serrano j. 2001_._matematicas_financieras_y_evaluacion_de_proyectos_-_parte_i

Matemáticas financieras

y evaluación de proyectos

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

Segunda edición

J AV I E R S E R R A N O R O D R Í G U E Z

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

2ª edición

ISBN: 978 958 682 792 8

© 2011

© Javier Serrano Rodríguez

© Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V.

© Universidad de los Andes.

Facultad de Administración,

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catalogación u niversidad de los andes

Serrano Rodríguez, JavierMatemáticas financieras y evaluación de proyectos / Javier Serrano Rodríguez. ª ed. -- Bogotá :

Alfaomega : Universidad de los Andes, Facultad de Administración, Ediciones Uniandes, p. ; x cm.

isbn:----

. Matemáticas financieras . Evaluación de proyectos . Administración financiera . Empresas - Finanzas I. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Administración II. Tít.

cdd . sbua

22

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Ll

Hecho en México

Contenido

Introducción 17

Capítulo 1. Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento 19

La evaluación de proyectos como parte del ciclo del proyecto 22

Términos básicos 23

Diagramas de flujo 26

Ejemplos de diagramas de flujo 29

Ejercicios para resolver 31

Capítulo 2. La tasa de interés de oportunidad y las relaciones de equivalencia 33

Concepto de equivalencia 33

Relaciones de equivalencia más importantes 37

Resumen de las relaciones de equivalencia 61

Observaciones respecto a la utilización de las relaciones de equivalencia 61

Ejercicios resueltos 62


Capítulo 3. Interés nominal y efectivo 69

Presentación 69

Interés efectivo: pagos vencidos 70

Interés efectivo: pagos anticipados 73

Intereses en dólares o en unidades de valor real (UVR) 78

Tasas de interés reales y nominales. Crecimientos reales y nominales 80

Interés continuo 81

Resumen 83



Capítulo 4. Indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión 91

Valor presente neto 91

Tasa interna de retorno 96

Relación beneficio-costo 106

Costo anual equivalente (CAE) 107

Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes 108

Ordenamiento de alternativas con diferente vida útil 113

Rentabilidad de los recursos propios 114

Resumen 116


Ejercicios de recapitulación o autoevaluación 125


Capítulo 5. Matemáticas financieras: resumen a través de problemas avanzados 135

Tasas de interés: nominales y efectivas 135

Relaciones básicas y tasas efectivas 138

Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión 141

Amortización y reestructuración de créditos 146

Número de períodos necesarios para lograr un objetivo específico 150

Gradientes, con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita 153

Solución analítica versus solución exhaustiva 162

Capítulo 6. Información financiera. Estructura operacional y apalancamiento operacional 167

Información financiera 167

Balance general y estado de pérdidas y ganancias 168

El flujo de caja de una empresa o de un proyecto 172

EBITDA y flujo de caja libre para la firma 173

Función de producción y los costos involucrados en un proyecto de inversión 175

Punto de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional 177

Capítulo 7. Rentabilidad del proyecto en sí y rentabilidad

del capital propio aportado al proyecto 183

Tratamiento de la depreciación 184

Tratamiento de otras cuentas 187

Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto 189

Utilización de la depreciación acelerada 192

Ahorro en impuestos 193

Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto. Flujo de caja para el capital propio aportado al proyecto o flujo de caja libre para el inversionista 193

Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto y uso de la depreciación acelerada 197

Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí y de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto 198

Otros costos en la evaluación de proyectos 206

Ejercicio de recapitulación 209

Proyecciones financieras 212


Respuestas a los problemas 219

Capítulo 8. Flujo de caja libre para el proyecto y para el inversionista: casos 227

Caso 1 227

Caso 2 238

Caso 3 251

Capítulo 9. Financiamiento de vivienda 257

Metodología general para la determinación de las cuotas a pagar (amortización más intereses) 258

Relaciones matemáticas básicas para los cálculos actuariales involucrados en el financiamiento de vivienda: un resumen 259

Línea en pesos, amortización constante durante la vigencia del préstamo. Intereses sobre saldos 260

Línea en pesos, cuota mensual uniforme o constante durante toda la vigencia del préstamo (“Payment”) 261

Línea en UVR, con una cuota de amortización constante en UVR 262

Línea en UVR, con cuota de amortización en UVR, decreciente por un factor g 263

Ejemplo, Crédito Hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR 265

Cuota uniforme con crecimiento constante de un año al siguiente 270

Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro para el fomento de la construcción 273

Ejercicios 276

Capítulo 10. Rentabilidad de títulos y riesgo de tasa de interés 283

Valor de un título a descuento 283

Valor de mercado de un bono a tasa fija 284

Principales relaciones en bonos 286

Riesgo de tasa de interés. Duration y convexidad 287

Valoración de inversiones a precios de mercado 294

Tasas implícitas 294

Aproximación utilizando duration y convexidad 296


Valoración a precios de mercado 305


Capítulo 11. Costo promedio ponderado de capital y valor económico agregado (VEA) 313

Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital 314

Cálculo del costo promedio ponderado de capital para una empresa 320

Ejemplos sobre cálculo del costo de capital 325

Valor del apalancamiento financiero 330

Valor económico agregado (VEA) 332

Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo 335


Respuestas a los problemas 343

Capítulo 12. Tratamiento del riesgo en la evaluación de proyectos 349

Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza 352

Utilización del valor esperado y de la varianza para la toma de decisiones de inversión 358

Simulación de Montecarlo 361

Frontera eficiente en media y varianza 372

Análisis del riesgo a través del análisis de escenarios 381

Ejemplos 382

Ejercicios 392

Capítulo 13. Riesgo operacional y financiero: ajustes a la tasa de descuento 399

Modelo CAPM: planteamiento general 400

Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos 404

Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial. Estimación del WACC (CPPC) 409

Estimación del costo promedio ponderado de capital en Colombia: una aproximación a través de un minicaso 414

Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia 418

Ejercicios 423

Bibliografía 431

Javier Serrano Rodríguez

Profesor titular de la Facultad de Administración de la Universidad de

los Andes. Es ingeniero Cum Laude de la Universidad Industrial de

Santander, con posgrados en Ingeniería Industrial y Ciencia Política

de la Universidad de los Andes. Tiene una maestría en Operations

Research de la Universidad de Pittsburg, Pa, donde también adelantó

estudios de doctorado en Ingeniería Industrial.

Su experiencia académica pasa los treinta años como profesor de

la Universidad de los Andes, donde ha sido decano de la Facultad

de Administración, director del MBA, fundador y director de la

especialización en Finanzas, director del programa Alta Gerencia y del

magíster en Ingeniería Industrial; en la actualidad es el director de la

Escuela de Posgrados de la Facultad.

El profesor Serrano dicta clases en el área de Finanzas, en particular,

los cursos de Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión,

Finanzas Corporativas y Mercado de Capitales; tanto en programas

de posgrado (MBA y especializaciones) como de pregrado. Su

experiencia académica se complementa con su experiencia profesional

en la consultoría y en cargos directivos en el mundo empresarial

latinoamericano.

Agradecimientos

Un agradecimiento a todos mis estudiantes de la Facultad de

Administración de la Universidad de los Andes, en sus diferentes

programas de Maestría, de Pregrado y de Alta Gerencia, que

durante varias promociones contribuyeron con sus observaciones

y preguntas al desarrollo de este libro. Un agradecimiento

especial a la doctora María Lorena Gutiérrez Botero, Decana de

la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes por

su apoyo permanente, consejo, observaciones y sugerencias. La

Dra. Gutiérrez ha corregido las diferentes ediciones del libro; en

ese proceso ha hecho observaciones, correcciones y adiciones de

gran importancia y valor que aumentaron significativamente la

riqueza de la versión original. Para esta edición conté con el apoyo

de Paola García H., quien ayudó en la edición del documento,

revisó la versión original e hizo observaciones significativas al

desarrollo de esta nueva edición; para ella mis agradecimientos.

Así mismo quiero agradecer y dedicar el libro a mi esposa, Clara

Elvira Varela Cortés, por su apoyo permanente a mi trabajo como

profesor en la Universidad de los Andes y consultor de empresas

en Jaser Consultores Asociados Ltda. También quiero agradecer a

los dos decanos anteriores de la Facultad de Administración de la

Universidad de los Andes, Raúl Sanabria T. (q.e.p.d.) y Jorge Hernán

Cárdenas S., quienes con su apoyo y confianza contribuyeron a la

primera edición de esta obra. Finalmente, un agradecimiento especial

a todos los profesores que han utilizado el libro, quienes han hecho

observaciones importantes que han contribuido a su enriquecimiento.

[17]�

Introducción

Este libro de matemáticas financieras y evaluación de proyectos es el resultado del tra-bajo docente del profesor Javier Serrano Rodríguez en sus cursos de pregrado y posgrado en la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes, durante los últimos 30 años, especialmente en el curso de Gerencia Financiera del MBA y en el curso de Análisis de Decisiones de Inversión y Financiamiento en el Magíster en Admi-nistración Ejecutivo (EMBA), del cual ha sido su profesor en las nueve promociones del programa. En el libro se exponen conceptos básicos de matemáticas financieras y evaluación de proyectos, que se ilustran con múltiples ejemplos basados en aplicaciones de la vida real. Su enfoque es integral, ya que a partir de la presentación de los elementos bási-cos de las matemáticas financieras desarrolla los indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión, a la vez que profundiza en la construcción del flujo de caja para hacer la evaluación de un proyecto de inversión o la valoración de una empresa, lo cual se complementa con el análisis de temas más avanzados como el costo promedio ponderado de capital, EVA y riesgo. En esta nueva edición se han complementado y actualizado varios capítulos incluidos en la primera edición, enfati-zando el uso de Excel en la parte computacional; se incluye la estimación de la frontera eficiente en media varianza y la utilización del CAPM para estimar el costo de la apor-tación patrimonial en el cálculo del costo promedio ponderado de capital. Se ha ampliado la base de ejercicios, incluyendo un nuevo capítulo con problemas de dife-rente naturaleza y dificultad, que resumen la tipología de problemas que va a encontrar cualquier profesional en el área financiera, especialmente en lo que se llama tradicionalmente como matemáticas financieras; y otro capítulo de casos, para analizar problemas más complejos e ilustrar el efecto de diferentes decisiones, incluyendo al-gunas de modelaje financiero. El libro está diseñado para un curso completo de evaluación de proyectos para estu-diantes con elementos básicos de finanzas y algún entrenamiento matemático. Parte de lo sencillo y avanza hacia lo complejo, en forma tal que el estudiante va evaluando su avance en el tema, y se complementa con ejercicios para resolver al final de la ma-yoría de capítulos. El estudiante debe aprovechar esos ejercicios como una alternativa de autoevaluación, y el profesor la solución a los mismos para dar retroalimentación a sus estudiantes sobre su progreso en el conocimiento de los temas.

[19]�

Los proyectos se pueden clasificar en dos categorías básicas: proyectos de inversión y proyectos de financiamiento. En un proyecto de inversión se realizan desembolsos ne-tos al comienzo del proyecto para obtener unos ingresos netos después del período de construcción y arranque durante el resto de la vida útil del proyecto, en forma tal que el inversionista recupere el monto de la inversión realizada y obtenga un rendimiento acorde con sus expectativas y con las condiciones del mercado. Por ello en un proyec-to de inversión lo que importa es la rentabilidad obtenida por el inversionista durante la vida útil del proyecto. En un proyecto de financiamiento, por ejemplo un crédito, se reciben unos recursos al comienzo del proyecto y se adquiere la obligación de repagar el financiamiento otorgado y los gastos financieros correspondientes al mismo, de acuerdo con las condiciones establecidas en el mercado; por ello lo que importa en el proyecto de financiamiento es el costo del financiamiento. A continuación dos ejem-plos de cada una de las dos categorías de proyectos: A.� Proyectos de inversión

�� Un proyecto consistente en montar una fábrica de cerveza requiere una inver-

sión durante el período de montaje, una vez que se ha tomado la decisión de construir la planta con base en las expectativas de rentabilidad del negocio y se ha asegurado el financiamiento correspondiente. Terminado el período de montaje y de pruebas, se procede a la producción de cerveza dentro de una estrategia comercial que parte del análisis del mercado correspondiente. La venta de cerveza genera unos ingresos brutos de los cuales se descuentan im-puestos de venta, costos de la mercancía vendida y gastos operativos para generar una utilidad operativa o utilidad antes de intereses e impuestos. A partir de esta utilidad operativa se estima la utilidad neta teniendo en cuenta los gastos financieros y la provisión para impuestos. Con la información ante-rior se procede a la construcción de un flujo de caja periódico (anual, mensual) que se contrasta con los desembolsos realizados durante el período de monta-je para determinar la rentabilidad del proyecto. La decisión de construir o no la planta se toma con base en los estimativos de inversión requerida, pronósticos de ventas, precio de la cerveza, costos de producción, gastos de operación, etc. Por ello en el momento de analizar la decisión de construir o no la planta, lo que se tiene es un estimativo de rentabilidad que se puede dar o no. Lo an-terior implica que la decisión se toma bajo incertidumbre, y que en últimas la rentabilidad va a depender del escenario económico que finalmente ocurra.

�� Un fondo de inversión recauda unos recursos del público para invertirlos en un

portafolio de inversiones, tal y como ocurre con un fondo de pensiones obli-

Capítulo 1

PROYECTOS DE INVERSIÓN Y PROYECTOS DE FINANCIAMIENTO

[20]

Capítulo 1

[20] J A V I E R S E R R A N O�

gatorias administrado por una sociedad administradora de fondos de pensio-nes y cesantías. Al final de cada mes, los aportes del patrono y los descuentos al trabajador se invierten con los correspondientes a los otros afiliados al fon-do, en un portafolio de títulos valores. La rentabilidad que genera el portafolio de títulos valores, una vez deducida la comisión que cobra la administradora, se capitaliza a la cuenta de capitalización individual del afiliado, en forma tal que con los recursos aportados por el patrono, los descuentos al trabajador y los rendimientos obtenidos se acumula una suma que es la que se va a utilizar para comprar un seguro de renta vitalicia una vez el afiliado cumple con todos los requisitos para obtener la pensión de jubilación de cuerdo con el marco le-gal correspondiente.

B. Proyectos de financiación

�� Una empresa de acueducto va a realizar una inversión por valor de 10.000 mi-llones de pesos, de los cuales el 60% se financia con un crédito bancario a 10 años, con una tasa de interés del 24% anual, que se paga mes vencido. Du-rante el período de construcción la empresa recibe el monto del financia-miento (6.000 millones de pesos), de acuerdo con un cronograma de desem-bolsos y con el avance de la construcción. Al comienzo la empresa de acueducto paga los intereses correspondientes, que liquidados al 2% mensual sobre el saldo inicial, suman 120 millones de pesos mensuales. Una vez que comienza el período de amortización a capital, el saldo de la deuda disminuye con la correspondiente amortización periódica, lo cual hace que los intereses también disminuyan. El costo del financiamiento estará determinado por los gastos financieros a pagar al banco (intereses del 2% mensual), comisiones de administración o de compromiso que pueda cobrar el banco, y otros costos en que pueda incurrir la empresa para obtener el financiamiento (p. ej., constitu-ción de garantías).

�� Una familia va a adquirir un apartamento como vivienda por valor de 100 mi-

llones de pesos y recurre a un banco para que le financie un 70% bajo la modalidad de un crédito hipotecario, que utiliza la vivienda adquirida como garantía al banco. Selecciona una modalidad de financiamiento en pesos con una cuota constante durante el período de amortización del crédito (p. ej., 15 años o 180 meses). El grupo familiar se compromete a pagar una cuota uni-forme de “A” pesos mensuales, durante los 180 meses de vigencia del crédito; el monto de esta cuota se estima en forma tal que el banco obtiene el repago o amortización del crédito y el costo de financiamiento del mismo. Pa-ra el grupo familiar, usuario del crédito, el costo depende de los intereses que cobra el banco y de otros costos necesarios para poder tener acceso al crédito (p. ej., seguros de vida, gastos de hipoteca).

[21] [21]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento

�

En estos cuatro proyectos que se acaban de mencionar hay unos elementos comunes: Una o varias decisiones a analizar. Por ejemplo, realizar la construcción de la cerve-cería de acuerdo con el escenario esperado y la incertidumbre que rodea al proyecto, definir el portafolio en el cual se van a invertir los recursos recaudados por la adminis-tradora, realizar aportes voluntarios para aumentar el monto de la pensión, tomar un crédito por 6.000 millones de pesos en las condiciones establecidas por parte de la compañía de acueducto o recurrir a otras fuentes de financiamiento, y finalmente to-mar el crédito hipotecario para adquirir la vivienda por parte del grupo familiar o posponer su decisión si el monto de la cuota a pagar resulta muy elevado frente a sus ingresos. Un horizonte de tiempo. La vida útil de la cervecería, el tiempo durante el cual se van a hacer aportes al fondo de pensiones, el período de amortización del crédito por parte de la empresa de acueducto o los 180 meses durante los cuales el grupo familiar va amortizar o pagar el crédito obtenido para adquirir la vivienda. Un flujo de caja que cambia de signo. En el proyecto de construcción de la cerve-cería, unos desembolsos (inversiones) al comienzo y un flujo de caja neto y positivo (ingresos menos costos y gastos) una vez que comienza la etapa productiva. En el caso del fondo de pensiones, el afiliado aporta al fondo durante un tiempo, acumula una suma y después recibe un ingreso mensual correspondiente a su mesada pensional, una vez se cumplan los requisitos para la pensión de jubilación. En el financiamiento de la empresa de acueducto, al desembolso de 6.000 millones de pesos durante el período de construcción, que constituye un ingreso financiero para la empresa, le va a seguir un período de amortización del crédito en el cual hay que pagar amortización a capital y los gastos financieros correspondientes al financiamiento. El grupo familiar que va a adquirir la vivienda recibe un ingreso proveniente del crédito con el cual completa el monto que va a pagar por la vivienda adquirida; posteriormente tiene que pagar una cuota mensual de “A” pesos, que contiene amortización a capital e intereses. Una rentabilidad esperada para un proyecto de inversión o un costo de financiamien-to para un proyecto de financiación. La rentabilidad esperada o el costo de financiamiento dependerá del flujo de caja asociado, esto es el flujo de caja que cam-bia de signo al cual se acaba de hacer referencia. En el caso de un proyecto de financiación, el costo del financiamiento dependerá de los intereses y comisiones que el establecimiento de crédito está cobrando y de otros costos asociados (p. ej., consti-tución de garantías). Un escenario de análisis de la decisión. El resultado de la decisión dependerá en últi-mas del escenario que ocurra respecto al comportamiento de las variables que pueden afectar el proyecto (p. ej., inflación, tasas de interés, ingresos). La volatilidad del esce-nario determina en buena parte el riesgo que va a enfrentar el inversionista, o el costo

[22]

Capítulo 1


del financiamiento (p. ej., la devaluación en una situación donde el financiamiento de la empresa de acueducto hubiera sido en euros o a tasa de interés variable). L A E V A L U A C I Ó N D E P R O Y E C T O S C O M O P A R T E D E L C I C L O D E L P R O Y E C T O

La evaluación de proyectos constituye una etapa del denominado ciclo de proyecto, que comienza con la identificación de alternativas, estudios de prefactibilidad para se-leccionar las más relevantes o promisorias, recolección de información para documentar las alternativas bajo evaluación, construcción de metodologías e indicado-res para medir su conveniencia, evaluación de alternativas, selección de la alternativa más conveniente según los indicadores seleccionados, e implantación de esa alternati-va o proyecto. En esta última fase se van a concretar los beneficios identificados en las etapas previas. El Grupo del Banco Mundial identifica ocho etapas bien definidas en el ciclo del pro-yecto, para aquellos que aspiran a contar con su financiamiento1: estrategia de asistencia para el país, identificación, preparación, evaluación inicial, negociaciones y aprobación del directorio, implementación y supervisión, implementación y conclusión, evaluación final, todo ello como parte de un proceso de planeación. Se cuenta además con metodologías y documentación bien definida para cada una de las diferentes etapas. La diferenciación entre las etapas del ciclo del proyecto es muy importante; sin embar-go, a veces no se le da la suficiente relevancia. A manera de ejemplo, la mayor parte del material que se cubre en este libro se aplica y es útil en el análisis de la toma de la decisión en situaciones tales como: ¿se hace o no el proyecto?, ¿se posterga la deci-sión o la iniciación del proyecto?, ¿se continúa con la implementación del proyecto?, ¿se cierra el negocio o se continúa operando?, ¿se toma el crédito o se hace con recur-sos propios?, ¿cuál es la combinación entre deuda y patrimonio que se va a utilizar para financiar el proyecto o la inversión?, ¿cuál es la rentabilidad de este fondo de in-versión?, ¿se invierte o no en el fondo? Con estos ejemplos se puede apreciar el tipo de decisiones que se analizan bajo diferentes supuestos, incluyendo la proyección en el tiempo del negocio que se está considerando. Una vez tomada la decisión de realizar el proyecto, lo importante es la ejecución de las actividades necesarias para llevarlo a cabo, su gestión, incluyendo el control sobre el uso de los diferentes recursos involucrados, para lograr los objetivos buscados con el proyecto o con la decisión. Por ello, todo el análisis que se hace para tomar la decisión sirve como referencia para guiar la ejecución del proyecto y para identificar las causas

��1 Grupo del Banco Mundial, Ciclo del Proyecto, Proyectos y Programas, página web del Banco Mundial, www.worldbank.org.


Términos básicos

�

de posibles desfases entre lo proyectado y lo ejecutado. Posteriormente se analizará si se alcanzó o no la rentabilidad esperada. Como se desprende de lo anterior, la etapa de implantación es crítica para el logro de los objetivos de proyecto y para alcanzar los beneficios esperados con la ejecución del mismo. Es de esperar la presencia de desfa-ses entre lo planeado, lo ejecutado y los resultados finalmente obtenidos, ya que en la ejecución se van a presentar desfases importantes que van a afectar los resultados es-perados. Sin embargo, proyectos bien formulados pueden fracasar si no se toman las precauciones necesarias en la fase de implantación. Para un adecuado control de las actividades involucradas, en la etapa de implementación se suele disponer de herra-mientas especializadas de gestión y control de proyectos, que permiten hacer seguimiento a las actividades planeadas, identificar desfases y sus causas, y tomar las decisiones necesarias a tiempo. Como tal, la evaluación de proyectos comprende el desarrollo de una serie de metodo-logías que le permiten al inversionista analizar una o varias alternativas de inversión y de financiamiento, buscando seleccionar la más adecuada según uno o varios criterios, tales como rentabilidad, valor presente neto o valor económico agregado, dentro de un horizonte de planeamiento incierto que requiere una consideración adecuada del riesgo que enfrenta el inversionista. Como se presenta a lo largo de este libro, la con-sideración simultánea de las dos dimensiones de rentabilidad esperada y riesgo lleva a que las decisiones no sean obvias, como consecuencia de la ponderación que ese in-versionista le puede dar a estas dos dimensiones, que en últimas depende de varios factores: tamaño de la inversión, situación financiera del inversionista, propensión o aversión al riesgo, etc. Los aspectos computacionales inherentes a las matemáticas financieras y a la evalua-ción de proyectos han perdido importancia como consecuencia del desarrollo tecnológico, permitiendo que el analista se concentre en los aspectos conceptuales y en las consecuencias que una determinada decisión puede traer sobre la situación fi-nanciera de la empresa. Las herramientas computacionales cada vez son más amigables y permiten acercar los temas de matemáticas financieras y evaluación de proyectos a profesionales de disciplinas no técnicas (p. ej. abogados, psicólogos, médi-cos) que antes sentían estos temas como algo alejado, no obstante la importancia que ellos tienen en el ejercicio de su profesión. T É R M I N O S B Á S I C O S

A continuación se definen algunos términos de uso frecuente en matemáticas financie-ras y evaluación de proyectos, a manera de glosario. Sin embargo, en el transcurso del libro se vuelven a retomar algunos de estos términos, para explicar su sentido, profun-dizar la definición y su utilización, establecer indicadores para su medición y plantear su utilización en el análisis de una situación real, como puede ser el análisis de un pro-yecto de inversión o de financiamiento.

[24]

Capítulo 1


1.� Alternativa de inversión: un proyecto o una decisión cuya implantación contribu-ye a alcanzar uno o varios objetivos estratégicos de una empresa o una organización.

2.� Proyecto de inversión: programación en el tiempo de una serie de inversiones buscando que más adelante se genere una serie de beneficios que justifiquen des-de el punto de vista económico las inversiones que se realizaron inicialmente.

3.� Plan de inversiones: corresponde al conjunto de proyectos necesarios para lograr el cumplimiento de los objetivos estratégicos de una empresa dentro de un hori-zonte de planeamiento, por ejemplo 5 años.

4.� Financiamiento de un proyecto: se refiere a la mezcla de recursos (crédito, patri-monio, etc.) que se va a utilizar para financiar los desembolsos que requiere la implantación de un proyecto de inversión.

5.� Plan de financiamiento: trata de la combinación de recursos de financiamiento de corto, mediano y largo plazo que se va a utilizar para financiar el plan de inversio-nes durante el horizonte de planeamiento de la empresa. En este sentido, para todo plan de inversiones debe existir el correspondiente plan de financiamiento.

6.� Proyecto de financiamiento: al inicio se reciben los desembolsos de un crédito; posteriormente se hacen los pagos por amortización a capital y pagos de intereses.

7.� Interés: algunos lo definen como el costo por utilizar el capital en el caso de un financiamiento o el retorno por invertir una suma determinada en un proyecto, posponiendo el consumo actual. Usualmente se mide por el incremento entre una suma original invertida o tomada en préstamo y el monto final acumulado o pa-gado.

El interés ganado en términos absolutos, medido en pesos, de una inversión,

durante un período de tiempo, se calcula como:

Interés = Cantidad final acumulada - inversión inicial

Si el dinero fue tomado en préstamo, el interés en términos absolutos, medido en pesos, será:

Interés = Cantidad pagada - préstamo inicial

La expresión porcentual o tasa de interés se calcula así:

inicial Cantidad

tiempo de unidad por Interésinterés deTasa �

8.� Período de interés: unidad de tiempo para expresar la tasa de interés. El interés se puede expresar en períodos anuales, semestrales, diarios, etc. Cualquiera que sea el período que se utilice para expresar el interés, siempre debe haber una corres-pondencia o equivalencia con otros períodos de tiempo; por ejemplo, si el interés


Términos básicos

�

se expresa en términos mensuales, se debe poder expresar también en términos semestrales o anuales.

9.� Vida útil de un proyecto de inversión: período de tiempo durante el cual se justifi-ca, desde el punto de vista económico, mantener operando el proyecto. En otras palabras, período de tiempo durante el cual los beneficios generados por el pro-yecto superan los costos en que incurre el proyecto.

10.�Retorno sobre la inversión: corresponde al rendimiento porcentual que genera una inversión, medida ésta a través de la relación entre los beneficios netos en el período (descontando los costos) y el tamaño promedio de la inversión durante el período de tiempo considerado.

11.�Apalancamiento financiero: utilización de la deuda financiera para aumentar la rentabilidad de los recursos propios aportados a un proyecto o a una empresa.

12.�Estructura de costos de un proyecto o de un negocio: combinación entre costos fijos y costos variables, para varios niveles de producción.

13.�Tasa impositiva: porcentaje de las utilidades que se debe pagar como impuestos. 14.�Estados proforma: estados financieros de un proyecto o de una empresa proyec-

tados en el tiempo (p. ej., balance, estado de pérdidas y ganancias, flujo de efectivo).

15.�Estructura financiera: combinación de todas las fuentes de financiamiento de una empresa en un momento dado.

16.�Estructura de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo, que utiliza una empresa en un momento dado.

17.�Estructura marginal de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo, que va a utilizar la empresa para financiar un proyecto o el plan de inversiones durante su horizonte de planeamiento.

18.�Flujo de fondos: resultado neto de representar o resumir en el tiempo todos los ingresos y los egresos de un proyecto o de una empresa, para cada uno de los períodos que se está considerando.

19.�Riesgo: variabilidad de los resultados de un proyecto alrededor de su valor pro-medio o valor esperado, como consecuencia de la incertidumbre existente en el horizonte de planeamiento.

20.�Causación: movimiento de registro contable que no corresponde necesariamente a un movimiento de efectivo o de caja (p. ej., el cargo por depreciación que afecta el estado de resultados sin afectar el flujo de caja de la empresa).

21.�Valor económico agregado: magnitud de valor que agrega un proyecto a una empresa o la gestión de una administración a una empresa.

22.�Análisis de decisiones de inversión: comparación entre varias alternativas de in-versión de acuerdo a un conjunto de criterios.

23.�Valor de salvamento (contable): valor en libros de un activo al final de su período de depreciación.

24.�Valor de salvamento (económico): valor que se puede recibir por el activo al final de su vida útil; también se conoce como valor terminal o valor de disposición.

25.�Valor nominal de un bono: cantidad que se va a recibir por el bono el día de su vencimiento, si la amortización del mismo se hace a través de un solo pago.

[26]

Capítulo 1


26.�Valor de reposición de un activo: valor al cual se puede adquirir un activo similar en una fecha determinada; similar implica un activo con las mismas características.

27.�Valor de mercado de un activo usado: valor al cual se puede vender en el merca-do un activo usado en una fecha dada.

28.�Alternativas mutuamente excluyentes: de las alternativas bajo consideración, so-lamente se va a escoger una. También, la escogencia de una alternativa excluye a las otras bajo consideración.

29.�Alternativas colectivamente exhaustivas: el conjunto de alternativas bajo conside-ración constituye el universo de alternativas posibles.

30.� Inflación: crecimiento en el índice de precios durante un período dado de tiempo; también se define como la pérdida del poder adquisitivo del dinero durante un período dado de tiempo.

31.�Devaluación: aumento porcentual en el precio de una divisa (p. ej., el dólar), du-rante un período determinado.

32.� Inversión permanente en un proyecto de inversión: inversión permanente en acti-vos fijos y en capital de trabajo que requiere el proyecto de inversión, para que pueda operar en condiciones aceptables.

D I A G R A M A S D E F L U J O

Una de las herramientas más importantes para el análisis financiero de una empresa o de un proyecto son los diagramas de flujo, que representan en el tiempo los flujos de fondos o de caja que va a necesitar el proyecto (egresos) y los flujos de fondos o de caja que va a generar el proyecto (ingresos), si se trata de un proyecto de inversión. Si se trata de un proyecto de financiamiento, representan los desembolsos del crédito (ingresos financieros) en el momento en que ellos se producen, el plan de amortiza-ción a capital según lo acordado y los intereses que se tienen que pagar, en fechas específicas, según el contrato de crédito. Los elementos básicos de un diagrama de flujos son: 1.� Escala de tiempo: representa la unidad de tiempo básica con relación a la cual se

van a medir todas las variables cuyo comportamiento depende del tiempo: año, mes, semana.

2.� Horizonte de tiempo de un proyecto de inversión: corresponde al tiempo total dentro del cual se va a analizar el proyecto de inversión (p. ej., la vida útil del pro-yecto de inversión).

3.� Período básico de análisis: corresponde a la unidad de tiempo básica, en la cual se divide todo el horizonte de tiempo de un proyecto de inversión, para su análisis. Por ejemplo, un proyecto con una vida útil de 5 años se puede dividir en períodos mensuales, trimestrales o anuales como períodos básicos de análisis. Entre más pequeño sea el período básico de análisis, más realista va a ser la representación del proyecto pero más compleja su solución numérica. La escogencia del período


Diagramas de flujo

�

básico de análisis debe ser un compromiso entre la realidad y la simplicidad para la solución computacional del problema.

4.� j-ésimo período básico de análisis: por convención, todos los ingresos y egresos se concentran al final del período (fecha j, para el j-ésimo período de análisis), sin tener en cuenta la forma como efectivamente se producen durante el j-ésimo período. Corresponde a una convención para simplificar los cálculos que va a afec-tar los resultados. A mayor longitud del período básico, mayor la fuente de error, como consecuencia de esta aproximación.

5.� Fechas dentro de un proyecto de inversión: la fecha cero corresponde a la fecha actual o de arranque del proyecto. En muchos proyectos, la inversión inicial se concentra en la fecha cero, que corresponde al inicio del primer período, mientras que la fecha uno (1) corresponde a la finalización del primer período básico de análisis. Todos los ingresos y egresos del proyecto durante el primer período bási-co de análisis, excepto la inversión inicial, se concentran en la fecha 1 o fecha de finalización del primer período. La fecha dos (2) corresponde a la fecha de finaliza-ción del segundo período básico de análisis, que empieza en la fecha uno (1), y así sucesivamente. La fecha j-1, es el inicio del j-ésimo período, que termina en la fe-cha j.

6.� Flujos de efectivo: los ingresos o flujos de efectivo positivos (como ingresos por ventas, ingresos operacionales, pagos que se reciben por amortización de créditos, intereses obtenidos por una inversión, ingresos por venta de activos, etc.) se re-presentan con flechas hacia arriba. En el caso de los egresos o flujos de efectivo negativos (como inversiones, pagos de intereses por un financiamiento, cuotas que se pagan por gastos de operación, etc.) se utilizan flechas hacia abajo. Usual-mente, los ingresos y egresos se netean, colocando, a manera de resumen, el valor neto (ingresos menos egresos) en una fecha dada.

En el Cuadro 1.1 se muestran los ingresos y egresos totales de un proyecto de inver-sión con una vida útil de 5 años:

Cuadro 1.1

Fecha 0 1 2 3 4 5Año 1 2 3 4 5

Inversión -3.000.000 Ingresos totales 0 900.000 1.300.000 1.800.000 2.300.000 3.000.000Egresos totales 0 400.000 500.000 800.000 900.000 1.200.000Ingreso neto -3.000.000 500.000 800.000 1.000.000 1.400.000 1.800.000

Los ingresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final del año. Los egresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final del año. Los ingresos netos (ingresos menos egresos) se calculan y representan al final

[28]

Capítulo 1


del año. Por lo tanto el diagrama de flujos resumido correspondería a la última fila en el Cuadro 1.1, que se muestra en la Figura 1.1

Figura 1.1

En el Cuadro 1.2 se muestran los desembolsos, amortizaciones a capital, saldos al co-mienzo de cada período e intereses sobre saldos de un proyecto de financiamiento, correspondiente a un crédito por valor de $80.000.000, a 6 años, amortización a capi-tal en cuatro contados iguales al final de los años 3, 4, 5 y 6; intereses pagaderos año vencido, sobre el saldo de capital al comienzo del año; tasa de interés del 20%.

Cuadro 1.2 Fecha 0 1 2 3 4 5 6

Año 1 2 3 4 5 6

Tasa de interés 20,00%

Desembolso 80.000.000

Amortización capital 0 0 0 -20.000.000 -20.000.000 -20.000.000 -20.000.000

Saldo, comienzo año 0 80.000.000 80.000.000 80.000.000 60.000.000 40.000.000 20.000.000

Intereses -16.000.000 -16.000.000 -16.000.000 -12.000.000 -8.000.000 -4.000.000

Flujo resumen 80.000.000 -16.000.000 -16.000.000 -36.000.000 -32.000.000 -28.000.000 -24.000.000

Los ingresos corresponden al desembolso del crédito en la fecha cero, esto es en el comienzo del año 1. Los egresos corresponden a la amortización a capital, al final de

��

� ��

��

��

� ��

� ��


Ejemplos de diagramas de flujo

�

los años 3, 4, 5 y 6 y al pago de intereses al final de cada año, para todos los 6 años. El saldo al comienzo de cada período no corresponde a un flujo de caja, sino a un re-sultado que define el valor sobre el cual se liquidan los intereses. En la Figura 1.2 se muestra el diagrama de flujo para los flujos parciales:

Figura 1.2 E J E M P L O S D E D I A G R A M A S D E F L U J O

Ejemplo 1 Suponga que se realiza una inversión de $10.000 mensuales durante 15 meses, al final de los cuales se recibe un ingreso de $200.000. El diagrama de flujo sería (cifras en miles): Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 15 meses. Período básico de análisis: mes. Diagrama de flujo, en miles de pesos, en la Figura 1.3:

��

��

��

� � �

��

[30]

Capítulo 1


Figura 1.3

� Ejemplo 2 Un proyecto de inversión con una vida útil de 6 años, que se va a analizar anualmente, para determinar su rentabilidad; el flujo neto del j-ésimo año (ingresos de efectivo me-nos egresos de efectivo) se representa por FJ, mientras que la inversión que se concentra en la fecha cero se representa por I0. Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 6 años. Período básico de análisis: año. Diagrama de flujo en la Figura 1.4:

Figura 1.4

Ejemplo 3 Un crédito a 2 años por valor de 100 millones de pesos, que se desembolsa en la fecha cero y se va a amortizar en dos pagos iguales, uno al final del primer año y otro al final del segundo año. El interés del crédito es del 20% nominal anual pagadero semestre

��

��

��

��

��

��

��

� � ��


Ejercicios para resolver

�

vencido; esto es, se paga un 10% al final de cada semestre sobre el saldo del crédito al comienzo del semestre. Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 2 años. Período básico de análisis: semestre, ya que los intereses se pagan cada 6 meses. Diagrama de flujo en la Figura 1.5:

Figura 1.5

E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

Establecer los diagramas de flujo para: 1. Un bono ordinario con una madurez de 3 años, amortizaciones iguales al final

de cada año; intereses del 24% anual pagaderos semestralmente; esto es, al fi-nal de cada semestre se paga un 12% sobre el saldo al comienzo del semestre.

2. Un proyecto con una vida útil de 4 años, con una inversión de 1.000 millones de pesos, que se realiza en la fecha cero. Los flujos netos de fondos para los 4 años son respectivamente de -300, 600, 800, 1.200 millones de pesos. Al final de los 4 años, los activos completamente depreciados se venden por 500 millo-nes de pesos.

3. Un crédito a 2 años por valor de 80 millones de pesos, que se amortiza en un solo pago al final de los 2 años. Intereses del 24% anual, pagaderos trimestre vencido, sobre saldos; esto es, al final de cada uno de los 8 trimestres se paga un interés del 6% sobre el saldo al comienzo del trimestre.

4. El mismo problema 3, pero con amortización semestral (cuatro pagos iguales, al final de cada semestre).

5. Un proyecto de inversión con los flujos de caja que se muestran en el Cuadro 1.3:

��

��

��

��

�

��

�

��

[32]

Capítulo 1


Cuadro 1.3

Fecha 0 1 2 3 4 5 6 7

Año 1 2 3 4 5 6 7

Inversión -2.000.000

Ingresos totales 0 700.000 1.000.000 1.300.000 1.600.000 2.000.000 2.300.000 2.700.000

Egresos totales 0 350.000 500.000 700.000 900.000 1.200.000 1.300.000 1.600.000

[33]

Capítulo 2

LA TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD Y LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una de las mayores equivocaciones en el análisis financiero consiste en el tratamiento igual de cantidades de dinero recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Con fre-cuencia en la realización de un análisis de rentabilidad de un negocio se suman directamente como utilidad total las utilidades que se obtienen durante un horizonte de tiempo, por ejemplo 10 años, sin que se considere la diferencia que existe entre los mismos pesos nominales en diferentes épocas del tiempo. Cuando este es el caso, la cifra de rentabilidad que se obtiene carece de sentido; y es necesario homogeneizar las cantidades recibidas antes de proceder a la suma de las mismas. La homogeneiza-ción de las cantidades recibidas en puntos diferentes del tiempo se hace a través de las denominadas relaciones de equivalencia que constituyen el punto central de este capítulo. C O N C E P T O D E E Q U I V A L E N C I A

Para introducir el concepto de equivalencia se va a considerar el siguiente problema, que corresponde a un proyecto de inversión que requiere una inversión de $1.000.000, y va a producir unos ingresos para el inversionista durante los próximos 10 años según lo mostrado en el Cuadro 2.1:

Cuadro 2.1

Año Flujo de efectivo

1 $ 150.0002 $ 200.0003 $ 250.0004 $ 300.0005 $ 350.0006 $ 400.000 7 $ 450.000 8 $ 500.000 9 $ 550.000

10 $ 600.000

La Figura 2.1 muestra el diagrama de flujos de ingresos para los 10 años, en miles de pesos:

[34] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

Figura 2.1

En términos nominales la suma de los ingresos para los 10 años es igual a $3.750.000. La equivocación que se comete frecuentemente consiste en concluir que la rentabilidad del negocio es del 275% para los 10 años cuando en realidad sólo lle-ga a un 25,88% como se verá en el Capítulo 4. Esta equivocación consiste en darle la misma importancia a pesos recibidos en diferentes puntos del tiempo. Se puede afirmar que en términos generales las personas tienen una preferencia por el dinero en el tiempo; ella lleva a los individuos a preferir una cantidad P hoy en lu-gar de esa misma cantidad P dentro de 1 año. Algunos argumentan que eso es así dado que la moneda pierde poder adquisitivo por el proceso inflacionario y que lo que hoy se puede adquirir con la cantidad P es superior a lo que se podrá adquirir con esa misma cantidad dentro de 1 año. Otros argumentan que al disponer hoy de la cantidad P, la pueden invertir a una tasa de interés i y recibir un ingreso por intereses

igual a �� que sumado a la cantidad original permitirá acumular una suma iPP� ó P(1+i) al final del año, suma mayor que la disponible al comienzo. Si bien es cierto que el dinero pierde poder adquisitivo en el tiempo, para un inversio-nista la preferencia en el tiempo proviene de las oportunidades de inversión que él pueda encontrar para sus excedentes monetarios. En otras palabras, si el inversionista deja inmovilizado su dinero en una caja fuerte o en una cuenta bancaria (sin intentar obtener ninguna reciprocidad), la equivalencia de una cantidad futura versus una cantidad presente sería la misma ya que la suma acumulada al final del período sería idéntica. Sin embargo, si el inversionista dispone de alternativas de inversión que le generen un interés determinado, la equivalencia en el tiempo sería mayor; ya que al

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 añ os

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

[35]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Concepto de equivalencia

invertir en esas oportunidades podría acumular una mayor cantidad al final del perío-do que se está considerando. Lo anterior se ilustra mediante un ejemplo: Ejemplo 2.1 Se invierte una cantidad inicial de $1.000.000 en alternativas que pagarán un interés anual del 35%; al final del primer año, el inversionista dispondrá de la siguiente suma:

Principal: P = 1.000.000

Interés: iP = 350.000

Suma total: iPP � = 1.000.000 + 350.000 = 1.350.000

iPP � = )1( iP � = 1.000.000 (1,35) = 1.350.000

Gráficamente la situación se representaría de la siguiente forma:

Figura 2.2

Para el inversionista existe una equivalencia en el tiempo que se podría definir di-ciendo que para él, recibir $1.350.000 dentro de 1 año sería equivalente a recibir una cantidad de $1.000.000 hoy, de acuerdo con las alternativas disponibles. Si la tasa de interés fuera igual a cero (equivalente a decir que el inversionista no tiene alternativas de inversión) la suma acumulada sería de $1.000.000. Para este inversionista, con oportunidades alternas de inversión del 35%, si alguien le ofreciera tomar en préstamo esa cantidad y devolverle $1.300.000 dentro de un año, a riesgos iguales, la oferta sería inaceptable ya que él dispone de alternativas que le permiten acumular $1.350.000 al final del año. Por el contrario, si dispone $1.000.000 en la fecha cero y le ofrecen $1.400.000 al final del año y le garantizan la eliminación del riesgo, deberá prestar el dinero, debido a que con las alternativas dis-ponibles no puede acumular esa cantidad.

