FAING EPIE _________________ MATEMATICA BASICA IIUNIDAD II: NUMEROS COMPLEJOSSESIN 11. INTRODUCCION

Primera cuestin: Hay algn nmero que al elevarlo al cuadrado d -1? Puedo calcular la raz cuadrada de -1?

Es claro que no podemos buscar dentro de los nmeros reales ya que cada nmero real al elevarlo al cuadrado siempre es positivo. Debemos entonces inventarnos un nmero nuevo cuyo cuadrado sea -1. Vamos a llamarlo i, unidad imaginaria.

Dnde representar este nuevo nmero?

No puedo hacerlo en la recta real, tiene que estar fuera. Hagamos lo siguiente, dibujemos un eje perpendicular al eje real y coloqumosle ah. As, siguiendo la misma idea que se utiliza para representar los nmeros reales, podramos situar los puntos -i, 2i, 3i, ... en el eje vertical en el que hemos colocado a la unidad imaginaria: De esa manera se tendran ya dibujados los nmeros bi siendo b real. A todos estos nmeros los llamaremos imaginarios y al eje vertical en el que se pueden representar lo llamaremos EJE IMAGINARIO.

Estos nmeros imaginarios forman parte de un conjunto ms grande que llamaremos nmeros complejos y que sern objeto de estudio en esta unidad.

Ejemplo 01: Desarrollar el siguiente ejercicio Cules son las dimensiones de un rectngulo cuya rea es 12 cm2 y cuyo permetro es 8cm? Adicionalmente calcular las dimensiones de un rectngulo debe ser 13 cm2 y el permetro 6 cm?

2. LOS NUMEROS COMPLEJOS

Como hemos comentado antes los nmeros reales se representan en una recta, que llamamos recta real. A cada nmero real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta un nmero real. Por esta razn la recta real est completa, "sin huecos". Por lo que para definir un nuevo conjunto de nmeros debemos buscar fuera de ella.

Consideramos el plano cartesiano, es decir, el conjunto de puntos (a, b) con a y b nmeros reales. Observa:

Este conjunto es una ampliacin del de los nmeros reales ya que cualquier nmero real a se puede identificar con el punto (a, 0) del plano

Adems contiene a los nmeros imaginarios ya que cualquier nmero de la forma bi se puede identificar con el punto (0, b)

Cualquier punto (a, b)=(a, 0)+ (0, b) luego puede escribirse como la suma de un nmero real y de un nmero imaginario

El conjunto de pares (a, b), con a y b nmeros reales, o la suma de un nmero real y de uno imaginario, a+bi, lo llamaremos conjunto de nmeros complejos y lo denotaremos por .

Entonces podemos a la ves definir que se llama nmero complejo a todo par ordenado (a,b) de componentes reales, tales que la primera componente representa la parte real y la segunda componente la parte imaginaria.

Notacin:Z = (a,b); donde a,b R Al nmero a se le llama parte real de z; Rea(z) = a Al nmero b se le llama parte imaginaria de z, Img(z) = bEjemplo 02: denotar el siguiente nmero complejo: z = (2, 3)

3. NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINOMICA

Se llama nmero complejo en forma binmica a la expresin a+bi siendo a y b nmeros reales e i la unidad imaginaria

El nmero complejo puede identificarse con un punto del plano.

Tambin se puede dar una interpretacin vectorial: el nmero complejo z = (a,b) = a + bi es el afijo (extremo) del vector que une el origen de coordenadas y el punto (a, b).

Al nmero a se le llama parte real y se escribe Al nmero b se le llama parte imaginaria y se escribe

En el eje horizontal representamos la PARTE REAL del nmero complejo, por eso se le llama Eje Real. En el eje vertical representamos la PARTE IMAGINARIA del nmero complejo, por eso se le llama Eje Imaginario

Si un nmero complejo z tiene la parte imaginaria 0 entonces se dice que es un nmero real. Si un nmero complejo z tiene la parte real 0 se dice que es imaginario.4. IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS. OPUESTO Y CONJUGADO

Dos nmeros complejos son iguales si lo son las partes reales e imaginarias respectivamente:

Dado el nmero complejo se define: Su opuesto como el nmero complejo su Su conjugado como el nmero complejo

Observa que el opuesto de z es simtrico a z respecto del origen conjugado de z es simtrico a z respecto al eje X.

