UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA SIMULACION

1.1 DEFINICIONES E IMPORTANCIA DE LA SIMULACIÓNIntroducción a la simulación en la ingeniería

Con la llegada de las computadoras una de las más importantes herramientas para analizar el diseño y operación de sistemas o procesos complejos es la simulación.

Aunque la construcción de modelos arranca desde el renacimiento, el uso moderno de la palabra simulación data de 1940, cuando los científicos Von Neuman y Ulam que trabajaban en el proyecto Monte Carlos, durante la segunda guerra mundial, resolvieron problemas de reacciones nucleares cuya solución experimental sería muy cara y el análisis matemático demasiado complicado.

Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.

Importancia de la simulación en la Ingeniería.

• A través de un estudio de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando los efectos de esas alteraciones en el comportamiento del sistema.

• Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren la operación.

• La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la operación del sistema, a detectar las variables más importantes que interactúan en el sistema y a entender mejor las interrelaciones entre estas variables.

• La técnica de simulación puede ser utilizada para experimentar con nuevas situaciones, sobre las cuales tiene poca o ninguna información. A través de esta experimentación se puede anticipar mejor a posibles resultados no previstos.

• Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede ser usada para anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en el comportamiento del sistema.

Aplicaciones de la Simulación

Las áreas de aplicación de la simulación son muy amplias, numerosas y diversas, basta mencionar sólo algunas de ellas: Análisis del impacto ambiental causado por diversas fuentes Análisis y diseño de sistemas de manufactura. Análisis y diseño de sistemas de comunicaciones. Análisis de grandes equipos de cómputo. Análisis de un departamento dentro de una fábrica. Adiestramiento de operadores. Análisis financiero de sistemas económicos. Evaluación de sistemas tácticos o de defensa militar.

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA SIMULACIÓN

¿Qué es simulación?

Aunque la mayoría de la gente tiene una ligera idea de lo que es la simulación, existe mucha confusión de términos y conceptos que se aclararán en esta etapa. Por ejemplo, podemos pensar en los juegos de niños donde actúan como si fuesen vaqueros (cowboys) en un pueblo del Oeste Americano de hace un siglo. Pero esta intuición a menudo no se corresponde con la definición formal de simulación. Lo que usualmente sí se tiene claro es que cada vez resulta más importante en el mundo de la ciencia y la tecnología, la economía, las ciencias sociales, etc. 

El Modelo

Mientras que en simulación fuera del ordenador se requiere montar una réplica física de lo que se quiere estudiar, lo que se conoce por maqueta, en simulaciones por ordenador es necesario definir un modelo a partir de reglas matemáticas y/o lógicas.Un modelo de simulación adquiere importancia y significado en virtud de su similitud con un fenómeno de interés determinado.  La similitud del modelo respecto al fenómeno de origen se clasifica en los siguientes tipos:

Similitud Física: este es el tipo de similitud que más se asocia cuando se habla de simulación en general y concretamente en realidad virtual aplicada a la simulación, aunque no por esto es más importante que los otros tipos. Este tipo comprende diversas componentes de similitud que pueden ser o no importantes en cada caso: visual, sonora, mecánica, química, táctil, etc.

Similitud Probabilística: este tipo proviene del comportamiento del fenómeno de origen. La disciplina de la estadística conocida por análisis de probabilidad se encarga de estudiar la probabilidad con que un fenómeno tiende a manifestarse. Por lo tanto, la similitud probabilística hace referencia a las propiedades funcionales del fenómeno de estudio.

Similitud Conceptual: esta similitud hace referencia a las estructuras internas del fenómeno de estudio y a como están organizadas. Por esta razón, se pueden definir la siguientes propiedades de la similitud conceptual: asociativa, por analogía, estructural, etc.

La simulación, por lo general, intenta responder la pregunta:

o Que se puede aplicar cuando no es práctico experimentar con el sistema real en su entorno natural, ya sea por cuestiones de seguridad, de tamaño, de tiempo, etc.

o Que la simulación es el único medio que permite investigar las características de diseño de un sistema determinado, es decir, que permite descomponerlo y analizarlo por partes. Por lo tanto fuerza la especificación detallada del sistema y en consecuencia del problema.

o Que se puede aplicar cuando no existen técnicas matemáticas o analíticas para el problema tratado. Debido a esto se experimentan nuevas técnicas, algoritmos, etc.

o Que se puede aplicar cuando se ha de evaluar un sistema utilizando medidas estadísticas.

o Que se puede aplicar cuando es necesario simular un período de tiempo muy largo de forma comprimida, o viceversa.

o Que permite detectar problemas no previstos debido al análisis que se realiza del funcionamiento del modelo.

Existen diversas clasificaciones de modelos según el enfoque deseado:

Clasificación Formal de modelos (WHICKER, SIGELMAN, 1991):

Modelos Físicos: Son aquellos que pretenden ser una réplica física del sistema estudiado. Por ejemplo: un túnel de viento, el cual puede ser construido tanto físicamente como mediante una aplicación de realidad virtual. En los dos casos, son un modelo de un mismo fenómeno de estudio; concretamente la dinámica de fluidos del aire.

Modelos Esquemáticos: Son aquellos que presentan ciertas características del sistema. Por ejemplo: el plano de un edificio, donde se está perdiendo cierta información volumétrica, de materiales, etc., pero en cambio nos aporta una información de organización espacial.

Modelos Simbólicos: Son aquellos que codifican mediante algún lenguaje matemático o informático las características del sistema. Por ejemplo, unas fórmulas de comportamiento económico, donde el fenómeno de origen no tiene unas propiedades físicas, sino que es fruto de una organización social.

1.3 METODOLOGÍA DE LA SIMULACIÓN DEFINICIÓN DEL SISTEMA FORMULACIÓN DEL MODELO COLECCIÓN DE DATOS IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO CON LA COMPUTADORA VALIDACIÓN LA OPINIÓN DE EXPERTOS SOBRE LOS RESULTADOS DE

LA SIMULACIÓN. LA EXACTITUD CON QUE SE PREDICEN DATOS HISTÓRICOS. LA EXACTITUD EN LA PREDICCIÓN DEL FUTURO. LA COMPROBACIÓN DE FALLA DEL MODELO DE SIMULACIÓN AL

UTILIZAR DATOS QUE HACEN FALLAR AL SISTEMA REAL. LA ACEPTACIÓN Y CONFIANZA EN EL MODELO DE LA PERSONA

QUE HARÁ USO DE LOS RESULTADOS QUE ARROJE EL EXPERIMENTO DE SIMULACIÓN.

EXPERIMENTACIÓN INTERPRETACIÓN DOCUMENTACION.

1.4 MODELOS Y CONTROL

Los objetivos que se persiguen al estudiar uno o varios fenómenos en función de un sistema son aprender cómo cambian los estados, predecir el cambio y controlarlo, todo sistema consta de 3 características; Tienen fronteras, existe dentro de un medio ambiente y tiene subsistemas, el medio ambiente es el conjunto de circunstancias dentro de las cuales esta una situación problemática, mientras que las fronteras distinguen las entidades dentro de un sistema de las entidades que constituyen su medio ambiente.