�

� � �

1.000.000

1.350.000


Capítulo 2

El ejemplo anterior ilustra el concepto de equivalencia definido alrededor de la tasa de interés de oportunidad (TIO). Si la tasa de interés de oportunidad para un período es igual a i, disponer de una cantidad P hoy, será equivalente a disponer de una canti-dad )1( �� dentro de un período; o en forma similar, recibir una cantidad )1( ��

dentro de un período será equivalente a recibir una cantidad P hoy. El concepto de equivalencia que se acaba de presentar se establece alrededor de la tasa de interés de oportunidad definida como la tasa de interés correspondiente a las alternativas convencionales de inversión que están disponibles para una empresa o un individuo. Como la tasa de interés de oportunidad es diferente para los individuos o las empresas, las sumas correspondientes a las equivalencias en el tiempo también lo serán; un par de ejemplos aclaran la situación anterior. Ejemplo 2.2 Para un individuo cuyas oportunidades de inversión están en el sistema financiero, a través de la modalidad de cuentas de ahorro, en un momento donde los intereses que se están pagando son del 4% efectivo anual, la equivalencia en el tiempo se daría en términos de una tasa de interés de oportunidad del 4% anual, que corresponde al rendimiento anual de la cuenta de ahorro antes de impuestos. Por otro lado, otro in-dividuo con mayores conocimientos del mercado de capitales, al poder obtener rendimientos mayores, tendrá una tasa de interés de equivalencia superior ya que su tasa de interés de oportunidad también es superior; por ejemplo, una inversión en títulos emitidos por el gobierno central, tal y como ocurre con los TES en Colombia o con los treasuries en Estados Unidos, que usualmente generan una rentabilidad supe-rior a las cuentas de ahorro, que suelen ser las de menor rendimiento en el sistema financiero. Ejemplo 2.3 Una empresa, en el sector industrial, donde la rentabilidad anual del negocio es del 30% después de impuestos, tendrá una tasa de interés de equivalencia inferior a otra empresa que pertenezca a otro sector industrial donde la rentabilidad anual sea del 40% después de impuestos. Cuando este es el caso, las inversiones marginales se evaluarán en la primera empresa a una tasa de interés igual o superior al 30% anual, mientras que en la segunda empresa esas inversiones se evaluarán a una tasa de in-terés igual o superior al 40% anual. En los ejemplos anteriores se ha mencionado la palabra impuestos, cuya considera-ción es crucial en la evaluación de proyectos tal y como se ilustrará en los capítulos siguientes. En general, las decisiones de inversión y financiamiento se analizan des-pués de impuestos.


Relaciones de equivalencia más importantes

R E L A C I O N E S D E E Q U I V A L E N C I A M Á S I M P O R T A N T E S

Equivalencias considerando distintos horizontes de planeamiento Equivalencia futura de una suma presente

En el numeral anterior se estableció que al invertir una cantidad P a una tasa de in-terés i se obtiene una suma acumulada igual a )1( iP � al final del primer año. La aplicación repetitiva de este resultado permite obtener la relación de equivalencia más importante en el campo de las matemáticas financieras, debido a que proporciona la equivalencia cuando se consideran diferentes horizontes de planeamiento. Para ilus-trar lo anterior, se parte de una cantidad inicial P y de una tasa de interés de oportunidad igual a i. Al final del primer año, la suma acumulada será: Principal: P Interés: iP Suma acumulada al final del primer año: F1

F1 = iPP� = )1( iP �

Para el segundo año, el principal corresponde a la suma acumulada al final del primer año; la aplicación del ejercicio anterior lleva a:

Principal: )1( iP � Interés: )1( iiP � Suma acumulada al final del primer año: F2

2F = )1()1( iiPiP �� = )1)](1([ iiP �� = 2)1( iP �

Para el tercer año, y procediendo en una forma similar, se obtendrá: Principal: 2)1( iP �

Interés: 2)1( iiP � Suma acumulada al final del tercer año: F3

�3F 22 )1()1( iiPiP �� = )1]()1([ 2 iiP �� = 3)1( iP �

La repetición del ejercicio anterior lleva a la fórmula general para encontrar la equiva-lencia de sumas recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Para este caso particular, la equivalencia futura de una suma presente.

n

n iPF )1( �� (1)


Capítulo 2

En la expresión anterior, nF corresponde a la suma futura equivalente dentro de n

períodos a una suma presente igual a P. Gráficamente, se tiene:

Figura 2.3

Un ejemplo aclara la aplicación de la fórmula anterior. Ejemplo 2.4

Se invierte una suma de $1.000.000 durante 10 años a una tasa de interés anual igual al 35%; no se retiran los intereses, se capitalizan cada año y se reinvierten a la misma tasa de interés. La suma que se acumulará al final de los 10 años se obtiene de la siguiente forma:

� ��

556.106.20106,20*000.000.1

35,1*000.000.1

35,01*000.000.1

1*

10

1010

1010

1010

��

��

��

F

F

F

iPF

En la situación anterior, el inversionista podría retirar $20.106.556 al final del año 10. Es decir, para la tasa de interés considerada, disponer de $1.000.000 hoy será equiva-lente a disponer de $20.106.556 dentro de 10 años. En forma similar, para esa tasa de interés, $20.106.556 recibidos dentro de 10 años serían equivalentes a recibir $1.000.000 en la fecha presente, tal y como se muestra en la Figura 2.4:

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

P

FN = P(1+1)N



Figura 2.4 Por lo tanto, se puede decir que para una tasa de interés de equivalencia o tasa de interés de oportunidad del 35%, el valor actual o presente correspondiente a una cantidad igual a $20.106.556 recibidos dentro de 10 años es igual a $1.000.000. Es-tos valores permiten mostrar el efecto ilusorio del dinero, especialmente cuando se está trabajando con tasas de interés elevadas. Vale la pena destacar varios aspectos sobre la relación de equivalencia: 1. En la relación de equivalencia está presente el concepto de interés compuesto o

interés sobre intereses, figura que no siempre está permitida según las disposicio-nes del Código de Comercio (anatocismo). Esto es, en la fórmula (1) está implícita la capitalización de intereses al final del período para el cual se están causando.

2. No se retira cantidad alguna de dinero durante los n años que se están contem-plando; todos los retiros se hacen al final del período n.

3. La tasa de interés permanece constante durante los n años, lo cual era necesario en el pasado para facilitar la realización de los cálculos. Si este no es el caso, se puede utilizar la siguiente relación:

)1(*)1(*............*)1(*)1(* 121 NNN iiiiPF ��

Que se transforma en (1), si las tasas de interés de cada período son iguales.

4. La relación es válida independientemente de la longitud de tiempo que se esté considerando para el período básico, siempre y cuando los intereses se refieran a ese período de tiempo. Un ejemplo aclara lo anterior.

Ejemplo 2.5 Un fondo de inversión liquida intereses diariamente, equivalentes a una tasa nominal anual del 9,75937%, que corresponde a un interés diario del 0.026738%, para un

0 1 2 3 8 9 10años

0 1 2 3 8 9 10años

1.000.000

F10 = 20.106.556


Capítulo 2

año de 365 días. Suponga un depósito de $10.000.000 que se coloca en el banco por 38 días, devengando ese interés diario. La cantidad acumulada al final de los 38 días será:

� ��

10.102.1080102108,1*000.000.10

00026738,1*000.000.10

00026738,01*000.000.10

1

38

3838

3838

3838

��

��

��

F

F

F

iPF d

La suma anterior indica que el monto ganado por concepto de intereses durante el período de 38 días es igual a $102.108.

Una notación comúnmente utilizada para la representación de los factores en las fórmulas de equivalencia es:

� � �niniPF �� 1,,/

Donde F/P se lee F dado P. Esta notación era útil cuando el valor del factor se tenía que encontrar en tablas de factores para un interés i y un número de períodos n, lo cual ha perdido toda vigencia, como consecuencia de los desarrollos en las herra-mientas de computación. De esta forma, la fórmula para la equivalencia, que la mantenemos por propósitos de notación, será:

� niPFPF ,,/�

Ejemplo 2.6 Un fondo de inversión paga un interés del 1,01% mensual. Suponga que se hace una inversión en el fondo por valor de $8.500.000, durante 24 meses, sin realizar retiros durante este período. La cantidad acumulada al final de los 24 meses será:

� ��

10.818.419272755.1*000.500.8

0101,1*000.500.8

0101,01*000.500.8

1

24

2424

2424

2424

��

��

��

F

F

F

iPF m

La cantidad acumulada al final de los 24 meses será de $10.818.419.



Equivalencia presente de una suma futura La expresión anterior, para la determinación de la suma futura equivalente a una su-ma presente, se puede utilizar para encontrar el equivalente presente de una suma futura. Despejando de la expresión básica, se obtiene:

� �nn

i

FP

��

1 (2)

A continuación se presenta la representación gráfica:

Figura 2.5

Un ejemplo aclara la utilización de la expresión anterior. Ejemplo 2.7 Suponga que alguien le ofrece la promesa de entregarle $100 millones dentro de 20 años. Se quiere determinar el valor actual (valor real) de esa promesa, si la tasa de interés de equivalencia es del 35% anual.

� �

� �

357.24727,404

000.000.10035,1

000.000.10035,01

000.000.100

20

20

�

�

�

��

P

P

P

P

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

P=FN/(1+i)N

FN


Capítulo 2

La cifra anterior pone de manifiesto el efecto ilusorio del dinero. El valor actual o real de los $100.000.000 recibidos dentro de 20 años es de $247.357.

En la expresión para encontrar el equivalente presente de una suma futura es intere-sante observar el efecto del tiempo (n) y de la tasa de interés (i). 1. Efecto del tiempo: para la misma suma anterior, se consideran 3 épocas para la

recepción de los $100 millones: 5, 10 y 20 años. Los equivalentes presentes res-pectivos, a una tasa de interés del 35%, son:

Cuadro 2.2

n n)35.01(

1

� P

5 0,223014 22.301.350 10 0,049735 4.973.502 20 0,002474 247.357

Los resultados presentados en el Cuadro 2.2 muestran cómo el equivalente pre-sente de una suma futura disminuye drásticamente cuando esa suma futura se aleja en el tiempo.

2. Efecto de la tasa de interés: considere la suma de $100 millones a recibirse

dentro de 10 años. Se requiere determinar los equivalentes presentes para tres ta-sas de interés diferentes: 20%, 35% y 45%.

Cuadro 2.3

I � �101

1

i� P

20% 0,161506 16.150.558 35% 0,049735 4.973.502 45% 0,024340 2.433.997

Los resultados presentados en el Cuadro 2.3 muestran cómo el equivalente pre-sente de una suma futura disminuye cuando se incrementa la tasa de interés. Cuando las tasas de interés son elevadas, el valor presente de sumas alejadas en el tiempo es muy bajo. Esto hace que proyectos de tardío rendimiento como son los proyectos de desarrollo, difícilmente pasen un examen o estudio de viabilidad económica; y por eso en épocas recesivas es necesario bajar las tasas de interés para lograr una reactivación de la economía.



La representación del factor para hallar el equivalente presente de una suma futura es:

� � �ni

niFP�

�1

1,,/

De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� niFPFP ,,/�

Ejemplo 2.8

Una persona debe acumular en 10 años $38 millones; para esto va a invertir en un fondo de inversión que le ofrece un interés semestral del 6,8%. ¿Cuál es el monto que se debe invertir en el fondo en la fecha cero?

� �

� �

326.194.10727563,3

000.000.38068,1

000.000.38068,01

000.000.38

20

20

�

�

�

��

P

P

P

P

Valor futuro de una serie uniforme Otra relación de equivalencia que puede resultar útil es la correspondiente a la equi-valencia entre una serie uniforme de pagos iguales al final de cada período, durante n períodos, y una suma futura al final de esos n períodos. En la Figura 2.6 se muestra la situación a contemplar en términos gráficos:

Figura 2.6

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

FN =P[(1+i)N-1]/i

A A A A A A

N


Capítulo 2

Donde “A” se refiere al flujo periódico (ingreso o egreso) al final de cada período; por ejemplo, se refiere a anualidades iguales en el caso de que los períodos sean de 1 año. Para propósitos de la presentación se supone, como lo muestra la gráfica, que se trata de egresos o depósitos en un fondo. El equivalente futuro de cada uno de los desembolsos estará dado por:

Cuadro 2.4

Egresos Equivalente futuro

1 � � 11 �� niA

2 � � 21 �� niA

3 � � 31 �� niA

… …

(n-2) � �21 iA �

(n-1) � �11 iA �

N A

Por lo tanto, la suma acumulada al final de los n períodos es igual a:

� �� 111...11 1221 �� iiiiAF nn

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i) se obtiene:

� � � �� 1231 111...111 iiiiiAFi nnn ��

Restando de esta expresión la anterior, se obtiene:

� � � �� 111 �� nnn iAFFi

Despejando F de la expresión anterior:

� �� iiA

Fn

n11 ��

� (3)

Ejemplo 2.9 Suponga que se hacen depósitos a un fondo de inversión por un valor de $25.000 al final de cada mes durante 5 años. El primer depósito se hace dentro de 1 mes, mien-tras que el último se hace al final del mes 60. El fondo paga un interés del 2.5%



mensual; además, los intereses se reinvierten dentro del mismo fondo a la misma tasa de interés. El diagrama de flujo de caja se muestra en la Figura 2.7. La cantidad acu-mulada al final de los 60 meses se calcula de acuerdo con la expresión anterior:

Figura 2.7

� ��

790.399.3025.0

74,994.84025,0

139979,4000.25025,0

1025,01000.25

60

60

60

60

60

�

�

��

��

F

F

F

F

En una hoja electrónica Excel el valor futuro de una serie uniforme se calcula utilizan-do la función “Valor futuro” de un pago periódico, VF (i,n,A), donde i corresponde a la tasa de interés periódica, n al número de períodos y A la anualidad o pago periódi-co. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VF(0,025,60,25.000). Ejemplo 2.10

Considere la situación anterior, pero suponga que los depósitos se hacen en una forma más real, al comienzo de cada período. El primero se hace en el período cero, por lo cual se ga-narán intereses durante los 60 períodos; el segundo al final del año 1 y comienzo del 2, por lo cual se ganarán intereses durante 59 períodos, y así sucesivamente.

0 1 2 3 58 59 60

F

… …

A A A A A A

0 1 2 3 58 59 60


Capítulo 2

Figura 2.8

Una forma de resolver este caso consiste en considerar por aparte el primer depósito, que genera intereses durante 60 períodos, y luego los 59 depósitos restantes, como se muestra a continuación: 1. Depósito en la fecha 0:

� � 995.109025,1*000.25 6060 ��F

Figura 2.9

2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 59 meses. La cantidad acumulada

al final del mes 59 se obtiene aplicando la relación (3):

� ��

477.292.3025,0

1292478,4*000.25025,0

1025,01*000.25

59

59

59

59

�

��

��

F

F

F

0 1 2 3 58 59 60

F

… …

A A A A A A

0 1 2 3 58 59 60



Figura 2.10

En la Figura 2.11 se muestran los dos valores resultantes de lo que se acaba de presentar en 1 y 2; un valor de $3.292.478 al final del mes 59 y un valor de $109.995 al final del mes 60.

Figura 2.11

El valor de los $3.292.478 en el mes 59, al final del mes 60, sería:

� � 790.374.3025,1*5960 �� FF

3. El total acumulado al final del mes 60 sería:

784.484.3790.374.3994.10960 ��F

En la Figura 2.12 se resume el planteamiento del problema y su resultado:

0 1 2 3 58 59 60

F59

… … 0 1 2 3 58 59 60

25.000

… 0 1 2 3 56 57 58 59 60

3.292.478

109.995


Capítulo 2

Figura 2.12

La representación del factor para encontrar el valor futuro de una serie uniforme es:

� � �i

iniAF

n 11,,/

��

Es decir, dada una serie periódica uniforme de valor A, durante n períodos y un interés periódico i, calcular el valor futuro acumulado al final de los n períodos. De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� niAFAF ,,/�

Ejemplo 2.11

Una persona desea ahorrar $1.500.000 mensualmente en un fondo que genera un interés mensual del 1,5%. ¿Cuánto acumulará en el fondo después de hacer 12 de-pósitos, si el primero lo hace en un mes? ¿Cuánto acumulará si el primero lo hace inmediatamente? Si el primer depósito se hace en un mes:

� ��

817.561.19015,0

25,427.293015,0

1195618,1*000.500.1015,0

1015,01*000.500.1

12

12

12

12

12

�

�

��

��

F

F

F

F

Si el primer depósito se hace inmediatamente y siguiendo los pasos indicados ante-riormente se obtiene que:

0 1 2 3 4 56 57 58 59 60

25.000 25.000

3.484.784

meses


1. Depósito en la fecha 0:

� � 427.793.1015,1*000,500.1 1212 ��F

2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 11 meses:

� ��

894.794.17015,0

40,923.266015,0

117794,1*000.500.1015,0

1015,01*000.500.1

11

11

11

11

11

�

�

��

��

F

F

F

F

El valor de la cantidad anterior, al final del mes 12, sería:

� � 817.061.18015,1*1112 �� FF

3. El total acumulado al final del mes 60 sería:

244.855.19817.061.18427.793.112 ��F

Valor presente de una serie uniforme

Para encontrar la expresión del valor presente de una serie uniforme, definida en la misma forma utilizada en la deducción de la expresión (3), se trae a valor presente la suma acumulada al final de los n años, resultante de aplicar la misma expresión (3):

Figura 2.13

0 1 2 3 n-2 n-1 n 0 1 2 3 n-2 n-1 n

P

… …

A A A A A A



Capítulo 2

El resultado correspondiente será:

� ��

�

� �

�

�

�� n

n

ii

iAP

1

11 (4)

Ejemplo 2.12

Considere la misma serie uniforme de pagos vencidos del ejemplo 2.9; esto es una serie uniforme de 60 pagos mensuales por valor de $25.000 cada uno, al final del respectivo mes. Se quiere calcular el valor presente de la serie uniforme, si la tasa de interés de oportunidad es del 2,5% mensual.

� ��

� � �

716.77210999,0

74,994.8439979,4 025,0

139979,4 000.25025,01 025,0

1025,01*000.25

60

60

60

60

60

60

�

�

��

��

�

P

P

P

P

Figura 2.14

En una hoja electrónica de Excel el valor presente de una serie uniforme se calcula utilizando la función valor actual de una serie periódica uniforme, VA(i,n,A), donde i es la tasa de interés, n el número de períodos y A el valor de la serie periódica uni-forme. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VA(0,025,60,25.000).

La representación del factor para hallar el valor presente de una serie uniforme es:

� � �� n

n

ii

iniAP

�

��

1

11,,/

0 1 2 3 58 59 60

772,716

… …

25,000

0 1 2 3 58 59 60



� niAPAP ,,/� Ejemplo 2.13

Considere la misma serie uniforme de pagos anticipados del ejemplo 2.10.

1. Serie uniforme de depósitos para los últimos 59 pagos. El valor presente se obtie-

ne aplicando la relación (4):

� ��

� � �

034.76710731,0

94,311.8229247,4*025,0

1292478,4*000.25025,01*025,0

1025,01*000.2559

59

�

�

��

�

��

P

P

P

P

2. Valor presente de los 60 pagos:

034,792000,25034,767 ��P

En la Figura 2.15 se resume el planteamiento del problema y los resultados del mismo.

Figura 2.15

0 1 2 3 58 59 60

792.034

… …

A A A A A A

0 1 2 3 58 59 60



Capítulo 2

Serie uniforme equivalente a un valor futuro La expresión (3), que corresponde al valor futuro de una serie uniforme, se puede utilizar para encontrar el equivalente en términos de una serie uniforme para una su-ma futura:

Figura 2.16


� � �

� �

�

��

11 ni

iFA (5)

Ejemplo 2.14 Suponga que al término de 6 meses se desea retirar una suma de $6.000.000 de una cuenta de ahorros, depositando una suma constante al final de cada mes. Si el interés que se puede obtener mensualmente es del 1,8%, ¿qué cantidad debe ahorrarse ca-da mes?

� �

� 936.95515932,0*000.000.611297,0

018,0*000.000.6

1018,01

018,0*000.000.6

6

��

�

� �

��

�

�

�

�

��

A

A

A

0 1 2 3 n-2 n-1 n0 1 2 3 n-2 n-1 n ……

A A A A A A

F


0 1 2 3 n-2 n-1 n0 1 2 3 n-2 n-1 n ……

A A A A A A

P

Figura 2.17

En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor futuro se calcula utilizando el comando PAGO (i,n,0,F), donde i es la tasa de interés periódi-ca, n el número de períodos, 0 un indicador de que los pagos son vencidos y F el valor futuro, al final de los n períodos. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería PAGO(0.018,6,0,6.000.000). Si los pagos son vencidos, se utiliza un 1 como indicador; en vez de cero, también se puede dejar en blanco, para pagos vencidos. La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor futuro es:

� � �

�

� �

�

��

11,,/ ni

iniFA


� niFAFA ,,/�

Serie uniforme equivalente a un valor presente

La expresión (4), que corresponde al valor presente de una serie uniforme, se puede utilizar para encontrar la serie uniforme dado un valor presente:

Figura 2.18



Capítulo 2


� ��

�

� �

�

��

�11

1n

n

i

iiPA (6)

Ejemplo 2.15

Se quiere saber cuál es el pago mensual (al final de cada mes) que se debe realizar por un crédito de $6.000.000 a 6 años (72 meses), si la tasa de interés mensual es del 2,3%.

1)023,01()023,01(*023,0

*000.000.6 72

72

��

�A

A = 6.000.000*0,028554 = 171.325

Figura 2.19

En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor presente se calcula utilizando la función PAGO(i,n,P). Para resolver el ejemplo anterior, la fun-ción sería PAGO(0.023,72,6.000.000).

La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor presente, es:

� � ��

�

� �

�

��

��

11

1,,/ n

n

i

iiniPA


� niPAPA ,,/�

0 1 2 3 70 72 0 1 2 3 70 71 72 … …

A = $171.325

P = $ 6.000.000


Valor presente de una serie infinita que tiene un crecimiento constante igual a g

En muchos casos se tiene una situación donde los flujos de caja crecen de un período al siguiente con un crecimiento constante, en forma tal que: FJ = FJ-1 * (1+g), donde g es la tasa de crecimiento periódica. Si el flujo de caja se extiende hasta infinito, se puede encontrar una expresión cerrada que permite calcular el valor presente de la serie, en términos del flujo de caja al final del primer período, la tasa de interés y la tasa de crecimiento. Para encontrar la fórmula a que se hace mención, suponga que el ingreso al final del primer período, D1, es igual a D. El ingreso al final del segundo período, D2, es igual a D*(1+g) El flujo de caja al final del tercer período, D3, es igual a:

223 )1(*)1(* gDgDD ��

El flujo de caja al final del cuarto período, D4, es igual a:

3

34 )1(*)1(* gDgDD ��

En general,

11 )1(*)1(* �

� �� JJJ gDgDD

En la Figura 2.20 se muestra el resumen de la secuencia de ingresos que se compor-tan de acuerdo con el modelo de crecimiento constante, para una serie infinita:

Figura 2.20

0 1 2 3 4 5

D1

D2

D3

D4

D5

��



Capítulo 2

El valor presente de esta serie, en términos generales, sería igual al resultado de traer a la fecha cero cada uno de los pagos, utilizando repetitivamente la expresión (1); en términos resumidos:

� ��

� ��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

�

��

�

��

�

��

�� J

JJ

JJ

JJ

J

k

gD

k

DP

1

1

1 1

1*

1

donde k es la tasa de descuento y � corresponde al símbolo de infinito.

� ��

� ��

�

�

�

�

�

��

��

��

��

�

��

��

��

�� I

I

IJ

J

J

kg

kD

kg

kD

P01

1

11

111

1

En el paso anterior se hizo un cambio de variable, definiendo I=J-1, para tomar la sumatoria desde cero, y poder utilizar el siguiente resultado bien conocido del álgebra clásica:

� �aa

I

I

I

��

�

� 11

0

�

Si valor absoluto de a es inferior a 1; de otra forma la serie es divergente. Por lo tanto,

� � � ��

��

�

�

��

�

�

��

��

kgk

DP

11

1

11

,

si k > g; esto es, si la tasa de descuento o tasa de interés de oportunidad es mayor que la tasa de crecimiento.

� �� gk

Dgkk

kD

P�

��

��

��

��

11

, si k > g

Si k < g, la serie sería divergente y el valor de P sería igual a infinito. ¿Cuál sería la interpretación de esta situación? La expresión anterior es bastante útil en cálculos financieros y cuando se aplica a un flujo infinito de dividendos con un crecimiento constante g se conoce como el modelo de Gordon para calcular el precio de una acción. Este resultado se utilizará poste-riormente; el mismo requiere una consistencia en la definición de parámetros, ya que k y g deben estar ambos en condiciones nominales o ambos en condiciones reales.


Ejemplo 2.16

¿Cuál es el precio de la acción si el primer dividendo de $400.000 será pagado en un año? El crecimiento esperado de la acción es del 7% anual y la tasa interna de opor-tunidad del inversionista es del 18% anual.

� �

633.636.363,11000,0

000.40007,018,0

000.400��

��P

El precio de la acción es de $3.636.363,63.

Valor presente de una serie finita que tiene un crecimiento constante igual a g Condiciones similares al planteamiento anterior, crecimiento constante, salvo que el número de períodos es finito e igual a N. El planteamiento general sería el siguiente:

� ��

�

�

��

��

��

�

�

��

�

��

�

��

NJ

JJ

JNJ

JJ

J

k

gD

k

DP

1

1

1 1

1*

1

Siguiendo un procedimiento similar al utilizado, en el caso finito se llega a la siguiente expresión:

� ��

��

��

��

�

� �

��

��

�N

kg

gkD

P11

1*

Ejemplo 2.17

¿Cuál es el precio de la acción, si el primer dividendo de $600.000 será pagado en un año? El número de dividendos anuales esperado es infinito, el crecimiento esperado de la acción es del 8,5% anual y la tasa interna de oportunidad del inversionista es del 20% anual. ¿Cuál es el precio de la acción anterior, si el número de dividendos anuales esperado es de 20? Si el número de dividendos anuales esperado es infinito:



Capítulo 2

� �

� � 305.217.391,

11500,0000.600

085,0200,0000.600

�

�

��

P

P

P

¿Cuál sería el precio de la acción, si el número de dividendos anuales esperado es de 20?

� ��

� ��

� ��

�

304.521.689,

0,86666* 305.217.391,

13334,01*11500,0

000.600

90417,01*11500,0

000.600

200,01085,01

1*085,0200,0

000.600

20

20

�

�

��

��

��

��

��

��

�

� �

��

��

�

P

P

P

P

P

Serie uniforme equivalente a cantidades que varían de manera uniforme (gradientes)

Suponga que se tiene un flujo de caja que se muestra en la Figura 2.21:

Figura 2.21


Para encontrar la equivalencia entre una serie de sumas futuras cuyo valor aumenta gradualmente en la cantidad g, y una serie uniforme, se utiliza la expresión:

� �

�

� �

�

��

11

1ni

ni

gA (7)

El nuevo diagrama será:

Figura 2.22

Ejemplo 2.18 Encontrar el equivalente en términos de una serie periódica uniforme anual, del si-guiente esquema (i=35%).

Figura 2.23

La serie original es equivalente a la suma de las siguientes dos series:

Figura 2.24

0 1 2 3 n-2 n-1 n…

A A A A A A

0 1 2 3 4 5 6

300 350

400 450

500 550

0 1 2 3 4 5 6

A

0 1 2 3 4 5 6

50 100

150 200

250

0 1 2 3 4 5 6

300



Capítulo 2

Figura 2.25

A2 = g[A/g, 0,35,6] = 50*(1,6698) = 83,4917

A = A1 + A2 = 300 + 83,4917 = 383,49 La representación del factor para hallar el valor de la serie uniforme es:

� � �

�

� �

�

��

11

1,,/ ni

ni

nigA


� nigAgA ,,/�

0 1 2 3 4 5 6

50 100

150 200

250

0 1 2 3 4 5 6

300

A1=300 A2


Resumen de las relaciones de equivalencia

R E S U M E N D E L A S R E L A C I O N E S D E E Q U I V A L E N C I A

En el Cuadro 2.5 se presenta un resumen de las principales relaciones de equivalencia:

Cuadro 2.5

Para encontrar Dado Factor Fórmula Excel

Valor futuro F

Valor presente P

� � �niniPF �� 1,,/ � niPFP ,,/

VF(i,n,VA)

Valor presente P

Valor futuro F

� � �ni

niFP�

�1

1,,/ � niFPF ,,/ VA(i,n,VF)

Valor futuro F

Serie uniforme A � � �

ii

niAFn 11

,,/��

� � niAFA ,,/

VF(i,n,A)

Valor presente P

Serie uniforme A

� � �� n

n

ii

iniAP

�

��

1

11,,/ � niAPA ,,/

VA(i,n,A)

Serie uniforme A

Valor futuro F

� � � 11

,,/��

� ni

iniFA � niFAF ,,/

PAGO(i,n,0,F)

Serie uniforme A

Valor presente P

� � �� 11

1,,/

��

�� n

n

i

iiniPA � niPAP ,,/

PAGO(i,n,P)

Serie uniforme A

Gradiente G

� � �

�

� �

�

��

11

1,,/ ni

ni

nigA � nigAg ,,/

Valor presente, gradiente creciente,

crecimiento constante

infinito

Dividendo del año 1 igual a

D

P= D/(k-g), donde k es

la tasa de descuento y g

el crecimiento

Valor presente, gradiente creciente,

crecimiento constante

finito

Dividendo del año 1 igual a D, número de años igual a N

donde k es la tasa de

descuento, g, la tasa de

crecimiento y N, el

número de años

O B S E R V A C I O N E S R E S P E C T O A L A U T I L I Z A C I Ó N D E L A S R E L A C I O N E S D E E Q U I V A L E N C I A

Algunas observaciones para tener en cuenta al aplicar las relaciones de equivalencia cuyo resumen se acaba de presentar:

� ��

��

��

��

�

� �

��

��

��

��

��

111*


Capítulo 2

a)� Se supone la reinversión de los intereses. Se estarían pagando intereses sobre in-tereses (interés compuesto en oposición al interés simple).

b)� Las relaciones de equivalencia suponen que los intereses se pagan período venci-do; si ese no es el caso no se pueden utilizar directamente. Para el pago de in-tereses anticipados habría que encontrar las equivalencias correspondientes, tal y como se verá posteriormente.

c)� Para la consideración de pagos anticipados en lugar de pagos vencidos, algunas calculadoras y hojas de cálculo permiten hacer fácilmente la conversión, haciendo la indicación correspondiente, sin que el usuario tenga que realizar cálculos adi-cionales.

d)� Las relaciones de equivalencia suponen que la tasa de interés permanece cons-tante durante todo el tiempo del flujo que se está analizando. Esta suposición era crítica cuando no existían las hojas de cálculo, que permiten realizar los cómputos necesarios en el caso de que la tasa de interés varíe, como es usual en una situa-ción de la vida real.

e)� Si la tasa de interés varía período a período, para traer a valor presente una suma futura Fn, al final del período n, habría que utilizar la expresión general, con los factores de descuento individuales para cada período; esto es:

� � � � � � � � � � � � � �� nnnJ

n

iiiiiii

FP

��

�� 1*1*1...*1*...*1*1*1 12321

E J E R C I C I O S R E S U E L T O S

Los siguientes seis ejercicios se presentan para ilustrar en forma resumida la utilización de las relaciones de equivalencia:

1. Suponga un fondo que reconoce un interés del 1.5% mensual. Se van a hacer 48 depósitos al fondo por un valor de $100.000 mensuales durante los próxi-mos 4 años. ¿Cuánto se acumularía en el fondo si el primer depósito se hace dentro de un mes a partir del momento en que la persona se afilia al fondo de inversión?

Para la solución de este problema se aplica directamente la fórmula para en-contrar el equivalente futuro de una serie uniforme mensual, por valor de $100.000, con una tasa de interés del 1.5% mensual, durante 48 períodos de un mes.

� �� 521.956.656529,69*000.100

015.01015,01

*000.100

48

48

48

��

��

F

F


Ejercicios resueltos

2. Para el caso del ejemplo anterior suponga, como es usual, que el primer de-pósito se hace inmediatamente.

No se puede aplicar directamente la fórmula anterior, ya que los pagos se hacen anticipados y no vencidos. Con pequeñas adaptaciones, se puede resol-ver el problema, para lo cual existirían diferentes alternativas. En este ejemplo, se van a considerar dos de ellas.

La más sencilla consistiría en mirar la serie de pagos un período atrás de la fe-cha cero (fecha -1). Desde ese punto del tiempo se ven 48 pagos vencidos, que se acumulan en el mes 47, con un valor total de 6.956.521. Para llevar el valor anterior al mes 48, simplemente habría que multiplicar por (1+0,015), obteniendo un valor acumulado al final del mes 48 de 7.060.869.

Otra forma de resolver el problema sería la siguiente:

Lleve el primer pago a la fecha 48, utilizando la relación 100.000*(1.015)48, lo cual daría 204.347,82. Lleve los 47 pagos restantes, vencidos, si se mira la se-rie de 47 pagos desde la fecha cero, a la fecha 47, utilizando la fórmula correspondiente para n=47, pago de 100.000 y tasa de interés del 1,5% men-sual; esto es,

� �� 194.755.6

015,01015,01

*000.10047

47 ��

�F

Lleve a la fecha 48 el valor anterior, multiplicando por (1+0.015), para obtener 6.856.521,93. El valor acumulado por este segundo método sería igual a: F48 = 6.856.521,93 + 204.347,82 = 7.060.869

Se deja al lector, como ejercicio, encontrar otro método equivalente para re-solver este problema.

3. El dividendo de una empresa para el primer año va a ser de $5.000 por acción,

y se supone que para los siguientes años crece al 18%. El pago de los dividen-dos cada año, se va a concentrar al final del año. ¿Cuál sería el precio actual de la acción si la tasa de interés de oportunidad es del 28% anual y el primer pa-go de dividendos se hace exactamente dentro de un año, y así sucesivamente?

Aplicando la fórmula deducida de crecimiento constante que se denomina co-mo modelo de Gordon, se obtendría:


Capítulo 2

� � � � 000.5018,028,0

000.5�

��

��

gkD

P

El precio actual de la acción sería de $50.000.

4. Un préstamo de $20.000.000 a 48 meses con un interés mensual del 2,2%,

que se paga mes vencido. La cuota mensual que se va a pagar va a ser unifor-me o constante durante los 48 meses y comprende tanto amortización a capital como intereses. ¿Cuál sería la cuota mensual a pagar?

Como los pagos se hacen vencidos y se realizan 48 pagos iguales, se puede encontrar el valor de la cuota a pagar utilizando la fórmula de la equivalencia entre una suma presente y una serie uniforme de 48 pagos mensuales. Para este caso, P = 20.000.000, i = 2,2%, n = 48.

� �� 0622672,0

842123,1*

022,01*22,0

1022,01*000.000.20

48

48

MM ��

��

46138,29*000.000.20 M�

Despejando M, se obtiene el valor de la cuota mensual igual a $678.854

5. Se compra un activo por valor de $100.000.000 y se va a colocar en un con-trato de leasing con una opción de compra del 20% al final del contrato, el cual tiene una duración de 3 años. Los pagos son mensuales, pero vencidos (el primer pago se hace dentro de un mes); la tasa de interés que la empresa de leasing quiere cobrar es del 2.5% mensual; ¿cuál debería ser el canon mensual de arrendamiento, si el mismo va a permanecer constante durante la duración del contrato?

Valor del activo en la fecha 0 = 100.000.000

Valor de la opción de compra en el mes 36 = 20.000.000

Valor actual del activo menos el valor presente de la opción de compra (VNA)

� �53,125.778.91

025,01

000.000.20000.000.100 36 �

��VNA

Este valor se hace equivalente a una serie uniforme de 36 pagos mensuales iguales (canon de arrendamiento), que por pagarse vencidos (primer pago al final del primer mes) permite aplicar directamente la fórmula:



� ��

55625,23*025,01025,0

1025,01*53,125.778.91

36

36

MM ��

��

Despejando M, se obtiene: M = $3.896.126,14, como canon de arrendamiento mensual.

6. ¿Cómo variaría el problema anterior, si el primer pago se hace inmediatamen-

te, esto es, el pago se hace por anticipado?

� �53,125.778.91

025,01

000.000.20000.000.100 36 �

��VNA

Este valor se hace equivalente a una serie uniforme de 36 pagos mensuales iguales (canon de arrendamiento), que por pagarse adelantados (primer pago en la fecha cero) no permite aplicar directamente la fórmula.

Para resolver este problema, se resta el primer pago del VNA, encontrado pre-viamente, y el valor resultante se hace equivalente a una serie de 35 pagos vencidos, también de valor M. En términos notacionales:

� ��

145157,23*025,01*025,0

1025,01*53,125.778.91

35

35

MMMMVNA ��

��

Despejando M, se obtiene:

91.778.125,53 = 24,145157*M

M = $3.801.098 de canon mensual, pagadero por anticipado.


1.� Si la tasa de interés de oportunidad es del 25% anual, ¿cuál es el equivalente

futuro dentro de 6 años de una suma actual de $100.000? ¿Cómo cambiaría el equivalente futuro si la tasa de interés de oportunidad disminuye al 20%. ¿Cómo cambiaría si la tasa de interés de oportunidad fuera del 35%? ($298.598,40; $381.470,73; $605.345,51).

2.� Si la tasa de interés de oportunidad es del 2,5% mensual, ¿cuál es el equiva-lente futuro dentro de 2 años de una suma presente de $100.000 invertida hoy? ¿Cómo cambiaría su respuesta si los intereses se liquidan trimestre venci-do, y la tasa de interés de oportunidad es del 7,5% trimestral? ($180.872,59; $178.347,78).

3.� Suponga un flujo de fondos durante 6 años, con los siguientes valores para cada año, que se supone ingresan al final del año: $1.500.000; $2.000.000;


Capítulo 2

$2.500.000; $3.000.000; $3.500.000; $4.000.000. Su tasa de interés de opor-tunidad es del 25% anual. Usted tiene derecho a recibir ese flujo o a cederlo a un tercero. ¿Cuánto debería cobrar como mínimo, por ceder el flujo de fondos a un tercero? ($7.184.256,00).

4.� ¿Cómo cambiaría el problema anterior si su tasa de interés de oportunidad fuera del 22%? ¿Y si la misma fuera del 30%?. ¿Qué conclusiones sacaría de los resultados encontrados? ($ 7.812.307,17; $ 6.296.933,44).

5.� Si la tasa de interés de un fondo es del 24% anual, ¿cuánto debe invertir al final de cada año durante los próximos 5 años, para acumular al final de dicho período una suma de $50.000.000? ¿Cómo cambiaría su respuesta si los de-pósitos se hacen mensualmente y la tasa de interés mensual es del 2%? ($6.212.385,74; $438.398,29).

6.� Suponga un fondo de inversión que reconoce un interés mensual del 2,1%. Usted planea ahorrar una suma de $50.000.000 al final de 4 años, haciendo 48 depósitos iguales en ese fondo, al final de cada mes, el primero de ellos al mes contado a partir de la fecha actual. ¿Cuál debería ser el monto del depósi-to a realizar? ($613.438,72).

7.� ¿Cómo cambiaría el valor del depósito en el problema anterior si se hacen los mismos 48 depósitos, pero el primero de ellos se hace hoy (fecha “cero”) y así sucesivamente? ($600.821,47).

8.� Una empresa tiene que pagar una indemnización con un valor actual (fecha “cero”) de $100.000.000. Se ha llegado a un acuerdo entre las partes para pagar esa indemnización en 36 pagos mensuales iguales, el primero de los cuales se hará dentro de un mes. Así mismo, se ha acordado como tasa de in-terés a reconocer una del 2,5% mensual. ¿Cuál debería ser el monto de cada pago mensual? ($4.245.158).

9.� ¿Cómo cambiaría el valor del pago mensual en el problema anterior si se hacen los mismos 36 pagos, pero el primero de ellos se hace hoy (fecha “ce-ro”) y así sucesivamente? ($4.141.617,24).

10.� Una compañía de leasing adquiere un activo que implica una inversión de 30.000.000. Lo arrienda a una empresa en forma tal que le permita obtener un rendimiento (antes de impuestos) mensual del 2,8%. Si la vida del activo es de 4 años, con un valor de salvamento nulo, ¿cuál deberá ser el monto del arrendamiento que se debe cobrar? ($1.143.888,43).

11.� Se adquiere un activo con un desembolso de $50.000.000; la vida útil del acti-vo es de 10 años; su valor de salvamento es de $300.000. ¿Cuál es el costo económico equivalente anual por la utilización de ese activo? Suponga una ta-sa de interés de oportunidad del 30%. ($16.166.133,95).

12.� ¿Cuál es el costo económico de utilizar un activo que tiene un valor de $100.000.000, una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $5.000.000? Suponga una tasa de interés de oportunidad del 30%. ($40.505.247,09).



13.� En un fondo que da un rendimiento del 6% trimestral, ¿cuánto se debe depo-sitar al final de cada trimestre para acumular $10.000.000 dentro de cuatro años? ($389.521,44).

14.� El mismo caso del problema anterior, pero cuando los depósitos se hacen al comienzo del trimestre. ($367.473,05).

15.� ¿Cuál es el valor actual de la siguiente serie, a una tasa de interés del 35% (flujos en miles de pesos)? ($39,75).

Figura 2.26

16.� El dividendo de una empresa para el primer año va a ser de $16.000 por ac-ción, para los siguientes años se supone que va a crecer con un crecimiento nominal del 20%. El pago anual se va a concentrar al final del año ¿Cuál sería el precio actual de la acción si la tasa de interés de oportunidad es del 30% anual y el primer pago de dividendos se hace exactamente dentro de un año y así sucesivamente? ($160.000,00).

17.� ¿Cómo cambiaría el problema anterior si los dividendos se pagan al final de cada trimestre en cuatro pagos trimestrales iguales, manteniendo los demás supuestos del problema anterior? Esto es, en el primer año habría 4 pagos tri-mestrales de $4.000 cada uno, en el segundo año, 4 pagos trimestrales de $4.800 cada uno, y así sucesivamente. Además la tasa de interés de oportuni-dad trimestral es del 6,8% y el primer pago de dividendos se hace exacta-mente dentro de un trimestre, y así sucesivamente. ($175.279,12).

18.� Un préstamo de $40.000.000 a 36 meses con un interés mensual del 2,5%, que se paga mes vencido. La cuota mensual que se va a pagar va a ser uni-forme o constante durante los 36 meses y comprende tanto amortización a capital como intereses. ¿Cuál sería la cuota mensual a pagar? ($1.698.063,07).

19.� Un fondo de inversión le reconoce un interés del 2% mensual; usted va a hacer depósitos mensuales, durante los próximos 4 años. Los depósitos que hace cada año son iguales; sin embargo, de un año al otro se va a presentar un incremento del 3% en el valor del depósito. En el primer año se hacen doce depósitos de $200.000; en el segundo año 12 depósitos iguales de $206.000,

0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 10

15 20

25 30

35 40


Capítulo 2

y así sucesivamente. ¿Cuánto se acumularía al final de los 4 años, si no se hace ningún retiro parcial? ($6.361.353,62).

20.� Se compra un activo por valor de $150.000.000 y se va a colocar en un con-trato de leasing con una opción de compra del 15% al final del contrato, el cual tiene una duración de 4 años. Los pagos son mensuales, pero vencidos (el primer pago se hace dentro de un mes); la tasa de interés que la empresa de leasing quiere cobrar es del 2,3% mensual; ¿cuál debería ser el canon mensual de arrendamiento, si el mismo va a permanecer constante durante la duración del contrato? ($4.932.014,89).

[69]

�

Capítulo 3 INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO P R E S E N T A C I Ó N

En el Capítulo 2, al presentar la equivalencia futura de una suma presente P, se de-

mostró que la misma se establecía a través de la relación � �mvm iPF �� 1* , donde iv co-

rresponde al interés para el período básico de pago de intereses y m corresponde al número total de períodos básicos. Por ejemplo, si se trata de un interés nominal del 24% anual, pagadero mes vencido, el interés nominal anual sería del 24%, que al pagarse mes vencido da un interés periódico iv del 2% mensual. Por ello, si se trata de encontrar la suma acumulada al final de 4 años a partir de una suma presente de $100.000, suponiendo que los intereses se pagan mes vencido, la expresión para su cálculo sería:

� � 707.25802,01*000.100 4848 ��F

Observe que si el interés nominal (in) es del 24% anual, el número de veces que se paga el interés mensual en un año, que denominaremos n, es igual a 12; por lo tanto:

n

ii nv �

m = 4*n

F48 = 100.000 * (1+ in/n)4*n = 100.000 * (1+0,24/12)12*4 = 258.707 En la tabla siguiente se muestra la suma acumulada al final de 4 años para diferentes valores del interés nominal y para diferentes frecuencias de pago de interés: diario (n=365), quincenal (n=24), mensual (n=12), trimestral (n=4), semestral (n=2) y anual (n=l). Allí se puede observar que para el mismo interés nominal anual, a mayor fre-cuencia de pago de intereses (mayor valor de n), mayor será la cantidad acumulada al final de los 4 años. Asimismo, se muestra que a medida que aumenta la tasa de interés nominal, se amplían las diferencias entre las sumas acumuladas para un mismo interés nominal, como función de la frecuencia de pago de intereses. Por ello, así se trate del mismo interés nominal, van a existir diferencias significativas dependiendo de la frecuencia de pago de intereses, las cuales son mayores a medida que aumentan las tasas de interés.

