Campos escalares y vectoriales

Escalar

Vector

Magnitud

M., D. y S.

CAMPO ESCALAR

Temperatura: Cada ubicación tiene asociado un valor (número de unidades)

• Distribución de temperaturas dentro

de un cuerpo T(x,y,z).

• Las presiones en el interior de

fluidos.

• El potencial electrostático V(x,y,z).

• La energía potencial en un sistema

gravitacional.

CAMPO ESCALAR

(x,y,z)

EJEMPLO 1: Campo de presiones de una represa.

Campo escalar 3D

EJEMPLO 2:

𝑺 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟏 − 𝒆−(𝒙−𝟏𝟎)𝟐

𝟑 𝒆

−(𝒚−𝟏𝟎)𝟐

𝟑 𝒆

−(𝒛−𝟏𝟎)𝟐

𝟓

Campo de ondas dependientes del tiempo.

EJEMPLO 3:

Los colores representan la temperatura de la superficie

CAMPO VECTORIAL

Campo vectorial de Velocidades - corriente de aire.

Vector (magnitud, dirección) en cada punto en el espacio

Vec

tore

s d

e ve

loci

dad

de

l air

e q

ue

ind

ican

la

velo

cid

ad y

dir

ecci

ón

del

vie

nto

CAMPO VECTORIAL

Un fluido en movimiento

define un campo vectorial que

da la velocidad de las

partículas del fluido en cada

punto del espacio y en cada

instante.

(x,y,z) V

V (xyz)

FORMAS DE LAS FUNCIONES VECTORIALES

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑗

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘

(Plano)

(Espacio)

Si en tu casa llenas un lavabo con agua, disponiendo un

corcho, cerca del borde, y sacando el tapón. Se produce

un vórtice del fluido al desaguar,un campo de velocidades

cuyo esquema más aproximado es:

Ejemplo 1 :

kjiF xzyzyx ),,(

Ejemplo 2 :

Encuentre el campo vectorial de z=4x2-y2 formado por el gradiente.

LEY DE CONDUCCIÓN DE FOURIER

El calor fluye de regiones calientes a regiones frías con una

velocidad 𝐽 proporcional al de temperaturas 𝐽 = −𝑘𝛻𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧),

donde la constante k se llama conductividad térmica y es un

propiedad física del medio conductor. El calor sigue localmente la

dirección de máximo descenso de la temperatura.

Ejemplo 3 :

Ejemplos 4:

Representar gráficamente los campos vectriales definidos de la manera que se muestra A continuación:

𝐹 𝑥, 𝑦 = −yi + xj 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧𝑘

Ejemplo :

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑘 (La magnitud aumenta con la distancia de al plano xy).

EJERCICIOS:

Ejemplo:

Esta animación simula el campo gravitacional cerca de un cuerpo planetario, ya que está deformada por un satélite en órbita. La cuadrícula representa partículas de prueba y los vectores representan la aceleración de la partícula de prueba calculado usando la ley de Newton de la gravedad.

La curva corresponde a un campo vectorial

DIFERENCIACIÓN VECTORIAL

CURVAS EN EL ESPACIO

FORMULAS DE DERIVACIÓN

DERIVADAS PARCIALES DE UN VECTOR

*Dada la función z definida por 𝑧 = 𝑥3 − 3𝑦2 + 5𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 + 5 Halla 𝜕𝑧

𝜕𝑥 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦

*Prueba que la función f definida por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦4 − 12𝑥6 + 2𝑥𝑦5 satisface la ecuación:

𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 6𝑓(𝑥, 𝑦)

*Calcula la diferencial total de la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 − 3𝑥2𝑦2

*Considere la curva representada por 𝑟

𝑟 = 4 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑖 + 4 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑗 + 1.5𝑡2𝑘

𝑟 ′ = 1

RESOLVER

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

s: Longitud de arco de C

ds: Longitud de arco de C

De esta manera definiremos la curvatura

𝑑𝜇

𝑑𝑠=1

𝜌𝑛

Primera fórmula de Frenet-Serret

𝑏 = 𝜇 × 𝑛 Vector binormal

𝑑𝑏

𝑑𝑠=1

𝜏= 𝜎

𝑑𝑏

𝑑𝑠= −

1

𝜏𝑛

𝑑𝑛

𝑑𝑠=1

𝜏𝑏 −

1

𝜌𝜇

𝑥 = 𝑡2 + 1, 𝑦 = 2𝑡2 − 6𝑡, 𝑧 = 4𝑡 − 3

Dada la curva

Encontrar el vector unitrio tangente en un punto cualquiera de la curva y cuando t=2

EJEMPLO 1:

𝑅 = 2𝑡2𝑖 − 𝑡𝑗 + 4𝑡3𝑘 y 𝐺 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗

𝑑(𝑅. 𝐺 )

𝑑𝑡

𝑑(𝑅𝑥𝐺 )

𝑑𝑡

Calcular:

EJEMPLO 2:

Calcular: (a) el vector unitario tangente. (b) la curvatura. (c) el vector unitario normal. (d) (d) La binormal.

De la curva: 𝑥 = 𝑡 −𝑡3

3, 𝑦 = 𝑡2, 𝑧 = 𝑡 +

𝑡3

3

EJEMPLO 3: