UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA

MOMENTOS DE INERCIA

ING. JORGE MONTAO PISFIL

CALLAO, 2010

MOMENTOS DE INERCIA En este captulo desarrollaremos un mtodo para determinar el momento de inercia de un rea y de un cuerpo que tenga una masa especfica. El momento de inercia de un rea es una propiedad importante en ingeniera, puesto que sta debe determinarse o especificarse si uno va a analizar o disear un miembro de una estructura o parte mecnica. Por otro lado, se debe conocer el momento de inercia del cuerpo si se estudia el movimiento del mismo cuerpo. 1. Momentos de Inercia para reas.-

Cuando se determina el centroide de un rea se considera el primer momento de rea con respecto a un eje, es decir, para el clculo se evala una integral de la forma:

x dA Las integrales del segundo momento de un rea tal como: 2x dA son llamadas momentos de

inercia del rea.

El momento de inercia de un rea se origina siempre al tener que calcular el momento de una carga distribuida, variable en forma lineal, del eje de momentos.

Asimismo podemos formular el segundo momento del rea con respecto al polo O, o eje z. Esto se conoce como momento polar de inercia J0 y se define por:

2o x y

A

J r dA I I

donde: 2 2 2r x y

Notas: - ,x y oI I y J son siempre positivos. - Las unidades del momento de inercia son: m4, cm4, mm4, etc 2. Teorema del eje paralelo de un rea (Teorema de Steiner)

El momento de inercia de un rea con respecto a un eje es igual al momento de inercia del rea con respecto a un eje paralelo que atraviesa su centroide, ms el producto del rea y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes

r

x

y

x

y

dA A

O

Si consideramos un rea A, en el plano xy, los momentos de inercia de esta rea con respecto a los ejes x e y se define por:

2 2x xA

I y dA K A

2 2y yA

I x dA K A

donde:

xK = radio de giro con respecto al eje x

yK = radio de giro con respecto al eje y

Donde: dx y dy son distancias perpendiculares entre los ejes.

3. Radio de giro de un rea El radio de giro de un rea plana se utiliza en el diseo de columnas en mecnica de estructuras.

Siempre y cuando se conozcan las reas y los momentos de inercia, el radio de giro se determina con las frmulas:

00

yxx y

II JK K KA A A

4. Momentos de Inercia de reas compuestas

El momento de inercia de un rea compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes componentes. Mtodo de clculo:

- Divide el rea compuesta en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular existente desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.

- Determine el momento de inercia de cada parte con respecto a su eje centroidal, paralelo al eje de referencia, utilizando el Teorema de Steiner.

- Calcule el momento de inercia del rea total, con respecto al eje de referencia, sumando los resultados de sus partes componentes. Si una parte componente tiene un agujero, su momento de inercia se obtiene restando el momento de inercia del agujero al momento de inercia de la parte completa, incluyendo al agujero.

5. Producto de inercia de un rea

Para algunas aplicaciones de diseo mecnico o estructural es necesario primero calcular el producto de inercia del rea as como tambin sus momentos de inercia para los ejes x y y dados.

x

y

x

y

dA

A

!2

x yxI I Ad

!2

y xyI I Ad

2o cJ J Ad

Para un rea A, el producto de inercia viene dado por:

xyA

I xy dA Las unidades del producto de inercia son: m4, mm4, pie4, pulg4.

dx

dy

x

y

o

!x

!y

!x !y

dA

c

d

TEOREMA DE STEINER PARA EL PRODUCTO DE INERCIA DE UN REA

6. Momento de inercia de masa

Es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a una aceleracin angular. Se define como la integral del segundo momento con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo.

OBSERVACIONES:

a) Si el cuerpo se compone de un material cuya densidad es variable, entonces I est dado por: 2

VI r dV

b) Si es constante, entonces I se halla por:

2

VI r dV

Nota: El teorema de Steiner para el momento de inercia de masa, viene dado por la siguiente expresin:

2GI I md

donde: GI = momento de inercia con respecto al eje z que atravieza el centro de masa G. m = masa del cuerpo d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos.

r

z

dm

dx

dy

x

y

o

!x

!y

!x !y

dA

c

Para el rea sombreada que se muestra en la figura, se cumple que:

X Yxy x yI I A d d

donde: X YI representa el producto de inercia del rea con respecto al eje centroidal.

Para el cuerpo rgido mostrado en la figura, su momento de inercia de masa con respecto al eje z, viene dado por:

2

mI r dm

r = distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento dm * El eje que generalmente se elige para el anlisis atraviesa el

centro de masa del cuerpo.