[70] [70] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

Cuadro 3.1

Suma inicial 100.000

Plazo 4 años

Interés nominal 12,00% 16,00% 24,00% 28,00% 36,00% 42,00% 48,00%

Suma acumulada

Día vencido 161.595 189.621 261.087 306.354 421.770 536.038 681.236

Quincena vencida 161.414 189.246 259.927 304.505 417.580 528.815 669.293

Mes vencido 161.223 188.848 258.707 302.567 413.225 521.359 657.053

Trimestre vencido 160.471 187.298 254.035 295.216 397.031 494.079 613.039

Semestre vencido 159.385 185.093 247.596 285.259 375.886 459.497 558.951

Año vencido 157.352 181.064 236.421 268.435 342.102 406.587 479.785

La argumentación que hasta ahora se ha presentado, resumida en la tabla, permite introducir uno de los conceptos más importantes en el análisis financiero: el de interés efectivo equivalente a un interés nominal con una frecuencia dada de pago. I N T E R É S E F E C T I V O : P A G O S V E N C I D O S

Suponga una tasa de interés anual i. Si se coloca una cantidad P a la tasa de interés mencionada, al final del año se habrá acumulado una cantidad )1( iP � ; si se coloca la misma cantidad P, a una tasa de interés mensual de i/12, al final del año (con rein-

versión de los intereses) se acumularía una cantidad 12

121 �

��

��

iP .

En general se tiene que:

� �iPi

P �!��

�� 1

121

12

, para i > 0

Esto se puede ver mediante un ejemplo. Suponga una tasa de interés anual i del 24%; entonces:

� � 26824,1024,11224,0

1 1212

��

��

Mientras que: (1+ i) = (1+ 0,24) = 1,24 Con lo anterior se demuestra que, si el interés se computa mensualmente, la suma acumulada al final del año será mayor. Se puede encontrar una tasa efectiva anual


Interés efectivo: pagos vencidos

�

equivalente a una tasa nominal anual del i% con una periodicidad dada de pago, que permita acumular la misma suma al final del año. Teniendo en cuenta el concep-to de equivalencia, esa tasa efectiva (ie) se obtiene a partir de la siguiente igualdad:

i

+ = P +iP e

12

121)1( �

��

��

En otras palabras, la tasa efectiva corresponde a aquella tasa de interés que pagada una sola vez al final del año permitirá acumular la misma cantidad que una tasa no-minal pagadera por período vencido, cuando los intereses devengados se reinvierten. Por lo tanto, la expresión general para el interés efectivo correspondiente a uno no-minal anual igual a i, cuando éste se paga mensualmente y vencido, será:

112

112

��

��

i+ = ie

Ejemplo 3.1 Si se tiene un interés nominal i=36%, pagadero mensualmente al final del mes,

42576,011236,0

112

��

�� + = ie

Para este caso, 42,576% será el interés efectivo anual correspondiente a un interés nominal del 36% anual, pagadero mensualmente.

El caso particular presentado en el ejemplo 3.1 se puede generalizar para cualquier período de tiempo y/o frecuencia de capitalización de intereses. Para ello se definen:

i = Interés nominal anual n = Número de períodos iguales en un año; frecuencia de pago del interés ie = Interés efectivo anual

iv = Interés vencido por período (id si es diario, it si es trimestral, etc.)

= (i/n) Forma de pago: vencido (al final del período)

� � +iPni

+ = P +iP nv

nn

e 11)1( ��

��

[72] [72] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

Entonces, ie = (1+iv)n-1 (8) Ejemplo 3.2 ¿Cuál es el interés efectivo equivalente a un 32% anual pagado trimestralmente?

En el año se tienen 4 trimestres. De esta forma:

%05,363605,01432,0

14

��

�� ei

Ejemplo 3.3 ¿Cuál es el interés efectivo equivalente a un 36% anual pagado semestralmente?

%24,3939240,01236,0

12

��

�� ei

Ejemplo 3.4 Suponga una cuenta de ahorro de un banco, que le paga un interés efectivo anual del 19%; ¿cuál sería el interés diario equivalente a ese interés efectivo del 19%?

� � %1919,011 365 �� diie

Despejando se obtiene:

� �365119,1 di��

� � %047,000047,0119,1 365/1 ��di

Nota: Observe que si en lugar de un interés efectivo anual del 19% se hablara de un 19% nominal anual, computado diariamente, el interés efectivo anual sería del:

%919,2020919,01365

19,01

365

��

�� ei


Interés efectivo: pagos anticipados

�

En el Cuadro 3.1, para diferentes valores del interés nominal y para diferentes fre-cuencias de pago, se observa que a mayor frecuencia de pagos, mayor el interés efec-tivo correspondiente a un mismo interés nominal. Por ello, el orden de mayor a me-nor interés efectivo, en términos de intereses pagados en forma vencida, sería: diario, quincenal, mensual, trimestral, semestral, anual.

Ejemplo 3.5 Encontrar el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un pago de interés del 18% nominal anual, pagadero mes vencido.

Primero se calcula el interés efectivo equivalente a un interés nominal del 18% anual, pagadero mes vencido:

%562,1919562,011218,0

112

��

�� ei

Luego, se encuentra el interés que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés del 19,562% efectivo anual.

� �41)19562,01( tvi��

Despejando,

� � 04567,0119562,1 4/1 ��tvi

Por lo tanto, el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés del 18% nominal anual pagadero mes vencido, sería igual a: 4* itv = 4*0,0456 = 0,18271=18,271% Por ello, un interés nominal anual del 18,271%, pagadero trimestre vencido, es equi-valente a un interés del 18% nominal anual, pagadero mes vencido. I N T E R É S E F E C T I V O : P A G O S A N T I C I P A D O S

Para el cálculo de intereses efectivos cuando se pagan por anticipado, se procede de la siguiente forma (caso de un préstamo): i = Interés nominal anual ia= Interés anticipado por período (iad si es diario, iat si es trimestral, etc.)

[74] [74] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

ia = (i/n) Forma de pago: anticipado (al comienzo del período) Suponga el caso de un préstamo, a un período (p. ej., un trimestre, un mes), donde el interés se paga al comienzo del período. La situación se describe en el siguiente flujo:

Figura 3.1

Cantidad recibida: P – (in/n)*P Cantidad pagada al final del período: P Costo efectivamente pagado:

� �� PniP

PniPP

�

��

inicial Préstamoinicial préstamo-pagada Cantidad

Despejando se encuentra el costo que se paga realmente, en términos de su equiva-lente vencido:

a

a

alno

alno

e ii

n

in

i

i�

��

�1

)1( min

min

El interés anterior corresponde al equivalente vencido del interés cobrado anticipa-damente. Para el cálculo del interés efectivo se utilizará este interés en la expresión (8). Un ejemplo aclara lo que se acaba de exponer. Ejemplo 3.6

Suponga un interés del 36% nominal anual cuyos intereses se pagan por trimestre anticipado. Para su cálculo, se siguen tres pasos:

�

� ��

� �



�

1.� Interés trimestral: 0,36/4 = 0,09, pagado o cobrado (según sea el caso) por anti-cipado.

2.� Equivalente vencido para el interés pagado por anticipado:

%890,909890,0

436,0

1

436,0

��

�

�

��

�

�

��tvi

En otras palabras, un interés del 9% trimestral pagadero o cobrado por anticipado (comienzo del trimestre), es equivalente a uno del 9.890% pagadero o cobrado ven-cido (al final de trimestre). 3.� Interés efectivo

� � aeie .%83,454583,0109890,01 4 ��

Ejemplo 3.7

¿Cuál es el interés efectivo correspondiente a uno nominal del 32% pagadero por se-mestre anticipado? 1.� Interés semestral: 16% pagado por anticipado. 2.� Interés semestral vencido equivalente a uno del 16% semestral pagadero por an-

ticipado:

%048,1919048,016,01

16,0��

��

��

��svi

3.� Interés efectivo:

� � %72,414172.0119048,01 2 ��ei

Ejemplo 3.8

¿Cuál es el interés efectivo correspondiente a un interés nominal del 30%? si los in-tereses se pagan:

[76] [76] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

1.� Mes vencido:

� � %49,343449,01025,011

1230,0

1 1212

��

�� ei

2.� Trimestre vencido:

� � %55,333355,01075,011430,0

1 44

��

�� ei

3.� Día vencido:

� � %97,343497.01000822,011365

30,01 365

365

��

�� ei

4.� Trimestre anticipado:

a)� Interés trimestral anticipado: ita= 0,075 b)� Interés trimestral vencido equivalente:

%108,808108,0075,01

075,0��

��

��

��tvi

c)� Interés efectivo:

� � %59,363659,0108108,01 4 ��ei

5.� Semestre anticipado:

a)� Interés semestre anticipado: isa= 0.15 b)� Interés semestre vencido equivalente:

%647,1717647,015,01

15,0��

��

��

��svi

c)� Interés efectivo:

� � %41,383841,0117647,01 2 ��ei



�

Ejemplo 3.9

¿Cuál es el interés nominal que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés del 20% nominal anual, pagadero trimestre anticipado? Primero se calcula el interés que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un pago trimestral anticipado del 5%.

%263,505263,005,01

05,0

41

4 ��

��

��

��

�

�

��

�

�

��

n

n

i

i

itv

Ahora se calcula el interés efectivo anual equivalente a un pago trimestral vencido del 5,263%, que a su vez es el interés efectivo, correspondiente a un interés nominal del 20% pagadero trimestre anticipado.

� � %773,2222773,0105263,01 4 ��ei

En el siguiente paso, se calcula el interés que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés efectivo del 22,773%.

� � 22773,11 12 �� mi

de donde, imv = 0,01724 = 1,7244%

Por lo tanto el interés nominal que, pagadero mes vencido, es equivalente a un in-terés del 20% nominal anual, pagadero trimestre anticipado, sería igual a:

12*0,01724 = 0,20693 = 20,693% Entonces, un interés del 20,693% nominal anual pagadero mes vencido es equivalen-te a un interés del 20% nominal anual pagadero trimestre anticipado. En el siguiente cuadro se muestra el ordenamiento para diferentes tasas de interés nominal y para diferentes frecuencias de pago de interés (vencidos y anticipados):

��

[78] [78] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

Cuadro 3.2 Intereses efectivos�

Interés nominal 12,00% 16,00% 24,00% 28,00% 36,00% 42,00% 48,00%

Año anticipado 13,64% 19,05% 31,58% 38,89% 56,25% 72,41% 92,31%Semestre anticipado 13,17% 18,15% 29,13% 35,21% 48,72% 60,23% 73,13%Trimestre anticipado 12,96% 17,74% 28,08% 33,68% 45,83% 55,85% 66,75%Mes anticipado 12,82% 17,48% 27,43% 32,75% 44,12% 53,35% 63,21%Quincena anticipada 12,78% 17,41% 27,28% 32,53% 43,72% 52,76% 62,40%Continuo 12,75% 17,35% 27,12% 32,31% 43,33% 52,19% 61,60%Día vencido 12,75% 17,35% 27,11% 32,30% 43,31% 52,16% 61,56%Quincena vencida 12,72% 17,29% 26,97% 32,10% 42,95% 51,64% 60,84%Mes vencido 12,68% 17,23% 26,82% 31,89% 42,58% 51,11% 60,10%Trimestre vencido 12,55% 16,99% 26,25% 31,08% 41,16% 49,09% 57,35%Semestre vencido 12,36% 16,64% 25,44% 29,96% 39,24% 46,41% 53,76%Año vencido 12,00% 16,00% 24,00% 28,00% 36,00% 42,00% 48,00%

Los valores que se muestran en la tabla permiten las siguientes conclusiones:

a)� Para una misma tasa de interés nominal, el ordenamiento de mayor a menor interés

efectivo es: año anticipado, semestre anticipado, trimestre anticipado, mes anticipado, quincena anticipada, interés continuo, día vencido, quincena vencida, mes vencido, trimestre vencido, semestre vencido y año vencido.

b)� Para una misma tasa de interés nominal, las diferencias existentes para diferentes fre-

cuencias de pago se aumentan en la medida en que se incrementa la tasa de interés nominal.

c)� En el caso colombiano, donde es usual cobrar intereses anticipados, las diferencias

fueron muy grandes en la época (período comprendido entre 1985-1998) cuando los intereses nominales fluctuaron entre el 30% y el 48% nominal anual. Hoy, con intereses más bajos, las diferencias han disminuido significativamente.

I N T E R E S E S E N D Ó L A R E S O E N U N I D A D E S D E V A L O R R E A L ( U V R )

Para el cálculo del interés efectivo en pesos de una cuenta en dólares, se utiliza la si-guiente expresión, cuya deducción se deja al lector como ejercicio: (1+Rent efectiva anual en pesos) = (1+Rent efectiva anual en dólares)*(1+Devaluación efectiva anual) Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la de-valuación a la rentabilidad efectiva en dólares, lo cual es un error, que aumenta con el incremento de la tasa de interés y/o de la devaluación.


Intereses en dólares o en unidades de valor real (UVR)

�

En el caso de créditos en unidades de valor real, se tendría una expresión similar, te-niendo en cuenta que la UVR se ajusta por la inflación: (1+Costo efectivo anual en pesos) = (1+Costo efectivo anual en UVR)*(1+ Inflación efectiva anual) Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la in-flación a la rentabilidad efectiva en UVR, lo cual también es un error, que aumenta con el incremento de la tasa de interés en UVR y/o con la inflación.

Ejemplo 3.10

Suponga un Certificado de Depósito a Término, CDT, en dólares con un rendimiento del 5% nominal anual pagadero semestre vencido. La devaluación efectiva anual proyectada es del 12%. ¿Cuál sería la rentabilidad efectiva en pesos?

Rentabilidad efectiva anual en dólares = � � %0625,5050625,01205,01 2 ��

Devaluación efectiva anual = 12% Rentabilidad efectiva en pesos = � � � � %67,171767,0112,01*050625,01 ��

La rentabilidad efectiva en pesos del CDT en dólares sería del 17,67%

Ejemplo 3.11 Suponga que una entidad financiera en el exterior ofrece un rendimiento en dólares del 7,5% nominal anual pagadero trimestre vencido. La devaluación efectiva anual proyectada es del 4% efectiva anual. ¿Cuál sería el rendimiento equivalente efectivo anual en pesos?

Rentabilidad efectiva anual en dólares = � � %7136,7077136,014075,01 4 ��

Devaluación efectiva anual = 4% Rentabilidad efectiva en pesos = � � � � 12022,0104,01*077136,01 ��

La rentabilidad efectiva en pesos del CDT en dólares sería del 12,0221% �Ejemplo 3.12

Suponga un crédito en unidades de valor real (UVR) con un costo efectivo del 12% en UVR, con una inflación proyectada para el año del 10% efectivo anual. ¿Cuál es el costo efectivo del crédito en pesos?

� � � � 1 anualefectiva Inflación1* UVR en efectivo Costo+1pesos en efectivo Costo �� %20,231 10,01* 0,12+1pesos en efectivo Costo ��

[80] [80] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

Ejemplo 3.13

Suponga un crédito en unidades de valor real (UVR) con un costo del 10,55% NASV (nominal anual semestre vencido) en UVR, con una inflación proyectada para el año del 6,5% efectivo anual, ¿Cuál es el costo efectivo del crédito en pesos?

Costo efectivo en UVR = � � %8283,10108283,0121055,01 2 �� 1 anualefectiva Inflación1* UVR en efectivo Costo+1pesos en efectivo Costo �� %0320,181065,01* 0,108283+1pesos en efectivo Costo ��

T A S A S D E I N T E R É S R E A L E S Y N O M I N A L E S . C R E C I M I E N T O S R E A L E S Y N O M I N A L E S

Suponga la siguiente notación: iR = tasa de interés efectiva en reales iN = tasa de interés efectiva en nominales inf = Inflación efectiva anual

La relación existente entre tasas de interés nominales y tasas de interés reales está dada por la siguiente expresión:

inf)+(1 * )i+(1 = )i+(1 RN

A su vez, suponga la siguiente notación: gR = crecimiento efectivo en reales gN = crecimiento efectivo en nominales inf = Inflación efectiva anual

La relación existente entre el crecimiento efectivo en nominales y el crecimiento efec-tivo en reales está dada por la siguiente expresión:

inf)+(1 * )g+(1 = )g+(1 RN

Algunos ejemplos aclaran lo que se acaba de exponer:

Ejemplo 3.14 Suponga una tasa real efectiva del 8% y una inflación anual del 10%. ¿Cuál sería la tasa efectiva en nominales?


Interés continuo

�

18,80%0,18801-0,10)+(1 * 0,08)+(1 = iN �� Nuevamente, se comete una equivocación cuando a la tasa en reales se suma la infla-ción, para encontrar la tasa de interés en nominales. El error aumenta con el aumento de la tasa de interés y/o con el aumento de la inflación.

Ejemplo 3.15 El pronóstico de crecimiento de la economía para el próximo año es del 4% efectivo en reales, y la inflación proyectada para el próximo año es del 10%. ¿Cuál sería el crecimiento proyectado de la economía en nominales?

14,40%0,14401-0,10)+(1 * 0,04)+(1 = gN ��

I N T E R É S C O N T I N U O

En el mundo de los negocios no es usual cobrar un interés continuo. Sin embargo, esta modalidad se utiliza con alguna frecuencia en documentos académicos. Una forma simple de aproximarse al interés continuo es ir disminuyendo el período de pa-go o aumentando la frecuencia de pago, hasta que la primera llegue a cero y la se-gunda a infinito. A manera de ejemplo, mes vencido (frecuencia: 12 meses); día ven-cido (frecuencia: 365 días); hora vencida (frecuencia: 8.760 horas); minuto vencido (frecuencia: 525.600 minutos). Con el fin de encontrar la expresión para el interés continuo, se hacen las siguientes consideraciones: La fórmula general para encontrar el equivalente futuro de una suma presente dentro de k años, si los intereses se pagan en n períodos cada año, es:

nk

nkn n

iPF

*

1* ��

��

Si el interés se liquida diariamente (día vencido), la expresión anterior se convierte en:

kn

ki

PF365

365 3651* �

�

��

� ��

Recordando que,

kikn

n

ne

ni

Lim ��

��

"#1

[82] [82] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

donde e = 2,71828, corresponde a la base de los logaritmos naturales; por lo tanto, si n tiende a infinito (computación continua del interés), y se utiliza un interés i calcula-do continuamente, el valor futuro dentro de k años de una suma presente P estaría dado por:

ki

k ePF *�

Si k=1, entonces iePF *1 �

Por ello, para calcular el interés efectivo correspondiente a un interés nominal del i%, computado continuamente, se utilizaría la expresión:

� � ie ei ��1 , donde i es el interés nominal anual.

Ejemplo 3.16 ¿Cuál es el interés efectivo, correspondiente a un interés nominal anual del 24%, computado en forma continua?

%12.272712.0124.0 �� eie


Resumen

�

R E S U M E N

En el Cuadro 3.3 se muestran, a manera de resumen, las relaciones principales para calcular intereses pagaderos en forma vencida y en forma anticipada.

Cuadro 3.3

Para encontrar Dado Fórmula

Interés vencido por período, iv

Interés nominal anual, i Forma de pago: final del período n

iiv �

Interés anticipado por período, ia

Interés nominal anual, i Forma de pago: principio del período n

iia �

Interés vencido por período, iv

Interés anticipado por período, ia � � a

av i

i

nin

ii

��

��

11

Interés efectivo anual, ie

Interés vencido por período, iv � � 11 �� nve ii

Interés efectivo anual, ie

Interés anticipado por período, ia

1.Interés vencido por período 2.Interés efectivo por período

� � 11 �� nve ii

Interés efectivo en pesos, ie$

Interés efectivo (anual) en dólares (ieUS$) y devaluación efectiva anual (dev)

� � � � � � dev+i+i usee �� 1*11 $$

Interés efectivo en pesos, ie$

Interés efectivo (anual) en UVR(ieUVR) e inflación efectiva anual (inf)

� � � � � �inf1*11 $ �� eUVRe +i+i

Tasa de interés no-minal, iN

Tasa efectiva (anual) de interés real (iR) e inflación efectiva anual (inf)

� � � � � �inf1*11 �� RN +i+i

Tasa de crecimiento nominal, gN

Tasa de crecimiento (anual) en reales (gR) e inflación efectiva anual (inf)

� � � � � �inf1*11 �� RN +g+g

[84] [84] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�


La solución de los siguientes ocho ejercicios resume la aplicación de los conceptos aprendidos en este capítulo. 1.� ¿Cuál es el interés efectivo de un préstamo en pesos, con una tasa de interés

nominal anual del 24%, que se cobra trimestre anticipado?

Interés trimestre vencido equivalente: %38298,60638298,006,01

06,0��

��

��

��tvi

� � %082,2828082,010638298,01 4 ��ei

El interés efectivo del préstamo en pesos es del 28,08%.

2. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente

a un interés del 18% nominal anual, pagadero semestre anticipado? Primero se encuentra el interés efectivo equivalente a un interés del 18% nominal

anual, pagadero semestre anticipado:

Interés semestre vencido equivalente: %89011,90989011,009,01

09,0��

��

��

��svi

Interés efectivo anual: � � %758,2020758,010989011,01 2 ��ei

Interés trimestre vencido equivalente: � � %8284,4120758,01 4/1 ��tvi

Interés nominal anual, pagadero trimestre vencido: 4*0,048284% = 0,19313 = 19,313% Por lo tanto, un interés del 19,313% nominal anual pagadero trimestre vencido es equivalente a un interés del 18% nominal anual pagadero semestre antici-pado.

3. ¿Cuál es el interés efectivo en términos nominales equivalente a un interés efecti-

vo en términos reales del 10%, si la inflación efectiva actual es del 10%?

1,21 0,10)+(1 * 0,10)+(1 = )i+(1 N �

Por lo tanto, el interés efectivo en términos nominales sería del 21%, diferente a sumar la tasa efectiva real y la inflación, lo cual daría un 20%.



�

4. ¿A qué es equivalente, en términos nominales, un crecimiento de la economía del 3,8% anual en términos reales, si la inflación proyectada es del 11% efectivo anual?

1,152180,11)+(1 * 0,038)+(1 = )g+(1 N �

Por lo tanto, el crecimiento en términos nominales sería del 15,218% efectivo anual, diferente a sumar el crecimiento real y la inflación, lo cual daría un 14,8%.

5. En el capítulo anterior se encontró una expresión cerrada para el valor presente

de una serie infinita que crece de un período al siguiente con un modelo de cre-cimiento constante. La fórmula encontrada conocida con el nombre del modelo de Gordon, es:

gk

DP

�� 1

Con frecuencia surge una discusión respecto de si se deben utilizar valores nomi-nales o valores reales. No importa si se trabaja con valores reales o nominales, siempre y cuando se sea consistente; esto es, si se trabaja con valores reales, los tres términos en la fórmula, D1, k y g, deben estar expresados en valores reales; si se trabaja en valores nominales, los mismos tres términos deben estar expresados en valores nominales.

Demostrar que el resultado es el mismo, trabajando en valores nominales o en valores reales, siempre y cuando se sea consistente en los términos definidos en el párrafo anterior.

Las relaciones entre tasas de interés y crecimientos nominales y reales serían las siguientes: � � � � � �inf1*11 �� RN +k+k

� � � � � �inf1*11 �� RN +g+g

Por lo tanto, � � � � � �RRNN gkgk �� *inf1

Entonces, la expresión para P, en nominales, sería:

� � � �� RR

N

NN

N

gk

D

gk

DP

��

��

*inf1

[86] [86] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

Recordando que � �inf1�ND

corresponde al valor del dividendo del primer año, ex-

presado en reales, que denominamos DR, la demostración quedaría completa, conduciendo a:

RR

R

gk

DP

��

6. ¿Cuál debería ser el interés en pesos de una cuenta de ahorro, que liquida in-

tereses diariamente, para que el interés efectivo fuera el mismo de una cuenta en dólares que paga un interés del 4,5% nominal anual, liquidado diariamente. La devaluación efectiva proyectada para el año en curso es del 12%.

%4,60250,04602511-365

0,045+1US$

365

��

��enefectivoInterés

Interés efectivo de la cuenta en pesos= (1+0,046025)*(1+0,12)-1=0,171548 =17,1548% Interés diario en pesos de la cuenta de ahorro = (1+0,171548)(1/365)-1 = 0,0004339

Interés nominal de la cuenta de ahorro = 365*0,0004339 = 0,15836 = 15,836% Por lo tanto, la cuenta de ahorros debería ofrecer un interés del 15,836% nomi-nal anual, liquidado diariamente.

7. ¿Cuál es el costo efectivo en pesos de un préstamo en dólares con una tasa de

interés nominal anual del 8%, que se paga trimestre vencido? La devaluación del último trimestre ha sido del 3,5% efectivo y se va a utilizar para proyectar la de-valuación de todo el año.

Tasa efectiva del préstamo en dólares: %2432,80824322,01408.0

14

��

��

Devaluación proyectada para el año: � � 14,7523%= 0,147523 10,0351 4 ��

Costo efectivo del préstamo en pesos: (1,147523)*(1,0824322) - 1 = 0,242115 El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 24,21%.

8. ¿Cuál es el costo efectivo en pesos de un préstamo en UVR, con una tasa del

12% nominal anual, pagadera mes vencido sobre UVR, si la inflación proyectada es del 10%?



�

Costo efectivo del préstamo en UVR: 12.682%0,126825112

0,121

12

��

��

Costo efectivo del préstamo en pesos = � � � � 0,239507 = 1- 0,10+1*0,126825+1

El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 23,95%, bien diferente a sumar la tasa efectiva en UVR y la inflación efectiva, lo cual daría 22,68%.


1. Considere un negocio en el cual usted invierte hoy $8.000.000, para recibir, en

forma garantizada, $8.300.000 dentro de dos meses. a)� ¿Cuál es la rentabilidad esperada en el negocio, para los dos meses del

mismo? (3,75%). b)� ¿Cuál es la rentabilidad efectiva del negocio? (24,71%). c)� ¿Se justificaría invertir en este negocio, si la tasa de interés de oportunidad

fuera del 20%? (Sí). 2. ¿Cómo cambiaría el negocio planteado en el problema 1, si se demoran 15

días, adicionales a los dos meses, en entregarle los $8.300.000 que le prome-tieron? (3,75%, 19,62%, No).

3. Suponga una inversión de $10.000.000. ¿Cuánto acumulará al final de tres años (suponiendo reinversión automática de intereses) en un fondo, con una tasa nominal anual de interés del 22%, si los intereses los pagan: a)� Día vencido ($19.344.082,69), año de 365 días. b)� Quincena vencida ($19.289.838,93), para 24 quincenas en el año. c)� Mes vencido ($19.232.624,38). d)� Trimestre vencido ($19.012.074,86). e)� Trimestre anticipado ($19.715.976,73). f)� Mes anticipado ($19.466.792.88).

4. Un fondo de inversión le ofrece un rendimiento del 20% efectivo anual. Usted va a hacer depósitos mensuales, el primero de los cuales se haría en la fecha de hoy (fecha cero); el valor de cada depósito mensual es de $100.000. Usted espera permanecer en el fondo de inversión por 3 años, haciendo 36 depósitos dé $100.000, ¿Cuál sería la suma acumulada al final de los 3 años, si usted no hace ningún retiro del fondo? ($ 4.828.026,46).

5. Usted está considerando invertir $5.000.000 en un CDT de un banco, para lo cual ha investigado 4 instituciones que le ofrecen las siguientes alternativas: a)� Una tasa de interés del 18% nominal anual pagadera trimestre anticipado. b)� Una tasa de interés del 18,5% nominal anual pagadera trimestre vencido. c)� Una tasa de interés del 18,2% nominal anual pagadera mes vencido. d)� Una tasa de interés del 17% nominal anual pagadera semestre anticipado.

[88] [88] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

�

¿Cómo ordenaría las alternativas de inversión que le están ofreciendo los 4 bancos? ¿Cuál sería su selección? (Orden: a, b, c y d, selección: a).

6. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero semestre vencido, es equiva-lente a un interés del 21% nominal anual pagadero mes anticipado? (22,34%).

7. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero trimestre anticipado, es equi-valente a un interés del 24% nominal anual pagadero mes vencido?(23,07%).

8. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero semestre anticipado, es equi-valente a un interés del 22% nominal anual pagadero día vencido? (20,82%).

9. ¿Cuál es el interés nominal en pesos que, pagadero trimestre vencido, es equi-valente a un interés en dólares del 6% nominal anual pagadero mes vencido? Suponga una devaluación efectiva anual del 12,5%. (18,16%).

10. ¿Cuál es el interés nominal anual en dólares que, pagadero mes vencido, sería equivalente a un interés en pesos del 18% nominal anual pagadero trimestre anticipado? Suponga una devaluación efectiva del 12%. (7,10%).

11. ¿Cuál es el valor de las cuotas mensuales que se deben pagar a un concesiona-rio por un carro que vale $30.000.000 si se paga una cuota inicial del 40% y el concesionario financia el resto 3 años, con un interés efectivo del 28%? ($715.121,72).

12. Un crédito bancario a 3 años por valor de $20.000.000, con un interés efecti-vo del 28% anual, se va a amortizar en 36 cuotas mensuales iguales durante la vigencia del crédito; la primera cuota se paga un mes después del desembolso. ¿Cuál será el valor de la cuota a pagar cada mes? ($794.579,69).

13. Resuelva el problema anterior, suponiendo que las cuotas van a subir un 0,5% cada mes; esto es, la primera cuota que usted debe calcular sería igual a M; la segunda igual a M* 1,005; la tercera igual a M* 1,0100, y así sucesivamente. ($735.233,50).

14. Suponga un crédito en dólares, a 2 años, con una tasa de interés nominal anual del 10% en dólares, pagadera trimestre vencido. Para los próximos tres años se espera una devaluación efectiva anual del 12%. ¿Cuál sería el costo efectivo del crédito en pesos? ¿Cuál sería el riesgo de tomar ese crédito en dólares frente a un crédito en pesos? (23,63%, riesgo de la devaluación del peso frente al dólar).

15. Suponga una línea de crédito para financiamiento de vivienda en unidades de valor real (UVR), con una tasa de interés sobre UVR del 11% nominal anual pagadera mes vencido. La inflación esperada para los próximos años es del 11%. ¿Cuál sería el costo efectivo del crédito en pesos? (23,84%).

16. Una empresa va a pagar dividendos anuales una vez al final del año; el primer pago de dividendos, por valor de $35.000 por acción, se hará al año a partir de la fecha actual y así sucesivamente. Se espera que los dividendos en los próximos años crezcan a una tasa constante en reales del 3,5% anual; la infla-ción esperada para los próximos años es en promedio del 12%. La tasa de interés de mercado a la que se van a descontar los dividendos es del 28%

[89] [89]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S �

efectivo anual (en nominales). Usando el modelo de crecimiento constante de los dividendos, ¿cuál sería el valor actual de la acción? ($289.735,10).

17. El Banco de la República fijó como tasa máxima de interés para financiamiento de vivienda una del 13% nominal anual pagadera mes vencido sobre unidades de valor real (UVR). La inflación esperada para el año en curso es del 11%. ¿Cuál sería la tasa de interés equivalente, para una línea de financiamiento en pesos, que cobra los intereses mensualmente? (20,73%).

18. Suponga una línea de crédito para pequeña y mediana empresa, con una tasa de interés real del 12% nominal anual, pagadera mes vencido. Se está trami-tando un crédito por valor de $30.000.000, que se va a pagar en 36 cuotas iguales durante la vigencia del crédito, la cual es de 3 años. ¿Cuál sería el valor de cada cuota, si se utiliza para su determinación la inflación proyectada para el próximo año, que es del 9%? ($1.126.178,54).

19. Un fondo de inversión reconoce un interés del 20% nominal anual, calculado en forma continua. Usted va a invertir $10.000.000 en ese fondo, los cuales va a dejar ahí por los próximos 3 años. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al fi-nal de esos tres años? ($18.221.118,00).

20. Usted tiene tres alternativas de financiamiento: a)� Un crédito en dólares con una tasa de interés del 11% efectivo anual, li-

quidada mes vencido. La devaluación esperada es del 12%. b)� Un crédito en pesos, con una tasa de interés del 23,5% nominal anual,

pagadero mes vencido. c)� Un crédito en UVR, con una tasa de interés del 13% nominal anual, paga-

dero mes vencido. La inflación esperada es del 10%. ¿Cuál sería su selección? ¿Qué factores influyeron en la misma? (Selección: al-

ternativa a con un costo de financiamiento del 24,32%).


[91]

Capítulo 4

INDICADORES PARA MEDIR LA BONDAD ECONÓMICA DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN La determinación de la viabilidad económica de un proyecto de inversión requiere la proyección del flujo de fondos del proyecto durante su vida útil y la construcción de un conjunto de indicadores para medir la bondad económica del proyecto. En este capítulo se aborda el tema de los indicadores más importantes para medir la bondad económica de un proyecto de inversión o de financiamiento, tales como valor presen-te neto, tasa interna de retorno, relación beneficio-costo y costo anual equivalente, enfatizando el alcance de los mismos y su interpretación, lo cual es especialmente importante para entender su utilización en el proceso de toma de decisiones. Inicial-mente no se va a discutir la construcción del flujo de fondos para medir la rentabilidad del proyecto en sí y la rentabilidad del capital propio aportado al proyec-to, tema que será abordado en el Capítulo 7 de este libro. La construcción de los indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión, que se presentan en este capítulo, es una extensión de los conceptos presentados en los capítulos 2 y 3 de este libro, y como tal la parte computacional es bastante fácil, especialmente si se dispone de ayudas tales como calculadoras finan-cieras y/o hojas electrónicas, por ejemplo Excel. Por ello, el aporte más importante de este capítulo está en la interpretación de cada uno de los indicadores, sus limitaciones y su utilización en el proceso de toma de decisiones, para evitar conclusiones equivo-cadas a las cuales se puede llegar si no se tienen claros los conceptos.

V A L O R P R E S E N T E N E T O

Definición e interpretación del valor presente neto

El valor presente neto es el resultado algebraico de traer a valor presente, utilizando una tasa de descuento adecuada, todos los flujos (positivos o negativos) relacionados con un proyecto. Ejemplo 4.1 Si la tasa de interés de oportunidad es del 35%, ¿cuál es el valor presente neto para el proyecto que corresponde al diagrama de flujo mostrado en la Figura 4.1, para un horizonte de 5 años? Los flujos se muestran al final de cada año.

[92]

Capítulo 4


Figura 4.1

VPN (i) = -1.000.000 + 500.000 [P/A, i = 0,35, n = 5]

� �nn

ii

i

��

��1

1)1(000,500000,000,1VPN

VPN (i) = -1.000.000 + 500.000 * 2,21996 = 109.980,7 Si la tasa de interés de oportunidad es del 35%, el valor presente neto del proyecto es de 109.980,7. La pregunta importante se relaciona con el significado de la cifra obte-nida anteriormente. El valor presente neto corresponde a una cifra relativa adicional a lo que se obtendría al invertir en las oportunidades convencionales (para el ejemplo, aquellas con un ren-dimiento del 35%). En términos generales, si el flujo de fondos de un proyecto descontado a la tasa de interés de oportunidad es igual a B (VPN(i = TIO) = B), entonces el valor de B sería la magnitud adicional de valor a precios de la fecha cero, que el proyecto generaría res-pecto a las oportunidades convencionales, que tienen un rendimiento igual a la tasa de interés de oportunidad. Esta interpretación se puede ver más clara en los siguien-tes cuatro puntos:

a)� Suponga que la inversión de una suma P durante un horizonte de tiempo dado

en las alternativas convencionales, con una tasa de interés de oportunidad dada, permite acumular al final de este período una cantidad FA.

b)� Por otro lado, se tiene un proyecto con una inversión de P pesos en la fecha cero

y con una vida útil igual al período considerado anteriormente. El flujo de fondos


Valor presente neto

del proyecto se descuenta a una tasa de interés igual a la tasa de interés de opor-tunidad y nos da un valor igual a B.

c)� Los flujos de caja que libera el proyecto reinvertidos a la tasa de interés de opor-

tunidad permitirían acumular, al final de la vida útil del proyecto, una cantidad FP. d)� La diferencia entre FP, la cantidad que permite acumular el proyecto, y FA, la can-

tidad que permiten acumular las oportunidades convencionales (FP - FA), traída a valor presente a la tasa de interés de oportunidad, sería igual a B, que es el valor presente neto del proyecto.

Para el ejemplo bajo análisis, la situación a que se hace referencia es:

a)� La inversión inicial de $1.000.000, hecha a la tasa de interés de oportunidad del

35%, permitiría acumular al final de los 5 años una cantidad igual a $4.484.033,43.

b)� El valor presente neto del proyecto descontado a la tasa de interés de oportuni-

dad del 35% resultó igual a $109.980,7. c)� Los flujos de caja liberados por el proyecto bajo análisis, reinvertidos a la tasa de

interés de oportunidad, permitirían acumular al final de los 5 años, que corres-ponde a la vida útil del proyecto, una cantidad igual a $4.977.190,62.

FP = 500.000 * [(1+0,35)5-1]/0,35 = 4.977.190,62

d)� La diferencia al final del año 5 entre lo que permite acumular el proyecto ($4.977.190,62) y lo que permite acumular la inversión en las oportunidades convencionales ($4.484.033,43) es igual a $493.157,19, que traída a valor pre-sente a la tasa de interés de oportunidad del 35% resulta igual a $109.908,7, que es precisamente el valor presente neto del proyecto bajo análisis.

En este caso, por invertir en el proyecto y no en las oportunidades convencionales se obtienen $109.980,7 adicionales (en pesos de la fecha 0) al valor presente que se tendría si en vez de invertir en el proyecto se invirtiera en las oportunidades conven-cionales de la empresa, esto es, en aquellas que determinan la tasa de interés de oportunidad. En otras palabras, si la tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 35%, y alguien ofrece una prima para que se le ceda el proyecto anterior, el valor mínimo de dicha prima debería ser de $109.980,7. Si el costo de capital fuese del 35%, el proyecto anterior generaría una ganancia neta en términos de valor presente de $109.980,70; o lo que es lo mismo, la magnitud de

[94]

Capítulo 4


valor agregado a la empresa por el proyecto sería de $109.980,70. Esta sencilla inter-pretación del valor presente neto descontado a una tasa de interés igual al costo de capital es la base del concepto moderno de EVA1, que se analizará posteriormente. Por lo tanto, para definir la conveniencia económica de un proyecto de inversión se tiene la siguiente regla de decisión:

Si VPN > 0, el proyecto es conveniente, ya que agrega valor. Si VPN < 0, el proyecto no es conveniente desde el punto de vista económico, ya que destruye valor. Un VPN > 0, significa que el proyecto genera un beneficio adicional al que generan las oportunidades convencionales de la empresa (cuando se usa como tasa de des-cuento a la tasa de interés de oportunidad) o un beneficio económico neto con respecto al costo de financiación (tasa de descuento igual al costo de capital de la empresa). Por lo tanto, proyectos con valor presente neto positivo agregan valor a una empresa; lo contrario ocurre con proyectos con un valor presente neto negativo.

Caso ilustrativo

1.� Proyecto A: Suponga que se tiene una tasa de interés de oportunidad del 35% y considere un proyecto cuyos flujos de caja se pueden representar en el siguiente esquema (flujos en miles de pesos):

Cuadro 4.1

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.000 1.500 2.000 2.500 2.800 3.000

VPN (i=35%) = 1.249.364,2 2.� Inversión B: Suponga que existe una alternativa que consiste en invertir

$3.000.000 al 35% de interés, con el flujo de caja mostrado en el Cuadro 4.2, en miles de pesos

Cuadro 4.2

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.050 1.050 1.050 1.050 1.050 4.050

1 EVA, Economic Value Added, es una marca registrada de Stern Stewart & Co.


Claramente el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 4.2 tiene un rendimiento del 35%.

La diferencia entre el proyecto A y esta inversión B en miles de pesos está dada por:

Cuadro 4.3

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo 0.0 (50) 450 950 1.450 1.750 (1.050)

El valor presente de la diferencia, a una tasa del 35% será: VPN = 1.249.364,2 El valor presente de la diferencia permite interpretar al valor presente neto como una cantidad relativa, correspondiente al valor presente de la diferencia acumu-lada al final de la vida útil del proyecto, entre los flujos del proyecto y los de cualquier inversión cuyo rendimiento sea igual a la tasa de descuento utilizada (p. ej., la tasa de interés de oportunidad).

Variación del valor presente neto con la tasa de interés

Suponga que se está considerando el proyecto A del caso ilustrativo. El siguiente cua-dro muestra cuál sería el valor presente neto para el proyecto si cambia la tasa de interés de oportunidad:

Cuadro 4.4

Tasa de interés de oportunidad VPN (TIO)

0% 9.800.000,010% 5.790.925,120% 3.367.991,330% 1.818.106,535% 1.249.364,240% 778.272,750% 51.851,9 60% (473.468,8)70% (864.833,9)80% (1.164.010,7)90% (1.397.901,4)

En este caso se puede observar claramente cómo disminuye el valor presente neto cuando se incrementa la tasa de interés de oportunidad, como consecuencia del me-

Valor presente neto

[96]

Capítulo 4


nor peso que tendrían los flujos alejados en el tiempo. De modo simultáneo se obser-va el corte, cuando el valor presente neto pasa de positivo a negativo, que corresponde precisamente a la tasa interna de retorno del proyecto, concepto que se presenta y analiza posteriormente. La conclusión principal está relacionada con la menor probabilidad que tiene un proyecto de inversión de resultar factible desde el punto de vista financiero, cuando se aumentan las tasas de interés, enfatizando la importancia de tasas de interés bajas para motivar a que la gente invierta en proyec-tos de inversión, especialmente cuando se trata de reactivar una economía después de una recesión. En la Figura 4.2 se muestra la curva del valor presente neto como función de la tasa de descuento, para el proyecto que se ha venido analizando.

Figura 4.2 Valor Presente Neto, como función de la tasa de interés.

Proyecto de inversión

T A S A I N T E R N A D E R E T O R N O

Definición y cálculo de la tasa interna de retorno

La tasa interna de retorno corresponde a aquella tasa de interés que hace igual a cero (0) el valor presente neto de un proyecto.

Ejemplo 4.2 Para el ejemplo 4.1 se tendría: VPN (i) = -1.000.000+500.000[P/A, i, n = 5]

-2.000.000

0

2.000.000

4.000.000

6.000.000

8.000.000

10.000.000

12.000.000

0% 20% 40% 60% 80%

Val

or P

rese

nte

Net

o

Tasa de interés

100%


Por lo tanto, la tasa interna de retorno corresponde a aquella tasa de interés que sa-tisface la siguiente ecuación: 500.000 [P/A, i, n = 5] = 1.000.000 [P/A, i, n = 5] = 2 � ��

21

115

5

��

��ii

i

Buscando la tasa de interés que hace válida la ecuación anterior se encuentra un valor i, igual a: 0,4104. Por consiguiente, la tasa interna de retorno correspondiente al ejemplo es 41,04%. En el pasado la tasa interna de retorno se obtenía a través de un proceso de prueba y error denominado interpolación, similar al que se describe en el Cuadro 4.4, lo cual era bastante dispendioso. Hoy las herramientas de computación han resuelto cualquier dificultad computacional para encontrar tanto el valor presente neto como la tasa interna de retorno.