1.5 ESTRUCTURA Y ETAPAS DEL ESTUDIO DE LA

 SIMULACIÓN

Tipos de simulacionesEn este punto, en que ya se ha definido lo que se entiende por modelo y por simulación, se pasará a ver qué tipos generales de simulación se definen habitualmente:

Persona - Persona: Simulaciones de tipo social en las que se estudian las reacciones de personas o colectivos. Por ejemplo: entrenamiento de entrevistas de trabajo. Se sitúa a dos personas en los papeles de entrevistador y entrevistado

y después de actuar durante un período de tiempo, se intercambian los papeles para poder entender los procesos inversos.

Tipos de simulaciones por ordenador

Tal y como se ha expuesto ya, las simulaciones por ordenador son simulaciones en las que no interviene la interacción de una persona. Así pues, estos procesos en los que se definen unos datos iniciales (el estado inicial) y a partir de unos algoritmos se les hace evolucionar durante un tiempo determinado, se pueden clasificar en tres tipos principales (MCHANEY, 1991):

Tipo Monte Carlo: En estas, en realidad no interviene el tiempo y se basan en la aleatoriedad y la probabilidad. 

Simulaciones Continuas: Sistemas modelados por ecuaciones diferenciales o algebraicas que dependen del paso del tiempo de forma continua. 

Por Eventos discretos: Se caracterizan por el paso de bloques de tiempo en los que se considera que “no pasa nada” y donde se puntúan eventos que cambian el estado del sistema. Sobre todo se basan en teoría de colas. 

Para tener una definición exacta del sistema que se desea simular, es necesario hacer primeramente un análisis preliminar de este, con el fin de determinar la interacción con otros sistemas, las restricciones del sistema, las variables que interactúan dentro del sistema y sus interrelaciones, las medidas de efectividad que se van a utilizar para definir y estudiar el sistema y los resultados que se esperan obtener del estudio.

Una vez definidos con exactitud los resultados que se esperan obtener del estudio, se define y construye el modelo con el cual se obtendrán los resultados deseados. En la formulación del modelo es necesario definir todas las variables que forman parte de él, sus relaciones lógicas y los diagramas de flujo que describan en forma completa el modelo.

Es importante que se definan con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para producir los resultados deseados.

Con el modelo definido, el siguiente paso es decidir si se utiliza algun lenguaje como el fortran,lisp,etc..., o se utiliza algun paquete como Vensim,Stella e iThink,GPSS,Simula,Simscript,Rockwell Arena, etc..., para procesarlo en la computadora y obtener los resultados deseados.

A través de esta etapa es posible detallar deficiencias en la formulación del modelo o en los datos alimentados al modelo. Las formas más comunes de validar un modelo son:

Se realiza después de que el modelo haya sido validado, consiste en generar los datos deseados y en realizar un análisis de sensibilidad de los índices requeridos.

Se interpretan los resultados que arroja la simulación y con base a esto se toma una decisión  Es obvio que los resultados que se obtienen de un estudio de simulación ayuda a soportar decisiones del tipo semi-estructurado.

Dos tipos de documentación son requeridos para hacer un mejor uso del modelo de simulación  La primera se refiere a la documentación del tipo técnico y la segunda se refiere al manual del usuario, con el cual se facilita la interacción y el uso del modelo desarrollado.El concepto de sistema en general está sustentado sobre el hecho de que ningún sistema puede existir aislado completamente y siempre tendrá factores externos que lo rodean y pueden afectarlo.

Conceptos Básicos de Sistemas

Entidad: "Una entidad es algo que tiene realidad física u objetiva y distinción de ser o de carácter".Las entidades tienen ciertas propiedades que los distinguen a unas de otras.Relación: “Relación” es la manera en la cual dos o más entidades dependen entre sí". Relación es la unión que hay entre las propiedades de una o más entidades; por consiguiente, el cambio en alguna propiedad de una entidad ocasiona un cambio en una propiedad de otra entidad.Estructura: Es un conjunto de relaciones entre las entidades en la que cada entidad tienen una posición, en relación a las otras, dentro del sistema como un todo.Estado: El estado de un sistema en un momento del tiempo es el conjunto de propiedades relevantes que el sistema tiene en este momento. Cuando se  habla del estado de un sistema, entiende los valores de los atributos de sus entidades. Analizar un sistema supone estudiar sus cambios de estado conforme transcurre el tiempo. 

Moderación de sistemas

Puede ser una representación formal de la teoría o una explicación formal de la observación empírica, a menudo es una combinación de ambas. Los propósitos de usar un modelo son los siguientes:

Hace posible que un investigador organice sus conocimientos teóricos y sus observaciones empíricas sobre un sistema y deduzca las consecuencias lógicas de esta organización.

Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un aspecto del mismo, se producen cambios o alteraciones en otros. Es en estos casos en los que la simulación, representa una buena alternativa para analizar el diseño y operación de complejos procesos o sistemas.

Describir el comportamiento de sistemas.Hipótesis que expliquen el comportamiento de situaciones problemáticas.Predecir un comportamiento futuro, es decir, los efectos que se producirán mediante cambios en el sistema o en su método de operación.

Un modelo se utiliza como ayuda para el pensamiento al organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistentes. Al realizar un análisis de sistemas, se crea un modelo del sistema que muestre las entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construcción de un modelo ayuda a organizar, evaluar y examinar la validez de pensamientos.

FORMULACIÓN DEL MODELO: Una vez que están definidos con exactitud los resultados que se desean obtener del estudio el siguiente paso es definir y construir el modelo con el cual se obtendrán los resultados deseados. Aquí es necesario definir las variables que forman parte del modelo, sus relaciones lógicas y los diagramas de flujo que describan en forma completa al modelo.COLECCIÓN DE DATOS: Es posible que la facilidad de obtención de algunos datos o la dificultad de conseguir otros, pueda influenciar el desarrollo y formulación del modelo. Por ello es importante que se defina con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para producir los resultados deseados.IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO EN LA COMPUTADORA: Aquí se define cual es el lenguaje que se va a utilizar algunos de estos pueden ser de propósito general como: Visual basic, Java, Delphi o se pueden usar unos paquetes como: GBSS, SIMULA, PROMODEL.VALIDACIÓN: A través de esta etapa es posible detallar definiciones en la formulación del modelo o en los datos alimentados al modelo. Las formas más comunes de validar un modelo son:a)Opinión de expertos b)La exactitud con la que se predicen los datos C)Exactitud de la predicción del futuro d)Comprobación de la falla del modelo de simulación al

utilizar datos que hacen fallar al sistema. e) Aceptación y confianza en el modelo de la persona que lo usara.EXPERIMENTACIÓN: La experimentación con el modelo se realizara después de que este ha sido validado. La experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizar análisis de sensibilidad de los índices requeridos.INTERPRETACIÓN: A que se interpretan los resultados que arroja la simulación y en base a esto se toma una decisión.DOCUMENTACIÓN: Existen dos tipos de documentación que son requeridos para hacer un mejor uso del modelo de simulación.Documentación Técnica: Es la documentación que con el departamento de procesamiento de datos debe tener del modelo. Manual del Usuario: Es la documentación que facilita la interpretación y el uso del modelo desarrollado a través de una terminal de computadora.

