simulación numérica de las tensiones residuales generadas

Técnica Industrial, diciembre 2013, 304: 30-3730

Simulación numérica de lastensiones residualesgeneradas en una vigasometida a flexiónJosé Alejandro Reveriego Martín

RESUMENEl objetivo del presente trabajo consiste en el estudio de las ten-siones residuales (internas) que se producen en elementos estruc-turales, originadas por sobreesfuerzos. Para su estudio se ha plan-teado, inicialmente, la determinación de las tensiones residualespartiendo de los criterios basados en la resistencia de materiales;para posteriormente realizar una simulación numérica que nospermita comparar los resultados obtenidos y así validar el métodonumérico. Esta modelización se ha realizado utilizando el softwarecomercial de elementos finitos ABAQUSTM (v. 6.12).

Recibido: 11 de abril de 2013Aceptado: 28 de junio de 2013

ABSTRACTThe aim of this work is the study of residual stresses (internal) thatoccur in structural elements, caused by an overload. To achievethis goal, firstly the residual stress state is determined by usingclassic strength of materials criteria. Later, in order to validate theresults of the numerical simulation by using a commercial FEMsoftware (ABAQUSTM, v.6.12), they were compared with those givenby theoretical equations.

Received: April 11, 2013Accepted: June 28, 2013

ORIGINAL

Numerical simulation of residual stresses generated in a beam subjected to bending

Palabras claveSimulación, fatiga de materiales, flexibilidad, código técnico deedificación, cálculos, software

KeywordsSimulation, material fatigue, flexibility, technical building code, calculations,software

Técnica Industrial, diciembre 2013, 304: 30-37 31

Foto: Gualtiero Boffi / Shutterstock.

IntroducciónEn la aplicación de la teoría elástica lacapacidad de carga de cualquier ele-mento de una estructura se supone queestá limitada por la fluencia del mate-rial. Sin embargo, aun con un diseñoelástico, cierta fluencia localizada talcomo la debida a una concentración detensiones es frecuentemente despreciada,lo que hace que se desprecie la posiblefluencia.

Una aproximación muy simplificadade la deformación en el punto de fluen-cia en aceros (material dúctil por exce-lencia en el campo de las estructuras) esla aparición de las bandas de desliza-miento, denominadas líneas de Lüeder.Estas bandas o planos están con fre-cuencia en la dirección de la tensión cor-tante máxima.

El material que se ha deformado ori-gina, a la vez, una concentración de ten-siones en el cuerpo deformándose más,sin aumento, o con poco aumento de lacarga. El proceso continúa hasta que elmaterial se deforma inelásticamente. Estedeslizamiento se produce normalmentea lo largo de los planos determinados porla orientación cristalina.

En los materiales elásticos, en parti-cular en los metales, sabemos que unesfuerzo uniaxial lleva aparejado, inicial-

mente, un comportamiento elástico.Según la Ley de Hooke, esto significaque pequeños incrementos en la tensióndan lugar a pequeños incrementos en ladeformación. Si deja de actuar la cargael cuerpo recupera exactamente su formaoriginal, es decir, se tiene una deforma-ción completamente reversible. Sinembargo, se ha comprobado experimen-talmente que existe un límite, llamadolímite elástico, tal que, si cierta funciónhomogénea de las tensiones supera dicholímite entonces, al desaparecer la carga,quedan deformaciones remanentes y elcuerpo no vuelve exactamente a su forma.Es decir, aparecen deformaciones noreversibles y, en consecuencia, tensionesinternas denominadas “residuales”. Estosmateriales no fallan hasta que no se llegaa una cuantía apreciable de la fluencia, loque hace que la capacidad de carga deestos elementos estructurales pueda serdeterminada más realmente extendiendoel análisis de tensiones dentro del periodoelastoplástico. Esto nos indica que lacapacidad de carga de muchos materia-les no está necesariamente limitada porla fluencia. Pero también es necesarioindicar que, aunque al material se lepodría someter a un esfuerzo adicional,hay que tener en cuenta que podríasobrevenir una deformación excesiva, lo

cual haría peligrar las condiciones de ser-vicio de la estructura.

