SHERLOCK HOLMES EN BABILONIA Permtanme comenzar por aclarar el ttulo de "Sherlock Holmes en Babilonia." Para que

no se induzca a error a algunos miembros de los Irregulares de Baker Street, mi tema es la arqueologa de las matemticas, y mi objetivo es volver sobre una pequea porcin de la investigacin de dos acadmicos: Otto Neugebauer, quien es el destinatario del Premio al Servicio Distinguido, dado a l por la Asociacin Matemtica de Amrica en 1979, y bis colega y colaborador de largo plazo, Abraham Sachs. Tambin es una oportunidad para m para pagar ambos una deuda personal. 1 fue a la Universidad de Brown en 1947, y como un nuevo Profesor Asistente 1 fue recibido como un visitante habitual del Seminario en la historia de las matemticas y la astronoma. All, con un puado de otros, 1 tuvo el privilegio de ver a los expertos que participan en el desafo intelectual de la reconstruccin de piezas de una cultura a partir de fragmentos aleatorios del pasado. (Ver [4], [5].) Esta experiencia dej huella en m. Mientras que 1 no consideran a m mismo como un historiador, en ningn sentido, siempre he mantenido un "amigo de la historia de las matemticas"; y es en este papel que vienen a ustedes hoy.

Permtanme comenzar con una muestra de las materias primas. La figura 1 es una copia de una tablilla cuneiforme, midiendo quizs 3 pulgadas por 5 Las marcas se pueden hacer presionando el extremo de un corte de caa en la arcilla hmeda. Salir con un tablet como rara vez es fcil. La aparicin de esta tableta sugiere que puede haber hecho en Akkad en la ciudad de Nippur en el ao -1700, hace unos 3.700 aos.

Frente a un artefacto de una cultura antigua, uno se pregunta severa! preguntas: (i) Qu es y cules son sus propiedades? (ii) Cul fue su propsito original? (iii) Qu me dice esto acerca de la cultura que lo produjo? En la Historia de la Ciencia, uno espera ni teoremas ni pruebas rigurosas. El tema est repleta de conjeturas e incluso especulaciones; y en lugar de la prueba, es frecuente encontrar mera confirmacin: "Creo que P implica Q, y porque tambin creo Q; yo, por tanto, tambin creo P."

Modificamos nuestra conjetura; en lugar de un sistema decimal ordinario, se trata de un hbrido. Hay un sustrato decimal, utilizando un tipo de cua para las unidades y otro para las decenas, pero el sistema es de base 60 en el grande. El 1 y 3, de hecho, representan el 60 + 3 = 63. Entonces Conjeturamos inmediatamente que el mismo smbolo de cua ser utilizado para 10, 60 para, por (60) 2, (60) 3, y as sucesivamente, mientras que los dgitos se dan en una forma decimal.

Por lo tanto a partir de una sola tableta que podra haber conjeturado un sistema de numeracin sexagesimal completa. Tendramos entonces buscar la confirmacin de esto examinando otras tabletas, con la esperanza de ver los mismos patrones. De hecho, esto se hizo en el siglo pasado, y entre los miles de tablillas babilnicas muchos fueron encontradas que llevan las tablas de multiplicar del mismo tipo general que la dada en la figura l, generados por diversos factores de multiplicacin. Hay una gran cantidad de duplicados.

Nos encontramos con el sistema de numeracin babilnica engorroso escribir. En este

trabajo, la base 60 nmeros se escribirn al poner los dgitos (O a 59) en la base ordinaria rabe diez. y separar dgitos consecutivos por el smbolo "/". El "unidades de lugar" estar en la derecha como de costumbre. Por lo tanto,

7/13/28 representa 28 + 13(60)+7(60)2 =26,008 La suma es fcil:

14/28/31 3/35/45 18/4/16

Si se catalogan las tablas que llevan las tablas de multiplicar, algo extrao se ve. Muchas tablas de los 9s, 12s, etc., se encuentran; pero tambin hay tablas de multiplicar para los factores improbables, aunque muchas tablas que hubiramos esperado nunca aparecen. En la Figura 2, enumeramos los que ocurren con frecuencia.

