sin_2015_x_03

3

Preguntas propuestasPreguntas propuestas

3

ÁlgebraSemestral Intensivo UNIBoletín 3 Semestral Intensivo UNI 1ra. Revisión (20 septiembre, 2013 3:02 p.m.)

NIVEL BÁSICO

1. Si la suma de los n términos de una sucesión está dada por 2n2+n ∀ n ∈N, determine el término enésimo de la sucesión.

A) 4n+3 B) 4n+1 C) 4n+5D) 4(n+1) E) 4n – 1

2. Si la sucesión na nnb n

+ −− + 2 32 1

n ∈ N converge a 3.

Calcule la relación correcta entre a y b.

A) a – 3b=6 B) a – 3b=8 C) 3a – b=6D) 3b – a=8 E) a+3b=8

3. Respecto a las siguientes sucesiones n ∈ N.

I. n

nn

+ ≥1

1

II. n

nn

− ≥1

2

III. n2 n ≥ 1

La afirmación correcta.

A) I es acotada y crecienteB) II es acotada y crecienteC) III es acotada y crecienteD) I solo tiene cota superior

E) III solo tiene cota superior

4. Dadas las sucesiones

an = 15

725

37125

175625

; ; ; ; ...

Sucesiones reales

bn = 751

91125

; ; ; ...

cnn n

n = −4 3

5

2 2

2

indique las proposiciones verdaderas.

I. cn ⊂ an

II. b4337625

=

III. a bn n

n n

n⋅ = −16 9

25

A) todas B) solo I C) II y IIID) solo II E) solo III

5. Calcule el valor de convergencia de la siguiente sucesión.

232

43

54

8 27 64; ; ; ; ...

A) e B) e3 C) e2

D) 1 E) 0

6. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. 22n

n!

converge a 1.

II. nn

n

!

converge a e.

III. l msen( !)

ín

nn→∞

= 0

A) VVV B) FVV C) VFFD) FFV E) FVF

Aritmética+ –×÷∑ 4 Ω AA

β

− ∈ 2 1 33xB xZ

−

1

23a

b

≠: , 0nx x

R yy

αÁlgebra

4

Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3

7. Sea xn una sucesión definida de la siguiente manera

x

x xn n

1

1

1

152 5

=

= +( )

−

Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. La sucesión es acotada. II. xn es creciente. III. xn converge a 5/3.

A) FVF B) VVV C) VFVD) VFF E) VVF

NIVEL INTERMEDIO

8. Sean (an) ∧ (bn) sucesiones tal que an=an – 1+2n; a1=1 bn=(n2+n)n

Analice la convergencia de la sucesión bn a

n

n·

.

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/3D) 1 E) 0

9. Dada la sucesión an tal que annn = −13

,

determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. l mín

na→∞

= 13

II. an es creciente III. an es acotada

A) VVV B) VVF C) FVVD) VFV E) FFF

10. Según a y b números reales. Si se cumple que xn+1=axn+b, n=0; 1; 2; ... entonces

A) xn=n(x0+b) si a=1 y

x a xaa

bnn

n= + −

−

0

11

si a ≠ 1

B) xn=x0+nb si a=1 y

x a xaa

bnn

n= + −

−

0

11

si a ≠ 1

C) xn=nx0+bn si a=1

xn=(1 – n)x0+anb si a ≠ 1

D) xn=xn0+nb si a=1

x axaa

bn

n= + +

+

0

11

si a ≠ 1

E) xn=(1 – n)x0 – nb; si a=1 y

x a x

aa

b an

n= −( ) + −

+

≠1

11

10 si

UNI 2008 - I

11. Calcule el valor de convergencia de las siguien-tes sucesiones.

an

n n nn = +

+ + +

5 1

9 52 2

b n n n nn = + − + + 2 25 3 2

A) 5/4; 0 B) 3; 1 C) 5/4; 1D) 5/4; – 1 E) – 5/4; 1


annn = −13

; bnnn =

−3 2

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. bn es decreciente

II. an ≤ bn ∀n ∈ N

III. bn es acotada

A) VFV B) VFF C) VVV

D) FVV E) FVF

2

Álgebra

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822

3

ÁlgebraSemestral Intensivo UNIBoletín 3 Semestral Intensivo UNI 1ra. Revisión (20 septiembre, 2013 3:02 p.m.)

NIVEL BÁSICO

1. Si la suma de los n términos de una sucesión está dada por 2n2+n ∀ n ∈N, determine el término enésimo de la sucesión.

A) 4n+3 B) 4n+1 C) 4n+5D) 4(n+1) E) 4n – 1

2. Si la sucesión na nnb n

+ −− + 2 32 1

n ∈ N converge a 3.

Calcule la relación correcta entre a y b.

A) a – 3b=6 B) a – 3b=8 C) 3a – b=6D) 3b – a=8 E) a+3b=8

3. Respecto a las siguientes sucesiones n ∈ N.

I. n

nn

+ ≥1

1

II. n

nn

− ≥1

2

III. n2 n ≥ 1

La afirmación correcta.

A) I es acotada y crecienteB) II es acotada y crecienteC) III es acotada y crecienteD) I solo tiene cota superior

E) III solo tiene cota superior


an = 15

725

37125

175625

; ; ; ; ...

Sucesiones reales

bn = 751

91125

; ; ; ...

cnn n

n = −4 3

5

2 2

2

indique las proposiciones verdaderas.

I. cn ⊂ an

II. b4337625

=

III. a bn n

n n

n⋅ = −16 9

25

A) todas B) solo I C) II y IIID) solo II E) solo III

5. Calcule el valor de convergencia de la siguiente sucesión.

232

43

54

8 27 64; ; ; ; ...

A) e B) e3 C) e2

D) 1 E) 0

6. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. 22n

n!

converge a 1.

II. nn

n

!

converge a e.

III. l msen( !)

ín

nn→∞

= 0

A) VVV B) FVV C) VFFD) FFV E) FVF

Aritmética+ –×÷∑ 4 Ω AA

β

− ∈ 2 1 33xB xZ

−

1

23a

b

≠: , 0nx x

R yy

αÁlgebra

4


7. Sea xn una sucesión definida de la siguiente manera

x

x xn n

1

1

1

152 5

=

= +( )

−

Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. La sucesión es acotada. II. xn es creciente. III. xn converge a 5/3.

A) FVF B) VVV C) VFVD) VFF E) VVF

NIVEL INTERMEDIO

8. Sean (an) ∧ (bn) sucesiones tal que an=an – 1+2n; a1=1 bn=(n2+n)n

Analice la convergencia de la sucesión bn a

n

n·

.

