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ÁlgebraSemestral Intensivo UNIBoletín 3 Semestral Intensivo UNI 1ra. Revisión (20 septiembre, 2013 3:02 p.m.)
NIVEL BÁSICO
1. Si la suma de los n términos de una sucesión está dada por 2n2+n ∀ n ∈N, determine el término enésimo de la sucesión.
A) 4n+3 B) 4n+1 C) 4n+5D) 4(n+1) E) 4n – 1
2. Si la sucesión na nnb n
+ −− + 2 32 1
n ∈ N converge a 3.
Calcule la relación correcta entre a y b.
A) a – 3b=6 B) a – 3b=8 C) 3a – b=6D) 3b – a=8 E) a+3b=8
3. Respecto a las siguientes sucesiones n ∈ N.
I. n
nn
+ ≥1
1
II. n
nn
− ≥1
2
III. n2 n ≥ 1
La afirmación correcta.
A) I es acotada y crecienteB) II es acotada y crecienteC) III es acotada y crecienteD) I solo tiene cota superior
E) III solo tiene cota superior
4. Dadas las sucesiones
an = 15
725
37125
175625
; ; ; ; ...
Sucesiones reales
bn = 751
91125
; ; ; ...
cnn n
n = −4 3
5
2 2
2
indique las proposiciones verdaderas.
I. cn ⊂ an
II. b4337625
=
III. a bn n
n n
n⋅ = −16 9
25
A) todas B) solo I C) II y IIID) solo II E) solo III
5. Calcule el valor de convergencia de la siguiente sucesión.
232
43
54
8 27 64; ; ; ; ...
A) e B) e3 C) e2
D) 1 E) 0
6. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. 22n
n!
converge a 1.
II. nn
n
!
converge a e.
III. l msen( !)
ín
nn→∞
= 0
A) VVV B) FVV C) VFFD) FFV E) FVF
Aritmética+ –×÷∑ 4 Ω AA
β
− ∈ 2 1 33xB xZ
−
1
23a
b
≠: , 0nx x
R yy
αÁlgebra
4
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
7. Sea xn una sucesión definida de la siguiente manera
x
x xn n
1
1
1
152 5
=
= +( )
−
Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. La sucesión es acotada. II. xn es creciente. III. xn converge a 5/3.
A) FVF B) VVV C) VFVD) VFF E) VVF
NIVEL INTERMEDIO
8. Sean (an) ∧ (bn) sucesiones tal que an=an – 1+2n; a1=1 bn=(n2+n)n
Analice la convergencia de la sucesión bn a
n
n·
.
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/3D) 1 E) 0
9. Dada la sucesión an tal que annn = −13
,
determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. l mín
na→∞
= 13
II. an es creciente III. an es acotada
A) VVV B) VVF C) FVVD) VFV E) FFF
10. Según a y b números reales. Si se cumple que xn+1=axn+b, n=0; 1; 2; ... entonces
A) xn=n(x0+b) si a=1 y
x a xaa
bnn
n= + −
−
0
11
si a ≠ 1
B) xn=x0+nb si a=1 y
x a xaa
bnn
n= + −
−
0
11
si a ≠ 1
C) xn=nx0+bn si a=1
xn=(1 – n)x0+anb si a ≠ 1
D) xn=xn0+nb si a=1
x axaa
bn
n= + +
+
0
11
si a ≠ 1
E) xn=(1 – n)x0 – nb; si a=1 y
x a x
aa
b an
n= −( ) + −
+
≠1
11
10 si
UNI 2008 - I
11. Calcule el valor de convergencia de las siguien-tes sucesiones.
an
n n nn = +
+ + +
5 1
9 52 2
b n n n nn = + − + + 2 25 3 2
A) 5/4; 0 B) 3; 1 C) 5/4; 1D) 5/4; – 1 E) – 5/4; 1
12. Dadas las sucesiones
annn = −13
; bnnn =
−3 2
indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. bn es decreciente
II. an ≤ bn ∀n ∈ N
III. bn es acotada
A) VFV B) VFF C) VVV
D) FVV E) FVF
2
Álgebra
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ÁlgebraSemestral Intensivo UNIBoletín 3 Semestral Intensivo UNI 1ra. Revisión (20 septiembre, 2013 3:02 p.m.)
NIVEL BÁSICO
1. Si la suma de los n términos de una sucesión está dada por 2n2+n ∀ n ∈N, determine el término enésimo de la sucesión.
A) 4n+3 B) 4n+1 C) 4n+5D) 4(n+1) E) 4n – 1
2. Si la sucesión na nnb n
+ −− + 2 32 1
n ∈ N converge a 3.
Calcule la relación correcta entre a y b.
A) a – 3b=6 B) a – 3b=8 C) 3a – b=6D) 3b – a=8 E) a+3b=8
3. Respecto a las siguientes sucesiones n ∈ N.
I. n
nn
+ ≥1
1
II. n
nn
− ≥1
2
III. n2 n ≥ 1
La afirmación correcta.
A) I es acotada y crecienteB) II es acotada y crecienteC) III es acotada y crecienteD) I solo tiene cota superior
E) III solo tiene cota superior
4. Dadas las sucesiones
an = 15
725
37125
175625
; ; ; ; ...
Sucesiones reales
bn = 751
91125
; ; ; ...
cnn n
n = −4 3
5
2 2
2
indique las proposiciones verdaderas.
I. cn ⊂ an
II. b4337625
=
III. a bn n
n n
n⋅ = −16 9
25
A) todas B) solo I C) II y IIID) solo II E) solo III
5. Calcule el valor de convergencia de la siguiente sucesión.
232
43
54
8 27 64; ; ; ; ...
A) e B) e3 C) e2
D) 1 E) 0
6. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. 22n
n!
converge a 1.
II. nn
n
!
converge a e.
III. l msen( !)
ín
nn→∞
= 0
A) VVV B) FVV C) VFFD) FFV E) FVF
Aritmética+ –×÷∑ 4 Ω AA
β
− ∈ 2 1 33xB xZ
−
1
23a
b
≠: , 0nx x
R yy
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7. Sea xn una sucesión definida de la siguiente manera
x
x xn n
1
1
1
152 5
=
= +( )
−
Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. La sucesión es acotada. II. xn es creciente. III. xn converge a 5/3.
A) FVF B) VVV C) VFVD) VFF E) VVF
NIVEL INTERMEDIO
8. Sean (an) ∧ (bn) sucesiones tal que an=an – 1+2n; a1=1 bn=(n2+n)n
Analice la convergencia de la sucesión bn a
n
n·
.
