sesion 14 - separata de simulacion distribución

Separata del Curso Facultad Ingeniera Industrial

Jaime Guerra Saavedra 1

Nota: Simulacin viene de simular y simular es imitar el comportamiento de algo en el escenario dado.

DEFINICIN DE SIMULACIN

Viene a ser la reproduccin artificial de un sistema en sus relaciones de entrada y salida (a

travs de variables aleatorias), implementadas en un programa de una PC.

Esta tcnica numrica permite realizar experimentos de una PC. de programas matemticos

y lgicos que describen el comportamiento de un sistema (manufactura, negocios, casos

sociales, etc.) a travs de grandes perodos de tiempo.

Pasos para implementar un proceso de simulacin

1. Formulacin del problema.

2. Recoleccin y procesamiento de la informacin

3. Formulacin del modelo matemtico

4. Estimacin de los parmetros.

5. Evaluacin del modelo y parmetros estimados

6. construccin de un programa de computadora

7. Validacin del programa desarrollado.

8. Diseo de experimentos de simulacin.

9. Anlisis de resultados y validacin de la informacin.

S I M U L A C I N



EVALUACIN DEL MODELO

Diagrama de Flujo de los Pasos de un Proceso de Simulacin

FORMULACIN DEL PROBLEMA

RECOLECCIN Y PROCESAMIENTO

DE DATOS

FORMULACIN DEL PROBLEMA MATEM.

ESTIMACIN DE LOS PARMETROS

FORMULACIN DEL PROGRAMA

VERIFICACIN

DISEO DE EXPERIMENTOS

ANLISIS DE DATOS DE LA SIMULACIN



1. FORMULACIN DEL PROBLEMA

El estudio de la simulacin de computadoras tiene que comenzar con la formulacin de un

problema o con una declaracin explcita de los objetivos del experimento; pues sera poco

beneficioso realizar experimentos que emplean tcnicas de simulacin por la simulacin

misma. En primer definir claramente los objetivos de nuestra investigacin, antes de realizar

cualquier experimento de simulacin. Con toda seguridad encontraremos que la exposicin

original del problema es un proceso secuencial que generalmente requiere de una

reformulacin continua y progresiva y una refinacin de los objetivos del experimento

durante su realizacin. Los objetivos de la investigacin, tanto de la empresa como de la

economa, como tambin de la mayora de las ciencias sociales, toma generalmente la forma

ya sea de: (1) preguntas que deben contestarse, (2) hiptesis que deben probarse y (3) efectos

por estimarse.

2. RECOLECCIN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LA

REALIDAD

El lector quiz argir legtimamente, que una discusin sobre los requisitos para procesar

los datos en experimentos de simulacin, tendra que preceder a nuestros comentarios sobre

la formulacin del problema, por ser simplemente posible formular un problema o un

conjunto de objetivos para un experimento, sin tener acceso adecuado a la informacin

(cuantitativa o de otra clase) acerca del sistema que se investiga.

Aunque nuestra intencin no es enfrascarnos en una amplia discusin sobre el procesamiento

de datos, intentaremos bosquejar algunos de los problemas ms importantes que se

encuentran al recolectar y reducir los datos a una forma ms apropiada, para ser utilizados en

los experimentos de simulacin. Existen, por lo menos, cinco razones es necesario disponer

de un sistema eficiente para el procesamiento de datos, que permitan alcanzar el xito al

realizar los experimentos de simulacin.



En primera instancia, como ya lo hemos dicho, la informacin descriptiva y cuantitativa

(datos) referente al sistema que se va investigar, constituye un requisito previo a la

formulacin del problema. En segundo lugar, los datos que hayan sido reducidos a una

forma significativa pueden sugerir hiptesis de cierta validez, las cuales se usarn en la

formulacin de los modelos matemticos que describen el comportamiento de un sistema

dado. Como tercer punto, los datos tambin pueden sugerir mejoras o refinamientos en los

modelos matemticos que existen en el sistema por simularse. En cuarto lugar, es necesario

que los datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar los parmetros de las

caractersticas de operaciones relativas a las variables endgenas, exgenas y de estado del

sistema. Finalmente, cabe considerar que sin tales datos, sera imposible probar la validez de

un modelo para la simulacin.

La recoleccin de datos es un proceso de captacin de los hechos disponibles, con lo cual

estos pueden ser procesados posteriormente, cuando sea necesario. En realidad, el proceso

de recoleccin y el de almacenamiento de datos ocurren simultneamente, pues el primero

implica que los datos sean o hayan sido almacenados. La manera en la cual los datos se

almacenan durante la primera etapa de procesamiento, no constituye, por lo general, la forma

ms eficiente que se debe emplear en las etapas posteriores; por esta razn, la conversin de

los datos de una forma a otra tiene una funcin crucial en la determinacin de eficiencia del

procesamiento. Por ejemplo, es posible que cierta informacin sea almacenada ms

eficientemente, en forma de documentos manuscritos.

