selección de problemas de mecánica racional i - cinética

1":~~~a j 'iad~n ~~~~:~~;~:{~ ~~~-lI Andrés Bello por el lng. EdgarlL_ Fel'reira Al'é'~al(), para opt.a.r ala categorla de ProfesorAsistente J._- .._-_._-_ _._-_ .._ _ _._ _.----

-1I

CINÉTICA !______ . .J

I SELECC 1ÓN DE PROBLEt-1AS

I DE MECÁNICA RACIONAL 1

l__..

GRACIAS.

ESTA TERMINANTEMENTE PROHIBIDO FOTOCOPIARESTE TRABAJO DE ASCENSO POR ORDEN DEL AUTORPROFESOR : EDGAR FERREIRA AREVALO

[

UN 1VERS IDAD ¿ATÓLl CA ANDRÉS BO:U;----¡FACULTAD DE INGENIERíA ¡

UCAB ··1

f3 I 8L 1OGfi:AF1FI • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• l.'36

1) Pal'tic u1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.1:..13~) Sistema de Partlcula~ 17~

PRINCIPIO DE IMPULSO y CANTIOAD DE MOVIMIENTOANGULAF'...............•.............................. 1E,o

COL 1!:;1ONE::; • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 14::;:

J 2'.;?) Sistema de P~rticulas .1.) f--'a r' t, i e tJ 1a _lO lO lO lO ..

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL.

POTENCIA y EFICIENCIA •.••••••••••.•••••••.•••••.•••••

.5171

1) Pa l' t 1C l.J1a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2) Slstema de Partículas .

.5]PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA. TEOREMA DE LACONSERVACION DE LP ENERGIA MECANICA .............•....

1) COQl'denadas Cal't.esi.anas...................... ::3~) Coordenadas Cllindricas .......•.....•..•..... 273) Coordenadas Normal y Tangencial 37

SEGUNDA LEY DE NEWTON:............ 6

1_r ::';T() DE :; U"mOLO:::; •••.•••••••..••••••••••...••••••••••

2F'F,[::F AC ro .

CONTENIDO

Pág.

INDICE

,

,

\JeA8 ...·::;::

estud í an tea1.Los problemas propuestos le permiten

Los problemus resueltos busLan ilustrar al estudlante~n la rth:!todologia.que ,jebe segui l' a efec t.osde apl i car ~;usle.tp;)Linnentos t.eÓl'icos a la l'es,::.luciÓnconcr-et.a deejercicios. El desarrollo de cada uno de estos ejerciciosh~ sido llevado a cabo de forma detallada y conClsa. Seha insistido notablemente ~n la importanCia que reviste elr az.onam í en t.o fisico del pr-obLerna , pr ev í o a la I'esoluciónnun'~~l':i.ca del mismo.

Cada capitulo se inicia con una breve introducciÓnteórica al punto en cuestión, a continuación de la cualson presentados los problemas resupltos, seguidos de losproblemas propuestos.

El objetivo de esta selección no es, por supuesto, elde constituir u~ nuevo libro de texto, sino el de dolar alestudiante ae un buen n6mero de problemas resueltos yp,'oblemas pl'opue·:;t¡;:,s,cOI'I'espondiente'za un ál'e.::...especl"."fica de la materia. Así, estos problemas cubren loscupllulos referidos a la Segunda L.ay de Newton, Principiodt:::lTl~atJajoy la.Energ ía , F'otencia V Ef' í c i encía , F'l'incip:i.Qde Impulso y Cantidad de Movimiento LineRl y Principio deImpulso y Cantidad de Movimiento Angular.

1

1

El presente trabajo, como su titulo lo indica,consiste en una colecciÓn de 118 problemas de MecánicaRacional, correspondientes a aquellos temas referidos a laCin~Lica de la Partlcul~ y Sistema de Partículas. Estaclll.acci6n está concebida corno un complemento práctico alC'1..!l'Sü t.e6l'icodE" "t'1ecánicaRacj,:)nalI", que es il(:pa.l'ti'::k'S~ ~a Facultad de Ingenieria de la Universidad CatólicaAndrés Bello. Está, por tanto, adaptado al programaesp~ctfico y vigente de esta asignatura. No obstante,pu.?;je sel' de gran ut í Li dao pera estudiantes de MecánicaRacional de otras instituclones docentes.}

)

Bhagavadgita 11, 17(:::;ig1,;:, 1 1 1 (;¡" e . )

"Por encima de todas lasd.CC iones , pl'l'2valecel'ápOI'slerlll ...-'I·.ael Conoc í mien t.o .Busca en él tu R.afugio".I

1\

PREFACIO

UCAB-:3

El l~utor'

El autor desea que este manual sea de utilidad paratodo estudiante de Mecánica Racional, y espera las'~,U~:2I'encias y comental' ]os que pl'OfeS01'es y :.?st.udi.ant.esconsideren pertinente hacerle llegar.

t_,_,s pl'oblemd~' j ¡le luidos en €:!sta c o l ec c í on han sidose]~L(iona~05 a partir de un gran n~mero de libros det~xtu relacionados C0n la materia, así como d8 exámenes y~.:\·cl)u.:hi.':::Jt'le~,¡ cjivel'saslleva.,jas a eabo con ant.'2\"iol'idad.(.~IJgl...II·IO:)·:::'~por oLr a ps.r te , son de r.r'e<,~("iÓn o r op ia , A',::d., e Ipl'I:::':ii~,:ntl!? tfla¡-'Iua 1 r,,~"::'t'I~': p:.11'.3. ¡.?l e'5 tl"ld i .::<nte: I..n;:-, 20.1:::'1'0:;,'(: L-aI:::,J.~2C-2:'lrl l.). o:¡,~I"; cío? m.atel'j al dispel's'J en una. cop iosa b ib 1. í og raf íay .~n o t.r as v ar t. .J.I!_\S y rp..:m<21'I)SaS fUl::nt.es. Por est.¡;:¡. I'::t;:~ón~:'I?~~.r'I.!':>!2rlta }~¿ L.:t: ~ \'~t-I ¿-(h('JI'l'IJ de tiempo y es f ue rz o .

1)I

e.i~I'L. j t.ar- po r- 51 sol,.) <.oU5 con.,.c iru i \?n ;:,os, e f ianzando yve r í f íc ando la t~feci,l.vidd,_j de '..,('1 ~"'r.)l"endi:.;::aje. Did'lo':::iej EH' e j e i, o: 's es l.á¡·1 ,i ,,~I'dI' qu i zaoo s '21'1 or ,jen e r- ,?, e ien t,.:::: dedi t íc u ltad , pOI' 1,') c ua l s,~ l'l:";1comJ.enda ,~l '2~jtudi,;:ont(.~:pr'(,co,;·,j'2r· ~l SI_J solIJ(.j,:~,n en el mi smo 'JI'den en que son

,,

UCAB-4

Tensión en una cuerda; energia cinéticaT

Tiempo; eje o dirección tangen~ialt.

Long í t.ud di':;:apeos

Eje o direcciÓn radiall'

Vector de posición de B relativo a A

Vector de posición-rRe-ó~cc i ón no r-maI

Eje o dirección normal

t1omento con l'especto al punt.o !lO"-¡'10 Masa

Cantidad de Movimiento Lineal

Rigidez de un resorte

Vectores unitarios en las direcciones x, V, z.

Cantidad de Movimiento Angular respecto delpunto "O".

-Ho AceleraciÓn de la gravedad

En erg í a fúecánicaE

l-::-d i e íen c ia...de restitución;Coeficientemecánica.

Vec t.o re-s un ital'i'::1Sen la~.;:;d í \,'12 e e ionesn o r rua I v tangencial .\lectOl'es unital'í os en las ,j i. l'ecc: ionesl'adial " t.r an s ve r-ea 17

_" -urr , U...

Aceleración de B relativa a un sistema entraslación con A.

(4ee 1el'ací ón-<.-1., a

LISTA DE SIMBOLOS

UCAB--S

Revo]uclones por minuto\' pm

Diferencial de la variable ~

tierflpo dG.' I ¡:~Derivada con respecto delvc~r iab )e );

•:x:

Diagrama de cuerpo libreDeL

Integl'alJ

Fuerza de roce dinámicofl::

Fuerza de roce estática limite

PoLencia mecánica¡'"..

lif.pl.Jlso 1i.nea1-rV:al'iac í ón de ¡:

Radio de curvaturafCoeficiente de fricción dinámica

C,-:,,=>fi.Clente de f ricc r ón estát.ica

Acelel'ac i ón -B.ngulal'1).,I,

I

Peso; velocidad angular1;..'

Energia potencial gravitatoria\/,,.'0

Energla potencial elástitaVe

ensistemaB l'e1ativa a unA.

V,~l':Jc)dc~,jdetraslación c on

Rapidez o celeridadv

Vülocjdad-v TrabaJo de una fu~rLau

UCA8-6

SEGUNDA LEY DE NEWTON

UCA8-7

d_ l'::S la acelepai..jÓII que a,jquiel'e1.:.1. par tí cu la I:::"ajoel efecto de la fuerza resultante.

-IF, es la r~sultanle de todas las fuerzas que actüansobre la particula.

donde:

matemát.icamenlt1e)pl'esadaDi ch a

La Segunda Ley de Newton -o Ley de Movimiento- es elfundamenl0 basico para el estudio de l~ dinám)ca departicul~s. Esta ley relaciona de manera cuantilativa elmov í re ien t.o de la par-i:.ir:ula(acele)'acÍt::.n) con 1.=.15 l-aLJsa~:;que mullvarl dicho movimiento (fuer2as).

CI.~F"'ldo l_,In agt=nte E;>:.t.erno e,i 81'e e una f U121'zasl;:)b)'e unapa~l1rula) dicha part!Lula ejerc~ sobre ~l ag8nt.e unafuer2~ reactiva de jgual mÓdulo, de senlldo opuesto ycol ine.;;:\l.

TERCERA LEY

una 'f I_~el'za.t. :i. ,'-'?n lO:: I ;;:l

proporcio-

UnA partltul~ som8tida a la acción de'_'!~2~~.,t,-,ql_Ü1i I:H·a¡.~'::~ adquj "::l'~:' una a.:e).el':'1.C ión , qUI:::~1(,l.-::-.ruB.• j i r'l':!', e ión ,:':\'? la -F lJ8\'::::a '/ e~; di rec tall)ent.enal a la magnitud de ést~.

SEGUNDA LEY

1 Jn.=.. par t). cula que está j n j e j almente en r e'poao (:1

fll•.)'.'iéndo·:;e ·;:¡,::::gúli UI'ld ll.t:c~~ l'ect.a con vL=?lOCldad cons ta•.nt.e ,1:.II=!I't¡¡al'leLt'2rá l"1n d í C~-lO e<:'~tadosj dicha pa r t í c u la no es·-:¡cll'(:c~·i·.i.(I.J..;A Ia ;).•-c ; ':'1'"1 d.2 una 1:u(2)'::::~ dt~~3eqt,l.i 1ibl'.:::~da.

PRIMERA LEY

leyns universales pueden ser ~nunciadas comoDi ch ..!'::;'.igue:

Fn 81 aMo lb~7, el clentitico inglés Isaac Newtone~tablerl0 por vez primera, de m3nera formal, las tresleyes báslcas que rigen en Movimiento de las partfculas.

E':·,l..:l t,ll.t.ldt jJ~ft"1 t=fl-!I:I ..ie Sf:r' e.l.!Jresv,lja '.=,-: t.r·t ..''!:i -::ilS'Lt=.-!(I.:::ts ,:Jt=.1:..I.)')}"I Jc't": J' !.:t. Ij 1 f\.tr'!~r:t.~l=", .:

e~-., d,¿~ 1. .¡"l

1(1I:"jj í' iC.II·1'1'1 i 5111;;.1 , ~.:':~ 'LoJ..). P·_I l' '" ': r: t.A1. iJ a

,1 SEGUNDA LEY DE NEWTON !

r rL_C~:~O __E_N_A_O_A_S_CAR~.::_~~~~~__.___/

1

}

x

yo

--ro,

•..--l:Fy

1'".-----.:zr ,F3 --

•

Fi F2

\/ -:~.m... J~-F'I--

z

Se obtienen as1, tres ecuaciones escalares, una por~ada eje de coordenadas.

yo¡::- -r'l~,l_.

>: -

EFy -- flto.y .¡IFx - (1)21,,,,, I-

de donde, igualando componentes:

- -í.:F :: ma

Si referimos el movimiento de una partícula a unsistema inercial de referencia oxyz, podremos escribir:

UC.AH- I j

-F

BLOQUE ''A'':

Cons i s te en detel'nünal' el '.'2.101' máxlfúo de la fuepza. FqUE: puedl~ ap Lí car ae SO!::>l'eel bl.::)ql....IE.':' "(..~" SÜ-I qUl? (JCI,.Jl'l'a.jesl í zamí ei- t.o de "A" sobl'e "8". En esta cond íc íón 1.::1.fLtel'::a ,je 14¡:Jce ent\"'e IIAII '¡' "8" a l canza I~J. \/,::-\·1':11" .j,.:!' lafuerza de roce estátlca limite Fs. Para esta condición,los diagramas de cuel'po libre serán:

(t\) {~fin de vG::'i"ficar' qlJt.? "A" de s Lí za SObl'8 "B" se pl.Jeden·:-;t:~gLJi P Ijl.)S ffl~~t.cuj(jS :

SOLUCION

'1300mm.

\~SUPERFICIE LISA

IOQrnrn.. k1r

(A) Vel'i.fic.:=.n' que "A" desliza, sobl'e "B".(8) Det.er minar- ,21 t.í empo qlJe t.a.rda "A" en (h~sp1a::::al'se

h~,·::;ta el e).t.l'emo (ipuesto del bloque "B"

El bloque "A" de 5 Kg representado en la figura mide1,Ü(l mm de 1a l' go , E]. b]' oque "8" de 1. ¡¿, ~:~g m i.de ::::I.:)(~ mm , E].bloque " B" ~s tá si t.u::t.:i.:J sob l' e una supe l' f i e ieh.) l' 1.Z')I"I t.a1l. í se , en tanto que el con tac t.o ent r e "A" y "8" es rugoso,con ).{s:: HI:: :. O,/.!(:'. F'al'tien.jo del I'eposo, S~.t ap Lí ca ur.afuerza dE 40N sobre "A". Se pide:

PROBLEMA 1.1

PROBLEMAS RESUELTOS

DIAGRAMASSUPUESTOS

BLOQUE "B":

BLOQUE "A':_

w _--- -40

--tfrNAS

SEGUNDO METODO

que IJA" cjes1.ice SIJbr'e IiB" esapll~ada ~s 40N, se verifica Gue

Así.,

CO~-ls).ste en ':suponel' í.n í c í a lroen t.e que nA" no desliz_asc,r")l'\~ "8'1 i '/ ~;e Ij:2tl?l"'n,i.n~l el \/é,l':Jr' tj€-: 1~1. ft.Jer';~.:::.... r:h;.- r oceestática requerida para que esto ocurra así. Para estacond1ción~ lús diagramas de cuerpo libre serán:

qu~ puede aplicarse sin29,4r~. Corno la fuer':::a"A" si des 1iza 50bl':? "8".

el máximo valor de "F"\

a - 1,'36 m/s';;;y (2]

[ 2JFs - mea

}.{smAg = mF..¿~

[1. JF - Fs = fIlAaF - J..{SrftAg = rÚAd.

En est2. condic ión, aA = a", - a. Asi:

=BLOOUe: "B":

l.jC{:~B-1. .:::

.,::. 1 ")..... , .........

r~--""""--'.=.....:~:..--~.~~.- ...::~..~~~..~; ..\I~..A/J:,<" .:., •...:... 1", ..,L ...._..._.._._·.._··_..·_.._··..···!

r--"~~'--~-'-~"'-~;.;--:~"";-::':~.;~: '"-"f"' .- 1, ..'t.... lu, ::>

l_..._._. __ .__ I..._•••• •F'2I.r'3. JIE:11 ._-1:....- __ !:Fx - rila.X:

r-------· ..- ..·-·-·... _ :·~.:::o. /_;;t:

I dA '~..._~.~.~:~~...~~_~_.J

En esta condición aA ~ as_ Asi:

BLOQUE "B":

\

BLOQUE "~':

(E) \/e1') f í caclo c~ue l/A" ,je-51 iZ2.. SI:.br"e- uBH ba.i o el e'f.2C1:.() (.leuna fuerza de 40N, se elaboran lQS diagramas de cuerpolibre verdaderos:

As!, 26,7N seria el roce requerido al aplicar lafuer'Z2. de 40N sQbl'e el b Loque "A". :::;inembal'go, el ¡'oc:':"!máximo posible es Fs = 19,62 N. Por tanto, se verifica que"A" '::~i (je~il.iza. slJbl'e "B" ..