5. ARITMETICA DE NUMEROS COMPLEJOS

Con la definicin de nmero complejo y su representacin grfica vamos a tratar de operar con estos nmeros y de interpretar estas operaciones.

Suma:

Resta

La suma puede representarse grficamente en el plano complejo El afijo de la suma se obtiene formando un paralelogramo tal que tres de sus vrtices son los afijos de z1, de z2 y del origen. El cuarto vrtice es el afijo de z1+z2.

Para la resta de z1 y z2 hay que calcular el opuesto de z2 y luego sumar a z1 dicho opuesto.

Ejemplo 01: Dados los nmeros complejos: realiza las siguientes operacionesa) b) c)

6. MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

Multiplicamos como si se trataran de nmeros reales:

y como

Ejemplo 02: Multiplicar

Ejemplo 03: Calcular las potencias naturales de la unidad imaginaria. Se tiene que:

Luego a la hora de calcular in basta dividir n entre 4. Si el cociente es k y el resto r se tendr:

Ejemplo 04: hallar las potencias siguientes: i99, i22,i2000,i-17.

Propiedades:

a) I4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1, i4n+3 = -ib) I +i2 +i3 + + i4n = 0; n Nc) (1 +i )2 = 2i; (1 i)2 = -2id) (1 +i )4 = (1 i)4 = -4e) (1+i)/(1-i) = i; (1 - i)/(1+ i) = -1 Corolarios:Sea i = la unidad imaginariaa) i + i2 +i3 +i4 = 0b) i4k +i4k+1 +i4k+2 + i4k+3 = 0; k Zc) in +in+1 +in+2 + in+3 = 0; n Zd) i +i2 +i3 + i4 + i5 + i4k = 0; k Z

Ejemplo 05: calcular:

7. DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOSEl cociente de nmeros complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de ste.

Ejemplo 06

Ejemplo 07: dividir los siguientes nmeros complejos:

8. POTENCIA DE NUMEROS COMPLEJOS

Emplearemos por ahora exponentes pequeos y para ello nos apoyaremos de los productos notables.

Ejemplo 08: si z1 = 2 -3i, hallar (z1)2

PROBLEMAS DE APLICACIN 1. Hallar los valores de x e y si: De donde: (por -2) -Luego: x+3( =

2. Describir y construir la grfica del lugar geomtrico representado por la siguiente ecuacin:

Sol: Sea: = 2 EC. De una circunferencia de centro (0, 1) y radio 2

9. MODULO DE UN NUMERO COMPLEJOEl mdulo de un nmero complejo es un nmero real positivo definido por:

=

Geomtricamente ; el modulo de de un numero complejo , es la longitud del segmento orientado que representa a :

Ejemplo: Si PROPIEDADES

1. Si z1(0, 0)

2. Si =(0, 0)

3. Si

4. Si =

5. (Desigualdad triangular)

6. = ,

7. .

8. Re(z)

En el plano complejo podemos representar el modulo de

10. Afijo de un Numero complejo(Representacin como par odrdenado en el plano complejo)Es un punto del plano complejo, el cual est determinado por un par ordenado (a,b)A= Re(z): nos representa la parte realB= Im (z) nos representa la parte imaginaria

Ejemplo: z-1- = 3+5i (3,5)

11. ARGUMENTO DE UN NUMERO COMPLEJO

El argumento de un nmero complejo se define como la medida del ngulo en radianes formado por el semieje positivo de las x y el vector que representa al complejo Ha

Como las funciones seno y coseno son peridicas de periodo 2 el argumento de z, , est definido salvo mltiplos de 2 . Es decir, hay una infinidad de argumentos de z, pero dos cualesquiera de ellos difieren en un mltiplo de 2. Se dice que el argumento es principal si ( 0 ).