Una vez que los datos han sido recolectados, almacenados, convertidos a una forma eficaz y

transmitidos al lugar de procesamiento final, resulta posible entonces, comenzar con las

operaciones de manipulacin de datos y la preparacin de estos para su salida final. Las

etapas de manipulacin requieren la realizacin de operaciones como las de clasificar,

cotejar, intercalar, recuperar informacin y otras, como las operaciones aritmticas y lgicas.

Estas operaciones se realizan con la computadora o sin ella, y depende de la cantidad de

datos por manipular y la utilizacin que finalmente tengan.



3. FORMULACIN DE LOS MODELOS MATEMTICOS

Consiste en tres pasos:

1. Especificacin de los componentes

2. Especificacin de las variables y los parmetros.

3. Especificacin de las relaciones funcionales.

En la formulacin de los modelos matemticos de sistemas econmicos e industriales parece

presentarse una dificultad, ya que la construccin de modelos es un artes y no una ciencia.

Aunque los instrumentos empleados por un constructor de tales modelos difieren de los

utilizados por el escultor, el o el tallador de madera, esto no lo excluye de la citada

catalogacin. Al utilizar an las tcnicas como la econometra, la estadstica matemtica, la

teora de probabilidad, el lgebra matricial, las ecuaciones de diferencias y la programacin

matemtica, la tarea de construir un modelo matemtico para un sistema en particular, es

todava anloga al trabajo de un artista.

Una de las primeras consideraciones que se toman en cuenta en la formulacin de un modelo

matemtico reside en saber cuantas variables se deben incluir en el modelo. Encontraremos

muy poca dificultad en lo referente a las variables endgenas o de salida de nuestro modelo,

debido por lo general, a que estas variables se determinan al comenzar el experimento,

cuando formulamos los objetivos de estudio. Obviamente habr un lmite superior en el

nmero de las variables endgenas posibles de investigar en un solo experimento de

simulacin, ya que el tamao de la computadora disponible para el investigador, impondr

necesariamente ciertas limitaciones relativas a este aspecto.

La segunda consideracin importante en la formulacin de los modelos matemticos se

refiere a la complejidad de los mismos. Por un lado, es posible argir que los sistemas

econmicos son en realidad complicados y que los modelos matemticos que pretenden

describir su comportamiento tambin tendrn que ser complicados. En cierto grado, estas

afirmaciones resultan verdaderas, pero por otro lado, no quisiramos llegar al extremo de

construir modelos tan complejos, independientemente de lo que sean, y requieran un tiempo

razonable de computacin. Por lo general, estamos interesados en la formulacin de modelos



matemticos que produzcan descripciones o predicciones, razonablemente exactas,

referentes al comportamiento de un sistema dado y reduzca a la vez, al tiempo de

computacin y programacin.

Una tercera consideracin en la formulacin de modelos matemticos para la simulacin en

computadora estriba en el rea de la eficiencia de computacin.

Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de cmputo requerida para lograr algn objetivo

experimental especfico. Como regla general, estamos comnmente interesados en uno de

los objetivos siguientes relacionados con la eficiencia de los experimentos de simulacin: En

el primer caso, es posible que deseemos reducir el tiempo de cmputo requerido para

generar los valores de nuestras variables endgenas sobre un perodo especfico, sean seis

meses o nueve aos, o quizs necesitemos hacerlo con el tiempo de cmputo que requiere

para simular el comportamiento de la economa de un estado en un perodo de diez aos.

El tiempo consumido en la programacin de la computadora, constituye una cuarta

consideracin al formular los modelos matemticos para simulacin. El tiempo requerido

para escribir un programa que genere los tiempos planificados para las variables endgenas

de un conjunto en particular de modelos matemticos depende en parte del nmero de

variables utilizadas en los modelos y de su complejidad. Si algunas de las variables

utilizadas en los modelos son estocsticas por naturaleza entonces, tanto el tiempo de

programacin como el de computacin deben, por supuesto, equilibrarse con los aspectos de

validez y velocidad de clculo.

La quinta rea de inters en la construccin de modelos es la validez o la cantidad de

realismo incorporado en ellos. Es decir, el modelo describe adecuadamente al sistema de

inters?; proporciona predicciones razonablemente buenas cerca, del comportamiento del

sistema, en perodos futuros? A menos que la respuesta a una o ambas de estas preguntas sea

afirmativa. Entonces el valor de nuestros modelos se reducir considerablemente y nuestro

experimento de simulacin se convertir solo en un ejercicio de lgica deductiva.

La sexta y ltima consideracin, al formular modelos para simulacin en computadora,

consiste en su compatibilidad con el tipo de experimentos que van a realizar con ellos. Ya

que nuestro objetivo principal al formular un modelo matemtico, es el permitirnos dirigir



experimentos de simulacin, deber pensarse en que forma particular se tomarn las

caractersticas del diseo de los experimentos que deban incorporarse en nuestros modelos.