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/3D) 1 E) 0
9. Dada la sucesión an tal que annn = −13
,
determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. l mín
na→∞
= 13
II. an es creciente III. an es acotada
A) VVV B) VVF C) FVVD) VFV E) FFF
10. Según a y b números reales. Si se cumple que xn+1=axn+b, n=0; 1; 2; ... entonces
A) xn=n(x0+b) si a=1 y
x a xaa
bnn
n= + −
−
0
11
si a ≠ 1
B) xn=x0+nb si a=1 y
x a xaa
bnn
n= + −
−
0
11
si a ≠ 1
C) xn=nx0+bn si a=1
xn=(1 – n)x0+anb si a ≠ 1
D) xn=xn0+nb si a=1
x axaa
bn
n= + +
+
0
11
si a ≠ 1
E) xn=(1 – n)x0 – nb; si a=1 y
x a x
aa
b an
n= −( ) + −
+
≠1
11
10 si
UNI 2008 - I
11. Calcule el valor de convergencia de las siguien-tes sucesiones.
an
n n nn = +
+ + +
5 1
9 52 2
b n n n nn = + − + + 2 25 3 2
A) 5/4; 0 B) 3; 1 C) 5/4; 1D) 5/4; – 1 E) – 5/4; 1
12. Dadas las sucesiones
annn = −13
; bnnn =
−3 2
indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. bn es decreciente
II. an ≤ bn ∀n ∈ N
III. bn es acotada
A) VFV B) VFF C) VVV
D) FVV E) FVF
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Semestral Intensivo UNI Álgebra
13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión 2nn!
es convergente.
II. La sucesión 2 30n
n!
es divergente.
III. La sucesión nn
23 53 1
++
es convergente.
A) FVF B) VFV C) FFFD) FVV E) VVV
14. Si ann ∈ N es una sucesión definida por
a nn ∈
N=32
1110
3130
6968
2 10 30 68
; ; ; ....
halle el valor de convergencia.
A) 2/e B) 4e–3 C) 8e–1
D) e E) 3/5e
15. Sea anuna sucesión, tal que
annn=++1
2 1 y l mín
na L→∞
= si n1 es el menor número
natural en nn
L1
1
12 1
0 01++
− < , ; halle n1 y dé la
suma de sus cifras.
A) 7 B) 9 C) 11D) 5 E) 6
16. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión 2 13 1
nn
+−
es monótona.
II. La sucesión n
n+
1
2 es decreciente.
III. Si annn = + + + + −
+ + + + +2 5 8 3 11 3 5 2 1
... ( )... ( )
entonces
converge a 32
.
A) VFV B) FVV C) FFVD) FFF E) VVV
17. Determine el valor de convergencia de la si-guiente sucesión.
(3)4; 42
5
; 53
6
;
64
7
; ...
A) 1 B) 0 C) eD) e – 1 E) e2
18. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. Si (an) y (bn) son sucesiones divergentes y cn=an+bn, entonces (cn) es divergente.
II. Si (an) diverge a+∞ y (bn) diverge a – ∞, entonces (an+bn) converge a cero.
III. Si las sucesiones (an) y (bn) son divergentes entonces (an×bn) es divergente.
A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFF
19. Sea xn la sucesión definida por
xnnn = × × × × −
× × × ×2 5 8 3 13 6 9 3
... ( )...
indique las proposiciones verdaderas. I. xn es monótona. II. xn es acotada. III. La sucesión es convergente.
A) todas B) solo I C) solo IID) II y III E) ninguna
NIVEL AVANZADO
20. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión an cumple que an < an+1 < 0 ∀n ∈ Z+, entonces es convergente.
II. Sea la sucesión de términos positivos an
tal que aan
n
+ <2 1; ∀n ∈ Z+, entonces es
convergente. III. Sea la sucesión an tal que 0 < an+3 < an;
∀n ∈ Z+, entonces existe un subsucesión de an tal que se convergente.
A) FVV B) FVF C) VVVD) VFV E) FFF
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21. Se define la sucesión
x n x x mx m x pn n n n ∈ = = + −( ) ++N 1 12 2 20 1y ,
m; n; p ∈ Z, halle la afirmación correcta.
A) xn+3=2mxn+2 – xn
B) xn=2mxn+1 – xn+2
C) xn+2=2mxn+1 – xn
D) xn+4=2mxn+3 – xn+2
E) xn+5=2mxn+4 – xn+3
22. Indique el valor de convergencia de la sucesión an tal que
an= +
+
+
1
13
113
113
21 22
+
... 1
13
2n
A) 3/2 B) 4/3 C) 2/3
D) 6/5 E) 1/3
23. Se defina la siguiente sucesión
an
nn
n
= +
+
11
12
· ( )senπ
indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión es convergente a e.
II. La sucesión (ak)/k=4º +2 converge a – e.
III. La sucesión (ak)/k=4n – 1 ∧ n ∈ Z es con-vergente.
A) VFV B) FFF C) FVVD) FFV E) VVF
24. Sea la sucesión (an) tal que
a n n n n nnn n n n n= + + + ++ + + +( ) ·( ) ·( ) ...( )1 2 311
12
13
1
A) convergeB) diverge a + ∞C) converge a eD) diverge a – ∞E) es acotada
25. Sea la sucesión an de números reales defi-nida por
a1=1; an+1=1+a1 · a2 · a3...an (n ≥ 1) determine
el valor de 1
1ann=
∞
∑ .
A) 1 B) 2 C) 3D) 1/4 E) 5/2
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13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión 2nn!
es convergente.
II. La sucesión 2 30n
n!
es divergente.
III. La sucesión nn
23 53 1
++
es convergente.
A) FVF B) VFV C) FFFD) FVV E) VVV
14. Si ann ∈ N es una sucesión definida por
a nn ∈
N=32
1110
3130
6968
2 10 30 68
; ; ; ....
halle el valor de convergencia.
A) 2/e B) 4e–3 C) 8e–1
D) e E) 3/5e
15. Sea anuna sucesión, tal que
annn=++1
2 1 y l mín
na L→∞
= si n1 es el menor número
natural en nn
L1
1
12 1
0 01++
− < , ; halle n1 y dé la
suma de sus cifras.
A) 7 B) 9 C) 11D) 5 E) 6
16. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión 2 13 1
nn
+−
es monótona.
II. La sucesión n
n+
1
2 es decreciente.
III. Si annn = + + + + −
+ + + + +2 5 8 3 11 3 5 2 1
... ( )... ( )
entonces
converge a 32
.
A) VFV B) FVV C) FFVD) FFF E) VVV
17. Determine el valor de convergencia de la si-guiente sucesión.
(3)4; 42
5
; 53
6
;
64
7
; ...