1.6 ETAPAS DE UN PROYECTO DE SIMULACIÓNFORMULACIÓN DEL PROBLEMA.

Otro importante aspecto abordado en la investigación es la identificación y estudio de las técnicas de integración para la formulación de las tareas docentes. Sin pretender profundizar en las complejidades que encierra una investigación pedagógica sobre el tema, a continuación se describen muy brevemente algunas técnicas utilizadas para la formulación de problemas químicos de integración estructural, que son los más importantes:

1.-Modelación. Fijado el objetivo que se persigue en la creación de un problema, inmediatamente se activan los componentes intelectuales básicos: sensaciones, percepciones, memoria, pensamiento e imaginación. Con ellos se comienzan a dibujar en el cerebro nuevas ideas en forma de imágenes, con la necesidad de ser exteriorizadas mediante la construcción de modelos gráficos, es por ello que los elementos estructurales del problema son plasmados en el papel antes de su redacción en el formato final.

2.-Tanteo-error. Consiste en un proceso continuo de adecuación y ajuste por búsqueda y prueba de los datos y/o las incógnitas según las condiciones del problema, hasta encontrar las más adecuadas. La búsqueda puede ser de tipo inteligente o arbitrario, y en ocasiones es utilizada para modificar las condiciones y con ella reordenar los elementos estructurales. Se evidencia su utilización en el gran número de operaciones de cálculo que son realizadas, así como en tachaduras y borrones que generalmente aparecen sobre el papel del formulador.

3.Asociación por analogía. En esta técnica se hace uso de la reproducción en una primera fase. Consiste en establecer nuevos nexos entre datos e incógnitas siguiendo formatos y textos guardados en la memoria para obtener otras por medio de la innovación. Es evidente que sobre las ideas iniciales, posteriormente se introducen modificaciones, que consisten en relacionar los datos de otra forma, introducir nuevas condiciones o cambiar la forma de redactar las preguntas, para obtener al final un problema derivado, que si bien no se caracteriza por su originalidad, sí constituye una nueva tarea.

4.-Integración por inclusión. Es una técnica muy sencilla, cuyo procedimiento es asequible a cualesquier sujeto. Consiste en elaborarla de forma tal que las incógnitas de los diferentes incisos mantengan una dependencia sucesiva en forma de cadena, como el ejemplo de la página 37, donde fueron caracterizados los sistemas semiabiertos, para luego eliminar los iniciales y solo dejar la incógnita final.

5.-Reformulación. Consiste en reconstruir la estructura gramatical y de sistema mediante procesos de innovación. Se diferencia de la analogía por la profundidad de los cambios introducidos, puesto que se parte de un ejemplo concreto que debe ser modificado y no de recuerdos que pueden ser borrosos y a veces confusos.

6.-Fusión de tareas (o contenidos) auxiliares. Como parte de las estrategias de integración, la fusión de tareas docentes auxiliares constituye una de las más importantes. Es poco empleada, debido a la elevada complejidad que implica el establecimiento de relaciones múltiples entre datos e incógnitas que proceden de ejemplos diferentes, aunque también pueden ser integrados diversos contenidos previamente seleccionados, que guarden una relación directa o indirecta. Consiste en fusionar dos o más contenidos (que pueden o no proceder de otras tareas), mediante los mecanismos de la integración externa o interna, para obtener otra con un mayor nivel de complejidad.

1.-Partir del análisis de los objetivos de los programas, siguiendo un enfoque sistémico en su derivación gradual, desde los más generales de la enseñanza hasta la clase.

2.-Proporcionar en las tareas relaciones ricas entre los nuevos conocimientos y los esquemas existentes, donde estén presentes todos los niveles de integración de los conocimientos y las habilidades, hasta llegar al nivel interdisciplinario.

3.-Desarrollar una adecuada variedad, concebida la variedad no sólo en términos de enfoque que propicien reflexión, estimulen el debate y permitan crear motivos cognoscitivos, sino también en relación con las funciones, habilidades, niveles de asimilación y complejidad, entre otros.

4.-Presentar la información tanto en términos positivos y familiares como con complejidad lógico lingüística, ir desde la simple descripción del lenguaje simbólico

hasta la exigencia de complicadas transformaciones, como por ejemplo negaciones o varias premisas con diferentes enlaces lógicos, textos complejos a interpretar o informaciones no utilizables, entre otras.

5.-Redactar las tareas de forma tal que expresen siempre más de una función. Además de la función cognoscitiva, incorporar situaciones nuevas, con diferentes niveles de complejidad, tanto de la vida diaria, la orientación profesional o el cuidado del medio ambiente, como de la actualidad político- ideológica del país.

6.-Establecer un adecuado equilibrio entre los problemas que serán formulados, dejando un espacio a los problemas experimentales y cualitativos, que son insuficientes en los textos de la enseñanza media.

1.7 ELEMENTOS BÁSICOS DE UN SIMULADOR DE EVENTOS DISCRETOS.

 I. Facilidad de modelamiento:

En general la simulación de eventos discretos permite modelar situaciones de alto nivel de complejidad con funciones relativamente sencillas, de esta forma es posible construir modelos que representen la realidad en el nivel de detalle deseado, por ejemplo el diseño de un modelo de un centro de distribución con recibo, almacenamiento, picking de estibas, zona de fast picking, alistamiento y despacho.

II. Estadísticas e indicadoresDada la estructura de la simulación de eventos discretos es posible obtener todo tipo de estadísticas e indicadores relevantes a la operación modelada, inclusive se puede obtener información que muchas veces en los sistemas reales sería inimaginable tener, como por ejemplo: diagramas de gantt de las piezas en proceso, utilización de los recursos humanos, diagrama de gantt de los recursos utilizados, tiempos de ciclo de piezas en proceso).

I. Entidades

Son los objetos que fluyen a través del sistema, podrían ser: clientes, productos, cajas, camiones y pallets entre otros

II. Atributos

Son las diferentes características que definen a las entidades: tipo, edad, género, peso, volumen, tiempo de inicio de un proceso.

III. Variables

Son aquellas que definen el modelo y sus estados como un conjunto: número de entidades en proceso, número de entidades entrantes, número de entidades salientes, costo de proceso unitario.

IV. Reloj de simulación

Variable que lleva control del tiempo virtual de simulación, no se debe confundir con el tiempo real de ejecución, es decir mientras en mi reloj de mano pasaron 5 minutos desde que se ejecutó la simulación, en el modelo el reloj de simulación podría haber avanzado días, meses o inclusive años.

V. Eventos

Diferentes tipos de acontecimientos que ocurren a través de la simulación, que hacen que el reloj de simulación avance, tales como: llegada de un paciente, daño de una máquina, inicio de operación de un trabajador, finalización de un proceso de fabricación.

VI. RecursosObjetos a los que se les asocia algún tipo de gasto o de consumo de los mismos para realización de tareas de operación o transporte: operarios, montacargas, máquinas, buffers de almacenamiento, bandas transportadoras.

UNIDAD 2. NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS

2.1 Métodos de generación de números Pseudoaleatorio Métodos mecánicos La generación de números aleatorios de forma totalmente aleatoria, es muy sencilla con alguno de los siguientes métodos: 1. Mediante una ruleta. Si estamos interesados en obtener números aleatorios discretos de una cifra (0,1,2,. . .,9), se hace girar una ruleta numerando los sectores del 0 al 9 y posteriormente se de1tiene anotándose el número de sector. La probabilidad de obtener cualquier número de la secuencia anterior es 1/10.

Si en lugar de generar números aleatorios de una cifra, necesitamos generar números aleatorios uniformes de k cifras, con valores de la variable aleatoria en el conjunto, con probabilidad 1/10, no tenemos nada más que partir de una tabla de números aleatorios de una cifra, y agruparlos de en ; los números resultantes son aleatorios de cifras.