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/3D) 1 E) 0

9. Dada la sucesión an tal que annn = −13

,

determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. l mín

na→∞

= 13

II. an es creciente III. an es acotada

A) VVV B) VVF C) FVVD) VFV E) FFF

10. Según a y b números reales. Si se cumple que xn+1=axn+b, n=0; 1; 2; ... entonces

A) xn=n(x0+b) si a=1 y

x a xaa

bnn

n= + −

−

0

11

si a ≠ 1

B) xn=x0+nb si a=1 y

x a xaa

bnn

n= + −

−

0

11

si a ≠ 1

C) xn=nx0+bn si a=1

xn=(1 – n)x0+anb si a ≠ 1

D) xn=xn0+nb si a=1

x axaa

bn

n= + +

+

0

11

si a ≠ 1

E) xn=(1 – n)x0 – nb; si a=1 y

x a x

aa

b an

n= −( ) + −

+

≠1

11

10 si

UNI 2008 - I

11. Calcule el valor de convergencia de las siguien-tes sucesiones.

an

n n nn = +

+ + +

5 1

9 52 2

b n n n nn = + − + + 2 25 3 2

A) 5/4; 0 B) 3; 1 C) 5/4; 1D) 5/4; – 1 E) – 5/4; 1


annn = −13

; bnnn =

−3 2

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. bn es decreciente

II. an ≤ bn ∀n ∈ N

III. bn es acotada

A) VFV B) VFF C) VVV

D) FVV E) FVF

3

Álgebra


5

Semestral Intensivo UNI Álgebra

13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.

I. La sucesión 2nn!

es convergente.

II. La sucesión 2 30n

n!

es divergente.

III. La sucesión nn

23 53 1

++

es convergente.

A) FVF B) VFV C) FFFD) FVV E) VVV

14. Si ann ∈ N es una sucesión definida por

a nn ∈

N=32

1110

3130

6968

2 10 30 68

; ; ; ....

halle el valor de convergencia.

A) 2/e B) 4e–3 C) 8e–1

D) e E) 3/5e

15. Sea anuna sucesión, tal que

annn=++1

2 1 y l mín

na L→∞

= si n1 es el menor número

natural en nn

L1

1

12 1

0 01++

− < , ; halle n1 y dé la

suma de sus cifras.

A) 7 B) 9 C) 11D) 5 E) 6


I. La sucesión 2 13 1

nn

+−

es monótona.

II. La sucesión n

n+

1

2 es decreciente.

III. Si annn = + + + + −

+ + + + +2 5 8 3 11 3 5 2 1

... ( )... ( )

entonces

converge a 32

.

A) VFV B) FVV C) FFVD) FFF E) VVV

17. Determine el valor de convergencia de la si-guiente sucesión.

(3)4; 42

5

; 53

6

;

64

7

; ...

A) 1 B) 0 C) eD) e – 1 E) e2


I. Si (an) y (bn) son sucesiones divergentes y cn=an+bn, entonces (cn) es divergente.

II. Si (an) diverge a+∞ y (bn) diverge a – ∞, entonces (an+bn) converge a cero.

III. Si las sucesiones (an) y (bn) son divergentes entonces (an×bn) es divergente.

A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFF

19. Sea xn la sucesión definida por

xnnn = × × × × −

× × × ×2 5 8 3 13 6 9 3

... ( )...

indique las proposiciones verdaderas. I. xn es monótona. II. xn es acotada. III. La sucesión es convergente.

A) todas B) solo I C) solo IID) II y III E) ninguna

NIVEL AVANZADO


I. La sucesión an cumple que an < an+1 < 0 ∀n ∈ Z+, entonces es convergente.

II. Sea la sucesión de términos positivos an

tal que aan

n

+ <2 1; ∀n ∈ Z+, entonces es

convergente. III. Sea la sucesión an tal que 0 < an+3 < an;

∀n ∈ Z+, entonces existe un subsucesión de an tal que se convergente.

A) FVV B) FVF C) VVVD) VFV E) FFF

6


21. Se define la sucesión

x n x x mx m x pn n n n ∈ = = + −( ) ++N 1 12 2 20 1y ,

m; n; p ∈ Z, halle la afirmación correcta.

A) xn+3=2mxn+2 – xn

B) xn=2mxn+1 – xn+2

C) xn+2=2mxn+1 – xn

D) xn+4=2mxn+3 – xn+2

E) xn+5=2mxn+4 – xn+3

22. Indique el valor de convergencia de la sucesión an tal que

an= +

+

+

1

13

113

113

21 22

+

... 1

13

2n

A) 3/2 B) 4/3 C) 2/3

D) 6/5 E) 1/3

23. Se defina la siguiente sucesión

an

nn

n

= +

+

11

12

· ( )senπ

indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.

I. La sucesión es convergente a e.

II. La sucesión (ak)/k=4º +2 converge a – e.

III. La sucesión (ak)/k=4n – 1 ∧ n ∈ Z es con-vergente.

A) VFV B) FFF C) FVVD) FFV E) VVF

24. Sea la sucesión (an) tal que

a n n n n nnn n n n n= + + + ++ + + +( ) ·( ) ·( ) ...( )1 2 311

12

13

1

A) convergeB) diverge a + ∞C) converge a eD) diverge a – ∞E) es acotada

25. Sea la sucesión an de números reales defi-nida por

a1=1; an+1=1+a1 · a2 · a3...an (n ≥ 1) determine

el valor de 1

1ann=

∞

∑ .

A) 1 B) 2 C) 3D) 1/4 E) 5/2

4

Álgebra


5



I. La sucesión 2nn!

es convergente.

II. La sucesión 2 30n

n!

es divergente.

III. La sucesión nn

23 53 1

++

es convergente.

A) FVF B) VFV C) FFFD) FVV E) VVV

14. Si ann ∈ N es una sucesión definida por

a nn ∈

N=32

1110

3130

6968

2 10 30 68

; ; ; ....

halle el valor de convergencia.

A) 2/e B) 4e–3 C) 8e–1

D) e E) 3/5e

15. Sea anuna sucesión, tal que

annn=++1

2 1 y l mín

na L→∞

= si n1 es el menor número

natural en nn

L1

1

12 1

0 01++

− < , ; halle n1 y dé la

suma de sus cifras.

A) 7 B) 9 C) 11D) 5 E) 6


I. La sucesión 2 13 1

nn

+−

es monótona.

II. La sucesión n

n+

1

2 es decreciente.

III. Si annn = + + + + −

+ + + + +2 5 8 3 11 3 5 2 1

... ( )... ( )

entonces

converge a 32

.

A) VFV B) FVV C) FFVD) FFF E) VVV

17. Determine el valor de convergencia de la si-guiente sucesión.

(3)4; 42

5

; 53

6

;

64

7

; ...