-----) fr = 2~,7N

F' .:"'1.)'a JI B11 : .......;+ I F ec - max :

F'al'a "A":---,+~ __ ¿Fx - max :

En esta condición, aA = ao = a. As!:

(

UCAB-1.t1.

Así, durante la etapa de movimiento relativo de lac a J a sobl'e el C8.I'I"::', los diagl'aríl8.S de c ue r po lil.JI'esJ~l'\árt :

(Al Una vez que la caja cae sobre el carro y comlenza adeslizar sobre éste, frenándose, el carro, arrastradopor el movimiento de la caja, comienza a ganarveloe ida.d. As 5. , llega un mamen t.o en e]. cual l.¿:ASveloc idades de la caja J' el carro se igl.Jalan. A pal'tirde ese instante, la caja y el carro se mueven enconjunto, sin que exista movimiento relativo entreambos.

SOLUCION

SUPo USA,1"

(8) La distancia que la caja re~orre sobre la plataforma.

(Al La velocidad final de la caja y del carro, después deque la caja deja de deslizar sobre la plataforma.

La ve Loeidad ho l' iZ':JI"I ta I.eon La que una e21.j a "A", dt'~25 Kg de masa, abandona un tobogán, es de .5 mis, y caesobr·e )a p12,tafcll'made un car ro "8", de .50Kg .~e rf'd.sa,inicialmente ~n reposa. El coeficiente de roce entre laca i a y 1=.toLat.aforroa es ~ts ::.: ).{k = 0,4. :3uponiendo que lacaja se detiene sobre la plataforma antes de chocar contrael extr~mo d~recho, se pide:

PROBLEMA 1.2

----- " 0,2 - 1/2(2,12)t~---->

es de 0,2 m. Así:

\

(

UCAB-tS

(8) Representamos las posiciones inlcial y finalel siguiente esquema:

I

VA/B - (VA/B)a + (aA/S)to - 5 - 5,88 t t:: O,85 s (elc

Se cumple asi mismo que:

(+---)

de "8" se¡"á:la11B" ,SI:fbrede "A"Durante el deslizamiento

aceleración de "A" con respecto

OTHA VIA:

Por tanto, en este instante

VA :: VB.5 3,92t - 0 + 1,96 t

t. :: o , :;:;5 s

CI...!ando"A" deja de desl izar sob re "8":

Para A Y B~ se cumplirá VA - (VA)o + aAt\lB - (VB)o + ¿\¡:.t

\

1 ,9E, m/s::;;'aEt -

- Fk - rtI(\aA-

},tt< mAg - rftAaA aA - - o-o ,:~.-;, m/s::;;'- - .» ,~~

Fk - nOI¡;;.aR-

(..1: __ + ~F,...: _ ma x :

Nótese que las aceleraciones de A y B no son iguales. Asi:

BLOOUE "B": WZZ7Z22ZZZZZZ27zaZ2Z-Z~iPt-_m--B o B

BLOQUE "A":

(

UCA8-16

(CA~~O II"' !_JjS CI:)eficlen1.\:s c1e fl'it,_ll::'~·' c,.;::' ....t() !!:!S 1:!l!:u=1ues Ay e son Ms = gk = O,20.

Los planos inclinados son idealmente lisos.

Tres bloque A, B Y C, de masas mA = 500 Kg, m~ - 400Kg Y me = 200 Kg, están conectados mediante una cuerdaideal, y dispuesta en la forma indicada. Las poleaspl'esentes car ecan de f r í cc i ón y SQtl de 1:":aSd. dl=spl·eC1..~bl.l;:.Se pide determinar la aceleraciÓn de cada bloque y lat.ens í ón de 12. eue l'da, en Lo-s s 1.gu 1ent.es ca·:::;os:

PROBLEI'"1A 1.:3

::r:A / r;. - (::.: A / ~ ) 1) + <: VA / n ) ,;)t + 1.1 2 ( 2'1.\ / 17.') i:.. ::;:;- 0 + (5)(O,85)+ 1!2(-S,88)(0,85)~letc.

:3e CLAmp le que:

OTRA VIA:

2., 1.2 !Y: f_¡

e/Fe -ASi, la distancia que A recorre sobre B será:

::::

POSICION fiNAL

POSICION INICIAL~ B~PZIZ¿????Z2Z¿,¿¡¿IZa?¿ ~

[ :;: 1

(1]

UCAB-17

Pal'a "A" · ::::'~,"3 - T - aA· -g

.4ü¡;~Pat'.atlBIJ · A()0 - 2T - a",· -

ab

..2~:'0

F'a r-a JI C" · 12ü - T - ac:· -g

Escribiendo las e~uaciones de movimiento para cadabloque:

muevese

f..:B :A y: -l. .c400T

300\400

hacia abajo (lo cual\

c·_.-,~ prlncipio que cada bloqueno es posible, lógicamente)

enaSJ....Jrfli 1"""á

CASO 1

SOLUCION

UCA8-1:3

Para "en: 120 - 32 - T -

4(H) - 2T -Pal'a "8": L2J

aAab

40€1añ.

ab

20.:)ae

g

[1]Para HA": 300 - 80 - T -

Escribiendo las ecuaciones de movimiento para cada bloque:

e:e:T

•

160

32~ "" NOV,

120 '"160 ~

A:

Se asumirá en principio que cada bloque se muevehacia abajo (lo cual no es posible, en principio).

CASO Ir

No es necesario volver a calcular los valores de 3A,

au y ae. Sus valores son los calculados, sabiendo que "C"se mueve en verdad hacia arriba.

~1 signo (+) de aA y a~ confirma la suposici6n de que"A" y "B" se mueven hacia abajo. El si.gno (-) de ae: indicaque '2n vercíad el bloque "C" se OH,,1I2vehacia arr t ba (comoel'¡=:{('leespel"al'se,dado el mov í m í ent.odt2 "A" ''/ "Bn).

T - 1~::3,2 ~(gt Je..u) aA - ~J l'':)f! f(1/S::::- - .:. ,.:fe - Ü ,,579 m/s;:;;'-ac - .-:. ,:345 fú/ s:2- '-'

[:3] 'Y1:;:esolvi'2ndc,simultáneamente las ecuaci.:,nes;el], [2]141 :

):,,\ + '2;:0 + :':c - cte .-3"" + 2aJ;) + ae: - () [Al-

:::""I'::t e 1 s í stema, se eump 1e que:

,

IJCAB-1. '~

[31Para "e": 120 - 32 - T -

[2J400 - 2T -PalO,;" "El":

(1]aAe(;>

40Üal$l

g

2~)~)¿{c:

ob-

Para "A": :;;¡;JO- Sf) - T -

las ecuaciones de movlmiento para cadaESCI'iblen.j()

b loq'Jt2 :

32

~160 ~

~'20 "'<no -,160 " ~

\

e: :Faloa

Para A Y B: como antes

Los diagramas de cuerpo libre en este caso serán:

El sign.:) (+) de aA Y a~ indica que "A" '/ "8" semueven hacia abajo, mientras que el signo (-) de de indicaque "c" en verdad se mueve hacia arriba. Sin embargo, elaceptar esto 6ltimo es inconsistente con el sentido de lafuerza de roce sobre e (Hacia arriba). E~to determina quel.-_IS Valol'es de ctA, ao Y ae: deben sel' calcI..Jlao:!osde nuevo ,suponiendo at',,)l'aql..Je "e" St~ I'flUeVe h~,,:i;;:\ .;j,I'I'ib,~ (p.::;'I' t.antofuerza de roce hacia abajo).

T - 16'3 ,4- Kg't aA - (1 .,'~::J:::: rú/s':;;:- -d.B - 1 .so l. m/52-d.C :: - .-::' ,9':;',5 r(1I s::;O:'-'

[21 ,H~:;:sol.viendr::.sift1ul.t.ánt?arflt.:;:nte l,,~s ecu:,'lC i or.es [1.)

[::';] y (4):

[ /l. ]

!)(:AB---:;'O

140 N; TBc = 103 N= 0 ,4'3~)m/s:2~

(A) TAl3 -

(B) ag

SOLucrON

A

e

(A) La tensión de cada cuerda.<B) La aceleración del bloque 9.

Se pide calcular:\

las masas de los bloques A, B Y C, mostrados en lafigura, son 15, 25 Y 10 Kg, respectivamente, y éstos seencuentran en reposo en el instante inicial. Elcoeficiente de fricción entre B y la superficie horizontales 0, 1~;,.

PROBLEMA 1.A

PROBLEMAS PROPUESTOS

El signo (+) de aA Y aa confirma lo anterior. El~igno (-) de ae indica que "C" se mueve hacia arriba, locual es consistente con el sentido de la fuerza de rocehacia abajo; Los valores aA, aa Y ae son los calculados.

T = 188 ,2 Kgf aA = ,:\ ,62:3 mis;:;;:TJO

dJ;,> 00 e ,.577 m/s:2de -- - 1 77 rftls;;i;':- ,. .

1:2] ,Resolviendo simultánearflente las eCI..,Jacio::mes[1],[3] Y [4):

(4]

(

F = 10 NF = 2¡;) !,.J

(CASO !)(CA::;O ! 1)

Un bloque "A", de masa 2 Kg, reposa sobre un bloque"8", de 6 Kg de masa. El sistema reposa sobre un planohorizontal liso. Entre los dos bloques se tienencce f iciente's de r-oce .!..ts= 0 :1::. '/ P.I., = 0,S. El bl.oqu'=-"A"está unido a una cuerda ideal que pasa por una polea. L~cuerda forma un ángulo de 200 con la horizontal. Para .estaposición, se pide calcular las aceleraciones de cadabloque para los casos:

PROBLEMA 1.6

SOUJC!ON: F:; 314::: N\

AF

Dos bl.oqf..les"A" y "B" están apoyados sobl'e dos planoscomo se indica en la figura. Las masas de los bloques sonmA - 100 Kg Y m~ = 50 Kg. El coeficiente dinámico defricci6n entre las superficies es de 0,30. Hallar lamagnitud de la fuerza horizontal "F" requerida para darleal bloque "A" una ace lerac ión hacid.la del'echa de:3 rfl/s~.No existe r r í cc í ón entl'e los bloques.

PROBLEMA 1.5

IJeAS-z.:

(8l Si la cu~rda Ge corta, d8terMlne la aceleración deLad..,.b 1'::o '=1ue .

(A) ::;i el sistema se mueve . :::i es asi, calcule laaceleración de cada bloque, indicando su sentido, y lam,::"gni t.c!d do:? la fuel'z.o<.de l'1.-'L@ que -'='.ct.ú~ sobl'e "B".

El plano inclinado de la izquierda esliso, mjentras que el de la derecha es rugoso,0,3 y ~k :: 0,2. Se pide determinar:

Dos bloques A y B, de masas 6 y 2 Kg, respectivamente, están conectados mediante un cable ideal que ~asapor una polea, como se indica.

PROBLEMA1.8

SOUJCION

170 N

A

En la figura se representa la vista superior de unsistema de cuerpos que deslizan sobre un plano horizontal1iS'::I.Las masas de los-cuel'pos son rl)A :: 15 f(g, mEo ::::;()Kgy me ::45 Kg. Se pide calcular la aceleración de cada unode los bloques. La masa de la polea es despreciable.

PROBLEt1A 1.7

aA - aD - 1,17 m!s~aA ::6,20 m/s2; as :: 1,07 m/52

(CASO 1)(CA:30 11)

SOLUCI0N

UCAB- 2:::

\

PROBLEMA 1.9

CA) La tenslón de la cU2rda.(B) La 8.celer·2:t.cióI'"1d,~ cada. bloq'...:e.

Un sistema está formado por tres bloques A, B Y e, del.déntl.ca masa 11mil. Los bloques est.dn COt"II.:!Ct,::...dospOI' unacuerda ideal, como se lndica. El coeficiente de roce entre"C11 y el p lario rt()l' izon t.a1. es J..t·:: = }.{¡,.: = 0,:3. ::;a.b i.endo qUL~el sistema parte del reposo, se pide hallar:

"" t ,31 fÚ/S2'. 2 N- ,

- 7 ,51 rú/s2-aA = 4,90 fiI/2~( 2 , '3; L1,1) I(g.

CA)( B)(e)

SOUJCION

permanece en reposo.

A

UCAB ,'11

,.tl':o1)t-!l~~I'I"ind.l' lB fl..Itc·l'.::.a ti;:Jo;..l~o.:1.d.:~ plll' l:.c:¡,'j;;1 una ,:h2 ].:~''::;gto! ~ ':1c; sCJbr e i;~J p,,~s ..~,jJJ)"', ( t.'Ft r~a Id P':-IS 1 e .1 ,:),"-/ i r:eJ, ('~! (J~...

t)r¡ r)d.sa,j,:n"' !J Foil, c!e :2~::.'::, g r- (:h:: rn¿i:5d. ., St.:~, rt'ILlI2\/e ':1 1 ()J,.;..q~.:, de una. guia ':r rcu l al', de 25 >:"[11 de 1'.i:l.C!J.O, irlq::Jul.sadof-II:_J\"" l.!t-:a gUia r-e cta J.'!=:n. f·ar~a la p~JS...c i ón e :: :3~)O, lZ-t guia"J~': se es t.a ,:jesp1..:tzd.nr:1ct rtaci~ .~l"'ri.IJa CCln S.Jn¿_i l"\a.~,:,ilje::: (1\~11:3 I'ft/S, y e~lti\ fl"'t2n,::;.ncjl:. Sl.! tfl.:) .../inti~..:'1'11 ..,:. a. '"'i:':t.;~ISn ,::-Je :;~ f(l/S~.

I-.J r:·Ic>vjfa'lj.!!nt"j'JCI..I1'I'een 1...!t'1 pl"-nr:o V:2I'1..lca).Los e'Í'l,:ct,o's de:-[',"i' c i ón SC~!I ,jespl"'e-:iab12s .... );.,:,p!.,je:

PROBLEMA 1.11

T - 1.7ü8 NaA = 1,27 m/s2, hacia al~l'i b·:;..a.~ - 1 ,07 rf./ s:2 , hacia abajo:.-a.e - o , t.:7 m/s2, hacia al' l' í ba-

SOLUCION

4

\

Tres bloques A, B Y e, de masas mA :: 200 Kg, rog = 400Kg Y me = S~:>0¡(g, están conectados rllediante ur.a cuel',jaideal, como se muestra. Las poleas presentes carecen defricción y son de masa despreciable. El coeficierite deI'oce ba.i o los bloques 8 y e es J.{s= PI-< :: 0 ,~2Ü. Se pidede (..'?I'ra'iÍna.l'la acelel'ación de cada bl':Jque y la tensi.Ón ,jela cuerda, una vez que el sistema ha partido ~el reposo.

PROBLEMA 1_10

(A) 1 - 6,62 m-(8)¿tA - '. 19 rll/s2 a[;l - :;; ,4:::: m/ s:2 . ac: :: e-, , f~.::; rc'l:'s:A- .;_, , , - , .»

(

SOLUCION

.';'_.:.".._l

El sistema mostrado en la figura consta de dosprismas A y B, de masas mA y mg, respectivamente, y unbloque de masa me- El prisma 8 reposa sobre una superficiehorizontal. Si el sistema parte del reposo e ignorandotoda fricción, se pide plantear las ecuaciones necesariaspara calcular aAl aB Y ae-

PROBLEMA 1.12

CA) NA = 5,62 Nw; N~ - 1,28 Nw( B) N.::.se 2-nu 1a ,

\

SOLucrON

GUIA CIRCULAR

fuerza ejercida por la gula circular, enantes Ije que el r.:'.:1,'5a,jl:Jl' I.:..;:..se por "A"?

¿S8 arur l a la.a1gl~rl pun loE):plique .