12. FORMA TRIGONOMTRICA Y POLAR DE UN NMERO COMPLEJO

Teniendo en cuenta la figura anterior, en la que se ha representado el complejo z=a+bi, y las definiciones de seno y coseno se cumplir:

Como, y , se puede encontrar la siguiente expresin del nmero complejo

Esta expresin recibe el nombre de forma trigonomtrica del complejo a+bi13. FORMA MODULO ARGUMENTAL O POLAR

Otra expresin del nmero complejo, que recibe el nombre de mdulo-argumental o polar, queda tambin determinada a partir de su mdulo, r, y de su argumento,, es:

Donde:

14. CAMBIO ENTRE FORMAS POLAR, BINMICA Y TRIGONOMTRICA Si conocemos la forma binmica del nmero complejo, z=a+bi, y deseamos pasar a la forma polar hay que tener en cuenta que:

Este ngulo hay que buscarlo verificando:

Ejemplo 01: Es importante esta observacin ya que si consideramos los nmeros complejos: =1i y =1+i y buscamos el argumento como el ngulo que verifica

podra pensarse que los dos nmeros complejos tienen el mismo argumento ya que en los dos casos se obtiene

Sin embargo, no es as. Para evitar errores lo que hay que buscar es: Para z 1 Cumpliendo: Es decir: Para z 2

Cumpliendo: Es decir = 135 =

15. MULTIPLICACIN Y DIVISIN EN FORMA TRIGONOMTRICAMultiplicacin: Consideramos,

Si multiplicamos estos dos nmeros complejos:

Teniendo en cuenta las frmulas del seno y del coseno de la suma se deduce que:

Por lo tanto,Este resultado nos permite dar una: INTERPRETACIN GEOMETRICA DEL PRODUCTO DE DOS NUMERO COMPEJOS: Cuando se multiplican dos nmeros complejos, se obtiene otro que tiene por modulo el producto de los mdulos y por argumento la suma de los argumentos.Divisin: Consideramos

Si dividimos estos dos nmeros complejos:

Teniendo en cuenta las frmulas del seno y del coseno de la diferencia se deduce que:

Por lo tanto,El mdulo del cociente de dos nmeros complejos es el cociente de sus mdulos y el argumento es la diferencia de sus argumentos.16. MULTIPLICACIN Y DIVISIN EN FORMA POLARMULTIPLICACIN: Dados dos nmeros complejos en forma polar: su producto es el nmero complejo

Ejemplo 1:

DIVISIN: Dados dos nmeros complejos en forma polar:

su cociente es el nmero complejo

Ejemplo 2: Ejemplo 3: Determinar el modulo, el argumento la forma polar y la forma trigonomtrica del siguiente numero complejo: z = Solucin: Mdulo = = Argumento: Es mejor hacer una grfica del numero complejo en el plano complejo antes de determinar el argumento

arctg( = arctg(1) = Forma polar: Forma trigonomtrica: 2

TRABAJO ENCARGADO 1.

1. Hallar los nmeros reales x e y tal que: Rpta.

2. Resolver el sistema de ecuaciones en C. Rpta.

3. Hallar los valores de a y b si:

4. Si: , donde: x, y Rpta. ,

5. Expresar z en su forma binmicaz = 1+ Rpta. z = 6. Expresar z en su forma binmicaz= Rpta.

7. Expresar z en su forma binmicaz = Rpta.

8. Resolver el sistema de ecuaciones: Rpta

9. Si z=x+iy, siendo x e y reales. Demostrar que el lugar geomtrico = 2 es una circunferencia, determina su centro y radio y grafica la circunferencia.

10. Determinar el mdulo, el argumento, la forma polar y la forma trigonomtrica del nmero complejo

11. Dados los nmeros complejos , = 3(cos+isen) Hallar: a) b) c)

12. Hallar z tal que: |z| -z = 1 +2i. Rpta. z=

13. Hallar el mdulo de: . Rpta. 125/17

14. Dados los nmeros complejos

15. Expresen en forma binmica z=+

16. Expresen en forma binmica z = Rpta.

Tacna, 30 de junio del 2015Docente: Ing Luis Nina Ponce

Ing. Luis Nina Ponce Pgina 3 de 6