A) 1 B) 0 C) eD) e – 1 E) e2


I. Si (an) y (bn) son sucesiones divergentes y cn=an+bn, entonces (cn) es divergente.

II. Si (an) diverge a+∞ y (bn) diverge a – ∞, entonces (an+bn) converge a cero.

III. Si las sucesiones (an) y (bn) son divergentes entonces (an×bn) es divergente.

A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFF

19. Sea xn la sucesión definida por

xnnn = × × × × −

× × × ×2 5 8 3 13 6 9 3

... ( )...

indique las proposiciones verdaderas. I. xn es monótona. II. xn es acotada. III. La sucesión es convergente.

A) todas B) solo I C) solo IID) II y III E) ninguna

NIVEL AVANZADO


I. La sucesión an cumple que an < an+1 < 0 ∀n ∈ Z+, entonces es convergente.

II. Sea la sucesión de términos positivos an

tal que aan

n

+ <2 1; ∀n ∈ Z+, entonces es

convergente. III. Sea la sucesión an tal que 0 < an+3 < an;

∀n ∈ Z+, entonces existe un subsucesión de an tal que se convergente.

A) FVV B) FVF C) VVVD) VFV E) FFF

6


21. Se define la sucesión

x n x x mx m x pn n n n ∈ = = + −( ) ++N 1 12 2 20 1y ,

m; n; p ∈ Z, halle la afirmación correcta.

A) xn+3=2mxn+2 – xn

B) xn=2mxn+1 – xn+2

C) xn+2=2mxn+1 – xn

D) xn+4=2mxn+3 – xn+2

E) xn+5=2mxn+4 – xn+3

22. Indique el valor de convergencia de la sucesión an tal que

an= +

+

+

1

13

113

113

21 22

+

... 1

13

2n

A) 3/2 B) 4/3 C) 2/3

D) 6/5 E) 1/3

23. Se defina la siguiente sucesión

an

nn

n

= +

+

11

12

· ( )senπ

indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.

I. La sucesión es convergente a e.

II. La sucesión (ak)/k=4º +2 converge a – e.

III. La sucesión (ak)/k=4n – 1 ∧ n ∈ Z es con-vergente.

A) VFV B) FFF C) FVVD) FFV E) VVF

24. Sea la sucesión (an) tal que

a n n n n nnn n n n n= + + + ++ + + +( ) ·( ) ·( ) ...( )1 2 311

12

13

1

A) convergeB) diverge a + ∞C) converge a eD) diverge a – ∞E) es acotada

25. Sea la sucesión an de números reales defi-nida por

a1=1; an+1=1+a1 · a2 · a3...an (n ≥ 1) determine

el valor de 1

1ann=

∞

∑ .

A) 1 B) 2 C) 3D) 1/4 E) 5/2

5

Álgebra


7

Semestral Intensivo UNI Álgebra 12SEMANA

NIVEL BÁSICO

1. En la siguiente suma

Sn

= × + × + ×2 4 4 6 6 8términos

– ..., halle el valor de n

para que S sea igual a 2912.

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

2. Indique la secuencia correcta verdad (V) o falsedad (F) de las siguiente afirmaciones.

I. ( )( )

kn n

nk

n+ = − +

=∑ 2

12

21

II. Si ( )kk

n+ =

=∑ 1 271

entonces n=9.

III. 13

123 1

3

100

1001

100

= −

=∑

k

k

A) FFF B) VVV C) FVFD) VVF E) FFV

3. Halle el valor de convergencia de la serie in-finita.

13

115

135

163

+ + + + ...

A) 1/3 B) 1/2 C) 2/5D) 4 E) 6

4. Halle la traza de M t, tal que

Mk kk k kk

=−

× +

=∑ 2 1

2 11

10

( )

A) 295 B) 503 C) 495D) 100 E) 325

5. Determine el valor de la serie

4 2

2

nnn

−

=

∞

∑ !

A) 2e B) 3e C) 4eD) e E) e+2


I. La serie n

nn ( )+=

∞

∑ 11 converge a 1.

II. La serie nn

n 2 11

−=

∞

∑ converge a 0.

III. La serie 1

2 lognn=

∞

∑ es divergente.

A) VVF B) FFV C) VVVD) VFV E) FVV

NIVEL INTERMEDIO

7. Halle el valor de la siguiente suma.

S = + + + +13

115

135

1399

...

A) 99/100 B) 100/101 C) 199/201D) 10/21 E) 300/301

8. Halle el valor de convergencia de la suma

Sk kk

=+ −=

∞

∑ 75 2 5 31( )( )

A) 7/9 B) 7/8 C) 7/10D) 10/7 E) 1/10

9. Determine la siguiente suma.

S = + + +54

1316

3564

...

A) 12/5 B) 11/3 C) 6D) 5 E) 4

Series numéricas

8


10. Si 1

1− x es la suma de una serie geométrica

infinita, cuyo primer término es 1 y su razón es x con –1 < x < 1, halle la suma de la serie de sus cubos.

A) 1

1 2−

+x

x B)

xx

2 1− C)

1

1 4− x

D) 1

1 3− x E)

1

1 2− x

11. Si an n

kk

n= +

=∑ ( )1

21, halle el valor de π

n

n

n

aa=

∞

+

1 1.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 1/2 E) 0

12. Dadas las series.

I. 1

1 nn=

∞

∑

II. 1

2 221n nn + +=

∞

∑

III. n

nn 3 11 −=

∞

∑

Indique cuáles convergen.

A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I y III

13. Si a an n kk

= +=

∞

∑1

, donde a1=1, calcule el valor

de 3 2

1ak

k( )

=

∞

∑ .

A) 3 B) 36/5 C) 16D) 12 E) 24

14. Indique el equivalente de akk=∑3

20 si se sabe que

an=2n–2 – n.

A) 21

18k

kk−( )

=∑ B) 2

0

20k

kk−( )

=∑ C) 2 2

1

18k

kk− +( )

=∑

D) 2 21

18k

kk− −( )

=∑ E) 2 2

1

18k

kk+ −( )

=∑

15. En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cua-drado uniendo los puntos medios de las lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefi-nidamente. Entonces, la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será

A) 64 2 2−( )B) 48 2 2−( )C) 32 1 2+( )D) 16 2 2+( )E) no se puede calcular

UNI 2007 - II

16. Halle el punto de convergencia de la serie.

123 n nn ( )!−=

+∞

∑

A) 0 B) 1 C) 1/2

D) 1/3 E) 1/6

17. Determine el valor de

Sk nn

k

n

( ) =−

++

=

∑ 2

4 1

12 12

1

A) n

n2 1+ B) 2

3 1n

n + C) 32 1

nn +

D) 2 12 1

nn

−+ E)

nn++1

2 1UNI 2005 - I

6

Álgebra


8


10. Si 1

1− x es la suma de una serie geométrica

infinita, cuyo primer término es 1 y su razón es x con –1 < x < 1, halle la suma de la serie de sus cubos.

