PSU MATEMÁTICA

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para

responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el

desarrollo de los ejercicios. 3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba lea atentamente las

instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.

ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x función parte entera de x

R

≤

>

≥

<

log

φ

[x]

≅

∼

⊥

≠

//

AB

|x|

∈

2

PSU MATEMÁTICA

1. 3 - 1

22

− =

A) 0,5 B) 1,5 C) 2,0 D) 4,0 E) 4,5

2. Si a = -2; b = 3 y c = -1 , entonces ¿en cuál de las siguientes opciones el resultado

es 1?

A) a + b – c B) a · c – b C) b · c – a D) b – a · c E) b + a · c

3. 5

0,6 4,89

− + =

A) -2 B) 5 C) 1

D) 499

E) 59

4. Renata tiene R caramelos, se come 2 y regala el resto para que sean repartidos en

partes iguales entre Francisco y Matías. ¿Cuántos caramelos le corresponden a Matías?

A) R 22−

B) R 2

3−

C) R2

2−

D) R

23

−

E) Ninguna de las anteriores

3

5. Si A = 1-1 – 3-1 y B = 1 – 1

1

2− , entonces AB es

A) 0,5 B) 0,6 C) 1,0 D) 1,5 E) 2,0

6. Tres llaveros cuestan $ 1.600. Si dos ellos tienen el mismo valor y el tercero vale $ 200

menos que uno de los anteriores, entonces el llavero más barato cuesta

A) $ 600 B) $ 450 C) $ 200 D) $ 900 E) $ 400

7. En las siguientes expresiones: x = -p4

, y = ( )- p 2

4−

, z = ( )- p 2

4+

, si p es un

número natural, entonces se cumple que

A) y < z < x B) x < y < z C) z < x < y D) x < z < y E) y < x < z

8. ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) falsa(s)?

I) 2 6 < 2 3 < 18 II) 2 3 < 15 < 2 5 III) 2 2 < 5 < 3 3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

4

9. En el granero de un campo hay cerdos y chivos en razón 9 : 10. Si se faenan 19 chivos, la razón se invierte. ¿Cuántos chivos habían inicialmente?

A) 9 B) 10 C) 81 D) 90 E) 100

10. En un curso de un colegio mixto hay 16 niños y la razón entre niños y niñas es 2 : 3.

Entonces, el número de alumnos que tiene el curso es

A) 16 B) 24 C) 48 D) 40 E) 60

11. Una palmera proyecta una sombra de 10 metros. Si la razón entre el tronco y el resto

de la palmera es 3 : 1 , entonces la parte de la sombra que corresponde al tronco de la palmera mide

A) 7,5 metros B) 6,5 metros C) 3,5 metros D) 2,5 metros E) 5,5 metros

12. Si una persona pagó $ 600 por un artículo ya rebajado en un 25%, entonces el precio

original del artículo era

A) $ 450 B) $ 750 C) $ 800 D) $ 900 E) $ 1.200

5

13. La figura 1, muestra las preferencias deportivas de 40 alumnos varones de cuarto medio de un colegio. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que

I) 15 alumnos del curso prefiere jugar fútbol. II) El de menor preferencia es el básquetbol con 4 alumnos. III) La cuarta parte del curso practica tenis.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

14. Un vendedor tiene un salario base mensual de $ 300.000 más una comisión del 6% de

las ventas totales que realice. ¿Cuál será la función de sus ingresos I(x), donde x es la venta mensual total en pesos?

A) I(x) = $ 300.000 + 0,06 x B) I(x) = $ 300.000 + 6 x C) I(x) = $ 300.000 + 0,6 x D) I(x) = $ 300.000 + 0,06% x E) I(x) = $ 300.000 + 0,6% x

15. El franqueo de una correspondencia enviada por correo varía de acuerdo a su peso. Si

por el primer kilo cobran $ 500 y por cada 1 kilo o fracción de más cobran $ 400, entonces ¿cuál es el precio del franqueo de una correspondencia que pesa tres kilos y medio?

A) $ 1.200 B) $ 1.500 C) $ 1.700 D) $ 1.800 E) $ 2.100

Voleibol12,5%

Atletismo 17,5%

Tenis 22,5%

Básquetbol10,0%

fútbol37,5%

fig. 1

6

16. La figura 2, muestra la temperatura máxima promedio mensual en los primeros 6 meses del año. De acuerdo al gráfico, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) correcta(s)?

I) La temperatura máxima promedio mensual se produjo en el mes de Enero.

II) En los primeros tres meses la temperatura máxima promedio fue de 22º.

III) La temperatura máxima promedio de Febrero es un 3313

% superior a la

de Mayo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

17. El gráfico de la figura 3, muestra el consumo de litros de agua mineral de una familia

durante los últimos seis meses del año. De acuerdo a esta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Durante los meses de Septiembre y Octubre no hubo consumo de agua mineral.

