1

SEMANA SANTA

Este año Abril comienza con la Semana Santa, ¿pueden las matemáticas explicarlo?

A principios del siglo IV no había consenso

para establecer la fecha del Domingo de

Pascua. La solución final llegó el año 525, en

el que Dionisio el Exiguo sentó las bases del

cálculo de la fecha de Pascua: la Pascua ha de

caer en domingo, este domingo ha de ser el

siguiente a la primera luna llena de la

primavera boreal (si esta fecha cayese en

domingo, la Pascua se trasladará al domingo

siguiente). Con estas condiciones la Pascua

quedaba encuadrada entre el 22 de marzo y el

25 de abril.

El método más sencillo para el cálculo de esta

fecha se lo debemos al matemático Carl Friedrich Gauss, éste no es el método oficial,

pero da el mismo resultado. La base del

mismo es la aritmética modular. Vamos a

explicar en qué consiste: Sea A el año del que

queremos calcular la fecha del Domingo de

Resurrección, el proceso es el siguiente:

• Sea a el resto de dividir A entre 19.

• Sea b el resto de dividir A entre 4.

• Sea c el resto de dividir A entre 7.

• Sea k el número obtenido al quitar de A la

cifra de las unidades y las decenas.

• Calculemos 8k + 13, dividimos el resultado

entre 25 y redondeamos por defecto, al

resultado lo llamaremos p.

• Sea q el resultado de redondear por defecto

el resultado de la división de k entre 4.

• Calculamos el resto de dividir 15-p+k-q

entre 30. Sea M dicho resto.

• Sea N el resto de dividir 4+k-q entre 7.

• Sea d el resto de dividir 19a+M entre 30.

• Sea e el resto de dividir 2b+4c+6d+N entre

7.

Calculados estos valores, la fecha del Domingo de

Resurrección será la siguiente:

• Si d+e <10, la fecha de Pascua de

Resurrección será el día d+e+22 de marzo.

• Si d+e >9, la fecha de Pascua de

Resurrección será el día d + e - 9 de abril.

Esta regla tiene dos excepciones:

• Si se obtiene el 26 de abril (fuera del rango

establecido), la Pascua será el 19 de abril.

• Si se obtiene el 25 de abril con d=28, e=6 y

a>10, entonces la Pascua será el 18 de abril.

Hagamos los cálculos para 2.010.

Para el año A=2.010 los valores de las variables son

los siguientes: a=15, b=2, c=1. k=20. (8k+13)/25=6’92, luego p=6. Como k/4=5, se tiene q=5.

15-p+k-q=24, su resto entre 30 es 24. M=24.

4+k-q=19, su resto entre 7 es 5. N=5.

19a+M=309, su resto entre 30 es 9. d=9. 2b+4c+6d+N = 67, su resto entre 7 es 4, e=4.

Con todo, d+e=13, mayor que 9, por tanto la fecha

de Pascua será d+e-9 = 4 de abril.

BO

LE

TÍN

DE

MA

TE

MÁ

TIC

AS

DE

L I

.E.S

. MA

TA

RR

AÑ

A –

Nú

mer

o 16

– A

BR

IL 2

.010

REPORTAJE

2

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA.

En este artículo vamos a ayudarnos de varios ejemplos para introducir el concepto de Esperanza Matemática. Éste no aparece en el currículo de secundaria, pero no es difícil de comprender como una extensión del concepto de la media.

Según parece, el primer estudio sistemático del

valor esperado aparece en la obra de 1657

Libellus de Ratiotiniis in Ludo Aleae de

Christiaan Huygens, 1629-1695, donde calcula

la ganancia esperada en una serie de juegos.

Libellus de Ratiotiniis in Ludo Aleae

Comienza suponiendo que: “Si se pueden ganar

dos cantidades a o b, con igual probabilidad,

entonces la expectativa vale (a+b)/2.

Generalizando a n posibles resultados a1…an, teniendo todos la misma probabilidad, la

ganancia esperada será:

(a1 + … + an)/n”

Christiaan Huygens

Posteriormente, considera el caso en que las

posibles ganancias sean a y b, pero con

probabilidades distintas: p oportunidades de

ganar la cantidad a, y q de ganar b.