A) 1

1 2−

+x

x B)

xx

2 1− C)

1

1 4− x

D) 1

1 3− x E)

1

1 2− x

11. Si an n

kk

n= +

=∑ ( )1

21, halle el valor de π

n

n

n

aa=

∞

+

1 1.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 1/2 E) 0

12. Dadas las series.

I. 1

1 nn=

∞

∑

II. 1

2 221n nn + +=

∞

∑

III. n

nn 3 11 −=

∞

∑

Indique cuáles convergen.

A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I y III

13. Si a an n kk

= +=

∞

∑1

, donde a1=1, calcule el valor

de 3 2

1ak

k( )

=

∞

∑ .

A) 3 B) 36/5 C) 16D) 12 E) 24

14. Indique el equivalente de akk=∑3

20 si se sabe que

an=2n–2 – n.

A) 21

18k

kk−( )

=∑ B) 2

0

20k

kk−( )

=∑ C) 2 2

1

18k

kk− +( )

=∑

D) 2 21

18k

kk− −( )

=∑ E) 2 2

1

18k

kk+ −( )

=∑

15. En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cua-drado uniendo los puntos medios de las lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefi-nidamente. Entonces, la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será

A) 64 2 2−( )B) 48 2 2−( )C) 32 1 2+( )D) 16 2 2+( )E) no se puede calcular

UNI 2007 - II

16. Halle el punto de convergencia de la serie.

123 n nn ( )!−=

+∞

∑

A) 0 B) 1 C) 1/2

D) 1/3 E) 1/6

17. Determine el valor de

Sk nn

k

n

( ) =−

++

=

∑ 2

4 1

12 12

1

A) n

n2 1+ B) 2

3 1n

n + C) 32 1

nn +

D) 2 12 1

nn

−+ E)

nn++1

2 1UNI 2005 - I

7

Álgebra


9


18. Calcule el valor de convergencia.

1

21

1 ( )n ii

nn +

=

=

+∞

∑∑

A) 1 B) 0 C) 1/2

D) 3/2 E) 1/4


I. Si la serie a bn nn

+( )=

+∞

∑1

converge entonces

a b a bn nn

n nnn

+( ) = +=

+∞

=

+∞

=

+∞

∑ ∑∑1 11

.

II. Si la serie a bn nn

+( )=

+∞

∑1

diverge a +∞, enton-

ces la serie ann=

+∞

∑1

y bnn=

+∞

∑1

son divergentes.

III. La serie n n n

n n nn

( )( )( )( )( )

+ +− − −=

+∞

∑ 1 21 2 34

es conver-

gente.

A) VVV B) VFV C) VFF

D) FVV E) FFF


I. La serie zn

p

n

=

+∞

∑1

es convergente si p > 1.

II. La serie 321 kk=

∞

∑ es convergente.

III. La serie e

i i ii3

0 3 1 1+ + +=

∞

∑( )

es convergente.

A) VVV

B) VFF

C) VFV

D) FVV

E) FFV

NIVEL AVANZADO

21. Determine el valor de convergencia de la serie.

k k k k

k kk

− − + − +

+

=

∞

∑2

23

1 1

A) 32 B) −

+

3 12

C) 1 32

+

D) 2 13+

E) 12 13

− +

22. Indique el punto de convergencia de la suce-sión an dada por

an

k

kk

n=

−

−

=∑

15

115

2 1

21

A) 2 B) 5 C) 1/2D) 1/4 E) 1/5

23. Aplicando el criterio de la razón determine la variación de x en la serie

( )!

· · ·...·( )·

n

n x nn

−+ +

=

∞

∑ 1

4 7 10 3 1 2 11

para que sea convergente.

A) ⟨0; +∞⟩

B) ⟨– 1; 0⟩ ∪ ⟨0; 1⟩

C) 33; + ∞

D) −∞ − ∪ + ∞; ;33

33

E) −∞; 3

10


24. Para la sucesión definida por

Sn

k kn

k

=+

=

∑ 1

21

2; k ≥ 1 se puede afirmar que

A) 1 ≤ Sk

B) 14

12

≤ <Sk

C) 18

12

≤ ≤Sk

D) 12

1≤ <Sk

E) 12

1< <SkUNI 2006-II

25. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. 13

23 5

33 5 7

! ! !...+

×+

× ×+ es convergente.

II. 3 3

0

n

n ne

!=

=

∞

∑

III. Si n nne

n

! =

2π (aproximadamente cuando

n es muy grande) entonces l m!

ín

nnn e→∞

= 1 .

A) FVV B) FFV C) VVVD) FVF E) FFF

8

Álgebra


10


24. Para la sucesión definida por

Sn

k kn

k

=+

=

∑ 1

21

2; k ≥ 1 se puede afirmar que

A) 1 ≤ Sk

B) 14

12

≤ <Sk

C) 18

12

≤ ≤Sk

D) 12

1≤ <Sk

E) 12

1< <SkUNI 2006-II

25. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. 13

23 5

33 5 7

! ! !...+

×+

× ×+ es convergente.

II. 3 3

0

n

n ne

!=

=

∞

∑

III. Si n nne

n

! =

2π (aproximadamente cuando

n es muy grande) entonces l m!

ín

nnn e→∞

= 1 .

A) FVV B) FFV C) VVVD) FVF E) FFF

9

Álgebra


11


NIVEL BÁSICO

1. Sea A una matriz definida por A =

1 20 3

si

n ∈ N y la suma de los elementos de la matriz

An es 486, halle el valor de n.

A) 5 B) 4 C) 3D) 7 E) 9

2. Resuelva el siguiente sistema.

1 2 3 4 50 1 2 3 10 0 1 3 40 0 0 1 20 0 0 0 3

− −

xyzwm

=

432301418

indique el valor de x+y+z+w+m.

A) 38 B) 53 C) 7D) 11 E) 31

3. Si Aaa b

=+

− +

2 1 02 2

a una matriz escalar y

Bm n

=

1 2 es una matriz involutiva (B2=I), el

valor de T=a · b · m · n.

A) 60 B) 48 C) 36D) 24 E) 12

4. Si A y B son dos matrices definidas por

Apq

=−

11

; B =−−

1 12 1

que satisfacen la

condición (A+B)(A – B)=A2 – B2, halle el valor de M=p+q.