Ejemplo 4.3

¿Cuál es la tasa interna de retorno para el proyecto A en el cuadro 4.1? La gráfica del valor presente neto, como función de la tasa de interés de oportunidad, muestra que el valor presente neto se vuelve igual a cero para una tasa de interés del 50,85%, que es precisamente la tasa interna de retorno, obtenida en este caso a través de una solución gráfica de la ecuación. En el caso del proyecto A en el cuadro 4.1, la tasa interna de retorno fue la solución a la siguiente ecuación: VPN (i)=0= -3000 +1.000/(1+i) +1.500/(1+i)2 + 2.000/(1+i)3 +…+3.000/(1+i)6

La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado seis, que puede tener seis posibles soluciones, no obstante que en la mayoría de proyectos existe una sola solución a la ecuación. La solución a la ecuación anterior para encontrar la tasa inter-na de retorno a través de Excel se hace utilizando la función TIR, que se cubrirá posteriormente.

Ejemplo 4.4

Encontrar la tasa interna de retorno para el proyecto que corresponde al siguiente diagrama de flujos:

Tasa interna de retorno

[98]

Capítulo 4


Figura 4.3

VPN = -10.000 + 250 [P/A, i, n = 6] + 10.000[P/F, i, n = 6] = 0

� ��

000,101

1000,10

1

11250 66

6

��

� �

�

��

�

�

�

�

�

��

iii

i

Si i = 0,022 el lado izquierdo será igual a 10.166.90. Si i = 0,028 el lado izquierdo será igual a 9.836,40.

Por lo tanto, el valor de i que hace válida la ecuación se encuentra entre 0,022 y 0,028. Escogiendo un valor de i = 0,025 se obtiene un valor para el lado izquierdo igual a 10.000. Por lo tanto, la tasa interna de retorno para el proyecto en cuestión es del 2,5% (i = 0,025). En general para un proyecto de inversión con una vida útil de n años, y con flujos de fondos FJ, j=1,2,…,n-1, n, para cada uno de los años del proyecto, y una inversión I0 en la fecha cero, la expresión general para el valor presente neto, descontado a una tasa de interés i, sería la siguiente:

i)+(1F

+...+ i)+(1

F +

i)+(1F

+ i)+(1

F + I - = VNP(i) n

n3

32

210

Para encontrar la tasa interna de retorno se resuelve la siguiente ecuación:

0 i)+(1

F +...+

i)+(1F

+ i)+(1

F +

i)+(1F

+ I - nn

33

221

0 �

La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado n, que se resuelve a través de métodos numéricos (p. ej., interpolación o prueba y error), no obstante que hoy en día las ayudas computacionales existentes (calculadoras, hojas de cálculo) hacen que el método de solución sea relativamente transparente al usuario.

0 1 2 3 4 5 6

250

10.000

10.000


Sin embargo, no se puede olvidar que una ecuación polinomial de grado n puede tener hasta n raíces, tema que se volverá a plantear posteriormente. Interpretación de la tasa interna de retorno

Entonces, ¿cuál es el significado de la tasa de interna de retorno? La tasa interna de retorno es la rentabilidad de los fondos que realmente se encuentran invertidos en el proyecto, o la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso, mientras el mismo se encuentre invertido en el proyecto. Con frecuencia se habla de la tasa interna de retorno como la rentabilidad del pro-yecto. En un sentido estricto esto será cierto si los fondos que libera el proyecto se reinvierten a una tasa de interés igual a esa tasa interna de retorno. Esto es, la rentabilidad final del proyecto durante un cierto período depende finalmente de la forma como se inviertan los fondos que libera el proyecto en fechas anteriores a su culminación. Como se mencionó anteriormente, la tasa interna de retorno es la rentabilidad del proyecto, interpretada como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras el mismo se encuentre invertido en el proyecto. Por ello es necesario distinguir entre dos conceptos:

a)� La rentabilidad del proyecto interpretada, como se acaba de mencionar, esto es la

rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras se encuentre invertido en el mismo.

b)� La rentabilidad de la inversión durante la vida útil del proyecto, que tiene en

cuenta lo que permite hacer el proyecto (generación de unos flujos de fondos) y la reinversión de los flujos fondos que libera el proyecto, que se hace precisamen-te a la tasa de interés de oportunidad.

Considere el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 4.5:

Cuadro 4.5

Período Flujo

0 (4.500.000)1 2.000.0002 2.000.0003 2.500.0004 3.000.0005 3.500.000


[100]

Capítulo 4


Para el proyecto anterior, la tasa interna de retorno se calcula a partir de la expresión:

0i)+(1

3.500.000

i)+(1

3.000.000+

i)+(1

2.500.000 +

i)+(1

2.000.000 +

i)+(12.000.000

+ 4.500.000 - = VNP(i)

543

2

�

�

Resolviendo la ecuación por prueba y error, o utilizando la función TIR de Excel, se obtiene: TIR = 0,4342 = 43,42% La interpretación de la tasa interna de retorno como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras se encuentre invertido en el proyecto, se pue-de observar en el Cuadro 4.6 (se considera que el rendimiento de cualquier peso invertido en el proyecto es igual a la tasa interna de retorno):

Cuadro 4.6

Año Monto inversión, comienzo del año

(a)

Retiro al final del año

(b)

Intereses

(c)=(a)*0,4342

Retiro de capital al final del año

(d)=(b)-(c)

Saldo inversión

(a)-(d)

1 4.500.000 2.000.000 1.953.969 46.031 4.453.9692 4.453.969 2.000.000 1.933.981 66.019 4.387.9503 4.387.950 2.500.000 1.905.315 594.685 3.793.2654 3.793.265 3.000.000 1.647.094 1.352.906 2.440.3595 2.440.359 3.500.000 1.059.641 2.440.359 0

El siguiente ejemplo aclara aún más el concepto de la tasa interna de retorno.

Ejemplo 4.5

Figura 4.4

0 1 2 3

5,123

10,000


La tasa interna de retorno, es del 25%, ya que: VPN(i =0,25) = -10.000 + 5.123 * [P/A,0,25,3] = 0

VPN(i =0,25) = -10.000 + 5.123 * 1,952 = 0

Cuadro 4.7

Período Saldo acumulado al principio del período

Intereses ganados durante el período

Saldo al final del período

Retiros al final del período

0-1 10.000,00 2.500,00 12.500,00 5.123,00 1-2 7.377,00 1.844,25 9.221,25 5.123,00 2-3 4.098,25 1.024,56 5.123,00 5.123,00

Esto aclara el significado de la tasa interna de retorno: como el interés compuesto que ganan los dineros que se mantienen invertidos en el proyecto, durante el tiempo que se mantengan invertidos. En este sentido, la tasa interna de retorno se interpreta como la rentabilidad interna del proyecto. ¿Cómo determinar la verdadera rentabilidad de la inversión? ¿Cuál es el rendimiento que se obtiene de los 10.000 durante los tres años que dura el proyecto? Para res-ponder estas preguntas se debe establecer cuál es la cantidad total de dinero que se puede acumular al cabo de 3 años al invertir 10.000 en el proyecto y reinvertir los dineros que se van liberando a la tasa de interés de oportunidad del inversionista (p. ej., 20%). Al finalizar el primer año se reciben 5.123, los cuales, reinvertidos a la tasa del 20% anual compuesto durante 2 años, acumulan:

� � 7.377,12 = (1,2)*5.123 0,2+1 * 5.123 22 �

Al final del segundo año se reciben 5.123 los cuales reinvertidos a la tasa del 20% anual durante 1 año, acumulan al final del período considerado:

� � 6.147,6= (1,2)*5.123 =0,2+1 * 5.123

La cantidad total acumulada al final del tercer año, con las posibilidades de reinver-sión que tiene nuestro inversionista, es igual a:

7.377,12 + 6.147,6 + 5.123 = 18.647,72

El proyecto de inversión resultante, considerado bajo las oportunidades de reinversión disponibles, será equivalente a:


[102]

Capítulo 4


Figura 4.5

Para calcular la rentabilidad de los $10.000 durante los tres años, se procede de la siguiente forma:

10.000*(1+i)3 = 18.647,72 (1+i) = (1,864772)(1/3) = 1,2309 i = 0,2309 = 23,09%

El proyecto de inversión resultante, teniendo en cuenta el proyecto inicial y las opor-tunidades de reinversión disponibles para los flujos de caja que libera el proyecto, permite que el capital original tenga un rendimiento del 23,09% anual. En otras pala-bras, mientras un peso se encuentre invertido en el proyecto, su rentabilidad será igual a la tasa interna de retorno. Una vez que el proyecto libera un peso, éste se reinvierte a la tasa de interés de oportunidad. Los $10.000 iniciales tendrán una ren-tabilidad promedio diferente a la tasa interna de retorno, durante los tres años de la vida útil del proyecto, ya que hay que tener en cuenta la forma como se invierten los fondos liberados por el proyecto. Al tener en cuenta esa reinversión, se obtiene una rentabilidad del 23,09%, que resulta de lo que permite hacer el proyecto, a través de los flujos de caja liberados, combinado con la reinversión de los fondos que genera el proyecto a la tasa de interés de oportunidad. Si la reinversión se hace a la tasa interna de retorno se tendrían los siguientes resultados:

5.123 * (1+0,25)2 = 8.004,69

5.123 * 1,25 = 6.403,755.123 = 5.123,00Total acumulado al final del tercer año = 19.531,44

El proyecto considerado, con una alternativa de reinversión al 25% anual, sería equi-valente al que se muestra en la Figura 4.6:


Figura 4.6

� � 19.531,4431 * 10.000 �+i

� � � � 1,2500041,953144 1 3/1 ��+i i = 0,250004 = 25%

Ejemplo 4.6

Considere nuevamente el caso del proyecto A en el cuadro 4.8 (valores en miles de pesos):

Cuadro 4.8

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.000 1.500 2.000 2.500 2.800 3.000

Como la tasa interna de retorno corresponde a la tasa de interés que hace igual a ce-ro el valor presente neto, en este caso se plantea la siguiente ecuación:

6543

2

i)+(1

3.000.000

i)+(1

2.800.000

i)+(1

2.500.000+

i)+(1

2.000.000 +

i)+(1

1.500.000 +

i)+(11.000.000

+ 3.000.000 -0 = VNP(i)

��

�

Resolviendo la ecuación anterior se encuentra que: TIR = 0,5086 = 50,86% La tasa interna de retorno es del 50,86% y corresponde a la rentabilidad que el pro-yecto le permitirá devengar a cualquier peso invertido en el mismo durante el tiempo que se encuentre invertido, que será diferente a la rentabilidad de los 3.000 durante el período de 6 años, cuyo cálculo se deja como ejercicio al lector.

0 1 2 3

19.531,44

10.000


[104]

Capítulo 4


Proyectos con múltiples tasas internas de retorno

Como se mencionó la tasa interna de retorno para un proyecto con una inversión inicial I0 y con unos flujos FJ, J=1,2,…,n, durante la vida útil del proyecto, es la solu-ción a la ecuación:

0 i)+(1

F +...+

i)+(1F

+ i)+(1

F +

i)+(1F

+ I - nn

33

221

0 �

La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado n que puede tener hasta n raíces, lo cual podría complicar el cálculo y la interpretación de la tasa interna de re-torno en algunas situaciones particulares. En la mayoría de los casos, solamente se va a presentar una raíz real; ¿cómo recono-cer la existencia potencial de una o más raíces? Para ello se define un proyecto de inversión puro, como uno en el cual hay un período de inversión al comienzo seguido por unos flujos positivos; o un proyecto de financiamiento puro, como uno en el cual se contabilizan unos ingresos al comienzo (desembolsos del crédito), seguidos por unos flujos negativos (pago de intereses y amortización del crédito). En ambos casos, solamente existe un cambio en el signo o en la dirección de los flujos representando el proyecto, lo cual permite asegurar que solamente existe una raíz real, que se puede calcular e interpretar tal y como se ha mencionado hasta este momento. Cuando hay varios cambios de signo o de dirección en los flujos de fondos que con-forman el diagrama de flujos, éste se denomina “no convencional”; y puede haber varias tasas de interés que hacen igual a cero el valor presente neto. Esto es, puede haber varias tasas internas de retorno. El número potencial de tasas internas de retor-no o de raíces es equivalente al número de cambios de signo en el flujo.

Figura 4.7

a)� Proyecto de inversión puro b) Proyecto no convencional

Una sola raíz Podría haber dos raíces

En la Figura 4.7 que se acaba de mostrar, en el proyecto a) (izquierda), se puede ase-gurar que solamente hay una raíz (un solo cambio de signo); mientras que en el proyecto b) (derecha), podría haber hasta dos raíces ya que hay dos cambios de sig-no, lo cual no quiere decir que haya necesariamente dos raíces reales, puesto que


depende de las magnitudes involucradas; una raíz puede ser real y la otra imaginaria. Cuando se sospecha la presencia de tasas múltiples (p. ej., varios cambios de signo en el diagrama de flujo del proyecto), se deberá proceder a graficar el valor presente neto del proyecto como función de la tasa de interés, para revisar su presencia, ya que usualmente las herramientas computacionales calculan una sola tasa o se blo-quean ante una situación de esta naturaleza. En presencia de tasas múltiples se pierde la interpretación de la tasa interna de retor-no a que se hizo referencia, y habrá que analizar cada situación en particular para poder interpretar los valores obtenidos. Por ejemplo, el proyecto b, mostrado en la gráfica (proyecto no convencional), se podría analizar como un proyecto de inversión inicialmente y como un proyecto de financiamiento posteriormente. Para ilustrar el problema de tasas múltiples considere el siguiente proyecto (flujos en miles de pesos): Tasa de interés de oportunidad = 35%

Cuadro 4.9

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 Flujo 0 -7.000 15.000 8.000 -20.000 -15.000 14.500 5.000

VPN (i= 0,35) = (62.598,5)

Cuadro 4.10

Tasa de interés de oportunidad VPN

35% (62.598,5)0% 500.000,05% 16.064,2

10% (179.850,1)15% (228.952,3)20% (208.833,5)25% (161.536,0)30% (109.152,1)35% (62.598,5)40% (26.595,5)45% (2.503,6)50% 10.059,455% 12.304,760% 5.762,665% (7.992,2)70% (27.480,5)75% (51.382,9)80% (78.559,5)85% (108.048,6)90% (139.052,6)95% (170.919,9)100% (203.125,0)105% (235.249,7)


[106]

Capítulo 4


El flujo descrito presenta tres cambios de signo, es decir, pueden existir tres tasas in-ternas de retorno, tal y como aquí ocurre, cuya magnitud se puede observar en la Figura 4.8.

Figura 4.8

Tasas múltiples de rentabilidad

Los valores aproximados de las tasas internas de retorno son 5,27%, 45,72% y 62,39%. Cuando se presenta el problema de múltiples tasas internas de retorno es recomen-dable utilizar para la evaluación de alternativas de inversión los métodos de valor presente neto o costo anual equivalente.

R E L A C I Ó N B E N E F I C I O - C O S T O

La relación beneficio-costo se calcula como el cociente entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos para una tasa de interés i. La expresión general para su cálculo está dada por:

i

i

i

i

egresos los de presente Valoringresos los de presente Valor

=CB

Cuando la relación beneficio costo es mayor que 1 (el valor presente de los ingresos supera al valor presente de los egresos), se justifica el proyecto desde el punto de vis-ta económico ya que esto equivale a decir que el valor presente neto es positivo. Para el proyecto A resumido en el cuadro 4.11 se tendría (flujos en miles de pesos):

-300.000

-200.000

-100.000

0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%

��

��

��

� ��

� �

��


Costo anual equivalente (CAE)

Cuadro 4.11

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.000 1.500 2.000 2.500 2.800 3.000

Valor presente de los ingresos (i = 0,35) = 4.249.364,2

Valor presente de los egresos (i = 0,35) = 3.000.000,0

(BENEFICIO-COSTO)i = 1,42

Como la relación (beneficio-costo), a una tasa de interés del 35%, es mayor que 1, el proyecto se justificaría desde el punto de vista económico, para esa tasa de interés de oportunidad.

C O S T O A N U A L E Q U I V A L E N T E ( C A E )

Para explicar el costo anual equivalente se suponen tres alternativas de inversión que proporcionan un mismo servicio. Los beneficios para cada una de esas alternativas son los mismos y no se pueden cuantificar. Se quiere decidir por la alternativa de mínimo costo. La tasa de interés de oportunidad es del 35% (i=0,35). Las alternativas se muestran en el Cuadro 4.12:

Cuadro 4.12

Alternativa A Alternativa B Alternativa C

Inversión 4.000.000 5.000.000 6.000.000Operación y mantenimiento por año 1.200.000 800.000 500.000Vida útil (años) 6 6 6Valor al final 0 0 0CAE de la inversión 1.677.039 2.096.298 2.515.558Costo anual total 2.877.039 2.896.298 3.015.558

El costo anual equivalente de la inversión corresponde a las 6 anualidades equivalen-tes al monto de la inversión para cada alternativa, con un interés del 35%; por ejemplo, para determinar el CAE de la inversión para la alternativa A, se tiene:

CAEA= P*(A/P,i,n) = 4.000.000*[0,35*(1+0,35)6]/[(1+0,35)6-1] = 1.677.038

Para una tasa de interés de oportunidad del 35%, la alternativa más económica de proporcionar el servicio es la A, ya que representa el costo total anual equivalente más bajo.

[108]

Capítulo 4


En el Cuadro 4.13 se presenta un análisis de sensibilidad de la decisión, para diferen-tes tasas de interés de oportunidad.

Cuadro 4.13

Tasa de interés de oportunidad

Alternativa A Alternativa B Alternativa C Decisión

0,15 2.256.947,6 2.121.184,5 2.085.421,4 C 0,20 2.402.823.0 2.303.528,7 2.304.234,5 B 0,25 2.555.278,0 2.494.097,5 2.532.917,0 B 0,30 2.713.577,2 2.691.971,5 2.770.365,8 B 0,35 2.877.038,7 2.896.298,4 3.015.558,1 A 0,40 3.045.040,4 3.106.300,5 3.267.560,6 A 0,45 3.217.021,4 3.321.276,7 3.525.532,0 A 0,50 3.392.481,2 3.540.601,5 3.788.721,8 A 0,55 3.570.976,8 3.763.721,0 4.056.465,2 A 0,60 3.752.118,1 3.990.147,6 4.328.177,1 A 0,65 3.935.563,6 4.219454,5 4.603.345,4 A

Los resultados anteriores muestran la forma como puede cambiar la decisión, al variar la tasa de interés de oportunidad. O R D E N A M I E N T O D E A L T E R N A T I V A S M U T U A M E N T E E X C L U Y E N T E S

El problema de ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y no siempre se analiza en la forma debida. Un ejemplo permitirá hacer la correspondiente aclaración: Considere las alternativas de inversión que se muestran en las Figuras 4.9, 4.10 y 4.11, las cuales son mutuamente excluyentes: A:

Figura 4.9

0 1 2 3

294.833

500.000


Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes

B: Figura 4.10

C:

Figura 4.11 Si la tasa de interés de oportunidad fuera del 30%, ¿cuál será el ordenamiento prefe-rencial de las tres alternativas? 1. Utilizando el criterio del valor presente neto: VPNA(i=0,30) = -500.000 + 294.833 [P/A, i=0,30,n=3]

VPNA(i=0,30) = -500.000 + 535.450 = 35.450

VPNB(i=0,30) = -1.000.000 + 629.358 [P/A, i=0,30,n=3]

VPNB(i=0,30) = -1.000.000 + 1.142.985,2 = 142.985,2

VPNC(i=0,30) = -1.200.000 + 3.153,700 [P/F, i=0,30, n=3]

VPNC(i=0,30) = -1.200.000 + 1.435.457 = 235.457,4

El ordenamiento correcto de las alternativas será C > B > A, lo cual indica que se prefiere la alternativa C a las demás.

0 1 2 3

629.358

1.000.000

0 1 2 3

3.153.700.

1.200.000

[110]

Capítulo 4


2. Utilizando el criterio de la tasa interna de retorno:

Proyecto A: VPNi = 0 = -500.000 + 294.833[P/A,i,n=3]

Entonces, TIRA = 0,35

Proyecto B: VPNi = 0 = -1.000.000 + 629.358[P/A,i,n=3]

Entonces, TIRB = 0,40

Proyecto C: VPNi = 0 = -1.200.000 + 3.153.700[P/F,i,n=3]

Entonces, TIRC = 0,38

El ordenamiento de las alternativas será B > C > A, e indica que se prefiere la alterna-tiva B a las demás, lo cual es un ordenamiento incorrecto como se demostrará a continuación. Observe la existencia de una aparente inconsistencia entre el ordenamiento produci-do por el valor presente neto y el producido por la tasa interna de retorno. La inconsistencia se deriva del hecho de que las magnitudes involucradas en las tres al-ternativas son diferentes. Para determinar el ordenamiento correcto se debe tener en cuenta la cantidad acumulada al tercer año, si se dispone de una misma cantidad de dinero en el período cero, y se contempla tanto la inversión en el proyecto como en aquellas oportunidades convencionales que corresponden a la tasa de interés de oportunidad del 30%. Si se dispone de 1.200.000 en el período cero, las cantidades acumuladas serían: Proyecto A e inversión de 700.000 en la fecha 0 al 30%:

Cantidad acumulada = 294.833+294.833(1,3)+294.833(1,3)2+700.000(1,3)3 Cantidad acumulada = 2.714.283,70 Proyecto B e inversión de 200.000 en la fecha 0 al 30%:

Cantidad acumulada = 629.358+629.358(1,3)+629.358(1,3)2+200.000(1,3)3 Cantidad acumulada = 2.950.538,42 Proyecto C sin inversión adicional en la fecha 0: Cantidad acumulada = 3.153.700,00 Teniendo en cuenta la cantidad acumulada al final del año 3, partiendo de la misma magnitud y considerando simultáneamente cada proyecto y las oportunidades con-


Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes

vencionales de inversión, el ordenamiento preferencial es C > B > A. Este ordena-miento coincide con el ordenamiento producido por el valor presente neto. Esto era de esperarse, si se tiene en cuenta su significado (recuerde su sentido relativo con respecto a las oportunidades convencionales, esto es, aquellas que corresponden a la tasa de interés de oportunidad). Al utilizar el criterio del valor presente neto, se supo-ne implícitamente que los fondos que libere el proyecto o cualquier cantidad en exceso a la que requiere el proyecto se invierten a una tasa de interés igual a la tasa de interés de oportunidad. Por eso, el criterio del valor presente neto siempre genera el ordenamiento correcto, en el caso de alternativas mutuamente excluyentes, con la misma vida útil, aun en el caso de que los montos iniciales de inversión sean diferentes. Nota: Si las cantidades acumuladas al final del tercer año, se traen a valor presente y se resta 1.200.000, precisamente se obtiene el valor presente neto: Proyecto A: 2.714.283,7*0,4551 – 1.200.000 = 35.450,0 Proyecto B: 2.950.538,4*0,4551 – 1.200.000 = 142.985,2 Proyecto C: 3.153.700,0*0,4551 – 1.200.000 = 235.457,4 La tasa interna de retorno produce el ordenamiento correcto si se consideran las al-ternativas diferenciales; esto es, si se consideran las diferencias involucradas en las inversiones originales y se comparan las alternativas por pares. Alternativa B - Alternativa A: (B-A):

Figura 4.12

VPN(B-A) = -500.000+334.505[P/A, i,n=3] = 0

VPN(B-A) = � ��

031

11505.334000.500

3

3

��

��

�

�

��

i

i

TIR(B-A) = 44,92%

[112]

Capítulo 4


El proyecto diferencial tiene una TIR mayor al 30%; esto indica que la inversión adi-cional de 500.000 que requiere el proyecto B se justifica cuando se compara con el proyecto A, dado que en el proyecto B esta cantidad genera un rendimiento mayor que el que se generaría en las oportunidades convencionales. Entonces B > A. Alternativa C - Alternativa B: (C-B):

Figura 4.13

� � � � � � � �0

1

342,524,2

1

358,6291

358,629000,200VPN 32B-C �

��

��

��

iii

TIR(C-B) = 0,3604= 36,04% > 0,30

Por lo tanto, se justifica la inversión adicional que requiere el proyecto C, cuando se le compara con el proyecto B; esto es, C > B, Por lo tanto, C > B > A. Al comparar la tasa interna de retorno con el valor presente neto, la comparación re-sulta favorable al segundo de los indicadores, especialmente si se tiene en cuenta que: a)� El valor presente neto es más fácil de calcular que la tasa interna de retorno, no

obstante que esto ha perdido importancia con las herramientas modernas de computación.

b)� Pueden existir tasas internas de retorno múltiples, lo cual complica su utilización e

interpretación. c)� En el caso de alternativas mutuamente excluyentes con vidas iguales, el valor pre-

sente neto siempre lleva al ordenamiento correcto de ellas, tal y como se acaba de demostrar. No ocurre lo mismo con la tasa interna de retorno aplicada direc-tamente.


Teniendo en cuenta lo anterior, surge la pregunta sobre la utilización de la tasa inter-na de retorno como un indicador usual para medir la conveniencia financiera de un proyecto de inversión. ¿Por qué no utilizar únicamente el valor presente neto? La res-puesta a esta pregunta o inquietud se relaciona con la preferencia que tienen los inversionistas a utilizar directamente un indicador de rentabilidad, con el cual están más familiarizados y con una presentación intuitiva mejor para ellos que el valor pre-sente neto, cuya interpretación en términos de valor relativo o adicional no siempre es fácilmente comprensible.

O R D E N A M I E N T O D E A L T E R N A T I V A S C O N D I F E R E N T E V I D A Ú T I L

El método de valor presente neto, como se ha presentado, permite comparar proyec-tos de igual duración. En el caso de vidas útiles diferentes, se requiere unificar la duración de los proyectos utilizando el mínimo común múltiplo de la vida útil de to-das las alternativas. Un ejemplo permite aclarar la situación.

Ejemplo 4.7

Suponga que una industria requiere comprar una máquina, para lo cual cuenta con las alternativas que se muestran en el Cuadro 4.14:

Cuadro 4.14

Máquina 1 Máquina 2

Inversión inicial 1.000.000 1.500.000 Vida útil (años) 2 3 Costo de operación anual 250.000 350.000 Valor de venta de la máquina al final de la vida útil 700.000 1.400.000

La tasa de interés de oportunidad es del 30%. En el Cuadro 4.15, se presenta el flujo de efectivo con el mínimo común múltiplo de la duración de las máquinas (6 en este ejemplo):

Cuadro 4.15

Máquina 1

Año 0 1 2 3 4 5 6Inversión inicial -1.000.000 -1.000.000 -1.000.000 Costo de operación -250.000 -250.000 -250.000 -250.000 -250.000 -250.000Valor de venta 700.000 7.000.000 700.000Flujo -1.000.000 -250.000 -550.000 -250.000 -550.000 -250.000 450.000V.P.N. -1.798.216

Ordenamiento de alternativas con diferente vida útil

[114]

Capítulo 4


Máquina 2

Año 0 1 2 3 4 5 6Inversión inicial -1.500.000 -1.500.000 Costo de operación -350.000 -350.000 -350.000 -350.000 -350.000 -350.000Valor de venta 1.400.000 1.400.000Flujo -1.500.000 -350.000 -350.000 -450.000 -350.000 -350.000 1.050.000V.P.N. -2.180.431

Observe que cada flujo se repite hasta que la duración del proyecto sea igual al mínimo común múltiplo. En este caso la mejor alternativa es la compra de la máquina 1, ya que presenta un valor presente neto mayor. Para evaluar las alternativas de diferente duración a través de la tasa interna de retor-no, se requiere hacer un análisis incremental unificando la duración de los proyectos utilizando el mínimo común múltiplo de la vida útil de cada par de alternativas. La evaluación con el método del costo anual equivalente se realiza en la forma con-vencional; no es necesario unificar la duración de las alternativas porque la base de comparación es la misma para todas, independientemente de su duración (se compa-ran flujos anuales). Por esta razón conviene usar el CAE para la evaluación de alterna-tivas con diferente vida útil.

R E N T A B I L I D A D D E L O S R E C U R S O S P R O P I O S

Considere el proyecto de inversión que se muestra en la Figura 4.14:

Figura 4.14

Teniendo en cuenta que la tasa de interés de oportunidad de un inversionista es del 35%, no es atractivo adelantar el proyecto. El inversionista cuenta con recursos por $285.000.000; y para adelantar el proyecto le ofrecen un crédito “atado” a la reali-zación del proyecto, cuyas condiciones se aprecian en el diagrama de flujos que se muestra en la Figura 4.15:

� �

��

��

��


Rentabilidad de los recursos propios

Figura 4.15

Desde el punto de vista del inversionista, la rentabilidad de los recursos propios, es decir, la rentabilidad de los recursos que efectivamente aporta al proyecto, está dada por la suma de los dos flujos anteriores, tal y como se observa en la Figura 4.16:

Figura 4.16

La rentabilidad de los recursos propios es del 40%, superior a la tasa de interés de oportunidad, por lo cual se podría llegar a pensar en adelantar el proyecto. En este caso se observa que la rentabilidad total del proyecto no es atractiva pero la rentabilidad de los recursos propios sí lo es. La financiación puede hacer atractiva la inversión en proyectos que por sí solos no lo son. Como se verá posteriormente, esto se justifica únicamente si el financiamiento está atado al proyecto, tal y como ocurría anteriormente en Colombia, cuando se tenía crédito de fomento subsidiado, atado específicamente a un determinado proyecto. En general no se deben utilizar fuentes de financiamiento baratas, para justificar e implantar proyectos que no tienen por sí solos la rentabilidad adecuada. En los capítulos 6, 7 y 8 de este libro se precisan el concepto de flujo de caja libre pa-ra la firma o para el proyecto, y el de flujo de caja libre para el equity, patrimonio o inversionista, cuya diferenciación, estimación y aplicación son la base de todo el cam-po de valoración de activos.

� �

��

��

��

� �

��

��

��

[116]

Capítulo 4


R E S U M E N

En el Cuadro 4.16 se presenta un resumen de los principales indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión o el costo de un proyecto de finan-ciación, incluyendo las funciones de Excel utilizadas para su estimación

Cuadro 4.16

Método de evaluación

Definición Características Excel

Valor presente neto

Cifra relativa adicional a lo que se obtendría al invertir en oportunidades convencionales

- i: interés de oportunidad- Se seleccionan proyectos con

VPN > 0 - Considera las magnitudes

involucradas en los proyectos - Genera el ordenamiento

correcto en el caso de alternati-vas mutuamente excluyentes de igual vida útil

- Requiere unificar flujos para evaluar alternativas con diferente vida útil

VNA(i,rango), si los períodos son constantes VNA.NO.PER., si los períodos no son constantes


Rentabilidad de los fondos que se encuentran invertidos en un proyecto. Tasa de interés que hace 0 el valor presente neto

- Se seleccionan proyectos con TIR mayor a la tasa de interés de oportunidad

- Difiere de la rentabilidad de una inversión si los montos liberados no se reinvierten a la misma TIR

- Requiere análisis incremental al evaluar alternativas mutuamente excluyentes de igual vida útil

- Requiere análisis incremental y unificar flujos para evaluar alternativas con diferente vida útil

- Puede haber proyectos con múltiples tasas internas de retorno

TIR(rango, resultado aproximado), si los períodos son constantes El resultado aproxi-mado es un punto de partida para que Excel inicie las iteraciones; se puede cambiar en caso de error TIR.NO.PER., si los períodos no son constantes

Relación beneficio /costo

Relación entre los ingresos y los costos traídos a valor presente neto.

- Se seleccionan proyectos con relación B/C>1

- Requiere análisis incremental al evaluar alternativas mutuamente excluyentes de igual vida útil

Costo anual equivalente

Serie uniforme equivalente a los flujos de un proyecto

- Se seleccionan proyectos con menor costo anual equivalente o mayor beneficio anual equivalente

- Útil para evaluar alternativas con diferente duración



Los siguientes nueve ejercicios resumen la mayoría de los conceptos presentados en este capítulo.

1. Considere los siguientes dos proyectos de inversión, con los flujos que se mues-

tran en el Cuadro 4.17, el cual incluye el cálculo de los valores presentes netos y las tasas internas de retorno para cada proyecto y para la alternativa incremental.

Cuadro 4.17

Año Proyecto A Proyecto B (B-A)

0 -300.000 -300.000 0 1 160.000 140.000 -20.000 2 164.800 151.200 -13.600 3 169.744 163.296 -6.448 4 174.836 176.360 1.523 5 180.081 190.468 10.387 6 185.484 205.706 20.222 7 191.048 222.162 31.114 8 196.780 239.935 43.156 9 202.683 259.130 56.447

10 208.764 279.861 71.097

TIO 25,00% VPN (i=0,25) 322.326 332.625 10.299

TIR 55% 53% 31%

a)� Graficar el valor presente neto como una función de la tasa de interés de oportunidad.

b)� ¿Cuál sería su recomendación sobre el proyecto a escoger, si fueran mutua-mente excluyentes y la tasa de interés de oportunidad fuera del 25%? Justifique su respuesta.

a)� Gráficas del valor presente neto para cada proyecto:


[118]

Capítulo 4


Figura 4.17 �

En la Figura 4.17, tomada de Excel, se muestra el comportamiento del valor presente neto para los dos proyectos A y B, donde se puede apreciar cómo el mismo disminuye con la tasa de interés de oportunidad hasta volverse negativo en ambos casos, para tasas de interés elevadas. Allí también se muestra la tasa de interés para la cual el valor presente neto de cada pro-yecto es igual a cero, que corresponde precisamente a la tasa interna de retorno de cada proyecto.

b)� Selección entre los dos proyectos, si los mismos son mutuamente excluyen-

tes, para una tasa de interés de oportunidad del 25%.

Se escogería el proyecto con el mayor valor presente neto, que es el proyec-to B, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto A es mayor. Se recalca que en caso de alternativas mutuamente excluyentes el valor pre-sente neto siempre conduce al ordenamiento correcto de alternativas; no así la tasa interna de retorno aplicada directamente.

La alternativa incremental (B-A) tiene un valor presente neto positivo, para una tasa de interés de oportunidad del 25%. La tasa interna de retorno de la alternativa incremental (31%) es superior a la tasa de interés de oportu-nidad, mostrando una vez más que el proyecto B se prefiere al proyecto A.

2. Un proyecto de inversión A con el flujo de fondos que se muestra en el Cuadro

4.18:

-500.000

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Val

or P

rese

nte

Net

o

Tasa de interés

Proyecto A Proyecto B



Cuadro 4.18

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo -10.000 3.000 4.500 5.500 6.000 7.000

a)� ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto para una tasa de interés de

oportunidad del 25%? ¿Cómo interpreta la cifra obtenida? b)� ¿Cuál es la tasa interna de retorno del proyecto? ¿Cómo interpreta la cifra

obtenida? c)� ¿Cuál es la rentabilidad de los 10.000 durante el horizonte de 5 años? ¿Cuál

es la diferencia con el valor obtenido en b)?

a)� El valor presente neto del proyecto para la tasa de interés de oportunidad del 25% es igual a 2.847,36. Esta cifra se puede interpretar como el valor adicional que se genera por invertir en el proyecto y no en las oportunidades convencionales, con un rendimiento del 25%.

b)� La tasa interna de retorno del proyecto es del 36,41%. Esta cifra se puede

interpretar como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un pe-so mientras el peso se encuentre invertido en el proyecto.

c)� Para calcular la rentabilidad de los 10.000, durante los 5 años, hay que tener

en cuenta los flujos de fondos liberados por el proyecto y su reinversión a la tasa de interés de oportunidad del 25%, lo cual permite acumular la siguien-te cifra al final de los 5 años:

Ac5 = 3.000*(1+0,25)4 + 4.500*(1+0,25)3 + 5.500*(1+0,25)2 +

6.000*(1+0,25)1 + 7.000 Ac5 = 39.207,03

Para encontrar la rentabilidad de los 10.000, durante los 5 años, se plantea la siguiente ecuación:

10.000 * (1+R)5 = 39.207,03

Despejando R, se obtiene R = 31,42% como la rentabilidad anual de los 10.000 durante los 5 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la tasa interna de retorno.

[120]

Capítulo 4


3. Considere un proyecto de inversión B con el flujo de fondos que se muestra en el Cuadro 4.19:

Cuadro 4.19

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo -15.000 5.500 6.000 6.800 8.500 9.500

a) ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto para una tasa de interés de

oportunidad del 25%? ¿Cómo interpreta la cifra obtenida? b) ¿Cuál es la tasa interna de retorno del proyecto? ¿Cómo interpreta la cifra

obtenida? c) Suponga que este proyecto y el del ejercicio anterior son mutuamente ex-

cluyentes, ¿Cuál de los dos proyectos escogería?

a) El valor presente neto del proyecto para la tasa de interés de oportunidad

del 25% es igual a 3.316,16. Esta cifra se puede interpretar como el valor adicional en la fecha “cero” que se genera por invertir en el proyecto y no en las oportunidades convencionales, con un rendimiento del 25%.

b) La tasa interna de retorno del proyecto es del 34,35%. Esta cifra se puede

interpretar como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un pe-so mientras el peso se encuentre invertido en el proyecto.

c) El proyecto B, de este problema tiene un valor presente neto de 3.316 supe-

rior al del proyecto A del segundo problema (2.847), y por lo tanto sería el proyecto a seleccionar en el caso de que ambos fueran mutuamente exclu-yentes, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto B (34,35%) es menor que la tasa interna de retorno del proyecto A (36,41%).

4. Comparando los proyectos A y B de los dos problemas anteriores, ¿cómo podría

utilizar la tasa interna de retorno para hacer la selección correcta si los dos pro-yectos fueran mutuamente excluyentes?

Como se trata de inversiones de tamaño diferente, se analizaría la alternativa in-cremental, representada por (B-A), cuyo flujo se resume en el Cuadro 4.20:

Cuadro 4.20

Año 0 1 2 3 4 5

(B-A) -5.000 2.500 1.500 1.300 2.500 2.500



La tasa interna de retorno de este flujo incremental (B-A) es igual a 29,48%, su-perior a la tasa de interés de oportunidad del 25%, por lo cual se justifica invertir los 5.000 adicionales en el proyecto B y no en las oportunidades convencionales que solo rentan un 25%. Como conclusión, se prefiere el proyecto B al A, que era precisamente el ordenamiento que se había obtenido anteriormente a través del valor presente neto.

5. Un proyecto de inversión con los siguientes flujos durante su vida útil de 4 años:

año 0, -3.000; año 1, 900; año 2, 1.500; año 3, 1.800; año 4, 2.500, y cuya tasa de interés de oportunidad es del 25%. ¿Cuál es la rentabilidad de los 3.000 du-rante los 4 años?

La tasa interna de retorno del proyecto es del 34,53%, que va a resultar superior a la rentabilidad de los 3.000, durante los 4 años, ya que los flujos de fondos libe-rados por el proyecto se reinvierten a la tasa de interés de oportunidad, la cual es del 25%.

Para el cálculo de la rentabilidad de los 3.000 durante los 4 años, hay que tener en cuenta los flujos de fondos liberados por el proyecto y la reinversión de esos flujos a la tasa de interés de oportunidad, lo cual permite acumular al final del cuarto año:

Ac4 = 900*(1+0,25)3 + 1.500*(1+0,25)2 + 1.800*(1+0,25) + 2.500 Ac4 = 8.851,56 Para encontrar la rentabilidad de los 3.000, durante los 4 años, se plantea la si-guiente ecuación: 3.000 * (1+R)4 = 8.851,56 Despejando R, se obtiene R = 31,06% como la rentabilidad anual de los 3.000 durante los 4 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la tasa interna de retorno.

6. Dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes, con un horizonte de 5

años, muestran los flujos presentados en el Cuadro 4.21:

[122]

Capítulo 4


Cuadro 4.21

Fecha Proyecto A Proyecto B

0 (280) (400) 1 70 100 2 120 1623 150 2034 180 2585 210 300

Tasa de interés de oportunidad: 25%.

a)� ¿Cuál de los dos proyectos seleccionaría? b)� Si únicamente existen esos dos proyectos, adicionalmente a las inversiones

convencionales que determinan la tasa de interés de oportunidad, ¿cuál sería la rentabilidad promedio de los 400 millones durante los 5 años?

a)� Para la selección de uno de los dos proyectos se utiliza el valor presente neto: El valor presente neto del proyecto A es igual a 72,14. El valor presente neto del proyecto B es igual a 91,59. Por lo tanto se escogería el proyecto B, con un mayor valor presente neto. b)� Para determinar la rentabilidad de los 400 millones de pesos, durante el

período de 5 años, se selecciona el proyecto B, reinvirtiendo los flujos de fondos a la tasa de interés de oportunidad del 25%, lo cual permitiría acu-mular al final de los 5 años:

Ac5 = 100*(1+0,25)4 +162*(1+0,25)3 +203*(1+0,25)2 + 258*(1+0,25) +300 Ac5 = 1.500,23

Para encontrar la rentabilidad de los 400 millones, durante los 5 años, se plantea la siguiente ecuación:

400 * (1+R)5 = 1.500,23 Despejando R, se obtiene R =30,26% como la rentabilidad anual de los 400

durante los 5 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la tasa interna de retorno.


7. Un crédito a 2 años, que paga intereses netos del 28% nominal anual, pagaderos trimestre vencido, se amortiza en dos pagos iguales, al final de cada año. Los gas-tos de tramitación del crédito, incluyendo constitución de hipotecas, son del 1,5%, pagaderos al comienzo del crédito. ¿Cuál es el costo efectivo del crédito antes y después de impuestos?

Período básico de análisis: trimestre, ya que los intereses se pagan trimestralmente. En el Cuadro 4.22 se muestran los flujos de fondos antes de impuestos:

Cuadro 4.22

Trim Desembolso Trámites Amortización Intereses Flujo neto

0 1.000 -15 985 1 -70 -70 2 -70 -70 3 -70 -70 4 -500 -70 -570 5 -35 -35 6 -35 -35 7 -35 -35 8 -500 -35 -535

La tasa interna de retorno del flujo anterior (antes de impuestos) es del 7,3239% trimestral, que anualizada da un costo del 32,67% efectivo anual, como costo del crédito antes de impuestos.

El flujo de fondos después de impuestos, al tener en cuenta el crédito tributario derivado de los gastos para la tramitación del crédito y de los pagos de intereses, que por simplicidad se consideran acumulados al final del primer y segundo año, se muestra en el Cuadro 4.23:

Cuadro 4.23

Trim. Desembolso Trámites Amortización Intereses Crédito

tributario Flujo neto

0 1000 -15 985 1 -70 -70 2 -70 -70 3 -70 -70 4 -500 -70 103,25 -466,75 5 -35 -35 6 -35 -35 7 -35 -35 8 -500 -35 49 -486


[124]

Capítulo 4


La tasa interna de retorno del flujo anterior sería del 4,9369% trimestral, que anualizada da un costo efectivo del crédito, después de impuestos, del 21,258% efectivo anual.

Observe que al considerar el costo del crédito antes de impuestos (32,67%), mul-tiplicado por 0,65 (1-tasa de impuestos), el costo después de impuestos sería del 21,235%.

8. A un Certificado de Depósito a Término (CDT), que paga un interés del 28%

nominal anual pagadero trimestre anticipado, emitido inicialmente a 90 días, le faltan 37 días para su vencimiento. ¿Cuál es el valor de mercado actual del CDT, si la tasa de interés del mercado es del 24% efectivo anual?

El flujo de fondos del proyecto sería:

Fecha (días) Flujo

0 -P0

37 100

Entonces: � �3701

100

d+iP �

Recordando que:

� � � �36511 de +i = +i

Entonces, � � � �

%843,9724,01

100

1

100365/37365/370 ��

++iP

d

El valor actual del CDT, para una tasa de interés de mercado del 24% efectiva anual, sería del 97,843% de su valor nominal (100%).

9. Un bono a 4 años amortizable totalmente al final de los 4 años paga intereses del 22% nominal anual pagaderos semestre vencido. Le faltan 217 días para su ven-cimiento. La tasa de interés de mercado es del 23% efectiva anual. ¿Cuál es el valor de mercado del bono?

El flujo de fondos del bono, cuando le faltan 217 días para su vencimiento, es el siguiente:

� � 365/11 ed +ii �


Fecha (días) Flujo

37 11217 111

Para determinar el valor del bono en la fecha cero con el anterior flujo de fondos, se calcula el valor presente del flujo a una tasa de interés diaria equivalente al 23% efectivo anual que es la tasa de interés del mercado. Lo anterior se puede expresar en términos generales como:

� � � �`

23,1

11`

23,1

11365/217365/37

��P

91,1081459,987715,10 ��P

El valor actual del bono es del 108,91% de su valor nominal.

