sem integrales

7/21/2019 Sem Integrales

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0.1. CÁLCULO I

28 de octubre de 2015

0.1 Cálculo I

SEMINARIO DE INTEGRALES

1



0.1. CÁLCULO I

Integrales definidas

1. Se fugó aceite de un tanque en una cantidad de r(t) li-

tros por hora. La proporción disminuyó conforme trans-

currió el tiempo y los valores de la cantidad en interalos

de dos horas se muestra en la table. Halle estimaciones

inferiores y superiores para la cantia total de aceite que

se fugó

−3,0−2,0−1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5 ,0 6 ,0 7 ,0 8 ,0 9 ,0 10,0 11,0 12,0 13,0−1,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

0

1. La grafica de la función f esta dada en la figura. Evalue

cada integral interpretando en términos de área

2. Considere la función f (x) = x1

ln(2t + 1)dt Encuen-

tre f (1) Sol : 2/3

3. Si

f (x)dx = 12(ln x)2 + C, entonces f (x) = Sol

f(x)=ln(x)/x

4. Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma

estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno

tras otro, casi simultáneamente. Estas son las gráficas

tiempo velocidad de ambos movimientos.

Como podemos ver en la grafica, el Talgo, a las dos ho-

ras, reduce su velocidad: .A que puede deberse? .Por

que no aminora la marcha tambien el otro tren en ese

instante? A las tres horas, ambos trenes modifican su

marcha: el Talgo se detiene durante breves minutos,

mientras que el tren de mercancias va muy despacio

durante media hora. ¡ Para hacernos una idea clara de

estos movimientos, realicemos algunos calculos:

a ) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. .Cuantos kilo-

metros recorre a esa velocidad?

b ) De 2 a 2 1/4 , el Talgo disminuye su velocidad.

¿Cuantos kilometros recorre a esa velocidad?

c ) El tren de mercancias aminora la marcha a las 3 h.

¿Que distancia ha recorrido hasta ese momento?

d ) Que distancia recorre el tren de mercancias durante

la media hora en que va a baja velocidad?

Integrales indefinidas inmediatas

1.

5 3√

xdx

2.

x3dx

3.

dx

4.

x2 + 2x − 1

xdx

5.

1

x2dx

6.

1

x5dx

2



0.1. CÁLCULO I

7.

x4 − 2x + 3

x6 dx

8. 8

3

3√

x + 3√

x dx

9.

2

x + 3 sin 2 x − 4ex

dx

10.

sec(x)tan(x)dx

11.

x2 − 3x − 4

x + 1 dx

12.

cos 2x + sen π xdx

13. (1− x)3

x 3√

xdx

14.

e2x + e−x − 5dx

15.

π

1 + x2dx

16.

6xex − 4− x3

2x

dx

17.

(x + 1)(x2 + 3)

x3 dx

18. √

x + 1√

xdx

19.

sec2x + cosx + x dx

20.

cos2x − sen2x

cos2x sen2x dx

21.

tan2x dx

22.

xex + 2− x sec x

x dx

23. ex

1 + e−x

x dx

24.

5x3x

2x dx

25.

2

1− xdx

26.

eln x2

dx

27.

tan2x dx

Simplifique o expanda y luego integre

28.

ex + e−x dx

29. x3 − 1

x3

dx

30.

e2x + ex − 5

ex+1 dx

31.

x2 + x + 4

x3 + 3x − 4dx

32.

x2 − x − 2

x2 − 3x − 4dx

33.

x + 1

x2 + 2x + 1dx

34. x2 − 2x + 1

4(x − 1)

dx

35.

sen2(x) + 4cos2(x)

cos2(x) dx

36.

x2 + 2x + 1

x3(x + 1) dx

Integración por sustitución simple

1.

1

2x + 9dx

2. 1

9− 2x dx

3.

1

x + 4dx

4.

sec3x + esen x

sec x dx tan x + esen x + C

5.

e√

x

√ x

dx

6.

cos x

esen xdx

7.