II) El mayor consumo se produjo durante el mes de Diciembre. III) En los primeros tres meses el consumo fue mayor que el consumo de los

tres últimos meses.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

Ene May Mar Abr Feb Jun meses

25 22

19 1816

19

Tº 30

20

10

0

Tº

fig. 2

25

20

15

10

5

Litros

J A S O N D Meses

fig. 3

7

18. Con respecto a la función f(x) = 2

2x

x 4−, ¿para cuál(es) de los siguientes valores de x

no está definida la función?

I) x = -4 II) x = -2 III) x = 2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

19. Dos empresas de arriendo de automóviles, X e Y, ofrecen las siguientes ofertas por el

arriendo de un automóvil:

X: $ 20.000 por 1 día + $ 15.000 por cada día adicional. Y: $ 15.000 por 1 día + $ 16.000 por cada día adicional. ¿Cuántos días habrá que arrendar un automóvil para que el costo de arriendo sea el mismo en ambas empresas? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

20. El costo de armar 10 computadores diarios del mismo tipo es de $ 300.000, mientras

que $ 500.000 cuesta armar 20 computadores de ese mismo tipo diariamente. Suponiendo un modelo de costo lineal, ¿cuál es el costo de armar 35 computadores del mismo tipo al día?

A) $ 520.000 B) $ 600.000 C) $ 720.000 D) $ 800.000 E) $ 840.000

8

21. ¿Cuál(es) recta(s) pasa(n) por el origen del sistema de coordenadas?

I) x – 5y + 1 = 1 II) x – 2y – 1 = 1 + 2x

III) 2y 5 5 3x

2 3=

+ −

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

22. Si x + 3

5 - x

6

6 = 1 , entonces x =

A) -1 B) 0 C) 1 D) -3 E) 3

23. Si 4 · 8 = 2x, entonces el cuadrado de x es igual a

A) 5 B) 25 C) 16 D) 2 E) 256

24. -4 -16

6 -8

x · y

x · y =

A) x10 y-8 B) x-10 y-24 C) x2 y8 D) x-20 y-2 E) x-10 y-8

9

25. 58 – 56 =

A) 56 · 23 · 3 B) 56 · 22 · 3 C) 56 · 2 D) 56 · 32 E) 52

26. -2 -2

-1 -1 2

x y

(x y )

−

− =

A) x yx + y

−

B) 2 2

x + y

x 2xy + y−

C) x + yy x−

D) y xx + y

−

E) 2 2

2 2

x y

x y

−

+

27. De las siguientes expresiones ¿cuál(es) no representa(n) un número real?

I) 2 5 5−

II) 4 3 3 5−

III) 9 4 5−

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

10

28. 5 4

3 6 3 6−

− + =

A) 0 B) 1 + 3 6

C) 12 6−

D) 5 9 62

−

E) 5 6

2−

29. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la gráfica de la función

f(x) = 1 - x + 1?

A) B) C)

D) E) 30. Sea la función f(x) = mx2 + n. Si f(2) = 1 y f(1) = 4 , entonces ¿cuál es el valor de

2m + n?

A) -5 B) -1 C) 3 D) 4 E) 5

-1 -1

1

1

x

y

-1-1

1

1

x

y

-1 -1

1

1

x

y

-1

-1

11

x

y

-1

-1

1 1

x

y

11

31. Si f(x) = log3 (x), entonces f(27) + f( )13

es igual a

A) -3 B) -2 C) 1 D) 2 E) 4

32. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) logn n = 1 B) logn 10 = 1 C) log2 8 = 3 D) logn 1 = 0 E) logn nb = b

33. Un tambor contiene parafina hasta los 35

de su capacidad. Al extraer 60 litros, queda

con la mitad de lo que tenía. Luego, se le agregan 50 litros. ¿Cuántos litros faltan para llenar el tambor?

A) 90 B) 100 C) 120 D) 200 E) 250

34. La edad de Marcelo (M) es igual a la de Ximena más 3 años y José tiene el doble de la

suma de ambas edades. La edad de José en términos de edad de Marcelo es

A) 2M – 3 B) 2M – 6 C) 4M + 3 D) 4M + 6 E) 4M – 6

35. En un club, los hombres son 10 más que las mujeres. Si la cuarta parte de la cantidad

de socias mujeres son 60, ¿cuántos socios en total tiene el club?

A) 500 B) 490 C) 260 D) 250 E) 240

12

36. Un albañil, para estucar un muro hace el siguiente detalle de gastos:

- Mano de obra, $ 2.600 por hora. - Uso de equipos, $ 500 por la media hora. - Costo de materiales, $ 25.000.