(9)

8

'.JeAl;: •.::6

•

SOUJCrON

~,l---lqm

o

3m

A

Una cuerda ideal está conectada a un bloque de 0,5 K~de masa, que desliza S,:,I:Jl'euna guia .r i g í da hor Lzon t.a I AB.La t.l?nsión en la cuerda p':.st:2eLt!'í \'.:..101' constante "T': . En'21 ¡Junt,:, "e" ~ la ve Loe i,ja,:! ,je:l (O)}.,:.oque l"'!S de 6 m/s hac ia lai::.quiel',ja,y ,?n el puní.o "0", es de 1 mis hac í a laí zquierda . :::;02;Jide detel'(lltn,,~l' t:2) ve l or ,j,;;: "T"

PROBLEMA1. 13

lIL.· -.'

II

_j-- _. ----~-------EN COORDENADAS CILINDRICAS

SEGUNDA LEY DE NEWTON-------- -----···---1

\

x

mar

rez

, y ____ moa

o~

moz

o o/~F

y una en la direcciÓn axial (z)_

la(8)

~sl tres ecuaciones escalares, una en(r),una en la dirección transversal

::)'::obt. i enendirección radial

reta ..,r--------------~

I i:F l' -

Ii:F,;. -I:F"" -

'------------


+ EF... -l." )'o, ,- -k = fú (,a l' Ur 1--I.J~ +

-;: ma-!.:FSi l'efel'ir;)(jS el roovim í eri t.o de una pal'tícul.::l.' a un ./

sistema de coordenadas cilíndricas, podremos escribir:

Ir1:

\

1':

1;

rFi:!',

:302 eurcrp1 j l'á que:

DeL:=

r+

Como puede observarse, el problema está planteado entérminos de las coordenadas polares, r,8 de la corredera.E1 DeL Ije la cOl~\'edel'apara la po sie í ón de í n tel~és sel'á:

SOLUCION

A

Se pide calcular, para e = 30°, la magnitud de lat~ns¡Ón de la cuerda y d~ la fuerza ejercida por el brazosobre la corredera. Se desprecia toda fricción. Ladistancia "R" es 38 cm. La masa 0:121 cursor es S Kg.

El brazo ranurado "AB" pivota alrededor del puntof i j o "O" '/ con t íer.e la cOl'l'edel'a"(;". La posie ión .je l.~lCOI'I'edel'aen la gu la depellde de la cL!.il'daque es tá f i j a en"O" y permanecE tensa. El brazo rota con una rapidezangular constante de 4 rad/s, en sentido antihorario, y secumple que r = 0 para e = 00•

PROBLEMA 2.1

PROBLEMAS RESUELTOS

r

f = 101 ,20 N~\'IAS1, reemplazando en (11 y (2]

l' = - 0,7:37 rú/s::':r- __ 1), 1'37 m ;

2(sen 6/2)l' - Re (cos9/2) -

..r = RaC (os6/2)

del tiempo la expresión de r:Derivando con respecto

2

eSe tiene: l' - pn - 2R sen -

As).:

ConfOl'me el tubo rota, la corredel'a asciende por eltubo y el segmento de cuerda 80 se incrementa. y seobserva que la distancia "1'" que separa la corredera delpun t.o "1)" es prec í samen te iguai a la o í s t.en c í a "80"-

En la posición e = 0°, la corredera coincide con elpunto "0" y= por tanto, l' = 0.

l'equiel'en losestos ("J 1t. i rilO":;

e - (,.. :3edet.e r-rní r.ar

.conocen ~ = 4 rad/s,de r y r. A fin de

,.... -.:JI:

\/aLo 1"1 es

+/EF1'.. ".

-" filal'- T ft:g( sen ae o ) - m(!' 1'8-;:;:) r 1]. -

+'¿F8..

2;'8)- ma8: N - rug(cos 30° ) = m( 1'8+ t2]-

UCAE:-:::l

e•

l' = 1 C()S :3~)oz - 1 ser-t· :3~)o-

i.ns t'=':'.n t..I:!en une i 1i.ndl· i cas queD8finamos un sistema de coordenadas

permita d~finir la ubicaci6n del cursorrjacJr:; .

SOLUCION

Un cursor "A", de 2 Kg de masa, se mueve a lo largode un tubo liso, mostrado en la fl~ura. El tubo es~ácJbligad.;:'a r-o t.ar al r e.jedo l' del eje ...,.::::-I·1..ica1í'ij'J "H" conun a v.?locjd.~d .3.ng'Jla.r const¿-~nted,:! 31: r·G,d/s. l._a 1.:uel',:J¡~1.Lonectnda .~lcurso\' pasa a través de] agujero inferior delt.1~lbo .:.\ l'a,c:6n cons tan í.e o:Jt:: U) cm/s. ::::e pi.de ,j(,:t\:n'n'ti:n.:'H' elmód¡.J1o de 1.=.:, ít,lel'za que ejo2l"Ce el t.ubo s.:::":;\·o2 el Cl,.!l·S()\" enla r)O"'i i r: Í,!':W. r = 2.5 cm.

-. -.¿_.LF'ROBLEt-1A

z - O ~)~I ff! ,-f S - ('- , - -

)' - o' e ~:~;::;7mis l' - {)- , --

._Pal'o.~ ]. - - i), 1 (> ft'1." s, I - f' _

e,~s 30 o - - - - > r~..1. LO:O~; :;:üo

z - 1 sen 30° ----) z - 1 sen 30° ----) ~ - 1 sen 30°

z...r- , z ,)' r

que:

(:-.::1CNzr) c0530° - T sen30° - mg = mz

Ne = ro (re + 2rO) [2]

J:F l' o. [::,ar'_

-_

rH9 - fila",.-

rFz - [liaz .-

"

eje:

cada.la ecuación del movimiento segünEse l' ib í.errdo

- 1 eos 30~ ----) ~ -

Nót:?5e que Sc!bl'e el CU1~501'at: t.Lla I...Jn.-=:t

que posee dos componentes: Nzr y NG. Laestá contenida en el plano vertical zr, Yes perpendicular a dicho plano, dirigida=3e eump 1 l. rá as i qlJe:

N = ~ CNe)~ + CNzr)2

fU.Sol'"Z2. nQl'(¡"a 1 Ne.:imponen t.e f'J2T

la componente N4segeln e 1 e j 12:: t3 _

VISTA SUPERIOR

e+\\\\\

zr

VISTA LATERAL

VISTA EN PERSPECTIVA

UCAB- f;_:

SOLUCION

._~\_

RESORTE

(

El brazo r~nurado "08" representado en la figura rotaen U", plano hOI'izontal en t.o rno al pi.vote f:n "O" c.:·t"Irapidez angular constante de 20 rad/s en sentidoantihorario. El brazo arrastra en su movimiento un pasadorNA", de dimensiones depreciables. La rigidez del resortees de 26,3 N/cm, y la fuerza en el mismo es nula cuandoe = 0°. El perfil de la leva fija sobre la cual se mueveel pasador viene dado pOI' la ecuec í ón l' = b - ecos e.Si b = 10,2 cm Y e = 7,6 cm) se pide hallar la fuerza queejerce el brazo sobre el pasador, para e-60°. SedeSp\'02Cia t':lda f\'icción.

PROBLEMA 2.3

PROBLEMAS RESUELTOS

f N - :39, :3 r'~'.....F'()l' tan Lo :

N<.. = - :3, 26 N~\'NZI' = :3'3,2 N'""T - :-:::; , "7 N,,-'

enN2T.

quedan 13.5dli't E':CU¡;~C io-

l 1i , l2 ) y [si , s.:;, l·:·Resolviendo el sistema

Reemp 1azandoln~6gnitas T, NQ~nes:

1b ; Foc = t)Fr:w - 11 ~f':.I.:..SOLUCION:

El pas~.dol' "B" pe·s~.4 onzas, y pue,je I'esbalal' sinf r í cc í ón a lo lal'g,;:¡ del brazo g í r-at.orLo "OC" y al,:=. lal'g':',je la 1'.=:tt·ILJ1'a e i r cu lar "DE", de r ao í o b = 2(¡ pulgadas. Elbr-azo "OC" g í ra en sentido an t.í ho r-er í o con ve locidaoangular constante de 15 rad~s. Se pide ~eterminar, enfunción de 9, 105 módulos de las fuerzas ejercidas por elbr-azo "OC" y la rariu ra "DE", sobl'e el pasacíor o· Elmovimiento ocurre en un plano horizontal.

PROBLEMA 205

SOLUCION

100mm

El brazo excQntrlco "AS" gira en sentida horario a1.)1'1<1. l'EJ.::::Óneons tan tf:: d:=,1;30rpm , hac it"":ndoque el paS2..dol' Ije

100 g de m~sa siga la ranura circular fiJa de 200 mm deradio. Se desprecia toda fricción. El movimiento ocurre enun plano horizontal. Se pide determinar las fuerzas queei er cen >21 b r az o ":'4D" '/ la 1'~nLIl'a c í r cu l ar- ·:;übl'e el.pasador, para la posición a = 45°.

PROBLEi1A 2.4

UCAE,-3.5

Los coLl are-sA y B, ambos de r(lasa"m" están conectc:~dos por una cuerda ideal, al tiempo que deslizan a lolargo del dispositivo m05trado. El dispositivo completorota con respecto a su eje verti~al a razón constante de::::0 rpm , Pa.r·a] a pos i (}.,:kl incíí cada, el co Lla r "A" e·=:;tádesc';_:-~ndj.endocon un:--· rap i .:112<:: de 4 ni/·:.;;. Despl'eciar.do t.odaTI'icción, se pj,je ca Lcu lar la ace leración del co Ll ar "A".

PROBLEt1A 2.7

(A) = - 17 ,-, l'ad/52, o( 8) - - 46 e rft/s2- ,._.

SOUJCION

°1II

kleIII

eB) La segunda derivada respecto del tiempo de la longitudde 1 1'125(;'\'te.

I'esol'te(A) La aceleración angular con la cual pivota elC:tll'ededol' de "0".

Una esfera de 250 gramos de masa está unida a unresorte de rigidez 150 N/M, Y oscila en un plano vertical.La longitud natural del resorle es 50 cm. Para la posicióne = 30°, la longiLud del resorte es 60 cm, y la velocida~de ]a esfera es de 2 mIs dirigida horizontalmente hacia laderecha. Para esta posicion, calcular:

PROBLEMA 2.6

UCAB -:3t=·

(A) :3~:",4 Nl.B) s.'32 N

SOUJCION

CA) La tensión de la cuerda.(8) El módulo de la fuel'::a de r-oce .

Un CU1'SOI' "A", de 2 Kg de masa ,de un tubo, mostrado en la figura. ElroLar alrededor del eje verticalvelocidad angular constante de 3nconectada al cursor pasa a través deltubo a razón constante de 10 cm/s. Eldinámico entre el tubo y el cursorpos í c íón r :: 25 cm, '312 pi.de dei-el'fi"lin.::\l':

se mueve a lo largotubo está obligado afijo "B" con unarad/s. La cuerda

agujero inferior delcoeficiente de roce

es 0,1. Para la

PROBLEMA 2.8

SOLUCION: 5,87 m/s2

A

--------·---------·---lSEGUNDA LEY DE NE~l\ON i

!COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL J

(¡lENL

"

UCAB-·;3::;

n\

n

-Mal!FI

".

!F

•\

\.

di rece ión<: n) •

escalares, una en lala dirección normal

dos ecuac iones(t.) '{ ot.ra en

obtienen asítangencial

Se

EF-t.. - ma-t..IFn - rnan


-Un)-+-l)~( -.. r.\ t.-EF~ U~ + EFn Un = ro

Si referimos el movimiento de una partícula a unsistema de coordenadas normal y tangencial:

Nótese que es precisamente la fuerza de roce est~tic8fr la que determina la existencia de una componente normalde L:. 2.celel'8Cj on . En la fi,edj d2 en qtJe la mesa' l'ota conrfl¡~.yCJI' vl~lQci,jadangu)al', esto deIJ~~conlleva!' a. un a.l.tra'Ie.flt.CI

de la fuerza de roce est~tica. Para cierto valor critico

+\1'F'"1 - r" ::. '-1 •_. - ..........:3e cump1e que:

_-------_...~

/I\-," <,

"~:

Supongamos inicialmente la mesa en reposo y que, muylentamente, comienza a adquirir velocidad angular (tanlentamente, que puede despreciarse la aceleraclOnangular)" Para alg0n valor de velocidad angular muy bajO,w: los diagramas de cuerpo libre y cinético serán:

SOLUCION

Un bloque se encuentra sobre una mesa giratoria, auna distancia R del centro. El coeflciente de fricciónestá'l.icaenll'e la masa ';'el bloque es ).As. Ha lLar la má:¡;irflavelocidad angular w a la que puede rotar la mesa, sin queel bloque deslice sobre ésta.

PROBLEMA 3.1

PROBLEMAS RESUELTOS

estática entre la mesa y el bloque es Ms. La mesa comienzaa l',:d;.,?-,')pa,'tierllj,;:,del 1"?P':)so,CO~'I 1...11"1'::"\ ac:el.er',::..c í on .:.::~ngula,'constante ~. Se pide determinar en funciÓn de R, a y MS,el instante e 1"1 el cL.!alel bl')que comienza a desliza,' sobl'ela mesa.

g í ra t.oria, ade f " i e e ión

Wn bloque se encuentra sobre una mesadistancia R del centro. El coeficienteuna

PROBLEMA

~\fR-----)

EFn - man:

+ t tF:.:: - maz:

Para la condición de deslizamiento inminente:

Nfr •• ---fr-=-F-sIN

w

on_rw/~on ~O~

w=O W=WC

AUMENTO DE W

G,'áfí camen t.e:

de velocidad angular wc! la fuerza de roce alcanza elvalor de la fuerza de roce estática limite, y, en esemomento, el deslizamiento del bloque es inminente.

Así a medida que el bloque gana rapidez, la mesaejerce sobre el bloque una fuerza constante Ft., y se vagenerando progresivamente una fuerza Fn (w aumenta). En el. 1 t ./r.-'-' ,-._1 ,- J jI' . ti n s t..an °12 en l~t.Je V'- ............+ -nA = f-'S~ i~. I_l~~; i z aru i en .CI ~:?'=;

i '"11"1"1 inen t.e:

delpor tanto, el aumento en la, I> ,ac e l e r ac í ónbloqr ...!e.

Nótese que en este caso la fuerza de roce estáticapose.':?ck:.scomponentes, Fn y Ft.. La componente Fn det.el'fflinala existencia de la componente normal de la aceleración y,por tanto, el movimiento circular. La componente Ft.determina la existencia de la componente tangencial de la

Ft. = rflRI):

Fn = rnRw::<''N - mg = (~~

+/EFt. - mat.:+'EFn - man:'i- t í:Fz - ma;;.-::

::;12 e l.,1fl"l1-' l.,? que:

DCiN :

z+

DCl:

condt~I1C,.5

parte del reposo, y comienza a rotarangular «_ En los instantes inicialescuando el bloque aún no ha deslizado,cuerpo libre y cinético serán:

La mesa.a c e Le r a c i ónmov í m í en t,o ,d i.agl'am:a.sde

SOLUCION

UCAD-4:::-~

Una veZ impulsada la cuenta y antes de detenerse, losdiagramas de cuerpo libre y cinético de la cuenta serán:

SOUJCION

F.: _. 1 ü¡·) mm

IJna cuenta que posee una masa ,je 1,.5 Kg puededeslizar a lo largo de una guia circular horIzontal. Elcoeficiente de roce dinámico entre la guía y la cuenta esMk = O,3. El collarin es impulsado, y adquiere una rapidezinicial de 2 mIs en el punto "A". Se pide determinar ladistancia que recorre la cuenta sobre la guia hastadeter:e\~se.

PROBLEMA

1Reemp laz.anoo:

\!.' :: .xtPero se cumple que:

Ft.::2 + Fn2 = Fs::2(mR.:x):2 + (mR\!.':2):;;;: :: (}.{smg) :2

Asi, en el momento critico:

VISTA SUPERIOR

El problema pide evaluar la distancia recorrida parauna velocidad final conocida (nula). Por otra parte, seconoce la componente tangencial de la aceleración a~ comouna funciÓn de la rapidez. Por tanto recurrimos a laecuaciÓn diferencial V dV = B-t.. ds, a fin de relacionardistancia recorrida y rapidez.

