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Matemáticas para Maestros – Primer Curso – Grado en Primaria – 2014/2015

Ejercicios de Magnitudes Geométricas – Curso 2014 / 2015 Sesión 1. Áreas en tangram y tramas

1. Este ejercicio se realiza con las piezas del Tangram.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a) Tomando como unidad de superficie la figura 1, calcular la superficie de la figura 2. b) Construir, si es posible, una figura semejante a la figura 2, pero con la mitad de área. c) Tomando como unidad de longitud el cateto del triángulo mediano (TM), determinar el perímetro de la figura 3 y de la figura 1. d) Construye una figura con igual área y diferente perímetro que la figura 1. e) Construye una figura con igual perímetro y diferente área que la figura 1. 2. Observa el trapecio a la derecha, construido con piezas del tangram. Para realizar cada uno de los apartados de este ejercicio, debes considerar dicho trapecio como unidad de superficie. a) Determina el área de la figura 1. b) Construye con las piezas del tangram, si es posible, una figura de superficie 2/5.

c) ¿Es posible construir con piezas del tangram una figura de superficie 17/5? d) Con las piezas del tangram, construye, si es posible, una figura semejante a la figura 1 y de doble superficie. Idem para el trapecio tomado como unidad de superficie.

Figura 1 →

3. Determina el área de cada una de las figuras siguientes cuando se considera como unidad de medida el cuadrado de la cuadrícula.

4. Mide el área de la figura picos utilizando cada una de las unidades U1, U2, U3, U4.

TG TG

C TP

TM

TP

TP

P

CTP TP

TM

TGTP

TP

Trapecio 1 Trapecio 2 Trapecio 3

Triángulo T

Unidad de superficie


Para casa 5. Con las figuras del tangram construye un pentágono de área 6 cuando se toma como unidad de superficie el triángulo pequeño. ¿Cuál es el área de ese pentágono si se toma como unidad de superficie el cuadrado que puede construir con todas las piezas del tangram? ¿Y si se toma como unidad la figura siguiente?

6. Dibuja en una trama cuadrada tres paralelogramos, que no sean rectángulos ni rombos, de áreas respectivas 1, 2 y 3. 7. Determina el área de la siguiente figura en la trama

8. ¿Qué unidad de medida se está empleando si se afirma que el área del triángulo siguiente es de 24 unidades?

9. Supón que disponemos de una finca cuadrada de un Km. de lado y que se divide en siete parcelas de manera idéntica a como se divide el cuadrado solución clásica del Tangram. Supón que el precio de cada parcela depende de su área y de su perímetro según las siguientes cantidades:

o Un metro cuadrado 2 € o Un metro de perímetro interior 12 € o Un metro de perímetro exterior 25% más caro que el interior

Calcula el precio de cada una de las siete parcelas.


Ejercicios de Magnitudes Geométricas – Curso 2014 / 2015

Sesión 2. Áreas de figuras 10. Una cruz compuesta por cinco cuadrados iguales está inscrita en un cuadrado, tal y como muestra la figura.

a) Justifica que los dos tipos de triángulos de la figura son rectángulos e isósceles.

b) Los triángulos indicados en el apartado anterior, ¿son semejantes? En caso afirmativo, indica la razón de semejanza.

c) Si el área de la cruz es de 40 cm2, ¿cuál es el área del cuadrado? ¿Y el perímetro?

11. a) Calcular la altura de una pirámide cuadrangular cuyo lado de la base es10 dm sabiendo que para forrarla con papel hemos empleado 3,6 m2. b) Ahora en la pirámide del apartado anterior perforamos un agujero en forma de cono como se indica en la figura. Calcular la superficie total de la figura, sabiendo que el diámetro del cono que hemos perforado es de 6 dm. 12. El faraón recompensó a Ahmés y Tutmés, por la batalla ganada a los persas, de la siguiente forma: Les dio un hilo de igual longitud y les dijo que les daría a cada uno el terreno de la forma que cada cual eligiese y que pudiesen rodear con el hilo. Tutmés rodeó un terreno en forma de triángulo equilátero de 20 hectáreas y Ahmés un terreno en forma de hexágono regular. ¿Qué terreno era mayor? 13. Tenemos tres cuadrados adyacentes A, B y C de la manera que muestra la figura.

El área del cuadrado A es 64 y el área del cuadrado B es 80. ¿Cuál es el área del cuadrado C?

Para casa 14. Un rectángulo ABCD está dividido en cinco rectángulos iguales, como se aprecia en la figura. Si el perímetro de cada uno de los rectángulos pequeños es de 30 cm ¿cuál es el área, en cm2, del rectángulo ABCD?;

15. En la figura vemos un molinillo de viento formado por un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos isósceles, que está inscrito en un octógono cuyos ángulos son todos de 135º. a) ¿Es regular el octógono de la figura? b) Si el área del octógono es de 42 m2, ¿cuál es el área del molinillo?

;

16. La figura que te mostramos está compuesta por 200 triángulos rectángulos isósceles idénticos. ¿Cuál es, en cm2, la suma de sus áreas?