Nos quedamos con tres rompecabezas: (i) Por qu faltan algunos cuadros? (Por ejemplo, 7, 11, 13, 14, etc?) (Ii) Por qu hay tablas con factores tales como 3/45, 7/12, 7/30, 44/26/40 y? (iii) Por qu hay tantas tabletas con exactamente las mismas tablas de

multiplicar en ellos? Algunas pistas se encuentran; por ejemplo, hay tabletas que contienen dos versiones de la misma tabla de multiplicar, uno hecho con cuidado y uno menos de forma clara y tal vez con un error o dos. Estoy seguro de que un cuadro familiar viene inmediatamente a la mente: un grupo de estudiantes, todos los que participan en la copia de una tabla modelo proporcionado por el profesor que en breve se calificando sus esfuerzos. No somos correctos inferir que en Nippur haba probablemente una amplia escuela de escribas que estaban en formacin para convertirse en burcratas o sacerdotes?

Para ayudar a responder a las dos primeras preguntas, examinemos otra tableta, que por conveniencia he transcrito en la notacin con barras. (Ver fig. 3) De nuevo, esto se ajusta el patrn de dos emparejado

Para ayudar a responder a las dos primeras preguntas, examinemos otra tableta, que por conveniencia he transcrito en la notacin con barras. (Ver Fig. 3) Este nuevo ajuste al patrn de dos columnas coincidentes, y buscamos una explicacin. Observamos a la vez que en las primeras filas el producto de los nmeros de las columnas adyacentes es siempre 60 Parece que hay algunas excepciones, sin embargo. Con el par 9 y 6/40, este producto es

(9) X (6/40) = (9) X (400) = 3600 y otra vez

(16) X (3/45) = (16) X (225) =3600 mientras que an ms abajo, vemos

(27) X (2/13/20) = (27) X (8000) = 216,000. La solucin se hace evidente si escribimos estos productos en forma de Babilonia; desde

60 es 1/0, 3600 es 1/0/0, y 216.000 es 1/0/0/0. Para la confirmacin, mira la ltima entrada en la tabla:

(1/21) X (44/26/40) = (81) X (160,000) = 12,960,000 = 1/0/0/0/0.

Si ahora seguimos la prctica babilnica de omitir los ceros terminales, vemos que la figura 3 no es ms que una tabla de inversos, escrito en "coma flotante sexagesimal." Si A es un nmero entero en la primera columna, el nmero entero emparejado con ella en la segunda columna, AR, es uno elegido de modo que su producto se escribira como "l", que significa cualquier potencia adecuada de 60. Los enteros que aparecen en la mesa siempre ser un factor en potencias de 2, 3 y 5, ya que estos tienen recprocos que terminan en la base 60. El trmino "aritmtica de punto flotante" es hoy un concepto, pero tambin es comprensible para cualquiera que haya usado una regla de clculo o trabajado con logaritmos; el concepto tambin habra sido familiar para los astrnomos medievales que se multiplicaron gran nmero por el dispositivo llamado " Prosthaphaeresis."

Ahora que la figura 3 se entiende, podemos responder a las dos rompecabezas que quedan colgando en la pgina anterior. Observe que los nmeros enteros utilizan para generar tablas de multiplicacin, como se ve en la Figura 2, en su mayora provienen de la reciproca estndar! tabla. (Tambin hay tabletas que contienen recprocos no estndar, los recprocos de tales nmeros como 7, 11, etc, de necesidad dadas en la terminacin de forma prxima ap.) En punto flotante, RB A BxA = . As, la combinacin de un conjunto de Multiplica mesas cin y una reciproca! tabla hace que sea fcil de llevar a cabo la divisin de coma flotante, siempre que el divisor es uno de los nmeros "bonitos" en base 60, de la forma 2 3 5 . Por ejemplo, vamos a dividir 417 por 24; en la base 60, esta ser 6/57 + 24 = 17/22/30.