A) – 7 B) – 5 C) – 3D) 1 E) 3

5. Si la matriz A satisface las ecuaciones matri-ciales

( )32 10 2

2A I+ =

( )31 00 1

2A I− =−

halle la traza de la matriz A2.

A) 0 B) 2/72 C) 5/72D) 11/72 E) 1

6. Sea N =−

00α

α entonces N5 es

A) a5

5

0

α α

B)

0

0

5

5

−

α

α C)

α

α

5

5

0

0 −

D) 0

0

5

5

α

α−

E)

0

0

5

5

α

α

UNI 2000 - I

NIVEL INTERMEDIO

7. Determine la suma de los elementos de la matriz A10.

AT =

3 11 3

A) 221 B) 298 C) 2101

D) 212 E) 230

8. Halle la suma de los elementos de la matriz B, tal que

B=A+A2+A3+...+An; n ≥ 2 ∧ n ∈ N.

A =−

1 20 1

A) n n( )−1

2 B) n(n+1) C) – n(n+1)

D) n(1 – n) E) n n( )1

2−

Matrices

12


9. Sean A y B dos matrices definidas por

A a a

i j

i j

i jij ij= =

=<>

×( )

;;,

2 3

012

B b bi j

i jij ij= ==≠

×( );;3 201

Halle la suma de elementos de la matriz At+B.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

10. Sea la matriz A=(aij)2×3 definida de la siguien-te forma.

a

i j i j

ij i j

i j i jij =

− >=

+ <

;;,

Halle la traza de la matriz AAt.

A) 15 B) 18 C) 48D) 62 E) 68

11. Si las dos siguientes matrices (de orden 2) son iguales.

Ai j i i

i j i j=

+ ≥− <

sisi

;

Ba c c b

b a=

+ + +

+ +

2 2

2

2 3 2

2 4 4

Determine el valor de a3+b3+c3 si a; b; c ⊂ R.

A) – 3 B) 3 C) – 2D) – 4 E) 4

12. Determine la forma de las matrices de orden 2×2, tal que sean nilpotente de grado dos.

A)

a b

ab

a−

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

B)

ab b

ab

ab− −

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

C)

b a

ab

b− −

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

D)

a b

ab

a2

−

; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

E)

a b

ab

a− −

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

13. Dadas las matrices no nulas

A A=− −

−

1 112

0 y B =

+

−

1 23 1

12

0

013

1

halle

la matriz x si se sabe que AxB =

1 20 0

.

A)

0 016

13

B)

0 016

13

−

C) −

16

13

0 0

D)

0 013

16

E) 0

16

016

−

10

Álgebra


11


NIVEL BÁSICO

1. Sea A una matriz definida por A =

1 20 3

si

n ∈ N y la suma de los elementos de la matriz

An es 486, halle el valor de n.

A) 5 B) 4 C) 3D) 7 E) 9

2. Resuelva el siguiente sistema.

1 2 3 4 50 1 2 3 10 0 1 3 40 0 0 1 20 0 0 0 3

− −

xyzwm

=

432301418

indique el valor de x+y+z+w+m.

A) 38 B) 53 C) 7D) 11 E) 31

3. Si Aaa b

=+

− +

2 1 02 2

a una matriz escalar y

Bm n

=

1 2 es una matriz involutiva (B2=I), el

valor de T=a · b · m · n.

A) 60 B) 48 C) 36D) 24 E) 12

4. Si A y B son dos matrices definidas por

Apq

=−

11

; B =−−

1 12 1

que satisfacen la

condición (A+B)(A – B)=A2 – B2, halle el valor de M=p+q.

A) – 7 B) – 5 C) – 3D) 1 E) 3

5. Si la matriz A satisface las ecuaciones matri-ciales

( )32 10 2

2A I+ =

( )31 00 1

2A I− =−

halle la traza de la matriz A2.

A) 0 B) 2/72 C) 5/72D) 11/72 E) 1

6. Sea N =−

00α

α entonces N5 es

A) a5

5

0

α α

B)

0

0

5

5

−

α

α C)

α

α

5

5

0

0 −

D) 0

0

5

5

α

α−

E)

0

0

5

5

α

α

UNI 2000 - I

NIVEL INTERMEDIO

7. Determine la suma de los elementos de la matriz A10.

AT =

3 11 3

A) 221 B) 298 C) 2101

D) 212 E) 230

8. Halle la suma de los elementos de la matriz B, tal que

B=A+A2+A3+...+An; n ≥ 2 ∧ n ∈ N.

A =−

1 20 1

A) n n( )−1

2 B) n(n+1) C) – n(n+1)

D) n(1 – n) E) n n( )1

2−

Matrices

12


9. Sean A y B dos matrices definidas por

A a a

i j

i j

i jij ij= =

=<>

×( )

;;,

2 3

012

B b bi j

i jij ij= ==≠

×( );;3 201

Halle la suma de elementos de la matriz At+B.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

10. Sea la matriz A=(aij)2×3 definida de la siguien-te forma.

a

i j i j

ij i j

i j i jij =

− >=

+ <

;;,

Halle la traza de la matriz AAt.

A) 15 B) 18 C) 48D) 62 E) 68

11. Si las dos siguientes matrices (de orden 2) son iguales.

Ai j i i

i j i j=

+ ≥− <

sisi

;

Ba c c b

b a=

+ + +

+ +

2 2

2

2 3 2

2 4 4

Determine el valor de a3+b3+c3 si a; b; c ⊂ R.

A) – 3 B) 3 C) – 2D) – 4 E) 4

12. Determine la forma de las matrices de orden 2×2, tal que sean nilpotente de grado dos.

A)

a b

ab

a−

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

B)

ab b

ab

ab− −

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

C)

b a

ab

b− −

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

D)

a b

ab

a2

−

; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

E)

a b

ab

a− −

2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0

13. Dadas las matrices no nulas

A A=− −

−

1 112

0 y B =

+

−

1 23 1

12

0

013

1

halle

la matriz x si se sabe que AxB =

1 20 0

.

A)

0 016

13

B)

0 016

13

−

C) −

16

13

0 0

D)

0 013

16

E) 0

16

016

−

11

Álgebra


13



I. AB2AA3B=A5B3

II. (A+B)(A+I)=A2+(B+I)A+B III. (A – I)3=A3 – 3A2+3A – I Considere A, B e I matrices cuadradas de igual

orden, además, I es la matriz identidad.

A) VVV B) VFF C) FVVD) FFF E) FFV

15. Dada la matriz

A =

0 1 00 0 11 0 0

Halle A100.

A) I3 B) A C) A2

D) – A E) O3

16. Si

A =

1 1 10 1 10 0 1

Determine el equivalente de An.