E J E R C I C I O S D E R E C A P I T U L A C I Ó N O A U T O E V A L U A C I Ó N

Problema 1 Suponga tres proyectos mutuamente excluyentes, con los montos de inversión y de flujo de caja anual que se muestran en el Cuadro 4.24. ¿Cuál sería el ordenamiento correcto de las tres alternativas de inversión, si la tasa de interés de oportunidad es del 20%?

Cuadro 4.24

Proyectos

Fecha A B C

0 -2.500.000 -3.000.000 -3.500.000 1 500.000 350.000 400.000 2 700.000 450.000 600.000 3 900.000 550.000 700.000 4 1.000.000 700.000 800.000 5 1.100.000 900.000 1.100.000 6 1.250.000 1.200.000 1.700.000 7 1.400.000 1.500.000 2.200.000 8 1.550.000 1.900.000 3.000.000 9 1.700.000 2.500.000 4.000.000 10 1.900.000 3.000.000 5.000.000

Tasa de interés de oportunidad 20%Valor presente neto 1.654.079 853.133 1.946.725 Tasa interna de retorno 33,64% 25,27% 29,13% Tasa de rentabilidad verdadera 26,25% 23,04% 25,43%

Ejercicios de recapitulación o autoevaluación

[126]

Capítulo 4


Al final del Cuadro 4.24 se muestran los resultados de los tres indicadores que se utili-zan para hacer la comparación: valor presente neto al 20%, tasa interna de retorno (TIR) y tasa interna de retorno modificada (TIRM), utilizando respectivamente las funciones de Excel, VNA, TIR y TIRM. En el caso de la tasa interna de retorno modifi-cada (TIRM), se supone que la reinversión de los flujos que libera el proyecto se hace a una tasa especificada, que para nuestro ejemplo fue la TIO del 20%. La función en Excel, tiene la siguiente forma: TIRM = TIRM (rango de valores; tasa de financiamiento; tasa de reinversión) TIRM = TIRM (C5:C15;18%), suponiendo que el rango de valores se encuentra en el rango C5:C15 de la hoja de Excel, no se considera tasa de financiamiento y la tasa de reinversión es del 20%. El ordenamiento correcto para alternativas de inversión mutuamente excluyentes con la misma vida, independientemente de que los montos de inversión sean diferentes, es el que se obtiene a través de la utilización del valor presente neto, ya que supone correctamente que cualquier peso por fuera del proyecto se reinvierte a la TIO. Por lo tanto, el ordenamiento correcto de la tres alternativas de inversión es: C > A > B ¿Cómo explicar los ordenamientos incorrectos que se producen utilizando la TIR y la TIRM? En el caso de la TIR, se estaría suponiendo incorrectamente que los pesos por fuera del proyecto se están reinvirtiendo a la TIR, lo cual en general es incorrecto. En el caso de la TIRM, ésta no tiene en cuenta los montos diferentes de inversión, no obstante que la misma considera que la reinversión de los flujos que libera el proyecto se hace a la TIO. Para que los tres proyectos sean mutuamente excluyentes se debe disponer inicialmente de $3.500.000; si se utiliza la alternativa A, $2.500.000 se in-vierten inicialmente en el proyecto, que genera una rentabilidad interna igual a la TIR (mientras un peso se encuentre invertido en el proyecto). Por ello, la TIRM es del 26,25%, una combinación entre una rentabilidad interna del 33,64% y una reinver-sión del 20%. Sin embargo, inicialmente quedan $1.000.000 por fuera del proyecto, que invertidos al 20% hacen que la rentabilidad ponderada sea inferior a la que se obtiene a través de la alternativa C, donde los $3.500.000 se invierten totalmente en el proyecto C, con una rentabilidad interna (TIR) del 29.13% y una tasa de reinver-sión igual a la TIO, esto es, 20%, para obtener una tasa interna de retorno modificada del 25.43%, que ya tuvo en cuenta la inversión adicional de los $1.000.000 que hay de diferencia entre la alternativa C y la A. Se deben comprobar los resultados anteriores a través de los montos acumulados al final de los 10 años, suponiendo que la reinversión de cualquier suma por fuera del proyecto se hace a la TIO del 20%.


Ejercicios de recapitulación o autoevaluación

Si las alternativas son mutualmente excluyentes, la comparación se tiene que hacer entre: �� $2.500.000 invertidos inicialmente en el proyecto A y $1.000.000 a la tasa de

interés de oportunidad del 20%, durante 10 años. Los flujos que libera el proyec-to A se reinvierten a la TIO.

�� $3.000.000 invertidos inicialmente en el proyecto B y $500.000 a la tasa de in-

terés de oportunidad del 20%, durante 10 años. Los flujos que libera el proyecto B se reinvierten a la TIO.

�� $3.500.000 invertidos inicialmente en el proyecto C. Los flujos que libera el pro-

yecto C se reinvierten a la TIO. Los resultados se resumen en el Cuadro 4.25, que confirma lo mostrado previamente, con el ordenamiento correcto correspondiente al del valor presente neto.

Cuadro 4.25

Proyectos Acumulado al final del año 10

Fecha A B C A B C

0-

2.500.000 -

3.000.000-

3.500.000 1 500.000 350.000 400.000 2.579.890 1.805.923 2.063.912 2 700.000 450.000 600.000 3.009.872 1.934.918 2.579.890 3 900.000 550.000 700.000 3.224.863 1.970.749 2.508.227 4 1.000.000 700.000 800.000 2.985.984 2.090.189 2.388.787 5 1.100.000 900.000 1.100.000 2.737.152 2.239.488 2.737.152 6 1.250.000 1.200.000 1.700.000 2.592.000 2.488.320 3.525.120 7 1.400.000 1.500.000 2.200.000 2.419.200 2.592.000 3.801.600 8 1.550.000 1.900.000 3.000.000 2.232.000 2.736.000 4.320.000 9 1.700.000 2.500.000 4.000.000 2.040.000 3.000.000 4.800.000 10 1.900.000 3.000.000 5.000.000 1.900.000 3.000.000 5.000.000 Acumulado, inversión inicial: 25.720.961 23.857.587 33.724.688Acumulado inversión restante: 6.191.736 3.095.868 0Acumulado, inversión $3.500.000: 31.912.697 26.953.455 33.724.688Tasa de rentabilidad verdadera: 24,74% 22,65% 25,43%

Problema 2 Un bono emitido inicialmente a 6 años, con un cupón semestral del 5%. El 15 de sep-tiembre del año 2009, fecha de la valoración, al bono le faltan 3 años y 143 días para su vencimiento. ¿Cuál es el valor de mercado del bono si la tasa de interés de merca-do es del 14% efectivo anual?

[128]

Capítulo 4


Valor nominal del bono = $1.000.000 Cupón semestral = 5,00% Tasa de interés de mercado = 14,00% efectivo anual Tasa de interés de mercado = 6,77% semestral En el Cuadro 4.26 se muestran los cálculos necesarios para determinar el valor de mercado el 15 de septiembre del año 2009, si la tasa de interés de mercado es del 14% efectivo anual:

Cuadro 4.26

Fecha (días) Fecha (años) Fecha Flujo caja Valor presente

0 0 15/09/2009 0 0 143 0,39 5/02/2010 50.000 47.498 325 0,89 6/08/2010 50.000 44.494 508 1,39 5/02/2011 50.000 41.665 690 1,89 6/08/2011 50.000 39.030 873 2,39 5/02/2012 50.000 36.548

1.055 2,89 5/08/2012 50.000 34.237 1.238 3,39 4/02/2013 1.050.000 673.256

Suma = 916.728

El valor de mercado, a la fecha del 15 de septiembre del 2009, es de $916.728 por un bono de valor nominal o facial de $1.000.000. Al mismo valor se puede llegar aplicando la función de valor presente no periódico (VNA.NO.PER), que calcula el valor presente de un flujo de caja que no es periódico. La forma de la función es: Valor presente = VNA.NO.PER (C3;F6:F13;E6:E13), donde C3, corresponde a la tasa de interés de mercado, F6:F13 al rango en que se encuentran los valores y E6:E13 a las fechas en las cuales hay flujo de caja. Para nuestro ejemplo: Valor presente = VNA.NO.PER(14%;0,50.000,…,1.050.000;15/09/2009…4/02/2013) Valor presente = 916,728 ¿Cual sería la rentabilidad de una inversión, si el bono se compra por un valor de $890.000 el 15 de septiembre del año 2009? En el Cuadro 4.27 se muestran los valores necesarios para una respuesta a la pregun-ta formulada; como se trata de períodos que no son iguales, no se puede utilizar directamente la tasa interna de retorno (TIR). Una forma de resolver el problema es utilizar la función “Buscar objetivo” de Excel al flujo de caja, donde la celda objetivo


es la suma de los valores presentes individuales, la cual muestra el valor final de 890.000, y la celda a variar es la que contiene la tasa de interés de mercado, cuyo valor inicial fue de 14%.

Cuadro 4.27

Fecha (días) Fecha (años) Fecha Flujo caja Valor presente

0 0 15/09/2009 -890.000143 0,39 5/02/2010 50.000 47.308 325 0,89 6/08/2010 50.000 44.091 508 1,39 5/02/2011 50.000 41.077 690 1,89 6/08/2011 50.000 38.283 873 2,39 5/02/2012 50.000 35.666

1.055 2,89 5/08/2012 50.000 33.241 1.238 3,39 4/02/2013 1.050.000 650.333

Suma = 890.000

Al utilizar la función “Buscar objetivo” de Excel se obtiene una tasa de interés de mercado igual al 15,17% efectivo anual. Este valor también se hubiera podido encontrar utilizando directamente la función TIR.NO.PER, que devuelve la tasa interna de retorno para un flujo no periódico. En este caso: Rentabilidad = TIR.NO.PER(F22:F29; E22:E29; 0,12), donde el rango F22:F29 contie-ne los valores del flujo de caja; el rango E22:E29 contiene las fechas en las cuales hay flujo de caja; 0,12 es un valor inicial, para que comience a iterar; se podría haber utili-zado otro valor cercano: Rentabilidad = TIR.NO.PER (- 890.000,50.000…,1.050.000;15/09/2009…4/02/2013;0,12) Rentabilidad = 15,17%


1. Considere los dos proyectos de inversión A y B, con los flujos de fondos que se

muestran en el Cuadro 4.28, donde también se presenta la alternativa incremen-tal (B-A); los dos proyectos son mutuamente excluyentes:


[130]

Capítulo 4


Cuadro 4.28


0 -400.000 -400.000 01 190.000 165.000 -25.0002 195.700 178.200 -17.5003 201.571 192.456 -9.1154 207.618 207.852 2345 213.847 224.481 10.6346 220.262 242.439 22.1777 226.870 261.834 34.9648 233.676 282.781 49.1059 240.686 305.403 64.717

10 247.907 329.836 81.929

a)� Grafique el valor presente neto de los dos proyectos.

Figura 4.18

b)� Calcule el valor presente neto y la tasa interna de retorno para los dos pro-

yectos; la tasa de interés de oportunidad es del 25%. ($339.011,99, $345.593,23).

c)� ¿Cuál sería el proyecto a seleccionar, si los dos proyectos son mutuamente excluyentes? (Selección, B).

2. Para el problema anterior y utilizando la tasa interna de retorno, llegue al orde-namiento correcto de las dos alternativas de inversión.

3. Para el problema 1, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $400.000 durante los 10 años, si la tasa de interés de oportunidad, a la cual se reinvierten los flujos de

-500.000

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

0% 20% 40% 60% 80% 100%

��

��

VPN(A) VPN(B)



fondos liberados por el proyecto, es del 25% efectivo anual? (Rentabilidad del proyecto A: 32,91%, rentabilidad de B: 33,03%).

4. Considere los dos proyectos de inversión que se muestran en el Cuadro 4.29, si ambos son mutuamente excluyentes; la tasa de interés de oportunidad es del 25% efectivo anual. a)� Calcule el valor presente neto de los dos proyectos. ($344.564,44,

$403.749,70). b)� Calcule la tasa interna de retorno de los dos proyectos. (51,27%, 46,04%). c)� ¿Cómo se compara el ordenamiento a través del valor presente neto, con el

que se obtiene a través de la tasa interna de retorno? (Contradictorio, orden por valor presente neto: B, A; orden por tasa interna de retorno: A, B).

d)� Calcular la relación beneficio - costo para los dos proyectos. (1,91, 1,80). e)� ¿Cuál sería la selección adecuada entre los dos proyectos, si son mutuamente ex-

cluyentes? Justifique su respuesta. (B, porque tiene un mayor presente neto).

Cuadro 4.29


0 -375.000 -500.000 -125.0001 185.000 200.000 15.0002 190.550 216.000 25.4503 196.267 233.280 37.0144 202.154 251.942 49.7885 208.219 272.098 63.8796 214.466 293.866 79.4007 220.900 317.375 96.4758 227.527 342.765 115.2389 234.352 370.186 135.834

10 241.383 399.801 158.418

5. Para el problema anterior y utilizando la tasa interna de retorno, llegue al orde-

namiento correcto de las dos alternativas de inversión. 6. Para el proyecto del problema 4, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $500.000

durante los 10 años, si la tasa de interés de oportunidad, a la cual se reinvierten los flujos de fondos liberados por el proyecto, es del 25% efectivo anual? (29,63%, 32,62%).

7. Considere los tres proyectos de inversión que se muestran en el Cuadro 4.30, con la misma vida útil a 6 años, pero con montos de inversión diferentes; la tasa de interés de oportunidad es del 25% y los tres proyectos son mutuamente exclu-yentes.

[132]

Capítulo 4


Cuadro 4.30

Año 0 1 2 3 4 5 6

Proyecto A -400.000 200.000 280.000 392.000 548.800 768.320 1.075.648Proyecto B -600.000 250.000 350.000 490.000 686.000 960.400 1.344.560Proyecto C -800.000 300.000 420.000 588.000 823.200 1.152.480 1.613.472

a)� ¿Cuál es el valor presente neto para cada uno de los tres proyectos?

($898.430,25, $1.123.037,81, $1.147.645,37). b)� ¿Cuál es la tasa interna de retorno para cada uno de los tres proyectos?

(78,27%, 67,42%, 61,71%). c)� ¿Cuál es la relación beneficio-costo para cada uno de los tres proyectos?

(3,24, 2,70, 2,43). d)� ¿Cuál sería el ordenamiento correcto de los tres proyectos? Justifique su res-

puesta. (C, B, A, por el criterio del valor presente neto). 8. Para los tres proyectos considerados en el problema 7, llegue al ordenamiento

correcto utilizando análisis incremental y la tasa interna de retorno. (Orden por análisis incremental: C, B, A; orden por tasa interna de retorno: A, B, C).

9. Para el problema 7, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $800.000 durante los 6 años? (35,50%, 40,64%, 44,98%).

10. Calcule el costo efectivo de un préstamo, que es pactado a un interés del 32% nominal anual y plazo de un año, para las siguientes dos condiciones: a)� Si los intereses se pagan: - Trimestre anticipado (39,58%). - Quincena anticipada (38,00%). b)� ¿Cuál será si a las condiciones iniciales (trimestre anticipado) se agrega el

pago de una comisión por estudio del crédito del 1%, cobrada anticipada-mente? (41,32%).

11. ¿Cuál es el costo efectivo anual de un crédito ordinario con las siguientes condi-ciones? Interés: 30% nominal anual trimestre anticipado. Plazo: 2 años. Comisión de manejo: 2% pagadera anticipadamente, una sola vez. Amortización: la deuda se amortiza semestralmente a partir del final del cuarto trimestre y los intereses se pagan sobre saldo. (39,05%).

12. ¿Cuál es la rentabilidad de un CDT (Certificado de Depósito a Término) que paga un interés del 6% NASV, emitido a 6 meses, si se compra por un 92,50% de su valor nominal? (23,99%).

13. El propietario de un CDT que paga un interés del 6% NASV, cuyo vencimiento es dentro de 13 días le propone que usted se lo descuente (compre) por un valor igual al 99% de su valor nominal. ¿Le interesaría el negocio? ¿Qué rentabilidad efectiva obtendría? (204,07%).

14. ¿Cuánto debería ofrecer por un CDT al que le faltan 48 días para su vencimien-to? El CDT fue emitido inicialmente a 90 días, con un interés del 14% nominal


anual pagadero mes vencido. El objetivo es obtener en la transacción una renta-bilidad efectiva del 24% anual. (99,48%).

15. ¿Cuánto debería ofrecer por un CDT emitido en las siguientes condiciones nomi-nales? Interés: 18% pagadero trimestre anticipado Plazo: 90 días Valor nominal: $1.000.000

Al certificado le faltan 52 días para su madurez. El objetivo es obtener una renta-bilidad efectiva anual del 24%. ($969.818,80).

16. ¿Cuánto se debe ofrecer por un CDT emitido en las siguientes condiciones?: Interés: 17% nominal anual pagadero mes vencido Plazo: 90 días Valor nominal: $10.000.000

Actualmente le faltan 37 días para su madurez. El objetivo es obtener una renta-bilidad efectiva anual del 23%. ($10.072.166,66).

17. ¿Cuál es la rentabilidad en pesos de un bono en dólares emitido a 2 años, con un interés del 7% nominal anual, pagadero trimestre vencido, el cual se compra a un 98,5% de su valor nominal? La devaluación efectiva esperada para los próximos 2 años es del 12% anual. (21,01%).

18. ¿Cuál es el costo de una financiación en dólares otorgada en las siguientes condi-ciones?

Interés: “Prime” más dos puntos y medio (Prime+2,5), pagaderos trimestre ven-cido sobre saldo Amortización: semestral Plazo: 4 años Período de gracia: 1 año

Adicionalmente se cobra un gasto administrativo del 1,5% anual sobre el saldo al comienzo del mismo período. La devaluación efectiva esperada para los próximos años es del 12% anual. (25,32%).

19. ¿Cuál es la rentabilidad de un bono en pesos, emitido a 3 años, que paga un in-terés del 18% nominal anual pagadero trimestre vencido, el cual se compra a un 98% de su valor nominal? (20,27%).

20. Para el problema anterior, ¿cuánto debería ofrecer por el bono, cuando le faltan 187 días para su vencimiento, si el objetivo es obtener una rentabilidad efectiva anual del 23,5%? (102,52%).

21. Una compañía de leasing lo contrató a usted para que realice los cálculos necesa-rios para desarrollar su “Tabla de precios” (tarifas) oficial. El objetivo de la compañía es obtener en todas sus operaciones una rentabilidad efectiva anual del 32% antes de impuestos. Se cobran las cuotas mensualmente de manera antici-pada y se ofrecen contratos de arrendamiento a 24 y 36 meses con opciones de compra (valor residual) al final del contrato del 5% o 10% a libre escogencia del cliente.

Asuma que el cliente paga el valor residual un mes después del último canon de arrendamiento.


¬

[134]

Capítulo 4


(Cuota: mes anticipado, 24 meses, valor residual del 5% = 5,21%; cuota: mes anticipado, 24 meses, valor residual del 10% = 5,05%; cuota: mes anticipado, 36 meses, valor residual del 5% = 3,95%, y cuota: mes anticipado, 36 meses, valor residual del 10% = 3,87%).

22. Una empresa productora de carnes frías emitió bonos en las siguientes condiciones: Fecha de emisión: 26 de octubre de 1998 Fecha de vencimiento: 26 de octubre de 2001 Valor nominal; $100.000.000 Interés: 18% nominal anual pagadero semestre anticipado

Actualmente faltan 569 días para el vencimiento. ¿En cuánto se debe comprar el bono en el mercado secundario para obtener una rentabilidad del 24% efectivo anual? ($95.099.511,12).

23. Un constructor se encuentra indeciso sobre la forma de pago que más le convie-ne al vender una propiedad. Las alternativas son: a)� Pago de contado por valor de $35.000.000. b)� Cuota inicial de $6.000.000 el 1º de abril, 12 cuotas mensuales (al final del

mes) de $1.500.000 y $17.500.000 al final del mes 12. c)� 4 cuotas de $6.000.000 pagaderas trimestre anticipado a partir del 1º de abril

y $17.500.000 el 1º de abril del siguiente año. Los pagos que se reciben se invierten a una tasa de interés efectiva anual del

20%. ¿Cuál es la mejor decisión para el constructor? (Mejor decisión: alternativa C, maximiza el valor presente neto: $37.026.391,35).

24. Un préstamo en dólares por valor de US$ 200.000 a 18 meses, con un interés nominal igual a Prime + 2, se va a amortizar totalmente al final de los 18 meses. Los intereses se cobran mensualmente; además se cobra una comisión del 1,5% al comienzo del préstamo por una sola vez. Suponga una tasa Prime nominal anual del 7,5% y una devaluación efectiva anual del 12%. ¿Cuál sería el costo del préstamo en pesos? (24,44%).

[135]

�

Capítulo 5

MATEMÁTICAS FINANCIERAS: RESUMEN A TRAVÉS DE PROBLEMAS AVANZADOS Los capítulos 2, 3 y 4 muestran las principales relaciones que comprenden las bases de las finanzas y que se conocen usualmente como matemáticas financieras. Su deri-vación es bastante sencilla; sin embargo, su utilización requiere la familiarización con la correcta aplicación de esas relaciones, especialmente con los supuestos inherentes a cada una de las fórmulas derivadas, que solamente se adquiere con la realización de muchos ejercicios. En este capítulo y a manera de resumen de las relaciones conocidas como matemáticas financieras, se presenta un conjunto de problemas de mayor difi-cultad que permiten interrelacionar las diferentes expresiones derivadas paulatina-mente a lo largo de los capítulos 2, 3 y 4 anteriores. El objetivo es dar una visión integral de las matemáticas financieras, independientemente del orden en el cual fue-ron derivadas, y preparar al lector, a manera de repaso, para los siguientes capítulos. T A S A S D E I N T E R É S : N O M I N A L E S Y E F E C T I V A S

En el Capítulo 3 se dedujeron y aplicaron las relaciones que permiten encontrar el interés efectivo equivalente a un interés nominal pagadero período vencido o período anticipado, y se propusieron varios ejemplos que ilustran aplicaciones que se presen-tan con frecuencia. En este capítulo, a modo de ilustración, se ofrecen cuatro ejem-plos que resumen lo expuesto en el Capítulo 3. Ejemplo 5.1 Encontrar el interés que, pagadero trimestre anticipado, es equivalente a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido. El primer paso para resolver este problema es encontrar el interés efectivo correspon-diente a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido. Para ello, se aplica la fórmula que relaciona el interés efectivo con un interés pagado periódicamente; esto es:

0,17227 = 1-(0,01333))+(1 = 1-12

0,16+1 = 1-)i+(1 = i 12

12periódos#

pe ��

��

��

��

De igual forma se encuentra el interés periódico que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés del 17,227% efectivo anual.

[136]

Capítulo 5


�

itv = (1+0,17227)(1/4) –1 = 0,040535 Ahora se encuentra el interés trimestral, pagadero trimestre anticipado, equivalente a un interés del 4,0535%:

0,038956 = 0,040535)+(1

0,040535 =

)i +(1i

= itv

tvta

Por lo tanto, un interés del 15,5826%, pagadero trimestre anticipado, es equivalente a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido, en la medida en que am-bos tienen el mismo interés efectivo. Ejemplo 5.2 Construir una tabla que permita encontrar equivalencias entre diferentes modalidades de pagos, para un mismo interés vencido. La tabla se debe construir para un rango de intereses que fluctúe entre el 12% y el 24% efectivo, con incrementos del 2%. Los resultados se muestran en el Cuadro 5.1 y se obtuvieron aplicando las relaciones deri-vadas en el Capítulo 3. A manera de ejemplo, un interés del 14,570% nominal anual pagadero trimestre anticipado es equivalente a un interés del 15,121% nominal anual pagadero trimestre vencido, ya que ambos tienen el mismo interés efectivo del 16%. Los resultados se presentan en el Cuadro 5.1:

Cuadro 5. 1

Tasa de interés efectiva

Frecuencia Frecuencia 12,000% 14,000% 16,000% 18,000% 20,000% 22,000% 24,000%

Interés nominal, pagadero período vencido 1 AV 12,000% 14,000% 16,000% 18,000% 20,000% 22,000% 24,000%2 SV 11,660% 13,542% 15,407% 17,256% 19,089% 20,907% 22,711%4 TV 11,495% 13,320% 15,121% 16,899% 18,654% 20,388% 22,100%12 MV 11,387% 13,175% 14,934% 16,666% 18,371% 20,051% 21,705%24 QV 11,360% 13,139% 14,888% 16,609% 18,302% 19,968% 21,608%

365 DV 11,335% 13,105% 14,845% 16,555% 18,237% 19,891% 21,517%

Interés nominal, pagadero período anticipado 365 DA 11,331% 13,100% 14,839% 16,548% 18,228% 19,880% 21,505%24 QA 11,306% 13,067% 14,796% 16,495% 18,163% 19,803% 21,415%12 MA 11,280% 13,032% 14,751% 16,438% 18,094% 19,721% 21,319%4 TA 11,174% 12,891% 14,570% 16,214% 17,823% 19,399% 20,943%2 SA 11,018% 12,683% 14,305% 15,885% 17,426% 18,929% 20,395%1 AA 10,714% 12,281% 13,793% 15,254% 16,667% 18,033% 19,355%


Tasas de interés: nominales y efectivas

�

Ejemplo 5.3 ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés del 13% nominal anual trimestre vencido? Interés solicitado: NA MV Interés nominal dado:13,00% NA TV Interés trimestral (vencido): 3,25% Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv)Número de períodos

a)� Interés efectivo correspondiente a un interés del 13,00% NATV

(1+ ie) = (1+itv)4 ie = 13,648%

b)� Interés mes vencido equivalente a un interés efectivo del 13,648%

(1+ 0,13648) = (1+imv) 12 imv = (1,13648)(1/12) - 1 = 1,0718%

c)� Interés solicitado

NA MV = 12* 1,0718% = 12,86%

d)� Comprobación:

Ambas modalidades de interés son equivalentes, porque tienen el mismo interés efectivo:

NA TV: 13,00%; Efectivo:13,648%, NA MV: 12,86%; Efectivo:13,648%

Ejemplo 5.4 ¿Cuál es el interés nominal anual que pagadero trimestre vencido es equivalente a un interés del 11% nominal anual pagadero día vencido? Interés solicitado: NA TV Interés nominal dado: 11,00% NA DV Interés diario: 0,0301% DV

[138]

Capítulo 5


�

Fórmula básica Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv) Número de períodos

a)� Interés efectivo correspondiente a un interés del 11,00% NA DV

(1+ ie) = (1+idv)365 ie = 11,626% (1+ 0,11626) = (1+itv) 4 itv = (1,11626)(1/4) - 1 = 2,7877%

b)� Interés solicitado NA TV = 4* 2,7877 =11,15%

c)� Comprobación

Ambos son equivalentes, porque tienen el mismo interés efectivo NA DV: 11,00%; efectivo: 11,626% NA TV: 11,15%; efectivo: 11,626%

R E L A C I O N E S B Á S I C A S Y T A S A S E F E C T I V A S

Las relaciones de equivalencia presentadas en los capítulos 2 y 3 constituyen las bases de las matemáticas financieras; el desarrollo moderno de las herramientas de compu-tación, especialmente las hojas de cálculo, facilita la realización de cómputos que de otra manera serían complejos y tomarían un tiempo apreciable. La derivación de las relaciones de equivalencia se hizo en una forma independiente de la expresión de las tasas de interés en términos anuales, ya sea en términos de intereses efectivos o de intereses nominales pagaderos período vencido. En los dos problemas que se presen-tan a continuación se hace una integración de las principales relaciones de equivalen-cia y de las tasas de interés expresadas inicialmente en períodos diferentes: períodos mensuales y tasas anuales. Como se explicó las fórmulas de equivalencia se pueden aplicar a cualquier período (día, mes, año, etc.) siempre y cuando se mantenga una consistencia con la tasa de interés que se está utilizando.


Relaciones básicas y tasas efectivas

�

Ejemplo 5.5

Un fondo de inversión reconoce un interés efectivo del 13% anual; se van a hacer 96 depósitos mensuales al fondo durante los próximos 8 años, por valor de $800.000 cada uno; el primer depósito se hace dentro de un mes y así sucesivamente hasta fi-nalizar el año 8. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al final de los 8 años? Interés efectivo: 13% anual Número de años: 8 Número de depósitos a realizar: 96 Valor de cada depósito: $800.000, vencido, al final de cada mes a)� Conversión del interés efectivo en un interés mensual

Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv) Número de períodos Para el caso mensual: (1+ ie) = (1+imv)12 Por lo tanto, Interés mensual (vencido), imv = (1+ ie)(1/12) – 1 = 1,0237%

b)� Valor futuro de una serie uniforme

FN = Depósito * [(1+imv)N - 1]/imv F96 = 800.000 * [(1+imv)96 - 1]/imv F96 = 800.000 * [(1+0,010237)96 - 1] / 0,010237 F96 = 800.000 * 162,01 = 129.605.893

c)� Utilización de la función “Valor futuro” de Excel

El mismo valor se hubiera podido encontrar utilizando la función de valor futuro de Excel. F96 = - FV (Tasa de interés; Número de períodos; valor del pago mensual) F96 = - FV (1,0237%; 96; 800.000) = 129.605.893

Ejemplo 5.6 ¿Cómo cambia la respuesta a la pregunta anterior si los depósitos se hacen anticipa-dos, esto es, el primer depósito se hace hoy (fecha cero) y así sucesivamente, y el

[140]

Capítulo 5


�

depósito 96 que es el último, se hace al finalizar el mes 95 (comienzo del mes 96), (las demás condiciones permanecen iguales)? En la Figura 5.1 se muestra la diferencia en los diagramas de flujos entre la situación planteada en este problema y la del problema anterior:

Figura 5.1

Si nos situamos en la fecha -1, en el diagrama de flujo correspondiente a este pro-blema (segundo), se tienen 96 pagos iguales que acumularían al final del mes 95 la misma suma que se calculó en el problema anterior, pero en el mes 96. Por ello, para llevar al mes 96, lo único que se tendría que hacer es llevar el valor acumulado al final del mes 95 al mes 96, multiplicando por (1+imv). Por lo tanto,

0,010237)+(1 * mvi

1] - 96imv)+[(1 * 800.000 = F96

�

�

�

�

F96 = 129.605.893 * 1,010237 = 130.932.648 El mismo valor se hubiera podido encontrar utilizando la función “Valor futuro” de Excel. F96 = -FV (tasa de interés; número de períodos; valor del pago mensual; 1) El 1 como argumento al final del conjunto de parámetros, indica que los pagos son anticipados, que corresponde exactamente a lo propuesto en este problema. F96 = -FV (1,0237%; 96; 800.000; 1) = 130.392.648 Este problema se puede resolver a través de otros esquemas que son equivalentes; el más extenso, llevando cada pago a valor futuro, lo cual se puede hacer en una forma muy fácil en Excel. Otra alternativa, sería llevar el primer pago a valor futuro, los 59 restantes a valor futuro al final del mes 59 utilizando la forma de una serie uniforme

��

��


Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión

�

con 59 pagos, llevar nuevamente el valor resultante al mes 60 y sumar el valor futuro equivalente al primer pago; brevemente: F96,1 = 800.000 * (1+0,010237)96 = 2.126.755

3128.805.89= 0,010237)+(1 * 0,010237

1] - 0,010237)+[(1 * 800.000 = F

95

96,2�

�

�

�

F96 = 2.126.755 + 128.805.893 = 130.932.648 I N D I C A D O R E S D E L A B O N D A D E C O N Ó M I C A D E U N P R O Y E C T O D E I N V E R S I Ó N

Los dos indicadores principales para medir la bondad de una inversión, valor presente neto y tasa interna de retorno cubiertos en el Capítulo 4, tienen un amplio campo de aplicación en problemas de la vida real, ya sea para encontrar precios actuales de ac-tivos financieros, valor económico agregado por decisiones de inversión o simplemen-te la rentabilidad de decisiones gerenciales. En los siguientes dos ejemplos se revisa el cálculo de los indicadores, su interpretación, su aplicación, y se derivan otros indica-dores de rentabilidad como la rentabilidad media o verdadera, que combina la renta-bilidad interna del proyecto con la rentabilidad externa, medida esta última a través de la tasa de interés de oportunidad (TIO). Ejemplo 5.7

Considere el siguiente proyecto de inversión, con una vida útil de 10 años y los flujos de caja libre para el proyecto que se muestran en el Cuadro 5.2:

Cuadro 5.2

Año Proyecto A Flujos

0 -150.000.0001 35.000.0002 40.000.0003 44.000.0004 50.000.0005 60.000.0006 70.000.0007 80.000.0008 90.000.0009 105.000.00010 125.000.000

[142]

Capítulo 5


�

La tasa de interés de oportunidad del inversionista (TIO) es del 20% a)� ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto? b)� ¿Cuál es la tasa interna de retorno? c)� ¿Cuál es la interpretación del valor presente neto que usted encontró en a)? d)� ¿Cuánto acumula al final del año 10 un inversionista a través del proyecto y de

las oportunidades convencionales? e)� ¿Cuál es la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de

$150.000.000, a través de lo que permite el proyecto y lo que él puede hacer por fuera del proyecto?

f)� ¿Por qué la diferencia entre el valor encontrado en e) y el encontrado en b)?

En el Cuadro 5.3 se muestran los cálculos necesarios para dar respuesta a las pregun-tas solicitadas:

Cuadro 5.3

Año Proyecto A Valor presente Acumulación al Rentabilidad Flujos Flujo individual final del año 10 verdadera

0 -150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 1 35.000.000 29.166.667 180.592.312 0 2 40.000.000 27.777.778 171.992.678 03 44.000.000 25.462.963 157.659.955 04 50.000.000 24.112.654 149.299.200 0 5 60.000.000 24.112.654 149.299.200 0 6 70.000.000 23.442.858 145.152.000 0 7 80.000.000 22.326.532 138.240.000 0 8 90.000.000 20.931.124 129.600.000 09 105.000.000 20.349.703 126.000.000 010 125.000.000 20.188.198 125.000.000 1.472.835.346

TIO= 20.00%

VPN(i=TIO) 87.871.131 87.871.131 Acum10 = 1.472.835.346 TIR = 32,18% RV = 25,66% 25,66%

a)� El valor presente neto del proyecto es igual a $87.871.131. Para su cálculo se

utilizó la función de valor presente neto (VNA en español) de Excel, utilizando como tasa de descuento la TIO del 20%.

b)� La tasa interna de retorno es igual al 32,18% y corresponde a la rentabilidad in-

terna del proyecto; para su cálculo se utilizó la función TIR de Excel.



�

c)� La interpretación del valor presente neto encontrado en a) corresponde a un va-lor económico adicional en la fecha cero, que el proyecto en estudio le agregaría a la empresa, frente a las inversiones convencionales que generan una rentabili-dad del 20%. Lo anterior significa que si las oportunidades convencionales gene-ran un valor económico igual a Z, este proyecto genera Z + $87.871.131 en términos de valor económico.

d)� La penúltima columna muestra la cantidad acumulada al final del año 10, por

cada flujo que libera el proyecto, reinvertido a la tasa de interés de oportunidad. A manera de ejemplo, para el flujo liberado al final del año 5:

AC10 = 60.000.000 * (1+0,20)5 = 149.299.200 Procediendo de igual forma para cada flujo y sumando, se obtiene: AC10 = 1.472.835.346

e)� Para encontrar la rentabilidad verdadera, se debe encontrar la tasa de interés que

permite acumular la cifra anterior ($1.472.835.346), partiendo de una inversión de $150.000.000, esto es:

150.000.000 * (1+Rv)10 =1.472.835.346 Despejando, se obtiene: Rv = (1.472.835.346/150.000.000)(1/10) -1 = 25,66% El mismo valor se puede obtener encontrando la tasa interna de retorno (TIR) del flujo que se muestra en la última columna, lo cual da nuevamente 25,66%. Así mismo, el valor anterior se puede obtener aplicando directamente la función de tasa de interés modificada (TIRM) al flujo original (flujos del proyecto A); esto es: RV = TIRM(valores; tasa de financiamiento; tasa de reinversión) RV = TIRM(35.000:125.000.000; 0; 0,20) = 25,66%

f)� La tasa encontrada en b) es una rentabilidad interna del proyecto; es lo que el

proyecto le permite generar a 1 peso, mientras el mismo se encuentre invertido en el proyecto. La rentabilidad verdadera es un promedio entre lo que renta in-ternamente el proyecto y lo que se puede hacer por fuera del proyecto, esto es, reinvertir los flujos liberados a la tasa de interés de oportunidad (20%).

[144]

Capítulo 5


�

Ejemplo 5.8

Considere los dos proyectos de inversión A y B, mutuamente excluyentes, que se muestran en el Cuadro 5.4, donde también se muestran los resultados de los cálculos para el valor presente neto calculado para una TIO del 18% y la tasa interna de re-torno, cálculos que se deben verificar. Como se muestra, el ordenamiento o selección que produce el valor presente neto es diferente al ordenamiento o selección que pro-duce la tasa interna de retorno. a)� ¿Cuál ordenamiento es el correcto? ¿Por qué? b)� ¿Cuál es la suma que permite acumular cada proyecto y las oportunidades con-

vencionales? c)� ¿Cuál es la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de

$150.000.000, a través de lo que permite hacer cada proyecto y lo que él puede hacer por fuera del proyecto?

Cuadro 5.4

Año Proyecto A Proyecto B

Flujos Flujos

0 -150.000.000 -150.000.0001 35.000.000 20.000.0002 40.000.000 30.000.0003 44.000.000 35.000.0004 50.000.000 45.000.0005 60.000.000 50.000.0006 70.000.000 70.000.0007 80.000.000 95.000.0008 90.000.000 120.000.0009 105.000.000 170.000.000

10 125.000.000 190.000.000

TIO= 20.00%

VPN (i=TIO)= 87.871.131 91.046.876 TIR = 32,18% 30,39%

En el Cuadro 5.5 se muestran los cálculos necesarios para responder a las preguntas: ��


�

Cuadro 5.5

Año Proyecto A

flujos Proyecto B

flujos

Valor presente flujo individual

Proyecto A

Valor presente flujo individual

Proyecto B

Acumulación al final del año 10

Proyecto A

Acumulación al final del año 10

Proyecto B 0 150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 1 35.000.000 20.000.000 29.166.667 16.666.667 180.592.312 103.195.607 2 40.000.000 30.000.000 27.777.778 20.833.333 171.992.678 128.994.509 3 44.000.000 35.000.000 25.462.963 20.254.630 157.659.955 125.411.328 4 50.000.000 45.000.000 24.112.654 21.701.389 149.299.200 134.369.280 5 60.000.000 50.000.000 24.112.654 20.093.879 149.299.200 124.416.000 6 70.000.000 70.000.000 23.442.858 23.442.858 145.152.000 145.152.000 7 80.000.000 95.000.000 22.326.532 26.512.756 138.240.000 164.160.000 8 90.000.000 120.000.000 20.931.124 27.908.165 129.600.000 172.800.000 9 105.000.000 170.000.000 20.349.703 32.947.139 126.000.000 204.000.000

10 125.000.000 190.000.000 20.188.198 30.686.061 125.000.000 190.000.000 91.046.876

TIO= 20,00%

VPN(i=TIO) 87.871.131 91.046.876 87.871.131 Acum10 = 1.472.835.346 1.492.498.724 TIR = 32,18% 30,39% RV = 25,66% 25,83%

a)� El ordenamiento correcto es el que produce el valor presente neto, ya que tiene

implícito el supuesto correcto, esto es, que los flujos que libera el proyecto se re-invierten a la tasa de interés de oportunidad (TIO). Como se verá posteriormen-te, este ordenamiento coincide con el de la rentabilidad verdadera o rentabilidad media.

b)� En el cuadro se muestran los cálculos intermedios y el resultado final para cada

proyecto: ACA,10 = $1.472.835.346 ACB,10 = $1.492.498.724 La acumulación a través del proyecto B es mayor que la acumulación a través del proyecto A.

c)� Encontrar la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de

$150.000.000, para ello se resuelve en cada caso la ecuación:

150.000.000 * (1+RVA)10 =1.472.835.346 150.000.000 * (1+RVB)10 =1.492.498.724 Por lo tanto, RVA = 25,66% RVB = 25,83%


[146]

Capítulo 5


�

A M O R T I Z A C I Ó N Y R E E S T R U C T U R A C I Ó N D E C R É D I T O S

La determinación de la cuota a pagar para amortizar un crédito es un problema relati-vamente sencillo, que requiere un trabajo adicional bastante importante para des-componer la cuota mensual en intereses y amortización a capital. Hay que recordar que el valor total de la cuota afecta el flujo de caja de un proyecto o de una empresa; sin embargo, solamente los intereses hacen parte del estado de pérdidas y ganancias (gastos financieros) y son deducibles de impuestos. En los siguientes cinco ejemplos se ilustra el cálculo de la cuota mensual y su descomposición en intereses y amortiza-ción a capital.

Ejemplo 5.9

Suponga un crédito a 5 años, con un interés efectivo del 20% anual, y 60 pagos mensuales iguales al final de cada mes (cuota uniforme). El valor del crédito es de $60.000.000. ¿Cuál sería la cuota mensual?

Para calcular la cuota mensual se debe tener en cuenta que las 60 cuotas mensuales traídas a valor presente a una tasa mensual equivalente a un 20% efectivo anual, tienen que ser iguales al monto del crédito. En otras palabras, se trata de calcular el valor presente correspondiente a una serie uniforme de 60 pagos, que sea igual a $60.000.000, utilizando una tasa de interés mensual equivalente a una tasa efectiva anual del 20%. Esta tasa mensual es del 1,5309%. Por lo tanto:

60.000.000 = Cuota mensual * ]0,015309)+(1*[0,015309

1]-0,015309)+[(160

60

60.000.000 = Cuota mensual * 39,068786 Cuota mensual = 1.535.752,84

El valor de la cuota anterior se podría haber calculado directamente utilizando la fun-ción de pago de Excel: PAGO(0,015309,60,60.000.000).

Ejemplo 5.10

Descomponer el valor de la cuota mensual del problema anterior entre intereses y amortización a capital.

Para la descomposición de la cuota en intereses y amortización a capital hay que construir una tabla como la que se muestra en el Cuadro 5.6, en la cual del valor de la cuota mensual se resta el monto de los intereses mensuales a pagar, sobre saldo al comienzo del período. A manera de ejemplo, al comienzo del mes 15, el saldo del crédito era de $50.444.636; si se aplica un interés del 1,5309% mensual sobre este saldo, el valor de los intereses mensuales sería de $772.281. El valor de la cuota uni-


Amortización y reestructuración de créditos

�

forme es de $1.535.753; por lo tanto la amortización a capital durante el mes 15 co-rresponde a la diferencia ($1.535.753-$772.281), para un valor de $763.472; de igual forma se hace la descomposición entre intereses y amortización a capital, para cualquier mes durante la vigencia del crédito. Como se mencionó, los gastos financie-ros son los únicos deducibles de impuestos.

Para encontrar el valor correspondiente al pago de intereses y a la amortización de capital se podrían haber utilizado respectivamente las dos fórmulas de Excel, PAGOINT y PAGOPRIN.