A) 1 B) 0 C) eD) e – 1 E) e2
18. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. Si (an) y (bn) son sucesiones divergentes y cn=an+bn, entonces (cn) es divergente.
II. Si (an) diverge a+∞ y (bn) diverge a – ∞, entonces (an+bn) converge a cero.
III. Si las sucesiones (an) y (bn) son divergentes entonces (an×bn) es divergente.
A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFF
19. Sea xn la sucesión definida por
xnnn = × × × × −
× × × ×2 5 8 3 13 6 9 3
... ( )...
indique las proposiciones verdaderas. I. xn es monótona. II. xn es acotada. III. La sucesión es convergente.
A) todas B) solo I C) solo IID) II y III E) ninguna
NIVEL AVANZADO
20. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión an cumple que an < an+1 < 0 ∀n ∈ Z+, entonces es convergente.
II. Sea la sucesión de términos positivos an
tal que aan
n
+ <2 1; ∀n ∈ Z+, entonces es
convergente. III. Sea la sucesión an tal que 0 < an+3 < an;
∀n ∈ Z+, entonces existe un subsucesión de an tal que se convergente.
A) FVV B) FVF C) VVVD) VFV E) FFF
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21. Se define la sucesión
x n x x mx m x pn n n n ∈ = = + −( ) ++N 1 12 2 20 1y ,
m; n; p ∈ Z, halle la afirmación correcta.
A) xn+3=2mxn+2 – xn
B) xn=2mxn+1 – xn+2
C) xn+2=2mxn+1 – xn
D) xn+4=2mxn+3 – xn+2
E) xn+5=2mxn+4 – xn+3
22. Indique el valor de convergencia de la sucesión an tal que
an= +
+
+
1
13
113
113
21 22
+
... 1
13
2n
A) 3/2 B) 4/3 C) 2/3
D) 6/5 E) 1/3
23. Se defina la siguiente sucesión
an
nn
n
= +
+
11
12
· ( )senπ
indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La sucesión es convergente a e.
II. La sucesión (ak)/k=4º +2 converge a – e.
III. La sucesión (ak)/k=4n – 1 ∧ n ∈ Z es con-vergente.
A) VFV B) FFF C) FVVD) FFV E) VVF
24. Sea la sucesión (an) tal que
a n n n n nnn n n n n= + + + ++ + + +( ) ·( ) ·( ) ...( )1 2 311
12
13
1
A) convergeB) diverge a + ∞C) converge a eD) diverge a – ∞E) es acotada
25. Sea la sucesión an de números reales defi-nida por
a1=1; an+1=1+a1 · a2 · a3...an (n ≥ 1) determine
el valor de 1
1ann=
∞
∑ .
A) 1 B) 2 C) 3D) 1/4 E) 5/2
5
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Semestral Intensivo UNI Álgebra 12SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. En la siguiente suma
Sn
= × + × + ×2 4 4 6 6 8términos
– ..., halle el valor de n
para que S sea igual a 2912.
A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14
2. Indique la secuencia correcta verdad (V) o falsedad (F) de las siguiente afirmaciones.
I. ( )( )
kn n
nk
n+ = − +
=∑ 2
12
21
II. Si ( )kk
n+ =
=∑ 1 271
entonces n=9.
III. 13
123 1
3
100
1001
100
= −
=∑
k
k
A) FFF B) VVV C) FVFD) VVF E) FFV
3. Halle el valor de convergencia de la serie in-finita.
13
115
135
163
+ + + + ...
A) 1/3 B) 1/2 C) 2/5D) 4 E) 6
4. Halle la traza de M t, tal que
Mk kk k kk
=−
× +
=∑ 2 1
2 11
10
( )
A) 295 B) 503 C) 495D) 100 E) 325
5. Determine el valor de la serie
4 2
2
nnn
−
=
∞
∑ !
A) 2e B) 3e C) 4eD) e E) e+2
6. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La serie n
nn ( )+=
∞
∑ 11 converge a 1.
II. La serie nn
n 2 11
−=
∞
∑ converge a 0.
III. La serie 1
2 lognn=
∞
∑ es divergente.
A) VVF B) FFV C) VVVD) VFV E) FVV
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el valor de la siguiente suma.
S = + + + +13
115
135
1399
...
A) 99/100 B) 100/101 C) 199/201D) 10/21 E) 300/301
8. Halle el valor de convergencia de la suma
Sk kk
=+ −=
∞
∑ 75 2 5 31( )( )
A) 7/9 B) 7/8 C) 7/10D) 10/7 E) 1/10
9. Determine la siguiente suma.
S = + + +54
1316
3564
...
A) 12/5 B) 11/3 C) 6D) 5 E) 4
Series numéricas
8
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10. Si 1
1− x es la suma de una serie geométrica
infinita, cuyo primer término es 1 y su razón es x con –1 < x < 1, halle la suma de la serie de sus cubos.
A) 1
1 2−
+x
x B)
xx
2 1− C)
1
1 4− x
D) 1
1 3− x E)
1
1 2− x
11. Si an n
kk
n= +
=∑ ( )1
21, halle el valor de π
n
n
n
aa=
∞
+
1 1.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 1/2 E) 0
12. Dadas las series.
I. 1
1 nn=
∞
∑
II. 1
2 221n nn + +=
∞
∑
III. n
nn 3 11 −=
∞
∑
Indique cuáles convergen.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I y III
13. Si a an n kk
= +=
∞
∑1
, donde a1=1, calcule el valor
de 3 2
1ak
k( )
=
∞
∑ .
A) 3 B) 36/5 C) 16D) 12 E) 24
14. Indique el equivalente de akk=∑3
20 si se sabe que
an=2n–2 – n.
A) 21
18k
kk−( )
=∑ B) 2
0
20k
kk−( )
=∑ C) 2 2
1
18k
kk− +( )
=∑
D) 2 21
18k
kk− −( )
=∑ E) 2 2
1
18k
kk+ −( )
=∑
15. En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cua-drado uniendo los puntos medios de las lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefi-nidamente. Entonces, la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será
A) 64 2 2−( )B) 48 2 2−( )C) 32 1 2+( )D) 16 2 2+( )E) no se puede calcular
UNI 2007 - II
16. Halle el punto de convergencia de la serie.
123 n nn ( )!−=
+∞
∑
A) 0 B) 1 C) 1/2
D) 1/3 E) 1/6
17. Determine el valor de
Sk nn
k
n
( ) =−
++
=
∑ 2
4 1
12 12
1
A) n
n2 1+ B) 2
3 1n
n + C) 32 1
nn +
D) 2 12 1
nn
−+ E)
nn++1
2 1UNI 2005 - I
6
Álgebra
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8
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
10. Si 1
1− x es la suma de una serie geométrica
infinita, cuyo primer término es 1 y su razón es x con –1 < x < 1, halle la suma de la serie de sus cubos.