En los prrafos anteriores intentamos bosquejar que los que pensamos es un conjunto de

propiedades deseables para los modelos matemticos, o por lo menos, un conjunto de

factores que el constructor del modelo considere til tomar en cuenta. Desafortunadamente

estas propiedades representan metas muy idealizadas que rara vez se cumplen al tratar con

problemas del mundo real.

Han surgido dos tipos bsicos de diseo para formular modelos matemticos que sern

utilizados para simulacin en computadora. Los diseos generalizados y los modulares o de

bloques. Los modelos primeros presenten un intento para describir el comportamiento de un

sistema completo, tal como una empresa o la economa de una nacin. No obstante que este

ataque se ha utilizado ampliamente en la microeconoma, macroeconoma y econometra, no

puede en general esperar un xito abrumador ya sea en la descripcin o en la prediccin del

comportamiento futuro de los sistemas econmicos.

4. ESTIMACIN DE LOS PARMETROS DE LAS CARACTERSTICAS

OPERACIONALES A PARTIR DE LOS DATOS REALES

Una vez que hemos recolectado los datos apropiados del sistema y formulado varios

modelos matemticos que describen su comportamiento, es necesario estimar los valores de

los parmetros de dichos modelos y probar su significacin estadstica. La estimacin de

parmetros de los modelos econmicos cae dentro del dominio de la econometra.

Antes de intentar la estimacin de los parmetros de las caractersticas operacionales de un

sistema econmico, debemos tener un conocimiento amplio, cuando menos de las tcnicas

ordinarias de estimacin por mnimos cuadrados y de los procedimientos clsicos de pruebas

estadsticas. Sin embargo, si pretendemos manejar adecuadamente problemas tan difciles

como el de los errores en las variables, variables rezagadas, colinealidad mltiple,

heterosedasticidad, autocorrelacin, identificacin y ecuaciones simultneas es necesario

entonces poseer mucho ms que un conocimiento puramente elemental sobre la mitologa de

la econometra.



Entre los mtodos importantes de estimacin economtrica descritos por Goldberger y

Johnston y que se comparan sobre la base de sus propiedades estadsticas y de computacin

se encuentran:

1. Mtodo de una sola ecuacin

a. Mnimos cuadrados ordinarios.

b. Mnimos cuadrados indirectos.

c. Ecuacin nica con informacin limitada.

d. Mnimos cuadrados de dos etapas.

2. Mtodos de ecuaciones simultneas

a. Mxima probabilidad con informacin completa.

b. Mnimos cuadrados de tres etapas.



5. EVALUACIN DE MODELOS Y DE LOS PARMETROS ESTIMADOS

Es necesario hacer un juicio inicial de la suficiencia de nuestro modelo una vez que

formulamos un conjunto de modelos matemticos que describen el comportamiento de

nuestro sistema econmico y estimamos los parmetros de sus caractersticas operacionales

sobre la base de las observaciones tomadas del mundo real; es decir debemos probar el

modelo. Es claro que seran pocos los beneficiados que se obtendran con la utilizacin de un

modelo inadecuado para realizar experimentos de simulacin en computadora, ya que

estaramos solamente simulando nuestra propia ignorancia.

Este paso representa solo la primera etapa de la prueba de un modelo de simulacin previa a

las corridas en la computadora por lo que en este punto nuestro inters reside en probar las

suposiciones o entradas que se programarn en la computadora.

En el caso de que las caractersticas operacionales toman la forma de distribucin de

probabilidad, ser necesario aplicar pruebas de bondad de ajuste que determinan qu tan bien

se ajusta una distribucin hipottica de probabilidad a los datos del mundo real de los cuales

se ha derivado. Deseamos tambin la importancia estadstica de nuestras estimaciones de los

valores esperados, variancias y otros parmetros de estas distribuciones de probabilidad.

Estas pruebas podran comprender.

1. Pruebas referentes a las medias

a. Pruebas de una muestra relativas a las medias.

b. Diferencias entre medias

2. Pruebas referentes a las variancias.

a. Pruebas de las Ji cuadrada

b. Pruebas F

3. Pruebas basadas sobre el conteo de datos

a. Pruebas referentes a las proporciones.

b. Diferencias entre k proporciones.

c. Tablas de contingencia

d. Pruebas de bondad de ajuste.



4. Pruebas no paramtricas

a. La prueba del signo

b. Pruebas basadas en sumas de rango.

c. La prueba de la mediana.

d. La Prueba U

e. Pruebas de corridas

f. Pruebas de correlacin en serie.