Si tenemos en cuenta la normativanacional que regula las estructuras emple-adas en la edificación (CTE) –la cual, porcierto, incluye numerosos coeficientesde seguridad–, esta hace que el análisisestructural sea relativamente sencillo, yaque se efectúa dentro del periodo elás-tico del material. Ahora bien, si las car-gas aumentan o bien la capacidad resis-tente de las estructuras disminuye(fluencia), se pueden llegar a desarrollardeformaciones no reversibles. Aunque aldimensionar las piezas en la condicióndel estado límite último (ELU) se tiendea considerar solamente las tensiones debi-das a cargas novales, puede apareceralgún problema si, por ejemplo, apare-cen cargas repetidas a las que no se sumanlas tensiones residuales, lo cual puede lle-gar a modificar el diseño si se las tiene encuenta.

Aunque las situaciones de sobrecargano son muy frecuentes, estas se puedenproducir por diversas causas:

– Durante el proceso de diseño:• Cargas accidentales• Sobrecargas de uso• Sismo

– Procesos de conformación, moldeo,mecanizado, soldadura, etc.

– Por motivos resistentes:• Envejecimiento• Fatiga• Fuego

De las tensiones residuales o internasque se generan en los materiales, funda-mentalmente dúctiles, por razones que anadie se le escapan, son estudiadas prin-cipalmente, según la literatura actual, lasque provienen de procesos de confor-mado y fabricación; básicamente en mol-deado, mecanizado y soldadura. Es decir,los estudios de las tensiones residuales secentran en la preparación de la estructu-ras, pero, en determinados casos, las ten-siones residuales se pueden introducir enlas estructuras, bien sea en su instalacióny montaje (lo cual también puede ser pre-visto), o bien sea por cargas muertas y/opor sobrecargas que puedan incidir en laestructura a lo largo de su periodo de vidaen servicio.

Modelo simplificado decomportamiento elastoplástico a flexión pura de vigasTeniendo en cuenta la teoría clásica dela resistencia de materiales de la que sededuce que:

(1)

siendo σ la tensión, M el momento flectoractuante, “y” la distancia al eje neutro e “I”el momento de inercia de la sección trans-versal.

Esta ecuación supone que la Ley deHooke es aplicable para todo elemento,siempre que la carga se aplique de formaprogresiva y se mantenga constante en eltiempo. Si esta carga va aumentando deuna manera progresiva, o si el materialllega a hacerse frágil, se puede llegar asuperar el límite de fluencia del material,con la aparición de un diagrama no linealentre el esfuerzo y la deformación. Estohace que la relación expuesta en la pri-mera ecuación no sea válida.

Si quisiéramos buscar un procedi-miento que generalizara la obtención dela distribución de esfuerzos en un ele-mento sometido a flexión pura y para elcual no podría usarse la Ley de Hooke,tendríamos que tener en cuenta algunoscambios:

– El eje neutro no necesariamentepasa por el centro de la sección. Sola-mente lo hará cuando la sección sea simé-trica, tanto horizontal como vertical-mente, y el material se caracterice portener la misma relación entre la tensióny la deformación. Si este no pasa por elcentro será necesario localizarlo mediante

aproximaciones sucesivas hasta que la dis-tribución de esfuerzos pueda satisfacerlas condiciones de equilibrio:

Fuerzas en x: (2)

Momentos alrededor del eje z:

(3)

siendo σ la tensión, “y” la distancia al ejeneutro y “A” la superficie de la sección trans-versal.

– En el análisis plástico se acepta elequilibrio estático hasta llegar a un estadode plasticidad total, verificando la hipó-tesis de Bernoulli sobre la conservaciónde las secciones planas durante el procesode plastificación. El hecho de que la hipó-tesis de Bernoulli se mantenga hace quela distribución de la deformación unita-ria siga siendo lineal, lo que indica que elalargamiento o acortamiento de una fibraes proporcional a la distancia “y” de lafibra al eje neutro. Ahora bien, la distri-bución de las tensiones en la fibra ya no

José Alejandro Reveriego Martín


M

ymás

Figura 1. Estado elastoplástico en la sección transversal de una viga de sección rectangular.

σ p

εp εx

σ x

O

Figura 2. Curva esfuerzo-deformación en un elemento continuo sometido a flexión.

es lineal, sino que tiene una forma comola que aparece en la figura 1.