A) 1
1 2−
+x
x B)
xx
2 1− C)
1
1 4− x
D) 1
1 3− x E)
1
1 2− x
11. Si an n
kk
n= +
=∑ ( )1
21, halle el valor de π
n
n
n
aa=
∞
+
1 1.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 1/2 E) 0
12. Dadas las series.
I. 1
1 nn=
∞
∑
II. 1
2 221n nn + +=
∞
∑
III. n
nn 3 11 −=
∞
∑
Indique cuáles convergen.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I y III
13. Si a an n kk
= +=
∞
∑1
, donde a1=1, calcule el valor
de 3 2
1ak
k( )
=
∞
∑ .
A) 3 B) 36/5 C) 16D) 12 E) 24
14. Indique el equivalente de akk=∑3
20 si se sabe que
an=2n–2 – n.
A) 21
18k
kk−( )
=∑ B) 2
0
20k
kk−( )
=∑ C) 2 2
1
18k
kk− +( )
=∑
D) 2 21
18k
kk− −( )
=∑ E) 2 2
1
18k
kk+ −( )
=∑
15. En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cua-drado uniendo los puntos medios de las lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefi-nidamente. Entonces, la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será
A) 64 2 2−( )B) 48 2 2−( )C) 32 1 2+( )D) 16 2 2+( )E) no se puede calcular
UNI 2007 - II
16. Halle el punto de convergencia de la serie.
123 n nn ( )!−=
+∞
∑
A) 0 B) 1 C) 1/2
D) 1/3 E) 1/6
17. Determine el valor de
Sk nn
k
n
( ) =−
++
=
∑ 2
4 1
12 12
1
A) n
n2 1+ B) 2
3 1n
n + C) 32 1
nn +
D) 2 12 1
nn
−+ E)
nn++1
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Álgebra
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9
Semestral Intensivo UNI Álgebra
18. Calcule el valor de convergencia.
1
21
1 ( )n ii
nn +
=
=
+∞
∑∑
A) 1 B) 0 C) 1/2
D) 3/2 E) 1/4
19. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. Si la serie a bn nn
+( )=
+∞
∑1
converge entonces
a b a bn nn
n nnn
+( ) = +=
+∞
=
+∞
=
+∞
∑ ∑∑1 11
.
II. Si la serie a bn nn
+( )=
+∞
∑1
diverge a +∞, enton-
ces la serie ann=
+∞
∑1
y bnn=
+∞
∑1
son divergentes.
III. La serie n n n
n n nn
( )( )( )( )( )
+ +− − −=
+∞
∑ 1 21 2 34
es conver-
gente.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVV E) FFF
20. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. La serie zn
p
n
=
+∞
∑1
es convergente si p > 1.
II. La serie 321 kk=
∞
∑ es convergente.
III. La serie e
i i ii3
0 3 1 1+ + +=
∞
∑( )
es convergente.
A) VVV
B) VFF
C) VFV
D) FVV
E) FFV
NIVEL AVANZADO
21. Determine el valor de convergencia de la serie.
k k k k
k kk
− − + − +
+
=
∞
∑2
23
1 1
A) 32 B) −
+
3 12
C) 1 32
+
D) 2 13+
E) 12 13
− +
22. Indique el punto de convergencia de la suce-sión an dada por
an
k
kk
n=
−
−
=∑
15
115
2 1
21
A) 2 B) 5 C) 1/2D) 1/4 E) 1/5
23. Aplicando el criterio de la razón determine la variación de x en la serie
( )!
· · ·...·( )·
n
n x nn
−+ +
=
∞
∑ 1
4 7 10 3 1 2 11
para que sea convergente.
A) ⟨0; +∞⟩
B) ⟨– 1; 0⟩ ∪ ⟨0; 1⟩
C) 33; + ∞
D) −∞ − ∪ + ∞; ;33
33
E) −∞; 3
10
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
24. Para la sucesión definida por
Sn
k kn
k
=+
=
∑ 1
21
2; k ≥ 1 se puede afirmar que
A) 1 ≤ Sk
B) 14
12
≤ <Sk
C) 18
12
≤ ≤Sk
D) 12
1≤ <Sk
E) 12
1< <SkUNI 2006-II
25. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. 13
23 5
33 5 7
! ! !...+
×+
× ×+ es convergente.
II. 3 3
0
n
n ne
!=
=
∞
∑
III. Si n nne
n
! =
2π (aproximadamente cuando
n es muy grande) entonces l m!
ín
nnn e→∞
= 1 .
A) FVV B) FFV C) VVVD) FVF E) FFF
8
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10
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
24. Para la sucesión definida por
Sn
k kn
k
=+
=
∑ 1
21
2; k ≥ 1 se puede afirmar que
A) 1 ≤ Sk
B) 14
12
≤ <Sk
C) 18
12
≤ ≤Sk
D) 12
1≤ <Sk
E) 12
1< <SkUNI 2006-II
25. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. 13
23 5
33 5 7
! ! !...+
×+
× ×+ es convergente.
II. 3 3
0
n
n ne
!=
=
∞
∑
III. Si n nne
n
! =
2π (aproximadamente cuando
n es muy grande) entonces l m!
ín
nnn e→∞
= 1 .
A) FVV B) FFV C) VVVD) FVF E) FFF
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11
Semestral Intensivo UNI Álgebra 13SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. Sea A una matriz definida por A =
1 20 3
si
n ∈ N y la suma de los elementos de la matriz
An es 486, halle el valor de n.
A) 5 B) 4 C) 3D) 7 E) 9
2. Resuelva el siguiente sistema.
1 2 3 4 50 1 2 3 10 0 1 3 40 0 0 1 20 0 0 0 3
− −
xyzwm
=
432301418
indique el valor de x+y+z+w+m.
A) 38 B) 53 C) 7D) 11 E) 31
3. Si Aaa b
=+
− +
2 1 02 2
a una matriz escalar y
Bm n
=
1 2 es una matriz involutiva (B2=I), el
valor de T=a · b · m · n.
A) 60 B) 48 C) 36D) 24 E) 12
4. Si A y B son dos matrices definidas por
Apq
=−
11
; B =−−
1 12 1
que satisfacen la
condición (A+B)(A – B)=A2 – B2, halle el valor de M=p+q.
A) – 7 B) – 5 C) – 3D) 1 E) 3
5. Si la matriz A satisface las ecuaciones matri-ciales
( )32 10 2
2A I+ =
( )31 00 1
2A I− =−
halle la traza de la matriz A2.
