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Seminario de Posgrado 2011
“Efecto de las mareas terrestres: observación y modelado”
Claudia Tocho
La descripción del potencial de mareas
Temas claves:
La ley de Gravitación (Newton) aplicados Tierra-Luna (aceleración).
Potencial gravitatorio de la Luna usando polinomios de Legendre.
Constante de mareas de Doodson. Expresión en coordenadas ecuatoriales: Ecuación de
Laplace según Torge. Interpretación de los tres términos: las especies de
mareas.
Fuerzas actuando sobre la Tierra debido a la atracción de la Luna (Sol) y al giro del sistema.
b lm
m
rm
Consideramos un sistema fijo en la Tierra, la atracción gravitacional del astro (Luna o Sol) causante de la marea, sobre una masa unitaria situada en un punto P de la superficie de la Tierra viene dada por:
donde:
Mm es la masa de Luna y lm la distancia del punto P al centro del astro.
El sistema esta girando en torno al centro de gravedad de las dos masas (baricentro), la fuerza centrifuga quedebemos considerar en el sistema no-inercial será igual a
la fuerza de atracción b0 del astro sobre el centro de la Tierra.
.
m
m2m
m
ll
l
GMb
m
m2
m
m0 r
r
r
GMb
Sol-Tierra sitemael para validas sonrelaciones mismas Las
r l para 0b
O Tierra la de gravedad de centro al Luna la de distancia la a es r
P calculo del punto al Luna la de distancia la a es l
Luna la de masa la a es M
:donde
rr
r
GMll
l
GMb
bbb
mmt
m
m
m
m
m2
m
m
m
m2m
mt
0t
Como esta fuerza esta actuando en todos los puntos
rígidamente conectados con el sistema fijo en la Tierra,
esta actuando también sobre el punto P, de modo que la
diferencia entre b y b0 será: Esta aceleración resultante es la diferencia entre entre la gravitación del astro y la aceleración inercial de la rotación del sistema, para puntos sobre la superficie del sistema recibe el nombre de aceleración de mareas
• La aceleración de mareas bt es la diferencia de la gravitación b del cuerpo celeste (Sol o Luna) generadores de la marea y b0, que actúa de la misma forma en todos los puntos de la Tierra.
• b0 resulta de la rotación de la Tierra y la Luna alrededor del centro de gravedad común, en el geocentro C, esta compensada por la gravitación (sistema esta en equilibrio).
• Para una Tierra rígida, bt puede calcularse a partir de las posiciones del Sol y de la Luna y de sus masas. Así como de la posición del punto P.
• El cálculo de la aceleración de mareas se realiza en forma separada para los dos sistemas individuales Tierra-Sol y Tierra- Luna y los resultados se suman.
Ambas aceleraciones b y b0 pueden expresarse como el gradiente de un potencial. Potencial de mareas.
)(cosP
r
rl1
cosrr2rrl
con
lGM
V
:asi masa punto un de potencial
el da nos nGravitacio deLey la
as,geocentric scoordenada usando
o,geocentric sistemaun En
)VV(gradgradVb
mn0n
1nm
n
m
21
mm2
m2
m
m
m
0tt
(A)
(B)
Angulo cenital geocéntrico
Polinomios de Legendre
t=cos
n2n
n
nn )1t(dt
d
!n2
1)t(P
Rodrigues de Formula
)3t30t35(81
)t(P
)t3t5(21
)t(P
)1t3(21
)t(P
t)t(P
1)t(P
244
33
22
1
o
Polinomios de Legendre
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos()
Po
linom
ios
de
Le
gen
dre
P2 b, P3 g, P4 r, P5 mP2 b, P3 g, P4 r, P5 m
m2m
m100
3
0
2
0
1
0o
0o
m
m2
m
m0
cosrr
GMdxbV
xV
xV
xV
b
gradVb
rr
r
GMb
donde:rm es la distancia del centro de la luna al centro de gravedad de la
Tierra y el eje x1 la línea que une los centros de los dos astros. Insertando B y C en A, y sumando una constante de integración, de tal
forma que Vt = 0 para r=0 y rm igual a lm, obtenemos el potencial de mareas:
(C)
2m
m
mmmt r
cosrr1
l1
GMV
12
)12(cos3
21
rr
rM
GV
1cos2)2cos(
1cos321
rr
rM
GV
)(cosPrr
rM
GV
2
mm
mt
2
2
2
mm
mt
mn
n
2n mm
mt
Para n=298% de la contribución al potencial de mareas proviene del termino n=2
analizamos este caso.