Mtodo: 6/57 + 24= (6/ 57) X (24l = (6/57) X (2/30): 6/57 X 2= 12+ 1/54= 13/54 6/57 x 30=3+ 28/30= 3/28/30

Respuesta: = 17/22/30

Los ltimos pasos en este clculo son ms fciles si se recuerda que 30 = 2R, de modo que la multiplicacin por 30 es el mismo que reducir a la mitad. (Por supuesto, el escribano debe estar seguro de hacer un seguimiento de las magnitudes reales y los valores de lugar.)

Que se hicieron los clculos comunes de esta manera se hace an ms plausible a la luz

de un notable descubrimiento. Este es un cilindro inscrito, llevando en su cara curvada una copia de la reciproca estndar! mesa y cada una de las tablas de multiplicacin estndar. (En la figura 4, se muestra esta restaurada, con cada tabla de multiplicar lo indica su generador.) Con la ayuda de este cilindro, tal vez montado en un soporte, un escriba podra fcilmente hacer un seguimiento de los impuestos y de calcular los salarios; quizs tenemos aqu la versin babilnica de una regla de clculo o calculadora de escritorio! Con esta breve introduccin a la aritmtica de los babilonios, pasamos a otra tableta cuya naturaleza matemtica haba sido pasado por alto hasta que el trabajo de Neugebauer y Sachs. Es en el George A. Plimpton Collection, Libros Raros y Manuscritos, Universidad de Columbia, y por lo general llama Plimpton 322 (Ver Fig. 5, que se reproduce aqu con permiso de la Biblioteca). El lado izquierdo de esta tableta tiene cierta erosin; restos de

goma moderna en el borde izquierdo sugieren que una parte que originalmente se haba fijado all desde que se ha perdido o robado. Desde que se compr en un mercado, uno slo puede conjeturar sobre su verdadero origen y la fecha,

FIG. 5. Plimpton 322

aunque el estilo sugiere acerca de -1,600 para el segundo. Como con la mayora de tales tabletas, esto se ha supuesto que ser una cuenta o informe de inventario comercial. Haremos lo posible para demostrar por qu uno puede llegar a creer lo contrario.

En primer lugar, vamos a transcribir en la notacin con barras, como se ve en la Figura 6 Hemos reproducido las tres columnas principales, que hemos denominado A, B, y C. Observamos que existen lagunas en la columna A, debido a la erosin. Sin embargo, parece evidente que los nmeros no estn disminuyendo de manera constante. Observamos que algunos de los nmeros no son cortos y algo larga, aparentemente al azar. En contraste con esto, todos los nmeros en las columnas B y C son ms bien cortos, y no vemos ninguna evidencia de monotona general.

Ya que es ms fcil para nosotros trabajar con nmeros arbigos, dejar a traducir

columnas B y C en estos nmeros y buscar patrones. (Ver Fig. 7.) Vemos a la vez que B es menor que C, con slo dos excepciones. Adems, jugar con estos nmeros, nos encontramos con que la columna B contiene exactamente un primo, a saber, 541, mientras que la columna C contiene ocho nmeros que son primos.

En los primeros 20.000 enteros, hay cerca de 2.300 nmeros primos, que es aproximadamente un 10 por ciento; entre los 15 enteros, seleccionados al azar de este intervalo, podramos, entonces, esperar ver uno o dos nmeros primos, pero ciertamente no ocho! Esto a la vez nos dice que la tableta es matemtica y no meramente aritmtica. (Imagine que sus sentimientos si usted fuera a buscar una tableta babilnica con una lista de las rdenes de los primeros grupos simples espordicos.)