A) 0 B) 2/72 C) 5/72D) 11/72 E) 1
6. Sea N =−
00α
α entonces N5 es
A) a5
5
0
α α
B)
0
0
5
5
−
α
α C)
α
α
5
5
0
0 −
D) 0
0
5
5
α
α−
E)
0
0
5
5
α
α
UNI 2000 - I
NIVEL INTERMEDIO
7. Determine la suma de los elementos de la matriz A10.
AT =
3 11 3
A) 221 B) 298 C) 2101
D) 212 E) 230
8. Halle la suma de los elementos de la matriz B, tal que
B=A+A2+A3+...+An; n ≥ 2 ∧ n ∈ N.
A =−
1 20 1
A) n n( )−1
2 B) n(n+1) C) – n(n+1)
D) n(1 – n) E) n n( )1
2−
Matrices
12
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
9. Sean A y B dos matrices definidas por
A a a
i j
i j
i jij ij= =
=<>
×( )
;;,
2 3
012
B b bi j
i jij ij= ==≠
×( );;3 201
Halle la suma de elementos de la matriz At+B.
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10
10. Sea la matriz A=(aij)2×3 definida de la siguien-te forma.
a
i j i j
ij i j
i j i jij =
− >=
+ <
;;,
Halle la traza de la matriz AAt.
A) 15 B) 18 C) 48D) 62 E) 68
11. Si las dos siguientes matrices (de orden 2) son iguales.
Ai j i i
i j i j=
+ ≥− <
sisi
;
Ba c c b
b a=
+ + +
+ +
2 2
2
2 3 2
2 4 4
Determine el valor de a3+b3+c3 si a; b; c ⊂ R.
A) – 3 B) 3 C) – 2D) – 4 E) 4
12. Determine la forma de las matrices de orden 2×2, tal que sean nilpotente de grado dos.
A)
a b
ab
a−
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
B)
ab b
ab
ab− −
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
C)
b a
ab
b− −
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
D)
a b
ab
a2
−
; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
E)
a b
ab
a− −
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
13. Dadas las matrices no nulas
A A=− −
−
1 112
0 y B =
+
−
1 23 1
12
0
013
1
halle
la matriz x si se sabe que AxB =
1 20 0
.
A)
0 016
13
B)
0 016
13
−
C) −
16
13
0 0
D)
0 013
16
E) 0
16
016
−
10
Álgebra
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822
11
Semestral Intensivo UNI Álgebra 13SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. Sea A una matriz definida por A =
1 20 3
si
n ∈ N y la suma de los elementos de la matriz
An es 486, halle el valor de n.
A) 5 B) 4 C) 3D) 7 E) 9
2. Resuelva el siguiente sistema.
1 2 3 4 50 1 2 3 10 0 1 3 40 0 0 1 20 0 0 0 3
− −
xyzwm
=
432301418
indique el valor de x+y+z+w+m.
A) 38 B) 53 C) 7D) 11 E) 31
3. Si Aaa b
=+
− +
2 1 02 2
a una matriz escalar y
Bm n
=
1 2 es una matriz involutiva (B2=I), el
valor de T=a · b · m · n.
A) 60 B) 48 C) 36D) 24 E) 12
4. Si A y B son dos matrices definidas por
Apq
=−
11
; B =−−
1 12 1
que satisfacen la
condición (A+B)(A – B)=A2 – B2, halle el valor de M=p+q.
A) – 7 B) – 5 C) – 3D) 1 E) 3
5. Si la matriz A satisface las ecuaciones matri-ciales
( )32 10 2
2A I+ =
( )31 00 1
2A I− =−
halle la traza de la matriz A2.
A) 0 B) 2/72 C) 5/72D) 11/72 E) 1
6. Sea N =−
00α
α entonces N5 es
A) a5
5
0
α α
B)
0
0
5
5
−
α
α C)
α
α
5
5
0
0 −
D) 0
0
5
5
α
α−
E)
0
0
5
5
α
α
UNI 2000 - I
NIVEL INTERMEDIO
7. Determine la suma de los elementos de la matriz A10.
AT =
3 11 3
A) 221 B) 298 C) 2101
D) 212 E) 230
8. Halle la suma de los elementos de la matriz B, tal que
B=A+A2+A3+...+An; n ≥ 2 ∧ n ∈ N.
A =−
1 20 1
A) n n( )−1
2 B) n(n+1) C) – n(n+1)
D) n(1 – n) E) n n( )1
2−
Matrices
12
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
9. Sean A y B dos matrices definidas por
A a a
i j
i j
i jij ij= =
=<>
×( )
;;,
2 3
012
B b bi j
i jij ij= ==≠
×( );;3 201
Halle la suma de elementos de la matriz At+B.
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10
10. Sea la matriz A=(aij)2×3 definida de la siguien-te forma.
a
i j i j
ij i j
i j i jij =
− >=
+ <
;;,
Halle la traza de la matriz AAt.
A) 15 B) 18 C) 48D) 62 E) 68
11. Si las dos siguientes matrices (de orden 2) son iguales.
Ai j i i
i j i j=
+ ≥− <
sisi
;
Ba c c b
b a=
+ + +
+ +
2 2
2
2 3 2
2 4 4
Determine el valor de a3+b3+c3 si a; b; c ⊂ R.
A) – 3 B) 3 C) – 2D) – 4 E) 4
12. Determine la forma de las matrices de orden 2×2, tal que sean nilpotente de grado dos.
A)
a b
ab
a−
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
B)
ab b
ab
ab− −
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
C)
b a
ab
b− −
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
D)
a b
ab
a2
−
; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
E)
a b
ab
a− −
2 ; a y b ∈ R ∧ b ≠ 0
13. Dadas las matrices no nulas
A A=− −
−
1 112
0 y B =
+
−
1 23 1
12
0
013
1
halle
la matriz x si se sabe que AxB =
1 20 0
.
A)
0 016
13
B)
0 016
13
−
C) −
16
13
0 0
D)
0 013
16
E) 0
16
016
−
11
Álgebra
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822
13
Semestral Intensivo UNI Álgebra
14. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. AB2AA3B=A5B3
II. (A+B)(A+I)=A2+(B+I)A+B III. (A – I)3=A3 – 3A2+3A – I Considere A, B e I matrices cuadradas de igual
orden, además, I es la matriz identidad.
A) VVV B) VFF C) FVVD) FFF E) FFV
15. Dada la matriz
A =
0 1 00 0 11 0 0
Halle A100.
A) I3 B) A C) A2
D) – A E) O3
16. Si
A =
1 1 10 1 10 0 1
Determine el equivalente de An.