U!.J- ato

(1)As 1, en

m~. R~~g:::;:

tN - + \/4-

r:;:De [ 2] Y (;3J •

+ t rF;z - maz:

(2)Nn - m\,2+\ í:Fn - man ;

[ 1)- Fk •• ma.-t,.

ej El:la ecuación del movimiento segúnEsc l'ibiendo

N - ~ Nz:2 -1- Nn::«

Nótese que la fuerza normal N, perpendicular a laguia, posee dos componentes: Nz y Nn. La componente Nz seopone al peso de la cuenta, e impide que ésta caiga. Lacomponente Nn, dirigida segÚn el eje normal, obliga a lacuenta a describir una trayectoria circular de radio R. Lasuma vectorial de Nz y Nn reproduce l~ normal total N. Seeurflp J. El a s 5. que ;

DCIN:mgDCl=

UCAB-44

11 = 15 lb; T2 = 5 lb.

SOLUCION

4rod/s

Un bloque de 8 libras de peso está conectado a unavarilla vertical por medio de dos cuerdas ideales_ Cuandoel sistema gira alrededor del eje de la varilla con unavelocidad angular de 4 rad/s, las cuerdas se tensan conciertas tensiones T1 y T2- Se pide determinar los valores,j.? T 1 Y T2-

PROBLEMA 3,"A


s - ':" ,:352 mSustituyendo datos y despejando s:

,!.{k~ H:::?g2

vdv.t- VÁ =

R ds

gk I: r vdv,js =

R '1.'0 ~R2g2 + VAl

Así.:

UCAB-4,:::.

El miembro "0A" parte del reposo en la posiclono = 0°, y comienza a girar en sentido antihorario, con unaaceleración angular constante de 0,20 rad/s~. El miembrolleva sobre sl un bloque pequeno de 3 Kg de masa. Seobserva que el bloque comienza a deslizar sobre el miembrocuando 0 = 30°. Se pide hallar el valar del coeficiente deroce estático entre el bloque y el miembro.

PROBLEMA 3.6

J..{s = o ,3.5

SOLUCIOI'J

El miembro 0A es movidopor un motor no mostrado.

r.: 45 cm.A

El m í emb ro "OA" part.edel l'eposo en la posicióne-0°, y comienza a girar en sentido antihorario, conaceleración angular constante de O,20 rads/s2• El miembroempuja un bloque peque"o de 3 Kg de masa, sobre una mesalisa, el cual comienza a describir una trayectoriacircular. Se observa que el bloque desliza con respecto almiembro cuando e = 10°. Se pide hallar el valor delcoeficiente de roce estático entre el bloque y el miembro.

PROBLEMA 3 ..5

UCAB-46

56,9 N

SOUJCION

25.4 cm,

Una cazoleta cónica gira alrededor de su eje verticalcon una rapidez angular constante de 60 rpm, arrastrandocon ella dos esferas, cada una de 3,6 Kg de masa. Se pidedeterminar la fuerza de contacto entre cada esfera y lasuperficie vertical de la cazoleta, empleando para ellouna sola ecuación dinámica.

PROBLEMA 3.7

}.{s = 0,.56

SOUJCION

r= 45cm. El miemb r-o ~)Aes mov í do po run motor no mostrado.

A r

UCAB'-47

Dos bloques A y B de masas mA = 2 Kg Y mB = 6 Kg,descansan sobre una mesa que rota con respecto a un eJevertical con rapidez angular constante W. Los bloquesestán conectados mediante una cuerda ideal. El coeficientede r-oce estatiec..entl'e los bloques '{ la mesa es .Hs = ü,.5_Se pide determinar el máximo valor de W para que losbloques no deslicen.

PROBLEMA

( A) :3 ,37 l'ad /s<: S) '3 ,:3~~ l'ad/5

SOLUCION

A

(8l El máximo valor de W para que la cuerda no se rompa,si la tensión en ella admisible es de 100 N.

(A) El minimo valor de W para que la esfera "A" permanezcaen contacta con la campana.

El dispositiva mostrada, en forma de campana, rotacon velocidad angular constante W, de manera que la esfera"A", de :;:':'N de peso, unida al d í apos ítivo f:,:edianteunacuerda ideal, permanece en contacto con el mismo. Lassuperficies son perfectamente lisas. Se pide:

F~·ROBLEMA 3.8

UCAB-LI.8

~I = 1,72 r'd.c!/S

SOUJCION

El dispositivo indicado en la figura rota alrededorde un eje vertical con velocidad angular constante W. LasMe~as de los bloques A y B son roA = 150 Kg Y ms = 10 Kg.El coeficiente de roce estático entre todas las superfiCiJ2S '2':;¡ ).{s z: 0,21). Se pide detenl1Ü1al' el rft.~txifliO V.?'.lo!' ,je 41para que el sistema de bloques no deslice.

PROBLEI"1A 3. 10

1....1 :: :3,62 I'ad!S2

:SOLUCION

w

B re= 600mm

rA= 300mm

r

(

UCAB-11'3

la fuerza aplicada sobre la cu~nta pórmÓdul,:;)de'''·1r.:. ..

CA) El módulo de la aceleración de la cuenta.

Para la posiCiÓn x = 1 m, se pide:

e'_'constante de 1 m/s. La masa de la cuent.a esI'azón

El moví ru í eri to ,jeI..!nacuent,¿i,"p" ~ a lo ),a'l'godE.' un s,gula lisa cuya forma sigue la ecuación y - x2, estácon tr oLado pO'I' la barra "~)A", al't.icul2,daen "O". L2~ cuent,¿i,SI2 mueve de t.al manel'a que la d í st.ancia "OP" aUfi'lI:::nt2,&

3 ..12PROBLEMA

2, '3.5 fI'I- ~j, 1.,52 m

( A)( 13)

SOUJCION

MASA DE LA CUENTA: m/V/ VARILLA~\ ~EJE

J~

•• ~s;:

d íatan c í a ,"s" oara la cual la cuenta se encuentraestado de deslizamiento inminente hacia abajo.

({U Laen

(8) Laen

distanc ia "s" para la cual 1.:... cuenta se er.cuen t.r eestado de deslizamiento inminente hacia arriba.

Una varilla está fija a un eje vertical, de maneraque forma un ángulo de 30° con la horizontal. El conjuntogira alrededor del eje vertical con una velocidad angularconstante W = 3 rad/s. La varilla lleva ensartada unacuenta de ,jimensiones despl'eciables. El cOE,jicientede fricción estática entre la cuenta y la varilla @s 0,75.::;e pide h.:~llal':

PROBLEMA 3.11

!JeAB-50

«1) ~j,199 mis:;;;'(S) NOA = 138,4 Nw; No~ - 108,4 Nw

SOLUCION

A

1lo

Resuelva el probleroa en t\'es sistemas de coordenadasortogonales diferentes.

gu í a pal'abÓ 1i ca y pOI' }.3 ber r a ti ~)A"•

UCA8--S 1

PARTICULA

TEOREMA DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

---------_ ..__·_---·--1ENERGIA I

I__._. . J

PRINCIPIO DEL TRABA.JO y LAII

IL. .

UCAB-52

r2, ~ -=1 IF.dr, es el trabajo de todas las fuerzas que~ 1 actúan sobre la partícula, entre las

posiciones inicial y final.

U].-2

Tj. - 1/2 mvj. ::or es la ene¡'gia cinética ,je la par t rcula- ,en la posición inicial .

T::;¡: - 1/2 f:)V2 ::t: es la ene¡'gia cinética de la pa rt. icula_, ,en la posición final .

T]. + U1_::<: = T::;:

(2). Sefinaldesplaza entl'eEF, que actúan sobre una partícula que se

una posición inicial (1) y una posic!oncumpl~ la siguiente ecuación escalar:

Consideremos una serie de fuerzas, cuya resultante es

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA PARA UNA PARTICULA

(2), ser'á:una ,POSicr!ónfinal- -U,]._:::;:= F. di'~ ].

unatrabajo total efectuado entreAs i , elinicial (1.) y

F

-,jI) = F. dr = (F) (di') cos e

-Con s í derernos una f uerze F que desp laza su pun to deaplicación a lo larga de cierta trayectoria conocida.Tomemos un desplazamiento í nf inetisimal drr. :3ea e el ángulo que f or-man entl'e si los vect.ores F y ,jr. :312 d,~fí ne comodiferencial de trabajo dU a la cantidad.

TRABA,JO DE UNA FUERZA

I

UCAB-53

fuerzas de tipo no conservativo que actúansobre la partlcula, entre la posiciónInicial y la final.

1él.Strabajo efectuado por(UNC),-:2, es el

Consideramos una serie de fuerzas -conservativas y noconservatlvas- que actúan SQbre una particula que sedesplaza entre una poslclón inicial (1) y una p051c10nfinal (2). Se cumple la siguiente ecuaciÓn escalar:

PRINCIPIO GENERALIZADO DEL TRABA·JO y LA ENERGIA PARA UNAPARTICULA

E" - E::;:-

A la sum·",-T· ;. V se le sirllbolizaPQr "E", que I'epl'e-senta la energia mecánica de la ~articula. Por tanto, sec ump 1i l'á. :

v2, es la energía potencial de la partícula en lapo s í c í ón final.

v1, es la energía potencial de la partícula en lapos ie í ón in i e i al.

-" . 1Ilna~

tipo conse r-ve.desp 1a.z¿~ en tI'-=:

Consideremos una serIe de fuerzas deLivo que actúan sobre una partlcula que seuna posición inicJal (1) y una poslci6ncumple la s í gu t en t.eecu3,.:iÓn<=sca1Cl.I':

TEOREMA DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA PARA UNAF'ARTICULA

I

UCAB-54

La aplicación de la Segunda Ley permite determinar laaCeleración d~l bloque como una funciÓn de la posición x.A fin de hallar una expresión de la forma v - f(x)recurrimos a la ecuaL10n diferencia] vdv = a dx. Así:

4. ;( ::¡¡. - (úa - - - - ;. E----

:Lv :;:l.~._J

F( )() = ma+ "F" - ()_ ...--;)- ~ .l. _ 1,;;\) ••

~3e cU(,)P 1e que:

el diagrama deEntr e las posiciones "):0" y 1'):"cuerpo libre del bloque será:

Primer Método: A través de la Segunda Ley de Newton.

SOLUCION

'" '<0» '<v.» «V>.> rw.:>1!'4Z' «0>;«0» ';;¡;;;P> «o~í«vn «<»><<o;>;><<::v>:> ,<o» <,v.;.;>«,,»"

., Xo

l..

Vo--

Un bloque de masa "m" se ,jesplaza con ve Lo e idadcorrs t.ant.e "Ve.l" a lo Largo de una fI)esahor í xon t.aI e ideal'IlnE!ntelisa. Cuan,j,)el o loque pasa porla po s í e í ón :r: = ):0,sobre éste comienza a actuar una fuerza horizontal F, cuyamagnitud viene dada por la expresión F(x) = 4x~, en lamisma dirección del movimiento. Hallar la velocidad delbloque para una posición posterior cualquiera "x".

PROBLEMA 4.1

PROBLEMAS RESUELTOS

IJCAB-'sS

2

1

1'2 r F(x)d" rI - - ....U1._~ = F .dl' - 4"::;¡'j" - ;,;"" - ):0

J - = Ji. , 70. -1. xc> :-:0

1T1. - mv., :2-

2

T 1. -l' U l. _ :2 - T :2:;:;1'2 e ump le que:

-------(2)F

(1) -----

En este caso, entre las posjciones inicial y final:

Recorde~~s que el Pri~cipio del Trabajo y la Energíaes una ecuac i ón int.egracía de la :3,,::·g.t.tndaLey, ql...lel'el.;l.ci.,:'rti'ila velocidad con la posici6n (y viceversa) a través delconcepto de Trabajo de una Fuerza.

Ene r g í através del Principio del Trabajo y la

________ ---lm

V02 +.-,L

L1

una PC)S i e i óninicial yla posiciónIntegrando entreposterior cualquiera:

[

V vdv _

" Vo

vcív - a dx-

L1vdv - )::óld):-

fII

UCi·)8-.S6

CA) El problema pide la máxima deformación del resorte, esdecir, la deformación cuando el bloque se detiene. Esdeclr, se pide )a pOSIción del bloque para unaVlE'tlocidadcono cí da . Dado que 1;:\5 f ue rzas ¿~ct.uante~::;

SOLUCION

1m

(8) La velocidad del bloque en el instante en el cual ladeformación del resorte es la mitad de la máxima.

CA) La máxima deformación que experimenta el resorte.

Un bloque de 40 Kg de masa parte del reposo a unadistancia de 1 m sobre el piso, y cae sobre un resorteideal, cuya longi tud nat.ura1 es 40 crn , '/ cuya ,'igidez es300 N/cm. Se pide determinar:

PROBLEMA .4 -;.

En este segundo método, el paso intermedio dere lac í ona r- la ace Le rac í ón "a" con la pos ic í ón "x ? , paraluego inte~rar la ecuaciÓn vdv = a dx, ya está impllcitoen el método de solución, es decir, en el Principio delTrabajo y la Energia.

) . .4)'0 'v - \ v.o::;: +

I2

Asi . 1 1.n'I\/C) :2 + !(4 - );0A - rnv2-

2 2

UCAB-'S7

¡;;= - (;,14 m1 ...1

Resolviendo:

Nótese que tanto y~ como x~ son cantidades negativas,lo cual es consistente con la igualdad planteada- Portanta, quedará, sustituyendo datos:

T:,'2 - 1/'-;' (11\..'2 :2 - ~j- -1

V-:;: -- [I'lg'{::;;: + k:(~ :2-2

d,:¡n,je. )/2 - ):~. -

2kX1.2 = (40)(9,81)(1-0,40) + 0 - 235,4 J.Vlo - r(lgylo +

1

donde:

Se cumple que:

Yl _V2~OI

®

[J~., - - - - - - - - -CZ¡Z¡ZZ;=:::i::J

1.OATUM PARAVg y Ve

durante el movimiento son conservativas, el métodoadecuado de soluci6n es el Principio de Conservaci6nde la Energia Mecánica.

UCAB-.5;':;

(B) Determinar si, una vez que el bloque se detiene porprimera vez vuelve a iniliar o no su movimIento.

(A) La m~xima deformación qU8 experimenta el resorte.

Un bloque de 10 Kg de masa, parte del reposo en laposición Indicada, y desliza sobre un plano inclinado unángulo de 30° Lon l~ horlzüntal. El coeficiente derr í ccIón d Lnám i.ca etltl'eel b lf.)qu8 y el p lano es ~:),3,Y elcoefjciente estático es O,4. El bloque es detenido por unresorte de rigidez 8 N/cm_ S~ pide:

PROBLEMA 4.3

X2 - -O,20 ro,seposible. Esto esdeformaclÓn roAxlma

que si se plantea, por ejemplo,obtendl'lér.\'2:;;: < 'ü, lo CLIc: ...l no e';;así porque O,20 m es mayor que laposlble.

Puede verificarse

\/2 - :;;, 12 m/ sAsí, resolviendo, se tiene:

.-..::V::;> = mgY2 ;-

1

As). . T,. - 1/2 11)V 1.2 - ,,). - -\1,. - 2:;;.5,4. .J-T2 - 1/2 mV22 - 20 V22- -

1

o ~14

(8) Si )a posición final corresponde a la mitad de lad~formaci6n máxlma, se tendrá:

Se toma el valor de X2 negativo, ya que corr@5~onde auna comprensión del resorte.

I

UCAB-'S':;

N6tes8 que 8 - X::2 = 8 + Ixzl' que es la distancia quesepara a la posiclón inicial de _a final. Seria incorrectoescribir 8 + X::2, porque Xz es una cantidad negativa. Por

F~ - MkN - Mk mg cos 30°1:1 - ;3 - )::2

donde :

La ~nica fuerza no conservativa que efect~a trabajodurante el desplazamiento del bloque es la fuerza de rocedinámica_ Se tendrá:

"\ .""NC"

2rnv :1.::2 + mgy:l. -1-\1. ,_T,_ -1-

11

(1):3e cump le que:

El problema pide la máxima deformación del resorte,es decir, la deformación cuando el bloque se detiene. Esdecir, se pide la posición del bloque para una velocidadconocida. El méLodo de solución adecuado ser~ entonces elPrincipio del Trabajo y la Energia.