6. FORMULACIN DE UN PROGRAMA PARA LA COMPUTADORA

La formulacin de un programa para computadora, cuyo propsito sea dirigir los

experimentos de simulacin con nuestros modelos del sistema bajo estudio requiere que se

considere especialmente las siguientes actividades:

1. Diagrama de flujo.

2. Lenguaje de la Computadora

a. Copuladotes de propsitos generales

b. Lenguaje de simulacin de propsitos especiales

3. Bsqueda de errores

4. Datos de entradas y condiciones iniciales.

5. Generacin de datos.

6. Reportes de salida

Al escribir un programa de simulacin para computadora, la primera etapa requiere la

formulacin de una etapa de diagrama de flujo de bosqueje la secuencia lgica de los

eventos que realizar la computadora, al generar los tiempos planificados para las variables

endgenas de nuestro modelo.

En cuanto terminemos un diagrama de flujo con la lgica de un experimento dado, debemos

considerar entonces el problema de escribir el cdigo para computadora, que utilizaremos en

las corridas de nuestros experimentos, para lo cual dispondremos generalmente de dos

alternativas: Ya sea escribir nuestro programa en un lenguaje de propsitos generales como



el FROTRAN, ALGOL, COBOL, o PL/I o bien emplear uno de los lenguajes de simulacin

de propsitos especiales como el GPSS, SIMSCRIPT, GASP, SIMPAC, DYNAMO o

PROGRAM SIMULATE, ARENA.

7. VALIDACION

Ciertamente, el problema de validar modelos de simulacin es difcil, ya que implica un

sinnmero de complejidades de tipo prctico, terico, estadstico e inclusive filosfico. La

validacin de experimentos de simulacin forma parte de un problema mucho ms general

es decir el de la validacin de cualquier clase de modelo o hiptesis. Las preguntas bsicas

son: Qu significa validar una hiptesis y cules criterios debern utilizarse para

establecer la validez de una hiptesis.

8. DISEO DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIN

Una vez que estemos satisfechos con la validez de nuestro modelo para la computadora,

estaremos en posibilidad de considerar su uso para dirigir efectivamente, los experimentos

de simulacin. De hecho como ya hemos definido nuestro problema experimental las

variables endgenas y los factores deberemos interesarnos por los detalles del diseo

experimental.

En esta fase es posible identificar dos metas importantes: en primer lugar seleccionaremos

los niveles de los factores y las combinaciones de niveles, as como el orden de los

experimentos. En seguida y una vez que seleccionemos nuestras combinaciones de factores,

debemos de esforzarnos pro asegurar que los resultados queden libres de errores fortuitos.

9. ANLISIS DE LOS DATOS SIMULADOS

La etapa final en el procedimiento requiere un anlisis de los datos generados por la

computadora, a partir del modelo que simula. Tal anlisis consiste en tres pasos:

1. Recoleccin y procesamiento de los datos simulados.

2. Clculo de la estadstica de las pruebas.



3. Interpretacin de los resultados.

An cuando el anlisis de los datos simulados es de hecho semejante al anlisis de los datos

del mundo real. Existen algunas diferencias importantes.



f(x)

x 0 1

1

NUMEROS ALEATORIOS (RANDOM NUMBERS)

Los nmeros aleatorios son nmeros que estn en el siguiente rango:

0 R 1; donde R: Random Number = Numero Aleatorio

Formas de obtener Ns. As.:

1. Por provisin externa:

Viene a ser la obtencin de Ns. As. impresos o almacenados en tablas aleatorias o en

unidades de memoria (disco, disco duro, etc.)

2. Generacin interna a travs de un proceso fsico, que es el uso de un dispositivo

especial acompaado de una PC, capaz de registrar los resultados de un proceso

aleatorios, reducindolo adems estos resultados a sucesiones de Ns. As.

3. Generacin interna a travs de una relacin de recurrencia obtencin de

sucesiones de nmeros a travs de frmulas determinsticas preestablecidas.

Caractersticas de los Ns. As.

1. Ser estadsticamente independientes.

2. Estar uniformemente distribuidos.

3. Tener perodos largos.

4. Ser reproducibles.

5. Ser generadores a travs de un mtodo rpido.

6. Ocupar poca capacidad de memoria en almacenamiento.

Observacin:

a. Los Ns.As. llamados tambin, nmeros rectangulares, proviene de una distribucin

uniforme estndar.

.(0,1)

( ) 1, 0 x 1

X U niform e

f x



f(x)

x a b

1b a

F(x)

x a b

1

b. Distribucin Uniforme (llamado tambin distribucin rectangular)

Funcin de Probabilidad Acumulada:

Tambin:

E(X) = (a+b)/2; Var (x) = (b-a)2/12

MTODOS CONGRUENCIALES PARA GENERAR Ns.As.

Son formas determinadas pre-establecidas que generan sucesiones de Ns.As. En la

actualidad estos mtodos forman parte de los programas biblioteca de algunos programas de

aplicacin y/o lenguaje de programacin.

Estos mtodos son:

- Mtodos congruencial mixto.

- Mtodos congruencial multiplicativo

- Mtodos congruencial aditivo.

- Mtodos del cuadrado central.