El potencial Vt puede expandirse en armónicos esféricos y por el estado de equilibrio del sistema, solo aparecen los términos de grados n2
.
Sol 236001
rr
Luna 601
rr
r
rGM43
)r(G
31
2cosr
rGM43
V
m
m
3m
2m
3m
2m
t
Para un punto en la superficie de la Tierra r=R=6371 km es constante y se llama constante geodésica o de marea de Doodson (A. T, Doodson, 1890).GL para la Luna presenta un valor de 2.6277 m2s-2 y para el Sol GS 1.2085 m2s-2, quiere decir que la influencia del Sol representa sólo un 46% de la influencia de la Luna.
n=2
Lunat
Solt V46.0V
Doodson de constante la es
• Diferenciando la expresión del potencial de mareas se genera la aceleración de mareas.• La componente radial (positiva hacia fuera) es:
• La componente tangencial (positiva en la dirección hacia la luna) es:
31
2cosr
rGM23
rV
b m3m
mtr
m3m
mt 2sinr
rGM23
rV
b
La gravedad en la Tierra se ve afectada por la componente radial de la aceleración de mareas que al ser positiva hacia afuera hace disminuir a la gravedad terrestre
• Esta relación nos da la separación entre la diferencia de potencial y la separación de las superficies equipotenciales.
gdndW
(Sol) 0.08my (Luna) 0.18m disminuye 270 y 90
(Sol) 0.16my (Luna) 0.36m aumenta 180 y 0
Altura de marea estática de equilibrio sobre la superficie de la Tierra esférica rígida producida por la Luna
Constituyentes de mareasPara estudiar los diferentes términos o constituyentes que aparecen en el
análisis de mareas, es necesario expresar el ángulo m en función de las
coordenadas geocéntricas del punto de observación y de la posición del astro
en un sistema de coordenadas ecuatoriales (m y hm) . El ángulo m se puede
expresar en función de , m y hm resolviendo un triangulo esférico con vértice
en el Polo Celeste, la Luna y el punto P.
mm22
mm
m22
3m
2
mt
mmm
mmmm
h2coscoscoscosh2sin2sin
sin31sin31
r
rGM
43
V
GASTLASTh
coshcoscossinsincos
Ascensión rectaAngulo horario de la Luna
Declinación Latitud geocéntrica del punto
m
Posición de la Luna respecto a un punto P de la Tierra, ambos proyectados sobre la esfera celeste (Udías y Mezcua, 1997)
hm-180
La cantidades rm, m y hm varían con el tiempo, teniendo distintos
periodos.
1) El primer termino corresponde a las mareas de periodo largo, ya que no depende de la rotación de la Tierra.
Varia con la declinación m con un periodo de 14 días para la Luna y medio año para el Sol.
También incluye una parte no-periódica, que depende solo de la latitud , causando una deformación permanente de las superficies de nivel incluyendo el geoide. Alcanza valores de -19 cm en los polos y +10 cm en el ecuador. Zonal
1) El segundo termino es el componente diurno debido a la rotación diaria de la Tierra expresada a través del ángulo horario hm. Teseral
2) El tercer termino es el componente semi-diurno. Sectorial
mm22
mm
m22
3m
2
mt
h2coscoscoscosh2sin2sin
sin31sin31
r
rGM
43
V
• Como m es pequeño (su valor máximo es aproximadamente 23°) sin 2m es mas pequeño que cos2m, por lo tanto el termino mas importante de las mareas es el semidiurno.
• Las mareas diurnas tienen un máximo en = ±45° y se anulan en el Ecuador y en los polos.
Las mareas semidiurnas alcanzan su máximo en el Ecuador cuando m y se anulan en los polos.
• Las mareas de largo periodo tienen un máximo en los polos.
• Las mareas de largo periodo y semidiurnas son simétricas respecto al ecuador, las diurnas son asimétricas.
• Esta ecuación sirve también para las mareas producidas por el Sol, sustituyendo el subíndice m por s, hs es el tiempo solar, cuya periodicidad es de un día solar medio.
• Cada una de los tres constituyentes de mareas varían de forma complicada ya que contienen productos de funciones que varían en el tiempo de forma diferente.
• Zonal: depende solo de la latitud, con ceros en los paralelos 35 16´
• Como depende del seno cuadrado de la declinación del astro perturbador , su periodo es 14 días para la luna y 6
meses para el sol.
Zonal Teseral
Componente diurno Sectorial
Componente semidiurno
Los 3 tipos de mareas (Andreas Richter, 2011)