Estadística. Sesión 12: Distribuciones de

probabilidad continua. Tercera parte.

Contextualización

En la presente sesión aprenderás una de las aplicaciones principales

de la distribución t-student, los intervalos de confianza, la cual es

utilizada en la estadística inferencial o estadística estimada.

Al finalizar la sesión habrás aprendido a utilizar la distribución t-

student para encontrar intervalos de confianza con medias

poblacionales desconocidas.

Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distrinucion-t-student.gif

Introducción

En estadística inferencial cuando se calcula un intervalo de confianza para la media poblacional, suele no contarse con una buena estimación de la desviación estándar poblacional. En tales casos se usa la misma muestra para estimar µ y σ. Esta situación es el caso que se conoce como σ desconocida.

¿Qué es la estadística inferencial?

¿Qué son los intervalos de confianza con varianza

desconocida?

Cuando se usa s para estimar σ, el margen de error y la estimación por intervalo de la media poblacional se basan en una distribución de probabilidad conocida como distribución t.

Fuente: http://biplot.usal.es/problemas/confianza/contrastes_archivos/image059.gif

Explicación

Una de las principales contribuciones de la estadística es emplear

datos de una muestra para hacer estimaciones y probar hipótesis

acerca de las características de una población mediante un proceso

que se le conoce como inferencia estadística.

A las características numéricas de una población, como la media y la

desviación estándar, se les llama parámetros. El principal propósito

de la inferencia estadística es hacer estimaciones y pruebas de

hipótesis acerca de los parámetros poblacionales, usando la

información que proporciona una muestra.

Explicación

Para estimar el valor de un parámetro poblacional, la característica correspondiente se calcula con los datos de la muestra, a lo que se conoce como estadística muestral. Ejemplos: la media, la desviación estándar y la varianza son llamados estimadores puntuales.

Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error.

La fórmula general de una estimación por intervalo es:

Estimador puntual ± Margen de error

Explicación

El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de que tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.

Uso de la distribución de probabilidad t-student para el cálculo de intervalos de confianza con σ desconocida.

La distribución t es una familia de distribuciones de probabilidad similares; cada distribución t depende de un parámetro conocido como grados de libertad.

Explicación

La distribución t para un grado de libertad es única, como lo es la distribución t

para dos grados de libertad y así sucesivamente. A medida que el número de

grados de libertad aumenta, la diferencia entre la distribución t y la normal

estándar se va reduciendo.

Fuente: http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_10_archivos/figura1.gif

Explicación

Estimación por intervalo de la media poblacional: σ desconocida.

Donde s es la desviación estándar de la muestra, (1-α) es el coeficiente de

confianza y tα/2 es el valor de t que proporciona un área de α/2 en la cola

superior de la distribución t para n-1 grados de libertad.

Explicación

Para ilustrar la estimación por intervalo en el caso de σ

desconocida, analizaremos el siguiente ejemplo:

Estimar la media en el adeudo de las tarjetas de crédito

en la población de familias de Estados Unidos. No se

cuenta con desviación estándar poblacional σ, pero se

tiene datos muestrales que deberán usarse para estimar

tanto la media poblacional como la desviación estándar

poblacional:

Explicación

Saldos en las TC de una muestra de 24 familias:

9430 7535 4078 5604 5179 4416

10676 1627 10112 6567 13627 18719

14661 12195 10544 13659 7061 6245

13021 9719 2200 10746 12744 5742

Explicación

Con los datos de la tabla se calcula la media muestral ( ) y la

desviación estándar de la muestra(s=$4284.44). Ahora utilizaremos la tabla de

probabilidades de la distribución t-student para encontrar el valor de t0.025

correspondiente a 95% de confianza y n-1 = 23 grados de libertad.

T23,0.025= 2.0687

Pasaremos a calcular la estimación por intervalo:

Explicación

La estimación puntual de la media es $9004.46, el margen de

error es de $1809.20 y el intervalo de confianza de 95% va de:

9004.46-1809.20 < x < 9004.46+1809.20

En consecuencia, 95% de confianza de la media de los saldos

en las tarjetas de crédito de la población de todas las familias

está entre $7195.26 y $10,813.66

Conclusión

En esta sesión aprendimos el concepto de estadística inferencial y el uso de la distribución de probabilidad t-student para calcular estimaciones por intervalo de confianza para la media, cuando no se conoce la desviación estándar poblacional (σ).

Recordemos que el uso de la distribución t-student es directamente en la estadística inferencial a través de estimadores puntuales y para muestras menores a 30.

Es importante considerar que esta distribución también está relacionada con la distribución normal.

Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca

del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los

siguientes sitios de Internet.

Reyes, L. (s/f). Distribucion t-student. Teoría de

pequeñas muestras. Consultado el día 30 de octubre

del 2013: http://fisica.udea.edu.co/~lab-

gicm/Laboratorio%20Fisica%201_2011/2010_teoria%20

de%20errores/Distribucion%20de%20t%20Student.pdf

¿Cómo se utiliza la tabla de la distribución t-student? (s/f). Consultado

el día 30 de octubre del 2013:

http://web.udl.es/Biomath/Bioestadistica/Dossiers/Temas%20especial

es/Estimacion/Como%20se%20utiliza%20la%20tabla%20t%20de%20

Student%20(formulas).pdf

Video relacionado con la distribución t-student:

Distribucion t-student. (2011). Consultado el día 30 de octubre del 2013: http://www.youtube.com/watch?v=miMjtkypyLg

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008).

Estadística para administración y economía. México:

Editorial Cengage Learning.