( , )

1( ) , a x

X Uniforme a b

f x bb a

0 ;

( ) ;

1 ;

x ax aF x a x bb a

x b



MTODO CONGRUENCIAL MIXTO.

X n+1 = (a.Xn + c) Mod m con n = 0, 1, .., m-1

Donde:

Xo = Semilla (Xo > 0) ; (Xo , siempre es dato)

a = multiplicador (a>0)

c = constante aditivo (c>0)

m= mdulo (m> Xo, m>a, m>c)

Ejemplo. Sea el siguiente generador congruencial:

Xn+1 = (5n + 7) mod 8; Xo= 4, genere los Ns As y determine su perodo.

Solucin:

n Xn (5Xn+7)/ 8 X n+1 NsAs

0 X0=4 3 + 3/8 3 3/8

1 X1=3 2 + 6/8 6 6/8

2 X2=6 4 + 5/8 5 5/8

3 X3=5 4 + 0/8 0 0/8

4 0 7/8 7 7/8

5 7 6 + 2/8 2 2/8

6 2 2 + 1/8 1 1/8

7 1 1 + 4/8 4 4/8

8 4 3 + 3/8 3 3/8

9 3 2 + 6/8 6 6/8

Nota: Para determinar el periodo de ejemplo dado use MS Excel.

Observacin: otra forma de respuesta al generador del M.C. Mixto.

Periodo = 8



1 0

1 mod .1

nn

n

aX a X c ma

MTODO CONGRUENCIAL MULTIPLICATIVO

X n+1 = (a.Xn ) Mod m con n = 0, 1, .., m-1

Donde:

Xo = Semilla (Xo > 0) ; (Xo , siempre es dato)

a = multiplicador (a>0)

m= mdulo (m> Xo, m>a, m>c)

Ejemplo: Sea X n+1 = 3Xn mod 100, Xo= 17. Halle los Ns.As y su perodo.

n Xn 3Xn/100 Xn+1 NsAs

0 17 51/100 51 0.51

1 51 1+53/100 53 0.53

2 53 1+59/100 59 0.59

3 59 1+77/100 77 0.77

4 . . .

. . . .

. . . .

. . . .

19 39 17 0.17

20 17 51/100 51 0.51

Nota: Para determinar el periodo de ejemplo dado use MS Excel.

Periodo = 20



Reglas para seleccionar los parmetros a, Xo, m

Las reglas dependern de los siguientes criterios: Sistema Decimal y/o Sistema Binario

1. Sistema Decimal

i. Seleccin de Xo: puede ser cualquier nmero entero no divisible por 3 5 y debe ser

relativamente primo a m.

ii. Seleccin de a: se obtiene de la siguiente expresin:

a = 200t + p

Donde:

t = cualquier entero t Z+ p = adopta los valores de:

p = 3, 11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 69, 77.

2 nmeros son primos relativos cuando su MCD = 1

iii. Seleccin de m

Si m= 10d y d > 5 el perodo est dado por: P = 5 x 10d-2 Si m= 10d y d < 5 el perodo estar dado por:

Perodo = MCM = {(p1d1), (p2d2), (pndn)} Donde:

(2) = 1 , (4) = 2 (2d) = 2d-2 si d > 3 (pd) = pd-1 (p-1) si d > 2

Ejemplo: Dado Xn+1 = 3. Xn mod. 100; Xo=17 determine su perodo

m = 100 = 102 m = 10d, d = 2 d < 5 entonces: Perodo = mcm { (22), (52)} (22)= 52-1 (5-1) = 20 Periodo = mcm {2, 20}; entonces : Perodo: P = 20 Ns As



2. SISTEMA BINARIO.

Se deben tomar en cuenta los siguientes criterios.

i. Seleccin de Xo: puede ser cualquier nmero entero no divisible por 3 5 y debe ser

relativamente primo a m.

(idem sist. decimal seleccin de Xo).

ii. Seleccin de a: se obtiene de la siguiente. Expresin.

A = 8t + 3, t Z+

iii. Seleccin de m. estar dado por:

Si m = 2d Periodo = m/4 Periodo = 2d-2 , d>2

Ejemplo: Sea X n+1 = 5Xn mod 64 . halle su perodo.

M = 64 = 26 P = 64/4= 16. 26-2 = 16

Periodo = 16 Ns As

Generacin de Nmeros Aleatorios en sus cifras decimales.

Sea la siguiente formula:

Yn + 1, i= x n+1 mod pi x i < d

Donde:

Y n+1, i = ltimos i dgitos del N A, X n+1

i = ltimos i dgitos que se estn considerando i= 1, 2, , d-1

Si i= 1 se determina el ltimo dgito del NA y su perodo. Si i= 2 se determina los ltimos 2 dgitos del NA y su perodo.