Ejercicios de Magnitudes Geométricas – Curso 2014 / 2015 Sesión 3. Áreas de figuras 17. En la figura !"#$ es un rectángulo inscrito en una circunferencia de centro !. Sabiendo que la diagonal !" del rectángulo tiene longitud 8 y el lado !" tiene longitud 4:

a) Determinar el área de la zona sombreada de la figura. b) Indicar las longitudes de los lados y la amplitud de los ángulos

de los triángulos !"# y !"# respectivamente y clasificar dichos triángulos en función de lados y de ángulos.

18. Los triángulos ABC, CDE y EFG de la figura derecha son equiláteros. Los puntos D y F son los puntos medios de los lados BC y EC respectivamente. Si AB mide 4, ¿cuánto mide el perímetro y el área de la figura? 19. En el triángulo equilátero ABC se ha dibujado una punta de lanza usando arcos de circunferencia con centros en los vértices A y B y en los puntos medios M y N de los lados AC y BC respectivamente. Todos los arcos tienen por radio la mitad del lado del triángulo ABC.

a) Si el triángulo tiene por altura 15√3 cm, ¿cuánto mide el lado del triángulo?, ¿cuánto mide el perímetro de la punta de lanza?

b) Decir si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: El área de la punta de lanza es la mitad de la del triángulo.

20. Un burro está pastando en un campo en el que hay un silo constituido por un prisma cuya base es un pentágono regular de 1m. de lado y cuya altura es 8m. El burro está atado en uno de los vértices del pentágono mediante una cuerda de 2,5 m. de lado. Calcula los kilos de hierba que puede pastar el burro, sabiendo que en 1m2 hay 1/2 kilo de hierba? 21. La figura muestra un cilindro que ha sido perforado quitándole un prisma hexagonal regular de su interior. Sabiendo que el lado del hexágono es de 3 cm., el radio de la base del cilindro es de 6 cm y su altura es de 10 cm., determinar el área de la superficie total de la figura

Para casa 22. Hallar el área sombreada en cada una de las siguientes figuras:

a) El triángulo más grande es un triángulo equilátero de lado 2 cm. y los demás triángulos se forman uniendo los puntos medios de los lados. b) El cuadrado de la figura tiene 2 cm. de lado.

23. Un pequeño terreno que tiene forma de triángulo equilátero de lado 1 m está sembrado de alfalfa. En cada vértice del mismo se coloca una oveja para que paste. Las tres están atadas por cuerdas que permiten un desplazamiento máximo de medio metro. Calcular la superficie y el perímetro de la parte en la que queda hierba. 24. El perfil de la figura derecha está formado por cuatro cuartos de circunferencia del mismo radio R y un segmento. ¿Cuál es el área de la superficie encerrada?

A

B

C

D E

F G


Ejercicios de Magnitudes Geométricas – Curso 2014 / 2015 Sesión 4. Áreas de figuras 25. Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 10 m y de apotema 12 m La sección producida por un plano paralelo a la base tiene 36 m2 de superficie. Calcular la superficie y la altura de la pirámide cuadrangular que tiene por base dicha sección. 26. Tenemos que construir un gorro de forma cónica, para un disfraz de payaso. La circunferencia de la cabeza es de 57 cm. y la generatriz del cono debe medir 28 cm. ¿Cuál es el área de la cartulina que vamos a utilizar? 27. Considerar las figuras siguientes. En cada caso, ¿qué cuerpo geométrico se generaría al girar la figura respecto al eje correspondiente.

Determinar la superficie de cada una de las figuras generadas, sabiendo que a) En el caso de la primera figura la generatriz es 10 m. y el radio 6 m. b) En el segundo caso, las dimensiones del rectángulo son 11 m y 5 m respectivamente. c) En el tercer caso el diámetro del semicírculo mide 10 m. 28. La figura forma parte de un cubo 4x4x4. Indica su superficie tomando como unidad de medida una cara de los hexaedros que la constituyen. 29. La figura adjunta muestra dos cajas atadas con sendas cintas. Una es un prisma recto de altura 20 cm y de base cuadrada de lado 15 cm; la otra es un cilindro de igual altura que el prisma y de 15 cm de diámetro. a) ¿Para cuál de las dos cajas se emplea más cinta? b) Si forraras cada caja con papel de regalo, ¿emplearías más papel con una que con otra? c) Si ambas las llenases con sal, ¿pondrías la misma cantidad en las dos cajas?


Para casa 30. Hallar el área de las siguientes figuras, tomando como unidad una de las caras de los hexaedros que las forman.

31. Hallar el área de la siguiente figura utilizando como unidad de superficie el triángulo u dibujado. Explicar el método utilizado.

32. a) Construye en la trama un pentágono convexo con igual perímetro que el dado en la figura inferior. b) Determina el área de la figura dada tomando como unidad de superficie el cuadrado básico de la trama.

33. a) Halla el área de la figura de la trama utilizando como unidad de superficie el cuadrado básico de la trama. Nombra el método o métodos que has utilizado para obtener el área de la figura.

b) Usando todas las piezas del tangram construye un rectángulo (que no sea cuadrado) y luego, con las piezas que quieras y como quieras, construye otro rectángulo con una superficie igual a ¾ de la superficie del primero.

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