serie ee

Ciencia e Ingeniera Neogranadina, Vol. 18-1, 2008

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

107

Ciencia e Ingeniera Neogranadina, Vol. 18-1, pp. 107-116. Bogot, Junio de 2008. ISSN 0124-8170

1

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1

12

CLCULO DE SERIES ARMNICAS DE RIEMANN CON EXPONENTE PAR

CALCULATE OF HARMONIC SERIES RIEMANN WITH EVEN EXPONENT

Jorge, Morales ParedesMatemtico, Profesor ctedra, Departamento de matemticas, Universidad Militar Nueva Granada,

Bogota, Colombia.

Weimar, Muoz VillateMatemtico, Profesor ctedra, Departamento de matemticas, Universidad Militar Nueva Granada,

Bogota, Colombia.

Soln E., Losada HerreraM.Sc., Profesor tiempo completo, Departamento de matemticas, Universidad Militar Nueva Granada,

Bogot, Colombia.

Fecha de recepcin: 8 agosto de 2007Fecha de aprobacin: 16 de junio de 2008

RESUMEN

La llamada funcin Zeta de Riemann fue introducida por Euler mediante la definicin

, que se trata de una serie convergente en la que z es un nmero complejo

con parte real mayor que uno. El presente trabajo va encaminado a presentar una frmularecurrente para el clculo de series . Es conocido que Euler desarroll

este mismo caso particular, trabajando con los ceros de la funcin zeta [3], nosotrosrealizamos dicho clculo utilizando la funcin cot z e induccin matemtica. Para lacomprensin de este escrito, es necesario que el lector tenga algunas nociones de variablecompleja, como son: funcin analtica, expansin en serie de Taylor, series de Laurent,entre otros [1], [2].Palabras claves: Serie de Laurent, divisin larga, nmeros de Bernoulli e induccinmatemtica.


108 Morales Paredes - Muoz Villate - Losada Herrera

1

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a

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ABSTRACT

The called Riemann Zeta function was presented by Euler like the function ,

that is a convergent series where z is a complex number with positive real part. The

calculation of series in the manner is not found in general way in books or other

investigation materials. Usually, you can find particular cases, i.e., basic examples. The presentwork goes guided in order to present a recurrent formula for the calculation of these series.For the understanding of this writing, the reader should have some notions, as they are it:function analytic, sequential expansion of Taylor, series of Laurent, among others.Key words: Laurents Serie, Bernoullis numbers and mathematical induction.

INTRODUCCIN

La serie armnica generalizada, o serie p, es alguna de las series , donde .La serie converge si p > 1 y diverge en otro caso. En particular, si p = 1, la serie esarmnica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es (p), es decir, la funcin zeta deRiemann evaluada en p, [3], [5].

1. MARCO TERICO

La expansin de Laurent [1], de (ez -1)-1 en el origen tiene la formadonde Bk son los nmeros de Bernoulli. Usaremos este hecho para sacar una frmula derecurrencia a fin de encontrar algortmicamente los nmeros de Bernoulli.Desde ahora, utilizaremos la divisin larga cada vez que sea necesario, i.e. si

. Luego:



109

[Ntese que para k=5 el valor es cero]

Con una simple inspeccin de la ecuacin (1) obtenemos que

Observando detenidamente (1), podemos intuir la siguiente relacin de recurrencia paracalcular un nmero de Bernoulli a partir de los nmeros de Bernoulli anteriores. Esta relacines:

A continuacin, probaremos esta igualdad usando induccin sobre k. Por hiptesis deinduccin, se supone que:

Ya que

Ahora, haciendo divisin larga se obtiene:

42

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6

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As, hemos obtenido la relacin de recurrencia para los nmeros de Bernoulli:

Ahora, expresaremos el desarrollo de Laurent de cot z en trminos de los nmeros deBernoulli (para comparar estos coeficientes con los obtenidos en la expresin por sumasparciales).