PRUEBAS ESTADSTICAS PARA NS AS

Muchas veces los Ns As generados por cualquier mtodo congruencial no necesariamente

tienen un comportamiento aleatorio (es decir, no provienen de una distribucin uniforme

estndar) X Uniforme (0,1); por lo que deben ser sometidos a pruebas estadsticas que comprueben su aleatoriedad; para que en el uso de un proceso de simulacin no arrojen

soluciones extraas.

Entre estas pruebas tenemos:

i) La prueba de los promedios.

ii) La prueba de las frecuencias (chi-cuadrado)

iii) La prueba de Kolmogorov - Smirnov

iv) La prueba de la distancia

v) La prueba de las corridas

vi) La prueba de poker

vii) La prueba de series

I. LA PRUEBA DE LOS PROMEDIOS

Sean x1, x2, xn, los Ns As de tamao n, entonces:

- Hiptesis Nula Ho : = Los Ns proviene de X ~ Uniforme (0,1). - Hiptesis alternativa: H1 = los Ns no provienen de X ~ Uniforme(0,1)

Estadstico (estadgrafo de prueba)

0

( )( )

X nZVar X

, 1n

ii

xX

n

0

( 0.5)1/12

X nZ



Prueba de hiptesis:

Si 0 2Z Z No se rechaza Ho. Los Nmeros son Aleatorios

Observacion:

1. Teorema del lmite central.

( )( )

X nZVar x ~ N (0,1)

PRUEBA DE LAS FRECUENCIAS (CHI CUADRADO)

Sean x1, x2, xn, una muestra de nmeros aleatorios de tamao n , entonces:

Estadstico (Estadgrafo de Prueba)

XO2 =

n1i

2

FEiFEiFOi )( i = 1, 2, , n.

Donde:

FOi = Frecuencia observada en el i-simo intervalo

Fei = Frecuencia esperada en el i-simo intervalo

Fei = N/n, donde. N = tamao de la muestra n = n de intervalos

Regin deaceptacin

2

2

1

Regin derechazo

1r

0-1-r



Grficamente:

FEi FEi=N/n N/n N/n N/n N/n

FOi FO1 FO2 FO3 FOn-1 FOn

0 1/n 2/n 3/n n-2/n n-1/n

Determinando el n de intervalos (n) a traves de la regla de Stutgers

N N = 1+3.33 log (N )

Prueba de hiptesis:

Si Xo2 < X2 ( , n-1) => No se Rechaza Ho.

Los Nmeros son Aleatorios.

Donde:

= nivel de confianza n = nmero de grados de libertad

Ejemplo.- Sean los siguientes: 20 Ns.As.

1) 0.01 2) 0.99 3) 0.33 4) 0.45 5) 0.77

6) 0.39 7) 0.53 8) 0.68 9) 0.09 10) 0.18

11) 0.24 12) 0.86 13) 0.21 14) 0.43 15) 0.69

16) 0.02 17) 0.16 18) 0.81 19) 0.47 20) 0.94

Compruebe su aleatoriedad a travs de la prueba de frecuencias.

n = N = 20 = 4.47 5 intervalos.

FEi = 4520

nN



[ 5 >[ 4 >[ 4 >[ 3 >[ 4 ] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X2o = 4

4443444445 22222 )()()()()(

X2o = 504

01001 .

Luego 20X = 0,5 < 6,3 = x2 (0, 95, 3)

Si se comprueba que es menor no se rechaza Ho Los Ns son As.



GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIAS NO UNIFORMES

En todo proceso de simulacin concurren una o ms variables aleatorias que van a describir

las actividades y funciones de ciertas reas de una organizacin.

Para construir o simular estas V.A. es necesario generar una sucesin de nmeros aleatorios

que van a permitir reconstruir varios mtodos para generar nmeros aleatorios.

Generacin de nmeros aleatorios no uniformes

En todo proceso de simulacin por lo general ms de una variable aleatoria para describir el

comportamiento o proceso de una situacin dada. En ese sentido es necesario la

implementacin de tcnicas y procedimientos para simular las funciones de distribucin de

probabilidad que describen las variables aleatorias. Entre estos mtodos tenemos:

1. Mtodo de transformacin inversa.

2. Mtodo de rechazo

3. Mtodo de composicin.

4. Mtodo de procedimiento especiales

1. Mtodo de la Transformada Inversa

- Se trabaja con la funcin de distribucin acumulada: F(x)

- Por ser: 0 < F(x) < 1 y 0 < R < 1

R= F (x) x = F-1 (R)



Grficamente:

F(x)

R

X=F- (R)1(X)

Ejemplo: Para los siguientes casos simule las funciones de probabilidad por el mtodo de la

inversa.

a) X ~ Uniforme (a, b)

b) X ~ Exponencial () c) X ~ Erlang () d) X ~ Bernoulli (p,q)

e) X ~ Poisson () f) X ~ Geomtrica (

g) X ~ Normal (,2) h) X ~ Binomial (n:p,q)

i) X ~ Gamma ( ) j) X ~ Alfa ( )



f(x)

x

F(x)

x

1

Solucin :

a) X ~ Uniforme(a, b)

f(x) = ab

1 , a < x < b

Hallando F(x):