PAGOINT(0,015309;15;60;60.000.000) = 772.281 PAGOPRIN(0,015309;15;60;60.000.000) = 763.472

Cuadro 5.6

Cuota Valor Saldo

Interés Amortización

CuotaValor Saldo

Interés Amortización

Cuota Crédito a capital Cuota Crédito a capital

1 1.535.753 59.382.815 918.568 617.185 31 1.535.753 35.747.524 562.181 973.572

2 1.535.753 58.756.182 909.119 626.633 32 1.535.753 34.759.047 547.276 988.477

3 1.535.753 58.119.955 899.526 636.227 33 1.535.753 33.755.437 532.143 1.003.610

4 1.535.753 57.473.988 889.786 645.967 34 1.535.753 32.736.462 516.778 1.018.975

5 1.535.753 56.818.131 879.896 655.857 35 1.535.753 31.701.887 501.178 1.034.575

6 1.535.753 56.152.234 869.856 665.897 36 1.535.753 30.651.473 485.339 1.050.414

7 1.535.753 55.476.142 859.661 676.092 37 1.535.753 29.584.978 469.258 1.066.495

8 1.535.753 54.789.700 849.310 686.442 38 1.535.753 28.502.155 452.930 1.082.823

9 1.535.753 54.092.748 838.801 696.952 39 1.535.753 27.402.755 436.353 1.099.400

10 1.535.753 53.385.127 828.131 707.622 40 1.535.753 26.286.524 419.522 1.116.231

11 1.535.753 52.666.672 817.298 718.455 41 1.535.753 25.153.204 402.433 1.133.320

12 1.535.753 51.937.218 806.299 729.454 42 1.535.753 24.002.533 385.082 1.150.671

13 1.535.753 51.196.596 795.131 740.622 43 1.535.753 22.834.247 367.466 1.168.287

14 1.535.753 50.444.636 783.793 751.960 44 1.535.753 21.648.074 349.580 1.186.173

15 1.535.753 49.681.164 772.281 763.472 45 1.535.753 20.443.742 331.421 1.204.332

16 1.535.753 48.906.003 760.592 775.161 46 1.535.753 19.220.972 312.983 1.222.770

17 1.535.753 48.118.976 748.725 787.028 47 1.535.753 17.979.482 294.263 1.241.490

18 1.535.753 47.319.899 736.676 799.077 48 1.535.753 16.718.985 275.256 1.260.497

19 1.535.753 46.508.588 724.443 811.310 49 1.535.753 15.439.191 255.959 1.279.794

20 1.535.753 45.684.857 712.022 823.731 50 1.535.753 14.139.804 236.366 1.299.387

21 1.535.753 44.848.516 699.411 836.342 51 1.535.753 12.820.524 216.473 1.319.280

22 1.535.753 43.999.370 686.607 849.146 52 1.535.753 11.481.047 196.275 1.339.477

23 1.535.753 43.137.224 673.607 862.146 53 1.535.753 10.121.063 175.769 1.359.984

24 1.535.753 42.261.879 660.408 875.345 54 1.535.753 8.740.258 154.948 1.380.805

25 1.535.753 41.373.133 647.007 888.746 55 1.535.753 7.338.314 133.809 1.401.944

26 1.535.753 40.470.781 633.401 902.352 56 1.535.753 5.914.907 112.346 1.423.407

27 1.535.753 39.554.615 619.586 916.167 57 1.535.753 4.469.708 90.554 1.445.199

28 1.535.753 38.624.422 605.560 930.193 58 1.535.753 3.002.384 68.429 1.467.324

29 1.535.753 37.679.989 591.319 944.433 59 1.535.753 1.512.596 45.965 1.489.788

30 1.535.753 36.721.096 576.861 958.892 60 1.535.753 0 23.157 1.512.596

Con frecuencia se presenta la necesidad de reestructurar un crédito una vez que ha transcurrido un período de tiempo desde el momento del desembolso y la deuda se ha estado sirviendo adecuadamente. La reestructuración puede consistir en cambiar

[148]

Capítulo 5


�

una o varias condiciones de las que fueron pactadas inicialmente (p. ej., plazo, tasa de interés, modalidad de pago, modalidad de amortización).

Ejemplo 5.11

En el crédito del problema anterior, una vez que han transcurrido 26 meses desde el desembolso, y se han hecho 26 pagos, se solicita una reestructuración del crédito, para ampliar su plazo por cinco años más a partir de la finalización del mes 26 y dis-minuir la tasa de interés al 16% efectivo anual. ¿Cuál debería ser el monto de la cuo-ta a pagar, si se mantiene el sistema de una cuota uniforme o constante, durante la vigencia del crédito?

La tasa de interés del 16% efectiva anual es equivalente a una tasa de interés del 1,2445% mes vencido. El saldo del crédito al finalizar el mes 26, después de 26 pagos mensuales, es de $40.470.781, tal y como se puede observar en la tabla que se cons-truyó para el problema anterior. Hay que recordar que todo pago tiene dos compo-nentes, uno de interés y otro de amortización a capital.

Por lo tanto, el valor del crédito, o sea el saldo por amortizar a la finalización del mes 26, una vez se ha hecho el correspondiente pago, es de $40.470.781, que sería el monto a amortizar durante la vigencia del crédito reestructurado, esto es durante 5 años o 60 meses. Aplicando nuevamente la relación básica para encontrar el valor presente de una cuota mensual uniforme o constante durante 60 meses, a una tasa de interés mensual del 1,2445%, se obtiene el valor de la nueva cuota a pagar:

40.470.781 = Nueva cuota mensual * ]0,012445)+(1*[0,012445

1]-0,012445)+[(160

60

Despejando, se obtiene el valor de la nueva cuota a pagar:

Nueva cuota a pagar: $961.399,05

Ejemplo 5.12

Un crédito por valor de $100.000.000 a 7 años, se va a pagar mensualmente, en pa-gos iguales, al final de cada mes, durante la vigencia del crédito (cuota constante). La tasa de interés del crédito es del 21% nominal anual, trimestre vencido. ¿Cuál es el valor de la cuota mensual? Monto del crédito: $100.000.000 Tasa de interés: 21% NA TV Plazo: 7 años Plazo: 84 meses


�

Tasa efectiva del crédito: 22,71% Tasa mensual: 1,720% Valor de la cuota anual:

100.000.000 = Cuota* ])i+(1*[i

1]-)i+[(184

mvmv

84mv

100.000.000 = Cuota * 44,26

Valor de la cuota mensual: $2.259.490

Utilizando la función “Pago” de Excel: Valor de la cuota = PAGO(1,720%;84;100.000.000) = $2.259.490

Ejemplo 5.13

¿Cómo se descompone la cuota número 50 del problema 5.12, entre amortización a capital y pago de interés?

En el Cuadro 5.7 se muestra parcialmente un procedimiento para descomponer la cuota pagada en pago de interés y amortización a capital; para el caso de la cuota del mes 50, el valor de la cuota ($2.259.490) se descompone en pago de intereses ($1.015.684) y amortización a capital ($1.243.806).

En la Figura 5.2 se muestra la cuota, y su descomposición mes a mes, durante la vida del crédito:

Figura 5.2 Descomposición de la cuota

�

Amortización y reestructuración de créditos

[150]

Capítulo 5


�

La descomposición de cualquier cuota entre intereses y amortización a capital se pue-de realizar utilizando las dos funciones de Excel:

PAGOINT(tasa; período solicitado; número de períodos; monto) PAGOINT(1,720%; 50; 84; 100.000.000) = $1.015.684 PAGOPRIN(tasa; período solicitado; número de períodos; monto) PAGOPRIN(1,720%; 50; 84; 100.000.000) = $1.243.805 �

Cuadro 5.7

Año Saldo comienzo mes Cuota Interés Amortización 1 100.000.000 2.259.490 1.720.238 539.252 2 99.460.748 2.259.490 1.710.962 548.528 3 98.912.220 2.259.490 1.701.526 557.964 4 98.354.256 2.259.490 1.691.927 567.562 5 97.786.694 2.259.490 1.682.164 577.326 6 97.209.368 2.259.490 1.672.233 587.257 7 96.622.111 2.259.490 1.662.130 597.359 8 96.024.752 2.259.490 1.651.854 607.635 9 95.417.117 2.259.490 1.641.402 618.088 10 94.799.028 2.259.490 1.630.769 628.721 37 73.422.219 2.259.490 1.263.037 996.453 38 72.425.766 2.259.490 1.245.896 1.013.594 39 71.412.172 2.259.490 1.228.459 1.031.030 40 70.381.142 2.259.490 1.210.723 1.048.766 41 69.332.375 2.259.490 1.192.682 1.066.808 42 68.265.568 2.259.490 1.174.330 1.085.159 43 67.180.408 2.259.490 1.155.663 1.103.827 44 66.076.581 2.259.490 1.136.675 1.122.815 45 64.953.766 2.259.490 1.117.359 1.142.130 46 63.811.636 2.259.490 1.097.712 1.161.778 47 62.649.858 2.259.490 1.077.727 1.181.763 48 61.468.095 2.259.490 1.057.398 1.202.092 49 60.266.003 2.259.490 1.036.719 1.222.771 50 59.043.232 2.259.490 1.015.684 1.243.806 81 8.662.254 2.259.490 149.011 2.110.478 82 6.551.775 2.259.490 112.706 2.146.784 83 4.404.992 2.259.490 75.776 2.183.713 84 2.221.278 2.259.490 38.211 2.221.278

N Ú M E R O D E P E R Í O D O S N E C E S A R I O S P A R A L O G R A R U N O B J E T I V O E S P E C Í F I C O

En algunos casos es necesario estimar el número de períodos para lograr un objetivo específico, bajo ciertas circunstancias, por ejemplo cuando un inversionista quiere co-nocer el tiempo que le lleva recuperar una inversión teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, o cuando se quiere acumular una cantidad haciendo depósitos


Número de períodos necesarios para lograr un objetivo específico

�

en algún fondo para cubrir un gasto futuro, tal como el pago de una pensión o la matrícula de un estudiante. En los siguientes dos ejemplos usted se enfrentará a de-terminar los períodos de tiempo necesarios para alcanzar un objetivo específico.

Ejemplo 5.14

Considere el flujo de caja del ejemplo 5.7 de este capítulo y estime el número de años que se requieren para recuperar la inversión, teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

En el Cuadro 5.8 se muestran los cálculos necesarios para dar respuesta a la pregunta formulada:

Cuadro 5.8

Año Proyecto A

flujos Valor presenteflujo individual

Valor presente acumulado

0 -150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 1 35.000.000 29.166.667 -120.833.333 2 40.000.000 27.777.778 -93.055.556 3 44.000.000 25.462.963 -67.592.593 4 50.000.000 24.112.654 -43.479.938 5 60.000.000 24.112.654 -19.367.284 6 70.000.000 23.442.858 4.075.574 7 80.000.000 22.326.532 26.402.106 8 90.000.000 20.931.124 47.333.230 9 105.000.000 20.349.703 67.682.933

10 125.000.000 20.188.198 87.871.131 TIO= 20,00% Número de años= 5,826 VPN (i=TIO) 87.871.131 Número de meses= 69,91 TIR = 32,18%

En la última columna se muestra el valor presente acumulado hasta ese momento, el cual se vuelve positivo en algún punto entre los años 5 y 6. Si se hace una aproxima-ción en línea recta, el tiempo necesario para recuperar la inversión sería de 5,826 años o su equivalente de 69,91 meses.

Ejemplo 5.15

Considere una situación en la cual se quiere acumular una suma de $120.000.000, haciendo depósitos mensuales iguales (serie uniforme), durante N meses. El valor de cada uno de los N depósitos será igual a $800.000. Se quiere averiguar el número de meses necesarios para acumular los $120.000.000. La tasa de interés anual es del 20% efectivo que corresponde a una tasa mensual vencida del 1,5309%.

Nuevamente se parte de la fórmula del valor futuro de una serie mensual uniforme, donde cada pago mensual es igual a $800.000.

[152]

Capítulo 5


�

[0,015309]1]-0,015309)+[(1

* 800.000 = 0120.000,00N

Despejando N en la ecuación anterior se obtiene:

1+ (VF/Cuota)*i = (1+i)N

N = i]+Ln[1

i]*)Cuota

VF( +Ln[1

N = 0,015193

1,1928 = 78,5

Si se hicieran 78 depósitos, el valor acumulado sería de $118.668.148 Si se hicieran 79 depósitos, el valor acumulado sería de $121.284.839

Otra forma de encontrar la misma respuesta sería a través de Excel, utilizando la fun-ción “Buscar objetivo”, para resolver la ecuación:

120.000.000 = [0.015309]

1]-0.015309)+[(1 * 800.000 N

Se calcula la función financiera de valor futuro (VF), para una cuota mensual de 800.000, con un interés mensual de 1,5309% y un número de períodos cualquiera, por ejemplo 70. Esto es,

VF(0,015309;70;800.000) = 99.108.005

A manera de ejemplo, en una hoja de cálculo en Excel (Cuadro 5.9):

Cuadro 5.9

Columna A Columna B45 Valor futuro 99.108.00546 Cuota mensual 800.00047 48 Tasa de interés 20,00%49 1,5309%50 51 Plazo 70

En la celda B45 se introduce la función de valor futuro, relacionada con las otras cel-das, esto es, VF(B49,B51,B46), y aparece el número 99,108,005, que corresponde al valor futuro para las condiciones especificadas. Inmediatamente se busca en Herra-mientas, la función “Buscar objetivo”, donde la celda objetivo es la celda B45, con un valor objetivo de 120.000.000, para variar el contenido de la celda B51, esto es el


Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita

�

número de meses. Una vez que hacemos lo anterior y aceptamos, la hoja de cálculo nos devuelve el valor de 78,5 en la celda B51 y la celda B45 queda con el valor de 120.000.000.

La utilización de la función “Buscar objetivo” de Excel puede ser útil en problemas con una estructura matemática más compleja, que no permitan encontrar una expre-sión cerrada, como la que se acaba de encontrar en este ejemplo.

G R A D I E N T E S C O N C R E C I M I E N T O C O N S T A N T E , A P E R P E T U I D A D O C O N U N A D U R A C I Ó N F I N I T A

El gradiente con crecimiento constante tiene múltiples aplicaciones en la vida real tal y como se mostrará en los siguientes ejemplos.

El planteamiento general del problema es el mismo del gradiente infinito con creci-miento constante g. Esto es, un flujo que para el primer año es igual a F1, para el se-gundo año sería igual a:

F2 = F1* (1+g)

Para el tercer año, F3 = F2*(1+g) = F1*(1+g)2

Para el cuarto año, F4 = F3*(1+g) = F1*(1+g)3

Para el enésimo año, FN = FN-1*(1+g) = F1*(1+g)(N-1)

Cuando se trata de un gradiente con crecimiento constante a perpetuidad, en el Capítulo 2 de este libro se demostró que el valor presente es igual a:

g) - (TIOD

= P 1

Cuando el número de períodos durante el cual se da el crecimiento constante g es finito e igual a N, la relación anterior se modifica a:

��

�

�

��

�

��

��

��

��

� N1

k)+(1g)+(1

-1 *g) - (k

D = P

Ejemplo 5.16 Suponga un flujo de caja con un crecimiento constante, pero finito. El flujo del primer año es de 1.850, y de ahí en adelante crece a una tasa constante g igual a 10%. La tasa de interés de oportunidad es del 18%. ¿Cuál es el valor presente si se trata de un flujo finito a 40 años?

[154]

Capítulo 5


�

Si se tratara de un flujo infinito, en las condiciones de crecimiento y de tasa de interés especificados, el valor presente sería:

Pinfinito = 23.125 = 0,10)-(0,18

1.850

En la medida en que se trata de un flujo finito a 40 años, el factor de corrección sería:

Factor de corrección = 0,9397 = 0,18)+(10,10)+(1

-1 =k)+(1g+(1

-140m

��

�

�

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

Por lo tanto, P40 =� ��

�

�

�

��

�

��

��

��

��

�40

0,18+10,10+1

-1 *0,10) - (0,18

1.850

P40 = 23.125 * 0,9397 = 21.730 En el Cuadro 5.10 se muestran los resultados para una serie finita, hasta 40 años, en las condiciones de tasa de interés de oportunidad y crecimiento definidas previamente.

Cuadro 5.10

Año FJ JJ

TIO)(1+F Valor

presenteAño FJ J

J

TIO)+(1

F

Valor Presente

1 1.850 1.568 1.568 21 12.446 385 17.831 2 2.035 1.462 3.029 22 13.690 359 18.190 3 2.239 1.362 4.392 23 15.060 335 18.524 4 2.462 1.270 5.662 24 16.565 312 18.836 5 2.709 1.184 6.846 25 18.222 291 19.127 6 2.979 1.104 7.949 26 20.044 271 19.398 7 3.277 1.029 8.978 27 22.049 253 19.651 8 3.605 959 9.937 28 24.253 236 19.886 9 3.966 894 10.831 29 26.679 220 20.106 10 4.362 833 11.665 30 29.347 205 20.310 11 4.798 777 12.442 31 32.281 191 20.501 12 5.278 724 13.166 32 35.510 178 20.679 13 5.806 675 13.841 33 39.060 166 20.845 14 6.387 629 14.471 34 42.967 155 21.000 15 7.025 587 15.057 35 47.263 144 21.144 16 7.728 547 15.604 36 51.990 134 21.278 17 8.501 510 16.114 37 57.188 125 21.403 18 9.351 475 16.590 38 62.907 117 21.520 19 10.286 443 17.033 39 69.198 109 21.629 20 11.314 413 17.446 40 76.118 101 21.730



�

Ejemplo 5.17 Estamos al finalizar el año 2009 y se quiere valorar el precio de una acción, que va a pagar dividendos para el año 2010 de $16.000 por acción. El pago de dividendo se va a hacer en cuatro contados trimestrales iguales, al finalizar los meses de marzo, junio, septiembre y diciembre. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 20% efectivo anual. ¿Cuál es el valor de mercado de la acción, bajo el siguiente escenario: los dividendos crecen de un año al siguiente en un 10%; sin embargo, el dividendo de cada año se paga en cuatro contados iguales al final de los meses espe-cificados? En el Cuadro 5.11 y en la Figura 5.3 se muestra la secuencia de pagos esperados para los próximos 6 años y para cada año el equivalente anual al final del año. En otras palabras, el flujo de pagos trimestrales iguales durante un año se puede transformar en un flujo de pagos anuales que crecen a una tasa constante g igual al 10%, que corresponde al crecimiento supuesto de un año al siguiente. ��

Cuadro 5.11

Año Trimestre Pago Equivalente Crecimiento trimestral anual anual

1 1 4.000 1 2 4.000 1 3 4.000 1 4 4.000 17.154 2 1 4.400 2 2 4.400 2 3 4.400 2 4 4.400 18.870 10,00% 3 1 4.840 3 2 4.840 3 3 4.840 3 4 4.840 20.757 10,00% 4 1 5.324 4 2 5.324 4 3 5.324 4 4 5.324 22.833 10,00% 5 1 5.856 5 2 5.856 5 3 5.856 5 4 5.856 25.116 10,00% 6 1 6.442 6 2 6.442 6 3 6.442 6 4 6.442 27.627 10,00%

[156]

Capítulo 5


Figura 5.3

�Para el año 1, el dividendo anual que se paga se representa por D1; por lo tanto, el dividendo trimestral sería igual a D1/4; se trata de cuatro pagos trimestrales iguales. Si el interés efectivo anual es igual a i, el interés trimestral vencido equivalente sería igual a itv; para estas condiciones generales, el flujo acumulado al final del primer año o flujo equivalente al final del primer año, sería igual a:

F1 = ��

��

��

��

�

tv

4tv1

i1-)i+(1

*4

D

Para el año 2, el dividendo anual que se paga se representa por D2; por tanto, el divi-dendo trimestral sería igual a D2/4. Sin embargo, D2 es igual a D1*(1+g), donde g es la tasa de crecimiento del dividendo entre años. Se trata de cuatro pagos trimestrales iguales. Si el interés efectivo anual es igual a i, el interés trimestral vencido equivalen-te sería igual a itv; para estas condiciones generales, el flujo acumulado al final del se-gundo año o flujo equivalente al final del segundo año sería igual a:

��

��

�

tv

4tv

1 2 i1-)i+(1

*g)+(1*/4)(D =F

De igual forma, el flujo equivalente anual al final del tercer año sería igual a:

��

��

�

tv

4tv2

1 3 i1-)i+(1

*g)+(1*/4)(D =F

En general, el flujo equivalente anual al final del j-ésimo año sería igual a:


�

��

��

�

tv

4tv1-J

1J i1-)i+(1

*g)+(1*/4)(D =F , para todo J, J = 1, 2, 3, 4, 5,…, infinito

Como se puede observar, se trata de un flujo infinito anual que crece a una tasa constante g, con un valor para el primer año igual a 17.154,45; para el problema par-ticular que se está resolviendo,

��

��

�

tv

4tv

11 i1-)i+(1

*/4)(D =F

Por lo tanto, el valor de la acción en la fecha cero es igual al valor presente de un flu-jo que crece a una tasa constante g igual al 10%, con una tasa de interés efectiva anual del 20%.

Precio de la acción = 171.544,46 =0,10)-(0,20

17.154,45 =

g)-(iF

= P 10

Ejemplo 5.18 ¿Cuál es el valor de una acción que para el primer año paga un dividendo de $1.500.000, al año a partir de la fecha actual (fecha cero)? Los dividendos crecen anualmente con una tasa de crecimiento del 4% en términos reales. La inflación es-perada es del 5%. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 18% efectivo anual. Dividendo, primer año: $1.500.000 Tasa de crecimiento: 4% en términos reales Inflación: 5% Cálculo del crecimiento en términos nominales Fórmula a utilizar: (1+iN) = (1+iR)*(1+inflación) iN = (1+0,04)*(1+0,05)-1 = 0,092 Tasa de crecimiento en términos nominales: 9,200% Tasa de interés de oportunidad del inversionista = 18,00%


[158]

Capítulo 5


�

Valor de la acción, horizonte infinito = = 0,092)-(0,18

1.500.000 =

g)-(1D 1

El valor de la acción en las condiciones especificadas sería de $17.045.455 Ejemplo 5.19 Suponga el mismo ejemplo 5.18, pero en donde usted tiene una obligación de vender la acción al final del año 10 por valor de $20.000.000, después de haber recibido el dividendo de ese año. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 18%. Valor presente crecimiento infinito = 17.045.455 Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * FC

Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * 10

0,18)+(10,092)+(1

-1 ��

��

��

��

Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * 0,539 = 9.192.829 El valor presente de los $20.000.000 (recompra) al final de los 10 años, a una tasa de descuento del 18% (TIO), es igual a $3.821.289. La suma de los dos valores daría $13.014.118, que correspondería al precio de la acción en las condiciones señaladas. Al mismo resultado se podría haber llegado si se toma en cuenta el flujo de ingresos esperados de la acción, de acuerdo con las condiciones especificadas, tal y como se muestra en el cuadro adjunto (columna derecha, Cuadro 5.12). El valor presente de ese flujo, descontado a la TIO del 18%, es igual a $13.014.118; para ello se utiliza la función de valor presente neto (VNA en español) o se trae a valor presente cada flujo individualmente (Cuadro 5.12).

Cuadro 5.12

Año Dividendos Venta Flujo total

0 1 1.500.000 1.500.000 2 1.638.000 1.638.000 3 1.788.696 1.788.696 4 1.953.256 1.953.2565 2.132.956 2.132.956 6 2.329.188 2.329.188 7 2.543.473 2.543.473 8 2.777.472 2.777.472 9 3.033.000 3.033.000 10 3.312.036 20.000.000 23.312.036


�

Ejemplo 5.20 Para el problema anterior, ¿cuánto le deberían dar por la acción al final del año 10, para que resultara indiferente, frente al valor que tiene la acción si no la tiene que vender al final del año 10, esto es el valor encontrado en el ejemplo 5.18? Para encontrar el valor de recompra que lleve al mismo resultado de la acción bajo el escenario de crecimiento infinito ($17.045.455), se aplica la función “Buscar objeti-vo” al Cuadro 5.12, y se varía la celda que contiene el valor de recompra, para dar el monto especificado. El resultado obtenido para el valor de recompra es de $41.099.354, tal y como se muestra en el Cuadro 5.13.

Cuadro 5.13

Año Dividendos Venta Flujo

0 1 1.500.000 1.500.000 2 1.638.000 1.638.000 3 1.788.696 1.788.696 4 1.953.256 1.953.256 5 2.132.956 2.132.956 6 2.329.188 2.329.188 7 2.543.473 2.543.473 8 2.777.472 2.777.472 9 3.033.000 3.033.000 10 3.312.036 41.099.354 44.411.390

VNA = $ 17.045.455.00

Ejemplo 5.21 Al finalizar el año 2009 se requiere hacer 80 pagos trimestrales, durante los 20 años siguientes. Los cuatro pagos trimestrales que se hacen durante un año son iguales y van a crecer de un año al siguiente a una tasa constante g igual al 10% (p. ej., el cre-cimiento podría ser igual a la inflación esperada más unos puntos por encima de ella). Cada pago trimestral se hará al finalizar los meses de marzo, junio, septiembre y di-ciembre. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 20% efectivo anual. A usted le proponen reemplazar la secuencia de pagos anteriormente descrita por un solo pago al final de diciembre de 2009, equivalente en valor presente utilizando las condiciones especificadas, y le dan un descuento del 10%. ¿Cuál sería el valor del pago a realizar? El valor del pago para el primer año es de 160 millones de pesos; por lo tanto, el pago para cada uno de los cuatro trimestres del año sería de 40 millones de pesos.


[160]

Capítulo 5


�

Siguiendo la lógica del problema anterior, se calcularía el valor presente de un flujo de pagos anuales equivalentes al final de cada año que crecen a una tasa constante g igual al 10%, durante 20 años. El valor del flujo para el primer año sería igual a:

F1= i

1)-)i+((1*40.000.000 =

i1)-)i+((1

*4

000.000 160

tv

4tv

tv

4tv

��

��

��

��

��

��

Si se tratara de un flujo infinito de pagos anuales que crecen a una tasa constante del 10% anual, el valor presente sería: VP = F1/(i-g) = 171.544.464/(0,20-0,10) = 1.715.444.640 Sin embargo, se trata de un flujo finito a 20 años. Aplicando el factor de corrección correspondiente derivado previamente, se obtendría:

Factor de corrección para 20 años = 0,8245=0,20)+(10,10)+(1

-1 =k)+(1g)+(1

-120N

��

�

�

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

Por lo tanto, el valor presente sería igual a 1.715.444.640*0,8245 =1.414.417.613 Con un descuento del 10%, el valor a pagar sería de $1.272.975.852. Ejemplo 5.22 Un fondo de inversión reconoce un interés efectivo del 12% anual, y se van a hacer 84 depósitos mensuales al fondo durante los próximos 7 años. El primer depósito se hace dentro de un mes y así sucesivamente hasta finalizar el año 7; los 12 depósitos que se hacen cada año son iguales; sin embargo, incrementan de un año al siguiente con la inflación esperada que es del 5%. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al final de los 7 años, si cada uno de los 12 depósitos que se hacen durante el primer año tiene un valor de $900.000? En la Figura 5.4 se muestra el diagrama de depósitos mensuales que se hacen de in-versión: ��


�

Figura 5.4 Comportamiento de los depósitos

El interés mensual equivalente (imv) a un interés efectivo del 12% es del 0,9489%. imv = (1+0,12)(1/12) – 1 = 0,009489 Los 84 depósitos mensuales se pueden reemplazar por 7 depósitos anuales, que se incrementan con la inflación, a través de la siguiente expresión:

F1 = 11.381.848 = 12,646 *900.000 = i

1] - )i+[(1 * 900.000

mv

12mv

F2 = 12,646*0,05)(1 *900.000 = i

1] - )i+[(1*g)(1 * 900.000

mv

12mv ��

F2 = 11.381.848 *(1+0,05) = 11.950.941, y así sucesivamente. Por lo tanto, los siete flujos anuales equivalentes (Cuadro 5.14) son:

Cuadro 5.14

Equivalencia Año Equivalente Crecimiento

1 11.381.848 2 11.950.941 5,00% 3 12.548.488 5,00% 4 13.175.912 5,00% 5 13.834.708 5,00% 6 14.526.443 5,00%7 15.252.765 5,00%

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� � �� MESES

��

��

��

��

��


[162]

Capítulo 5


�

Ahora se tiene un gradiente anual finito a 7 años equivalente a los 84 depósitos men-suales, con un primer valor de $11.381.848 y una tasa de crecimiento anual del 5%; para esta situación, el valor presente es:

P = 0,05)-(0,12

11.381.848* FC

FC = ��

�

�

��

�

��

��

�7

0,12)+(10,05)+(1

-1 = 0,363499

P = 0,05)-(0,12

11.381.848* 0,363499 = 59.104.186

Todos los pasos que se realizaron hasta el momento se pueden resumir en la siguiente expresión:

P = FC * g)-(i

i1) - )i+(1

* 900.000mv

12mv

��

��

�

P = 0,036499 * 0,05) - (0,12

0,0098491) - 0,009849) + ((1 900.000 12

�

�

�

�

El valor futuro solicitado sería igual a F84 = 59.104.186 * (1+0,12)7 = 130.660.525 S O L U C I Ó N A N A L Í T I C A V E R S U S S O L U C I Ó N E X H A U S T I V A

Los siguientes dos problemas muestran situaciones de alguna complejidad, que aun-que se pueden resolver analíticamente, como se hace en cada uno de ellos, se pueden a su vez resolver más fácilmente si se hace una solución exhaustiva en Excel, proyec-tando el flujo correspondiente y calculando un valor presente o un valor futuro.

Ejemplo 5.23

Un crédito por valor de $300 millones, con un plazo de 5 años, se va a amortizar en 60 cuotas mensuales tales que las 12 cuotas de cada año permanecen constantes o iguales. Sin embargo, las cuotas aumentan de un año al siguiente en un 2% en térmi-


Solución analítica versus solución exhaustiva

�

iguales. Sin embargo, las cuotas aumentan de un año al siguiente en un 2% en térmi-nos reales, con una inflación anual del 5%. La tasa de interés del crédito es una equi-valente al 21% nominal anual pagadero trimestre vencido. Determinar el valor de la cuota durante el primer año. a) Solución analítica (utilización de fórmulas)

Monto del crédito = $300.000.000 Tasa de interés: 21% NA TV Plazo del crédito (años) = 5 años Plazo del crédito (meses) = 60 meses Cuota uniforme durante el año: Incremento de la cuota anual: 2% real Inflación proyectada: 5% Incremento de la cuota anual: 7,1% nominal Tasa de interés efectiva, crédito: 22,71% efectivo Tasa de interés del crédito mensual: 1,72%

300.000.000 = FC* )g - (i

)g+(1 *

i1]-)i+[(1

*Cuotaaa

a

m

12m

1 ��

�

�

��

�

��

��

�

FC = 0,494 =)i+(1)g+(1

-15

a

a��

�

�

��

�

��

��

�

300.000.000 = Cuota1 * 13,203 * 6,405 * 0,494 300.000.000 = Cuota1 * 41,74 Cuota1 = 7.187.090

b) Solución exhaustiva

En el Cuadro 5.15 se muestra parcialmente el flujo de caja del crédito mes a mes, omitiendo, para facilitar, la presentación de los valores comprendidos entre los meses 19 y 46. Se parte de un valor supuesto de la cuota para el primer año (p. ej., $6.000.000) y se calcula el flujo en las condiciones especificadas, tal y como aparece en la segunda columna (cuota supuesta) del Cuadro 5.15. El valor presente de ese flujo es inferior a los $300.000.000 que corresponden al monto del crédito; si se aumenta la cuota del primer año aumentará el valor pre-sente, por lo cual la solución se podría encontrar por prueba y error.

[164]

Capítulo 5


�

Esto se hace más fácilmente si se utiliza la función “Buscar objetivo” de Excel, donde la celda objetivo es el valor presente neto (VNA) a la tasa de interés men-sual del crédito (1,7202%), el objetivo a alcanzar es el monto de $300.000.000 (desembolso del crédito) y la celda a modificar es el valor de la cuota en el año 1; automáticamente se obtiene la columna de la derecha (cuota real), para la cual el valor presente neto es igual al monto del crédito:

Cuadro 5.15

VNA(i) = 250.449.059 300.000.000

Cuota supuesta Cuota real0 1 6.000.000 7.187.0902 6.000.000 7.187.0903 6.000.000 7.187.0904 6.000.000 7.187.0905 6.000.000 7.187.0906 6.000.000 7.187.0907 6.000.000 7.187.0908 6.000.000 7.187.0909 6.000.000 7.187.09010 6.000.000 7.187.09011 6.000.000 7.187.09012 6.000.000 7.187.09013 6.426.000 7.697.37414 6.426.000 7.697.37415 6.426.000 7.697.37416 6.426.000 7.697.37417 6.426.000 7.697.37418 6.426.000 7.697.37419 6.426.000 7.697.37446 7.370.885 8.829.20347 7.370.885 8.829.20348 7.370.885 8.829.20349 7.894.218 9.456.07750 7.894.218 9.456.07751 7.894.218 9.456.07752 7.894.218 9.456.07753 7.894.218 9.456.07754 7.894.218 9.456.07755 7.894.218 9.456.07756 7.894.218 9.456.07757 7.894.218 9.456.07758 7.894.218 9.456.07759 7.894.218 9.456.07760 7.894.218 9.456.077

Ejemplo 5.24 El problema del ejemplo 5.22, resuelto en forma exhaustiva.


Solución analítica versus solución exhaustiva

�

En el Cuadro 5.16 se presenta parcialmente el flujo de caja de los depósitos que se hacen al fondo de inversión, al final de cada mes, escondiendo los depósitos entre los meses 24 y 70. Para estimar el valor acumulado al final de los 7 años o de los 84 me-ses, con una tasa de interés del 12% efectivo, equivalente a una tasa del 0,9489% mensual, se aplica la función de valor presente neto, VNA, al flujo de depósitos, lo cual da un valor presente en la fecha cero de $59.104.186. Para llevar el valor pre-sente anterior a un valor futuro en el mes 84, se utiliza la fórmula convencional para llevar un valor presente a valor futuro; esto es: F84 = 59.104.186 * (1+0,009489)84 = 130.660.525

Cuadro 5.16

Real

Mes Depósito01 900.000 2 900.0003 900.0004 900.000 5 900.0006 900.000 7 900.0008 900.000 9 900.00010 900.000 11 900.00012 900.000 13 945.000 14 945.00015 945.000 16 945.00017 945.000 18 945.00019 945.000 20 945.00021 945.000 22 945.00023 945.00024 945.000 70 1.148.65371 1.148.653 72 1.148.65373 1.206.086 74 1.206.08675 1.206.086 76 1.206.08677 1.206.086 78 1.206.086 79 1.206.08680 1.206.086 81 1.206.08682 1.206.086 83 1.206.08684 1.206.086

[167]

Capítulo 6 �

INFORMACIÓN FINANCIERA ESTRUCTURA OPERACIONAL Y APALANCAMIENTO OPERACIONAL I N F O R M A C I Ó N F I N A N C I E R A

Cualquier decisión de inversión o de financiamiento requiere información interna de la empresa, tal como costos, capacidad operacional, estrategia de producto precio, etc. e información externa a la misma, tal como comportamiento de la demanda de los bienes y servicios que vende la empresa, disponibilidad y precio de los insumos básicos, tasas de interés, tasas de cambio, etc. Esta información a veces la genera la misma empresa a través del registro contable y de los estados de resultados; sin em-bargo, no siempre se encuentra disponible en la forma como lo requiere la evaluación de un proyecto y hay que conseguirla o estimarla, lo cual es fuente permanente de incertidumbre y por lo tanto de riesgo. La información financiera de una empresa comprende un grupo de estados financie-ros entre los cuales se pueden mencionar: balance de la empresa (activos y pasivos), estado de pérdidas y ganancias del negocio (ingresos y egresos causados en la ejecu-ción de las actividades propias del negocio), flujo de caja de la empresa o del proyecto (ingresos recibidos y egresos efectivos pagados), cambio en el capital de trabajo de la empresa y cambio en el patrimonio de los accionistas. Con la informa-ción anterior se construyen indicadores que permiten hacer el seguimiento al negocio, desde las razones financieras tradicionales de liquidez, rentabilidad, eficiencia, endeu-damiento y riesgo, hasta sistemas más complejos de indicadores de gestión como el Balanced Score Card (BSC) de Kaplan y Norton1 que muestra la interacción entre las diferentes perspectivas2, para obtener un objetivo específico. Los profesionales que por diferentes razones se dedican al análisis de empresas cuen-tan con información proveniente de firmas especializadas tales como Bloomberg, Reuters o Morningstar, a nivel nacional e internacional; las entidades de vigilancia o de supervisión cuentan con información general y especializada sobre los estados fi-nancieros de las empresas que regulan o supervisan. En el caso específico de Colombia, las superintendencias Financiera, de Sociedades, de Servicios Públicos, pro-veen información básica muy útil e información procesada que han bajado a bases de datos de fácil acceso y utilización, lo que permite el análisis de alguna empresa en particular o de sectores empresariales. Las mismas empresas, como parte de sus pro-gramas de buen gobierno corporativo o para informar a sus inversionistas, han

��1 Kaplan & Norton, Balanced Score Card.

2 Perspectiva financi ra, del cliente o del mercado, de los procesos internos y del crecimiento y apren-

dizaje, Kaplan & Norton, Balanced Score Card.�

[168]

Capítulo 6


comenzado a colocar en Internet la información básica del negocio, tal como estados de resultados periódicos o memorias anuales. Para un proyecto de inversión hay que construir y proyectar los estados financieros básicos a partir de estimaciones sobre proyecciones de precios, demanda, participa-ción en el mercado y estimaciones de los costos y gastos propios del proyecto. Para la proyección de los estados proforma de un proyecto hay que hacer supuestos sobre el escenario macroeconómico en que se va a desarrollar el proyecto, la generación de ingresos y su estructura de egresos, lo cual requiere utilizar fuentes externas para de-finir un escenario básico (inflación, devaluación, crecimiento del PIB, etc.), fuentes externas para estimar los precios de venta del producto en el mercado por parte de la competencia, los precios de los insumos que requiere el proyecto y fuentes internas tales como gastos directos e indirectos asociados con el proyecto, y la política laboral para estimar el crecimiento de los costos laborales, etc., que suministrará el área con-table o el área de recursos humanos de la empresa. Con esta información y con los supuestos que sea necesario y razonable hacer sobre inversiones requeridas en activos fijos y en capital de trabajo, comportamiento de la estructura de ingresos del proyecto (precio de venta, demanda y participación en el mercado), supuestos sobre la estructura de costos del proyecto (costos involucrados, clasificación entre costos fijos y variables, etc.), políticas de depreciación y amortiza-ción de diferidos, política de provisiones, se proyectan los estados proforma durante el horizonte correspondiente a la vida útil del proyecto. Con los estados proforma del proyecto, proyectados para el horizonte de su vida útil, se tiene información básica para entrar a analizar el proyecto, a través de los indicadores que se cubrieron en el capítulo 4. B A L A N C E G E N E R A L Y E S T A D O D E P É R D I D A S Y G A N A N C I A S

�El balance general y el estado de pérdidas y ganancias son los estados básicos de cualquier negocio o proyecto; el primero comprende los activos que posee la empresa en una fecha dada y las obligaciones que tiene con diferentes proveedores de finan-ciamiento a la misma fecha, lo cual da el valor neto o patrimonio contable del negocio, mientras que el estado de pérdidas y ganancias registra los ingresos, costos y gastos de la empresa para establecer su utilidad neta. En el Cuadro 6.1 se muestra el balance de ISAGEN, una empresa de generación de energía eléctrica en Colombia, para los años 2007 y 2008; en el Cuadro 6.2 se muestra la participación relativa de las diferentes cuentas del balance respecto a los activos totales, para los años 2007 y 2008. Para este caso, las tres cuentas más importantes del activo son: propiedad planta y equipo; valorizaciones, y deudores, neto, con una participación relativa al finalizar el año 2008 del 56,19%, el 24,76% y el 7,72% respectivamente. La princi-pal fuente de financiamiento es el patrimonio de los accionistas, con una participación


Balance general y estado de pérdidas y ganancias

del 74,79%, mientras que las obligaciones financieras sólo representaban un 12,9% del total de activos.

Cuadro 6.1 ISAGEN – Balance, años 2007 y 2008

ACTIVOS 2007 2008 PASIVOS 2007 2008

DISPONIBLE 185.553 291.408 OBLIGACIONES FINANCIERAS 24.595 24.654

INVERSIONES, NETO 66.218 61.203 CUENTAS POR PAGAR 93.718 165.720

DEUDORES, NETO 231.465 323.300 IMPUESTOS, CONTRIBUCIONES 34.475 45.626

GASTOS PAGO x ANTICIPADO 20.778 30.580 OBLIGACIONES LABORALES 7.433 8.076

OTROS 26.216 30.846 DEPÓSITOS RECIBIDOS 12.374 820

INVENTARIOS, NETO 16.351 15.938 OTROS PASIVOS 11.770 14.825

TOTAL, ACTIVO CORRIENTE 546.581 753.275 TOTAL PASIVOS CORRIENTES 184.365 259.721

DEUDORES, NETO 27.820 28.323 OBLIGACIONES FINANCIERAS 538.409 515.452

INVERSIONES, NETO 300 396 OBLIGACIONES LABORALES 48.777 60.671

PROPIEDAD, PLANTA Y EQUIPO 2.343.494 2.353.398 IMPUESTO DIFERIDO 186.082 220.010

DIFERIDOS 25.487 9.434 TOTAL PASIVOS NO CORRIENTES 773.268 796.133

OTROS ACTIVOS 5.847 6.300 TOTAL PASIVOS 957.633 1.055.854

TOTAL ACTIVOS NO CORRIENTES 2.402.948 2.397.851 PATRIMONIO 3.035.999 3.132.491

VALORIZACIONES 1.044.103 1.037.219

TOTAL ACTIVOS 3.993.632 4.188.345 TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO 3.993.632 4.188.345

Fuente: Informe Anual Isagen, años 2007 y 2008

Cuadro 6.2 ISAGEN – Balance, años 2007 y 2008

ACTIVOS 2007 2008 PASIVOS 2007 2008

DISPONIBLE 4,65% 6,96% OBLIGACIONES FINANCIERAS 0,62% 0,59%

INVERSIONES, NETO 1,66% 1,46% CUENTAS POR PAGAR 2,35% 3,96%

DEUDORES, NETO 5,80% 7,72% IMPUESTOS, CONTRIBUCIONES 0,86% 1,09%

GASTOS PAGO x ANTICIPADO 0,52% 0,73% OBLIGACIONES LABORALES 0,19% 0,19%

OTROS 0,66% 0,74% DEPÓSITOS RECIBIDOS 0,31% 0,02%

INVENTARIOS, NETO 0,41% 0,38% OTROS PASIVOS 0,29% 0,35%

TOTAL, ACTIVO CORRIENTE 13,69% 17,99% TOTAL PASIVOS CORRIENTES 4,62% 6,20%

DEUDORES, NETO 0,70% 0,68% OBLIGACIONES FINANCIERAS 13,48% 12,31%

INVERSIONES, NETO 0,01% 0,01% OBLIGACIONES LABORALES 1,22% 1,45%

PROPIEDAD, PLANTA Y EQUIPO 58,68% 56,19% IMPUESTO DIFERIDO 4,66% 5,25%

DIFERIDOS 0,64% 0,23% TOTAL PASIVOS NO CORRIENTES 19,36% 19,01%

OTROS ACTIVOS 0,15% 0,15% TOTAL PASIVOS 23,98% 25,21%

TOTAL ACTIVOS NO CORRIENTES 60,17% 57,25% PATRIMONIO 76,02% 74,79%

VALORIZACIONES 26,14% 24,76%

TOTAL ACTIVOS 100,00% 100,00% TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO 100,00% 100,00%

Fuente: Informe Anual Isagen, años 2007 y 2008

[170]

Capítulo 6


El estado de pérdidas y ganancias muestra los ingresos y egresos causados en el desa-rrollo del negocio, durante un período dado de tiempo (por ejemplo, un año), así los mismos no se hayan materializado aún en un ingreso de efectivo o en un pago real; en otras palabras, los registros contables del balance y del estado de pérdidas y ga-nancias se hacen por causación. El análisis de cualquier decisión financiera, por ejemplo, la viabilidad de un proyecto de inversión, requiere la proyección del balance y del estado de pérdidas y ganancias, para lo cual hay que hacer supuestos sobre los escenarios probables en los cuales se va a desenvolver la economía y sobre el com-portamiento de los parámetros críticos que inciden significativamente sobre los resultados, en los escenarios que se estén utilizando para proyectar el negocio. En el Cuadro 6.3 se muestra la estructura general del estado de pérdidas y ganancias, mientras que en el Cuadro 6.4 se muestra el estado de pérdidas y ganancias simplifi-cado para ISAGEN, durante los años 2007 y 2008, a partir de los informes a las asambleas de accionistas de esos años. En el Cuadro 6.4 se discriminan aquellos gas-tos que, como la depreciación de activos fijos y la amortización de diferidos, son causaciones que no afectan el flujo de efectivo: �

Cuadro 6.3 Estructura general del estado de P y G

Ingresos operacionales - Costo de ventas Utilidad bruta - Gastos de operación - Gastos de administración - Gastos de ventas Utilidad operacional, UAII + Ingresos no operacionales - Egresos no operacionales Utilidad antes de impuestos - Provisión impuesto de renta Utilidad neta

�La participación del costo de ventas en el caso de ISAGEN representó un 63,63% y un 62,57% respectivamente para los años 2007 y 2008; la utilidad operacional, resul-tante de restar de los ingresos operacionales los costos de ventas y los gastos administrativos y de operación, representó un 30,55% y un 31,49% de los ingresos operacionales del negocio, consistentes en venta de energía; la participación de la utilidad operacional en los ingresos operacionales se conoce como margen operacio-nal, mientras que la participación de la utilidad neta en los ingresos operacionales, se conoce como margen neto; este fue respectivamente del 19,43% y el 21,14% para los años 2007 y 2008.