La generación de números aleatorios de una variable aleatoria uniforme (0, 1) constituye el paso siguiente, ya que esa distribución juega un papel fundamental en la generación de variables aleatorias con otras distribuciones. Supongamos que estamos interesados en la generación de números aleatorios con cifras

decimales y uniformes en el intervalo (0, 1). El primer paso será generar números (), uniformes de cifras para posteriormente, a través de una transformación = /10 , pasarlos al dominio (0, 1)

2. Mediante una moneda o un dado: Se lanza una moneda o un dado y se anota el resultado.

3. Uso de guías telefónicas: Coger la guía telefónica de una provincia, abrir una página al azar y anotar de cada número de teléfono las cuatro últimas cifras.

4. Recurrir a tablas de números aleatorios.

Métodos de generación aritméticos Los procedimientos de generación de números aleatorios más utilizados son de tipo aritmético y suelen ser de tipo recursivo. Cada número aleatorio se obtiene en función del último número obtenido, o de un número relativamente pequeño de los números obtenidos previamente. Si se considera el caso en el que cada número depende exclusivamente del anterior, la fórmula de generación será:

Método de los cuadrados mediosEste método consiste en generar aleatoriamente un número de cuatro dígotos, denominado la semilla, elevarlo al cuadrado y establecer una forma de tomar los cuatro números centrales del resultado de la exponenciación, ya sea quitando dos o un solo dígito de cada extremo del resultado.

EJEMPLO: Sea la semilla RND0=4380 (obtenida aleatoriamente con el procedimiento de “papelitos” o tarjetas numeradas del 0 al 9 cada una extraídas con reemplazo de una tómbola).

A continuación elevamos la semilla al cuadrado:

(4380) 2=19184400, por lo que al eliminar las cifras exteriores 19 y 00, tenemos que nuestro primer número aleatorio generado es:

RND1=1844

Aplicamos iterativamente este procedimiento y tendremos:

(1844)2=3400336. Como ésta es una cifra con un número impar de dígitos, establecemos el criterio de aumentar por la izquierda un cero (puede ser a la derecha), es decir, ahora tendremos: 03400336. Entonces, al eliminar a la izquierda la cifra 03 y a la derecha la cifra 36, tendremos: RND2=4003Repetimos una vez más el procedimiento:

(4003)2=16024009, eliminando a la izquierda la cifra 16 y a la derecha la cifra 09, tenemos:

RND2=0240

(240)2=57600, entonces: 057600. Aquí se elimina un solo dígito tanto a la izquierda como a la derecha, por lo que:

RND4=5760 (5760)2=33177600

RND5=1776; y así sucesivamente, hasta obtener el tamaño de muestra deseado, o bien hasta que el procedimiento se “degenere” repitiendo una serie de números previamente generados. A la cantidad de números diferentes obtenida se le llama periodo del generador.

2.2 Pruebas estadísticas En esta sección se describen 2 de las pruebas estadísticas que se aplican a los números pseudoaleatorios generados por cualquiera de los métodos anteriores; en la primera de ellas, se tratará de verificar la hipótesis de que los números generados provienen de la distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1], en la segunda de ellas, se aplicará la prueba de corrida, misma que sirve para verificar que los números son efectivamente aleatorios. A continuación se detallan ambas pruebas:

2.2.1 De uniformidad. (chi cuadrada, kolmogorov-Smimov)

Prueba de Kolmogorov-Smirnov Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una determinada distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica (dada por las observaciones) y la teórica supuesta. La estadística D es obviamente una variable aleatoria.

A continuación se detalla cómo se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tenga una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1].

La hipótesis a probar es que cierta función F(y) es la función de distribución acumulada de una población de la que se ha tomado una muestra y1, y2,…yn. definamos la siguiente función de distribución empírica. Supóngase qué Y es una variable aleatoria continua que tiene una función de distribución acumulada F(y). considérese la muestra aleatoria de n observaciones de Y: y1, y2,…yn.

Reordenemos esos valores observados de manera ascendente, y las y i ordenadas se presentan medinate y(1)<-y(2) Por ejemplo, si y1=9, y2=11 y y3=7, entonces y1=7, y2=9=11.

Ahora bien definamos la siguiente función de distribución acumulada empírica:

Fn(y) = fracción de la muestra menor o igual a y cuya ecuación está dada por:

Donde y0=∞.

Por otro lado, supóngase que se toma una variable aleatoria continua Y, balo la hipótesis nula, que tinene una función de distribución representada por F(y). la hipótesis es que F(y) no es la función verdadera de distribución de Y. Después de observar una muestra aleatoria de n valores de Y, F(y) deb estar “cerca” de Fn(y) siempre y cuando sea verdadera la hipótesis nula. Por tanto, la medida estadística debe valorar la cercanía de F(y) a Fn(y) en todo el intervalo de valores de Y.La medida estadística D de K-S se basa en la distancia máxima entre F(y) y Fn(y).

D= máx|F(y)-Fn(y)|

Como F(y) y Fn(y) no son decrecientes Fn(y) es constante entre observaciones de muestra, la desviación máxima entre F(y) y Fn(y), se presentará ya sea en uno de los puntos de observación y1, y2,…yn o inmediatamente a la izquierda de uno de ellos. Para determinar el valor observado de D, solamente se necesita determinar el valor de D, de la siguiente manera:

D+= máx [ i/n - Fn(yi)]; 1<i<n

Y también D+= máx [ F(yi) – i-1/n]; 1<i<n

Ya que: D= máx (D+,D-)

Si en H0 se supone la forma de F(y), pero se dejan sin especificar algunos de los parámetros, entonces se deben estimar a partir de los datos de la muestra antes de poder llevar a cabo la prueba.

2.2.2 De aleatoriedad. (corridas arriba y debajo de la media y longitud de corridas) Aquí se encuentran los resultados de una encuesta con una serie de cuestiones sobre lo que ocurriría jugando al ajedrez de forma aleatoria, así como los resultados obtenidos de una simulación mediante PC (Método de Monte Carlo) de ésta misma cuestión. Las respuestas a la encuesta se obtuvieron a través de Internet y de un BBS local. Las líneas marcadas con dos asteriscos son las respuestas verdaderas de acuerdo con los resultados de la simulación. El resumen de los resultados de la simulación al azar, muestra en la primera tabla, los datos parciales y acumulados que se obtuvieron después de simular 2.000.000 de partidas. Una segunda tabla muestra los resultados cuando se introduce la regla de los 50 movimientos, que no resultó significativa, ya que de las 264.831 tablas resultantes de la misma, 247.354 también lo hubiesen sido sin la aplicación de la regla. La tabla tercera muestra el porcentaje de veces que cada uno de los tipos de piezas aparece en la posición final del bando vencedor (naturalmente de las partidas que no fueron tablas). La cuarta tabla muestra el número de casillas que por término medio bate cada una de las piezas durante el desarrollo de las partidas. Como es bien conocido, esta es una medida del poder de cada pieza. Una última tabla muestra los resultados de simular tandas de 4.000.000 de simulaciones desde posiciones iniciales que solo contiene el material de los mates elementales.

Sea la siguiente sucesión binaria:

En la posición (1,1), el elemento 0 representa una corrida de longitud uno ya que a su derecha se encuentra un símbolo diferente, que es 1. Esto también es igual para el elemnto que se encuentra en la posición (1,2), ya que el símbolo 1 se encuentra entre dos ceros: el de la posición (1,1) y el de la posición (1,3). Ahora bien, los elementos que se encuentran en las posiciones (1,3) y (1,4) son ambos del mismo tipo, el 0 y éstos se encuentran enmarcados por los unos de las posiciones (1,2) y (1,5); por tanto, esta corrida es de longitud 2. De manera análoga, se determinan el resto de las corridas y sus longitudes.

