digitos enteros. El uso de esta numeracin a partir de 0 es de utilidad, debido a que la potencia 0-sima de cualquier nmero est definida como 1.Los dgitos a la derecha de la coma fraccionariad-1,d-2,d-3...d-nrepresentan respectivamente al dgito de las dcimas (10-1=0,1), centsimas (10-2=0,01), milsimas (10-3=0,001) y n-simas (10-n) .Por ejemplo, el nmero 1492,36 en decimal, puede expresarse como:

Ejemplo en el sistema binario[editar]Vase ahora elsistema binarioo de base 2. En este sistema los dgitos vlidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.En la figura inferior puede verse el teorema fundamental de la numeracin aplicado alsistema binario.

Siguiendo con el ejemplo del cuentakilmetros visto arriba, en este caso las ruedas no tienen 10 smbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que slo existen 2 smbolos {0,1} para construirtodos los nmeros binarios.En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se combinan los 2 smbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un orden superior.Aqu las ruedas del cuentakilmetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se hanagotadolos smbolos disponibles para esacolumna, y se deben ponera cerola columna y usar otra columna a la izquierda.

SISTEMAS DE NUMERACINbinario, octal y hexadecimal

Sistemas de numeracinSistema de numeracin decimalSistema de numeracin binarioConversin entre nmeros decimales y binariosEl tamao de las cifras binariasConversin de binario a decimalSistema de numeracin octalConversin de un nmero decimal a octalConversin octal a decimalSistema de numeracin hexadecimalConversin de nmeros binarios a octales y viceversaConversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversa

Sistemas de numeracinUn sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten representar datos numricos. Los sistemas de numeracin actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porqueun smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupa en la cifra.1. Sistema de numeracin decimal:El sistema de numeracin que utilizamos habitualmente es eldecimal,que se compone de diez smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valordependiendo de la posicinque ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dgito est asociado al de una potencia de base 10, nmero que coincide con la cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posicin que ocupa el dgito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el nmero528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5*102+ 2*101+ 8*100o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 528

En el caso de nmeros con decimales,la situacin es anloga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias sern negativos, concretamente el de los dgitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el nmero8245,97se calculara como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 dcimos + 7 cntimos8*103+ 2*102+ 4*101+ 5*100+ 9*10-1+ 7*10-2, es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

Sistema de numeracin binario.El sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, elcero(0) y eluno(1).En una cifra binaria, cada dgito tiene distinto valor dependiendo de la posicin que ocupe. El valor de cada posicin es el de una potencia debase 2, elevada a un exponente igual a la posicin del dgito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros.De acuerdo con estas reglas, el nmero binario1011tiene un valor que se calcula as:

1*23+ 0*22+ 1*21+ 1*20, es decir:8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos as:

10112= 1110

2. Conversin entre nmeros decimales y binariosConvertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizardivisiones sucesivas por 2y escribir los restos obtenidos en cada divisinen orden inversoal que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el nmero7710haremos una serie de divisiones que arrojarn los restos siguientes:77 : 2 = 38Resto:138 : 2 = 19Resto:019 : 2 = 9Resto:19 : 2 = 4Resto:14 : 2 = 2Resto:02 : 2 = 1Resto:01 : 2 = 0Resto:1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710= 10011012

Ejercicio 1:Expresa, en cdigo binario, los nmeros decimales siguientes:191, 25, 67, 99, 135, 276

i. El tamao de las cifras binariasLa cantidad de dgitos necesarios para representar un nmero en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del prrafo anterior, para representar el nmero77, que en el sistema decimal est compuesto tan slo por dos dgitos, han hecho falta siete dgitos en binario.Para representar nmeros grandes harn falta muchos ms dgitos. Por ejemplo, para representar nmeros mayores de 255 se necesitarn ms de ocho dgitos, porque 28= 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el nmero ms grande que puede representarse con ocho dgitos.Como regla general, conndgitos binarios pueden representarse un mximo de2n, nmeros. El nmero ms grande que puede escribirse conndgitos es una unidad menos, es decir,2n 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de16nmeros, porque24= 16y el mayor de dichos nmeros es el15, porque24-1 = 15.