(arctg x)3

1 + x2 dx

8.

sen5x cos x dx

9.

cos x3√

sen2xdx

10.

(x + sen(x))4 (1 + cos(x)) dx

11.

1− sen(x)

(x + cos(x))2dx

3



0.1. CÁLCULO I

12.

4tan2(x)

tan(x) − xdx

13. 1−sen(x)

·cos(x)dx

14.

lnx

x dx

15.

ln2x

x dx

16.

x2

1− 4x3dx

17.

dx

x · ln(x)

18. 2ex

5ex + 3dx

19.

etan(x)

cos2(x)dx

20.

(1 + ln(x))2

x dx

21.

e

1x

x2 dx

22.

2x + 1

x2 + x − 5dx

23.

e√ x√

xdx

24.

sen(x) + cos(x)

sen(x) − cos(x)dx ln |sen x − cos x| + C

25.

4e2x ·

e2x + 3

9

dx

26.

sec(x)dx sug: multiplica por sec(x) + tan(x)

27. 1

x2

·sen

1

x dx

28.

1√ 1− x

dx

29.

sen

ln4x2

x

dx

30.

2cos(x)sen(x)dx

31.

t2cos

t3 − 2

sen2(t3 − 2)

dx

32.

1 + cos(2x)

sen2(2x) dx

33. 1

x2

−4x + 9

dx

34.

(2x + 5)9 dx

35.

earctan(2t)

1 + 4t2 dt

36.

tan(x)√

sen2x − 4dx

37.

(t + 1) e−t2−2t−5dx

38.

sec2(lnx)

2x dx

39.

1 + ln x

5 + x ln xdx

40.

ln (cos x) tan x dx

41.

√ 3 + x x2dx

42.

dx√

x + 1 +√

x − 1

Integrales por partes

La regla del producto para derivadas es

d

dx

uv

= uv + uv = du

dx · v + u

dv

dx.

Integrando a ambos lados tenemos una nueva tecnica

de integración

uv =

du

dx · v · dx +

u

dv

dx · dx

Entonces tenemos

u dv = uv

− v du.

x cos(x) dx =

1

2x cos(x) +

1

2x2 sin(x) dx.

1.

x · ln(x) dx

2.

√ x · ln(x) dx

3.

(8x + 1) e5xdx

4



0.1. CÁLCULO I

4.

x2 · ln(x)dx

5.

x2 + 3x

exdx

6.

x · sen(x) dx

7.

9x2sen(3x) dx

8.

arcsen(x) dx

9.

3x2 · arcsen(x) dx

10.

ln

x +

a + x2

dx

11.

x · arcsen(x)(1− x2)

32

dx

12.

sec3(x) dx

13.

x · sec2(x) dx

14.

ln(x)

x3 dx

15.

(x + 2)ln(1 + x2) dx

16.

cos3(t) esen(t)dt

17.

e2x · cos(ex) dx

18.

e3x · sen(2x) dx

19.

x2arc tan x dx

20.

x

cos2x dx

21.

(1 + 5x)cos(4x) dx

22.

ex (1 + x lnx)

x dx

23.

arctan(x) dx

24.

x · arctan2x dx

25.

arcsec(

√ x)

x2 dx

26.

e2xsin(3x)dx

27.

x3e−2xdx

28.

(x + 1)2ln(3x)dx

29.

e−xsen(4x)dx

30.

xsin(2x) dx

31.

3x2cos(

x

2) dx

32.

ln2(t) dt

33. arcctg

√ x

√ x dt

Integrales trigonométricas

Identidades trigonométricas

sen2θ + cos2θ = 1

1 + tan2θ = sec2θ

sen 2θ = 2senθ cosθ

cos 2θ = co s2θ

−sen2θ

cos 2θ = 2cos2θ − 1 = 1 − 2sen2θ

cos2θ = 1 + cos 2θ

2 , sen2θ =

1− cos 2θ

2

tan (α± β) = tan α± tan β

1∓ tan α tan β

1.

sen2x dx

2.

cos2 x dx

3.

sen3

x cos x dx

4.

dx

1− sen(x)

5.

dx

1 + cos(x)

6.

dx

sen(x) · cos(x) sug: 1 = sen2(x) + cos2(x)

7.

sen3(x)dx sug: 1 = sen2(x) + cos2(x)

5



0.1. CÁLCULO I

8.

sen x

1 + cos2x dx

9.

sen5 x tan x dx

10.

sen3x cos2x dx

11.