Si el trabajo duró en total 5 horas y media, ¿cuánto le deben pagar?

A) $ 28.600 B) $ 35.000 C) $ 43.000 D) $ 44.800 E) $ 45.000

37. Con respecto a la gráfica de la función f(x) = x2 + 6x + 9 , ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Corta al eje de las abscisas en un punto. II) No corta al eje de las ordenadas. III) Su concavidad (ramas) está orientada hacia abajo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Ninguna de ellas

38. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = -x2 – 4?

A) B) C)

D) E)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

13

39. En el triángulo ABC de la figura 4, se sabe que CD es transversal de gravedad y que R CDB = 140º, entonces el R α mide

A) 80º B) 45º C) 60º D) 70º E) 75º

40. En la figura 5, AB es diámetro y O centro de la circunferencia, ¿cuánto mide el R α?

A) 20º B) 25º C) 40º D) 100º E) 140º

41. En la figura 6, α = β. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre

verdadera(s)?

I) AD = DB , si CA = CB II) ∆ ADC ≅ ∆ BDC, si CD AB⊥

III) 2

AC = AB AD⋅

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

α

fig. 4

D

C

BA

fig. 5

D

C

B A α

80º

O

fig. 6

D

C

B A

α β

14

42. Un hombre proyecta una sombra de 2,70 m al mismo tiempo que su hijo proyecta una sombra de 180 cm. Si la estatura del hijo es de 1,20 m, entonces ¿cuál es la diferencia positiva con la estatura de su padre?

A) 80 cm B) 1 m C) 60 cm D) 0,60 cm E) 0,06 m

43. En la figura 7, los segmentos AE, DB y GF se intersectan en C. Si BC CD y AC CE≅ ≅ ,

¿cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) siempre verdadera(s)?

I) GC FC≅ II) BAC DEC≅R R

III) AB // DE

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

44. En el triángulo equilátero ABC de lado 12 cm, de la figura 8, D y E son puntos medios

de los lados AC y BC respectivamente. Si CF = x , entonces la proporción que permite calcular x está dada por

A) x 13 3

=

B) 3 3x 2

=

C) x 33 2

=

D) x 33 1

=

E) x 2 33 9

=

fig. 7

D

C

B

A

F

E

G

fig. 8

D

C

BA

E x

F

15

45. En la figura 9, ABCD y AEFC son rectángulos y B ∈ FE , ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ ABE ∼ ∆ BCF II) ∆ ABC ∼ ∆ BEA III) ∆ ADC ∼ ∆ CBA

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

46. En la figura 10, si AB // DE , entonces el valor de x es

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

47. ¿Cuál es el perímetro de la figura 11, formada por 4 triángulos equiláteros congruentes,

si la altura de un triángulo es 4 3 cm?

A) 40 cm B) 48 cm C) 64 cm D) 80 cm E) 96 cm

48. En el triángulo ABC de la figura 12, AB = 10 y BC = 6. Si CM es transversal de

gravedad, ¿cuánto mide la altura CH?

A) 4,8 B) 3,6 C) 2,4 D) 1,2 E) No se puede determinar

fig. 10

D

C

B A

E

x

6

2

30

fig. 11

fig. 12

C

BA M H

fig. 9

A B

C D

E

F

16

49. ¿Cuál es la longitud de la cuerda AB que dista 6 cm del centro O del círculo de la figura 13, y cuyo radio mide 10 cm?

A) 12 25 cm B) 4 15 cm C) 8 cm D) 16 cm E) No se puede determinar

50. Se tiene un pequeño globo (fig. 14), que está firmemente amarrado al suelo por un hilo

de nylon de 250 m de largo. Al soplar un viento el hilo se desvía de la vertical en 50º. Entonces, la nueva altura del globo sobre el suelo es

A) 250 cm B) 250 · cos 40º m C) 125 m D) 250 · sen 40º m E) No se puede determinar

51. Si la altura de la pirámide de base rectangular, de la figura 15, mide 9 cm, entonces el

volumen de la pirámide es

A) 252 cm3 B) 96 cm3 C) 84 cm3 D) 155 cm3 E) ninguna de las anteriores

fig. 15

4 cm

7 cm

6

Ofig. 13

A B

50ºh

fig. 14

17

52. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Todos los cuadriláteros teselan por sí mismos el plano. II) Para teselar el plano con dos o más polígonos regulares congruentes, la

medida de un ángulo interior debe ser divisor de 360º. III) El plano se puede teselar siempre usando figuras curvilíneas o mixtas.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

53. Al trasladar el punto A(-2,5) mediante el vector traslación (6,-3) y, luego al resultado

se le aplica una rotación en 180º con respecto al origen, se obtiene el punto de coordenadas

A) (4,-2) B) (-4,-2) C) (4,2) D) (-4,2) E) (-2,-4)

54. En la figura 16, ¿cuál de las siguientes opciones permite transformar la imagen del

rectángulo A en la imagen del rectángulo B?