A)

11

20 10 0 1

nn n

n

( )+

B)

1 10 10 0 1

n n nn

( )+

C)

1 11

20 10 0 1

n n

n

( )+

D)

1 01

20 1 00 0 1

n n( )+

E)

1 20 1 00 0 1

n n n( )+

17. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-

ponda.

I. Si A es una matriz cuadrada, entonces A+At

es simétrica.

II. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de

una matriz simétrica y de una matriz antisi-

métrica.

III. Sea A una matriz cuadrada. Si A es involuti-

va, entonces 12( )I A− es idempotente.

A) VVF B) VFV C) VVV

D) FVV E) FFF

18. Si fx x x x

x( ) ! ! ! !...= + + + + +1

1 2 3 4

2 3 4 y

A =− −

− −

1 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 1

entonces determine f(A).

A) I+A+A2 B) I – A+A2 C) I+AD) I E) A

19. Sean las matrices

A =−

cos sensen cos

θ θθ θ

B=A×At

Calcule f(B) si f(x)=2x6+1.

A) I B) 4I C) 2ID) 3I E) B

14


NIVEL AVANZADO

20. Si Aa b

c=

10 10 0 1

y N=A – I3, señale cuáles son

las proposiciones verdaderas. I. N es una matriz nilpotente de grado de

nilpotencia 3. II. A es invertible. III. La inversa de I+N es I – N+N2 – N3.

A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo II E) todas


U =

1 2 12 4 21 2 1

; V =−

−

1 0 10 0 01 0 1

Q=aU+bV donde b ∈ R. Los valores de a, b para los cuales existen los números p, q tales que simultáneamente se cumple

Q p×

= ×

121

121

Q q×−

= ×−

101

101

son

A) solamente a=b=0.B) solamente a=0; b arbitrario.C) solamente b=0; a arbitrario.D) no existe tales números.E) a y b son arbitrarios.

UNI 2002 - II

22. Sea A=(aij)3×3 tal que

ai j

i jij =≥<

01;;

, halle Ak

k=∑1

10.

A) 5A+1 B) A+A2 C) A2+ID) I+A+A2 E) I+9A

23. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Indi-que verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. Si A3=I, entonces A=I. II. (a AB+bA)t=a Atbt+bAt, además; a y b son

números reales. III. traz(A×B)=traz A×traz B.

A) VVV B) VFF C) FFVD) FVF E) FFF

24. Indique las proposiciones verdaderas. Conside-re que A y B son matrices cuadradas del mismo orden.

I. Si A2+B2=2AB entonces A=B. II. Si AB=BA entonces AB3=B3A. III. Si A y B son matrices triangulares inferiores,

entonces AB es una matriz triangular inferior.

A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo III E) todas

25. Si tenemos que

B =−

cos sen

sen cos

π π

π π3 6

6 3

Determine P(B) tal que P(x)=16x8 – 1.

A) 1 10 1

B)

12

12

12

12

−

C)

13

13

13

13

−

D) 1 00 1

E)

0 00 0

12

Álgebra


13



I. AB2AA3B=A5B3

II. (A+B)(A+I)=A2+(B+I)A+B III. (A – I)3=A3 – 3A2+3A – I Considere A, B e I matrices cuadradas de igual

orden, además, I es la matriz identidad.

A) VVV B) VFF C) FVVD) FFF E) FFV

15. Dada la matriz

A =

0 1 00 0 11 0 0

Halle A100.

A) I3 B) A C) A2

D) – A E) O3

16. Si

A =

1 1 10 1 10 0 1

Determine el equivalente de An.

A)

11

20 10 0 1

nn n

n

( )+

B)

1 10 10 0 1

n n nn

( )+

C)

1 11

20 10 0 1

n n

n

( )+

D)

1 01

20 1 00 0 1

n n( )+

E)

1 20 1 00 0 1

n n n( )+

17. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-

ponda.

I. Si A es una matriz cuadrada, entonces A+At

es simétrica.

II. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de

una matriz simétrica y de una matriz antisi-

métrica.

III. Sea A una matriz cuadrada. Si A es involuti-

va, entonces 12( )I A− es idempotente.

A) VVF B) VFV C) VVV

D) FVV E) FFF

18. Si fx x x x

x( ) ! ! ! !...= + + + + +1

1 2 3 4

2 3 4 y

A =− −

− −

1 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 1

entonces determine f(A).

A) I+A+A2 B) I – A+A2 C) I+AD) I E) A


A =−

cos sensen cos

θ θθ θ

B=A×At

Calcule f(B) si f(x)=2x6+1.

A) I B) 4I C) 2ID) 3I E) B

14


NIVEL AVANZADO

20. Si Aa b

c=

10 10 0 1

y N=A – I3, señale cuáles son

las proposiciones verdaderas. I. N es una matriz nilpotente de grado de

nilpotencia 3. II. A es invertible. III. La inversa de I+N es I – N+N2 – N3.

A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo II E) todas


U =

1 2 12 4 21 2 1

; V =−

−

1 0 10 0 01 0 1

Q=aU+bV donde b ∈ R. Los valores de a, b para los cuales existen los números p, q tales que simultáneamente se cumple

Q p×

= ×

121

121

Q q×−

= ×−

101

101

son

A) solamente a=b=0.B) solamente a=0; b arbitrario.C) solamente b=0; a arbitrario.D) no existe tales números.E) a y b son arbitrarios.

UNI 2002 - II

22. Sea A=(aij)3×3 tal que

ai j

i jij =≥<

01;;

, halle Ak

k=∑1

10.

A) 5A+1 B) A+A2 C) A2+ID) I+A+A2 E) I+9A

23. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Indi-que verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. Si A3=I, entonces A=I. II. (a AB+bA)t=a Atbt+bAt, además; a y b son

números reales. III. traz(A×B)=traz A×traz B.

A) VVV B) VFF C) FFVD) FVF E) FFF

24. Indique las proposiciones verdaderas. Conside-re que A y B son matrices cuadradas del mismo orden.

I. Si A2+B2=2AB entonces A=B. II. Si AB=BA entonces AB3=B3A. III. Si A y B son matrices triangulares inferiores,

entonces AB es una matriz triangular inferior.

A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo III E) todas

25. Si tenemos que

B =−

cos sen

sen cos

π π

π π3 6

6 3

Determine P(B) tal que P(x)=16x8 – 1.

A) 1 10 1

B)

12

12

12

12

−

C)

13

13

13

13

−

D) 1 00 1

E)

0 00 0

13

Álgebra


15


NIVEL BÁSICO

1. Si A es una matriz definida por A=(aij)3×3 tal

que a

i j i j

i j i j

j i i jij =

− <+ =

− >

2

2

,,,

halle el valor del det(A).