3π /4π /2

sen5x cos3x dx

12.

π /20

cos2x dx

13.

sin3

√ x

√ x

dx

14. π /20 sin

2

(2θ) dθ

15.

cos3(θ) dθ

16.

(1 + cos θ)2 dθ

17.

π /20

sin2x cos2x dx

18.

cos5x√

sen xdx

19.

x cos2x dx

20.

dx

cos x − 1

21.

sec5x tan x dx

Integrales por sustitución trigonométrica

Expresión Substitución

a2 − x2 x = a sin θ, θ ∈ −

π

2

, π

2

a2 + x2 x = a tan θ, θ ∈ −π 2 , π

2

x2 − a2 x = asec θ, θ ∈

0, π 2

∪ π , 3π 2

1.

1

x2√

x2 − 9dx, x = 3sec θ

2.

x3

9− x2 dx, x = 3sen θ

3.

1

x√

x2 + 9dx

4.

1

x2√

x2 + 4dx

5. 1

x2√

x2

−25

dx

6.

1

x3√

x2 − 25dx

7.

x√ 4− x2

dx

8.

x

x2 + 9 dx

9.

1

(x2 − 1)3/2

d x

10. 1√ 4

x

2

−25

dx

11.

√ x2 + 1

x dx

12.

1

(36 + x2)2

d x

13.

1

x√

25x2 + 16dx

14.

1

x4√

x2 − 3dx

15. 21

√ x2

−1

x dx

16.

2/3√ 2/3

dx

x5√

9x2 − 1u = 1

3sec x

Integracion por fracciones parciales

1.

2x

x2 − 3x − 18dx

2.

x + 2

x2 + 11x + 18dx

3. 2x2 + 5x

−1

x3 + x2 − 2x dx

4.

1

x2 − 5x + 6dx

5.

x2 + 2

(x − 1)2(x + 2)dx

6.

1

x2 − 9dx

7.

3x − 4

(x − 1)2dx

6



0.1. CÁLCULO I

8.

1

4x2 − 1dx

9. 4x2

x3

+ x2

− x −1

dx

10.

x3 − x + 3

x2 + x − 2dx

11.

x2 + 12x + 12

x3 − 4x dx

12.

5x2 + 20x + 6

x3 + 2x2 + x dx

13.

6x3 + x2 + 5x + 6

6x2 − 5x − 4 dx

14.

y4 − y3 − y − 1

y3 − y2 dy

En los siguientes problemas use primero substitución y

luego integre con fracciones parciales

15.

sin x

cos x (cos x − 1)dx

16.

sec2x

cos x (cos x − 1)dx

17. 5 cos x

sin2 x + 3 sin x − 4dx

18.

sec2x

tan x (tan x − 1)dx

19.

ex

(ex − 1) (ex + 4)dx

a ) √

x

x − 4dx

20. ex

(e2x + 1) (ex − 1)dx

Aplicaciones

1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

a )dy

dx =

6

1− x2; y(0) = 3

b )dy

dx =

4

x2 − 2x − 3; y(0) = 5

Caso 2: Factores cuadráticos irreducibles D(x) =

(a1x2 + b1x + c1)n(a2x2 + b2x + c2)m

1. x

−2

x2 + 1dx

2.

x + 2

(x2 + 1)2dx

3.

8x3 + 13x

(x2 + 2)2 dx

4.

x2 + x + 2

(x2 + 2)2 dx

5.

x2 + x + 3

x4 + 6x2 + 9dx

6.