Ejercicio 2:Averigua cuntos nmeros pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cul es el nmero ms grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3:Dados dos nmeros binarios:01001000y01000100Cul de ellos es el mayor? Podras compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?3. Conversin de binario a decimalEl proceso para convertir un nmero del sistema binario al decimal es an ms sencillo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo, para convertir el nmero binario10100112a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*26+ 0*25+ 1*24+ 0*23+ 0*22+ 1*21+ 1*20= 8310100112= 8310

Ejercicio 4:Expresa, en el sistema decimal, los siguientes nmeros binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Sistema de numeracin octalEl inconveniente de la codificacin binaria es que la representacin de algunos nmeros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeracin que resulten ms cmodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fcil convertir un nmero binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeracin octal, los nmeros se representan medianteochodgitos diferentes: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dgito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.Por ejemplo, el nmero octal2738tiene un valor que se calcula as:2*83+ 7*82+ 3*81= 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738=149610

4. Conversin de un nmero decimal a octalLa conversin de un nmero decimal a octal se hace con la misma tcnica que ya hemos utilizado en la conversin a binario, mediante divisiones sucesivaspor 8y colocando los restos obtenidosen orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el nmero decimal12210tendremos que hacer las siguientes divisiones:122 : 8 = 15 Resto:215 : 8 = 1 Resto:71 : 8 = 0 Resto:1Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

12210= 1728Ejercicio 5:Convierte los siguientes nmeros decimales en octales:6310, 51310, 11910

5. Conversin octal a decimalLa conversin de un nmero octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posicin en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el nmero2378a decimal basta con desarrollar el valor de cada dgito:2*82+ 3*81+ 7*80= 128 + 24 + 7 = 15910

2378= 15910

Ejercicio 6:Convierte al sistema decimal los siguientes nmeros octales:458, 1258,6258

Sistema de numeracin hexadecimalEn el sistemahexadecimallos nmeros se representan con diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dgitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos smbolos depende, como es lgico, de su posicin, que se calcula mediante potencias de base 16.Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del nmero hexadecimal1A3F16:

1A3F16= 1*163+ A*162+ 3*161+ F*1601*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16= 671910

Ejercicio 7:Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales:2BC516, 10016, 1FF16

Ensayemos, utilizando la tcnica habitual de divisiones sucesivas, la conversin de un nmero decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del nmero173510ser necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 : 16 = 108 Resto:7108 : 16 = 6 Resto:Ces decir,12106 : 16 = 0 Resto:6De ah que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el nmero en hexadecimal:173510= 6C716

Ejercicio 8:Convierte al sistema hexadecimal los siguientes nmeros decimales:351910, 102410, 409510

6. Conversin de nmeros binarios a octales y viceversaObserva la tabla siguiente, con los siete primeros nmeros expresados en los sistemas decimal, binario y octal:DECIMALBINARIOOCTAL

00000

10011

20102

30113

41004

51015

61106

71117

Cada dgito de un nmero octal se representa con tres dgitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un nmero entre estos sistemas de numeracin equivale a "expandir" cada dgito octal a tres dgitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dgito octal.

Por ejemplo, para convertir el nmero binario1010010112a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:1012= 580012= 180112= 38y, de ese modo:1010010112= 5138

Ejercicio 9:Convierte los siguientes nmeros binarios en octales:11011012, 1011102, 110110112, 1011010112

La conversin de nmeros octales a binarios se hace, siguiendo el mismo mtodo, reemplazando cada dgito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el nmero octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dgitos:78= 111258= 101208= 0002y, por tanto:7508= 1111010002

Ejercicio 10:Convierte los siguientes nmeros octales en binarios:258,3728, 27538

7. Conversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversaDel mismo modo que hallamos la correspondencia entre nmeros octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dgito hexadecimal y cuatro dgitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

DECIMALBINARIOHEXADECIMAL

000000

100011

200102

300113

401004

501015

601106

701117

810008

910019

101010A

111011B

121100C

131101D

141110E

151111F

La conversin entre nmeros hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dgito hexadecimal a cuatro dgitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el nmero binario 1010011100112bastar con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:10102= A1601112= 71600112= 316y, por tanto:1010011100112= A7316

En caso de que los dgitos binarios no formen grupos completos de cuatro dgitos, se deben aadir ceros a la izquierda hasta completar el ltimo grupo. Por ejemplo:1011102= 001011102= 2E16

Ejercicio 11:Convierte a hexadecimales los siguientes nmeros binarios:10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112

La conversin de nmeros hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dgito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el nmero hexadecimal1F616hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

116= 00012F16= 11112616= 01102y, por tanto:1F616= 0001111101102

Ejercicio 12:Convierte a binario los nmeros hexadecimales siguientes:7A5D16, 101016, 8F8F16

ARITMTICA BINARIAOperaciones elementales con nmeros binarios

Suma de nmeros binariosResta de nmeros binarios

Complemento a dos Complemento a uno Restar con el complemento a dosMultiplicar nmeros binariosDividir nmeros binarios

La Unidad Aritmtico Lgica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritmticas, con datos numricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adicin, la sustraccin, el producto y la divisin. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeracin, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realizacin de las operaciones.