Continuando con nuestro análisis teó-rico, si observamos la curva de esfuerzo-deformación, es simétrica con respecto alorigen de coordenadas, ya que la distri-bución de εx es lineal y simétrica con res-pecto a dicho eje, como se observa en lafigura 2.

A la vez, la distribución de la tensión yde la deformación en la sección transver-sal, la podemos estudiar si conocemos latensión σp, ya que podemos determinar elvalor εp, según ecuación 4 y cuyo resultadose puede ver en las figuras 3 y 4.

(Tang et al., 1998)Siendo εx la deformación en dirección “x”,εp la deformación elástica, “c” e “y” las dis-tancias del eje neutro a las fibras.

Veamos analíticamente cómo se des-arrolla el concepto para un caso concreto.Supongamos que tenemos una viga car-gada que tiene una sección rectangular.Según la distribución de esfuerzos mos-trados en la figura 4, esta se podría expre-

sar de la siguiente forma (Beer et al, 2001):

(5)

siendo “d” el ancho de la viga y σx, una fun-ción impar de “y”, podríamos expresar:

(6)

Esta integral representa el primermomento con respecto al eje horizontalde la sección, el cual se limita por la curvade distribución de esfuerzos.

Con la finalidad de simplificar el aná-lisis, el diagrama tensión-deformación lo llevamos a un estado elástico-plásticoteórico como se puede observar en lafigura 5.

Como se puede observar en el dia-grama, mientras no se supere el límite defluencia del material, el comportamientodel elemento estructural se va a regir porla Ley de Hooke y, por tanto, se veri-fica la ecuación 1, y el momento vendrádado por:

(7)

siendo “I” el momento de inercia de la sec-ción, “b” la distancia a la fibra más alejaday “fy”, la tensión en el límite elástico.

Como el valor de My es el mayormomento elástico que puede llegar asoportar la sección, de modo que si esemomento sigue aumentando, en las zonasmás alejadas de la sección, se van a des-arrollar fibras plastificadas, pero sigueexistiendo un núcleo elástico, en el cualla tensión σx variará linealmente con ladistancia “y”.

Como la sección analizada es una sec-ción rectangular, la ecuación 7 la podemosexpresar:

(8)

siendo “d” y “b” las dimensiones de la seccióntransversal de la sección.

La dimensión del núcleo elástico, quetiene una tensión σx, varía linealmente alo largo de la sección hasta llegar a lazona plástica y la podemos determinarmediante la siguiente relación:

(9)

Simulación numérica de las tensiones residuales generadas en una viga sometida a flexión


εx

εp

-εp

M M

b

-bσ p

σ x

σ p

εy

fy

ε

σ Y

y’

0

b

-b

Figura 3. Diagrama de deformación según la sección transversal de un elemento continuo. Figura 4. Distribución de esfuerzos en la sección transversal de un elemento continuo.

Figura 5. Estado elastoplástico perfecto de un acero dulce. Figura 6. Estado elastoplástico en la sección transversal de una viga sometida a flexión.



donde “y´” es distancia a la mitad del núcleoelástico.

Entonces, el diagrama con el que nosencontramos es el siguiente (figura 6).

Si ahora integramos la ecuación 6teniendo en cuenta los dos tramos quetenemos en el esquema y las ecuaciones 8y 9, obtenemos (Beer et al., 2001):

(10)

(11)

Ahora bien, si la carga sigue aumentandohasta llegar a plastificar toda la sección,implicaría que el valor de y´ tendería a ceroy, por tanto, la ecuación quedaría de lasiguiente forma:

(12)

Apliquemos los conceptos expuestos alsiguiente ejemplo:

Supongamos que tenemos una viga simple-mente apoyada, con la forma y sección que mues-tra la figura, apoyada en sus extremos y some-tida a una carga distribuida. Supongamos quela viga es de acero con un límite de fluencia delmaterial de 240 MPa y un módulo de elasti-cidad de 200 GPa (figura 7).

Elásticamente, según ecuación 1:

(13)

(14)

Determinación del núcleo elásticosegún la ecuación 7:

(15)

Según ecuación 11:

(16)

Teniendo en cuenta el principio desuperposición, representamos las tensio-nes (figura 8).

Ahora veamos la comprobación numé-rica de este ejemplo.