Recordemos que:

Pero como se puede expresar:

Se verifica que [1]. Estos resultados se utilizarn para

comparar los coeficientes en el desarrollo de Laurent de cot(.z) y de su expresin por

sumas parciales y encontraremos, la expresin de

1

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12

1

nkn



111

Se comienza trabajando sobre la ecuacin (4). Haciendo un pequeo cambio se observa que:

(5)

Igualando estas dos ltimas ecuaciones obtenemos:

(6)

Ya que la convergencia de stas dos series es uniforme [2] (por comparacin con

, se deriva trmino a trmino para obtener:

(7)

Derivando trmino a trmino (Teorema de Weierstrass, ver Ahlfors [1]), dos veces ms, seobtiene:

(8)

Ahora en la ecuacin (6) la evaluamos en z=0, y as:

Haciendo lo mismo en la ecuacin (7) y (8), es decir, evaluar estas en z=0, se obtiene:

1

12

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10

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1

2

2 )!2(2

41

n

k

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k k

B

n

Desde la ecuacin (8) se espera cumplir la siguiente igualdad:

(9)

En efecto, derivando dos veces se tiene:

y

Cuyo resultado es el mismo de la ecuacin (9) cambiando k por k + 1. Si z = 0 en laecuacin (9) se muestra que:

(10)

Donde Bk son los nmeros de Bernoulli.

VERIFICACIN EN MAPLE

Lo primero que se har, ser hallar los primeros 10 nmeros de Bernoulli; utilizando elprograma Maple11.01:

> seq(abs(bernoulli(2 *n)),n= 1..10);

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)!12(4

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113

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1

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kB

Se define la funcin B(j), de la siguiente manera,

> B:=j->abs(bernoulli(2*j));B:=j t abs|bernoulli(2j)|

Esta frmula, permite obtener los nmeros de Bernoulli mostrados anteriormente, utilizandouna funcin incorporada ya en el software Maple11.01. A continuacin, se muestra que se

logran idnticos resultados, a travs de la forma general para el clculo de as:

(11)

(12)

B:=j t abs|bernoulli(2j)|> B(1);

16

> B(2); 130

> B(10);174611

330

Si observamos que los nmeros arrojados por la funcin B(k), son los mismos que losnmeros de Bernoulli. Con el resultado obtenido B(k); se genera el resultado S(k) el cual

dar el clculo de una serie de la forma

174611330

> S:=j->((pi)^(2*j)*(4)^(j)*B(j))/(2*(2*j)!);

(13)

1222

2)1(

12

1

2

1)1(:

1

1

1

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kkB

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1

nkn



12

1

nkn

Para comparar es necesario obtener algunos resultados:

> S(1); (14)

> S(2); (15)

> S(3); (16)

> S(10);(17)

Se define la serie s(k) y se obtienen algunos resultados:

> s:=k->sum(1/(n)^(2*k),n=1..infinity);

> s(1);

> s(2);

> s(3);

> s(10);

Como se observa las dos funciones S(k) y s(k) generan los mismos resultados para losvalores asignados a k; Con lo cual queda comprobado computacionalmente los resultadosobtenidos en el artculo.

3. CONCLUSIN

Se encontr una forma general para el clculo de las series de la forma a travs de

los nmeros de Bernoulli. Estos a su vez, fueron obtenidos de una forma recurrente.Ambos resultados se escribieron despus de ser demostrados por induccin



115

matemtica. La ecuacin (10) se obtuvo matemticamente, mientras que la ecuacin(13) es obtenida por un medio computacional, verificando que los resultados sonverdaderos.

AGRADECIMIENTOS

Agradecemos de una forma muy sincera, a la profesora Sandra Bello de la UniversidadMilitar Nueva Granada, por sus comentarios hechos a este escrito.

REFERENCIAS

[1] AHLFORS L. V. Complex Analysis. McGraw-Hill. New York 1966.

[2] APOSTOL TOM M. Anlisis Matemtico. Ed. Revert S.A. Barcelona 2001.

[3] CHINEA Carlos. Divulgacin de la matemtica en la red. http://personales.ya.com/casanchi/mat/zeta01.pdf.

[4] EDWARDS H M. Riemanns Zeta Function. Academic Press, 1974. New York.

[5] GOURDON X, SEBAH P. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zeta.html.

[6] SNCHEZ H. J. DARIO www.branchingnature.org/Variable Compleja Snchez H.pdf.ltima actualizacin: abril 2005.

[7] USER MANUAL. Maple 11. Maplesoft 2007. Canada.

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