2x

(x2 + x + 1)2dx

Integrales con radicales

1.

√ 3 + x x2dx

Integrales varias

Evalue las integrales tratando de seguir una estrate-

gía de integracion (sugerencias seguir las pautas de las

sección 7.5 : Estrategias de integración)

1.

e2t

1 + e4tdt

2.

x csc x cot x dx

3.

π π /6

sen2x cos3x dx

4. √

4 + x2

x2

dx

5.

10

x3 − 4x − 10

x2 − x − 6 dx

6.

θ tan2θ dθ

7.

1√ x + 1−√

xdx

8.

62

dx

x√

4x + 1

7



0.1. CÁLCULO I

9.

arctan

√ x dx

10.

1

1 + exdx

11.

cot x ln [sin(x)] dx

12.

tan2 (2x) d x

13.

e2x − 1dx

14.

1−1

earctan x

1 + x2 dx

15. x sen2x dx

16.

12

0

x√ 1− x2

dx

17.

ex

√ 1 + exdx

18.

ln(1 +

√ x)√

xdx

19.

x

x − 6dx

20.

r

2

r + 4dr

21.

dx

1− cos x

22.

ds

s2(1− s)2

23.

10

x4e−xdx

24.

1√ x + 1 +

√ x

dx

Integre (si es necesario use una aproximación (regla de

trapecio o punto medio))

1.

20

4

1 + x2dx

2.

21

ln x

1 + xdx

3.

30

dt

1 + t2 + t6

Integral definida

1.

1−1

x

0e−tdt

dx

2.

1−1

d

dx

x

0e−tdt

dx

3. La longitud de arco de una curva y = y(x) en el in-

tervalo comprendido entre x = a y x = b se puede

determinar calculando

L = b

a

1 +

dy

dx

2

dx

Determine la longitud de la gráfica de y = 12

x2 + 3

sobre el intervalo [0; 1].

4. El volumen V del sólido que se forma al girar alre-

dedor del eje y la grafica de y = sen x2 y y = 0,

0 ≤ x ≤ √ π es

V = 2π

√ π 0

x sen x2 dx

5. Calcular el área limitada por la curva

y = ln x,

el eje de la abcisas, ylas rectas x = e

6. Calcular el área limitada por la curva

y = 4x2e−2x,

el eje de la abcisas, y

las rectas x = 0, x =

b>

0.8



0.1. CÁLCULO I

7. Si la longitud de una curva definida por la función f (x)

comprendida entre las rectas x = a y x = b, es

b

a 1 + [ f (x)]2dx

determine

a ) La longitud del arco de curva

y = arcsin(e−x)

entre x = 0, x = 1.−1 1 2

1

0

8. Integre

a )

x(4x2+3)6

dx

b )

(2x − 5)11dx

c ) cos4 x sin xdx

d ) sec2(1− 4x)dx

e )

11+e−2x dx

f )

1x ln x dx

9. Encuentre una función y = f (x) cuya gráfica pa-

se por el punto (π ,-1) y también satisfaga dy/dx =

1− 6sin3x

10. Encuentre una función f (x) = (1 + 2x)5, f (0) =

0 y f (0) = 0

9



0.2. ABP

0.2 ABP

1. Para cada problema a continuación, decidir si se puede resolver mediante

la integración por sustitución? Si se puede, a continuación, indicar el u y

du, y volver a escribir la integral en términos de u y du (luego detente). Si

el problema no puede ser resuelto por la sustitución de u, luego explicarporque la sustitución elegida no funciona.

a )

dx

(4 + 9x)2

b )

dx

4 + 9x2

c )

x dx

4 + 9x2

d )

exdx

4 + 9e2x

2. Hay dos pares de problemas de abajo que son exactamente lo mismo. Us-

ted no los verá hasta que realice la integración, mostrando todos los pasos.