Simulación numéricaLos modelos simplificados permitenconocer el comportamiento global de unaestructura con un reducido coste com-putacional, como hemos podido com-probar en los cálculos realizados ante-riormente. Ahora bien, para poderconocer los estados tensionales en undeterminado punto de una estructura, esnecesario recurrir a modelos numéricosmás complejos, aunque el coste compu-tacional sea mayor.

En la simulación numérica, desde unpunto de vista teórico, sin utilizar un soft-ware, se puede atacar el problema resol-viendo el conjunto de ecuaciones no line-ales que rigen el comportamientoelastoplástico. Uno de los procedimien-tos que se utiliza es el método de New-ton-Raphson. Esta forma de operar

requiere caracterizar el comportamientoelastoplástico de la viga mediante lasmatrices de rigidez secante y tangenteasociadas a los distintos estados de equi-librio.

El desarrollo experimentado por loscódigos de simulación numérica durantelos últimos años, ha provocado la apari-ción de modelos de comportamientomecánico para diferentes tipos de mate-riales que tienen en cuenta distintas for-mas para poder determinar estados ten-sionales en cualquier punto de unelemento estructural.

Para comprobar la precisión de losmodelos simplificados se ha empleado unmodelo de elementos finitos utilizandoel código comercial ABAQUSTM (ver-sión 6.12). El modelo es tridimensional,y se ha desarrollado íntegramente enABAQUS/Standard utilizando el algo-ritmo *MODEL CHANGE (Nagtegaalet al., 1991) (Boyceet al., 1995).

Las propiedades del material empleadoson las de la tabla 1.

Para intentar realizar una comproba-ción con los valores teóricos obtenidosen el problema, es necesario indicar quela sección que tiene la viga no se ha ele-gido al azar; se ha seleccionado para quepresente una esbeltez adecuada y de estemodo dominen las tensiones provocadaspor la flexión pura.

18,4 kN/m

140 mm

Figura 7. Viga simplemente apoyada.

y (mm)

140 mm

35

-240 240 321,8 -81,8 81,8

y (mm) y (mm)

70

39,46

70

39,46

70

39,46

39,46

-70

-59 -59 σ (MPa)

Figura 8. Curva esfuerzo-deformación en un elemento continuo sometido a flexión.


Para la malla que se ha empleado eneste modelo se han elegido elementoscúbicos de integración reducida de ochonodos C3D8R de ABAQUS. Se ha rea-lizado una convergencia de malla y unaconvergencia del paso, para que ambasvariables no intervengan en el resul-tado final (figura 9).

Modelo numérico: ABAQUS StandardEn este modelo tridimensional se hadeterminado el problema de la viga segúnStatic Standard que tiene implementadael software. En el proceso de análisis sehan tenido en cuenta los efectos no line-ales (Nlgeon).

En cualquier análisis estático la cargasiempre se introduce de forma gradual.Esto es un aspecto esencial que tener encuenta, pues si no, no se cumpliríanmuchos de los principios de la resisten-cia de materiales. En este modelo lacarga, según está implementada en el soft-ware, se introduce de forma progresiva(Ramp) y, por tanto, no tenemos que pre-ocuparnos de modificar su estado.

Para poder obtener las tensiones resi-duales (internas) que se han generado enel material, después de la recuperaciónelástica empleamos el algoritmo*MODEL CHANGE, que nos permite,sin tener que realizar una exportación delmodelo, obtener la recuperación elásticao *SPRINGBACK (Tang et al., 1998).Por definición, springback es la “condi-ción que se produce cuando un metal lami-nado o aleación tiene una tendencia a retor-nar parcialmente a su forma original debidoa su recuperación elástica. Esta recuperaciónelástica está influenciada también por el espe-sor, el radio y ángulo de curvatura” (defini-ción recogida según normas ASTM,DIN, EN, etc.).

Como hemos podido comprobar enel análisis, por las teorías clásicas de laresistencia de materiales, la carga es losuficientemente elevada como para quese supere el límite elástico y, por tanto,cuando se llega al springback existen ungrupo de fibras que no recuperan suestado inicial, acumulando en su interiortensiones internas (residuales) que sonlas que se reflejan en el estudio teórico y,como se verá, aparecen en las gráficasobtenidas a partir de esta simulación.