Suma en binarioPara aprender a sumar, con cinco o seis aos de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dgitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho ms sencilla que en decimal. Slo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:+01

001

110 + 1

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posicin siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:010 + 101 = 111 210+ 510= 710001101 + 100101 = 110010 1310+ 3710= 5010

1011011 + 1011010 = 10110101 9110+ 9010= 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 44310+ 31510= 75810

Ejercicio 1:Realiza las siguientes sumas de nmeros binarios:111011 + 110111110111 + 11100110111 + 11011 + 10111

Sustraccin en binarioLa tcnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operacin en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operacin de restar en decimal para comprender la operacin binaria, que es ms sencilla. Los trminos que intervienen en la resta se llamanminuendo,sustraendoydiferencia.

-01

001

11 + 10

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:0 0 = 01 0 = 11 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 10 - 1, es decir, 210 110= 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin siguiente. Veamos algunos ejemplos:111 101 = 010 710 510= 210

10001 01010 = 00111 1710 1010= 710

11011001 10101011 = 00101110 21710 17110= 4610

111101001 101101101 = 001111100 48910 36510= 12410

Ejercicio 2:Realiza las siguientes restas de nmeros binarios y comprueba los resultados convirtindolos al sistema decimal:111011 - 110111110111 - 1110011010111 - 11011 10011

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecnicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones: Dividir los nmeros largos en grupos.En el siguiente ejemplo, vemos cmo se divide una resta larga en tres restas cortas: 100110011101 1001 1001 1101 010101110010 010101110010 010000101011 0100 0010 1011

Calculando el complemento a dos del sustraendoi. Complemento a dosElcomplemento a dosde un nmeroN, compuesto pornbits, se define como:

C2N= 2n N

Veamos un ejemplo: tomemos el nmeroN = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:N = 4510 n = 6 26= 64y, por tanto:C2N= 64 45 = 19 = 0100112

Ejercicio 3:Calcula el complemento a dos de los siguientes nmeros:11001, 10001011, 110011010

ii. Complemento a unoElcomplemento a unode un nmeroN, compuesto pornbits es, por definicin, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:

C1N= C2N- 1y, por la misma razn:C2N= C1N+ 1

Calculemos elcomplemento a unodel mismo nmero del ejemplo anterior:siendoN = 101101, y su complemento a dosC2N= 010011C1N= C2N 1 = 010011 000001 = 010010

C1N= 010010

Da la sensacin de que calcular el complemento a uno no es ms que una forma elegante de comlicarse la vida, y que no va a ser ms sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es ms difcil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho ms sencillo de lo que parece.En realidad, elcomplemento a unode un nmero binario es el nmero resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho nmero. Por ejemplo si:N = 110100101

obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:C1N= 001011010y su complemento a dos es:C2N= C1N+ 1 = 001011011

es muy fcil!Veamos otro ejemplo de clculo de complementos. Sea:N = 0110110101

El complemento a uno es:C1N= 1001001010

y el complemento a dos es:C2N= 1001001011

iii. Restar en binario usando el complemento a dosY, por fin, vamos a ver cmo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos nmeros puede obtenersesumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:

Primer ejemplo:Hagamos la siguiente resta,91 46 = 45, en binario:

1011011 0101110 = 0101101

Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:

1011011 + 1010010 = 0101101

En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el nmero resultante no puede ser ms largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Segundo ejemplo:Hagamos esta otra resta,219 23 = 196, utilizando el complemento a dos:

21910= 110110112,2310= 000101112C223= 11101001

El resultado de la resta ser:11011011 + 11101001 = 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:110001002= 19610Qu fcil!

Ejercicio 4:Haz las siguientes restas binarias utilizando la tcnica del complemento a dos. Al terminar, comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal:11010001101 100011110110110011101 - 1110101

Multiplicacin binariaLa multiplicacin en binario es ms fcil que en cualquier otro sistema de numeracin. Como los factores de la multiplicacin slo pueden ser CEROS o UNOS, el producto slo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fciles de aprender:

x01

000

101

En un ordenador, sin embargo, la operacin de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programacin porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el nmero de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el nmero de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posicin superior, se cuentan las parejas de UNOS.Veamos, por ejemplo, una multiplicacin:

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:

3349 * 13 = 43537

correcto!

Ejercicio 5:Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal:10110101000101 x 101110100001111011 x 10011

Divisin binariaIgual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.Consideremos el siguiente ejemplo,42 : 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un dgito ms (1001 entre 100).Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenidouna vezen el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal.

Ejercicio 5:Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal:10110101000101 : 101110100001111011 : 10011

Luis GonzlezProfesor de Tecnologas de la InformacinI.E.S. Santa Eugenia (Madrid)

EJERCICIOS adicionales1. Realiza las siguientes sumas de nmeros octales:365 + 232732 + 126565 + 1773

2. Suma los siguientes nmeros hexadecimales:17A + 3C20F5 + 31B2E70C + 1AA7F

3. Resta los siguientes nmeros octales:365 - 232732 - 12651773 65

4. Realiza las siguientes restas de nmeros hexadecimales:17A - 3C20F5 - 31B2E70C 1AA7F