Considerando que cada uno de los p+q resultados ocurre con la misma probabilidad, el

valor esperado será igual a

qp

qb

qp

pa

+⋅+

+⋅

Jacob Bernoulli hizo un razonamiento similar

basado en las frecuencias para la ganancia

esperada en un juego:

Ganancia · (proporción de veces que gana) –

pérdida · (proporción de veces que pierde)

Jacob Bernoulli

Veamos algunos ejemplos: Pedro y Ana son dos

hermanos que apuestan un euro cada uno al

resultado obtenido al lanzar un dado

equilibrado, si sale “uno” o “dos” Pedro se

llevará la apuesta, si sale otro número, se la

llevará Ana. Para ambos, en cada partida, la

ganancia y la pérdida es de un euro, de modo

que la ganancia esperada para Pedro en una

partida es de 1· 2/6 – 1 · 4/6 = -1/3. Por tanto, a

la larga, en varias partidas, Pedro perderá

dinero, un tercio de lo que lleve apostado. La

ganancia esperada para Ana es 1· 4/6 – 1·2/6 =

1/3, es decir, a la larga no sólo recuperará lo

apostado sino que ganará 1/3 de esa cantidad.

En resumen, podemos decir que para Pedro, la

variable X=”ganancia” toma el valor 1 con

probabilidad 2/6 y el valor -1 con probabilidad

4/6 y la esperanza de X: EX= -1/3. Para Ana la

variable Y=”Ganancia” también toma los

REPORTAJE

3

valores 1 y -1 pero con probabilidades 4/6 y 2/6

respectivamente y EY=1/3.

Evidentemente, en el juego anterior nadie

aceptaría las condiciones impuestas a Pedro, por

eso Ana le propone un cambio de reglas: Pedro

sigue apostando a “uno” y “dos”, si gana

recibirá los dos euros, pero si pierde él recibirá

50 céntimos y Ana los otros 1.50 €. Pedro cree

que es ventajoso, veamos cuanto dinero ganará a

la larga, ahora su pérdida será sólo de 0’50 €:

1· 2/6 – 0’50 · 4/6 = 0. En un número grande de

partidas es de esperar que ni gane ni pierda, por

tanto el juego es justo.

Ahora, con notación matemática, X={1, -0’5}

con probabilidades 2/6 y 4/6 respectivamente,

Y={0’5, -1} con probabilidades 4/6 y 2/6

respectivamente y EX=EY=0.

En general, para una variable aleatoria discreta

con valores posibles x1, x2, … xn y cuyas

probabilidades son p(x1), p(x2), … p(xn) la

esperanza se calcula:

∑=

⋅=

=⋅++⋅+⋅=

n

iii

nn

xpx

xpxxpxxpxEX

1

2211

)(

)()()( ⋯

es decir, sumando productos del valor xi por su

probabilidad. Por ejemplo, el valor esperado al

lanzar un dado equilibrado de 6 caras es 3,5:

5'36

21

6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11

==

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=EX

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al

rodar el dado. En este caso, en el que todos los

sucesos son de igual probabilidad, la esperanza

es igual a la media aritmética.

Es interesante resaltar que el “valor esperado”

no coincide, en general, con un valor posible de

la misma. Por tanto, podría decirse que la

expresión “valor esperado” resulta confusa ya

que no proporciona un valor que realmente

podamos esperar que toma la variable, se refiere

al valor medio para un número infinito de

partidas o de realizaciones.

Ahora es Pedro quien propone un nuevo juego,

le dice lo siguiente a Ana: tú apuestas la

cantidad que quieras a “uno” o “dos” en el

lanzamiento de un dado, si pierdes yo me quedo

tu apuesta y si ganas te devuelvo el doble.