A)
11
20 10 0 1
nn n
n
( )+
B)
1 10 10 0 1
n n nn
( )+
C)
1 11
20 10 0 1
n n
n
( )+
D)
1 01
20 1 00 0 1
n n( )+
E)
1 20 1 00 0 1
n n n( )+
17. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. Si A es una matriz cuadrada, entonces A+At
es simétrica.
II. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de
una matriz simétrica y de una matriz antisi-
métrica.
III. Sea A una matriz cuadrada. Si A es involuti-
va, entonces 12( )I A− es idempotente.
A) VVF B) VFV C) VVV
D) FVV E) FFF
18. Si fx x x x
x( ) ! ! ! !...= + + + + +1
1 2 3 4
2 3 4 y
A =− −
− −
1 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 1
entonces determine f(A).
A) I+A+A2 B) I – A+A2 C) I+AD) I E) A
19. Sean las matrices
A =−
cos sensen cos
θ θθ θ
B=A×At
Calcule f(B) si f(x)=2x6+1.
A) I B) 4I C) 2ID) 3I E) B
14
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
NIVEL AVANZADO
20. Si Aa b
c=
10 10 0 1
y N=A – I3, señale cuáles son
las proposiciones verdaderas. I. N es una matriz nilpotente de grado de
nilpotencia 3. II. A es invertible. III. La inversa de I+N es I – N+N2 – N3.
A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo II E) todas
21. Sean las matrices
U =
1 2 12 4 21 2 1
; V =−
−
1 0 10 0 01 0 1
Q=aU+bV donde b ∈ R. Los valores de a, b para los cuales existen los números p, q tales que simultáneamente se cumple
Q p×
= ×
121
121
Q q×−
= ×−
101
101
son
A) solamente a=b=0.B) solamente a=0; b arbitrario.C) solamente b=0; a arbitrario.D) no existe tales números.E) a y b son arbitrarios.
UNI 2002 - II
22. Sea A=(aij)3×3 tal que
ai j
i jij =≥<
01;;
, halle Ak
k=∑1
10.
A) 5A+1 B) A+A2 C) A2+ID) I+A+A2 E) I+9A
23. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Indi-que verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. Si A3=I, entonces A=I. II. (a AB+bA)t=a Atbt+bAt, además; a y b son
números reales. III. traz(A×B)=traz A×traz B.
A) VVV B) VFF C) FFVD) FVF E) FFF
24. Indique las proposiciones verdaderas. Conside-re que A y B son matrices cuadradas del mismo orden.
I. Si A2+B2=2AB entonces A=B. II. Si AB=BA entonces AB3=B3A. III. Si A y B son matrices triangulares inferiores,
entonces AB es una matriz triangular inferior.
A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo III E) todas
25. Si tenemos que
B =−
cos sen
sen cos
π π
π π3 6
6 3
Determine P(B) tal que P(x)=16x8 – 1.
A) 1 10 1
B)
12
12
12
12
−
C)
13
13
13
13
−
D) 1 00 1
E)
0 00 0
12
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Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822
13
Semestral Intensivo UNI Álgebra
14. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.
I. AB2AA3B=A5B3
II. (A+B)(A+I)=A2+(B+I)A+B III. (A – I)3=A3 – 3A2+3A – I Considere A, B e I matrices cuadradas de igual
orden, además, I es la matriz identidad.
A) VVV B) VFF C) FVVD) FFF E) FFV
15. Dada la matriz
A =
0 1 00 0 11 0 0
Halle A100.
A) I3 B) A C) A2
D) – A E) O3
16. Si
A =
1 1 10 1 10 0 1
Determine el equivalente de An.
A)
11
20 10 0 1
nn n
n
( )+
B)
1 10 10 0 1
n n nn
( )+
C)
1 11
20 10 0 1
n n
n
( )+
D)
1 01
20 1 00 0 1
n n( )+
E)
1 20 1 00 0 1
n n n( )+
17. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. Si A es una matriz cuadrada, entonces A+At
es simétrica.
II. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de
una matriz simétrica y de una matriz antisi-
métrica.
III. Sea A una matriz cuadrada. Si A es involuti-
va, entonces 12( )I A− es idempotente.
A) VVF B) VFV C) VVV
D) FVV E) FFF
18. Si fx x x x
x( ) ! ! ! !...= + + + + +1
1 2 3 4
2 3 4 y
A =− −
− −
1 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 1 1
entonces determine f(A).
A) I+A+A2 B) I – A+A2 C) I+AD) I E) A
19. Sean las matrices
A =−
cos sensen cos
θ θθ θ
B=A×At
Calcule f(B) si f(x)=2x6+1.
A) I B) 4I C) 2ID) 3I E) B
14
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
NIVEL AVANZADO
20. Si Aa b
c=
10 10 0 1
y N=A – I3, señale cuáles son
las proposiciones verdaderas. I. N es una matriz nilpotente de grado de
nilpotencia 3. II. A es invertible. III. La inversa de I+N es I – N+N2 – N3.
A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo II E) todas
21. Sean las matrices
U =
1 2 12 4 21 2 1
; V =−
−
1 0 10 0 01 0 1
Q=aU+bV donde b ∈ R. Los valores de a, b para los cuales existen los números p, q tales que simultáneamente se cumple
Q p×
= ×
121
121
Q q×−
= ×−
101
101
son
A) solamente a=b=0.B) solamente a=0; b arbitrario.C) solamente b=0; a arbitrario.D) no existe tales números.E) a y b son arbitrarios.
UNI 2002 - II
22. Sea A=(aij)3×3 tal que
ai j
i jij =≥<
01;;
, halle Ak
k=∑1
10.
A) 5A+1 B) A+A2 C) A2+ID) I+A+A2 E) I+9A
23. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Indi-que verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. Si A3=I, entonces A=I. II. (a AB+bA)t=a Atbt+bAt, además; a y b son
números reales. III. traz(A×B)=traz A×traz B.
A) VVV B) VFF C) FFVD) FVF E) FFF
24. Indique las proposiciones verdaderas. Conside-re que A y B son matrices cuadradas del mismo orden.
I. Si A2+B2=2AB entonces A=B. II. Si AB=BA entonces AB3=B3A. III. Si A y B son matrices triangulares inferiores,
entonces AB es una matriz triangular inferior.
A) solo I B) I y II C) II y IIID) solo III E) todas
25. Si tenemos que
B =−
cos sen
sen cos
π π
π π3 6
6 3
Determine P(B) tal que P(x)=16x8 – 1.
A) 1 10 1
B)
12
12
12
12
−
C)
13
13
13
13
−
D) 1 00 1
E)
0 00 0
13
Álgebra
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Semestral Intensivo UNI Álgebra 14SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. Si A es una matriz definida por A=(aij)3×3 tal
que a
i j i j
i j i j
j i i jij =
− <+ =
− >
2
2
,,,
halle el valor del det(A).