A) Una traslación B) Una rotación de 90º en torno a un vértice del rectángulo C) Una reflexión en torno al largo del rectángulo D) Una rotación de 90º en torno al punto de intersección de las diagonales del

rectángulo E) Una rotación de 180º en torno al punto de intersección de las diagonales del

rectángulo

A B fig. 16

18

55. Al triángulo PQR de la figura 17, se le aplica una simetría axial con respecto a la recta L. ¿Cuál será la nueva posición del triángulo después de aplicada la transformación isométrica?

A) B) C)

D) E) 56. ¿En cuál(es) de los siguientes polígonos no hay eje(s) de simetría?

I) Hexágono regular. II) Trapecio rectángulo. III) Cuadrado.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

fig. 17L

QP

R

L

P Q

R L

PQ

R L PQ

R

L PQ

R

L

Q P

R

19

57. En una tómbola hay 6 bolitas rojas y 3 amarillas. Entonces, la probabilidad de sacar 2 bolitas amarillas, una a continuación de la otra y sin reposición, es

A) 13

B) 29

C) 19

D) 112

E) 227

58. La figura 18, muestra una ruleta circular que está dividida en ocho partes, marcadas

por letras de la palabra POLLAGOL. Al realizar una jugada, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener una letra L es igual que la de sacar una vocal. II) La probabilidad de obtener una O es 0,25.

III) La probabilidad de obtener una consonante es 58

.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

59. La probabilidad de obtener más de una cara al lanzar 3 veces una moneda es

A) 14

B) 13

C) 12

D) 23

E) 34

PO O

L L

G

L

A

fig. 18

20

60. El gráfico de la figura 19 representa la distribución de los promedios obtenidos por un curso de 45 alumnos en la asignatura de matemática. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un alumno que tenga a lo menos una nota 4?

A) 1045

B) 1145

C) 2145

D) 2445

E) 3445

61. ¿Cuánto debe ser el valor de k para que la media, la mediana y la moda de los datos

2 – 4 – 3 – 7 – 6 – 5 – k – 4 tengan el mismo valor?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

62. El gráfico de la figura 20, muestra el número de llamadas telefónicas que realiza

diariamente una familia en una semana. De acuerdo al gráfico, es correcto afirmar que:

I) El número de llamados en los 3 primeros días fue menor que en los dos últimos días.

II) El promedio de llamados en la semana fue aproximadamente de 5 llamados diarios.

III) El número de llamados de los días miércoles y jueves fue lo mismo que el día viernes.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

1 5 3 4 2 6

calificaciones

2

45

10

15

7

12

8

4

0

fig. 19

7

16

2

frecu

en

cia

días lun vie mié jue mar sáb

5

32

5

7 6

3 2

1 0

fig. 20

dom

4

8

Can

tid

ad

de lla

mad

as

10

9 8

7 6 5

21

63. En una muestra de trabajadores de una empresa, se tiene la siguiente distribución de

cargas familiares:

La media, la mediana y la moda son, respectivamente,

A) 3 , 2 y 2 B) 3 , 3 y 2 C) 2 , 3 y 3 D) 2 , 2 y 2 E) 1 , 2 y 3

Cargas familiares

Trabajadores

0 6 1 9 2 12 3 7 4 4 5 2

22

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes

para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder

a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.

(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

P : Q = 3 : 2 , luego (P + Q) : Q = 5 : 2 , de donde $ 10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.000.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2).

D

23

64. ¿Cuáles son las edades de Luis y Paco?

(1) La diferencia de sus edades es 15 años.

(2) Sus edades están en la razón de 3 : 2. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

65. ¿Cuál es el valor numérico de 2x - y?

(1) x + 2 = 2y

(2) x = y A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

66. ¿Cuál es la cuarta potencia de n?

(1) n3 = -27

(2) n2 = 9 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

67. ¿Cuál es el área del rombo ABCD de la figura 21?

(1) Su diagonal menor mide 6 cm y R ABC = 120º.

(2) R BAD = 60º A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

fig. 21

C

B A

D

24

68. En la figura 22, ¿cuánto mide el R x?

(1) ∆ ABC es equilátero y CD = BD .

(2) AD es transversal de gravedad. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

69. P y Q en conjunto tienen un capital de $ 1.000.000. ¿Cuál es el capital de Q?

(1) Los capitales de P y Q están en la razón de 3 : 2.

(2) P tiene $ 200.000 más que Q. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. ¿Cuál es el número de dos cifras?

(1) Se conoce el producto de sus cifras.

(2) Se conoce la suma de sus cifras. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

fig. 22C

BA

D x