Valiéndose de la fórmula de Bernoulli Ana

piensa que si apuesta a euros, gana 2·a con

probabilidad 1/3 y pierde a con probabilidad

2/3, por tanto el valor esperado para su ganancia

será 0. Como a la larga no va a ganar nada, no

acepta y propone otro juego: “Esta vez vamos a

apostar en serio, no vamos a jugar dinero sino

quién friega los platos. Lo haremos de manera

alternativa: uno siempre dos semanas y el otro

una cantidad de días que dependerá de su suerte,

para ello lanzaremos una moneda las veces

necesarias hasta que salga “cara”, si sale cara al

lanzamiento número n el segundo fregará los

platos 2n-1

días. ¿Cuál te pides?”

(Esta es una versión de la Paradoja de San Petersburgo propuesta por Antonio Vaamonde

Liste, de la Universidad de Vigo, en la web http://eio.usc.es/pub/sgapeio/erecreativa.htm.).

Pedro piensa un rato: “Si soy el segundo y sale

cara a la primera fregaré sólo un día y luego ella

14, si sale a la segunda fregaré 2 días, si sale a la

tercera, 4 días, si sale a la cuarta 8. Sólo si tarda

en salir cara 5 lanzamientos o más saldré

REPORTAJE

4

perdiendo. Como la probabilidad de cara es ½,

me parece muy ventajoso ser el segundo. Es

muy fácil sacar “cara” en los cuatro primeros.”

Pero Pedro desconfía, esto es demasiado

ventajoso, así que hace unos cálculos: sea

X=”número de lanzamientos sucesivos hasta

obtener la primera “cara” –incluido este

lanzamiento-”. Evidentemente X toma los

valores 1, 2, 3, … n… con probabilidades ½, ¼,

1/8, … (1/2)n. Sea Y=”Número de días

trabajados”, esta variable toma los valores 1, 2, 4, 8, 16 … 2n-1 … con probabilidades ½, ¼, 1/8,

1/16, 1/32… (1/2)n. Por tanto:

∞==⋅= ∑∑∞

=

∞

=

−

11

1

2

1

2

12

nnn

nEY

¡El valor esperado es de infinitos días en cada

intento a cambio de los catorce su hermana!

Pedro, creyéndose más listo que Ana elige

fregar 14 días él y dejar los lanzamientos para su

hermana. Ante la sugerencia de ella de que lo

vuelva a pensar y la nueva negativa de Pedro,

Ana hace este razonamiento: en realidad no

vamos a vivir juntos infinitamente, pongamos

que seguiremos juntos unos cinco años, esto

son unos 1825 días (según los bisiestos). A

continuación escribió esta tabla:

número de lanzamientos para obtener la primera cara

días de trabajo

probabilidad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

½

¼

1/8

1/16

1/32

1/64

1/128

1/256

1/512

1/1024

1/2048

1/4096

Y dijo: “Así que el tiempo máximo que me

puede corresponder es 2048 días, y ni siquiera

llegaré a cumplirlos, con lo que, en realidad si

me salen 11 cruces no seguiremos lanzando y

como la probabilidad de que eso ocurra es

(1/2)11

= 1/2048, en realidad mi situación es:

número de lanzamientos para obtener la primera cara

días de trabajo

probabilidad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 o más

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

<2048

½

¼

1/8

1/16

1/32

1/64

1/128

1/256

1/512

1/1024

1/2048

1/2048

Por tanto

2048

12048

2048

11024

32

116

16

18

4

12

2

11

⋅+⋅+

++⋅+⋅+⋅+⋅< ⋯EY

Es decir, 5'612

111 =+⋅<EY , cabe esperar que

yo friegue menos de 6’5 días a cambio de 14

tuyos. Por cierto, ¿cuándo empiezas?”

La paradoja de San Petersburgo.

Se propone un juego de azar en el que se paga

una apuesta inicial fija. Consiste en que el

apostante lanza una moneda repetidamente hasta

que aparece la primera "cara". Una vez aparece,

se gana 1 céntimo si la cara aparece en el primer

lanzamiento, 2 céntimos si aparece en el

segundo, 4 céntimos si aparece en el tercero, 8

en el cuarto, etc., doblando el premio en cada

lanzamiento adicional. Así, ganar 2k−1

céntimos

si la primera cara aparece en el lanzamiento k-

ésimo.