A) 40 B) 42 C) 44D) 46 E) 48

2. Si se define que

Py y yy y xy y x

x y( ; ) = −− −

Determine P(1; 1)+P(2; 1)++P(3; 1)+...+P(10; 1).

A) 124 B) 140 C) 130D) 90 E) 120

3. Resuelva la siguiente ecuación matricial

6 52 2

3 02 2

11

11

−

=

xT

Luego, indique (|x|x+x+1) – 1.

A)

234

43

0−

B)

134

43

1− −

C)

234

43

1−

Determinantes

D)

234

43

1− −

E)

034

43

2−

4. Si a, b y c son constantes positivas, entonces el valor de x tal que

a x x xx b x xx x c x

++

+= 0 es

A) abc

ab bc ac+ +

B) −+ +abc

ab bc ac

C) − + +abc

a b c

D) abc

a b c+ +

E) abcUNI 1997 - I

5. El valor del determinante

F

a a

b b

c c

=

2

2

2

1

1

1

es

A) (a – b)(b – c)(c – a)B) (a – b)(c – b)(a+c)C) (b – a)(b+c)(a – c)D) (b – a)(b – c)(a – c)E) (a – b)(b – c)(a – c)

UNI 2004 - II

16


6. Si tenemos que

An m n

mm n=

− −

∧ ⊂0 1 21 1

; Z+ y |A+I|=24

Determine la suma de los posibles valores de n.

A) 12 B) 36 C) 16D) 22 E) 32

NIVEL INTERMEDIO

7. Sean a y b números enteros positivos pares, con estos números se forma la matriz.

Aa b a

b=

− −

0 1 21 1

si det(A+I)=12

(I: la matriz identidad), halle el determinante de la matriz.

a a

b b

22

A) – 12 B) – 10 C) 10D) 12 E) 16

8. Si E es una matriz definida por

E =

5 6 7 88 5 6 77 8 5 66 7 8 5

halle el det(E).

A) 0 B) 216 C) – 216D) – 416 E) – 532

9. Si M, N y Z son matrices definidas por

M =

2 2

2 2

2

2

cos sen

sen sen

θ θ

θ θ; N =

−

−

2 2

2 2

2

2

cos sen

sen cos

θ θ

θ θ

y Z=M · N, halle el valor del det(Z100).

A) sen2q B) cos2q C) senqcosqD) 0 E) 1

10. Si A=(aij)3×3 es una matriz, tal que |A|=2 y B=(bij)2×2 es otra matriz, tal que |B|=3. Halle

el valor de TA B

ABt=

3 2.

A) 144 B) 576 C) 1152D) 1628 E) 2304

11. Sea A una matriz cuadrada de orden 5. Si

|A|=2, halle el valor de E A At= 2 3 .

A) 211 B) 212 C) 213

D) 214 E) 215

12. Determine el número de valores reales de x para que la siguiente matriz sea singular.

Ae

e

e

x

x

x

=

+

+

+

1 2 3 7

1 3 7

1 2 7

1 2 3

1

1

1

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

13. Sean A, B y C tres matrices cuadradas del mismo orden que cumplen las siguientes relaciones.

I. ABC – 2=AC3

II. det(AC) ≠ 0

III. c− =

1 55 5454 53

Calcule el valor del det(B6).

A) 0 B) 1/2 C) 1D) 2 E) – 1

14

Álgebra


16


6. Si tenemos que

An m n

mm n=

− −

∧ ⊂0 1 21 1

; Z+ y |A+I|=24

Determine la suma de los posibles valores de n.

A) 12 B) 36 C) 16D) 22 E) 32

NIVEL INTERMEDIO

7. Sean a y b números enteros positivos pares, con estos números se forma la matriz.

Aa b a

b=

− −

0 1 21 1

si det(A+I)=12

(I: la matriz identidad), halle el determinante de la matriz.

a a

b b

22

A) – 12 B) – 10 C) 10D) 12 E) 16

8. Si E es una matriz definida por

E =

5 6 7 88 5 6 77 8 5 66 7 8 5

halle el det(E).

A) 0 B) 216 C) – 216D) – 416 E) – 532

9. Si M, N y Z son matrices definidas por

M =

2 2

2 2

2

2

cos sen

sen sen

θ θ

θ θ; N =

−

−

2 2

2 2

2

2

cos sen

sen cos

θ θ

θ θ

y Z=M · N, halle el valor del det(Z100).

A) sen2q B) cos2q C) senqcosqD) 0 E) 1

10. Si A=(aij)3×3 es una matriz, tal que |A|=2 y B=(bij)2×2 es otra matriz, tal que |B|=3. Halle

el valor de TA B

ABt=

3 2.

A) 144 B) 576 C) 1152D) 1628 E) 2304

11. Sea A una matriz cuadrada de orden 5. Si

|A|=2, halle el valor de E A At= 2 3 .

A) 211 B) 212 C) 213

D) 214 E) 215

12. Determine el número de valores reales de x para que la siguiente matriz sea singular.

Ae

e

e

x

x

x

=

+

+

+

1 2 3 7

1 3 7

1 2 7

1 2 3

1

1

1

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

13. Sean A, B y C tres matrices cuadradas del mismo orden que cumplen las siguientes relaciones.

I. ABC – 2=AC3

II. det(AC) ≠ 0

III. c− =

1 55 5454 53

Calcule el valor del det(B6).

A) 0 B) 1/2 C) 1D) 2 E) – 1

15

Álgebra


17


14. Determine el equivalente de P(x).

P

a a a ax

xx

x( ) =−

−−

0 1 2 3

1 0 00 1 00 0 1

A) P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0

B) P(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3

C) P(x)=x3+a0x2+a1x+a2

D) P(x)=a0x3+a1x2+a3x+a2

E) P(x)=a0x3+a3x2+a1x+a2

15. Resuelva la siguiente ecuación.

1 1 1 11 1 1 11 1 2 11 1 1 3

0( )

( )( )

−−

−

=x

xx

Indique la suma de soluciones.

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

16. Se define la siguiente expresión.

f x

x x x

x x x

x x x( ) det= −

− −

2 3 3

3 2 3

3 3 2

entonces resuelva la ecuación f(x) ≥ 0.

A) [0; +∞⟩ B) [1; +∞⟩ C) R+

D) R E) φ

17. Halle el determinante de la matriz A.

A

aax a

ax ax a

ax ax ax a

=

−−

−

1 0 01 0

12

3 2

A) x(x+a)3 B) – a(x – a)3 C) a(x+a)3

D) a3(x+a)

E) a(x+a)4

18. Dada la matriz simétrica A=(aij)2×2 que satisfa-ce la condición A2+(2A)t+I=0. Halle la matriz A–1.

A) – I B) I C) 3ID) 5I E) 5/3 I

19. Si A es una matriz definida por A=−

−

2 0 10 2 01 4 0

halle la suma de los elementos de la matriz A–1.

