FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

Profesora: Rosa N. Llanos Vargas

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

ROSA N . LLANOS VARGASNuevo Chimbote- 2013

INTRODUCCIN

Esta segunda edicin del presente material ha sido elaborado para servir de apoyo en el aprendizaje del tema de funciones vectoriales de una variable real para los estudiantes de Ingeniera Civil, Ingeniera Mecnica e Ingeniera en Energa de la Universidad Nacional del Santa.

Cada seccin comprende el desarrollo terico del tema , ejemplos de aplicacin y ejercicios propuestos para fijar el aprendizaje , estos deben ser complementados con los ejercicios y problemas que aparecen al final del material a manera de reforzamiento de lo aprendido.

Se entiende que el lector est familiarizado con los temas de clculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real y con la teora vectorial fundamentalmente.

Sucesivamente se desarrollan la definicin de las funciones de R en Rn , la grfica del rango, la parametrizacin de curvas, el clculo diferencial e integral, el triedro mvil curvatura , torsin y las frmulas de Frenet Serret .

Cualquier sugerencia o comentario se agradecer y servir para mejorar futuras ediciones de este material.

ROSA N. LLANOS VARGAS Nuevo Chimbote, Abril 2013ronollava@hotmail.com

INDICEPgSeccin 1 Funciones de R en Rn 31.1 Definicin 31.2 Operaciones con funciones vectoriales de una variable real 51.3 Curvas en Rn 61.4 Parametrizacn de curvas 7Seccin 2 Clculo diferencial112.1 Lmites112.2 continuidad142.3 Diferenciabilidad15Seccin 3. Integracin173.1Integracin de funciones vectoriales de variable real173.2 longitud de arco de curvas183.3 Funcin longitud de arco19Seccin 4 Triedro mvil214.1 Vector tangente unitario224.2 Vector normal y vector binormal224.3 Componentes de la aceleracin234.4 Plano osculador, normal y rectificante244.5 Curvatura y torsin25Bibliografa28

SECCIN 1. FUNCIONES DE IR EN IRn1.1 Definicin Una funcin que tiene dominio en un subconjunto de los nmeros reales y rango en IRn se denomina funcin vectorial de variable real.Simblicamente; F: I IR IRnt F(t)La funcin F asocia a cada nmero real t IR un y solo un vector F(t) en IRn ; donde F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,, fn(t) )Cada fi es una funcin real de una variable real, t;fi: Dom(fi) IR IR ; i = 1 , 2, 3 , , ntfi(t)Dom(fi) es el dominio de la funcin real fi.Las funciones fi son llamadas funciones coordenadas o componentes.

El dominio de F se denota por Dom(F) y es dado por la interseccion de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;

NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentidoEjemplo 1. Sea la funcin vectorial F : IR IR3, tal que Sus funciones componentes son: f1(t) = t ; f2(t) = ; f3(t) = ln(4 t ) , cuyos dominios son:Dom(f1) = IR ; Dom(f2) = ]1 , + [ ; Dom (f3) = ]- , 4 [La interseccin de los dominios es ]1 ,4 [ = Dom(F)Ejemplo 2. Sea F(t) = ( 1,3, 0 ) + t (-1,-1,3 ) , t IR . A cada nmero real , t , la funcin F le asocia un radio vector en IR3 que termina en la recta que tiene direccin (- 1,-1,3) y pasa por el punto (1,3, 0).F(t) = ( 1 t , 3-t , 3t) . Sus funciones componentes son f1(t) = 1- t ; f2(t) = 3- t ; f3(t) = 3tDom(f1) = Dom(f2) = Dom(f3) =IR ; luego Dom ( F) = IR y su rango son todos los puntos de la recta L.Ejemplo 3. Sea G(t) = ( 4 cost , 4 sent ) ; t [0, 2 ]G : [0, 2 ] IR2La funcin G asocia a cada ngulo polar , t , un punto de la forma x = 4cost , y = 4sent que pertenecen a la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 4YX