¿Cuánto estaría usted dispuesto a apostar para

jugar a este juego? Esta paradoja fue resuelta

por Daniel Bernoulli en 1738

REPORTAJE

5

LA CONJETURA DE COLLATZ

No podemos negar que nos encantan las conjeturas, sobre todo aquellas que son de enunciado muy sencillo, pero cuya veracidad o falsedad está aún por demostrar. En este artículo tratamos una no muy famosa, la de Collatz, también damos indicaciones para quien intuya su falsedad. Esperamos que el lector disfrute con este interesante tema. El problema que presentamos a continuación fue

inventado en 1930 por Lothar Collatz cuando

era estudiante en Hamburgo. Hase, colega de

Collatz, lo difundió desde la Universidad de

Siracusa, EE. UU. En 1960 fue relanzado por

Kakutani. Thwaites ofreció en 1996 una

recompensa de 1000 libras a quien lo resolviera.

Lothar Collatz

Pedimos al lector que sea tan amable de escoger

un número natural, llamémoslo n. A

continuación realice los siguientes cálculos:

• Si n es par divídalo entre 2

• Si n es impar multiplíquelo por 3 y

súmele 1 al resultado

• Con el número obtenido repita el

proceso.

Veamos con un ejemplo: si eligió n = 6, la

secuencia obtenida es: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (y podría usted seguir, pero obtendrá el 4 y se

meterá en un ciclo infinito)

Tras unos cuantos pasos se llega al número 1.

Eso es lo que dice la conjetura de Collatz

(también conocida como conjetura 3n + 1,

conjetura de Ulam o problema de Siracusa): que

siempre se acaba en 1.

Veamos con otro número, si escogemos n = 11

se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Una secuencia algo más larga que también

termina en 1. Si eligió n = 27, un número

ciertamente pequeño, obtendrá una secuencia

considerablemente mayor: 111 pasos

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

REPORTAJE

6

Este resultado sigue siendo una conjetura, ni se

tiene demostración alguna de su veracidad ni

nadie ha encontrado ni contraejemplo ni

demostración que demuestre su falsedad. Se ha

comprobado que para números hasta 20 ×

258

≈ 5.764 × 1018

la secuencia siempre acaba en

1, pero eso no nos sirve como demostración.

Sólo podría servir para intuir que podría ser

cierto, pero la intuición a veces puede fallar,

como ocurrió con la conjetura de Pólya.

Seguro que los lectores han observado que el

final de la secuencia coincide. Está claro que al

1 sólo se llega desde el 2 y a este desde el 4.

¿Cuál es el primero –empezando desde el final-

al que se puede llegar de dos formas?, es el 16.

Se llega a él –en esta secuencia- desde el 8 y

desde el 5.

Si alguno de nuestros lectores intuye la falsedad

de la conjetura, le prestamos un par de ideas: la

conjetura de Collatz sería falsa si hallamos un

número que da lugar a un ciclo –como el 4, 2, 1,

4, 2, 1, …, que no contiene al 1. O bien si

encontramos una secuencia que crece

indefinidamente. Esta segunda idea es mala, en

cuanto se llega a un número par, el siguiente

decrece ( es su mitad), y el siguiente –en este

proceso- de un impar, es un par, así que…

Por cierto, se ha comprobado que sólo hay un

ciclo posible con menos de 35.400 términos.

Esperamos que nadie se desanime por ello.

Otra cosa que podemos plantearnos es, dado n,

el número de veces que hay que repetir el

proceso de Collatz hasta llegar al 1. El record en

esta longitud, para números menores que cien

millones lo tiene el 63,728,127 que necesita 949

iteraciones. Por encima está el 670,617,279, con

986 pasos y 9,780,657,630, con 1132.

Para acabar diremos que asociado a este proceso

iterativo, existe un fractal, el fractal de Collatz,

con él cerramos este artículo.

REPORTAJE

7

La conjetura de Pólya

Se dice que un número es de tipo par si en su

factorización en números primos –contando sus

multiplicidades- aparecen un número par de

primos. Por ejemplo, 10 = 2·5 es un número de

tipo par. Y se dice que un número de de tipo impar si el número de primos de su

factorización es impar. Por ejemplo, 12 = 2·2·3

es de tipo impar (se considera que 1 es de tipo

par).