2.2.3 De independencia. (Autocorrelación, prueba de huecos, prueba del póquer, prueba de Yule) La prueba Póquer, prueba grupos de números juntos como una mano de poker y compara cadamano con la mano esperada usando la prueba Chi-cuadrada. La prueba de corrida arriba abajo es generalmente.La prueba POKER se utiliza para analizar la frecuencia con la que se repiten los dígitos en números aleatorios individuales. Para determinar si los números aleatorios generados cumplen con las propiedades especificadas ( uniformidad e independencia ) se tendrán las hipótesis siguientes:

2.3 Método de Monte Carlo

2.3.1 Características La simulación de Montecarlo es un método especialmente útil para analizar situaciones que involucran riesgo con el propósito de obtener respuestas aproximadas cuando el realizar un experimento físico o el aplicar métodos analíticos no es posible o resulta muy difícil o costoso. La simulación de Montecarlo hace referencia a experimentos que involucran el uso de números pseudoaleatorios. El requisito clave de esta técnica es que los resultados de todas las variables de interés deben ser seleccionados aleatoriamente.La simulación de Montecarlo ha tenido una gran aceptación en la vida real debido al poder analítico que presenta sin la necesidad de matemáticas complejas.

2.3.2 AplicacionesSistemas de computación: redes de ordenadores, componentes, programación, bases de datos, fiabilidad.Fabricación: manejo de materiales, líneas de montaje, equipos de almacenamiento, control de inventario, mantenimiento, distribución en planta, diseño de máquinas.Negocios: análisis de existencias, política de precios, estrategias de marketing, estudios de adquisición, análisis de flujo de caja, predicción, alternativas del transporte, planificación de mano de obra.Gobierno: armamento y su uso, tácticas militares, predicción de la población, uso del suelo, prevención de incendios, servicios de policía, justicia criminal, diseño de vías de comunicación, servicios sanitarios.

Ecología y medio ambiente: contaminación y purificación del agua, control de residuos, contaminación del aire, control de plagas, predicción del tiempo, análisis de seísmos y tormentas, exploración y explotación de minerales, sistemas de energía solar, explotación de cultivos. Sociedad y comportamiento: estudios de alimentación de la población, políticas educativas, estructuras organizativas, análisis de sistemas sociales, sistemas de asistencia social, administración universitaria.

2.3.3 Solución de problemas Supongamos que tenemos un satélite, que para su funcionamiento depende de que al menos 2 paneles solares de los 5 que tiene disponibles estén en funcionamiento, y queremos calcular φ la vida útil esperada del satélite (el tiempo promedio de funcionamiento hasta que falla, usualmente conocido en la literatura como MTTF - Mean Time To Failure). Supongamos que cada panel solar tiene una vida útil que es aleatoria, y está uniformemente distribu ıda en el rango [1000 hrs, 5000 hrs] (valor promedio: 3000 hrs).

EJEMPLO:

Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así:

CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499

CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999

Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA.

En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.

UNIDAD 3 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

3.1 Conceptos básicosLas variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día de la semana y de otros factores: por lo general, la afluencia de clientes será mayor al mediodía que muy temprano por la mañana; la demanda será más alta el viernes que el miércoles; habrá más clientes un día de pago que un día normal etc. Dadas estas características, las variables aleatorias deben cumplir reglas de distribución de probabilidad como éstas:

La suma de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la variable aleatoria x es uno.

La probabilidad de que un posible valor de las variables x se presente siempre es mayor que o igual a cero.

El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la media de la población.

Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria está definida por más de un parámetro, dichos parámetros pueden obtenerse mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza de la población puede ser estimada utilizando la varianza de una muestra que es s2. De la misma manera, la desviación estándar de la población, puede estimarse mediante la desviación estándar de la muestra s.

3.2 Variables aleatorias discretas

3.4 Métodos para generar variables aleatorias Supongamos que la variable aleatoria X tiene la función de distribución F continua y estrictamente creciente, siempre que 0<F(x) <1. Sea Y una variable aleatoria con distribución uniforme en (0,1).  Entonces, la variable aleatoria F-1(U) tiene función de distribución F.Esta proposición sugiere que para hacer un muestreo de una variable aleatoria X de la que se conoce F-1(x), se pueden generar números U uniformes entre (0,1) y hacer X = F-1(U).

· Método de Rechazo·         Método De Composición.

3.4.1 Método de la transformada inversa.

El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido como método de la inversa de la transformada, es un método para la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución .

El método de la transformada inversa se basa en el siguiente teorema:

3.4.2 Método de convolucion.

Muchas variables aleatórias incluyendo lá normal, binomial, Poisson, gamma, erlang, etc., se pueden expressar de forma exacta o aproximada mediante lá suma lineal de otras variables aleatórias.

El método de convolución se pueden usar siempre y cuando lá variable aleatória x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatórias:

En este método se necesita generar k números aleatorios (u1,u2,...,uk) para generar (x1,x2,...xk) variables aleatórias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de lá variable que se desea obtener por convolución.

3.4.2 Método de composición.

Este método va a poder ser aplicado cuando la función de densidad es fácil de 

Siendo n el número de trozos en los que se ha dividido la función.

Cada uno de los fragmentos se puede expresar como producto de una función de distribución y un peso 

Y la función de distribución global la podemos obtener como

 

El método consiste en generar dos números aleatorios, uno sirve para seleccionar un trozo y el otro se utiliza para generar un valor de una variable que sigue la distribución de dicho trozo. El valor de la variable obtenida es el valor buscado.

El algoritmo general queda como sigue:

Generar u1, u2~U (0,1)

Si u1=w1 entonces generar x~f1(x) Si no Si u1=w1+w2 entonces generar x~f2(x).

3.5 Procedimientos especiales.

Existen diferentes tipos de métodos para generar variables aleatorias, pero también existen casos especiales para generar estas los cuales son:

·         La Distribución De Poisón.

·         La Distribución Binomial.

·         La Distribución Erlang.