.t Yo A ./ POSICION'----A/V' FINAl.

y4 II

4m

1(:800 N/mSOUlCION:

UCAB-6Ü

Para que el bloque estuviese en equilibrio en estaposici6n se tendr1a:

R

(8) En la posición de máxima comprensión deltendi'á:

Se toma el valor de X2 negativo, ya que corresponde auna compresión del resorte. Seria incorrecto tomar elva.Lor pos i t ívo de ):2.

x~! - 0,6.5:3 m

Así, reemplazando en la ecuación (1) se tendrá:

Nótese que tanto X2 como Y2 son cantidades negativas,lo cual es consistente con la igualdad planteada en laexpresión dada. Por tanto:

22E2 ::T2 + V2 ::

1!

tan t.o :

UCAB-61.

Desprecie dimensiones del bloque.

3m(ZONA RUGOSA. t"K=0.3)

'10 cm(ZONA LISA 1

R=O,50 IT

eB) La fuerza ejercida por el rizo sobre el bloque en elpunto "O", para la condición anterior.

contacto con éste.

que elpel'del'

compresión de cada resorte, parauna vuelta completa al rizo, sin

(A) La mínimabloque de

Dos l~eSOl~t-es"A" y "B", de r í g í de ces kA = Ea) N/cm yka = 120 N/cm, se encuentran inicial~ente comprimidos, encontacto con ~n bloque de masa 2 Kg, como se muestra. Laslongitudes naturales de los resortes son lA - 40 cm yle = 30 cm. Si el bloque parte del reposo, se pide:

PROBLEMA A.A

Como 34 ( 524,6, el bloque se detendrá, e inmediatamente comenzará a moverse en sentido opuesto (haciaarriba). Si Fs! 524,6, el bloque ~e detendría en estapos í c i ón •

I

Fs = J-tsN = :34 N

Este valor de fuerza de roce es el máximo valorrequerido para mantener el equilibrio. El máximo valor defuerza de roce disponible será:

f I~ - ~)f r- - 524,6 N

(800)(0,717)-(10)(9,81)(sen 30°)

R - mg sen 30° - fr = 0

UCAB-62

1.;."11\)1.-2 = (U1.-::;;')R~~ + (U1.-::;;')ROCE + (U1.-2)PESO

TI. ;- \)1.-::;;,= T::;;,

Conocida la velocidad 'del bloque en "C", es posiblecalcular la compresión necesaria de los resort.es en lapos í c í ón in ic iaL, Apl.icando el F'l'incipiodel Tr aba io y LaEnerg i a entl'e la posición í n í c ial ''/ "C".

ve: = 2,21 m/s

'( -- ~R"~, - \J [\6

RN + mg - m+ ~2:Fn - filan:

\/2

ÁS1. :

En "e":

La condición critica para que el bloque complete unavuelta sobre el rizo, es que la reacciÓn normal del rlZOen el punt.o "C" sea nula.

SOUJCION

UCAB-r::,:3

[2 _'---'-J..'~ - .-,\ .-. .....'.A .'_:_._=--=.~l.:. ,~. 6_~_:_

De donde:

Resolviendo:

valoT'essonNótese que tanto (X.)1 como (X9)~negativos. Volviendo a la ecuaciÓn inicial:

22l)B -

1 11

:"22donde:

iY 11,U3':~(H» <: XA) j.:2

111

le':>

(1): posición inicial del resorte(2): posición final del resorte

40 CnI. i 30 CI'IL,L Ll

RESORTE "B":RESORTE "A":

(I)'-Z)BES:

lJCAB'-64

RNo + mgeCos 60°) -+¡EF....- ma....:

\lO:::::

8

C()I'"IIJC idaSegunda Leynor-ma 1 •

la velocidad en "0", puede aplicarsede NewtQn a fin de calcular el valor de

la.la

Así: o + 42,1.5 - 17,66 - 14,72 = v02 Vo -- :3,1:::: mis"

(l)ROCE - 17,66 .J

= 1/2 (8000)(-0,1026)2+1!2(12000)(-0,0026)~- 42,1.5 .J

(8) Aplicando el Principio del Trabajo y la Energía entrela posic í ón í n í c ial y el pun to "0".

Así, en la posición inicial, el resorte "A" debeestar comprimido 10,26 cm y el resorte uSu, 0,26 cm.

UCAB-6S

Un bloque de 2 Kg de masa desliza sobre un planoh'Jl'izoni:..:;;')"y est.á conectado a do s r e-sort.es "A" y "B". Elcoeficiente dinámico de fricciÓn entre el bloque y elplano es O,20. La rigidez del resorte "A" es'0,15 N/cm yla r í g í cíez del l'eSol't~~"B" es ü,6!¿; N/cen. En la posicióninicial, el bloque se está desplazando hacia la derechacon una r ap í dez Ije ~j ,60 m/s, l'?} l'eS-Ol'te nA" e'::,L,~compr-ím ído 4.0 e m Y 1,'21 l'esr:!I'te"B" está .eLongado ,S~1cm. ::::':2pide calcular la velocidad del bloque después dedesplazarse 40 cm.

PROBLEMA .4.6

<: 1) No, e .(11) Si; 15~1 cm

SOUJCION

1

B

L

"1.1k35 cmh

K " 300 N/cm(1) h " 0-.80 m

(II) h " 3,00 m

Un bloque de 20 Kg de masa parte del reposo ycomienza a descender por un plano AS, idealmente liso. Acontinuación entra en un tramo horizontal Be, cuyocoeficiente de fricción dinámica es O,30. Determine si elbloque llega a hacer contacto con el resorte y ladeformación má x í rna qüe éste e>:pel'imental'la,en los casos:

PROBLEMA 4.5


I

UCAB-6f':,

(Al h = .s/2F~ + }.6(B) 21~

SOLUCION

~-------------------s------------------~

(S)L~ distancia del punto "e" a la cual caerá elsobre la superficie "BC".

bloque(A) La aLt.ur-a mínima necesal'ia "h" pera que elabandone la trayectoria en el punto 110".

y sur-ugosa , con un coeficiente de roce dinámico "JA." ~longitud es "S". Se pide determinar:

:3e deja en 1 í ber t.ad un bloque Ije masa "rn" en el punto"A". Las pOI'Ciones IJAS" y "CO" Ije la t.rayect.or- i.a S(jn d,;:::f'j\'ma par abóLí ca y Cil'culal', l'espectivamente, y sonide"dmente lisas. La por c í ón "Be" d,? la t.r ayector La es

PROBLEMA4..7

2,68 mIs, hacia la derecha.

SOLUCION

Un bloque ,je 2 Kg de masa es í mpu Laacío pOI' un r'e~.¡()r·tede rigidez 10 N/cm, en dirección a un rizo circularidealmente liso, de 2 m de radio. Para ello, debeatravesar un tramo recto horizontal rugoso) con Mk = O,3,de 3 rode longitud. Se plde determinar:

PROBLEMA 4 ..9

(A) 260 N; 300 N(8) 3,46 ni(C) (.7) ,5:3

SOLUCION

e

A ~ __ _g!!L __ ~

/ l'/ 1\2,,~,2m.. 30': '30' \

I ,I

E

(e) Si el tramo "DE" fuese rugoso, ¿cuál seria elcoeficiente dinámico de roce si el bloque recorie lamitad de la distancia calculada anteriormente?

pLanodicho

elde

por el bloque sobremedida a lCi largo

(8) La distancia recorrida"DE" hasta ,jetenel'se,pLano ,

(A) La fuerza ejercida por la superficie sobre el bloquet'?n los puntos "8" y "e".

Un bloque ,je 1';:' !(gde masa pa.I'tedel l'epOS() en unpunt.o "A", Y com í enza ¿... .:jeslí zar sCibl'e un r í zo sinfricción "AD", de 2 m de radio, como se indica la figura.Seguidamente, el bloque entra en un plano inclinado "DE",también carente de fricción. Se pide delerminar:

PROBLEMA 4.8

I

Un,7.{ cuenta de :'200 g (j,E:! maSa par'te del reposo en (.='dpunto "A") y com í enza a dl::sl iz.a r- a lo Largo de una gu í arigida e idealmente lisa. Se pide determinar la magnitud yel sentido d@ la fuerza ejercida por la guia sobre laCUenta ¡;?t""! el punt.o "BU dE la tr>a~/ectQf·ia.La guia. estácontenida en un plano vertical.

PROBLEMA 4. 10

(A) (1,413 m.(B) 2'3 N,

SOUJCION

'3111 (ZONA RUGOSA)j

ZONA LISA

/7// RIZO LISO

(8) Para la condición hallada, la fuerza que ejerce elrizo sobre el bloque en el punto "CH.

(A) La minima compresión inicial que debe tener el resortepara que el bloque dé una vuelta completa sobre' ell~izo ...

UCAfí-·69

60 cm60 cm

R=60cm.

( A) l_d 't/~ 1 IJ e i ,j.;(lj ,je 1 a e o f' !"' E',j€'l""' a en el pt,tn to 11E:11 •

(8) La \'elt)ciJja,j .je la C(Jl~l~eljer~a en el pun t,o /len.Ce) La distancia recorrida por la corredera hasta dete

nerse, medida a partir de "CH.

Una corredera de 3 Kg de masa se abandona partiendodel reposo en el punto "A" y desliza sin rozamiento en unplano vertical a lo largo de la guia mostrada. El tramo"AB" es circular, en tanto que el resto es recto yhorizontal. El resorte al que está unida posee una rigidezde A N/cm y su longitud natural es de 60 cm. Se pide,jetel'rllinar:

PROBLEMA 04.11

11,6 N.

SOLlJCION

60<:,.".

UCAB-70

CAl 7,18 mIs(8) 7,73 mis(e) 1,12 m

SOLUCION

I

UCAB-71

SISTEMA DE F'ARTICULAS

F'R1NC 1F'1O DEL TRABA-JO Y LA ENERG 1A.-----------------------_._----------------..., ,

ITEOREMA DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA I

_______J

UCAB-72

Esta ecuaciÓn tiene la misma restricción de la ecuaciónan t.e r- i o r .

EV~, es la sumatoria de las energias potenciales delas partículas en la posición final.

IV" es la sumatoria de las energias pot.enciales de..las partí cu les en la pos i cion í n í c í a L,

donde,

Consideremos una serie de fuerzas int.ernas y externasque actúan sobre un sistema de particulas, que se desplazaentre una posiciÓn inicial y una posición final. Si lasfue¡'zas e):tel'rlas·50n de t j po c:onsel'vat.ivo 1 se cumo 1'2 l asiguiente ecuación escalar:

TEOREMA DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA PARA UNSISTEMA DE PARTICULAS

La citada ecuaciÓn es válida sÓlo en el caso de quetodas las partículas del sistema estén conectadas mediantecuerdas u otros elementos inextensibles, o esténcontenidas en un cue rpo l'lgidO, ya q'-Je en d í cho caso eltrabajo total de las fuerzas internas es nulo.

ICU1-2)GXT, es la sumatoria de los trabajos de todas lasfl....tE:I'zaseJ:tel'nasque actúan sobl'e el sist.ema,entre las posiciones inicial y final.

es la sumatorja de las energlas cinéticas delas particulas en la posición final.

1:1"::<:,

es la sumatoria de las energías cinéticas delas particulas en la posición inicial.

Consideremos una serie de fuerzas internas y externasque actúan sobre un sistema de particulas, que se desplazaentre una posición inicial y final. Se cumple la siguienteecuaciÓn escalar:

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA PARA UN SISTEMA DEPARTICULAS

UCAB-7::::

Esta ecuación tiene la misma restricción de las doseCUaCl.OTfI.:?S¿~nt.el'iol'es.

EE2, es la sumatoria de las energías mecánicas delas partículas en la posición inicial.

~E1~ es la sumatoria de las energ1as mecánicas delas partículas en la posición inicial.

ICUNC)EXT, es la sumatoria de los trabajos de todas lasfuerzas externas de tipo no conservativo queactúan sobre el sistema, entre la posición yfinal.

dorn:ie,

ConsidereMOS una serie de fuerzas internas yexternas -conservativas y no conservativas- que actúansobre un sistema de partlculas, que se desplaza entre unaposición inicial (1) y una posición final (2). Se cumplela siguiente ecuaciÓn escalar:

PRINCIPIO GENERALIZADO DEL TRABAJO y LA ENERGIA PARA UNSISTEMA DE PARTICULAS

I

UCAB-74

Recordemos U~-;2 es el trabajo efectuado por todas lasfuerzas externas al conjunto en cuestión.

CALCULO DE 1)1.-2

Ti - 1/2 fl'tV1. :2 - 0- -T::;:: - J r-» mV;2 :2 = 1/2(2C))v;2:2 - 1ü \/;2:2- ., ~ -

:3e cumple que:

Como el problema pide la velocidad de la caja parauna posición especifica de ésta, el método adecuado desolución en la aplicación del Principio del Trabajo y laEnergla. Se aplicará dicho principio al conjun~~ formadopOI' la caja, el cable corto y la polea 11 1".

SOLUCION

B

lISO N

Una caja de 20 Kg de masa inicialmente en reposo selevanta por medio de una fuerza constante de tensión demagnitud 150 N, partiendo de la posición indicada. Se pidedeterminar la rapidez de la caja después de haberseelevado 0,5 metros. Despreciar las dimensiones de la caja'/ las poleas.

PROBLEMA 5.1

PROBLEMAS RESUELTOS

UCAB-7.5

1 ;- (2-:0~"Cos t3 =

2 - x

para tener en cuenta la variabilidad de 9. A fin deeva lua r- la í.nt.egra L, sel'á necesal' í o expl'esal'"CQS El" enf unc í ón de 11 x " . De a cuerdo al esquema an t.e r í o r-, tendl'emos:

(l)1-2)TG:N cosEl dxJ:O(2T

- 2

'"' J.

La expresión correcta es:

doJnde T = 1.s(~N, 6,); = 0,5m, e = 26,6°, donde 26,6° es elvalor de a correspondiente a la posición inicial de lacaja.'Es erróneo porque esta expresión trabaja con valoresde T y 9 consantes. Y, en este caso, a no ~c constantesino val'iable.

Seria incorrecto escribir:

(U1-2)TENSI:ON:

Asi:

7POSIC ION IN ICIAl

2",

,

UCAB-76

U\,I.I = - mgh = - ( 20) ( 9 ,:31 ) (0 ,.s) - - '3::;,H) .J

ET s. - ~,

[1]

Así, para el sistema se cumple que:

B ¡'50N

1m F1mT' 1,",'

Entre las posiciones inicial y final, las fuerzasactuantes sobre el sistema son indicadas seguidamente:

par adelel

Sin embargo, existe un método más apropiadoresolver este problema: la aplicación del PrincipioTrabajo y la Energía al sistema formado por la caja,cable corto, la cuerda, y las·dos poleas.

V:::;: - 1,76 mis

o - 98,1 + 129 = 10 v::;::::;:

P,) l' tant.o, la ecuación del Pr-Ln c i.pí o del. Tr ab a i o y laEnerg í a queda:

1 +(2-:,:):::;:I:Ü: - 129 .]

2-x

J:.G(l)l-::;:)TG:N - 2T ~ --------

Por lo cual, la integral queda como:

bloque 11 B", dI'?polea de masala 1;igul~a, ladel'echa, v el

sobre una superficie horizontal lisa, y el30 Kg de masa, está suspendido de unadespreciable. En la posición indicada.envelocidad de "A" es de 3 mIs hacia la

El bloque DA", de 150 Kg de masa, puede desplazarse

PROBLEMA 5.2

Este método nos ahorra el cálculo de la integl'alanterior, ya que las dos fuerzas de tensión lIT" aplicadassobre la polea "1" son internas al sistema considerado.

IV2 - 1,76 m/slPor tanto, ~::)lviendoa la ~cuación [11

U 1.Se.'" - 13(1 .]POI' Lo cual:

~si . d - 211 - 21:2. -

donde: 11. - ~ (2)2 + (1):2 - :'2 , :~4 m- -

~I

12 - (1,5):2+ (1):2 = 1 ,:30 m-

donde Ud" es el desplazamiento hacia abajo del punto deaplicación de la f ue rza "B". Y el vaLor de lid" es igual alacortamiento e):pel~í men t.adopOI~ la pOI~Cí ón en f orma de "V"de la cuerda, entre las posiciones inicial y final.