Sea n un número natural. Consideremos los

siguientes números:

• P(n) = número de enteros positivos

menores o iguales que n que son de tipo

par

• I(n) = número de enteros positivos

menores o iguales que n que son de tipo

impar

Por ejemplo consideremos n = 7. En este caso

I(7) = 4 (el 2, el 3, el 5 y el propio 7) y P(7) = 3

(el 1, el 4 y el 6). Entonces I(7) >P(7). Para n = 6 se tiene que I(6) = 3 y P(6) = 3. Por

tanto:

I(6) = P(6). En 1919 George Pólya propuso el siguiente

resultado, conocido desde entonces como

conjetura de Pólya: Para todo n > 2 se tiene que I(n) es mayor o igual que P(n)

George Pólya

Nadie pudo dar una demostración de la

veracidad o falsedad del enunciado, pero en los

años posteriores se comprobó que era cierto para

todo n hasta 1.000.000, razón por la cual se

pensaba que la conjetura era cierta, pero…

En 1962, R. S. Lehman encontró un

contraejemplo: para n = 906180359 se tiene

que:

I(n) = P(n) – 1 y por tanto:

I(906180359) < P(906180359) El contraejemplo más pequeño que se conoce es

el caso n = 906.150.257, encontrado por Minoru

Tanaka en 1980.

Luego la conjetura de Pólya es falsa.

La conjetura fue demostrada falsa por C. B.

Haselgrove en 1958. Demostró que la conjetura

tiene un contraejemplo que estimó alrededor de

1.845 × 10361

.

La conjetura de Pólya falla para la mayoría de

los valores de n en la región de 906.150.257 ≤ n

≤ 906.488.079. En esta región, la función

alcanza un valor máximo de 829 en n = 906.316.571.

¿Que nos enseña esto? Pues muy sencillo: por

desgracia en Matemáticas no podemos fiarnos

de la intuición ni de lo que ocurre para un

número finito de casos, por muy grande que sea

ese número. Hasta que un resultado no está

comprobado en el caso general no tenemos

completa seguridad de que sea cierto.

REPORTAJE

8

CONTRAPORTADA Tres problemas fáciles

1. Uno cortito para empezar. ¿Cuál es la

mayor potencia de 3 que es divisor de:

9 · 99· 999 · 9.999 · 99.999 · 999.999 ¿Puedes decirnos otros divisores –que no sean

potencias de tres- de este número?

2.- Calcula cuándo será Semana Santa el año que

viene.

3.- A Megacomic costs three times as much as a

Multicomic.If one Megacomic costs 15 cents

more than two Multicomics, how much does one

Megacomic cost?

Tres problemas un poco difíciles 1. Ramón ha olvidado la combinación del

candado de su bicicleta que era de cuatro cifras

diferentes. Pero sabe que si se divide la primera

entre la segunda y se eleva el resultado al

cuadrado, se obtiene la tercera.Además la cuarta

es igual a la primera. ¿Puedes ayudarle a

encontrarla?

2.- ¿Cuántas parejas de números naturales

cumplen que 3x + 2y = 50?

3.- Si k= 22010 + 20102, ¿cuál es la cifra de las

unidades de 2k + k2 ? 1, del cubo de dos…

Parece ser que siempre pretendemos mostrar la utilidad o la belleza de las matemáticas, incluso el

peculiar sentido del humor matemático. Bien, para cerrar este número presentamos una especie de juego

absurdo que, tal vez, a alguno de nuestros lectores le dé que pensar.

1. Multiplica cada cifra del 1 al 9 por sí misma. Claro, obtienes los cuadrados.

2. Quédate sólo con las unidades de cada uno de dichos cuadrados. ¿Ves algo curioso?

3. Ahora vamos a multiplicar la lista anterior del siguiente modo: el primer número por 1, el

segundo por 2, el tercero por 3 ... y el noveno por 9 y quédate con la cifra de las unidades,

¿qué observas?

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