Alentados, se intenta encontrar patrones ms visibles, por ejemplo, mediante la

combinacin de las entradas en las columnas B y C de varias maneras. Uno de los primeros intentos es un xito inmediato. En la figura 8, se muestran los resultados del clculo de C + B y C B. Si usted es sensible a la aritmtica se dar cuenta de que, en casi todos los casos, las cifras son cada dos veces un cuadrado perfecto.

Si 22C B a+ = y 22C B b = entonces 2 2B a b= y 2 2 C a b= + . As, las entradas en estas columnas podran haber sido generados a partir de pares de enteros (a, b). De paso, observamos que b, siendo (a - b) (a + b), no es apto para ser primer; Por otro lado, cuando a y b son primos entre s, cada primo de la forma 4n + 1 puede expresarse como 2 2a b+ .

En la Figura 9, hemos recopiados las columnas B y C, junto con los pares apropiados (a, b) en los casos en que es posible esta representacin. Como una confirmacin ms de que vamos por el buen camino, observamos que en cada uno de estos pares los nmeros a y b son ambos "agradable", es decir, factorizable en trminos de 2, 3, y 5 En cinco casos, el patrn se rompe y no existe ningn par. Ser una confirmacin ms si podemos explicar estas discrepancias como errores cometidos por el escriba que produce la pastilla. Hacemos una hiptesis simple y suponemos que B y C fueron cada computa independientemente del par (a, b) y que se cometieron algunos errores, pero cada afectadas slo un nmero en cada fila. As, en cada lugar vacante asumiremos que, o bien B o C es correcta y la otra equivocada, y tratar de restaurar la entrada correcta. Dado que no conocemos la pareja correcta (a, b) hay que encontrarlo; debido a la evidencia en el resto de la mesa, insistimos en que una pareja aceptable debe estar compuesto de "agradable" sexagesimal.

Comenzamos con la lnea 9; aqu, B = 541, que pasa a ser la nica privilegiada en la columna B. Por lo tanto, suponemos B est mal y C es la correcta, y as escribir C = 769 = 2 2 a b+ . Esto tiene una nica solucin, el par (25,12). (Tambin observamos que ambos resultan ser agradables sexagesimals.) Si esto es correcto, entonces B debera haber sido ( ) ( )2 225 12 = 481, en lugar de 541 como se da. Hay una explicacin obvia para este error? S, porque en notacin con barras, 541 = 1/9 y 481 = 8/1. La anomala en la lnea 9 parece ser ms que un error de copia.

Volvamos ahora a la lnea 13; aqu, B es mucho mayor que C, lo cual es contrario al patrn. Supongamos que B es errnea y C es la correcta, y de nuevo intente C 2 2 289 a b= = + . No hay una solucin nica "agradable", (15,8), y el uso de stos, que se llev a la conjetura de que el valor correcto de B es ( ) ( )2 215 8 = 161 Una vez ms, le pedimos si hay una explicacin obvia para llegar al valor incorrecto dado, 25921. una respuesta parcial es inmediata: ( )2161 = 25,921; de manera que por alguna razn el escriba grab el cuadrado del valor correcto para B.

Continuando, considere la lnea 15 Puesto que B = 56 y C = 53, tenemos B> C, que no coincide con el patrn general. Sin embargo, no est claro si B es demasiado grande o demasiado pequeo C. Tratar el primero, asumimos C es correcta y resolver 53 = 2 2a b+ , obteniendo la respuesta nica (7,2). Rechazamos esto, ya que 7 no es un buen sexagesimal. Supongamos ahora que B es correcta, y escribir 56 = 2 2a b+ = (a + b) (a - b). Esto tiene dos soluciones, (15,13) y (9,5). Rechazamos la primera y utilizamos la segunda, la obtencin de 2 29 5+ = 106 como el valor correcto de C. Buscando una explicacin, observamos que el valor dado por el escriba, de 53 aos, es exactamente la mitad del valor correcto.