A) 40 B) 42 C) 44D) 46 E) 48
2. Si se define que
Py y yy y xy y x
x y( ; ) = −− −
Determine P(1; 1)+P(2; 1)++P(3; 1)+...+P(10; 1).
A) 124 B) 140 C) 130D) 90 E) 120
3. Resuelva la siguiente ecuación matricial
6 52 2
3 02 2
11
11
−
=
xT
Luego, indique (|x|x+x+1) – 1.
A)
234
43
0−
B)
134
43
1− −
C)
234
43
1−
Determinantes
D)
234
43
1− −
E)
034
43
2−
4. Si a, b y c son constantes positivas, entonces el valor de x tal que
a x x xx b x xx x c x
++
+= 0 es
A) abc
ab bc ac+ +
B) −+ +abc
ab bc ac
C) − + +abc
a b c
D) abc
a b c+ +
E) abcUNI 1997 - I
5. El valor del determinante
F
a a
b b
c c
=
2
2
2
1
1
1
es
A) (a – b)(b – c)(c – a)B) (a – b)(c – b)(a+c)C) (b – a)(b+c)(a – c)D) (b – a)(b – c)(a – c)E) (a – b)(b – c)(a – c)
UNI 2004 - II
16
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 3
6. Si tenemos que
An m n
mm n=
− −
∧ ⊂0 1 21 1
; Z+ y |A+I|=24
Determine la suma de los posibles valores de n.
A) 12 B) 36 C) 16D) 22 E) 32
NIVEL INTERMEDIO
7. Sean a y b números enteros positivos pares, con estos números se forma la matriz.
Aa b a
b=
− −
0 1 21 1
si det(A+I)=12
(I: la matriz identidad), halle el determinante de la matriz.
a a
b b
22
A) – 12 B) – 10 C) 10D) 12 E) 16
8. Si E es una matriz definida por
E =
5 6 7 88 5 6 77 8 5 66 7 8 5
halle el det(E).
A) 0 B) 216 C) – 216D) – 416 E) – 532
9. Si M, N y Z son matrices definidas por
M =
2 2
2 2
2
2
cos sen
sen sen
θ θ
θ θ; N =
−
−
2 2
2 2
2
2
cos sen
sen cos
θ θ
θ θ
y Z=M · N, halle el valor del det(Z100).
A) sen2q B) cos2q C) senqcosqD) 0 E) 1
10. Si A=(aij)3×3 es una matriz, tal que |A|=2 y B=(bij)2×2 es otra matriz, tal que |B|=3. Halle
el valor de TA B
ABt=
3 2.
A) 144 B) 576 C) 1152D) 1628 E) 2304
11. Sea A una matriz cuadrada de orden 5. Si
|A|=2, halle el valor de E A At= 2 3 .
A) 211 B) 212 C) 213
D) 214 E) 215
12. Determine el número de valores reales de x para que la siguiente matriz sea singular.
Ae
e
e
x
x
x
=
+
+
+
1 2 3 7
1 3 7
1 2 7
1 2 3
1
1
1
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
13. Sean A, B y C tres matrices cuadradas del mismo orden que cumplen las siguientes relaciones.
I. ABC – 2=AC3
II. det(AC) ≠ 0
III. c− =
1 55 5454 53
Calcule el valor del det(B6).
A) 0 B) 1/2 C) 1D) 2 E) – 1
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6. Si tenemos que
An m n
mm n=
− −
∧ ⊂0 1 21 1
; Z+ y |A+I|=24
Determine la suma de los posibles valores de n.
A) 12 B) 36 C) 16D) 22 E) 32
NIVEL INTERMEDIO
7. Sean a y b números enteros positivos pares, con estos números se forma la matriz.
Aa b a
b=
− −
0 1 21 1
si det(A+I)=12
(I: la matriz identidad), halle el determinante de la matriz.
a a
b b
22
A) – 12 B) – 10 C) 10D) 12 E) 16
8. Si E es una matriz definida por
E =
5 6 7 88 5 6 77 8 5 66 7 8 5
halle el det(E).
A) 0 B) 216 C) – 216D) – 416 E) – 532
9. Si M, N y Z son matrices definidas por
M =
2 2
2 2
2
2
cos sen
sen sen
θ θ
θ θ; N =
−
−
2 2
2 2
2
2
cos sen
sen cos
θ θ
θ θ
y Z=M · N, halle el valor del det(Z100).
A) sen2q B) cos2q C) senqcosqD) 0 E) 1
10. Si A=(aij)3×3 es una matriz, tal que |A|=2 y B=(bij)2×2 es otra matriz, tal que |B|=3. Halle
el valor de TA B
ABt=
3 2.
A) 144 B) 576 C) 1152D) 1628 E) 2304
11. Sea A una matriz cuadrada de orden 5. Si
|A|=2, halle el valor de E A At= 2 3 .
A) 211 B) 212 C) 213
D) 214 E) 215
12. Determine el número de valores reales de x para que la siguiente matriz sea singular.
Ae
e
e
x
x
x
=
+
+
+
1 2 3 7
1 3 7
1 2 7
1 2 3
1
1
1
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
13. Sean A, B y C tres matrices cuadradas del mismo orden que cumplen las siguientes relaciones.
I. ABC – 2=AC3
II. det(AC) ≠ 0
III. c− =
1 55 5454 53
Calcule el valor del det(B6).
A) 0 B) 1/2 C) 1D) 2 E) – 1
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Semestral Intensivo UNI Álgebra
14. Determine el equivalente de P(x).
P
a a a ax
xx
x( ) =−
−−
0 1 2 3
1 0 00 1 00 0 1
A) P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
B) P(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3
C) P(x)=x3+a0x2+a1x+a2
D) P(x)=a0x3+a1x2+a3x+a2
E) P(x)=a0x3+a3x2+a1x+a2
15. Resuelva la siguiente ecuación.
1 1 1 11 1 1 11 1 2 11 1 1 3
0( )
( )( )
−−
−
=x
xx
Indique la suma de soluciones.
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
16. Se define la siguiente expresión.
f x
x x x
x x x
x x x( ) det= −
− −
2 3 3
3 2 3
3 3 2
entonces resuelva la ecuación f(x) ≥ 0.
A) [0; +∞⟩ B) [1; +∞⟩ C) R+
D) R E) φ
17. Halle el determinante de la matriz A.
A
aax a
ax ax a
ax ax ax a
=
−−
−
1 0 01 0
12
3 2
A) x(x+a)3 B) – a(x – a)3 C) a(x+a)3
D) a3(x+a)
E) a(x+a)4
18. Dada la matriz simétrica A=(aij)2×2 que satisfa-ce la condición A2+(2A)t+I=0. Halle la matriz A–1.
A) – I B) I C) 3ID) 5I E) 5/3 I
19. Si A es una matriz definida por A=−
−
2 0 10 2 01 4 0
halle la suma de los elementos de la matriz A–1.
A) 3 B) 0 C) 12/5D) 7/2 E) 15/2
NIVEL AVANZADO
20. Resuelva la siguiente ecuación
2010 1 0 02010 2010 1 0
2010 2010 2010 1
2010 2010 2010 2010
2
3 2
−−
−
x
x x
x x x
==0
Determine la suma de raíces.
A) 6030 B) – 6030 C) – 4020D) 2010 E) 4020
21. Determine el número de valores reales de x para que la matriz.
AE
EE
=− − −
− − −+
2 1 12 3 41 1 2
sea no invertible, considere que
E x x= + + +( )−2 2
14 4
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
18
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22. Se define la matriz M=(mij)n×n, tal que
m
i i j
i j
i jij
j
ij
+ ><
=
10
2
sisi
si
Calcule el det(2n+1A6).
A) 4n(n – 1)2 B) 2n(n+1)2
C) 2n(2n+1)2
D) 2n(2n – 1)2 E) 4n(n+1)2
23. Si A es una matriz definida por
A =
− −
8 5 1 36 3 4 33 2 0 21 2 6 2
Halle el det(A).
A) 120 B) 60 C) 48D) 24 E) 0
24. Si se tiene
A =
1 7 493 6 122 6 18
; B = −
1 1 12 1 39 0 16
y O es la
matriz nula de orden 3×3, entonces halle el
determinante de A OO B
.
A) 1440 B) 1240 C) –1440D) 1210 E) 2880
25. Si A es una matriz cuadrada de orden 4 que sa-tisface la ecuación matricial A3+3A2+3A+I=0, (O matriz nula de orden 4), halle la matriz (A2+A+I) – 1.
A) A+I B) A+2I C) A+3ID) 2A+I E) 2A+3I
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14. Determine el equivalente de P(x).
P
a a a ax
xx
x( ) =−
−−
0 1 2 3
1 0 00 1 00 0 1
A) P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
B) P(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3
C) P(x)=x3+a0x2+a1x+a2
D) P(x)=a0x3+a1x2+a3x+a2
E) P(x)=a0x3+a3x2+a1x+a2
15. Resuelva la siguiente ecuación.
1 1 1 11 1 1 11 1 2 11 1 1 3
0( )
( )( )
−−
−
=x
xx
Indique la suma de soluciones.
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
16. Se define la siguiente expresión.
f x
x x x
x x x
x x x( ) det= −
− −
2 3 3
3 2 3
3 3 2
entonces resuelva la ecuación f(x) ≥ 0.
A) [0; +∞⟩ B) [1; +∞⟩ C) R+
D) R E) φ
17. Halle el determinante de la matriz A.
A
aax a
ax ax a
ax ax ax a
=
−−
−
1 0 01 0
12
3 2
A) x(x+a)3 B) – a(x – a)3 C) a(x+a)3
D) a3(x+a)
E) a(x+a)4
18. Dada la matriz simétrica A=(aij)2×2 que satisfa-ce la condición A2+(2A)t+I=0. Halle la matriz A–1.
A) – I B) I C) 3ID) 5I E) 5/3 I
19. Si A es una matriz definida por A=−
−
2 0 10 2 01 4 0
halle la suma de los elementos de la matriz A–1.
A) 3 B) 0 C) 12/5D) 7/2 E) 15/2
NIVEL AVANZADO
20. Resuelva la siguiente ecuación
2010 1 0 02010 2010 1 0
2010 2010 2010 1
2010 2010 2010 2010
2
3 2
−−
−
x
x x
x x x
==0
Determine la suma de raíces.
A) 6030 B) – 6030 C) – 4020D) 2010 E) 4020
21. Determine el número de valores reales de x para que la matriz.
AE
EE
=− − −
− − −+
2 1 12 3 41 1 2
sea no invertible, considere que
E x x= + + +( )−2 2
14 4
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
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22. Se define la matriz M=(mij)n×n, tal que
m
i i j
i j
i jij
j
ij
+ ><
=
10
2
sisi
si
Calcule el det(2n+1A6).
A) 4n(n – 1)2 B) 2n(n+1)2
C) 2n(2n+1)2
D) 2n(2n – 1)2 E) 4n(n+1)2
23. Si A es una matriz definida por
A =
− −
8 5 1 36 3 4 33 2 0 21 2 6 2
Halle el det(A).
A) 120 B) 60 C) 48D) 24 E) 0
24. Si se tiene
A =
1 7 493 6 122 6 18
; B = −
1 1 12 1 39 0 16
y O es la
matriz nula de orden 3×3, entonces halle el
determinante de A OO B
.
A) 1440 B) 1240 C) –1440D) 1210 E) 2880
25. Si A es una matriz cuadrada de orden 4 que sa-tisface la ecuación matricial A3+3A2+3A+I=0, (O matriz nula de orden 4), halle la matriz (A2+A+I) – 1.
A) A+I B) A+2I C) A+3ID) 2A+I E) 2A+3I
17
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Semestral Intensivo
SuceSioneS realeS
01 - E
02 - d
03 - a
04 - a
05 - d
06 - d
07 - b
08 - d
09 - a
10 - b
11 - c
12 - c
13 - E
14 - d
15 - a
16 - E
17 - E
18 - E
19 - a
20 - d
21 - c
22 - a
23 - c
24 - b
25 - b
SerieS numéricaS
01 - c
02 - a
03 - b
04 - c
05 - a
06 - b
07 - d
08 - c
09 - e
10 - d
11 - a
12 - b
13 - d
14 - d
15 - d
16 - c
17 - c
18 - c
19 - e
20 - c
21 - e
22 - d
23 - d
24 - e
25 - c
matriceS
01 - a
02 - d
03 - c
04 - b
05 - a
06 - b
07 - a
08 - d
09 - d
10 - e
11 - a
12 - d
13 - b
14 - c
15 - b
16 - a
17 - c
18 - c
19 - d
20 - e
21 - e
22 - b
23 - e
24 - c
25 - e
DeterminanteS
01 - b
02 - c
03 - a
04 - b
05 - e
06 - c
07 - a
08 - d
09 - d
10 - b
11 - c
12 - c
13 - c
14 - b
15 - c
16 - d
17 - c
18 - a
19 - e
20 - b
21 - c
22 - e
23 - e
24 - c
25 - b