El trabajo de la fuerza aplicada de 150 N puede sere xpr-e s ado c omo :

U1G0:

XB

lJCAB-7:;::

T.~

Entre las posiciones inicial y final, las fuerzasactuantes sobre el sistema se indican a continuación:

Se aplicará el Principio del Trabajo y la Energía alsistema fOl'mado pOI' Los bloque s "A" y "B", la Cl..Jel'day lasdc.spo leas.

cuERDA IDEAL¡t/

SOLUCION

eabo(B) El trabajo efectuado por la cuerda sobre "A", aldel mismo desplazamiento.

(A) La velocidad de "B", después de que "A" se ha desplazado 1,5 m.

c-•.Jt::!resorte, de rigidez 5 kN/m, posee su longitud natural.pide:

I

\

UCAB-79

Así: 708,75 + 450 - 225 + 220,73 - 1/2C150l4(vB)22 + 1/2(30)(vB)22

Corno se deduj o an tes:

(U) l·.lB = 226),73 .]

cuando /lA" se desplazadesciende 0,75 m. Así:

1 , .5m, 6,XE;. =1 ,.5m hac ia

0,75m. Es decir,la dereche , "B"

Dado que

( t) )RES - - 22.5 Jek - .50100N/m

(U)500 - (500)(3/5)(1,5) = 450 J

Se cumple que: (U)WA = (U)NA = (U) F' = (U)T-= 0

ECU)exr: ICU)exT = (U)S00+(U)WA+(U)NA+(l)RES+(U)F'+(l)lT+(U)WB

ET 1 - 70:::;,75.].AS1:

A pal'til' de la cinemática del sistema: :r:A + 2xe - k [l]-6,):"" + -r-, 6, ;':JZ' = ~).!..

VA + 2Va - ~3-

Eh: ET1 = (TA)l + CTe)l = 1/2 mA (VA),.2 + 1/2 mr.~ (V[3)12

Para el sistema se cumple:

I

\

UCAB-::::I)

Tres bloques A, B Y C, de masas mA = me = 2 Kg yMe = lO Kg~ se encuentran vinculados mediante una barra ABde 5 m de longitud y masa despreciable, y una cuerdaideal. El sistema parte del reposo en la posiciónindicada, donde el bloque "8" se encuentra a 3 m porencima del nivel de 0-0'. Calcular la velocidad del bloque"e", cuando el bloque "B" ha descendido 7 M. Desprecie lafricción durante el movimiento.

PROBLEMA 5.3

~J)T = 19A, ,4:::: ,J

Así: 675+450-22S+(U)T = 1094,43

Se cumple que: (U)WA = (U)NA'= 0

(UA)'-2 = (U)500+(U)WA+(U)NA+(UR~S)+(U)T- 450 J-225J+(U)T

(TA), - 1/2 roA (VA)J.2 = 675 J(TA):;;: - 1/? roA (VA):;;:2 - 1/2(150)(3,82)2 - 1094,43 J

(8) Nótese que el trabajo de la fuerza de tensiÓn noaparece en el cálculo anterior, porque esta fuerza esexterna al sistema. No obstante, este trabajo aparecerá si se aplica el Principio del Trabajo y la Energlaa "A" o "B", por separado.

Par-a "A" :(TAlJ. ;- (UA)J.-2 - CTA):;;:-

500 N

(1) T ___ (2)I ll-----

1 ll..s",

..

xc

K1

ueA8-8l

F

e

N

Xe 1

Entre las posiciones inicial y final, las fuerzasactuantes sobre el sistema se indican a continuación:

Se aplicará el Principio del Trabajo y la Energía alsistema formado por los tres bloques A, B Y C, la barra,la cuerda, y las cuatro poleas.

Xc

SOLUCION

I

ueAS-82

Ek.;_ !:T2 - (TA)2+(TB)2+(Tc)2 - 1/2r(IA(vA)::;;::;~+1/21'(1¡;.(vB)2::;~+·l/2rnc(vc:)~

(U)WC = (2)(9,81)(-4) - - 78,48 JAS1:

1tan t.o , "B" dese iende 7 m,izquierda y "e" sube 4 ffi.

rúF'OI'hac í a la

En la posic iÓn inic lal . ):a - :3ft't .... -... - • De [ 1.1 ( XA) .- 4m. - 1. -En la posic í ón f inal ". =-4m _._- ;. De [\1] ( ;(A.) ::;:: -- 3m"'. Ec -.Po r' tan 1;..:• . 6XEc z, ( ):13) ::2 ( ••.• '1 - 4 - :~: .- '7 m. - ·¡¡·s", ~ - -

6XA - ( :;(A) :2 <: ):A) -- .~~; - .4- - 1.- ~ - - rn

r A]2\/c - \/A - \/:8

[:3J.-, A."::'~;Y:(~

- ct.e.- :Z:A -

[2JXAVA + ):¡;.V¡;. - ~)

(11

A partir de la cinemática del sistema se tiene:

Cá lculo de 6.xc:

- 1'1'1 .,:>,' A v ).Cc\·~ ....·c(U) !,;IC

Se cumple que: (U)WA = (U1NA = (UlNB = (U)F = 0

Para el sistema se cumple: IT~ -1- !(U~-2)~XT- ~ T2 [0]

UCAB-:;::::::

Realice ambos cálculos de manera precisa y con dosdec ima l es .

(B) La r ig i dez de 1 reSOl' te , si 12. cornp res iÓn IYláxir:"td, qU(';:sufre al detener el bloque es 15 cm.

CA) La velocidad de la corredera, justo antes de tocar el,"l~StJ \"te ..

f r í cc iór-.' po r una guf.a ve r tí ca l , La cOr'I'ederE.!. !:J¿~l't.e del.reposo en la posición indicada y es impulsada por unacU'E'I"da, sJ:Jbi'ela cual se apLí ca '..rna f uer-z a const.an t.eF = 200 N. Se pide calcular:

PROBLEMA 5.A.


Ped' tanto, sl.lstituyendü en la ecuación (O)

1 1 .-:. 7'-'t:egún (4) Ve - (VA + VE<)

_.( -,,1A + \/A) .- \/~- - --

:"2 ..... 4 ':.:...::. '.,'"

:t:A.-, .-,.:.' ..:'

~3-t=-gún r 2.1 VF-i - .....'A = \'A = \/A-:t:e <: -4) 4

I

I)CAB-:34

HBUEl trabajo realizado por el cable sobre el bloquecuando éste ha descendido 30 cm.

("P. 01oi.J,

(A) La velocidad del bloque "B" cuando éste ha descendido:30 cm.

Dos bloques de masas mA = .5 Kg Y ma = 3 Kg estánunidos mediante un cable inextensible que pasa por unapolea ideal, como· s~ indica. El sistema parte del reposocuando los bloques se encuentran a la misma altura.Despreciando la fricción en el sistema, se pide:

PROBLEMA 5.5

(A) .5,16 m/s(B) 64,:37 N/cm

SOUJCION

A

[.101!\.-=ro 10",0

LéOO

• / TOPE SINIV FRICCION

IJCAB-:35

8

40cm.

A

(11) El trabajo efectuado por la barra sobre el bloque"B", durante el mismo desplazamiento.

(1) La r-ap idez del bloque "B", cuando "A" ~Ia. descendido.s c m •

Dos bloques "A" y "B", ambos de 60 Kg de masa, estánl'estl'ingidos a ffl1::lVel'Sedentl'ljde guias sin l'ljzamienbj,CO~J se indica. Ambos bloques están conectados por unabarra de masa despreclable y 40 cm de longitud, y elbloque "8" está unido a dos resortes de idéntica rigidezk = .5 N/cm. En la posición inicial, indicada en la figura,ambos resortes poseen su longitud natural. Si el conjuntoparte del reposo, calcular:

PROBLEMA 5.6

<A) 1,92 mis(B) -:3,30 .J

·SOUJCION

40 c",.

B

I

\

UCAB-:36

~(

ellosella

sistema mostrado parte del reposo, estandoen su longitud no deformada. Las masas de"A" y "B" son mA = 50 Kg y mI;<= 200 Kg. Si

"B" l'eCOI'I'e1) ,2,5re'! hasta detenerse, haLla rdel resorte. Desprecie fricciÓn en el sistemalas p':) leas.