Ejemplo 4. Graficar el rango de F(t) = (t , t, t2 ) , para tEn este caso es x = t = y x = y que es la ecuacin del plano diagonal perpendicular al plano XYz=t2 equivale a la ecuacin del cilindro parablico z = x2.La grfica es la curva de interseccin entre el plano y =x con el el cilindro z = x2

Ejemplo 5.-Graficar el rango de H(t) = ( sen(t), cos(t), t ) ; tLa funcin asocia a cada ngulo t, un punto de la hlice circular recta, tal quex= sent , y = cost , z = t Este grfico representa el movimiento del electrn en un campo magntico.EjerciciosGraficar la curva que est representada por la funcin vectorial que se indica1. (2sent,4cost,t) ; t 02. (t , cost , sent ) ; t 03. (t , 2t , cost ) ; t 04. (4,2cost,3sent)5. ti + t3 j +tk6. ()7. (

1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALESSupongamos que las funciones F y G estn definidas en el mismo intervalo I IR F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t) ,, fn(t) ) ; G(t) = ( g1(t) , g2(t) , g3(t) ,, gn(t) )Siendo las imgenes de F y G vectores en IRn , resulta natural definir las siguientes operaciones:1.Adicion de funciones (F + G ) (t) = F(t) + G(t) = ( f1(t) +g1(t) , f2(t) +g2(t) , f3(t) +g3(t) ,, fn(t) + gn(t) )2.Multiplicacin de un escalar por una funcin( kF)(t) =k(F(t)) = (kf1(t) , kf2(t) , kf3(t) ,,kfn(t) )3.Multiplicacin escalar o producto interno de funciones :(FG)(t) = F(t) . G(t) = f1(t) g1(t) + f2(t) g2(t) + f3(t) g3(t) + ,, +fn(t) gn(t)4. Multiplicacin vectorial (solo para n = 3 )( F x G ) (t) = F(t) x G(t) = (f2(t) g3(t) - f3(t) g2(t) , f1(t) g3(t) -f3(t) g1(t) , f2(t) g1(t) - f1(t) g2(t))5. Multiplicacin de una funcin real por una funcin vectorial Sean una funcin real y F: I IR IRn una funcin vectorial de variable real( F)(t) =((t)f1(t) , (t)f2(t) , (t)f3(t) ,, (t)fn(t) )Ejemplo 4Sea (t) = e t ; F(t) = ( cos t, sen t , t ) ; Dom () = IR ; Dom (F) = [ 0 , 2]La funcin producto (t) F(t) es (t) F(t) = (e tcos t , e tsen t , e tt ) ; Dom ( F ) = [ 0 , 2] 1.3. CURVAS EN IRnDefinicin. Un camino o trayectoria en el espacio IRn es una funcin vectorial, continua en un intervalo I contenido en IR Definicin. Se llama curva en IRn, al conjunto C formado por la imagen o rango de una trayectoria o camino F : [a, b ] IRn .C= { PIRn / P = F(t) ; t [ a , b ] }Si t es el tiempo F(t) puede ser considerado como la trayectoria de una partcula.NOTA.1. La curva C se conoce como la TRAZA de F. Los vectores F(a) y F( b) son los extremos de la curva.2. En la grfica de una curva descrita por una funcin continua no puede haber interrupciones.3. Una curva es la interseccin de dos superficies4. En casos de curvas es usual denotar la funcin con letras griegas con el propsito, ms adelante, de distinguir a las funciones vectoriales de las funciones reales. Se utilizar ambas notaciones de acuerdo a la situacin.1.4. ECUACIONES PARAMETRICAS DE C.Sea C : P = (t) , la curva descrita por la trayectoria o camino . Tal que (t) = (1 (t), 2 (t),3 (t), ,n (t)) . Si P( x1 , x2 , xn ) es un punto cualquiera que pertenece a C ; entonces las ecuaciones reales :x1 = 1 (t)x2 = 2 (t) ; t [ a , b ]

xn = n (t)Se llaman ECUACIONES PARAMETRICAS DE C y la funcin constituye una parametrizacin de la curva .Ejemplo 1. La funcin (t) = ( 1 sent , 1 cost ) , t [ 0 , 2 ] describe una curva C en el plano XY ; sus ecuaciones paramtricas son ,x = 1 sent t [ 0 , 2 ]C :