Encuentra los pares y luego explicar cómo las integrales relacionadas son

fundamentalmente los mismos.

a ) e

1

lnx dx

x

b ) ln 2

0

ex dx

1 + ex

c ) 10

(x + 2)−1dx

d ) π /2

0sen x cos x dx

3. Imprima la página de "tarjetas" integrales en la página siguiente y luego

recortarlas para que cada problema se separa de los otros. Utilice Wol-

fram Alpha (www.wolframalpha.com) para resolver cada integral y escribir

la respuesta en el espacio provisto. Entonces reorganizar las cartas en gru-

pos que parecen tener el mismo género de estructuras en sus problemas

y respuestas. Una vez que los tienes agrupados, explicar lo que se refiere

a los problemas. Luego escribe tus conclusiones. Usted puede escribir de-

claraciones algo como esto ... "Cuando las integrales son así: ______, las

soluciones parecen ser similares en __________.

Luego dar problemas y respuestas como apoyo para sus conjeturas. Usted

no debe tratar de entender por completo la manera de hacer los problemas(por ahora), yo sólo se quiere buscar patrones y formas de discriminar que

ciertos tipos de problemas dan ciertos tipos de respuestas.

Por ejemplo, aquí está cómo hacerlo la primera:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+10/ (x^2-16)

10



0.2. ABP

Usted tendrá que eliminar la entrada y luego lo ingresas la otra integral, ya

que esto hará que sea más fácil ver patrones. Tenga en cuenta que Wolfram

Alpha usa log (x) para indicar el logaritmo natural.

11



0.3. TABLA DE INTEGRALES

1.-

10

x2 − 16dx

5

4ln|4− x| − 5

4ln|x + 4| + C

2.-

10

x2 + 16dx

3.-

10x

x2 + 16dx

4.- 10x + 10

x2 + 16 dx

5.-

10x + 1

x2 + 8x + 16dx

6.-

10

x2 + 8x + 16dx

7.-

10

x2 + 6x + 12dx

8.-

10

x2 + 10x + 25dx

9.-

10x + 10

x2 − 10x + 25dx

10.-

4x − 20

x2 − 10x + 25dx

11.- 10

x2 + 25dx

12.-

10

x2 + 4x + 5dx

13.-

10

2x2 + 12x + 18dx

14.-

10x + 10

2x2 + 12x + 18dx

15.-

x + 1

x2 + 2x + 5dx

16.-

10

x2 − 4x + 5dx

17.-

10x

x2 + 25dx

18.- 10

x2 − 3x − 18dx

19.-

10x + 1

x2 − 3x − 18dx

20.-

10x

x2 + 10x + 16dx

0.3 Tabla de integrales

1.

f (x)dx = f (x) + c

2. f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx

3.

c f (x)dx = c

f (x)dx

4.

dx = x + C

5.

xmdx =

xm+1

m + 1 + C, ∀m = −1

12



0.3. TABLA DE INTEGRALES

6.

1

xdx = ln |x| + C

7.

axdx =

ax

lna + C

8. exdx = ex + C

9.

sen(ax)dx = −1

a · cos(ax) + C

10.

cos(ax)dx =

1

a · sen(ax) + C

11.

tan(x)dx = −

−sen(x)

cos(x) dx = ln |sec(x)| + C

12.

sec2(x)dx = tan(x) + C

13. csc2(x)dx =

−cot(x) + C

14.

sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C

15.

csc(x)cot(x)dx = −csc(x) + C

16.

sec(x)dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C

17.

dx√

a2 − x2= arcsen

x

a

+ C; a > 0

18. dx

a2 + x2 =

1

a · arctan

x

a + C; a > 0

19.

dx

x√

x2 − a2=

1

a · arcsec

x

a

+ C; a > 0

20.

dx√

x2 − a2= ln

x +

x2 − a2 + C;

21.

dx

x2 − a2 =

1

a2 · ln

x − a

x + a

+ C;

22.

dx√

x2 + a23

= − 1

a2 · x√

x2 − a2+ C;

13

sem integrales

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