Cuadro 6.4�ISAGEN, Estado de pérdidas y ganancias, años 2007 y 2008

� 2007 2008 2007 2008 Participación Participación Ingresos operacionales 1.070.018 1.231.700 100,00% 100,00%Costos de venta 680.842 770.621 63,63% 62,57% Compra de energía 185.017 216.454 17,29% 17,57% Cargos por uso y conexión 148.872 166.633 13,91% 13,53% Depreciación 100.306 100.561 9,37% 8,16% General y personal 129.983 149.150 12,15% 12,11% Otros 116.664 137.823 10,90% 11,19%Utilidad bruta 389.176 461.079 36,37% 37,43%Gastos de administración 62.247 73.191 5,82% 5,94% Gastos de personal, sin ajuste pensiones 20.573 24.757 1,92% 2,01% Ajuste pensiones 6.375 18.524 0,60% 1,50% Impuestos y contribuciones 3.945 6.758 0,37% 0,55% Depreciaciones de activos fijos 2.243 2.792 0,21% 0,23% Amortizaciones diferidos y otros 3.625 2.946 0,34% 0,24% Honorarios 4.650 5.245 0,43% 0,43% Publicidad 9.490 753 0,89% 0,06% Otros gastos de administración 11.346 11.416 1,06% 0,93%Utilidad operacional 326.929 387.888 30,55% 31,49%Ingresos no operacionales 28.506 40.073 2,66% 3,25%Egresos no operacionales 70.019 64.248 6,54% 5,22%Utilidad antes de impuestos 285.416 363.713 26,67% 29,53%Provisión impuesto de renta 77.521 103.392 7,24% 8,39%Utilidad neta 207.895 260.321 19,43% 21,14%

Fuente: Informes anuales años 2007 y 2008�

��

Cuadro 6.5 ISAGEN - Indicadores financieros�

�Indicadores financieros, ejemplo Definición 2007 2008 Rentabilidad Margen neto (Utilidad neta/Ingresos operacionales) 19,43% 21,14%Margen operacional (Utilidad operacional/Ingresos operacionales) 30,55% 31,49%Rentabilidad sobre patrimonio (Utilidad neta/Patrimonio promedio) 7,20% 8,44%Liquidez Razón corriente (Activo corriente/ pasivo corriente) 2,96 2,90EBITDA, flujo de caja operacional Utilidad operacional+depreciaciones+amort. 433.405 493.986Endeudamiento y riesgo Endeudamiento total (Pasivo/Activo) 23,98% 25,21%Solvencia (Patrimonio/Activos) 76,02% 74,79%Endeudamiento financiero (Obligaciones financieras/Activos) 14,10% 12,90%Cobertura de gastos financieros, veces (Utilidad operacional/Gastos financieros) 5,16 6,12Cobertura de gastos financieros, veces (EBITDA/Gastos financieros) 6,85 7,80Eficiencia Eficiencia operacional (Gastos admin y operacionales/Ing. operac.) 5,82% 5,94%Rotación de cartera, veces (Ingresos operacionales/Cartera promedio) 3,50 4,44Período medio de recaudo, días (365/Rotación de cartera) 104,2 82,2

��

Balance general y estado de pérdidas y ganancias

[172]

Capítulo 6


El cruce entre la información del balance y la del estado de pérdidas y ganancias per-mite la generación de indicadores básicos sobre rentabilidad, endeudamiento, liquidez, eficiencia, etc., que han sido usados en el análisis financiero tradicional. En el Cuadro 6.5 se muestran algunos de estos indicadores para el caso de ISAGEN, duran-te los años 2007 y 2008, en cuatro categorías: rentabilidad, liquidez, endeudamiento y riesgo y eficiencia operacional. �F L U J O D E C A J A D E U N A E M P R E S A O D E U N P R O Y E C T O

�El estado de pérdidas y ganancias de la empresa o del proyecto muestra los resultados de la causación de los ingresos, costos y gastos de acuerdo con la normatividad con-table vigente en un momento dado. Entre las causaciones que afectan los resultados de la empresa se encuentran algunas que inciden sobre el resultado contable del ne-gocio pero que no corresponden a un desembolso efectivo de caja; las más importantes son: depreciación de activos fijos, amortización de diferidos, provisión de cuentas por cobrar, inventarios y activos fijos, ajustes por tasa de cambio, amortiza-ción de pensiones de jubilación, cuando sea el caso, etc. En el estado de flujo de efectivo se parte de la utilidad neta y se devuelven todas las causaciones que, aunque afectan el estado de pérdidas y ganancias, no afectan la caja de la empresa; se contabilizan las variaciones en las cuentas del balance, depen-diendo de si se trata de un uso o de una fuente; se restan las inversiones que realiza la empresa, y se contabiliza el efecto del financiamiento de la empresa, para explicar el aumento o la disminución de efectivo. �En el Cuadro 6.6 se muestra el estado de flujo de efectivo simplificado para ISAGEN durante los años 2007 y 2008, donde se puede observar lo que se acaba de exponer. Algunas observaciones: �a)� Se parte de la utilidad neta. b)� Se devuelven aquellas causaciones que afectando la utilidad neta no afectan la

caja, tales como depreciación de activos fijos, amortización de diferidos, amortiza-ción del cálculo actuarial por pensiones, impuestos diferidos, provisiones, ajustes de cambio, utilidades o pérdidas en la venta de propiedad planta y equipo, etc.

c)� El cambio en activos y pasivos se calcula en la siguiente forma:

Un aumento en un activo es un uso y como tal consume caja. Una disminución en un activo es una fuente y como tal genera caja. Un aumento en un pasivo es una fuente y como tal genera caja. Una disminución en un pasivo es un uso y como tal consume caja.


EBITDA y flujo de caja libre para la firma

d)� El flujo de efectivo utilizado en actividades de inversión comprende principalmente la inversión en activos fijos.

e)� El efectivo neto utilizado en las actividades de financiación tiene en cuenta los di-

videndos que la empresa paga anualmente a sus accionistas o las amortizaciones a los créditos que ha contratado la empresa.

�Cuadro 6.6

Estados de flujos de efectivo – ISAGEN

2007 2008 Utilidad neta 207.895 260.321 Más (menos) gastos (ingresos) que no afectaron el capital de trabajo Depreciación de activos fijos 102.877 103.176 Amortización diferidos 3.625 2.946 Amortización del cálculo actuarial 6.375 18.524 Impuesto diferido 30.019 33.935 Otros (neto) 1.880 -248 Subtotal 352.671 418.654 Cambios en activos y pasivos Deudores -64.976 -42.536 Gastos pagados por anticipado -3.849 -9.802 Cuentas por pagar 22.506 38.860 Impuestos, contribuciones y tasas -13.591 -10.309 Otros (neto) -81 -8.570 Efectivo provisto por la operación 292.680 386.297 Efectivo utilizado en actividades de inversión -112.503 -127.016 Efectivo neto utilizado en actividades de financiación -178.044 -158.441 Aumento neto en efectivo y equivalentes 2.133 100.840 Efectivo y equivalentes al principio del año 249.638 251.771 Efectivo y equivalentes al final del año 251.771 352.611

Fuente: Informes anuales ISAGEN, años 2007 y 2008

E B I T D A Y F L U J O D E C A J A L I B R E P A R A L A F I R M A

�El EBITDA y el flujo de caja libre son dos indicadores muy utilizados. El primero es la utilidad antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización, por sus siglas en inglés: earnings before interests, taxes and depreciation. Este es un indicador de flujo de caja operativo que corresponde a la siguiente expresión: EBITDAJ = UAIIJ + (depreciación A.F)J + (amortización diferidos)J

En algunas versiones del cálculo del EBITDA se suman las provisiones y otras causa-ciones que afectando a la utilidad operacional no implican un desembolso de efectivo. En el Cuadro 6.7 se muestra el cálculo del EBITDA para ISAGEN durante los años 2007 y 2008:

[174]

Capítulo 6


Cuadro 6.7 Cálculo del EBITDA para ISAGEN

EBITDA 2007 2008 2007 2008 Monto Monto Porcentaje Porcentaje Utilidad operacional 326.929 387.888 30,55% 31,49% Depreciaciones 102.549 103.353 9,58% 8,39% Ajustes depreciaciones 302 -201 0,03% -0,02% Amortizaciones 3.625 2.946 0,34% 0,24% EBITDA 433.405 493.986 40,50% 40,11%

El segundo indicador, flujo de caja libre para la firma, descuenta del EBITDA lo que habría que pagar en impuestos sin tener en cuenta el efecto de los gastos financieros sobre los impuestos y las inversiones que hay que hacer en activos fijos y en capital de trabajo para cumplir con las proyecciones de ingresos y egresos. FCLFJ = UAIIJ * (1-timp) + (depreciación A.F)J + (amortización diferidos)J

– (inversión en A.F)J - (inversión en C.T)J �

En el Cuadro 6.8 se muestra un estimativo del flujo de caja libre para la firma ISAGEN, durante los años 2007 y 2008. Para esta estimación se tomó la tasa de im-puestos nominal para los años 2007 y 2008 vigente en Colombia, que es diferente a la tasa de impuestos efectiva que tuvo la empresa para esos años. Así mismo, se toma únicamente la inversión en capital de trabajo operativo (aumento de cuentas por co-brar deudores comerciales + aumento de inventarios menos aumento de cuenta por pagar, proveedores principalmente) generada en el giro ordinario del negocio. Para rehacer los cálculos hay que tener en cuenta que el saldo al finalizar el año 2006, de deudores corto plazo, era de $179.938 millones, y de deudores largo plazo, de $13.444 millones; así mismo, los saldos de inventarios y cuentas por pagar al finalizar el año 2006 fueron respectivamente de $13.777 millones y $71.140 millones.

Cuadro 6.8 ISAGEN – Flujo de caja libre para la firma

Año 2007 2008 Utilidad operacional 326.929 387.888 + Depreciación de activos fijos 102.549 103.353 + Ajustes depreciaciones 302 -201 + Amortización de diferidos 3.625 2.946 EBITDA 433.405 493.986 Tasa de impuestos corporativa, nominal 34,00% 33,00%

EBITDA*(1-timp) 286.047 330.971 - Inversiones en activos fijos 112.503 127.016 - Inversiones en capital de trabajo operativo 45.899 19.923 + Aumento de cuentas por cobrar, deudores 65.903 92.338 + Aumento de inventarios 2.574 -413 - Aumento de cuentas por pagar 22.578 72.002 Flujo de caja libre para la firma, FCLFJ 127.645 184.032


Función de producción y los costos involucrados en un proyecto de inversión

F U N C I Ó N D E P R O D U C C I Ó N Y L O S C O S T O S I N V O L U C R A D O S E N U N P R O Y E C T O D E I N V E R S I Ó N

�La función de producción muestra el costo total de producir un cierto volumen de unidades, con la tecnología propia del proceso que se está analizando; es una función de costos que contempla todos los costos involucrados en el proceso de producción, sean costos fijos o costos variables. Existen varias categorías de costos: costos fijos y variables de producción, costo total y promedio de producción, costo marginal, costo de oportunidad, etc. A continuación, las definiciones de cada uno de ellos. �Costo fijo: el que no varía con el nivel de producción durante un período dado de tiempo. � Costo fijo = CF = constante, durante un período dado de tiempo. Algunos ejemplos de costo fijo: mano de obra asociada con un proceso productivo, costo conocido usualmente como la mano de obra directa (MOD); arrendamiento de instalaciones industriales o de bodegaje. Costo variable unitario: costo variable asociado con la producción de una unidad; puede ser constante, cuando el costo variable unitario no se modifica con el nivel de producción, o puede ser variable, si el costo variable unitario se modifica con el nivel de producción, por ejemplo, ante la presencia de economías de escala. Algunos ejemplos de costo variable unitario: la materia prima utilizada para producir una unidad de alimento balanceado para animales; los kilos de clinker para producir una tonelada de cemento. �Costo variable: se modifica directamente con el nivel de producción; puede variar en forma lineal con el nivel de producción, cuando el costo variable unitario no varía, o con cualquier otra función, por ejemplo exponencial.

CVT = F(Q), siendo Q el nivel de producción.

Para el caso lineal, cuando el costo variable unitario es constante:

CVT = CVU * Q

Costo total de producción: la suma de los costos fijos más los costos variables totales.

CT = CF + CVT


CT = CF + CVU * Q

[176]

Capítulo 6

[176] J A V I E R S E R R A N O��

Costo promedio de producción: el costo total de producir un cierto volumen de uni-dades dividido por el número de unidades producidas.

Costo medio = CM = CT/Q


CM = CF/Q + CVU

Costo marginal: el costo incremental de producir una unidad adicional, respecto al volumen actual de producción.

Costo marginal= CMg = QCT$$

�Costo de oportunidad: el costo de mercado de un artículo o de un insumo que puede ser diferente al costo contable de producir el mismo artículo o del costo histórico al que se adquirió el artículo. En el Cuadro 6.9 se muestran los valores de las diferentes categorías de costos, para un rango de unidades producidas entre 605 y 700 unidades, para un proceso que tiene un costo fijo por valor de $6.500.000, y un costo variable unitario constante de $10.000. En este caso el costo marginal de producir una unidad coincide con el costo variable unitario, mientras que el costo medio va disminuyendo en la medida en que el número de unidades producidas va aumentando.

Cuadro 6.9 Costos para un rango de producción

CF1 CVT1 CT1 Ingreso Costo medio Costo marginal

605 6.500.000 6.050.000 12.550.000 12.100.000 20.744 10.000610 6.500.000 6.100.000 12.600.000 12.200.000 20.656 10.000615 6.500.000 6.150.000 12.650.000 12.300.000 20.569 10.000620 6.500.000 6.200.000 12.700.000 12.400.000 20.484 10.000625 6.500.000 6.250.000 12.750.000 12.500.000 20.400 10.000630 6.500.000 6.300.000 12.800.000 12.600.000 20.317 10.000635 6.500.000 6.350.000 12.850.000 12.700.000 20.236 10.000640 6.500.000 6.400.000 12.900.000 12.800.000 20.156 10.000645 6.500.000 6.450.000 12.950.000 12.900.000 20.078 10.000650 6.500.000 6.500.000 13.000.000 13.000.000 20.000 10.000655 6.500.000 6.550.000 13.050.000 13.100.000 19.924 10.000660 6.500.000 6.600.000 13.100.000 13.200.000 19.848 10.000665 6.500.000 6.650.000 13.150.000 13.300.000 19.774 10.000670 6.500.000 6.700.000 13.200.000 13.400.000 19.701 10.000675 6.500.000 6.750.000 13.250.000 13.500.000 19.630 10.000680 6.500.000 6.800.000 13.300.000 13.600.000 19.559 10.000685 6.500.000 6.850.000 13.350.000 13.700.000 19.489 10.000690 6.500.000 6.900.000 13.400.000 13.800.000 19.420 10.000695 6.500.000 6.950.000 13.450.000 13.900.000 19.353 10.000700 6.500.000 7.000.000 13.500.000 14.000.000 19.286 10.000


Puntos de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional

La importancia del costo marginal y del ingreso marginal en un proceso productivo se deriva del resultado demostrable de que el nivel óptimo de producción se obtiene cuando el costo marginal de producir una unidad es igual al ingreso marginal deriva-do de la venta de esa unidad marginal. Para el caso de un proceso de producción con un costo variable unitario constante la función de producción es una función lineal, como se puede ver en la Figura 6.1: �

Figura 6.1 Costo total de producción

��

En la Figura 6.1 se muestra el costo total de producir Q unidades, señalado como C(Q), que involucra un costo fijo y un costo variable. ��P U N T O S D E E Q U I L I B R I O Y A P A L A N C A M I E N T O O P E R A C I O N A L . R I E S G O O P E R A C I O N A L

�El punto de equilibrio operacional se define como el punto a partir del cual se co-mienzan a generar utilidades operacionales, o sea el punto para el cual la utilidad operacional es igual a cero. Para el caso de relaciones lineales: Ingresos operacionales = P * Q Costo operacionales = CF + CVU * Q UAII = P * Q – CF - CVU * Q

��

��

��

�

��

[178]

Capítulo 6


Si UAII es igual a cero, se tiene: 0 = P * Q – CF – CVU * Qo Despejando Qo, para el punto de equilibrio (Qo), Qo = CF/(P-CVU) En un proceso de producción con relaciones lineales, el punto de equilibrio operacio-nal es igual al costo fijo de producción (CF) dividido por el margen de contribución a costos fijos (P - CVU). En la Figura 6.2 se resume la determinación del punto de equilibrio operacional: �

Figura 6.2 Punto de equilibrio operacional

�

��El punto de equilibrio operacional, señalado como PE, se da cuando los ingresos ope-racionales igualan a los costos operacionales, incluyendo los costos fijos. El riesgo inicial de un proyecto es el de no alcanzar el punto de equilibrio operacional o tardar un tiempo prolongado para ello, lo cual puede afectar sensiblemente las finanzas de la empresa que está realizando la inversión. �A manera de ejemplo, un proceso de producción con las siguientes características: Costo fijo: $6.500.000 CVU: $10.000 P: $20.000 El punto de equilibrio, Qo = 6.500.000 /(20.000-10.000) = 650 unidades.

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En términos gráficos, la Figura 6.3 muestra la determinación del punto de equilibrio, para el proceso que se acaba de describir. �

Figura 6.3 Determinación gráfica del punto de equilibrio

En la Figura 6.4 se muestra el comportamiento de la utilidad antes de intereses e im-puestos o utilidad operacional. A manera de ejemplo, si el pronóstico de ventas fluctúa entre 450 y 850 unidades, la utilidad antes de intereses e impuestos estaría entre -$2.000.000 y $2.000.000, tal y como se muestra en la Figura 6.4:

Figura 6.4 Determinación de la utilidad operacional (UAII)

��La volatilidad de la utilidad operacional frente a un cambio en el volumen de ventas es la segunda componente del riesgo operacional o comercial de un proceso produc-tivo.

[180]

Capítulo 6


Suponga otro proceso productivo para producir el mismo artículo con unos costos fijos de $3.000.000 y unos costos variables unitarios de $15.000. Para este proceso productivo, el punto de equilibrio será de 600 unidades, inferior al anterior que tenía un mayor volumen de costos fijos. En la Figura 6.5 se muestra el comportamiento de la utilidad operacional para los dos procesos, para un rango de ventas entre 450 y 850 unidades; la volatilidad de la utili-dad operacional es menor en el segundo proceso productivo, con un menor volumen de costos fijos, fluctuando entre -$750.000 si las ventas fueran de 450 unidades y $1.250.000 si las ventas fueran de 850 unidades. Esta menor fluctuación de la utilidad operacional ante una fluctuación en el volumen de ventas indica un menor riesgo operativo o comercial del proceso 2, con un menor volumen de costos fijos frente al proceso 1, con un mayor volumen de costos fijos. Por ello las empresas con mayor volumen de costos fijos, esto es, con una mayor apa-lancamiento operacional, tienen un mayor riesgo operacional, consistente en que una vez que realizan las inversiones en activos fijos y capital de trabajo, definiendo una estructura operativa, quedan expuestas a las volatilidades y/o cambios que se pro-duzcan en el mercado (reducción de la demanda, aumento de la competencia, etc.). En la medida en que la estructura operacional permanece en la empresa por un buen número de años, la empresa con un mayor volumen de costos fijos queda mayor-mente expuesta que la empresa con un menor volumen de costos fijos, que se puede adaptar mejor a los cambios en el entorno del negocio.

�Figura 6.5

Utilidad operacional y apalancamiento operacional

��

Un análisis de la función de producción del proyecto y su adecuación al mercado es crítico en la evaluación de cualquier proyecto de inversión. En general se parte de un


estudio de prefactibilidad en el cual se hace una primera evaluación del mercado al cual se dirige el producto que se va a producir con el proyecto de inversión que se está analizando, incluyendo el análisis de la participación esperada, el precio de ven-tas esperado y una estimación del volumen de ventas para ese precio de ventas y para esa participación en el mercado. Posteriormente se establece la función de pro-ducción propia de la tecnología que se va a utilizar en el proyecto, para poder hacer un estimativo del punto de equilibrio operacional del proyecto y de la viabilidad de alcanzar ese punto de equilibrio, con las condiciones de mercado que va a enfrentar el proyecto. Con este análisis se define la primera componente del riesgo comercial u operacional de un proyecto de inversión, consistente en un estimativo de la probabili-dad de alcanzar el punto de equilibrio operacional, o también, un estimativo del año a partir del cual se va a alcanzar un punto de equilibrio operacional, bajo un escenario de comportamiento del mercado, de la participación en el mercado, del precio de ventas esperado, que permita hacer una proyección de los ingresos esperados y por lo tanto una estimación de la utilidad operacional, teniendo en cuenta la estructura de costos del negocio. Así mismo, se debe analizar otro componente del riesgo, la volati-lidad de la utilidad operacional para un rango razonable de fluctuación de las ventas.

�


[183]� ��

Capítulo 7 RENTABILIDAD DEL PROYECTO EN SÍ Y RENTABILIDAD DEL CAPITAL PROPIO APORTADO AL PROYECTO Este capítulo profundiza en la construcción del flujo de fondos para analizar la viabili-dad financiera de un proyecto de inversión y en la identificación de los costos relevantes para hacer la correspondiente evaluación. Especialmente, se aborda la construcción del flujo de fondos para medir la rentabilidad del proyecto en sí, inde-pendientemente de cómo se va a financiar, y para medir la rentabilidad del capital propio aportado al proyecto, la cual tiene en cuenta el efecto del apalancamiento fi-nanciero. Los dos flujos a que se hace referencia son, respectivamente, el flujo de caja para el proyecto y el flujo de caja para los recursos propios aportados al proyecto, conocido también como flujo de caja para el patrimonio o flujo de fondos para el equity, o para el inversionista. La construcción del flujo de caja para evaluar la rentabilidad de un proyecto de inver-sión usualmente parte de la información contable disponible o proyectada (balances proforma), la cual lleva implícitamente un tratamiento particular de algunas cuentas según las reglas de contabilidad establecidas al respecto. El flujo de caja que se utiliza para la evaluación de un proyecto de inversión se construye sobre movimientos de caja, lo cual requiere una adecuación de la información contable, que se basa en el concepto de causación. Por ello, para la construcción del flujo de caja para medir la rentabilidad del proyecto en sí, se requiere: a)� Identificar aquellas cuentas que afectan el estado de pérdidas y ganancias pero no

afectan el flujo de caja, para hacer la correspondiente adecuación de la información contable, hacia la construcción del flujo de caja para evaluar un proyecto de inversión. Entre estas cuentas se tendrían las siguientes: �� Depreciación. �� Amortización de diferidos. �� Provisiones por pensiones de jubilación que aumentan la reserva actuarial. �� Ajustes por inflación.

b)� Identificar aquellas cuentas que sin afectar el estado de pérdidas y ganancias, si

afectan el flujo de caja, para hacer la correspondiente adecuación de la información contable, hacia la construcción del flujo de caja para evaluar un proyecto de inversión. Entre estas cuentas se tendrían: �� Pagos parciales o totales de jubilados actuales contra una provisión para pen-

siones de jubilación. �� Pagos efectivos incurridos en el mantenimiento de equipos especiales, que se

cargan contra una reserva realizada previamente.

[184]

Capítulo 7

[184] J A V I E R S E R R A N O� ��

c)� Corregir las diferencias en el tiempo entre el momento en que se causa conta-blemente un ingreso o un egreso y aquel en que se recibe o se paga el correspon-diente flujo de efectivo, tal y como ocurre con los ingresos por ventas a crédito, o con las causaciones mensuales por cesantías. En general, la diferencia entre ingresos y egresos causados e ingresos y egresos efectivamente recibidos va a dar lugar a una inversión neta en capital de trabajo operativo, como se analizará posterior-mente.

Además de las correcciones que se acaban de mencionar hay que establecer los cos-tos relevantes que se deben considerar en la evaluación de proyectos, tema sobre el cual se profundiza al final del capítulo, ya que puede existir una diferencia importante entre el tratamiento contable de un costo y su consideración en la evaluación de pro-yectos, tal y como ocurre con los denominados costos muertos (sunk costs en inglés). El criterio principal a utilizar para determinar si un costo es relevante o no en la eva-luación de un proyecto de inversión se desprende de la respuesta a la pregunta relacionada con el hecho de si el mismo se genera como consecuencia de la ejecución del proyecto, o se puede evitar en caso de que el proyecto no se realice. En síntesis, este capítulo se centra básicamente en la construcción de los flujos de caja para el proyecto y para el capital propio aportado al proyecto, enfatizando la separa-ción entre la información contable y la información relevante para la evaluación de proyectos. Los flujos de caja que aquí se ilustran también se conocen como flujo de caja libre para el proyecto y flujo de caja libre para el patrimonio o para el inversionista. T R A T A M I E N T O D E L A D E P R E C I A C I Ó N

El cargo por depreciación que se lleva periódicamente al estado de pérdidas y ganan-cias se puede ver desde dos puntos de vista complementarios: �� Llevar al estado de pérdidas y ganancias un cargo (gasto) por la utilización del activo

correspondiente. �� Generar internamente los recursos necesarios para la reposición del activo, una vez

haya transcurrido su vida útil. Cualquiera que sea el punto de vista que se esté utilizando, el cargo que se hace pe-riódicamente por depreciación no implica la realización de un pago efectivo en ese momento; el pago en efectivo se hace efectivamente en el momento en que se realiza la inversión. Por ello, si se consideran simultáneamente la inversión (por ejemplo, co-mo un flujo negativo en la fecha cero) y los cargos periódicos por depreciación, se estaría haciendo una doble contabilización de la inversión:


Tratamiento de la depreciación

� ��

�� Correctamente en la fecha en que se incluyó la inversión (usualmente al comienzo del proyecto).

�� Incorrectamente en cada período en el cual se ha llevado al estado de pérdidas y ganancias un cargo por depreciación, ya que no se tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

Por ello, para evitar una doble contabilización de la inversión se requiere corregir en el flujo de caja el cargo por depreciación, sumándolo a la utilidad neta proyectada. Co-rregir no significa eliminar, ya que el cargo por depreciación está afectando la utilidad antes de intereses e impuestos y por lo tanto afecta el monto de los impuestos a pa-gar, cifra que es muy importante en la determinación de la rentabilidad del proyecto después de impuestos. Ejemplo 7.1

Para ilustrar lo que se acaba de mencionar considere el proyecto de inversión que se presenta en el Cuadro 7.1, donde se suministra el monto de la inversión y la utilidad neta (después de impuestos), para cada uno de los 5 años que constituyen la vida útil del proyecto. Para simplificar la presentación se supone que no existen gastos finan-cieros, o sea que el proyecto se financia en un 100% con recursos propios. Así mismo se supone que la inversión es en activos fijos, los cuales se deprecian en un 100%; al final de la vida útil, lo que se obtendría por la venta del activo depreciado sería exac-tamente igual al costo de preparar la maquinaria para su disposición y entrega al comprador potencial. Rentabilidad del proyecto en sí Supuestos: Valor depreciable:100% Depreciación en línea recta No hay ajustes por inflación El proyecto se financia con recursos propios Tasa de impuestos:35% Inversión en la fecha 0:$100.000

Cuadro 7.1 Rentabilidad del proyecto en sí

Año Utilidad neta

0 1 30.000 2 40.0003 50.000 4 60.000 5 70.000

[186]

Capítulo 7

[186] J A V I E R S E R R A N O� ��

Una de las principales equivocaciones que se comete en la evaluación de proyectos es igualar el flujo de caja a la utilidad neta, lo cual lleva a subestimar la rentabilidad del proyecto. En el caso específico del ejemplo considerado, una equivocación de esta naturaleza resulta en una estimación equivocada de la rentabilidad del 34,12%, que sería la tasa interna de retorno del flujo compuesto únicamente por las utilidades ne-tas, lo cual llevaría a rechazar el proyecto si la tasa de interés de oportunidad fuera del 40%. Para calcular la rentabilidad correcta del proyecto hay que construir el flujo de caja a partir de la utilidad neta sumando la depreciación que se cargó anualmente al estado de pérdidas y ganancias, la cual no genera un pago efectivo en el momento en que se hace el cargo correspondiente, además de que la inversión ya se ha considerado por su valor real en la fecha cero. Partiendo del supuesto especificado de que el proyecto se está financiando con recur-sos propios, el flujo de caja o flujo de fondos para determinar la rentabilidad del proyecto se construye sumando a la utilidad neta el valor de la depreciación de cada año, tal y como se muestra en el Cuadro 7.2, utilizando la expresión: FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J donde:

FJ: Flujo de caja en el período j (Depreciación)J: Depreciación en el período j (Utilidad neta)J: Utilidad neta en el período j

Cuadro 7.2 Tratamiento de la depreciación

Año Utilidad neta Depreciación Flujo de fondos

0 -100.000

1 30.000 20.000 50.000

2 40.000 20.000 60.000

3 50.000 20.000 70.000

4 60.000 20.000 80.000

5 70.000 20.000 90.000

Tasa de interés de oportunidad: 40,00% Tasa interna de retorno: 54,97% Valor presente neto: 29.395

Para el ejemplo que se está analizando, tal y como se muestra en el Cuadro 7.2, la rentabilidad del proyecto, medida a través de la tasa interna de retorno, resulta igual al 54,97%, cifra bastante mayor a la que se había estimado previamente en forma equivocada, y superior a la tasa de oportunidad del 40%, lo cual llevaría a aceptar el proyecto.


Tratamiento de otras cuentas

� ��

T R A T A M I E N T O D E O T R A S C U E N T A S

Amortización de diferidos La amortización de diferidos debe ser tratada en forma similar a la depreciación, debi-do a que la inversión y/o gasto correspondiente al desembolso real se realizó en otro momento, todo ello para evitar una doble contabilización que lleva a subestimar la rentabilidad de un proyecto de inversión. FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J Ajustes por inflación Para tener en cuenta los ajustes por inflación en la construcción del flujo de caja de un proyecto, hay que considerar los siguientes puntos: a)� La cuenta de corrección monetaria hace parte del estado de pérdidas y ganancias. b)� El ajuste de los activos no monetarios aumenta el valor del activo y genera un

ingreso en la cuenta de corrección monetaria. Su resultado neto sobre la utilidad antes de intereses e impuestos es positivo, o sea aumenta dicha utilidad.

c)� El ajuste del patrimonio aumenta el valor del patrimonio (revalorización del

patrimonio) y genera un egreso en la cuenta de corrección monetaria. Su resultado neto sobre la utilidad antes de intereses e impuestos es negativo, es decir disminuye dicha utilidad.

d)� En el momento no se requiere hacer ajustes por inflación. Esto simplifica la situación

respecto a la que existía anteriormente, cuando había necesidad de realizar dichos ajustes a las diferentes cuentas del estado de pérdidas y ganancias y al balance general.

Por lo tanto, para corregir el efecto de la cuenta de corrección monetaria hay que restar de la utilidad neta el ajuste de los activos no monetarios y sumar a la utilidad neta el ajuste del patrimonio; lo anterior sería equivalente a restar con el signo alge-braico correspondiente el valor de la cuenta de corrección monetaria. En otras palabras, si la cuenta de corrección monetaria resulta positiva se resta dicho valor; si resulta negativa, se suma dicho valor.

Llamando:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf)J

[188]

Capítulo 7

[188] J A V I E R S E R R A N O� ��

Valor de salvamento En muchos proyectos el valor de salvamento contable difiere del valor de salvamento real, que corresponde al dinero que efectivamente se va a recibir al final de la vida útil del activo cuando se venda. Por ello, en la evaluación de proyectos habría que tener en cuenta como un ingreso el valor proyectado que efectivamente se recibiría si el activo se llegara a vender, menos el monto de los impuestos que habría que pagar en el caso de generarse una ganancia ocasional (diferencia entre el precio de venta y el costo fiscal del activo). VSNT: Valor de salvamento neto, después de impuestos, al disponer del activo en la fecha T (final de su vida útil).

VSNT = (Ingreso por venta activo)T - (Ingreso por venta activo - valor fiscal del activo)T*t

donde t corresponde a la tasa de tributación. FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf )J + VSNT Provisión para pensiones de jubilación Algunas empresas aún llevan a su estado de pérdidas y ganancias una provisión para pensiones de jubilación con el fin de incrementar su reserva actuarial. Cuando ese sea el caso, como la misma no corresponde a un desembolso de efectivo, habría que su-mar a la utilidad neta el valor de esa provisión para construir el flujo de caja o de fondos del proyecto. La situación contraria se presentaría cuando se pagan las pen-siones de jubilación con cargo a la reserva actuarial. En este último caso, habría que llevar al flujo de caja el valor efectivamente pagado, ya que el mismo no estaría in-cluido en la utilidad neta. (Am. Cact)J: Amortización del cálculo actuarial en el j-ésimo período (Pag efect jub)J: Pago efectivo a los jubilados en el j-ésimo período, contra la reserva actuarial FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf )J + VSNT + (Am. Cact)J - (Pag efect jub)J Ventas a crédito Para hacer el ajuste por ventas a crédito hay que desplazar el valor de las mismas a la fecha en que efectivamente se espera recaudar el importe de esas ventas. El ingreso de la venta a crédito se causa en el momento de su realización; pero el ingreso de


Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto

� ��

efectivo se recibe en el momento en que se recauda la correspondiente cuenta por cobrar. La diferencia anterior da lugar a una cartera o cuentas por cobrar, que surgen en el giro ordinario del negocio y hacen parte de la inversión en el capital de trabajo operativo, conjuntamente con los inventarios. La inversión en cuentas por cobrar y en inventarios se financia parcialmente con las cuentas por pagar a proveedores. Cesantías (Ley 50) Las cesantías, según la Ley 50, se causan periódicamente pero sólo se transfieren a las Sociedades Administradoras de Fondos de Cesantías y Pensiones en el mes de febrero del próximo año. Por ello, habría que hacer la correspondiente corrección para tener en cuenta la diferencia entre la causación y el desembolso de caja que efectivamente se realizará en una fecha posterior. Impuesto de renta Usualmente se hace una provisión para el impuesto de renta, al final de cada ejercicio, sin que el pago del mismo se realice en esa fecha. El pago real del impuesto de renta se realiza en el siguiente año, de acuerdo con el calendario tributario que para tal efecto acuerda la Dirección de Impuestos Nacionales, el cual se reparte en varios pa-gos, dependiendo del tipo de contribuyente. En sentido estricto, el desembolso por impuestos se debería establecer en las fechas reales de pago; sin embargo, se acos-tumbra como una aproximación, concentrar esos pagos al final del año, para simplificar el tratamiento correspondiente. Otros casos En cada situación específica hay que tener en cuenta la fecha en que se hace la cau-sación del ingreso (o egreso) y aquella en la cual efectivamente se recauda el mismo (o se desembolsa efectivamente el pago). Sin embargo, cuando se proceda a la reali-zación de este tipo de correcciones no hay que perder el sentido de las proporciones, y hay que realizar sólo aquellas que por su tamaño y/o discrepancia puedan tener un efecto realmente significativo sobre los resultados de la evaluación del proyecto. R E N T A B I L I D A D D E L P R O Y E C T O E N S Í . F L U J O D E F O N D O S P A R A E L P R O Y E C T O

En la evaluación de un proyecto de inversión hay dos conceptos que se suelen con-fundir y por lo tanto conducen a decisiones equivocadas, a saber: �� Rentabilidad del proyecto en sí. �� Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.

[190]

Capítulo 7

[190] J A V I E R S E R R A N O� ��

El primero de los conceptos, rentabilidad del proyecto en sí, corresponde a una carac-terística intrínseca del proyecto, independientemente de la forma como se vaya a financiar; corresponde a una rentabilidad sin tener en cuenta el apalancamiento fi-nanciero. Por ello, algunos la denominan como rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiación. Para la definición del flujo de caja correspondiente a la rentabilidad del proyecto en sí, o flujo de caja libre para el proyecto, se supone que el mismo se va a financiar con recur-sos propios. En otras palabras, no se consideran los gastos financieros correspondientes a la deuda utilizada para financiar la inversión (activos fijos y capital de trabajo). Los pasos que se deben seguir para calcular esa rentabilidad son los siguientes: a)� Calcular la utilidad antes de intereses e impuestos. Mejor aún, parta de la utilidad

antes de intereses o impuestos (UAII). b)� Hacer la utilidad antes de impuestos igual a la utilidad antes de intereses e im-

puestos, a que se hace referencia en a) (UAI). c)� Calcular los impuestos a pagar, sobre la base de la utilidad definida en el literal b)

(sin gastos financieros; esto es sin considerar el efecto del apalancamiento financiero).

d)� Calcular la utilidad neta, con base en c) y b). e)� Calcular el flujo de caja, sumando a la utilidad neta encontrada en d) la depreciación

de cada período, adicionalmente a efectuar los ajustes correspondientes por efecto de las amortizaciones de diferidos, provisiones por pensiones de jubilación que aumentan la reserva actuarial, ajustes por inflación y demás ajustes a que se hizo referencia

f)� Lo anterior conduce al flujo de caja que se fue construyendo paulatinamente, el cual

se conoce como el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para calcular la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de la forma como se vaya a financiar.

g)� Estimar la inversión en activos fijos y en capital de trabajo que se requiere en cada

período.

IJ: Inversión en activos fijos durante el j-ésimo período. (ICT)J: Inversión en capital de trabajo durante el j-ésimo período. Usualmente,


Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto

� ��

(ICT)J = (CCJ - CCJ-1) + (INVJ - INVJ-1) - (CPJ - CPJ-1)

donde: CCJ: Valor de las cuentas por cobrar al final del j-ésimo período.

INVJ: Valor de los inventarios al final del j-ésimo período. CPJ: Valor de las cuentas por pagar al final del j-ésimo período.

h)� La expresión final para el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para

calcular la rentabilidad del proyecto en sí, sería la siguiente:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J

- (A x Inf)J + (Am. Cact)J - (Pag efect jub)J - IAFJ - ICTJ

para J= 1,2,…T-1 FT= (Utilidad neta)T + (Depreciación)T + (Amortización de diferidos)T

- (A x inf)T + (Am. Cact)T - (Pag efect jub)T – IAFT - ICTT + VSNT

Para aquellas empresas que no tienen a su cargo el cálculo actuarial ni jubilados, la expresión anterior se reduce a:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J

- (A x inf)J - IAFJ - ICTJ

J= 1,2,… T-1 FT = (Utilidad neta)T + (Depreciación)T + (Amortización de diferidos)T

- (A x inf)T – IAFT - ICTT + VSNT

Hay que enfatizar que en las expresiones que se acaban de presentar la utilidad neta se calcula sin tener en cuenta los gastos financieros correspondientes a la deuda que utilice la empresa en su estructura de capital y con base en unos impuestos que no tienen en cuenta esos gastos financieros. Esto es, la utilidad neta se calcula sin tener en cuenta el apalancamiento financiero, lo cual sería equivalente a partir de la utilidad antes de intereses e impuestos (UAII), ya que solamente se tienen en cuenta ingresos operativos, costos y gastos operativos. Como se ve, en el cálculo del flujo de caja libre para el proyecto se asume, independientemente de que ese sea el caso, que el pro-yecto se va a financiar en su totalidad con recursos propios. Los pasos necesarios para la construcción del flujo de caja para el cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento. Para el ejemplo que se ha venido analizando, la rentabilidad del proyecto en sí es del 54,97%, superior a la tasa de interés de oportunidad, lo que significa la viabilidad financiera del proyecto de inversión. Para el mismo flujo de caja o de fondos, el valor presente neto del proyecto, a la tasa de interés de oportunidad del 40%, es 29.395.

[192]

Capítulo 7

[192] J A V I E R S E R R A N O� ��

Para que un proyecto de inversión resulte atractivo desde el punto de vista financiero, la rentabilidad del proyecto en sí debe ser mayor a la tasa de interés de oportunidad, o lo que es equivalente, el valor presente neto del flujo de caja libre para el proyecto, utilizado para analizar la rentabilidad del proyecto en sí, descontado a la tasa de in-terés de oportunidad, debe ser mayor que cero. U T I L I Z A C I Ó N D E L A D E P R E C I A C I Ó N A C E L E R A D A

La escogencia del método de depreciación puede afectar la rentabilidad del proyecto en sí, por la incidencia que la selección de un método específico tiene sobre el flujo de impuestos a pagar. Para ilustrar lo que se acaba de afirmar, se va a comparar la ren-tabilidad del proyecto en sí utilizando un método de depreciación en línea recta versus un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Para ello se utiliza el mismo ejemplo que se ha venido trabajando, donde la utilidad neta mostrada inicial-mente, se supone que se produjo utilizando un método de depreciación en línea rec-ta. En este caso, la rentabilidad del proyecto en sí resultó igual al 54,97%, con un valor presente neto a una tasa de interés de oportunidad del 40%, igual a 29.395. En el Cuadro 7.3 se muestra el flujo de caja necesario para calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando el método de depreciación acelerada. Cuando se utiliza la depreciación acelerada, la rentabilidad del proyecto se incrementa del 54,97% al 58,55%, y el valor presente neto para una tasa de interés de oportunidad del 40% se incrementa de 29.395 a 34.843.

Depreciación acelerada

Supuestos: Depreciación acelerada: 40%, 40%, 20% Tasa de impuestos: 35%

Cuadro 7.3 Depreciación acelerada

Años

Utilidad neta con deprec. (línea recta)

Utilidad antes de impuestos (línea recta)

Utilidad antes de impuestos y depreciación

Depreciaciónacelerada

Utilidad antes de

impuestos

Utilidad neta

deprec. aceler.

Flujo de cajalibre para el

proyecto

0 -100.000

1 30.000 46.154 66.154 40.000 26.154 17.000 57.000

2 40.000 61.538 81.538 40.000 41.538 27.000 67.000

3 50.000 76.923 96.923 20.000 76.923 50.000 70.000

4 60.000 92.308 112.308 0 112.308 73.000 73.000

5 70.000 107.692 127.692 0 127.692 83.000 83.000


Ahorro en impuestos

� ��

Tasa de interés de oportunidad 40% Tasa interna de retorno 58,55% Valor presente neto 34.843

A H O R R O E N I M P U E S T O S

La explicación del aumento de la rentabilidad del proyecto en sí y del valor presente neto que se mostró en el numeral anterior al utilizar un método de depreciación ace-lerada versus uno en línea recta, se encuentra en el flujo diferente de los impuestos que se pagan en cada caso, tal y como se ilustra en el Cuadro 7.4, bajo el título de ahorro en impuestos.

Cuadro 7.4 Ahorro en impuestos

Año Impuestos utilizando

depreciación en línea recta Impuestos utilizando

depreciación acelerada Ahorro en impuestos

1 16.154 9.154 7.000

2 21.538 14.538 7.000

3 26.923 26.923 0

4 32.308 39.308 -7.000

5 37.692 44.692 -7.000

Tasa de interés de oportunidad: 40% Valor presente del ahorro en impuestos: 5.448 Diferencia en valor presente: 5.448 Aunque en ambos casos se paga el mismo monto de impuestos en valor nominal du-rante el período de 5 años, cuando se utiliza un método de depreciación acelerada se pagan menos impuestos al principio y más al final, respecto de los impuestos que se pagarían si se utilizara un método de depreciación en línea recta. Si no se tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo, no habría un ahorro neto en impuestos; sin embargo, al tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se tendría un ahorro neto en impuestos, cuyo valor presente a la tasa de interés de oportunidad del 40% resulta igual a 5.448, que es precisamente la diferencia existente entre el valor pre-sente del proyecto utilizando un método de depreciación acelerado y el valor presente del proyecto utilizando un método en línea recta. R E N T A B I L I D A D D E L C A P I T A L P R O P I O A P O R T A D O A L P R O Y E C T O .