En la figura 10 se pueden apreciar losestados tensionales cuyo diagrama poli-cromático nos revela las fibras que estáncomprimidas y las que están tracciona-das. El color azul intenso indica que esasfibras han llegado a la tensión de fluen-cia del material por compresión mientrasque el color rojo intenso muestra las

fibras que han alcanzado la tensión defluencia por tracción.

Si tomamos la sección plana corres-pondiente al centro geométrico de la vigapodremos visualizar la evolución de lastensiones, como se puede comprobar enlas figuras 11, 12 y 13.

ResultadosEn las gráficas en las figuras 14, 15y 16,se han representado de forma conjuntalos valores obtenidos en la simulaciónnumérica mediante FEM con ABAQUS,y los obtenidos teóricamente utilizando

los principios de la resistencia de mate-riales clásica para la flexión pura.

Como se puede comprobar, los resul-tados de la simulación numérica y los teó-ricos presentan una gran aproximación. Sicomenzamos analizando los resultadosdentro del periodo elástico del material,tanto la simulación numérica como el cál-culo teórico son exactamente iguales. Esteresultado es muy lógico ya que todas lasrelaciones entre la tensión y la deforma-ción son lineales y, por tanto, las pendien-tes de las rectas siguen el módulo de Youngdel material.


Tabla 1. Propiedades mecánicas del material (acero dulce).

Módulo de Young (GPa) Coef. Poisson Densidad (kg/m3) Tensión de fluencia (MPa)

200 0,29 7.850 240

240 MPa

- 240 MPa

30 mm

Figura 10. Sección de la viga calculada (el color azul corresponde a la zona de compresión y el color rojo corres-ponde a la parte de la viga sometida a tracción).

MESH (tamaño 0,006)

30 mm

Figura 9. Malla empleada en el análisis (elementos cúbicos de integración reducida en ocho nodos C3D8R deABAQUS.



En segundo lugar, si comprobamos losresultados dentro del periodo elastoplás-tico vemos que la plastificación se producea 240 MPa y comienza, de forma muycoherente, por las fibras más alejadas deleje neutro. Pero en el análisis teórico laplastificación llega hasta fibras más próxi-mas al centro de la viga. Esta diferenciacon el método numérico se debe a que amedida que nos vamos acercando al ejeneutro, empiezan a influir las tensiones

cortantes en el método numérico, aspectoque no se ha tenido en cuenta en el métodoteórico.

Por último, si nos centramos en las ten-siones residuales, que es el objetivo prin-cipal de este artículo, podemos observarque la tendencia de las gráficas es básica-mente la misma. En principio el hecho deque la plastificación sea más profunda enel análisis teórico que en el simulado hacever la primera de las diferencias entre

ambos cálculos. Se observa que la tensiónresidual máxima, en el análisis teórico, varíaentre los -60 MPa y los 60 MPa, mientrasque en el simulado entre los -45MPa y los45 MPa. A pesar de estas diferencias, lascurvas tienen la misma tendencia y llegala tensión residual a las mismas zonas dela viga.

Las diferencias entre ambas gráficas sedeben a que en la teoría clásica solo se hatrabajado con los esfuerzos de flexión conrespecto al eje transversal, mientras queen simulación numérica, a pesar de que seha buscado una sección lo suficientementeesbelta, siempre influyen en mayor omenor medida el resto de esfuerzos. Estasdiferencias son más importantes a medidaque nos acercamos más a la fibra neutra dela pieza, ya que es allí donde influyen otrosesfuerzos.

Por otro lado, hay que indicar que enel proceso de estabilización para podersimular las tensiones residuales, la recu-peración elástica (springback) hace que laresidual final tenga pequeñas diferenciascon la teórica, a pesar de que los dia-gramas elástico y elastoplástico presen-tan una mayor similitud. Realmente, elproceso de recuperación elástica consisteen analizar el sólido estáticamentedurante un tiempo, y el grado de opti-mización de este tiempo influye decisi-vamente en su recuperación. Estesegundo razonamiento apoya la teoría dela intervención de otros esfuerzos no pre-vistos en los estudios teóricos.