3.6 Pruebas estadística. (Pruebas de bondad de ajuste)

Cuando se realizan investigaciones, con frecuencias importante obtener información a través de una muestra. Algunos estudios producen resultados sobre los que no podemos afirmar que se distribuyen.En estos casos debemos emplear técnicas no paramétricas que se utilizan ampliamente en las aplicaciones de las ciencias sociales, cuando se pueden asumir a priori que los datos de una muestra se ajusten a una distribución normal. Ahora nos ocuparemos del problema de verificar si de un conjunto de datos se pueden afirmar que proviene de que proviene.Estadística No ParametricaLa estadística no paramétrica es una rama de la estadística las pruebas y modelos estadísticos cuya distribución subyacente no se ajuste a los llamados criterios paramétricos. Las pruebas paramétricas no asumen ningún parámetro de distribución de las variables muéstrales.Las pruebas paramétricas asumen los parámetros de las variable (media y varianza) y un tipo de distribución normal.Las pruebas no paramétricas no asumen ningún parámetro de distribución de las variables muestrales.Para resolver este problema utilizaremos unas pruebas estadísticas que reciben el nombre general de pruebas de bondad de ajuste.Este calculo de pruebas es sencillo, desde el punto de vista manual y matemático, sin embargo y siguiendo con nuestra practica, facilita el trabajo hacerlo con la hoja de calculo de Excel.Prueba FisherEs la prueba estadística de elección cuando la prueba de Chi-cuadrada no puede ser empleada por tamaño muestral insufiente.Prueba de Chi-CuadradaSe basa en la hipótesis nula (Ho) de que no hay diferencias significativas entre la distribución  muestral y la teoría. Mientras que la hipótesis alternativa (H1), siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta.Estadístico de PruebaEl estadístico de prueba esta definido como la sumatoria de los residuos expresados en términos de las frecuencias esperadas para cada una de las clases.Interpretación. Cuanto mayor sea el valor de , menos verosímil es que la hipótesis Ho sea correcto. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de Chi-cuadrada.Si  = 0. La frecuencia teórica y observada concuerda exactamente.Si  > 0. Mientras mayor es la diferencia mayor es la discrepancia.En la práctica: si Ho = 0 no existe diferencia significativa es la distribución de la frecuencia observada y la distribución teórica específicamente los mismos parámetros. 

UNIDAD 4 LENGUAJES DE SIMULACIÓN

4.1 LENGUAJE DE SIMULACIÓN Y SIMULADORES

En un principio, los programas de simulación se elaboraban utilizando algún lenguaje de propósito general, como ASSEMBLER, FORTRAN, ALGOL o PL/I. A partir de la década de 1960 hacen su aparición los lenguajes específicos para simulación como GPSS, GASP, SIMSCRIPT, SLAM.

En la última década del siglo pasado la aparición de las interfaces gráficas revolucionaron el campo de las aplicaciones en esta área, y ocasionaron el nacimiento de los simuladores. En lo práctico, es importante utilizar la aplicación que mejor se adecúe al tipo de sistema a simular, ya que de la selección del lenguaje o simulador dependerá el tiempo de desarrollo del modelo de simulación.

Las opciones van desde las hojas de cálculo, lenguajes de tipo general (como Visual Basic, C++ o Fortan), lenguajes específicos de simulación (como GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, GAS y SSED), hasta simuladores específicamente desarrollados para diferentes objetivos (como SIMPROCESS, ProModel, Witness, Taylor II y Cristal Ball).

4.2 APRENDIZAJE Y USO LENGUAJE DE SIMULACIÓN O UN SIMULADOR

Los lenguajes de simulación facilitan enormemente el desarrollo y ejecución de simulaciones de sistemas complejos del mundo real. Los lenguajes de simulación son similares a los lenguajes de programación de alto nivel pero están especialmente preparados para determinadas aplicaciones de la simulación.

Así suelen venir acompañados de una metodología de programación apoyada por un sistema de símbolos propios para la descripción del modelo por ejemplo mediante diagramas de flujo u otras herramientas que simplifican notablemente la modelización y facilitan la posterior depuración del modelo.Características de los lenguajes de simulación:

Los lenguajes de simulación proporcionan automáticamente las características necesarias para la programación de un modelo de simulación, lo que redunda en una reducción significativa del esfuerzo requerido para programar el modelo. Proporcionan un marco de trabajo natural para el uso de modelos de simulación. Los bloques básicos de construcción del lenguaje son mucho más afines a los propósitos de la simulación que los de un lenguaje de tipo general. Los modelos de simulación son mucho más fácilmente modificables. Proporcionan muchos de ellos una asignación dinámica de memoria durante la ejecución. Facilitan una mejor detección de los errores.

Los paquetes de software especialmente diseñados para simulación contienen aplicaciones diversas que facilitan al simulador las tareas de comunicaciones, la depuración de errores sintácticos y de otro tipo de errores, la generación de escenarios, la manipulación “on-line” de los modelos, etc. Son muy conocidos y en uso actualmente Aprendizaje lleva cierto tiempo Simuladores de alto nivel Muy fáciles de usar por su interface gráfica Restringidos a las áreas de manufactura y comunicaciones Flexibilidad restringida puede afectar la validez del modelo

Entre estos lenguajes específicos podemos nombrar los siguientes: MIDAS, DYSAC, DSL, GASP, MIMIC, DYNAMO, GPSS, SIMULA, CSSL ( Continuous System Simulation Language) , CSMP, ACSL ( Advanced Conrinuous Simulation Language), DARE-P and DARE-Interactive, C-Simscript, SLAM, SIMAN, SIMNON, SIMSCRIPT-II-5, ADA, GASP IV, SDL.Muchos de estos lenguajes dependen fuertemente de los lenguajes de propósito general como es el caso de SLAM o SIMAN que dependen de Fortran para las subrutinas.

Por otro lado, el GPSS es un caso especial de un lenguaje de simulación de propósito especial, altamente estructurado que está orientado a la transacción, un caso especial de una orientación basada en procesos más general. El GPSS fue diseñado para la simulación simple de sistemas de colas tales como trabajos de taller.

A diferencia de los otros lenguajes de simulación, GPSS tiene varias implementaciones incluyendo GPSS/H y GPSS/PC, ambos de los cuales serán discutidos más adelante. El SIMAN V, SIMSCRIPT II.5, y el SLAM son lenguajes de simulación de alto nivel que tienen constructor especialmente diseñados para facilitar la construcción de modelos.

Estos lenguajes proveen al analista de simulación con una opción orientación basada en procesos o basada en eventos, o un modelo usando una mezcla de las dos orientaciones. A diferencia del FORTRAN, estos tres lenguajes proveen la administración de la lista de eventos futuros, generador interno de variables aleatorias, y rutinas internas para la obtención de estadísticas (estas características para las implementaciones del GPSS mencionadas previamente.)

Se pueden lograr cálculo complejos en ambas implementaciones del GPSS y estos tres lenguajes. El SIMAN, SIMSCRIPT II.5, y el SLAMSYSTEM proveen la capacidad de realizar simulación continua (esto es, para modelar sistemas que tengan continuamente

cambios en sus variables de estado) pero este tema no está dentro del alance de este libro.

El SIMAN está escrito en C, aunque las primeras versiones del lenguaje fue escrito en FORTRAN.El SIMAN V puede ser acezado directamente, o a través del medio ambiente del ARENA. El SLAMSYSTEM contiene al lenguaje de simulación SLAM II.

El SLAM II está basado en el FORTRAN y contiene al lenguaje GASP como un subconjunto. El GASP es un conjunto de subrutinas en FORTRAN para facilitar las simulaciones orientadas al objeto escritas en FORTRAN.

El SIMSCRIPT II.5 por otro lado, contiene un subconjunto de un completo lenguaje científico de simulación comparable con el FORTRAN, C o C++. El MODSIM III es un descendiente del lenguaje que la compañía de productos CACI originalmente diseñado por la armada de los Estados Unidos.

Hereda mucha de su sintaxis del MODULA-2 y del ADA, ciertas características del ADA y sus conceptos de simulación del SIMSCRIPT y el SIMULA. Algunas de las características de la simulación orientada al objeto fueron originalmente vistas en el SIMULA y el SMALLTALK.

4.3 CASOS PRÁCTICOS DE SIMULACIÓN

Un caso práctico de una simulación podemos decir en esta parte, la simulación del Método de Monte Carlo.ALGORITMOSEl algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro está fundamentado en la generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias:

Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas(F) Generar un número aleatorio uniforme Î (0,1). Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos. Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma.  Analizar resultados para distintos tamaños de muestra.

Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables es la siguiente:

 Diseñar el modelo lógico de decisión

Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes

Incluir posibles dependencias entre variables. Muestrear valores de las variables aleatorias. Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración)

y registrar el resultado Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones Calcular media, desvío. Analizar los resultados

Las principales características a tener en cuenta para la implementación o utilización del algoritmo son:

· El sistema debe ser descripto por 1 o más funciones de distribución de probabilidad (fdp)

· Generador de números aleatorios: como se generan los números aleatorios es importante para evitar que se produzca correlación entre los valores muéstrales.

· Establecer límites y reglas de muestreo para las fdp: conocemos que valores pueden adoptar las variables.

· Definir Scoring: Cuando un valor aleatorio tiene o no sentido para el modelo a simular.

· Estimación Error: Con que error trabajamos, cuanto error podemos aceptar para que una corrida sea válida?

· Técnicas de reducción de varianza.· Paralelización y vectorización: En aplicaciones con muchas variables se estudia

trabajar con varios procesadores paralelos para realizar la simulación.

EJEMPLO PRACTICO ITenemos la siguiente distribución de probabilidades para una demanda aleatoria y queremos ver qué sucede con el promedio de la demanda en varias iteraciones:

  Utilizando la distribución acumulada (F(x) es la probabilidad que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a x) podemos determinar cuál es el valor obtenido de unidades cuando se genera un número aleatorio a partir de una distribución continua uniforme. Este método de generación de variable aleatoria se llama Transformación Inversa.

Generando los valores aleatorios vamos a ver como se obtiene el valor de la demanda para cada día, interesándonos en este caso como es el orden de aparición de los valores. Se busca el número aleatorio generado en la tabla de probabilidades acumuladas, una vez encontrado (si no es el valor exacto, éste debe ser menor que el de la fila seleccionada pero mayor que el de la fila anterior), de esa fila tomada como solución se toma el valor de las unidades (Cuando trabajamos en Excel debemos tomar el límite inferior del intervalo para busca en las acumuladas, para poder emplear la función BUSCAR V (), para 42 sería 0, para 43 0,100001 y así sucesivamente).  

4.3.1 PROBLEMAS CON LÍNEAS DE ESPERA.

Simulación de una línea de espera con una fila y un servidor

Un sistema de colas estará definido cuando tengamos la siguiente información acerca de este:• Distribución de probabilidad de los tiempos de servicio• Distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas• Numero de servidores• Numero de filas• Conexiones entre servidores y filas• Disciplinas y restricciones de los servidores y filas (en caso de que existan)Para este primer ejemplo se utilizara el modelo de líneas de espera que se muestra en la figura siguiente. Como se puede apreciar, es un modelo bastante simple donde la disciplina de atención es FIFO (primero en llegar, primero en salir).

Tanto el tiempo de servicio como el tiempo entre llegadas siguen una distribución exponencial aunque con parámetros diferentes, para el caso del tiempo entre llegadas tenemos λ=15 y para el tiempo de servicio tenemos λ=10.Aplicando el método de la transformada inversa a la distribución exponencial (consultar Dyner etc. al, 2008), tenemos que:

Donde corresponde a una observación de una variable exponencial, _ es un número aleatorio entre cero y uno y λ es la media de la distribución. Para la implementación del sistema descrito en Excel, abra una nueva hoja de cálculo y configúrela como se muestra en la figura.

En la celda B8 escriba la formula =ALEATORIO () y arrastre hasta la celda B23. Repita este procedimiento para la columna G.

En el paso anterior, se definió los números aleatorios a partir de los cuales se generaran las observaciones de variables aleatorias de la simulación.Ahora, en la celda C8 escribe la formula =-LN (1-B8)/$B$4, y arrastre hasta la celda C23.

Como se puede apreciar, esta es la fórmula descrita anteriormente para obtener observaciones de una variable exponencial. En este caso, se están generando observaciones para la variable aleatoria de tiempos entre llegadas.

En la celda D8 escribe la formula =C8, lo anterior significa que como es la primera llegada al sistema, su tiempo de llegada (en el instante de tiempo en el que llego al sistema), será igual a su tiempo entre llegadas. Sin embargo, para la celda D9 la formula correspondiente es =C9+D8, ahora arrastre la fórmula de D9 hasta D23; esta fórmula significa que después de que llega el primer cliente, el instante de tiempo en el que cualquier otro cliente llega al sistema será el instante de tiempo en el que entro el penúltimo cliente sumado el tiempo entre llegadas del último cliente, es decir, si el penúltimo cliente entro al sistema en el instante t=4, y el tiempo entre llegadas del ultimo cliente es dt=2, entonces este último cliente entrara realmente al sistema en t=6.

La fórmula correspondiente a la celda E8 es =D8, esto significa que, al ser primer cliente, el instante en el que llega al sistema será el mismo instante en el que comienza el servicio; más adelante se presenta las formulas correspondientes al resto de clientes del sistema en esta columna. Ahora en la celda F8 escriba la formula =E8-D8 y arrástrela hasta la celda F23, esto corresponde al tiempo de espera del cliente antes de comenzar a ser atendido, note que D8 nunca será mayor que E8 ya que el valor mínimo que puede tomar el tiempo de comienzo del servicio es el tiempo de llegada, es decir, cuando un cliente llega al sistema y no tiene que hacer fila.

En la celda H8 escribe la formula =-LN (1-G7)/$B$5, y arrástrela hasta la celda H23, esta fórmula indica cuanto tiempo tardara el servidor atendiendo al cliente actual. Ahora en la celda I8 escriba la formula =E8+H8, esta fórmula indica el instante de tiempo en el que servidor termina de atender al cliente actual y corresponde a la suma entre el instante que comienza el servicio y la cantidad de tiempo que este toma.

Retomemos ahora la columna E, nótese que esta solo está definida en su posición E8, esto porque primero se requería definir otros valores antes de poder determinar el instante en el que empieza realmente el servicio. En un sistema como el aquí presentado se pueden tener dos casos para el tiempo de comienzo del servicio, en primer lugar puede que el servidor se encuentre desocupado, en este caso el tiempo de comienzo del servicio será igual al tiempo de llegada al sistema y no habrá tiempo de espera.

Sin embargo, si el servidor se encuentra ocupado, el tiempo de comienzo del servicio será igual al máximo entre el instante en que el servidor termine de atender al cliente actual y el tiempo de llegada al sistema; por si el tiempo de fin del servicio del cliente actual es igual a tfs=12 pero el tiempo de llegada del próximo cliente es tll=14, el tiempo de comienzo del servicio del próximo cliente sera t=14 y el servidor tendrá un ocio dt=2; por otro lado, si tfs=13 para el cliente actual y el próximo cliente tiene un tll=10, el servidor no tendrá ocio y el próximo cliente debera esperar un intervalo de tiempo dt=3. De lo anterior se concluye que la fórmula para la celda E9 debe ser=MAX (D9;I8), ahora arrastre esta fórmula hasta la celda E23.Hasta este punto se tiene una simulación de un sistema de líneas de espera con una fila y un servidor, si se desea generar nuevas observaciones presione la tecla F9; como tarea al lector se deja el cálculo de:• Tiempo promedio en el sistema• Tiempo promedio de espera (sin incluir ceros)• Tiempo promedio de espera (incluyendo ceros)• Tiempo promedio de servicio• Tiempo promedio de ocio

Adicionalmente se plantea al lector elaborar, una simulación en Excel que represente el sistema que se muestra en la figura siguiente, donde p es la probabilidad de que un cliente se dirija a S1 o a S2. Tanto el tiempo entre llegadas como los tiempos de servicio, se distribuyen exponencial con los parámetros que se muestran a continuación.