y = 1 - costEl parmetro t es el ngulo polar medido entre el radio vector OP y el semi eje positivo OX Su grfica es una circunferencia .Eliminando el parmetro de las ecuaciones dadasSent = 1 x ,cost = 1- y Elevando al cuadrado y sumando , resulta (x-1) + ( y 1 ) = 1 representa a una circunferencia de centro ( 1 ,1 ) y radio r = 1 Ejemplo 2. Esbozar la grfica de la funcin vectorial :[ 0 , 2 ] IR3 , tal que (t) = ( tcost , tsent , t ) Solucin.1)Calculamos algunos puntos por donde pasa la curva T0/23 /22

x(t)00- 02

y(t)0/20-3 /20

z(t)0/23 /22

2)Puesto que las coordenadas de son funciones trigonomtricas continuas , esperamos que la curva que describan no tenga interrupciones.3)Si elevamos al cuadrado cada coordenada x = tcost ; y = tsent ; y sumamos se obtiene x + y = t . Reemplazando z por t se tendr la superficie x + y = zque representa a un cono con vrtice en el origen de coordenadas y eje, el eje Z . La curva trepa dicha superficie.Grfica de (t) = ( tcost , tsent , t ) para t en [0,10]

Nota. En R3:a)Una sola ecuacin f(x, y, z) = 0 , representa una superficieb)Dos ecuaciones f(x, y, z) = 0 y g (x, y, z) = 0 , representan una curva . En este caso es conveniente parametrizar la curva; es decir , hallar una funcin en un solo parmetro que la describa, para lo cual se elige un parmetro adecuado.Ejemplo 1. Hallar una parametrizacin para la curva de interseccin de y = x2 +1 y el plano P: y +z- 2 = 0.SolucinHagamos x = t , donde t es un nmero real arbitrarioReemplazando t en ambas ecuaciones ,se obtiene y = t2 +1 , z = 1 t2 . Entonces C: f(t) = ( t, t2 +1 , 1 t2 ). f es la parametrizacin de C. Nota.- Se puede elegir y = t ,o z = t , dependiendo de la forma que tienen las ecuaciones de las superficies.Ejemplo 2 .La interseccin de los cilindros z = x2 ,z = 4 y2 , se observa en el grfico Hagamos : x=2 cos(t) , y = 2sen(t) ,z= 4(cos(t))2, para 0 satisfacen las ecuaciones de los cilindros y constituyen una parametrizacin de la curva de interseccin de los cilindros. Se visualiza a continuacin la curva C: x = 2cost, y = 2sent, , z= 4 cos2t ; 0 Ejemplo3. Parametrizar la curva que resulta de interceptar el cilindro (x-1)2 + (y 2)2 = 4 con el plano x + y+ z = 2Solucin.1) Primera formaSea x = t ; reemplazando en las ecuaciones dadas ,resulta,(y 2)2 = 4 - (t - 1)2 Hallando el dominio del parmetro

Debido a la variable y , es claro que C consta de dos ramas C1 y C2 descritas por:

b)Segunda formaLa directriz del cilindro es una circunferencia, por este motivo tomaremos como parmetro el ngulo polar t . Las ecuaciones polares son:x 1 = 2cost x = 1 + 2costy 2 = 2sent y = 2 + 2sent , reemplazando en la ecuacin del plano , tenemos z = -1 2cost 2sent ; entonces

La ventaja de usar coordenadas polares es que al variar t en , la parametrizacin describe toda la curva C, a diferencia de la anterior.Nota. Es recomendable utilizar coordenadas polares en el caso que la proyeccin ortogonal de la curva sobre su dominio resulte una circunferencia.Ejercicios Encuentre la funcin vectorial r(t) que describe la curva C de interseccin entre las superficies dadas. Dibuje la curva y emplee el parmetro1. z=2. 3. 4. z=5. x + y +z = 1 , y = x ; x = t6. Seccin 2. Clculo Diferencial2.1..LIMITESEl concepto de lmite de una funcin F: I IR IRn es el mismo que para funciones reales de una variable real, solo cambian los espacios.Definicin. Sea F: I IR IRn una funcin definida en un intervalo abierto I de IR , sea t0 I un punto de acumulacin de I; el vector B es el lmite de F cuando t tiende a t0 , se escribe