Volviendo ahora a la lnea 2 de la Figura 9, tenemos B = 3367 y C = 11.521, cualquiera de los cuales podra ser correcta. Supongamos que C = 2 2 a b+ y encontrar dos soluciones (100,39) y (89,60). Si bien el 100 y el 60 son agradables, 39 y 89 no son, por lo que rechazan los dos pares y supongamos que B es correcta. Escritura 3367 = (a - b) (a + b) y la factorizacin de 3367 en todos los aspectos, nos encontramos con cuatro pares: (1684,1683), (244 237), (136 123), (64,27), de los cuales podemos aceptar slo la ltima. Esta rendimientos ( ) ( )2 264 27+ = 4825 como la correcta C. Comparando esto con el nmero 11521 que apareci en la tableta, no vemos ninguna explicacin ingenua inmediata para el error. Por ejemplo, desde 4825 = 1/20/25 y 11521 = 3/12/1, no parece ser un error de copia. Sin una explicacin, es posible que tengamos un poco menos confianza en esta reconstruccin de las entradas en la lnea 2.

La ltima cosa mal encajada en la tabla es la lnea 11, donde tenemos B = 45 y C = 75 Esta es tambin inusual porque este es el nico caso en que B y C tienen un factor comn. Las sumas-y-diferencias- del patrn de casillas cuadradas fracasaron porque ni C + B = 120, ni C - B = 30 es el doble de un cuadrado. Sin embargo todo se vuelve ms claro si nos remontamos a la base 60 de notacin y recordamos que usamos punto flotante; por 120 = 2/0, que es el doble 1/0 y que tambin podemos escribir como 1, claramente un cuadrado perfecto. De la misma manera, 30 es el doble 15, que tambin es de 4R y que es el

cuadrado de 2R . El patrn se conserva y no se necesita hacer correcciones en las entradas: con a = I = 1/0 y 1/ 2 2 30 0 / 30

Rb = = = = , tenemos 2 1/ 0a = y

2 0 /15b = , y

2 2 1/ 0 0 /15 1/15 75C a b= + = + = = 2 2 1/ 0 0 /15 0 / 45 45.B a b= = = =

(Otro aspecto de la lnea de 11 entradas aparecer ms tarde.)

Con esto, hemos completado el trabajo de la edicin de la tablilla original. En la Figura 10, damos una tabla corregido para las columnas B y C, junto con los pares apropiados (a,b) de donde ellos pueden ser calculados.

Ahora es el momento de plantear la segunda pregunta cannica: Cul fue el propsito detrs de esta tableta? La especulacin en esta direccin es menos restringido, ya que la carretera no est tan bien marcada. Podemos empezar por preguntar si los nmeros de la forma 2 2 a b y 2 2 a b+ tienen propiedades especiales. Al hacerlo, corremos el riesgo de ver la antigua Babilonia del siglo XX, en lugar de tratar de adoptar un punto de vista autctono. Sin embargo, una relacin es muy sugerente, que involucra tanto el lgebra y la geometra. Para cualquier nmeros (enteros) a y b,

( ) ( ) ( )2 222 2 2 2 2 a b ab a b + = + Adems, si introducimos D = 2ab, a continuacin, B, C, y D puede formar un tringulo

rectngulo con 2 2 2 B D C+ = . Y finalmente, estas frmulas generan todas las tripletas pitagricas (tringulos) de los parmetros enteros (a, b). (Ver Fig. 11)

No hay informacin independiente que muestra que estos hechos fueron conocidos por

los babilonios en el momento conjeturamos que esta tableta fue inscrito, aunque, como se ver ms adelante, su lgebra ya haba dominado la solucin de ecuaciones de segundo grado. Si la tableta de hecho est conectado con esta observacin, a continuacin, los nmeros desconocidos columna A debe ser conectado de alguna manera con el mismo

tringulo. El siguiente paso es, entonces, proceder como antes y tratar muchas combinaciones diferentes de B, C, y D, con la esperanza de que uno de estos se aproximan las entradas de la columna A. Las pendientes y las relaciones son un punto de partida obvio, por lo que se calcula C + B, C + D, B + D, etc Despus de descartar muchos fracasos, uno llega a la combinacin ( )2B D . En la Figura 12, le damos los valores de esta expresin, calculados a partir de los valores corregidos de B y utilizando los valores hipotticos de (a,b) encontrar D. (Observemos que era muy til tener una calculadora programable de bolsillo que podra estar capacitados para trabajar en aritmtica sexagesimal).