Ell'eSQ1'teb l oque sb l oquel'igidezmasas de

PROBLEMA 5.8

s ,77 m/,s

SOLUCION

~~~-------x------~r-

IIIIIII

o·~-----------·~~~~~--------~~

e

y

Dos bloques conectados por una barra rígida de pesodespreciable de 3 m de longitud, deslizan sobre guiaslisas, como se indica en la figura. Si "B" parte dell'eposo euando se en euen tI'.~j us to po l' deba jo dl'? "A",detel'rt)ina)'la ve loc idad de "B" cuando x = 1,8 ti). Las masasde los bloques son mA = me = 100 Kg Y me = 50 Kg.

PROBLEMA 5.7

f' ,52 rr)!S26,9 .J

(l)

(I1)

SOUJCION

I

UCAB-E:7

SOLUCION: 1,16 ro/s

3

L.;)s dos bloques "A" y "8" .je 20 Kg cada uno,representados en la figura, están conectados mediante unabarra rlgida de 500 mm de longitud, y masa despreciable.Los bloques pueden moverse a lo largo de ranuras lisas,conten idas en un plano ve rtical. En 1a pos ie i ón mostl'ada,el bloque "A" desciende con una rapidez de 0,2 mis, y elresorte está comprimido 100 mm. La rigidez del resorte esde 30 N/cm~ La f ue rz.a "F" aplicada al bloque· "B" esconstante en magnitud (260 N) Y orientación. Se pidecalcu lar- la veloc idad del bloque "A", cuando éste se hadesplazado 300 mm.

PROBLEt1A 5.9

SOLUCION: 1459,7 N/m

A

O,2m.

1r

I

l)(;AB-;::;:3

(8) La energía perdida por el sistema durante el mismodesp 1azam ien t.o .

CA) La velocidad del bloque "8", cuando el bloque "A" seha desplazado 2 ffi.

El cue r-po "A" de .50 Kg, Y el cuerpo "B", de 20 f(g,parten del l'eposo en la posición indicada en la figura,donde la fuerza de tensión que soporta el resorte es de50 N. La rigidez del resorte es de 50 N/m. El coeficientede fricción dinámica entre los bloques y los planos es deO,10. La fricciÓn desal'rollada en las poleas esdespreciable. Se pide detel'minar:

PROBLEMAS, 11

SOLUCION: 1,02 Nlm

B

~ CUERDA IDEALA

...

En la f igtrra se l'epl'esentanel bloque "A" de 1.5 ¡(g,el bloque "8", de 8 t(g,Y una polea de masa despl'eciable.La rigidez del resorte RL es kL = 750 ~/m. En la posiciónindicada, la tensión en RL es de 2.50N, la tensiÓn en R2es de 1.500N, Y la ve 1oc idad de "A" es de :3 mis hac í a laderecha. Se pide determinar la rigidez k2 del resorte R2,si el cuerpo "A" se detiene después de recorrer 120 cm .

PROBLEMA .5. 10

\)CI~B--:39

(B) La.ve loeidad de 1 b laque "E" cuando e = 75 o •

(A)La aceleración angular de la barra "AS", para e-60°.

En el sistema mostrado en la figura, la barra "AS" deMasa despreciable, puede pivotar alrededor del punto "A",Y está cone ctacía al blt:,.::¡ue"B" mediant.l=?una cuel'da ideal.La masa del bloque "E" es de 500 gramos. En el extrem9l í.bre de la bar-ra "B", se .encUt.~ntl'aun cue r-popequeN':J de1 Kg de masa. Cuando el valor del ángulo e es de 60°, labarra está girando en sentido antihorario con unavelocidad angular de O,5 rad/s, y el bloque "E" asciendecon una aceleración de 2 m/s2• Se pide determinar:

PROBLEMA5.12

(A) 2,40 mis(B) 7:::,.5 J

SOLUCION

8

UCAB--90

(81 La fuerza ejercida por el canal sobre el cuerpo "A".

(A) La vel.;:,cidad.delcuer-po "A".

Las masas de los cuerpos "A" y "B" son 15 y 7 Kgrespectivamente, y la rigidez del resorte conectado alcuerpo "A" es de 8 N/m. La fricciÓn desarrollada en todaslas superficies es despreciable. Es la posiciÓn indicadaen la figura, el cue r-po "A" se encuentl'a en l'eposo, juste)debajo de "8", Y la f ue rza de tens í ón en el rescr t.e es de60 N. Para el instante en el cual el cuerpo "A" pasa bajola polea "e", se pide hallar:

PROBLEMA5.13

CA) 4,7 rad!s2, antihorario(8) 0,21 mis

SOLUCION

E

B,(. ,\

AC:A8: 1m

I

UCAB-91

b

~CUÑAARTlCULACION

Dos bloques IIAII, de masa m, y "B", ,je masa t1, estánconectados mediante una cuerda ideal que pasa por unapolea de masa despreciable. Una cuna triang~lar, de masaM, está art í ccLactaen "O" y se apoya sobl'e el. bloque "A".Entre la cuna y el bloque el coeficiente de roce dinámicoes Mk, y entre el bloque y el plano horizontal la fricci6nes despreciable. Si el conjunto parte del reposo en laposición í ncíí cacía, determine la velocidad. del bloque "A"cuando llega al borde del plano horizontal.

PROBLEMA 5. 1.4

(A) 2,2 m/seB) 22 N, hacia arriba

SOLUCION

A

e..,o

IIIII

/

CUERDAIDEAl.

B

"L0,45111

I

UCAB-92

1,04 misSOLUCION:

R=lm

r GUIA CIROJLAR

A

Un collar "A" de 10 Kg, puede deslizar a lo largo deuna guia lisa en forma de cuarto de circunferencia que seindica en la figura. Conectados al collar, se encuentranun resorte de rigidez 10 N/m y longitud natural 1 m, y unaruerda ideal que pasa pOI' las polea.s "e" y "D" de rao ios ymasas despl'eciables. La cue rda vincula el co Ll ar- "A" a unbloque "B", de 10 Kg, el cual desliza sobre un planoinclinado rugoso, cuytJ coeficiente de rtJce dinámico es0,1. Si el sistema parte del reposo cua~jo el collar "A"está en el punto más elevado de la guia, se pide calcularla veloc idad del b loque "B", cl,..landoe = ~;';'O.. .

PROBLEMA5.15

)

I

UCAB-9:3

I POTENCIA y EFICIENCIA J

I

UCAB-9A.

POTENCIA DE ENTRADAe :::

POTENCIA DE SALIDA

det ine COi1h:Jsalida, queque debe se\"

La eficiencia mecánica de una máquina seel cociente o razón entre la polencia deent.l'ega la máquina, y la pot.enc ia de entl'ada,suminIstrada a la máquina.

EFICIENCIA

dl)l')d(~ V G'S la velocj.dad, en Uf, i.nstant..e (1a,jo, dI? _lapartlcula sobre la cual actúa la fuerza no equilibrada F.

I P_-_-_F_"_V_._.;

"pot.enciaEs posible t.ambién escriblr para lainstantánea" la siguiente expresión:

dtp -

dI)

.':3i considel'amos '..In í nter va Lc 6.t infird.t!~si.rlla.l, esdec í r , un d t , t.endl'em'Js entonces la "potencia instanttinea"CQmQ~

_.61} J6t

F' ::

Se def;ne el tél'(Ii;no "po t.enc í a" COrll.;) )C{ r ap ide z o elrit.mo COI", el cual se l'ealiza 1••1r! tl'abajo, esto es, l¡J,cantidad de trabajo ejecutado en la unidad de tiempo. Así,la "potencia promedio" generada por una máquina o motorque eje.;::ut3 una cant í dací .je t.r aba.io .6u en un l~\pso .6t-:;e,"tf,. :

POTENCIA

UCAB-95

Las fuerzas de fricción que se generan internamenteentre los elementos móviles de una máqlJina, ocasionan que~oda la potencia de entrada a la misma no se convierta enpotencia de salida, debido a las pérdidas energéticasinherentes. Por esto, la potencia de salida siempre ~~menor que la de entrada. Asi, ]a eficiencla de una máquinasiempre es menor que 1.

I

UCAB-96

=

Como la velocidad de la caja es constante, suaceleración será nula, por lo cual el DCL de lacaja durante cualquier instante del ascensosel'á:

La caja asciende con rapidez constante "v":(CAS;O 1)

SOUJCION

I /NIVEL·INICIAL·DE LA::"JA

---------- ---_.

f

(CASO 11) La caja asciende con ac elerac í ón constant.e "a".

(CA:301) La caja asciende con r ap icíez cons t.an te 11v" .

Un motor eléctrico se emplea para elevar una caja demasa "m" a una alt.ura "h" slJbl'ec í e rto nivel inicial, enun lapso "6t". La eficiencia del motor es "e". Se pidedeterminar la potencia que debe ser suministrada al motoren los siguientes casos:

PROBLEMA 6.1

PROBLEMAS RESUELTOS

I

!JeAS-97

F's -mgh I~t J

t.....____

de donde:

v -h

Como el movimiento se efect~a con rapidez constante,se cump l í r a que:

-_F.V = TvP~ -=> -

La potencia instantánea que debe entregar el moto\' enun instante cualquiera vendrá dada por:

-Ps -mgh

de donde:

,6.u = Th = mgh

donde 11 f:j,I)JI es el t.r-ab a.io total r ea lIzado po r- el motordurante el lapso 11 ~t". Nótese que d í cho t.r abe io no es másque el efectuado por la fuerza de tensiÓn del cable. Asi:

_~_~_'J-F's -

La potencia promedio que debe entregar el motor, opotenCl& promedio de salida durante el movimiento, vendrádada pOI':

Asl, para todo instante, la tensiÓn es igual al pesode la caja.

T = mg

T - mg = ~~As 1, se tendl'á

UCAB-'3:;::

T - m(a+g) IL- _j

T ". mg - rll.:;"(~s i , se terll:h'á:

=

El DeL de la caja durante cualquier instante delascens() sel'á:

(CA::::;OIr) La caja asciende con a.ce Ler-ac í ón consante "a":

Nótese que en la medida en que la masa de la caja ola alt.ura de elevación aumen ten , la potencia de entl'ada almotor debe aumentar, como es 16gico pensar. Asi mismo, enla medida en qUI~ el lapso de eleva.cí ón 11 ,6.t.".di'Sminuye, lap,;=¡tenc í a de entl'ada al moto)' debe también aumenta)', ,¡'aquedebe realizarse el mismo trabajo en un tiempo menor.

Pe ::Potencia de entrada(promedio o instantánea)

rngh

AS1) et"1 este caso:

PsPe = _-

e

Así, la pot.encia que debe suministra\~se al mo t.or , opotenc ia de en tl'ada sel'á:

Nótese que, en este caso, la potencia de salidapromedio es igual a la potencia de salida instantánea (Escomo un automóvil que se desplazase a velocidad constante:la velocidad media durante un recorrido dado es igual a lavelocidad instantánea para to~o momento de dichol'e·corl'idoJ.

UCAB-'39

Un tren, cuya masa total es 500.000 Kgs parte delreposo y comienza a acelerar uniformemente hasta alcanzaruna velocidad de 90 Km/h en un lapso de 50 segundos. Unavez alcanzada esta velocidad, el tren continúa viajandocon velocidad constante. El tren se desplaza sobre una vía

PROBLEMA6.2

ee~tPe -Pe - ff,(a--toos) vm( a-I-g)h

Aplicando la definición de eficiencia, las potenciasde entrada (promedio e instantánea) se~án:

Nótese que en este caso la potencia instantánea desalida es una variable, pues depende de la rapidez "v" dela caja. De hecho, esta potencia se incrementa con eltiempo, en la medida en que se incrementa "v".

f's - m(a+g)vAe f •-..

-_F's = F.V = Tv

La potencia instantánea de salida, para un momentocualquiera del movimiento vendrá dada por:

p.:¡ = m(a+g)h

pOI' lo cual:

~U - Th - m(a+g)h

F's -

fuel'za dede sal ida

Nótese que, durante el movimiento, lat8nsión es constante. La potencia promediodurante el movimiento vendrá dada por:

I

Escribiendo la 2a. Ley de Newton:

La fuerza "F" es ejercida por la via sobre el tren.Esta es precisamente la fuerza de tracción que impulsa altren en su movimiento. Esta fuerza se origina ~omoreacción (3a. Ley de Newton) contra la tendencia alrodamiento de las ruedas sobre la via. Y dicha tendenciaal rodamiento es provocada por la máquina del tren. Demodo que la máquina impulsa el movimiento del tren, através de la reacción de la via sobre éste. A esta fuerzase opone una fuerza de 15 kN, constante, originada por laresistencia al movimiento.

F

=mo

( +

Durante esta etapa, el DeL del tren en conjunto será:

6V 25-0a - - - 0,.5 mis::;'- - -

6t S¡;)

la. Etapa: La aceleración constante que experimenta eltren entre t = 0 y t = 50 s, viene dadaPOI- :

la. Etapa: Movimiento con aceleración constante, entret = 0 y t = 50 s.

2a. Etapa: Movimiento con velocidad constante, det = 50 s en adelante.

CA) El movimiento del tren puede dividirse en dos etapas:

SOLucrON

(8) Hallar el trabajo efectuado por la fuerza total queimpulsa al tren, entre 0 y 50 segundos.

CA) Hallar la potencia de salida requerida de la máquinadel tren, como una funciÓn del tiempo.

horizontal, y la fricción en los ejes y la resistencia alrodamiento producen una fuerza total de 15 kN en ladirección contraria al movimiento. Se pide:

I

UCAB-].I;'].

P = Fv - (15)(25)

Es decir, en t = 50 s, la fuerza de tracción "F"disminuye bruscamente de 265 a 15 kN, Y se mantiene constante de aqui en adelante. Así, la palencia instantánea apart i l' de t = .50s verrdrá dada PI;)I':

F = 15 kN

F - 1.5 - 0~F - ma:

F

o( .jo

2a. Etapa: Una vez llegado el instante t = .50 s, eltren mantiene una velocidad constante de 25mis. Durante esta etapa, el DCL del tren enconjunto sel'á:

Nótese entonces que en esta la. Etapa, la potencia esuna función lineal del tiempo (por cuanto la rapidez loes) .

P - (132,5 kw/sltpOI' 1,;) cual;I

v = Vo + at = 0,5tdonde:

P = Fv

As[, la potencia instantánea entre t = 0 y t - 50 svendr-á dada p.:JI':

F - 265 kN

F - 15000 - (500 x 10~>(0,5)EF - ma:

UCAB-102

Seria errÓneo decir que esta cantidad es el trabajoefectuado por la fuerza de tracción "FU. Esto es así yaque al despejal" "1)1-:2", se ob t í erie el t.r aba j o de t.ocía.s lasfuerzas que act6an sobre el cuerpo en cuestión. Así, estetrabajo incluye tanto el trabajo de la fuerza de tracciÓn"F" como el correspondiente a la fuerza retardatriz de 15kN. Así:

T1. + U1.-:2 - T:2-0 + 1)1.-2 = 1/2(50~j ): 10:::') (2.5)2

t)1.-:2 - 1.56.2.5'3 k.J-

(ii vial El Principio del Trabajo y la Energía entret = t;, y t - 5~)s se pue,je escr- ibi r COUlO:

- 1';'.5.62.5 k.J(132,Stldtu = e Pdt

(i vial El trabajo pedido será numéricamente igual alárea bajo la gráfica potencia versus tiempo,entre t = 0 y t = 50 So Asi:

efectuadoy 50 s.difel'en-

(B) Se desea cal~ular seguidamente el trabajopor la fuerza de tracción "F" entre t = 0Podemos realizar este cálculo de dos formastes:

~----------~~----~------ t(S)o

_.-------------------------

P (I(W)

Graficando los resultados obtenidos:

UCAB-103

(8) La potencia que debe ser suministrada al motor, en elinstante en que ha cubierto la mitad del recorrido.

CA) La potencia media que debe ser suministrada al motordurante el movimiento.

Un motor eléctrico se utiliza para elevar una caja de50 Kg de masa a lo largo de una rampa, como se indica enla figura. La caja parte del reposo, y alcanza una rapidezde 5 mis, después de haber recorrido una distancia de10 ffi. La eficiencia del motor es del 75%. Se pide hallar:

PROBLEMA 6.4

SOLUCION: 7870 Vatios

Un ferrocarril de 106 Kg de masa total asciende poruna vla recta, con una rapidez constante de 32 Km/h. Lavía tiene una inclinación del 2%. La resistencia alrodamiento puede ~er exp~esada como 5 Kgf por tonelada depeso del tren. En cierto momento, el tren comienza aacelerar uniformemente, hasta alcanzar una rapidez de 64Km/h, al cabo de un recorrido de 600 m. Se pide determinarla máxima potencia que desarrolla la locomotora durante lafase acelerada.

PROBLEMA 6.3


(U,_2lF = 165.625 kJpor lo cual, despejando:

(U'-2)ROC~ = - (15000)1/2(O,5)(50)2 - - 9375 kJ

U~-2 = 156.250 kJdonde:

r, "~'7" , ..._ t

.5 ~9 Vat i ':ISCA)(8)

SOLUCION

(8)Suponiendo el valor calculado anteriormente, determinela potencia que debe ser suministrada al motor, a finde movilizar la carga estipulada.

CA) Hallar el valor del mínimo cQeficiente de roceestático que debe existir entre la cinta y lospaquetes, para que éstos nos deslicen sobre la cinta.

U~a cierta transPQrtadora se emplea para elevarpequenQs paquetes de un nivel a otrQ, con una velocidadcQnstante de 27 m/min. La cinta debe movilizar simultáneamente 4 paquetes, de 1 Kg de masa cada uno, separadosCO~íI,:,(ení entemente. La e inta es ace í onada pOI'un rf.C)tol',cuyaeficiencia es del 80%.

PROBLEMA 6.5

(A) 1190 Vat í os(8) 1680 Vatios

SOLUCION

UCAE-lOS

pal'a eleval'tj.t:::neuna

la potencia que debe ser suministrada al motorla plataforma, en el Instante en el cual éstavelocidad de 1 m/s.

Un motor "M" mueve una plataforma de 100 Kg de masahacia arriba~ con una aceleraciÓn constante de 1. m/s2,mediante el arreglo de poleas y cuerda indicado en lafigura. La eficiencia d~l motor es del 75%. Se pide hallar

PROBLEMA 6.7

(A) 13770 lb.pie/s(8) 161 pel'sona.s.

SOLUCION

(8) Hallar cuántas personas pueden ser movilizadas porm í nu t.o .

CA) Hallar la potencia promedio que deben desarrollar losmotores de la escalera durante el movimiento.

Una escalera eléctrica transporta usuarios haciaarriba~ moviéndose con una rapidez de 4 pie/s. Entre laentrada y la salida de la escalera existe un desnivel de30 pies, y una separación horizontal de 60 pies. Laescalera debe movilizar simultáneamente a 45 personas,cuyo peso pl'omedio-es de 1.70 1Lbras . :3e asume ql..te laspersonas se sit6an de forma equidistante sobre laescalera. Se pide:

PROBLEMA 6.6

I}CAB-106

SOLUCION: 0,224 hp

d

Un motor eléctrico enrolla una cuerda 'ideal a unarazón constant-e de 3 mis, a f in de eleval' una caja de 5 Kgde masa. Se pide hallar la potencia que debe desarrollarel motor, expresada en ~hp~, en el instante en el cuald = 2rl'l.

PROBLEMA 6.8

SOLUCION: 1440 Vatios

UCAB- H>7

'---'---lMOVIMIENTO LINEAL ¡