Si y solo si dado cualquier >0 , existe un > 0 tal que t I ,0 0 , existe un > 0 tal que t I ,0 0 y T (t) = - N( t ) , Si t < 0 .Si S unidades es la medida de la longitud del arco medida desde un punto arbitrario de modo que S t > 0 , entonces por regla de la cadena , se tiene TS ( t) = T (t) S . La norma del vector ser: // TS ( t) // = // T (t)// // S // ; donde // T (t) // = 1 ; entonces // TS ( t) // = // S //En esta ecuacin , // S // mide la rapidez de cambio de la medida del ngulo que da la direccin del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco y recibe el nombre de CURVATURA DE LA CURVA C en el punto P .Definicin .- Sea C una curva en el espacio tridimensional . Si T (t) es el vector tangente unitario a la curva en el punto P y, s unidades es la medida de la longitud de arco medida desde un punto arbitrario Po= F( hasta un punto P1 = F( sobre la curva, de tal manera que S t > 0 entonces el vector CURVATURA de C en P , se define como En general, se escribe,K (t) = T s ( t).La curvatura de C en P es la magnitud de este vector . Puede demostrarse que :Por otro lado, Latorsines una medida del cambio de direccin del vector binormal: cuanto ms rpido cambia, ms rpido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y ms retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsin es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene.El vector describe el cambio del vector binormal respecto a la distancia a lo largo de la curva C definida por F(t). Pero:

Como el vector de una curva plana es constante entonces la torsin es nula; es la medida del torcimiento de la curva con respecto al plano osculador.Definicin .- La torsin es el nmero que expresa la medida de la rapidez de variacin del vector binormal respecto a la medida de la longitud de arco de la curva , / / = // B s (t) //Puede demostrarse que :

Ejercicios 1.- Dada la curva: f ( t ) = ( t , ln ( sect) ; ln (sec t +tan t)) , hallar T , N , B y la ecuacin del plano osculador en el punto donde la curva corta al plano XZ.

2.- Encontrar la ecuacin del plano osculador a la curva f(t) = ( 1 4/3 t3, 1-2t , t ) , que sea paralelo al plano P : x = -2 .3.- Para la curva definida por : F(t) = ( t , (1+t)/ t , (1 t ) / t) ; Escribir la ecuacin del plano osculador, normal y rectificante para t = 1 4.- Escribir las ecuaciones de los planos normal y rectificante para la curva dada en 35.- Hallar la ecuacin de la recta tangente y la del plano normal a la curva descrita en el punto dado:a) F(t) = ( asen2t , bsentcost , acos2t ) en t = /4b) r(t) = ( en t = 0c) F(t) = ( ) en t = 16.- Sobre la curva dada por F(t) = ( t + 1 , t2 1 , t3 ) ; hallar un punto donde el vector tangente unitario sea perpendicular al plano P : x+2y+3z 1 = 0 .7. Calcular la curvatura y la torsin de la curva dada por: a) F(t) = ( cost,sent, t) , t = 0 b) F(t) = ( t3 , 4t-5 , t2) , t = 3 c) F(t) = ( t , , t=2 d) F(t) = ( , t = 0 FORMULAS DE FRENET SERRET : Si K es la curvatura , es la torsin ; T , N , B son los vectores unitarios del triedro en un punto de una curva , entonces se pueden demostrar las siguientes ecuaciones , llamadas Frmulas de Frenet - Serret :

Demostrar las tres frmulas

BIBLIOGRAFAHaasser, B. Lasalle, S. Sullivan, R.(1995) Anlisis Matemtico. Vol I. Editorial Trillas. Mxico.Purcell, E. (2006) Clculo con geometra analtica. Prentice Hall hispanoamericana S.A.MxicoStewart, J.(2003) Clculo Multivariable . International Thompson editores. MxicoThomas, G. (2006) Calculo multivariable Addison Wesley Iberoamericana. Mxico

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