1 1( ) ( ) (x x xaa a

x aF x f t dt dt tb a b a b a

( ) ; x aF x a x bb a

R = F(x) R = abax

Sol.:

b) X ~ Exponencial () f(x) = e- x, x > 0 Hallando F(x):

F(X)= x0

dttf )( = 00

1x

xx x xe dt e e F(x) = 1 e x , x > 0

Luego: R = F(x) R = 1 - e x e x = 1 R

Ln e x = Ln (1-R)

x = 1 Ln (R) ; R [0, 1]

a b

1

x = a + (b-a) R



F(x)

x

1

x1 1 x2 2

1 2

R2

R1

c) X ~ Distribucin emprica

(Una funcin es emprica cuando dicha funcin no es conocida)

Sea: si 0 1( ) 1 2 si 1 2x xf x x Solucin:

Hallando la funcin acumulada de esta distribucin

Para 0 x 1

2

0

( ) 2

x xF x tdt Para 1 x 2

x

11

1 1 1 t x( ) + = 2 2 2 2 2

x

F x dt Hallando la inversa de la funcin:

2 si 0 x 1 2 2 si 1 2 x 1Rx

R

Pasos para simular una V.A. por el mtodo de la inversa:

1. Hallar y probar f(x) es fin de probabilidad

i) f(x) 0, x ii) ( ) 1

D

f x dx 2. Hallar F(x)

3. R = F(x) x = F-1 (R)



NOTA: Ecuacin de una recta:

X 1

Y2

Y3

P2=(x ;y )2 2

P1=(x ;y )2 2

X2

X

PENDIENTE : m = tg = 12

12

xxyy

,

Ecuacin Vectorial de la Recta : P1 + t P2 , t R (x, y) = (x1 + y1) + t(x2 x1 ; y2 y1)

Ecuacin parametrica de la Recta :

x = x1 + t (x2 x1) t = 12

1

xxxx

, t = 12

1

yyyy

y = y1 + t (y2 y1) -

12

1

yyyy

=

12

1

xxxx

y y1 = 12

12

xxyy

(x x1)

y y1 = m (x x1)



Ejemplo: Simula la siguiente funcin:

Solucin

cxbfbxaf

xf.....2.....1

)(

Donde:

f1 = );( axab

H a < x < b

f2 = - );( cxbc

H b < x < c

i) Probando si f es fun. Prob.

a

b1f +

c

b2f = 1

b

a

dxaxab

H )( + c

b

dxcxbc

H )( = 1

H = ac

2 f es fn de prob.

Por reas: A = 1 = 2

Hac )( => H =ac

2

ii) Hallando F(x)

Para a < x < b

f1 f2

a b c



F1 = xa

1 dttf )( x

a abH

(t-a)dt = abH 2

at 2)( xa = )( ab2 H (x-a)2

Para b < x < c

F2 = xb

b

a12

b

a1 fff = ab

H (x-a)dx +

b

a= 1- bc

H (x-c)

2

iii) Como : R=F(x) x = F-1( R ) R1 = 2axab2

H )()(

x = a + 1RHab2 .)( ; 0< R1 < 2

Hab )(

R2 =1 - 2axab2H )(

)( x=a+ 2R1H

ab2 .()( ; 1 -2

abH )( < R2 < 2abH1 )(

Observacin: la funcin de probabilidad de la distribucin normal

X ~ N ( , r2)

f(X) =

2

rx

21l

r21

/

. ; - < x 0, - <



2. MTODO DE RECHAZO

Es otro mtodo para simular variables aleatorias que describan la fin de probabilidad no

uniforme en un intervalo con dominio finito (a < x < b). (Se aplica cuando no se puede hallar

F-1).

El mtodo implica resolver los siguientes pasos:

1. Generar un par de NsAs: R1 y R2

2. R1 est representado a travs de:

x = a + (b-a). R1

3. Evaluar la funcin de probabilidad en x = a + (b-a) R1

4. Verificar si la siguiente desigualdad se cumple:

R2 < f [a+(b-a) R1] / M

Donde:

M = cota superior de la funcin.

Grficamente:

M

a bX

F(x)

Ejemplo: Simule la siguiente funcin emprica.

2 si 0 1( ) 0 caso contrariox xf x



F(x)

x 0.5 1

2

1

Solucin:

1. Se generan R1 y R2

2. Calcular x= R1

3. Es R2 < R1 es un valor simulado

R2 < f 2R1 )( =

2R2 1 )( = R1



MTODO DE MONTECARLO(Transformada inversa para las V. discretas)

El M. de Montecarlo se aplica para los casos donde las Vs. As son discretas.

Este mtodo se caracteriza por dividir en N subintervalos el intervalo [0, 1], donde c/

subintervalo presenta la parte de la inversa de la funcin discreta.