Si volvemos ahora a la Figura 6 y comparar los nmeros ya no en la columna A con las que aparecen en la figura 12, vemos que hay un acuerdo casi total. Por ejemplo, en la lnea 10 tenemos la duplicacin exacta de un sexagesimal de ocho dgitos! Por razones probabilsticas solos, esto es una confirmacin abrumadora. Por supuesto, en la parte superior de la tableta, donde haba lagunas debido a la erosin, las Figuras 6 y 12 aos no son los mismos, pero es evidente que los datos calculados en la figura 12 se puede considerar como llenar los vacos. Hay dos pequeos desacuerdos en las dos tablas. En la lnea 13, la tableta no muestra un "0" interna que est presente en la Figura 12 Esto podra haber sido la costumbre del escriba para hacer frente a tal evento. En la lnea 8, el escriba ha escrito un dgito "59" donde debera haber habido un par consecutivo de cifras, "45/14". Desde 59 = 45 + 14, no es difcil inventar varias formas diferentes en las que se podra haber cometido un error de este tipo.

Cabe notar que Neugebauer y Sachs no utilizaron ( )2 B D+ como una fuente para la columna A, sino ms bien ( )2 C D+ . Debido a la relacin entre B y C, y la frmula (*), se

ve que ( ) ( )2 2 1C D B D+ = + + Por lo tanto, el nico efecto del cambio sera introducir una inicial "1 / "antes de todas las sexagesimals que aparecen en la figura 12, y la razn de su eleccin era que ellos crean que esto era cierto para la columna A en la tableta Plimpton. Otros que han examinado la tableta no estn de acuerdo. (No he visto la tableta, y no creo que importe qu alternativa se utiliza.)

Ahora sabemos la relacin de las columnas A, B y C. Con referencia a la Figura 11, C es la hipotenusa, el lado vertical B, y A es el cuadrado de la pendiente del tringulo; por lo tanto, en notacin moderna 2 tanA = Es interesante observar que el caso anmalo de la lnea 11, con B = 45 y C = 75, resulta ser el familiar tringulo 3,4,5; en el caso de Babilonia, este parece haber sido el tringulo 3/4, 1, 5/4, ya que 45 3 4R= y75 1/15 5 4R= = . Por supuesto, el tringulo, el lado D, y los parmetros (a, b) son todas las construcciones de la nuestra y no inmediatamente visible en la tablilla original. Todo lo que podemos afirmar sin controversia es que 2 2 2 .( )A B C B= +

Examinemos algunos de nuestros razonamientos. En las lneas 2, 9, 13, y 15, el escribano registr valores correctos para A, pero valores incorrectos para C, B, B, y C, respectivamente. Esto sugiere fuertemente que A no se calcula directamente a partir de los valores de B y C, pero que A, B, y C se calcula independientemente de todos los datos que no aparecen en la tableta; nuestra pareja hipottica (a, b) ganan vida. (Por supuesto que existe la posibilidad de que la tableta antes de nosotros no es ms que una copia de otra tableta maestro.) En cualquier caso, parece extrao que la columna A debe estar libre de errores, mientras que las columnas B y C, que involucra nmeros ms simples, deben tener cuatro errores.

Otras preguntas pueden ser planteadas. Si, como sostiene Neugebauer, el propsito de la tableta era grabar una coleccin de tringulos pitagricos-integrales caras (trillizos), por qu no vemos los valores de D, o al menos los parmetros tiles (a, b)? Y por qu uno quiere que los valores de la columna A, que son cuadrados de la pendiente? Y por qu las entradas se pueden organizar en un orden que hace que los nmeros tengan una disminucin montona?

