simulacion matematica de yacimientos

Tema 3. Aproximación numérica de las ecuaciones

de flujoIntroducción

Subtema 3.1.-Introducción

Las ecuaciones de flujo no pueden resolverse analíticamente. Por lo anterior se recurre a los métodos numéricos. El enfoque más utilizado comúnmente en la simulación del comportamiento de yacimientos es el método de diferencias finitas.

El volumen del yacimiento se discretiza mediante una malla apropiada para el sistema estudiado, y el tiempo se discretiza en pasos de tiempo ti.

Subtema 3.1.-Introducción

Sistema discreto

Discretización del tiempo

Ahora se ha ido de un modelo físico con parámetros variables en forma continua (k, , po, pg, pw, So, Sw, Sg, etc.) a un modelo numérico con parámetros localizados, en el cual un conjunto diferente de valores de parámetros (variables dependientes y constantes) pueden ser asignadas a un punto en cada volumen elemental (bloque) haciendo el yacimiento discretizado.

Subtema 3.2 Características de mallas numéricas en diferentes geometrías

Las ecuaciones en diferencias finitas deben implementarse sobre alguna red discreta; sobre esta red los valores de parámetros dependientes son calculados. Generalmente se utilizan dos tipos de mallas:

Bloques centrados (block-centered): Los parámetros dependientes se calculan en el centro del bloque. No hay puntos en la frontera.

Puntos de esquina (corner-point): Los parámetros dependientes se calculan en la intersección de las líneas de la malla. Hay diversos puntos en la frontera.

Bloque centrado Punto de esquina


Las diferentes configuraciones de malla se sitúan a diferentes condiciones de frontera. La malla de bloque-centrado se utiliza generalmente con una condición de frontera tipo Neumann, el cual especifica flujo a través de la frontera. El flujo a través de la frontera se puede representar por un término fuente en la celda frontera; bajo esas condiciones las ecuaciones para las celdas de la frontera se modifican para incluir el término fuente.

La malla tipo punto de esquina se utiliza generalmente cuando en el problema se especifica una condición de frontera tipo Dirichlet. En esta condición la función se especifica en la frontera.

Frontera de Neumann Punto de esquina. Se especifica P: P(i, j, t)=Pe

Celdas de la frontera

Celdas de la frontera


Las mallas irregulares tienen espaciamientos no-uniformes en las direcciones x y y. Estas mallas se utilizan para incrementar la definición en las regiones en donde se requiere mejor control. La mayoría de las mallas de yacimientos de hecho utilizan mallas irregulares. Malla no-uniforme

Mallas no – uniformes (irregulares)

La convención es identificar los bloques mediante los índices i, j y k en las direcciones x, y y z, respectivamente. Los pasos de tiempo se identifican mediante superíndices (no confundir con exponentes).

Por ejemplo: la presión en la fase agua, al tiempo tn, en el bloque en x=2, y=4, z=3 está dada por:

3,4,2,nwP

Subtema 3.3 Método de aproximación mediante diferencias finitas

Diferencias finitas.

La ecuación diferencial parcial se reemplaza mediante su equivalente en diferencia-finita. Las ecuaciones en diferencias finitas pueden derivarse haciendo una expansión en series de Taylor de la función en un punto dado y después resolviendo para la derivada requerida.

Considere las siguientes expansiones en series de Taylor:

xPxxPxxxPxPxxP

xPxxPxxxPxPxxP

'''3''2'

'''3''2'

61

21

61

21

Diferencia hacia delante (Ec. 3.1)

Diferencia hacia atrás (Ec. 3.2)

En donde

etcxP

P

xP

P

,22

''

'


AF

Series de Taylor.

En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial n y f(n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Función seno(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.


Primera derivada.

La ecuación (3.1) ó (3.2) puede resolverse para la primera o segunda derivada como se requiere:

xx

xxPxPxP

xx

xPxxPxP

0

0

'

' (Ec. 3.3)

(Ec. 3.4)

Primera derivada

x

xxPxxPxP

xxxPxP

xP

xxPxxP

xP

Hacia adelante

Hacia atrás

Central

x x

Note que los errores asociados con estas aproximaciones son diferentes; los esquemas hacia delante y hacia atrás tienen errores de orden x, mientras el error en la forma central es del orden de x2. Este error asociado con la forma de diferencia finita de la ecuación diferencial parcial se llama error de truncamiento.


Esas son las diferencias hacia delante y hacia atrás, respectivamente, para la primera derivada. Una diferencia central se puede obtener sustrayendo las ecuaciones (3.1) y (3.2) :

2' 02

xx

xxPxxPxP

(Ec. 3.5)

Por lo tanto, el error asociado con la segunda derivada es de orden x2.


Segunda derivada.

Considera la suma de las ecuaciones (3.1) y (3.2):

4''2 02 xxPxxPxxPxxP (Ec. 3.6)

(Ec. 3.7)

x x

Resolviendo para P’’(x):

22'' 0

2x

xxxPxPxxP

xP


Resumen.

Para un conjunto discreto de puntos:

211

2

21111 2,

2,,

x

PPP

xP

x

PP

xP

x

PP

xP

x

PP

xP iiiiiiiii

(Ec. 3.8)

PiPi-1 Pi+1

x x x

i-1 i i+1

xPP ii

1

xPP ii

1

211 2

xPPP iii


Resumen.

Análogamente, la derivada de P (x, t) con respecto al tiempo en el bloque i será:

tPP

tP n

ini

i

1

(Ec. 3.9)

En donde:

ninini

ni txfPtxfP ,);,( 11

(Ec. 3.10)

Tema 3. Aproximación numérica de las ecuaciones

de flujo

Tema 4. Solución de sistemas lineales de

ecuaciones

3.1 Introducción 4.1 Introducción

3.2 Características de mallas numéricas en diferentes geometrías

4.2 Métodos directos

3.3 Método de aproximación mediante diferencias finitas

4.3 Métodos iterativos

3.4 Implantación de condiciones iniciales y de frontera

4.4 Librerías y software comercial

3.5 Formulaciones implícita y explícita

3.6 Conceptos de estabilidad, error y convergencia

3.7 Solución numérica de las ecuaciones para fluidos monofásicos

3.8 Solución numérica de las ecuaciones para fluidos multifásicos

ASIGNATURA: SIMULACIÓN MATEMÁTICA DE YACIMIENTOS

Temario

simulacion matematica de yacimientos

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