A) 3 B) 0 C) 12/5D) 7/2 E) 15/2

NIVEL AVANZADO

20. Resuelva la siguiente ecuación

2010 1 0 02010 2010 1 0

2010 2010 2010 1

2010 2010 2010 2010

2

3 2

−−

−

x

x x

x x x

==0

Determine la suma de raíces.

A) 6030 B) – 6030 C) – 4020D) 2010 E) 4020

21. Determine el número de valores reales de x para que la matriz.

AE

EE

=− − −

− − −+

2 1 12 3 41 1 2

sea no invertible, considere que

E x x= + + +( )−2 2

14 4

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

18


22. Se define la matriz M=(mij)n×n, tal que

m

i i j

i j

i jij

j

ij

+ ><

=

10

2

sisi

si

Calcule el det(2n+1A6).

A) 4n(n – 1)2 B) 2n(n+1)2

C) 2n(2n+1)2

D) 2n(2n – 1)2 E) 4n(n+1)2

23. Si A es una matriz definida por

A =

− −

8 5 1 36 3 4 33 2 0 21 2 6 2

Halle el det(A).

A) 120 B) 60 C) 48D) 24 E) 0

24. Si se tiene

A =

1 7 493 6 122 6 18

; B = −

1 1 12 1 39 0 16

y O es la

matriz nula de orden 3×3, entonces halle el

determinante de A OO B

.

A) 1440 B) 1240 C) –1440D) 1210 E) 2880

25. Si A es una matriz cuadrada de orden 4 que sa-tisface la ecuación matricial A3+3A2+3A+I=0, (O matriz nula de orden 4), halle la matriz (A2+A+I) – 1.

A) A+I B) A+2I C) A+3ID) 2A+I E) 2A+3I

16

Álgebra


17


14. Determine el equivalente de P(x).

P

a a a ax

xx

x( ) =−

−−

0 1 2 3

1 0 00 1 00 0 1

A) P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0

B) P(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3

C) P(x)=x3+a0x2+a1x+a2

D) P(x)=a0x3+a1x2+a3x+a2

E) P(x)=a0x3+a3x2+a1x+a2

15. Resuelva la siguiente ecuación.

1 1 1 11 1 1 11 1 2 11 1 1 3

0( )

( )( )

−−

−

=x

xx

Indique la suma de soluciones.

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

16. Se define la siguiente expresión.

f x

x x x

x x x

x x x( ) det= −

− −

2 3 3

3 2 3

3 3 2

entonces resuelva la ecuación f(x) ≥ 0.

A) [0; +∞⟩ B) [1; +∞⟩ C) R+

D) R E) φ

17. Halle el determinante de la matriz A.

A

aax a

ax ax a

ax ax ax a

=

−−

−

1 0 01 0

12

3 2

A) x(x+a)3 B) – a(x – a)3 C) a(x+a)3

D) a3(x+a)

E) a(x+a)4

18. Dada la matriz simétrica A=(aij)2×2 que satisfa-ce la condición A2+(2A)t+I=0. Halle la matriz A–1.

A) – I B) I C) 3ID) 5I E) 5/3 I

19. Si A es una matriz definida por A=−

−

2 0 10 2 01 4 0

halle la suma de los elementos de la matriz A–1.

A) 3 B) 0 C) 12/5D) 7/2 E) 15/2

NIVEL AVANZADO

20. Resuelva la siguiente ecuación

2010 1 0 02010 2010 1 0

2010 2010 2010 1

2010 2010 2010 2010

2

3 2

−−

−

x

x x

x x x

==0

Determine la suma de raíces.

A) 6030 B) – 6030 C) – 4020D) 2010 E) 4020

21. Determine el número de valores reales de x para que la matriz.

AE

EE

=− − −

− − −+

2 1 12 3 41 1 2

sea no invertible, considere que

E x x= + + +( )−2 2

14 4

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

18


22. Se define la matriz M=(mij)n×n, tal que

m

i i j

i j

i jij

j

ij

+ ><

=

10

2

sisi

si

Calcule el det(2n+1A6).

A) 4n(n – 1)2 B) 2n(n+1)2

C) 2n(2n+1)2

D) 2n(2n – 1)2 E) 4n(n+1)2

23. Si A es una matriz definida por

A =

− −

8 5 1 36 3 4 33 2 0 21 2 6 2

Halle el det(A).

A) 120 B) 60 C) 48D) 24 E) 0

24. Si se tiene

A =

1 7 493 6 122 6 18

; B = −

1 1 12 1 39 0 16

y O es la

matriz nula de orden 3×3, entonces halle el

determinante de A OO B

.

A) 1440 B) 1240 C) –1440D) 1210 E) 2880

25. Si A es una matriz cuadrada de orden 4 que sa-tisface la ecuación matricial A3+3A2+3A+I=0, (O matriz nula de orden 4), halle la matriz (A2+A+I) – 1.

A) A+I B) A+2I C) A+3ID) 2A+I E) 2A+3I

17

Álgebra


Semestral Intensivo

SuceSioneS realeS

01 - E

02 - d

03 - a

04 - a

05 - d

06 - d

07 - b

08 - d

09 - a

10 - b

11 - c

12 - c

13 - E

14 - d

15 - a

16 - E

17 - E

18 - E

19 - a

20 - d

21 - c

22 - a

23 - c

24 - b

25 - b

SerieS numéricaS

01 - c

02 - a

03 - b

04 - c

05 - a

06 - b

07 - d

08 - c

09 - e

10 - d

11 - a

12 - b

13 - d

14 - d

15 - d

16 - c

17 - c

18 - c

19 - e

20 - c

21 - e

22 - d

23 - d

24 - e

25 - c

matriceS

01 - a

02 - d

03 - c

04 - b

05 - a

06 - b

07 - a

08 - d

09 - d

10 - e

11 - a

12 - d

13 - b

14 - c

15 - b

16 - a

17 - c

18 - c

19 - d

20 - e

21 - e

22 - b

23 - e

24 - c

25 - e

DeterminanteS

01 - b

02 - c

03 - a

04 - b

05 - e

06 - c

07 - a

08 - d

09 - d

10 - b

11 - c

12 - c

13 - c

14 - b

15 - c

16 - d

17 - c

18 - a

19 - e

20 - b

21 - c

22 - e

23 - e

24 - c

25 - b

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