semana 2 .1

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS

Ciclo 2014-I

TRIGONOMETRÍA “Sector Circular”

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Objetivos:

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con sector circular.

Aplica fórmulas al resolver problemas de sector circular. Aplica fórmulas al resolver problemas de sector circular.

SECTOR CIRCULAR

Es aquella porción de círculo limitado por dos

radios y un arco de circunferencia

De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de

longitud de un arco de circunferencia, se calcula

mediante el producto del número de radianes

del ángulo central y el radio de la

circunferencia.

Deducción: Sea la circunferencia con

centro en “0” y radio “r” comparando la

longitud de arco y el ángulo central como

se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta el significado

geométrico de 1rad. se tiene:

Longitud de Arco Ángulo Central

l rad.

r 1 rad.

De donde se obtiene l = . r .

Donde:

l : longitud de arco

: Número de radianes del ángulo

central

r: radio de la circunferencia

Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular la longitud

de arco (l), siendo 0: centro.

Solución:

l = 6

. 18

l = 3 cm

PROPIEDAD:

2

1

2

1

L

L

A

A

(Radio constante)

Semana Nº 2

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.

2


Área Del Sector Circular: El área de un

Sector Circular se calcula mediante el producto

del número de radianes del ángulo con el radio

de la circunferencia elevado al cuadrado

dividido entre dos.

Deducción:

Comparando (por regla de tres simple)

Área de un Sector Circular Ángulo Central

r2 2 rad.

S rad.

Resolviendo se obtiene:

2

2rS

también: 2

rlS

2

2lS

Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular el área del

sector A0B. 0: centro.

Solución:

2

6.

3

2S

S = 6 cm2

Área del Trapecio Circular:

dLL

S

221

AOBCOD SSS

Valor numérico del ángulo central

= d

LL 21 ; (0 < < 2 )

NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de

vueltas que da una rueda de radio “r” al

desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante

el cociente de la longitud que describe el centro

de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la

rueda).

En esta figura el número de vueltas que da la

rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”

hasta “B” se calcula:

rn c

v2

l ;

rL

g ;

2gn

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).

(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre

una superficie curva.

rrR

n

2

rrR

n

2

(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.

Se cumple:

1r1 = 2r2

n1r1 = n2r2


3


L1 = L2

(*) Ruedas unidades por sus centros.

Se cumple: 1 = 2 n1 = n2

2

2

1

1

r

L

r

L

Propiedad

PROBLEMA RESUELTOS

1) Halle el área sombreada:

a)

b) 2 c) 3

d) 4

e) 5 RESOLUCIÓN

Sx = SAOB SCOD

x

x

x

x

x

S a² b²2 2

S a² b²2

1S 6²

2 6

36S

12

S 3

RPTA.: C

2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando

la rueda menor gira º la mayor gira g.

¿En qué relación se encuentra los radios?

a) 3

7 b) 8

13 c) 9

10d) 3

10e) 9

4

RESOLUCIÓN Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda

menor y mayor respectivamente.

En una bicicleta se cumple que: 1R1 = 2R2

ºR1 = (g)R2

1 2

1

2

9ºR º R

10

R 9

R 10

RPTA.: C

3) Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5 m

a) 1

3 b) 1

8 c) 1

9d) 1

4 e) 1

10

0

R

S

R R R R

R

R

R

3S 5S

7S

g

º

R1

R2

30ºo

C

D

B

A

6

30ºo

C

D

B

A

6

a

b


4


RESOLUCIÓN 1 + 2 = 144º

L1 = L2 1R1 = 2R2

1 2 1

2 1 2

R V 5

R V 3

1 2 144 1

2 2 180 2

1 2 1 2

1 2

2 2V V 8k V V 2k

5 5

1 1k V V 2

20 20

1

10

RPTA.: E

4) Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B.

a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11 RESOLUCIÓN

RECORRIDA#V2 r

Sabemos: r = () (21) = 21

# vueltas =

21

2 1

#v = 10,5 RPTA.: D

5) De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la

curva, si: m AOB = 120º, r = 18u?

a)24 b) 24,1 c)24,2 d) 24,3 e) 24,4 RESOLUCIÓN

ABL = 240º 18u 24

180

De la figura: L 24

241r 240r

L = 24,1 RPTA.: B

6) En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD tienen igual área.

Halle: m

n

a) 2

2

b) 1

2

c) 2

d) 2 e) 1 RESOLUCIÓN

r o

rBoA

20

A

r

B

B

A240 r

5

3

A

r

B

B

240 r

L

nmo

D

A

BC

nmrad S S


5


m²menor :S

2

n²mayor :2S

2

1 m²

2 n²

1 m m 2

n n 22

RPTA.: A

7) Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser:

A)1 rad B) 2 rad C) 1rad

2

D)4rad E) 1

4rad

RESOLUCIÓN

Condiciones:

i) S = S L Ra²

2

R.L = 2a²

ii) Perímetro = Perímetro

2R + L = 4a

(2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²)

4R² + 4R.L + L² = 8(R.L) 4R² 4R.L +L² = 0

(2RL)² = 0 2R L = 0

2R = L 2R = R = 2 RPTA.: B

PROBLEMA DE CLASE

1) Calcule: 2 3

1

S SM

S

Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones

sombreadas

S2

S1

S3

2

A) 12

7

B) 13

2

C) 1

12 D) 5 + 2 E) 5 2

2) Del gráfico, determinar

NMP

BA

L

L

Si AOB es sector circular.

a) ½ b) ¾ c) 2/3 d) ¼ e) 1

3) Se tienen dos circunferencias concéntricas, en las que se inscribe un ángulo central determinando longitudes de arco sobre dichas circunferencias de 80cm y 45cm respectivamente.