Conclusiones El comportamiento mecánico de unmaterial refleja la relación entre la fuerzaaplicada y la respuesta del material. Nor-malmente, las propiedades mecánicas delos materiales se determinan en labora-torios, en cuyos ensayos se intenta refle-jar las posibles condiciones de servicioque tiene el propio material. Pero la natu-raleza de la carga, el tiempo de aplica-ción, la temperatura, etc., pueden influiren la formación de tensiones internas quemodifica la respuesta del material, con-virtiéndose en uno de los factores quetener en cuenta.

Debido a la limitación de las técni-cas experimentales para medir las ten-siones internas, y la dificultad que tienela resolución de las ecuaciones no line-ales que rigen el comportamiento de losmateriales en el estado elastoplástico, sehace necesario la utilización de técnicasde simulación numérica por FEM quepuedan garantizar la respuesta de lasestructuras, especialmente en situacio-nes comprometidas. Como puede obser-

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MATERIAL ELÁSTICO

S33

(M

Pa)

Figura 11. Resultado de las tensiones S33 (σX) en régimen elástico. Sección de la viga en FEM.

S33

(M

Pa)

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Canto de la viga (m)

MATERIAL ELASTOPLÁSTICO

S33

(M

Pa)

TENSIÓN RESIDUAL

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

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Tens

ione

s re

sidu

ales


Figura 12. Resultado de las tensiones S33 (σX) en régimen elastoplástico. Sección de la viga en FEM.

Figura 13. Resultado de las tensiones residuales. Sección de la viga en FEM.



varse en el análisis teórico, según la teo-ría clásica que rige la resistencia de mate-riales, y la simulación numérica realizadacon ABAQUS, se hace intuir que el algo-ritmo que emplea el software para simu-lar este proceso no lineal presenta unaaproximación muy buena.

Una vez que se ha realizado este estu-dio teórico deberíamos realizar un estu-dio experimental para validar los resul-tados obtenidos. Normalmente, esteestudio experimental lo realizaríamosmediante la técnica del agujero ciego(blindhole).

Una vez que tenemos los resultadosteóricos y los experimentales, si estosconcuerdan con los obtenidos por FEM,se podría validar el proceso de simula-ción numérica. Este aspecto es muyimportante desde un punto de vista pro-fesional, ya que podríamos modificar lascaracterísticas del material, las dimen-siones, la tipología de carga, lo que nospermitiría mejorar el producto final sintener que realizar más ensayos experi-mentales y, por tanto, reducir costes.

Por último, no quiero dejar de comen-tar la importancia de estos métodosnuméricos para el desarrollo de produc-tos nuevos en los departamentos deI+D+i en cualquier empresa, especial-mente en aquellas que están en el sec-tor de la ingeniería técnica industrial.

BibliografíaBeer, De Wolf & Johnston (2001). Mecánica de Mate-

riales (3ª edición). McGraw-Hill Interamericana, México,ISBN 0-07-365935-5.

Boyce MC, Cao J, Karafillis AP, Taylor LM (1995). Nume-rical Simulations of Sheet Metal Forming, Proceedingsof 2nd International Conference. NUMISHEET 93,Isehara, Japan, Ed. A. Makinovchi, et al.

Nagtegaal JC, Taylor LM (1991). “Comparison of Impli-cit and Explicit Finite Element Methods for Analysis ofSheet Forming Problems.” VDI Berichte, No. 894.

Tang SC, Wang NM (1988). “Analysis of Bending Effectsin Sheet Forming Operations.” International Journalfor Numerical Methods in Engineering, vol. 25, pp.253-267.

José Alejandro Reveriego Martí[email protected] técnico industrial en Mecánica (Universidadde Salamanca) y máster en mecánica estructural avan-zada (Universidad Carlos III de Madrid). Profesor titulardel área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría deEstructuras, perteneciente al Departamento de Ingenie-ría Mecánica en la Universidad de Salamanca, adscritoa la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial deBéjar (Salamanca).

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Teórico ABAQUS


MATERIAL ELÁSTICO

σx

(MP

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MATERIAL ELASTOPLÁSTICO

σx

(MP

a)

Teórico

ABAQUS

Figura 14. Comparación de tensiones en el régimen elástico del material.

Teórico

ABAQUS

TENSIÓN RESIDUAL

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100

0 0,05 0,1 0,15

σx

(MP

a)


Figura 15. Comparación de tensiones en el régimen elastoplástico del material.

Figura 16. Comparación de tensiones residuales.

simulación numérica de las tensiones residuales generadas

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