F L U J O D E C A J A P A R A E L C A P I T A L P R O P I O A P O R T A D O A L P R O Y E C T O

O F L U J O D E C A J A L I B R E P A R A E L I N V E R S I O N I S T A

En este caso se tiene en cuenta el apalancamiento financiero, esto es, el efecto de la deuda utilizada para financiar el proyecto sobre la rentabilidad de los recursos propios

[194]

Capítulo 7

[194] J A V I E R S E R R A N O� ��

que efectivamente se aportaron para financiar el proyecto. Los pasos a seguir para la construcción del flujo de caja se ilustran en el Cuadro 7.5, que se presenta a conti-nuación, donde la inversión se va a financiar de la siguiente forma: el 50% con recursos propios y el 50% con un crédito, a 5 años, amortizado totalmente al final de los 5 años, con un interés del 40% anual que se paga al final de cada año. Inversión en la fecha 0: 100.000 Deuda: 50.000 Recursos propios: 50.000 Tasa interés deuda: 40%

Cuadro 7.5

Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

Año

Utilidad antes de

intereses e impuestos

Gastos financieros

Utilidad antes de

impuestos

Utilidad neta

Depreciación(línea recta)

Amortización a capital

Flujo de caja

inversionista

0 -50.000

1 46.154 20.000 26.154 17.000 20.000 37.000

2 61.538 20.000 41.538 27.000 20.000 47.000

3 76.923 20.000 56.923 37.000 20.000 57.000

4 92.308 20.000 72.308 47.000 20.000 67.000

5 107.692 20.000 87.692 57.000 20.000 -50.000 27.000

Tasa de interés de oportunidad: 40% Tasa interna de retorno: 84,47% Valor presente neto: 43.642 Para la construcción del flujo de caja para calcular la rentabilidad de los recursos pro-pios aportados al proyecto, conocido también como flujo de caja libre para el inversionista o para el patrimonio, hay que seguir los siguientes pasos: 1.� Calcular los recursos propios invertidos en el proyecto; igual al monto de la inversión

menos los ingresos derivados del financiamiento: I0 - F0, I0: Inversión en la fecha cero F0: Financiamiento en la fecha cero 2. Calcular la utilidad antes de intereses e impuestos utilizando el método de

depreciación escogido. 3. Calcular los gastos financieros, teniendo en cuenta la tasa de interés de los créditos

utilizados para financiar el proyecto.


Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto...

� ��

4. Calcular la utilidad antes de impuestos, teniendo en cuenta 2 y 3. 5. Calcular los impuestos sobre la base de la utilidad definida en 4. 6. Calcular la utilidad neta teniendo en cuenta 4 y 5. 7. Corregir la depreciación, amortización de diferidos, etc., tal y como se hizo cuando

se calculó el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para medir la rentabilidad del proyecto en sí.

8. Estimar la inversión en activos fijos y en capital de trabajo que se requiere en cada

período, diferente a la fecha cero: IJ e ICTJ. 9. Restar la amortización del crédito hasta completar el servicio de la deuda utilizada

para financiar el proyecto. Esto es, la amortización periódica que hay que realizar correspondiente al desembolso F0, con el cual se financió la inversión inicial I0 o cualquier otro crédito cuyo desembolso haya sido contabilizado como un ingreso financiero.

(Amort deuda)J: amortización de la deuda, correspondiente al financiamiento inicial,

para el j-ésimo período, o para cualquier otro crédito cuyo desembolso se haya realizado previamente y contabilizado como un ingreso financiero.

10. En términos notacionales y para una empresa que no tenga a su cargo el cálculo

actuarial ni jubilados, el flujo de caja libre para calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto o flujo de caja libre para el capital propio aportado al proyecto o para el inversionista, sería:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf)J + VSNT - IJ - (ICT)J - (Amort deuda)J donde: (Utilidad neta)J = UAIIJ - GFJ - (UAIIJ - GFJ)*t (Utilidad neta)J = (UAIIJ - GFJ)*(1-t) UAIIJ: Utilidad antes de intereses e impuestos durante el j-ésimo período GFJ: Gastos financieros durante el j-ésimo período t: Tasa de tributación

11. Comparar el flujo anterior con la inversión neta de recursos propios del inversionista, en la fecha cero, que es igual a I0 - F0.

[196]

Capítulo 7

[196] J A V I E R S E R R A N O� ��

Otra forma de analizar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto con-siste en definir separadamente el flujo de caja del proyecto de inversión y el flujo de caja del proyecto de financiación, para encontrar el flujo neto, restando el uno del otro. Cuando se utilice esta metodología, hay que tener en cuenta el impacto de los gastos financieros sobre el monto de los impuestos a pagar, como consecuencia del crédito tri-butario que se genera. Este procedimiento se explica en los Cuadros 7.6, 7.7 y 7.8.

Cuadro 7.6 Forma alterna de calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

Año Utilidad antes de

intereses e impuestos Utilidad neta Depreciación

Flujo de caja proyecto de inversión

0 -100.000 1 46.154 30.000 20.000 50.000 2 61.538 40.000 20.000 60.000 3 76.923 50.000 20.000 70.000 4 92.308 60.000 20.000 80.000 5 107.692 70.000 20.000 90.000

En el Cuadro 7.6 se muestra el flujo de fondos para el proyecto de inversión, y en el Cuadro 7.7 se muestra el flujo de fondos para el proyecto de financiación.

Cuadro 7.7

Proyecto de financiación

Año Ingresos por financia-miento

Gastos financieros

Amortización del capital

Crédito tributario

gastos financ.

Flujo de caja proyecto de financiación

0 50.000 50.000 1 -20.000 7.000 -13.000 2 -20.000 7.000 -13.000 3 -20.000 7.000 -13.000 4 -20.000 7.000 -13.000 5 -20.000 -50.000 7.000 -63.000

En el Cuadro 7.8 se muestra la superposición entre el flujo de caja para el proyecto de inversión y el flujo de caja para el proyecto de financiación:

Cuadro 7.8 Flujo de caja para el inversionista

Año Flujo de fondos proyecto

de inversión Flujo de fondos proyecto

de financiación�Flujo de fondos

neto

0 A

-100.000 B

50.000 (A+B)

-50.000 1 50.000 -13.000 37.000 2 60.000 -13.000 47.000 3 70.000 -13.000 57.000 4 80.000 -13.000 67.000 5 90.000 -63.000 27.000


Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto y uso de la depreciación acelerada

� ��

Tasa de interés de oportunidad: 40% Tasa interna de retorno: 84,47% Valor presente neto: 43.642 R E N T A B I L I D A D D E L O S R E C U R S O S P R O P I O S A P O R T A D O S A L P R O Y E C T O Y U S O D E L A D E P R E C I A C I Ó N A C E L E R A D A

En los siguientes cuadros 7.9, 7.10 y 7.11 se repiten los cálculos necesarios para en-contrar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto utilizando un método de depreciación acelerada y el correspondiente ahorro en impuestos que se generaría frente a la situación cuando se utiliza un método de depreciación en línea recta. En el Cuadro 7.9 se muestran los cálculos necesarios para llegar a la utilidad neta, utilizando un método de depreciación acelerada.

Cuadro 7.9 Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto utilizando

un método de depreciación acelerada

Año

Utilidad antes de intereses e impuestos (línea recta)

Utilidad antes de intereses, impuestos y depreciación


Gastos financieros

Utilidad antes de

impuestos

Utilidad neta

(depreciaciónacelerada)

0

1 46.154 66.154 40.000 20.000 6.154 4.000

2 61.538 81.538 40.000 20.000 21.538 14.000

3 76.923 96.923 20.000 20.000 56.923 37.000

4 92.308 112.308 0 20.000 92.308 60.000

5 107.692 127.692 0 20.000 107.692 70.000

En el Cuadro 7.10 se muestran los cálculos necesarios para determinar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de depreciación acelerada.

Cuadro 7.10 Construcción del flujo de caja para el inversionista

Año Inversión Financiamiento Utilidad neta Depreciación Amortización Flujo de

Fondos

0 -100.000 50.000 -50.000

1 4.000 40.000 44.000

2 14.000 40.000 54.000

3 37.000 20.000 57.000

4 60.000 0 60.000

5 70.000 0 -50.000 20.000

[198]

Capítulo 7

[198] J A V I E R S E R R A N O� ��

Tasa de Interés de Oportunidad: 40% Tasa Interna de Retorno: 93,59% Valor presente neto: 49.089 En el Cuadro 7.11 se muestra el valor presente del ahorro en impuestos al utilizar un método de depreciación acelerada versus uno de línea recta.

Cuadro 7.11 Ahorro en impuestos

Año Impuestos

(línea recta) Impuestos (dep. acel.)

Ahorro en impuestos

1 9.154 2.154 7.000

2 14.538 7.538 7.000

3 19.923 19.923 0

4 25.308 32.308 -7.000

5 30.692 37.692 -7.000

Tasa de interés de oportunidad: 40% Valor presente ahorro en impuestos: 5.448 Diferencia valor presente: 5.448

E J E M P L O S D E T A L L A D O S D E L C Á L C U L O D E L A R E N T A B I L I D A D D E L P R O Y E C T O E N S Í Y D E L A R E N T A B I L I D A D D E L O S R E C U R S O S P R O P I O S A P O R T A D O S A L P R O Y E C T O

Ejemplo 7.2 En el Cuadro 7.12 se muestra la utilidad antes de intereses e impuestos para un pro-yecto con una inversión inicial en activos fijos por valor de $180.000 y con una vida útil de 5 años; la inversión inicial en activos fijos se deprecia en un 100%, utilizando un método de depreciación en línea recta. La inversión inicial se va a financiar en un 60% con un crédito a 5 años, que se amortiza en un solo pago al final de los 5 años; la tasa de interés del crédito es del 35% y se supone que se paga al final de cada año. La tasa de impuestos es del 35%.

Cuadro 7.12

Año UAII

0

1 53.846

2 69.231

3 92.308

4 107.692

5 138.462


Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...

� ��

a)� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.

b)� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un

método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerado. Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.

a)� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación

en línea recta y un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Los principales supuestos son: Valor depreciable: 100% Depreciación en línea recta No hay ajustes por inflación El proyecto se financia con recursos propios Tasa de impuestos: 35% Inversión fecha 0: 180.000

En el Cuadro 7.13 se muestran los cálculos necesarios para determinar la rentabi-lidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento.

Cuadro 7.13

Tratamiento de la depreciación

Año Utilidad neta sin finan-

ciamiento Depreciación (LR) Flujo de fondos

0 (180.000)

1 35.000 36.000 71.000

2 45.000 36.000 81.000

3 60.000 36.000 96.000

4 70.000 36.000 106.000

5 90.000 36.000 126.000

TIO: 30,00% TIR: 39,42% Valor presente neto: 37.289 En el Cuadro 7.14 se muestran los cálculos necesarios, para hallar la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación acelerada. Suposiciones: Depreciación acelerada: 40%, 40%, 20% Tasa impuestos: 35%

[200]

Capítulo 7

[200] J A V I E R S E R R A N O� ��

Cuadro 7.14 Depreciación acelerada

Año Utilidad neta con dep. en

LR

Utilidad antes de imp-

tos. (LR)

Utilidad antes de imp-tos. y deprec.

Deprec. acelerada

Utilidad antes de imp-

tos. (DA)

Utilidad neta (DA)

Flujo de fondos

0 (180.000)

1 35.000 53.846 89.846 72.000 17.846 11.600 83.600

2 45.000 69.231 105.231 72.000 33.231 21.600 93.600

3 60.000 92.308 128.308 36.000 92.308 60.000 96.000

4 70.000 107.692 143.692 0 143.692 93.400 93.400

5 90.000 138.462 174.462 0 174.462 113.400 113.400

TIO: 30% TIR: 42,46% Valor presente neto: 46.632 En el Cuadro 7.15 se muestra la comparación en el ahorro en impuestos, utilizan-do tanto el método de depreciación en línea recta como el de depreciación acelerada.

Cuadro 7.15

Ahorro en impuestos

Año Impuestos utilizando

dep. línea recta Impuestos utilizando

dep. acelerada Ahorro en impuestos

0

1 18.846 6.246 12.600

2 24.231 11.631 12.600

3 32.308 32.308 0

4 37.692 50.292 (12.600)

5 48.462 61.062 (12.600)

TIO: 30% Valor presente ahorro impuestos: 9.343 Diferencia en VPN entre depreciación acelerada y línea recta: 9.343

b)� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando

un método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerada. Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.

En el Cuadro 7.16 se muestran los cálculos necesarios para hallar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de deprecia-ción en línea recta. Inversión en la fecha 0: 180.000 Deuda: 108.000



� ��

Recursos propios: 72.000 Tasa interés deuda: 35%

Cuadro 7.16

Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

Año UAII (LR)

Gastos financieros

Utilidad antes de impuestos

Utilidad neta (LR)

Depreciación(LR)

Amort. deuda

Flujo deFondos

0 (72.000) 1 53.846 37.800 16.046 10.430 36.000 46.430 2 69.231 37.800 31.431 20.430 36.000 56.430 3 92.308 37.800 54.508 35.430 36.000 71.430 4 107.692 37.800 69.892 45.430 36.000 81.430 5 138.462 37.800 100.662 65.430 36.000 (108.000) (6.570)

TIO: 30% TIR: 68,48% Valor presente neto: 56.360 En los cuadros 7.17, 7.18 y 7.19 se muestra otra forma de calcular la rentabilidad de los recursos propios, enfrentando el proyecto de inversión con el de financia-miento.

Cuadro 7.17

Proyecto de inversión

Año UAII (LR) Utilidad neta (LR) Deprec. (LR) Flujo de fondos 0 (180.000) 1 53.846 35.000 36.000 71.000 2 69.231 45.000 36.000 81.000 3 92.308 60.000 36.000 96.000 4 107.692 70.000 36.000 106.000 5 138.462 90.000 36.000 126.000

Cuadro 7.18 Proyecto de financiación

Año Desembolso Intereses Amortización Crédito tributario Flujo de fondos

0 108.000 108.000 1 (37.800) 13.230 (24.570) 2 (37.800) 13.230 (24.570) 3 (37.800) 13.230 (24.570) 4 (37.800) 13.230 (24.570) 5 (37.800) (108.000) 13.230 (132.570)

�

[202]

Capítulo 7

[202] J A V I E R S E R R A N O� ��

Cuadro 7.19 Flujo neto

Año Proyecto de inversión (A)

Proyecto de financiación (B)

Flujo neto (A+B)

0 (180.000) 108.000 (72.000) 1 71.000 (24.570) 46.430 2 81.000 (24.570) 56.430 3 96.000 (24.570) 71.430 4 106.000 (24.570) 81.430 5 126.000 (132.570) (6.570)

TIO: 30% TIR: 68,48% Valor presente neto: 56.360 En el Cuadro 7.20 se muestran los cálculos para la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de depreciación acelerado, a partir de la construcción del flujo de fondos para los recursos propios aportados al proyecto.

Cuadro 7.20

Construcción del flujo de caja libre para el inversionista

UAII (LR) Utilidad antes de intereses imptos.

y dep.


Gastos financieros

Utilidad antes de impuestos

Utilidad neta (DA)

0

1 53.846 89.846 72.000 37.800 (19.954) (12.970)

2 69.231 105.231 72.000 37.800 (4.569) (2.970)

3 92.308 128.308 36.000 37.800 54.508 35.430

4 107.692 143.692 0 37.800 105.892 68.830

5 138.462 174.462 0 37.800 136.662 88.830

��

Cuadro 7.20 (cont.) Construcción del flujo de caja libre para el inversionista

Año Inversión Financiamiento Utilidad neta Depreciación Amortización Flujo de

caja

0 (180.000) 108.000 (72.000)

1 (12.970) 72.000 59.030

2 (2.970) 72.000 69.030

3 35.430 36.000 71.430

4 68.830 0 68.830

5 88.830 0 (108.000) (19.170)



� ��

TIO: 30% TIR: 79,85% Valor presente neto: 65.703 En el Cuadro 7.21 se muestra el cálculo del valor presente del ahorro en impues-tos, utilizando depreciación acelerada versus depreciación en línea recta.

Cuadro 7.21

Ahorro en impuestos

Año Impuestos (línea recta)

Impuestos (dep. acel.)

Ahorro en impuestos

0

1 5.616 (6.984) 12.600

2 11.001 (1.599) 12.600

3 19.078 19.078 0

4 24.462 37.062 (12.600)

5 35.232 47.832 (12.600)

TIO: 30% Valor presente ahorro en impuestos: 9.343 Diferencia en valor presente: 9.343

Ejemplo 7.3 Un proyecto de inversión a 5 años requiere una inversión en activos fijos por valor de $1.800.000 y una inversión inicial en capital de trabajo por valor de $400.000. La inversión en activos fijos se va a depreciar en un 90%, mientras que la inversión en capital de trabajo se va a reponer actualizada con la inflación, lo cual requiere una inversión adicional en capital de trabajo cada año; se va a utilizar un método de de-preciación en línea recta; la inflación esperada es del 18%. Se espera vender el activo fijo, al final de los 5 años, por un valor de $600.000. La inversión inicial (activos fijos y capital de trabajo) por un valor de $2.200.000 se va a financiar en un 40% con un crédito a 5 años, el cual se amortiza en dos pagos iguales al final de los años 4 y 5; la tasa de interés de este crédito es del 30% y por simplicidad se va a suponer que se paga año vencido. Las utilidades antes de intereses e impuestos, bajo los supuestos de depreciación que se acaban de mencionar, son respectivamente, para los 5 años, de $1.000.000, $1.100.000, $1.200.000, $1.450.000, $1.900.000. 1.� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. 2.� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto. 1.� Cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí

[204]

Capítulo 7

[204] J A V I E R S E R R A N O� ��

Supuestos principales (miles): Inversión en activos fijos: 1.800 Inversión en capital de trabajo: 400 Valor depreciable: 1,620 Valor de salvamento: 180 Depreciación anual línea recta: 324 Inflación: 18% Valor de venta activo fijo: 600 Utilidad venta activo fijo: 420 Impuestos a pagar: 147 Ingreso neto venta activo fijo: 453

En el Cuadro 7.22 se muestra el capital de trabajo al final de cada año y la inver-sión requerida en capital de trabajo durante cada año, suponiendo la reposición del capital de trabajo con la inflación.

Cuadro 7.22

Inversión en capital de trabajo

Año CT Inv. en CT

0 400 400

1 472 72

2 557 85

3 657 100

4 776 118

5 915 140

En el Cuadro 7.23 se muestran los cálculos necesarios para llegar al flujo de fon-dos para el proyecto y calcular la rentabilidad del proyecto en sí, a partir de la utilidad antes de intereses e impuestos (UAII).

�Cuadro 7.23

Año UAII Util. neta Depr. Inv. enCT

Recup.del CT

Ing. neto venta

Inv. en AF

Flujo defondos

0 (400) (1.800) (2.200) 1 1.000 650 324 (72) 902 2 1.100 715 324 (85) 954 3 1.200 780 324 (100) 1.004 4 1.450 943 324 (118) 1.148 5 1.900 1.235 324 (140) 915 453 2.788

[205] [205]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S � ��

A partir del flujo de caja del Cuadro 7.23 se obtiene una rentabilidad del proyecto en sí igual al 42,56%. Observe que en la construcción del flujo de fondos para el proyecto no se tuvieron en cuenta los gastos financieros correspondientes al ser-vicio de la deuda. En otras palabras, el flujo de fondos para el proyecto se calcula suponiendo que el proyecto se va a financiar con recursos propios.

2. Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

En el Cuadro 7.24 se muestra el servicio de la deuda; en el Cuadro 7.25, el cálcu-lo de la utilidad neta, teniendo en cuenta los gastos financieros, mientras que en el Cuadro 7.26 se muestran los cálculos necesarios para la construcción del flujo de caja libre para la aportación de recursos propios, que permite calcular la renta-bilidad de los recursos propios aportados al proyecto. Monto crédito: 880 Tasa interés: 30%

Cuadro 7.24

Servicio de la deuda

Año Saldo com. Amortización Intereses

0

1 880 0 264

2 880 0 264

3 880 0 264

4 880 440 264

5 440 440 132

Cuadro 7.25 Cálculo de la utilidad neta

Año UAII Intereses Utilidad antes de impuestos Utilidad neta

0

1 1.000 264 736 478

2 1.100 264 836 543

3 1.200 264 936 608

4 1.450 264 1.186 771

5 1.900 132 1.768 1.149

��


[206]

Capítulo 7

[206] J A V I E R S E R R A N O� ��

Cuadro 7.26 Flujo de caja libre para el patrimonio

Año Utilidad neta

Deprec. Inv. CT

Recup. CT

Ing. neto vta. AF

Inv. Act. fijo

Ingreso financ.

Amortiz. Flujo fondos

0 (400) 0 0 (1.800) 880 (1.320

) 1 478 324 (72) 0 0 0 730

2 543 324 (85) 0 0 0 782

3 608 324 (100) 0 0 0 832

4 771 324 (118) 0 0 (440) 537

5 1.149 324 (140) 915 453 (440) 2.262

Con base en el flujo de fondos presentado en el Cuadro 7.26 se calcula una tasa interna de retorno del 57,15%, que corresponde a la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto. Se deja al lector como ejercicio, validar la respues-ta anterior, enfrentado el flujo de caja del proyecto de inversión, con el flujo de caja del proyecto de financiación.

O T R O S C O S T O S E N L A E V A L U A C I Ó N D E P R O Y E C T O S

Como norma general sólo se deben incluir aquellos costos que son relevantes para la decisión que se va a tomar; costos que no se generen como consecuencia de la deci-sión que se está analizando no se deberían incluir en el flujo de caja. Algunos utilizan el concepto de costos muertos para hacer referencia a esta categoría de costos. A continuación varios ejemplos que aclaran estos conceptos. Terminación de un proyecto abandonado Se va a analizar la terminación de un proyecto que se abandonó durante un cierto tiempo después de haber realizado inversiones importantes que a la fecha de aban-donar el proyecto, cuatro años atrás, sumaban 2.000 millones de pesos. El proyecto requiere inversiones adicionales para su terminación por valor de 3.000 millones de pesos durante los próximos 18 meses, a partir de los cuales comienza a operar y a generar un flujo proyectado para cada período j igual a FCj. La decisión por analizar es si se continúa el proyecto o se abandona su ejecución y se hace una liquidación definitiva del mismo. La primera tentación para construir el flujo de caja del proyecto consistiría en llevar como inversión del proyecto, a la nueva fecha cero (hoy), el valor actualizado de los 2.000 millones a la fecha actual (cuatro años después) a una tasa de interés de opor-tunidad especificada, adicional a la nueva inversión que habría que realizar para concluir la obra (3.000 millones de pesos en los próximos 18 meses). Proceder en esta


Otros costos en la evaluación de proyectos

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forma sería una equivocación ya que en este momento no se está analizando la viabi-lidad del proyecto como un todo, la cual se debió haber analizado 4 años atrás, sino la decisión de terminar o no el proyecto. Teniendo en cuenta que la inversión previa ya se realizó, el monto de la misma sería un costo muerto para analizar la decisión de terminar el proyecto versus aquella mutuamente excluyente de abandonar el proyec-to y proceder a su liquidación. Teniendo en cuenta la decisión alternativa, y el hecho de que al abandonar el proyec-to y proceder a su liquidación se podría recuperar una parte importante de los costos incurridos previamente, por ejemplo A pesos en la fecha de hoy, son precisamente esos A pesos los que se deberían llevar a la fecha cero (hoy), para tener en cuenta las inversiones realizadas previamente, adicionalmente a la inversión marginal requerida (los 3.000 millones de pesos) para su terminación, como la inversión total para anali-zar la decisión de terminar el proyecto versus abandonarlo y liquidarlo. El lector debe ser consciente de que el tratamiento contable sería diferente, ya que en el mismo sí habrá necesidad de mantener la inversión realizada previamente. Decisión de reemplazo de un activo con un valor de mercado diferente a su valor contable Suponga una situación donde se va a tomar la decisión de reemplazar un equipo que se ha tornado obsoleto desde el punto de vista tecnológico, pero todavía se encuen-tra operando correctamente. El valor en libros del activo es igual a B, en el momento en que se evalúa la decisión de su reemplazo por otra tecnología; sin embargo, el va-lor de mercado de ese activo solo llega a C, con C < B. La pregunta se relaciona con el valor que se debería llevar al flujo de caja para comparar la decisión de reemplazo, que implícitamente compara dos alternativas: inversión en la nueva tecnología versus continuar con el equipo actual. El nuevo proyecto requiere unas inversiones por un monto D; el flujo de fondos para analizar la inversión estaría conformado principalmente por la diferencia en los costos operativos entre las dos situaciones (tecnología nueva versus tecnología obsoleta), más los ingresos incrementales que se pudieran generar por un aumento de la pro-ducción que se pueda vender en el mercado. La inversión en el nuevo proyecto permite vender el activo obsoleto por un valor igual a C, siendo precisamente el mon-to que se debería llevar como un ingreso, al considerar la decisión de invertir en la nueva tecnología y no su valor contable actual igual a B. En otras palabras, el monto de la inversión al analizar la decisión de invertir en la nueva tecnología sería igual a (D - C), menos el crédito tributario que se podría generar por la pérdida contable (B - C), que por ser una pérdida en la venta de activos tendría un tratamiento tributario de pérdida ocasional, que no siempre se puede cruzar con las utilidades operativas del negocio, para disminuir el monto de los impuestos a pagar.

[208]

Capítulo 7


� ��

Repartición de costos indirectos Suponga que en el momento actual se tienen tres líneas de producción A, B y C, con las unidades que se muestran en el Cuadro 7.27, donde a su vez se presenta la repar-tición de gastos indirectos por valor de 400 millones de pesos, de acuerdo con la política que sigue la empresa de repartir los gastos indirectos según el número de uni-dades producidas:

Cuadro 7.27 �

Producto A Producto B Producto C

Unidades producidas 80.000 70.000 50.000

Gastos directos asignados 160 140 100

Se está evaluando la construcción de una nueva línea de producción, producto D, sin que en la realidad se incrementen los gastos indirectos (asignados), con un nivel de producción de 50.000 unidades. Suponiendo que no hay incremento en los gastos indirectos, la contabilidad haría una nueva asignación de gastos indirectos, de acuer-do con los nuevos niveles de producción, así: Producto A: 128 millones Producto B: 112 millones Producto C: 80 millones Producto D: 80 millones No obstante que al producto D se le asignaron 80 millones de gastos indirectos para su tratamiento contable, los mismos no se deberían incluir en la evaluación de la viabilidad financiera de la nueva línea de producción, ya que los 80 millones no se generaron co-mo consecuencia de realizar el proyecto, consistente en la inversión para producir el producto D. En la evaluación del nuevo proyecto sólo se deben incluir aquellos gastos que se generen efectivamente como consecuencia de la decisión tomada. Los tres ejemplos anteriores ponen de manifiesto el tipo de análisis que se debe reali-zar para determinar si un costo es o no relevante en la evaluación de un proyecto de inversión; sólo se deben incluir aquellos costos y gastos que sean relevantes, esto es, que se generen como consecuencia de la decisión a tomar o que se puedan evitar en el caso de no tomar la decisión. En otras palabras, se debe trabajar sobre la base de costos incrementales, correspondiendo estos últimos a los costos que efectivamente se generan como consecuencia de la implantación de la decisión que se está analizan-do. Por lo tanto, para la determinación de si un costo es o no relevante, se deben responder las siguientes dos preguntas:


Ejercicio de recapitulación

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1. ¿Se genera el costo como una consecuencia de la decisión que se va a tomar y/o de la implantación del nuevo proyecto?

2. ¿Se podría evitar el costo si se toma la decisión contraria, esto es, si no se llega a

implantar el nuevo proyecto? Si la respuesta a estas preguntas es negativa, el costo no es relevante para la evaluación del proyecto. El otro aspecto importante en la evaluación de proyectos tiene que ver con la informa-ción a utilizar, cuando existan discrepancias entre la información contable y la de mercado. En general, se deben utilizar valores de oportunidad o valores de mercado, cuando se presente la discrepancia a que se hace referencia. E J E R C I C I O D E R E C A P I T U L A C I Ó N

Usted requiere evaluar un proyecto con una inversión en activos fijos por 18.000 mi-llones y en capital de trabajo por 8.500 millones. Los activos fijos se deprecian en un 85% en línea recta durante la vida útil del proyecto, la cual es de 6 años, mientras el capital de trabajo se reaprecia con la inflación. El proyecto incurre en gastos preopera-tivos por valor de 2.000 millones de pesos en el momento 0. Al final de la vida útil del proyecto se espera vender los activos fijos por valor de 7.000 millones y recuperar el 87% del capital de trabajo. Para financiar el proyecto se solicita un crédito por el 50% de la inversión realizada en la fecha 0 para activos fijos y capital de trabajo. El crédito es a una tasa de interés del 20% efectivo anual, que se pagará al final de cada año y se amortizará en tres pagos iguales en los años 4, 5 y 6. La tasa impositiva es del 35%, la inflación esperada del 5% y la TIO del 17%.

1.� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. 2.� Hallar el flujo de financiación. 3.� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto. 1.� Cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí

Supuestos principales: Inversión en activos fijos: $ 18.000 millones Inversión en capital de trabajo: $ 8.500 millones Valor depreciable: 85% Valor de salvamento: $ 2.700 millones Depreciación anual línea recta: $ 2.550 millones Inflación: 5%

[210]

Capítulo 7

[210] J A V I E R S E R R A N O� ��

Valor de venta activo fijo: $ 7.000 millones Utilidad venta activo fijo: $ 4.300 millones Impuestos a pagar: $ 1.505 millones Ingreso neto venta activo fijo: $ 5.495 millones Valor en libros del CT en período 6: $ 11.390 millones Porcentaje a recuperar del CT: 87% Valor a recuperar del CT: $ 9.910 millones Pérdida en la recuperación del CT $ 1.480 millones Crédito tributario por recuperación CT $ 518 millones Recuperación neta del CT $ 10.428 millones

En el Cuadro 7.28 se muestra el capital de trabajo al final de cada año y la inver-sión requerida en capital de trabajo durante cada año, suponiendo la reposición del capital de trabajo con la inflación.

Cuadro 7.28

Inversión en capital de trabajo (en millones de pesos)

Año CT Inv. en CT Recuperación

neta CT

0 $ 8.500,00

1 $ 8.925,00 $ 425,00

2 $ 9.371,25 $ 446,25

3 $ 9.839,81 $ 468,56

4 $ 10.331,80 $ 491,99

5 $ 10.848,39 $ 516,59

6 $ 11.390,81 $ 542,42 $ 10.428,29

En el Cuadro 7.29 se muestran los cálculos necesarios para llegar al flujo de caja libre para el proyecto y calcular la rentabilidad del proyecto en sí, a partir de la utilidad antes de intereses e impuestos (UAII).

Cuadro 7.29

Flujo de fondos del proyecto en sí (en millones de pesos)

Año UAII UAII*(1-t)

Depr. Amortiz. diferidos

Inv. enAF

Inv. en CT

Gtos. preoper.

Ing. neto venta AF

Recup. del CT

Flujo defondos

0 -$ 18.000,0 -$ 8.500,0 -$ 2.000,0 $ 0,0 $ 0,0 -$ 28.500,0

1 $ 5.000,0 $ 5.850,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 425,0 $ 0.0 $ 0,0 $ 0,0 $ 8.308,3

2 $ 9.500,0 $ 6.175,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 446,3 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 8.612,1

3 $ 11.500,0 $ 7.475,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 468,6 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 9.889,8

4 $ 13.500,0 $ 8.775,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 492,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 11.166,3

5 $ 14.500,0 $ 9.425,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 516,6 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 11.791,7

6 $ 15.500,0 $ 10.075,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 542,4 $ 0,0 $ 5.495.0 $ 10.428,3 $ 28.339,2


Ejercicio de recapitulación

� ��

A partir del flujo de caja mostrado en el Cuadro 7.29 se obtiene una rentabilidad del proyecto en sí igual al 30,61%. El flujo de fondos para el proyecto se calcula suponiendo que el proyecto se va a financiar con recursos propios.

2. Hallar el flujo de financiación

En el Cuadro 7.30 se muestra el flujo de financiación. Monto crédito: 26.550 Tasa interés: 20%

Cuadro 7.30

Flujo de financiación (en millones de pesos)

Año Saldo com. Desembolso Amortización Intereses Crédito tributario

Flujo de financiación

0 $ 13.250,0 $ 13.250,0

1 $ 13.250,0 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 1.722,5

2 $ 13.250,0 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 1.722,5

3 $ 13.250,0 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 1.722,5

4 $ 13.250,0 -$ 4.416,7 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 6.139,2

5 $ 8.833,3 -$ 4.416,7 -$ 1.766,7 $ 618,3 -$ 5.565,0

$ 4.416,7 -$ 4.416,7 -$ 883,3 $ 309,2 -$ 4.990,8

A partir del flujo de financiación mostrado en el Cuadro 7.30 se obtiene el costo del financiamiento después de impuestos, que es igual al 13%.

Cuadro 7.31

Flujo de fondos de los recursos propios

Año Flujo de fondos del proyecto de inversión

Flujo de fondos del proyecto de financiación

Flujo de los recursos propios

0 -$ 28.500,0 $ 13.250,0 -$ 15.250,0

1 $ 8.308,3 -$ 1.722,5 $ 6.585,8

2 $ 8.612,1 -$ 1.722,5 $ 6.889,6

3 $ 9.889,8 -$ 1.722,5 $ 8.167,3

4 $ 11.166,3 -$ 6.139,2 $ 5.027,2

5 $ 11.791,7 -$ 5.565,0 $ 6.226,7

6 $ 28.339,2 -$ 4.990,8 $ 23.348,4

Con base en el flujo de fondos presentado en el Cuadro 7.31 se calcula la tasa in-terna de retorno del 44,57%, que corresponde a la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.

[212]

Capítulo 7

[212] J A V I E R S E R R A N O� ��

P R O Y E C C I O N E S F I N A N C I E R A S

Para la construcción del flujo de fondos para un proyecto o para los recursos propios aportados a un proyecto con miras a determinar la rentabilidad del proyecto en sí o la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, hay que proyectar el com-portamiento del proyecto en un escenario macroeconómico, donde se incluyen aquellas variables que pueden afectar su desempeño futuro. La construcción de un conjunto de proyecciones financieras comprende cinco aspectos, que aunque diferen-tes se encuentran relacionados, a saber:

1.� Modelaje del proyecto: construcción de un modelo de

proyecciones financieras para el proyecto

En el modelaje se establecen los pasos necesarios para la determinación del flujo de caja para el proyecto o para los recursos propios, a partir de la proyección del comportamiento de las diferentes variables que afectan su desempeño y de las relaciones que existen entre esas variables. Usualmente se hace en una hoja de cálculo (p. ej., Excel), en la cual se establecen las relaciones entre las diferentes variables que afectan el proyecto, dentro de una estructura parametrizada a un conjunto de variables de entrada, críticas en el desempeño del proyecto, sobre las cuales se va a hacer análisis de sensibilidad. El modelaje de cualquier situación (proyecto o empresa) debe ser el resultado de un compromiso entre realismo y simplicidad; en otras palabras, modelos muy re-cargados en el detalle resultan demasiado pesados para su utilización e inter-pretación de resultados. Por otro lado, modelos sencillos, con simplificaciones y supuestos fuertes para hacer más fácil su solución y/o utilización, pueden adole-cer de falta de realismo y llevar a resultados que se alejan bastante de la respuesta que se está estimando. La sola escogencia del período básico de pro-yección (mes, trimestre, año) ya genera un dilema entre las dos dimensiones a que se ha hecho referencia: realismo y simplicidad.

2.� Separación de la información contable de la información pertinente para la evaluación del proyecto Este tema se ha analizado a lo largo de este capítulo y es especialmente impor-tante cuando se parte de información contable, como suele ocurrir en la mayoría de casos. No solo hay que determinar los costos relevantes sino también hacer las correspondientes correcciones, por ejemplo: depreciación, amortización de diferi-dos, para la construcción del flujo de caja para el proyecto.

3.� Definición de escenarios macroeconómicos

El resultado de las proyecciones financieras va a depender del escenario macroe-conómico que se esté utilizando como marco de referencia para analizar el desem-


Proyecciones financieras

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peño de las diferentes variables. No es lo mismo el resultado de un proyecto en un escenario de expansión de la demanda del bien que produce el proyecto, que en uno de contracción de la demanda. La construcción de escenarios es un trabajo altamente profesional, ya que se de-ben respetar todas las relaciones teóricas entre las diferentes variables macroeconómicas; como dicen los economistas, el escenario debe “cerrar”. Co-mo tal, existen entidades especializadas en la construcción de escenarios macroe-conómicos, entre las cuales uno debe escoger los escenarios macroeconómicos que va a utilizar en sus proyecciones financieras. Usualmente se escogen tres es-cenarios: normativo, optimista y pesimista, con el propósito de poder hacer una calificación del riesgo inherente al proyecto. La calificación de los escenarios como normativo, optimista o pesimista es una cuestión de criterio por parte de la per-sona que está haciendo la evaluación del proyecto.

4.� Análisis de sensibilidad del proyecto

El objetivo principal de un análisis de sensibilidad es la cualificación del riesgo del proyecto; aquí se puede tener la tentación de hacer análisis de sensibilidad a la mayoría de las variables que se han incluido en el modelo de proyecciones finan-cieras, lo cual puede dificultar la interpretación de los resultados de las diferentes simulaciones. Una mejor estrategia consistiría en identificar los factores críticos (value drivers) que afectan el comportamiento del proyecto o de la empresa y centrar la atención sobre esos factores, estableciendo su comportamiento espera-do dentro de los escenarios macroeconómicos que se están utilizando para proyectar la empresa o el proyecto. El análisis de sensibilidad dentro de cada es-cenario se debe centrar sobre esos factores críticos.

5.� Estimación de la tasa de descuento

Independientemente de que se use como tasa de descuento la tasa de interés de oportunidad o el costo promedio ponderado de capital, debe existir una consis-tencia entre los escenarios macroeconómicos que se están utilizando como base de las proyecciones financieras y las diferentes componentes de la tasa de des-cuento, como el costo de la deuda en nominales y el costo de la aportación patrimonial. Sus valores van a depender de la proyección del comportamiento de algunas variables macroeconómicas (por ejemplo, inflación, devaluación) o de al-gunos supuestos sobre la empresa o el proyecto (por ejemplo, estructura de capital). Lo anterior lleva a que la tasa de descuento cambie de un período a otro, por lo cual habría que construir factores de descuento individuales para cada período, con el propósito de establecer el factor de descuento para cada flujo; en otras pa-

[214]

Capítulo 7

[214] J A V I E R S E R R A N O� ��

labras en lugar de utilizar para el flujo del año n, el factor de descuento (1/(1+i)n), habría que utilizar como factor de descuento la expresión más general:

� � � � � � � � � � � � � �nnnj iiiiiii �� 11

11

11

*...*1

1*...*

11

*1

1*

11

12321

donde ij corresponde a la tasa de interés para el j-ésimo período.

Las proyecciones financieras de una empresa comprenden la proyección de los esta-dos oficiales (balance, pérdidas y ganancias, cambios en el capital de trabajo, flujo de efectivo); la proyección de un proyecto en cierta forma refleja la proyección de los mismos estados financieros para el proyecto, no obstante que muchas veces se limita a la proyección del estado de pérdidas y ganancias y del flujo de caja del proyecto, a partir de los cuales se construyen los flujos de caja libre para el proyecto y para los recursos propios aportados al proyecto. En concepto del autor, se debe proyectar el balance específico del proyecto, para poder hacer una mejor proyección del estado de resultados y del flujo de caja. En el caso de empresas en marcha, que van a evaluar la viabilidad de un proyecto de inversión, es muy importante separar la proyección de la empresa como un todo y la proyección del comportamiento del proyecto, tratando de establecer el impacto del proyecto sobre el desempeño de la empresa, dentro de un horizonte de tiempo dado. Sobre todo es muy importante establecer el impacto del proyecto sobre la proyección del flujo de caja de la empresa; dependiendo del tamaño de la inversión, se debería establecer la situación de la empresa con y sin el proyecto, en particular la proyección del flujo de caja en ambas situaciones. Existen varios libros de finanzas en los cuales se aborda con detalle el tema de la construcción de estados pro-forma, especialmente de los cuidados que hay que tener para proyectar el comportamiento de las diferentes cuentas que afectan un balance, un estado de pérdidas y ganancias y un flujo de caja, por lo cual el tema no se aborda con mayor extensión en este libro. Sin embargo, se sugiere, cuando se utilice este libro como texto de clase, dejar un ejercicio completo, de proyección de los estados de resultados de una empresa y de un proyecto, separando claramente las proyeccio-nes de la empresa sin el proyecto, las proyecciones del proyecto y las proyecciones de la empresa con el proyecto. En el siguiente capítulo se examinan varios casos de ma-yor complejidad, que enfatizan problemas de modelaje financiero, incluyendo los de proyección de los flujos de caja.


1. Considere un proyecto de inversión que requiere una inversión en activos fijos

en la fecha 0 por valor de 4.000 millones de pesos, con una vida útil de 6 años,



� ��

cuya utilidad antes de intereses e impuestos, utilizando un método de deprecia-ción en línea recta, para cada año, es la siguiente: año 1: $1.500 millones; año 2: $2.000 millones; año 3: $2.500 millones; año 4: $3.000 millones; año 5: $3.500 millones; año 6: $4.000 millones. La inversión en activos fijos se depre-cia totalmente durante los 6 años. Se supone que al final de la vida útil del activo lo que se puede recibir por la venta del activo depreciado es exactamente igual a lo que se requiere pagar para deshacerse del activo. La tasa de interés de oportunidad es del 40% y la tasa de impuestos del 35%. ¿Cuál sería la rentabi-lidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento? (47,79%).

2. Para el problema 1, ¿cuál sería la rentabilidad del proyecto en sí, al utilizar un

método de depreciación acelerada (40%, 40% y 20%)? ¿Cuál sería el valor pre-sente del ahorro en impuestos al utilizar un método de depreciación acelerada frente a uno en línea recta, si la tasa de interés de oportunidad es del 40%? (51,70%, $281,89).

3. Suponga que el proyecto se va a financiar en un 40%, con una línea de crédito

que se amortiza totalmente al final de los 6 años. La tasa de interés del financia-miento es del 40% año vencido (los intereses se pagan al final de cada año). ¿Cuál sería la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto en ambos casos, utilizando tanto un método de depreciación en línea recta como un método de depreciación acelerada? (62,10%, 69,78%).

4. Repita los cálculos de los problemas 1, 2 y 3 teniendo en cuenta que el activo se

deprecia en un 90%, con un valor de salvamento igual al 10%. Así mismo, se espera vender el activo al final de la vida útil por un valor neto de 1.200 millo-nes de pesos al finalizar el año 6, una vez descontados los gastos necesarios para disponer del activo. (Con depreciación en línea recta, la rentabilidad del proyecto: 47,31%, la rentabilidad de los recursos propios: 60,79%. Con depre-ciación acelerada, la rentabilidad del proyecto: 50,69%, la rentabilidad de los recursos propios: 67,38% y el valor presente del ahorro en el pago de impues-tos utilizando depreciación acelerada es $253,71).

5. Repita el problema 3, suponiendo que el crédito se amortiza en 4 contados igua-

les, a partir del año 3, esto es, con dos años de gracia. (59,02% y 65,38%). 6. Suponga un bono a 4 años que paga un interés nominal del 36% anual, paga-

dero semestre vencido, el cual se va a amortizar en un 50% al finalizar el año 2 y en un 50% al finalizar el año 4. Existe una línea de crédito para adquirir este tipo de bonos, que financia un 50% del valor nominal de lo mismos, con las si-guientes condiciones: plazo 4 años, amortizable un 50% al finalizar el año 2 y un 50% al finalizar el año 4; los intereses se cobran sobre saldos, a una tasa del 26% pagadero trimestre vencido, y la tasa de impuestos es del 35%. ¿Cuál es la

serrano j. 2001_._matematicas_financieras_y_evaluacion_de_proyectos_-_parte_i

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