Se han propuesto variantes de esta explicacin. Si uno calcula los valores del ngulo de para cada lnea de la tableta, se les ve una reduccin continua desde 45 a 30, en intervalos de aproximadamente 1. Es esto un accidente? Podra esta tableta ser una tabla trigonomtrica primitiva, destinados a la ingeniera o el uso astronmico? Pero de nuevo, por qu es 2tan til [3], [6]?

Confirmacin adicional de esta hiptesis podra ser dada por un esquema de un procedimiento de clculo que conduce a la tableta, lo que hace que todos los errores posibles y tambin muestra por qu habran ocurrido preferentemente en las columnas B y C. (Ver [1], [4], [7].).

Basndose en una propuesta anterior de Bruins, una explicacin intrigante ha sido propuesto recientemente por Voils. En Nippur, un gran nmero de "textos escolares" se han encontrado, muchos ejercicios aritmticos que contienen. Entre estos, un problema de puzzle estndar es bastante comn. El estudiante se le da la diferencia (o suma) de un nmero desconocido y su recproco y pidi que encontrar el nmero. Si x es el nmero

(llamados "igi") y Rx es su recproco (llamado "igibi"), entonces el estudiante es resolver la ecuacin Rx x d = . Por lo tanto, los problemas "igi e igibi" son ecuaciones de segundo grado de una variedad estndar.

Los textos escolares ensean un algoritmo de solucin especfica: "Encuentra la mitad de d, cuadrar, aadir 1, tomar la raz cuadrada, y luego sumar y restar la mitad de d." Esto se ve fcilmente que no es ms que una versin de la frmula cuadrtica, adaptado a los problemas "igibi igi y". Voils conecta esta clase de problemas, y el algoritmo anterior, con la tableta Plimpton como sigue.

En primer lugar, supongamos con Bruins que la tableta no fue calculado a partir del par (a, b) pero a partir de un nico parmetro, el nmero x = a + b. Desde a y b son ambos "buenos", el nmero x y su Rx recproco cada uno se puede calcular fcilmente. De hecho,

Rx a b= y R Rx b a= , y Ra y Rb , cada uno aparecen en una tabla de reciprocidad estndar. De lo siguiente observar que

2 2 ( )( )RB a b ab x x= = 2 2 ( )( )RC a b ab x x= + = +

( )2

2 1( )2

RBA x xD

= =

Esto muestra que las entradas A, B, C en la tableta Plimpton podran haber sido calculados fcilmente a partir de una tabla recproca especial donde aparece apareados los valores e Rx x . De hecho, los nmeros B y C se pueden obtener de Rx x simplemente multiplicando stas por nmeros enteros elegidos para simplificar y acortar el resultado de la representacin de los dgitos. (Vase [1], [2], [7].).

Voils aade a esta sugerencia de Bruins la observacin de que los nmeros A son exactamente los resultados obtenidos al final de la segunda etapa en el algoritmo de solucin, 2( / 2)d , aplicado a un problema de igi-igibi cuya solucin es x y Rx . Adems, los nmeros B y C se pueden utilizar para producir otros problemas del mismo tipo pero con los mismos resultados intermedios en el algoritmo de solucin. As Voils propone que la tableta Plimpton no tiene nada que ver con tripletes pitagricos o trigonometra pero, en cambio, es una herramienta pedaggica destinada a ayudar a un profesor de matemticas de la poca conforman un gran nmero de ejercicios de ecuaciones cuadrticas-igi igibi teniendo soluciones conocidas e intermedios pasos de solucin que se pueden comprobar fcilmente [7].

Es posible sealar otra confirmacin dbil de este ltimo enfoque. Supongamos que queremos una tabla graduada de nmeros x y sus inversos Rx . Comenzamos con la clase de todos los pares (a, b) de enteros primos relativos tal que b

(Esto corresponde a la limitacin de 30 <