Calcule;

rF 16 2

R

siendo r y R los radios de las circunferencias (r<R). a) 7 b)8 c) 9 d)10 e) 11

4) Se tiene un sector circular cuya longitud de arco es numéricamente igual a la mitad del área de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del sector, si la medida del ángulo central expresado en radianes, toma su mayor valor entero posible?.

a)12 b)24 c) 48 d)72 e) 144 5) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, que

están en progresión aritmética, además

EFL a

, CDL b

y ABL c

Calcular:

2 2

2

b a

c

.

S

a

a

a

a


6


E

C

A

FD

B

A1

A3

a) ½ b) 2/3 c)2 d) 3 e) 3–1

6) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el

ángulo (en radianes) que se debe girar para que

los centros de las esferas A y B se encuentren

a la misma altura si inicialmente dicha

diferencia de alturas es de 14 unidades?.

A

B

2u

5u

a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5

7) De la figura obtener la relación correcta:

A) a2 + b2 = 1 B)

a b1

b a

C)

b a1

a b

D) ab + 1 = a E) a2 - b2 = 1

8) Calcular el área de la región sombreada si

OT OS 4 3m TP PQ QS

A) 2 m2 B) 3 m2 C) 4 m2

D) 6 m2 E) 8 m2

9) A partir del gráfico, halle el área del sector circular

AOB.

A) 5a2 B) 8a2 C) a

3

2

D) 2a2 E)

9a

2

2

10) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué ángulo habrá girado la rueda menor si la relación de sus radios es de 1 a 4.

a) 720º b) 1080º c)1440º d)450º e) 90º

11) A partir del gráfico, calcular la longitud recorrida por la esferita, hasta impactar en CD. Si AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.

a) 5 m

b) 5/2 m

c) 2 m

d) 3/2 m

e) 8 m

12) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB, entonces el perímetro de la región sombreada es:

a) 2 b)

3

11 c) 3

5 d) 3

7 e) 3

13) El ángulo central que subtiende un arco de

radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo

hasta que mida Sº, ¿Cuánto debe aumentar el

radio para que la longitud de dicho arco no

varíe? (S y C son lo convencional)


7


a) 5 b) 15 c) 19 d) 23 e) 31 14) Determine el número de vueltas que da la

rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9r/2 , R = 9r

a) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 9

15) ¿Cuánto deben girar las poleas mostradas para que la esferita baje 3m y cuánto debe ser el radio r, Si R = 2m ?

a)

rad3

2 y 2m b) rad

2

3 y 2m c) rad

3

1 y 1m

d) rad y 2m e) rad

2

3 y m

2

3

16) Hallar el área de la región sombreada si AOB

y COD son sectores circulares, donde

2

9

y

BC 3m .

O

A

C

B D

a) b)c)d)e)

17) Calcule la altura en términos de R, a la que

se encontrará el punto A de la rueda, cuando

éste gire un ángulo de 1305º, desplazándose

sobre una pista horizontal.

R

A

a) 2 1 R b)

1 2 2R

2

c)

1 2 2R

2

d) 2 2

R2

e)

2 2 1R

2

PROBLEMA DE REPASO

1) En la figura adjunta calcule el número de

radianes que gira la esfera de radio r al radar de A hacia B, sobre la superficie curva de radio

R(R=29r), si x

6

.

RA B

x

rr

a) rad

6

b)6 rad c)2,5 rad d)5rad e) rad

5

2) La longitud de una circunferencia es

(7x + 3) m, un ángulo central de x rad,

subtiende un arco de (4x + 1) m, calcular el

valor de “x”

a) 1 b) 2 c) 2/7 d) 7/2 e) 1/6

3) Determinar el valor de “L”

a) 3 b)6 c) 12 d) 15 e) 10

4) En la figura, ABC es un triángulo equilátero

de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la

curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo

que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.

a) 12cm b)16 cm c)18cm d)24 cm e) 30 cm

5) Dado un trapecio circular cuyo perímetro


8


mide 20cm. Halle el valor máximo, en cm2, de su área.

a) 12cm2 b) 16cm2 c) 20cm2

d) 25cm2 e) 30cm2

6) Del gráfico adjunto, calcular el área sombreada, si se sabe que: MN=4m

a) 2m2

b) m2

c) 4m2

d)

2

m2

e) 3m2

7) Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda

menor gire 8 radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

8) Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.

a) 4 b) 5 c) 10 d) 20 e) 40

9) Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su

extremo recorre 3 m. a) 5m b) 6m c) 7m d) 8m e) 9m

10) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11) Calcular la longitud de la correa, si los tres discos

tienen igual radio de longitud 2cm.

A) 2(3 )cm

B) 4(3 )cm

C) 8(3 )cm

D) 2( 3 )cm

E) 2( 3 )cm

12) Del gráfico mostrado, calcular la suma ilimitada:

S = L1 + L2 + L3 + ....

A) r B) 2 r C) 4 r D)

r

2

E)

r

4

13) Del esquema mostrado, calcule el valor de:

1 3

1 2

L LE

L L

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14) Del gráfico, calcular el perímetro de la región

sombreada, si A, B y C son centros y ABC es un

triángulo equilátero

A) 2 B) 4 1

3

C) 5 2

3

D) 2 1 E) 7 2

3

15) Si la cuerda envuelve exactamente al triángulo

trasladándose la esfera hasta el punto A, hallar el

recorrido de la esfera. ABC es un triángulo equilátero de lado 4m.

A) 3 m B) 9 m C) 12 m D) 16 m E) 18 m

45º

N

M

4m

50g

/12

135º

R

R

A

B r

r

semana 2 .1

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