Tiempo entre llegadas: λ=8Tiempo de servicio S1: λ=13

Tiempo de servicio S2: λ=18Probabilidad p: 0.63

4.3.2 PROBLEMAS CON SISTEMAS DE INVENTARIO.

El diseño de sistema de inventarios toma en cuenta las características más relevantes del mundo real, es decir, aquellas variables cuya presencia tiene efectos significativos sobre el objeto fijado. Desde este punto de vista el sistema presenta una simplificación o abstracción de una realidad.

Por otra parte, la operación del sistema se facilita con el empleo de modelos, que en forma directa o indirecta dan elección más conveniente, según los supuestos que han llevado a su formulación. El desarrollo de modelo no es un trabajo reciente en el campo de la administración.

Los esquemas de balance de la empresa representan modelos generales que simplifican la realidad de la empresa, pero que son capaces de proveer información para la toma de decisiones de los ejecutivos. En otros casos los modelos, según los supuestos de su construcción dan una o más alternativas que permiten si la realidad se comporta como establece el modelo, lograr el mejor desempeño del sistema.

Se distinguen dos tipos de modelo que son los empíricos y matemáticos.Los modelos empíricos corresponden a los que utilizan las empresas para administrar sus inventarios, cuando no se encuentra una función u objetivo claramente cuantificado que trate de optimizar, y en que la información que se provee a los ejecutivos no permite fácilmente establecer cuál es la estrategia de mayor eficiencia económica.

Por otro lado los modelos matemáticos se caracterizan por representar la realidad que les preocupa en símbolos y relaciones matemáticas. Dentro de los modelos matemáticos se distinguen dos grupos de modelos, los modelos de optimización y los modelos de simulación.

Los modelos de simulación parten de una función objetiva expresada en forma matemática y por su construcción es posible obtener la o las estrategias que logran el nivel más alto de eficiencia del objetivo. En general, la optimización del modelo será real en la medida que sea una representación adecuada del mundo que está en estudio.

A su vez, los modelos de optimación se agrupan en modelo determinísticos y modelos aleatorios o estocásticos.

Los modelos determinísticos reciben a un conjunto de variables, cuyo comportamiento o valor en el futuro se supone cierto, es decir, no sujetos a variación.

En cuanto a los modelos estocásticos, se caracterizan por que uno o más variables pueden tener diferentes valores futuros, y cada uno de ellos tiene una cierta probabilidad de ocurrencia.

4.4 VALIDACIÓN DE UN SIMULADOR

A través de esta etapa es valorar las diferencias entre el funcionamiento delsimulador y el sistema real que se está tratando de simular.Las formas más comunes de validar un modelo son:

1. La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación.2. La exactitud con que se predicen datos históricos.3. La exactitud en la predicción del futuro.4. La comprobación de falla del modelo de simulación al utilizar datos que hacen fallar al sistema real.5. La aceptación y confianza en el modelo de la persona que hará uso de los resultados que arroje el experimento de simulación.

4.4.1 PRUEBAS PARAMÉTRICAS (VALIDACIÓN DEL MODELO, PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y PRUEBAS DE ESTIMACIÓN).

Validación del modelo

Etapas en el desarrollo de un simulador.Recordemos que las etapas nombradas para desarrollar un simulador son:1) Identificación del problema              2) Delimitación del sistema 3) Formulación del modelo 4) Preparación de datos 5) Construcción del modelo 6) Validación 7) Diseño de experimentos 8) Ejecución de experimentos 9) Interpretación (Inferencia) 10) Documentación

IV) Etapa IV: Preparación de datos, o bien obtención de datos.Consiste en la identificación y captación de los datos que requiere el modelo, de acuerdo a la formulación que se haya hecho en las etapas anteriores del diseño.

V. Construcción del modelo

Es llevar el modelo que se tiene del simulador a un lenguaje de programación disponible en el computador a usar o en las configuraciones disponibles, y que debe conocer su programación.

VI. ValidaciónEs esta etapa se trata de establecer, y si es posible aumentar, el nivel aceptable de confiabilidad de las inferencias efectuadas sobre el sistema real.

 VII Diseño de experimentosAquí se usan las reglas y los procedimientos que la estadística considera para el diseño de experimentos en general y que se aplica a diseñar experimentos a efectuar con el simulador.

VIII Ejecución de los experimentosCorresponde a la etapa operacional del diseño de experimentos.

IX InterpretaciónSe hacen las inferencias sobre el sistema real de los datos generados por el simulador.

X. DocumentaciónSe debe indicar por escrito puntos tales como: los objetivos, las componentes y subsistemas, variables de entrada y de salida, relaciones funcionales, el modelo formulado, la función de desempeño, y lo pertinente hasta aquí (Diseño lógico del simulador).

XII. ExplotaciónEs dejar el simulador con los manuales y documentación a disposición del o los usuarios.

Pruebas de hipótesis

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional.

Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.Etapas Para La Prueba De Hipótesis.

Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

La hipótesis nula (H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar.

El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.

Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. 

La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral.

Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba.

Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos de estadística de prueba.

Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadística de prueba.

Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral.

Etapa 6.- Tomar la decisión.

Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba.

Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo.

PASOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS1.  Expresar la hipótesis nula2.  Expresar la hipótesis alternativa3.  Especificar el nivel de significancia4.  Determinar el tamaño de la muestra5.  Establecer los valores críticos que establecen las regiones de rechazo de las de no   rechazo.6.  Determinar la prueba estadística.7.  Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba estadística apropiada.8. Determinar si la prueba estadística ha sido en la zona de rechazo a una de no rechazo.9. Determinar la decisión estadística.10 Expresar la decisión estadística en términos del problema.

4.4.2 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS

Las pruebas estadísticas no paramétricas son las que, a pesar de basarse en determinadas suposiciones, no parten de la base de que los datos analizados adoptan una distribución normal.Técnica estadística que no presupone ninguna distribución de probabilidad teórica de la distribución de nuestros datos.

Se denominan pruebas no paramétricas aquellas que no presuponen una distribución de probabilidad para los datos, por ello se conocen también como de distribución libre (distribución free).En la mayor parte de ellas los resultados estadísticos se derivan únicamente a partir de procedimientos de ordenación y recuento, por lo que su base lógica es de fácil comprensión.

Cuando trabajamos con muestras pequeñas (n < 10) en las que se desconoce si es válido suponer la normalidad de los datos, conviene utilizar pruebas no paramétricas, al menos para corroborar los resultados obtenidos a partir de la utilización de la teoría basada en la normal.En estos casos se emplea como parámetro de centralización la mediana, que es aquel punto para el que el valor de X está el 50% de las veces por debajo y el 50% por encima. Las pruebas no paramétricas no requieren asumir normalidad de la población y en su mayoría se basan en el ordenamiento de los datos, la población tiene que ser continua. El parámetro que se usa para hacer las pruebas estadísticas es la Mediana y no la Media. Son técnicas estadísticas que no presuponen ningún modelo probabilístico teórico.Son menos potentes que las técnicas paramétricas, aunque tienen la ventaja que se pueden aplicar más fácilmente.