Ejemplo. Simule X ~ Poisson () Solucin:

Para = 5 5.5( ) ; 0,1, 2,3,...

!

xep x xx

Tabla de p(x)

x p(x) P[X x] 0

1

2

3

4

5

..

e-5 = 0.0067

5e-5 = 0.0330

12,5e-5 = 0.0842

(25/6)e-5 = 0.1400

0,17547

0,17547

0,0067

0,0397

0,1239

0,2639

p(x) = funcin de probabilidad

P[X x] = fn. de distribucin acumulada

Se simula la acumulada

f(x) F (x) = R

Luego: Sea R = P (x) x = P-1 (R)

R X

Si 0,0000 R1



R1 R2 R3 R4

0.0000 0.0067 0.0397 0.1239 0.2639 1

Mtodo de procedimientos Especiales Existen algunas distribuciones como la distribucin erlang, distribucin normal, etc., cuya simulacin a travs del mtodo de la inversa sera demasiado complicada. Para estos casos se utilizan algunas de sus propiedades para facilitar y agilizar el proceso de simulacin de estas distribuciones. Ejemplo. Simule la distribucin: XNormal (,2) Solucin:

21 21( ) ; -

2

x

f x e x

Para Simular la variable, es necesario hacer uso del teorema del lmite central; el cual dice que la suma de n variables aleatorias independientes se aproxima a una distribucin normal a media que n se aproxime al infinito (n muy grande). Sean X1, X2, , Xn la secuencia de variables aleatorias independientes con E(Xi) =i y Var(Xi) = i2 . Sea Y= a1 X1+ a2X2, ,+an Xn Entonces se cumple:

1

2 2

1

n

i ii

n

ii

Y a XZ

a

Tiene una distribucin normal a medida que n se aproxime al infinito.

Si las variables que se estn sumando son uniformemente distribuidas (Xi Uniforme (0,1)), entonces:

12

12

n

ii

nRZ

n

Se sabe tambin que: XZ

Entonces la simulacin de la variable aleatoria X estar dada por:

1

6n

ii

X R



Ejercicio: Simule la distribucin erlang. La funcin de probabilidad de erlang esta dada por:

( )( ) ; x > 0( 1)!

nn nxnf x x e

n



Casos: La empresa fabricante de tinas Trbol S.A. tiene asignado un camin especial para transporte de tinas terminadas. Dicho camin transporta diariamente 5 tinas. El peso de las tinas sigue la distribucin triangular (como se indica en la figura); Si la capacidad del camin es de una tonelada.

a) Cul es la probabilidad que el peso de las tinas exceda la capacidad del camin? b) Suponga si el peso del camin es excedido, una tina es enviada a travs de otra compaa

a un costo de $200 por tina. Y el costo de un nuevo camin es de $60000 (si se trabaja 5 das a la semana y 52 semanas al ao). Cul de las dos alternativas es ms rentable?

Solucin

a) Es f funcin de probabilidad?

Para H=1/ 20, f (x) es funcin de probabilidad.

b) Hallando F(x):

Para 190 x 210 2

1190

1 1( 190) ( 190)400 800

x

F t dt x Para 210 x 230

f1 f2

H = 1/20

190 210 230

1 ( 1 9 0 ) ; 1 9 0 x 2 1 04 0 0( ) -1 ( 2 3 0 ) ; 2 1 0 x 2 3 04 0 0

xf x

x

190 210 230



22

11 ( 230)800

F x

2

2

1 ( 190) ; 190 x 210800( ) 11 ( 230) ; 210 x 230

800

xF x

x

c) R = F(x) x = F-1(R)

21

22

1 ( 190)800

11 ( 230)800

R x

R x

1 1

2 2

190 800. ; 0 0.5230 800.(1 ) ; 0.5 1

R RxR R

Tabla de Simulacin:

Numero

de

Corrida

Tina Numero

Aleatorio (R)

Peso

simulado de

la Tina

Peso

Acumulado

simulado

Se

excedi de

1 TN?

1

2

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

0.31751

0.88491

0.30934

0.22888

0.78212

0.70014

0.37239

0.18637

0.05327

0.95096

206

220

206

204

217

215

207

202

197

224

206

426

632

836

1053

215

422

624

821

1045

SI

SI



10 SI

Supongamos que de las 10 corridas, 8 veces sali que SI SE EXCEDI el Peso de las tinas a

la capacidad del camin (1TN)

a) Rpta. P (Peso total de las tinas > 1TN) = 8 /10 = 0.8 ; Es decir Existe una

probabilidad de un 80% de probabilidad que el peso de las tinas exceda la capacidad del

camin.

b) Utilizando el costo esperado de enviar la tina a travs de otra compaa sera: $200 0.8 5 52 ( )( )( )( ) $41600

1dias semanasCosto

tina da semana ao Por lo tanto es ms rentable, alquilar un

camin.

sesion 14 - separata de simulacion distribución

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