._Jr. PRINCIPIO DE !MPULSO y CANTIDAD DE

I PARTICULA

-EFdt, es el impulso lineal de todas las fuerzasque act~an sobre la particula, entre losinstantes inicial y final.

~11-:2

es la cantidad de movimiento lineal de lapartícula en la posiclón final.

~ -L::;: - mv::o:,

dees la can t í oad de movimiento 1i r.eaIpartícula en la posición inicial.

-mV1,~ ~ ~L1 + r 1-:':;: = L;:;;:

~EF, que actúan sobre una partícula entre dos instantesy t;:;;:.Se cumple la siguiente ecuaciÓn vectorial:

fuerzas, cuya resultantedeuna sel' ie

PRINCIPIO DE IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL PARAUNA PARTICULA

r;-;2 = r';;;; F.ji..v -1:.1

que se trata de una cantidad vectorial. Así,lineal total efectuado entre una posición

y una posición final (2), será:

Nóteseel í mpu l aoí n í c í e I (1)

- -dI = Fdt

u'r:·::.• 1"",,,s()b'"'ed i.f' e'·'corno

-una fuerza F que actÚaun lapso "dt". Se define

lineal dI a la cantidad:

Con-s ide r-emo spartícula duranterer.cia1 de í rnpu1so

IMPULSO DE UNA FUERZA

UCAB'- U39

La aplicaci6n de la Segunda Ley permite determinar laaceleración del bloque como una función del tiempo. A finde hallar una expresiÓn de la forma v = f(t), recurrimos ala ecuac IÓn di f eren c.í a l dv = a dt. As f :

mL _.a =.---- "

__+~ ....EF '" = ma",:

Primer Método: A través de la Segunda Ley de Newton.Ent.re 11:1sinstantes "(:)",y "t", el d iagrarnade cuerpo libre del bloque será:

SOLUCION

.;;, se ;;, <4 ;>; 4

Un bloque de fI\asa"m" se desplaza con vele>cidadconstante "vo" a lo largo de una mesa horizontal eidealmente lisa. En un momento dado, sobre la particulacomienza a actuar una fuerza horizontal F, cuya magnitudviene dada por la expresión FCt> = 6t&, en la mismadirección del movimiento. Hallar la velocidad del bloqueal cabo de un tiempo "t" .

PROBLEMA 7.1

PROBLEMAS RESUELTOS

UCAB-ll0

fal\' <:> + t c. - rnv !v = v.:-_ -1- _.:.G JL_..__ ._.__ . ~~:...._.__

ASl :

L1 - mv.,L::.: - mv

L1 + 1.1.-2 - L2-rt.. f~-

11-2 - J~ F(t)dt - 6t..s - te$.- - -J .""

( ---'-I:....-~)

Como las velocidades inicial y final, y la fuerzaFCt) son paralelas todas a una misma dirección, podemosescribir la ecuación en forma escalar:

- - ~L1 + 11-2 - L;;:::;e eump Ie que:

-------(2)(1) -----

En este caso, entre las posiciones inicial y final:

y Cantidad deSegunda Ley,

a tl'avé'5 del

Recordamos que el Principio de ImpulsoMovimiento es una ecuaciÓn integrada de laque relaciona la velocidad con el tiempoconcepto de Impulso de una Fuerza.

ImpulS(JSegundo Método: A través del Principio deCantidad de Movimiento.

\' - \'0 +t,,·

dt6tGL dv = [

instanteIntegrando entre'el instante inicial, y unpo s t.e r- í or- c ue Lqu í er a .. t," :

dv - 6tG dt

dv - a dt

UCAB-·lll.

[1J- -LJ. -t- 11-:;~ = L::;;:

Se cumple así que:

El problema pide la velocidad del bloque para uninstante dado, y se conocen las fuerzas act4antes comofunción del tiempo. El método adecuado de solución será elPrincipio de Impulsa y Cantidad de Movimiento.

SOLUCION

20

I1I

10 1_____ -

tI,)o 6

Fl301----- ,

1I

F2

F(N)

Un blQque de Aú Kg de masa se está desplazando haciala derecha con una rapidez de 1,5 mIs, cuando es sometidoa t'S. acción de las f ue rzes FJ. y F:;:,mt!diante el 31'1'eglo:;,decuerdas y poleas indicado. Los módulos de F1 y F~ varian alo largo del tiempQ de acuerdQ a las gráficas mostradas. \Se pide determinar la velocidad del bloque para t = 6segundos. Desprecie toda fricción y masa de poleas ycue r da s ,

PROBLEMA 7.2

En este segundo método, el paso intermedio de buscaruna r e Lac i ón de la ac eLe rac í ón "a" CQn el tiempo tJ tlt, pa raluegQ integrar la ecuación dv = a dt, ya está implícito enel método de solución.

IJCAB-112

Un bloque de 100 Kg de masa se encuentra sobre unasuperficie horizontal. El coeficiente de roce entre elbloque y la superficie es Ms = Mk = 0,50. Sobre el bloquese aplica una fuerza que es funci6n del tiempo P = 50t +SC)0,don,j,?"t" se mide en segundos y "P" en nel.'.·t,:;¡ns.En elinstante inicial, el bloque se encuenlra en reposo. Sepide determinar la velocldad del bloque en el instant.e

7 -::.• -.JPROBLEMA

Nótese que esta última ecuación equivale a escribirEFy = c)

Ü + N6.t - t",1élt - Ü - --- - ;. [ N = W - :392,4 N

Si se escribe la ecuaciÓn [11 según Y:

Así: (40)(1,5) + (4)(140) - 140 - CA0)v::.;: ---) Iv::;: - 12 mlsl

140 N.sdt - 14C) N.s r"· F::.;: dt. =" C>

ro:.

F1,<>

impulso sont, pal'a F 1 Y

Los valores de las integrales deevaluados como el área bajo la gráfica F vs.F::;:. As;.:

Repl'esentando gl'áfí camen t.eesta ecuaciÓn ve e tell'ial :

-Wlit

-mVl --+ - mv2JF2dt --

4JF;"dt

"lit

Asi, según ): :

roO J:( + ) mV1 + 4 F1 di..- F;:;: dt - mv:;;:-, o

UCAB-113

Como se observa, para t = 0, la componente horizontalde F'es í nfe r- iOI~ a la f ue rza ,je roce está tic a 1 í m i. te, . pOI'

Fs = MsN = MSepy + W) - 0,5(O,6 x 500 + 981) = 640,5 N

en tanto que la fuerza de roce estática limite es:

F'N = (O,8)(.50 x 0 + 500) = 400 N

F'orotra parte, observamos que el bloque no comienzaa moverse desde t - 0. Esto es asi porque en esteinstante, la componente horizontal de Pes:

-Nótese ~=lue~n l'azón de q!...leF'es de mócíu 1o va,'iab 1e ,los mÓdulos N y Fr también lo son.

+ -rnvz4

Representando gráficamente esta etuación vectorial:

- ~ -Ls + IS-2 = L2 [1]

De nueva, el método más idóneo es el Principio deImpulso y Cantidad de Movimiento. Se cumple que:

SOLUCION

t, - 1.5s.

IJCAB-114

Nótese que, por las razones antes descritas, habriasido el'l'6r..~·(j pLant.ear las integrales def inidas en t.re () y15 s, como podrla pensarse es correcto.

o + 4801 - 4439 - (100)v2 ----) t:' -.,:.c'-:~r' IS: - '-', ~~,~=-..1Así:

4439 N.sf16

= I ¡'J ,S(30t + 1281)dt. -~ 9 .. G.:;::

[

1S

J.H:: N dt,v 9 ....2

Donde:

)<: +

Asl escribiendo la ecuación [1] según x:

bloquef ue r z a

ETAPA 11: Entre 9,62 y 15 s, durante la cual elcomienza a moverse, y sobre él actúa lade roce dinámica.

permanece en reposo.bloqueelcualy 9,62 s, duranteETAPA 1:

Por tanto, el movimiento del bloque consta de dosetapa.s:

I t - 9,62 s 1

0,8 (S0t + 500) - 0,5 (30t + 1281)

F'x - FsEn dicho instante:

N - W - 0,6P = 0 ---) N = 30t + 1281

Podemos escribir, para cualquier instante:

+ t EFy = 0:

¿Cómo determinar este instante~

lo cual el bloque no se moverá; deberá transcurrir uncierto tiempo hasta que Px alcance a Fs, instante a partirdel cual el bloque s1 comenzará a moverse.

\.leAn - 1 1 !.')

El signo negativo de la aceleración indica que, apartlr del instant.e inicial. el slstema experimenta un

T - :317 NDe (1) y t 2)

(21.....o-

" .h. [ 11F'ól'a

(.'~sí :

, 1""We

~_--T-tFK MOV

NA

A·

Previo: Consideremos pri~ero el caso en que P - ~. En estecaso, durante el movimiento~ los diagramas de cuerpo lihresel'án:

SOLUCION

B

)..{s - ].ü:: .- (l, 40p

Un sistema está formado por los bloques A y B, demasas mA = 100 Kg Y me = 30 Kg, conectados mediante unacuerda ideal, como se indica. El coeficiente de fricciónentre el bloque A y el plano horizontal es O,40. Sobre elbloque A act6a una fuerza horizontal vari~ble P - Kt~,,jc¡n,jt_.It t 11 se expresa en segur-I.:I'Jsy "F''' en ne'J.'t.'Jns. F'al',"..~t = 0 (instante inicial) la velocidad de A es de 2 mishacia la derecha. Se pide hallar la velocidad de A para t= 5 s en los casos en que: (A) k = 15 (8) k = 3.

PROBLEMA 7.4

I

I,lí"At:;-l 1e,

MOVT

En el caso real que nos ocupa, tenemos el bloque Acon una velocidad de 2 mis hacia la derecha y, durante losinstantes iniciales del movimiento, el siguiente DeL:

t =2,675v=Q

--- }

MOVIMIENTO TEORICO(FI5ICAMENTE ABSURDO)

-- } .O viO""TO "EA'

t = 2,675v=Q

t = Qv:2

Asi, a los 2,67 s, el sistema se detiene. Nótese, noobstante, que si en esta última ecuación sustituimosvalores de "t" mayores que 2,67 5, no obtenemos valores develocidad nulos (coma podría pensarse) 1 sino negativos.Esto querría decif que, una vez que el sistema se detienea los 2,67 s, comienza a moverse en sentido inverso,indefinidamente. Esta segunda etapa del moviwiento,evidentemente, -es físicamente absurda. Ocurrirla si, unave::::: deb?nido el sist¡;:·ma,la f uerz.ade roce d í n ám í ca Fkcontinuase actuando sobre A, obligando al sistema arf:':jVe1'<",;t? en <;;entj_doopuesto. Esto no OCUI'I'e_

o - 2 + (-0,75)t ----; t = 2,67 s

\/ - \/c" ..... a t.

movimiento de frenado. Si queremos calcular el instante enque se detiene, podemos escribir:

/

Ur-AB-117

Calculamos ahora la velocidad del bloque A en esteinstante, a través del Principio de Impulso y Cantidad def1c.v í fI'I j_ en t.,=: :

t - 2,.56 51Así:

T - ürflgg -.......o.

~:_T

A,:

para quee ce le r ac íon

el tiempo necesarioesta condici6n, la

pi' imer o"Fk". En

D·~tel'minemos"P + T" alcance ade A y B es nu].a:

(CASO A) k = 15:

Es t.ud íerno sdel prob lerna =

(11) Oue el bl':Jquese detenga antes de que "1:' + T" alcance.;:)."Fk". En este caso, una vez detenid:., t r-anscur ri t-éen estado de reposo el tiempo necesario hasta que "P+ T" ~lcance la fuerza de roce est~tica límite "Fs"(igual en este problema a Fk). A partir de esteinstante, el bloque reiniciará su movimiento convelocidad creciente. Así, existe un lapso de reposo.

(1) Gua "P + T" alcance el va lor-de "Fk " .. ant.es dE! qt.!eelbloque se detenga. En este caso, a partir de dichoinstante, el bloque comienza a moverse con velocidadcreciente. Así, no se detiene en ning~n momento.

Pueden así ocurrir dos cosas:instantes el movimiento de A es desacelerado.

Como en los primeros instantes P es muy pequena,F' -1- T sel'á r(II=:t":ol' que Fk , 'POI' lo c' ....ia I dUl'ant.:: est.os

I

UCAI3-11::;:

Ve1ucjdad en t - b sAs 1. , de [,51y (6)

"rclt -[

15

1["·-,,-,.:J.:"¿ -

\ C>

[ f6mJ::.vj. + u_ledl - I T,jt = rftR \l::,;:le,

I

Tdt - 11~:':7 -As).:

f~.}""

ldt --+- »)(

Par a A:

\.te1'1\0S a<;i que cuandQ "F + T" alcanza a "Fk""; el.bloq~e a~n no se ha detenido. Podemos ahora calcular conseguridad la velocidad para t = 5 s.

V2 - 10,7t4 mis]A~ r : de [3 J Y [.4 J

r. ti)f :'<:'6"" T,'.jt -Así: 81S,Al - 30 V2

. .::..

f·~.GG ¡z.GG

W~dt - TdL =Jo \,!'O'

Tdt - 7210,6.5 :=[:::: JAs i :

('2.6<",

I fk,::-lt -,-J~ [

:.<:. Gli"lSV:",j"\.

\.: .::-..1\::;:. sa.

-r,jt -J e,

(

I

Estos resultados aparecen porque en la aplicación delPrincipio de Impulso y Cantidad de Movimiento (esinevitable) se supone que la tuerza de roce dinámica Fkest.é. p\'8sente todo el tiemp'J. Esto ,ja lugal~ a que pasealgo similar a lo que ocurría para P = 0: una etapa demov í m í en to materfláticaOlente cor r-ect.a , pe ro f í a í cemen te

Ah.jl'a bien, ¿qué significado tiene la velocidG'.d ,jeO,88 mIs obtenida anteriormente para t = 5,71 s, y el

tiempo de 8,13 s para v = 07

ETAPA 1 ETAPA 31---l

'>5,71Sv"," o

'~{2,S9, 5,71}sv: o

t -: ov : o

Asi, la ETAPA 1 está comprsndida entre t = 0 yt - 2,89 s, y la ETAPA 2 (de reposo) está comprendidaentre t =.2,89 y t = 5,71 5. Lógicamente, la velocidadpara t = 5 s (pedida en el enunciado) es nula.

~ - 5,71 sAsí, se obtiene:

F'al'a"Bu

3t2 + T - Fs = 0Pá.\' .3. " {~" :

~lsi, a pal't i \' de es te instan te, el bloque se detiene,iniciándose la ETAPA 2 del movimiento. Calculemos ahorael instante que cOl'l'esp';:,ndeal trnal de es t.a segundaetapa. En dicho instante, se equiparan los valores deup + T" Y de la fuerza de roce estática limite Fs. En estacc,ndición:

Así, el bloque se detiene para t = 2,83 ó 8,13 5.Como se comprenderá con claridad más adelante, la soluciónfísicamente válida corresponde a t = 2,89 s.

t - ::;,1:3 st --- 11 sAs!, de (7J y [::::]

I

UCAB- 1.:-,'1

unaEnp, ,El

Una partícula de 7,3 Kg de masa se mueve segúnlinea recta horizontal con una velocidad de 2,44 mIs.c iert.o inst.ant.e, se aplic.a una fue\'za hOI'izont.a.lperpendicular a la dirección inicial del movimiento.módulo de P varia seg~n el gráfico adjunto, en tanto quesu orientaciÓn permanece constante. Se pide hallar lavelocidad del cuerpo para t = 2 s, y el ángulo que éstaforma con la dirección de la fuerza P.

PROBLEMA 7.5


Así, el bloque parte del reposo para t = 0, e iniciaun movimiento hacia la derecha, hasta detenerse ent - 2,89 s. Este lapso, como ya vimos, es físicamentecorrecto. No obstante, matemáticamente, el bloquecomenzarla inmediatamente un movimiento hacia laizquierda, hasta detenerse de nuevo en t = 8,13 s. y apartir de este instante, vuelve a moverse hacia laderecha, indefinidamente. Este lapso es físicamenteincorrecto. SegÚn dicho lapso, para t = 5,71 s, el bloqueestá en algún punto del tramo*, (donde la velocidad tienesigno negativo), y para t = 8,13 s el ~loque está enreposo. Estos resultados correspondientes a este segundolapso, no tienen ninguna validez fisica.

t:"8,13v s o

t = 8,13v=o

t =2,89sv = o

t =8,13 sv=o

MOVIMIENTO TEORlCO(FI SICAMENTE ABSUROO)

g--.t = 2,89 sv = o

t = ov =0

elsiabsurda. Es decir, estos resultados se obtienenmovim~enlo hubiese sido:

I

A Y el plano horizontal es MS = Mk = 0,20, y entre B y elpiano es Ms = Mk = 0,25. be p,de hallar la velocidad de B:3 segundos ,jespués de eQfliet"lz.ado el rnov í r¡'tiE'n t.o 2-, pa l' t. i l' dt:'!1I'eposo.

conectado al.cuel'dF.~ ideal.,....f' i e e i ISt-, ~'t-,t. \"'.2

El bloque A, de 120 Ke de masa, estáCl1el'pO B~ de 40 Kg de mas;:-.~ rr'lI'?dianteunaincl.í nacía como se ü,dic.;:(.El coet j e j,ente ,je

PROBLEMA 7.7

SOLUCION: 14,25 mIs, hacia la derecha.

p300 N ~~~ ..

Un bLoque de 12 Kg de masa se encuentra sobre unplano horizontal. El coeficiente de roce entre el bloque yel plano es gs = Mk = O,2. Sobre el bloque se aplican unafuerza de 300 N Y una fuerza de m6dulo variable definidapor P = 250 + 150 t, donde "t" se mide en segundos y P ennewtons. El bloque se encuentra en reposo en el instantet - 0. Se pide calcular la velocidad del cuerpo parat. :.: 2 s.

PROBLEMA 7.6

SOLUCION: 3,9 mis; 38,70

o.__-----~----1I--+----tes)l.' 2

,I1

1 II I

\----¡----II 1I II II II '

0.9

1.8

P(N)

I

UCAH-124

CA) 10,2 segundos(8) FA9 = FDC ~ 6540 N.

SOLucrON

- __ 1- _ _\:-!o- .:4 .. r,--:" ." - ... ,." ••• ~ "-. t " ,. _' -. .,;.. •• _ _ " • ~ o•• .....r.~. ".,., • l'

cada acoplamiento(8) Las fuerzas que se ~eneran endurante el frenado.

(Al El tiempo que tarda el tren en detenerse.

Un tren formado por tres vagones Viaja con unavelocidad de 72 Km!h sobre una via plana y recta. Cadavagón posee una masa de 10000 Kg, Y el coeficiente defricción dinámica entre las ruedas y la via es Mk = O,20.:3úbitament.e, se aplican ].,:)S'fl~enosde los vagones HA" y"C" , hac í er.do que pat.inen sob re la v í a . :::;;12 p idedet.e¡-r,cina¡-:

PHOBLEMA 7.1f)

11.9 mIs hacia la derecha.SOUJCION:

o

A

t (s)4

50

P (N)

pBe

I

UCAB--12!';:,

¡-;'RINCIPIO DE It1PULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTOLINEAL

L_ SISTEMA DE PARTICULAS

I

UCAB-126

la cual expr'es.3.que la cant.í dací de movimiento]. ínes l total.del sistema es la misma en los instantes ti y t2, esdecir, se conserva igual entre dichos instantes.

Cuando l~ sumatoria de los impulsos lineales de todasJ.~l~~ fl_~!2J"';::ase:z:tl?l'\Fl.5.S (:tLü? ·:?.Ct...Ú~tf·t sCltll"'e el S:Lsté'rn,::;:" E:nt.l'\!.;'

los instantes tI y t2, es nula, la ecuaciÓn anterior sereduce a la forma:

CONSEHVACION DE LA CANTIDAD DE f10VHlIENTO LINEAL PARA UNSISTE!'rlA DE PARTICULAS

La citada ecuaciÓn es válida en los casos en que lasp.:::¡r·tJ:culasdel sist.t;?rüaes'l.:..én CQt'u?ctadas fl'¡t'2dia.ntee1.erltent.osextensibles o inextensibles, ya que en ambos casos losimpulsos de las fuerzas internas son nulos. Esto es asíl:f(jl";:~t_,lj2 Ijich~~3 fuer'za~;, en ambo s e8.S I:Js , actl:Á·3.FI e ,'-1 r::'ctl"'E~~,asopuestas y en lapsos iguales.

tQdas las f uer-z as ex tel~n.:;:~sqU'2 a e t(;¡.:J.n S,:d;:'l'f~ t':: 1sistema, entre los instantes inicial y final.

-ICL1-2)GXT, es la sumatoria de los impulsos

f(IOV il' í nal ~

sumatoria de las cantidades dede las particulas en el instante

es lé!.miento

-¿L:=;:,es la sumatoria de las cantidades de movimiento de las partfculas en el instanter n ic ia L,

-tLl.,- - -!L1 + ZCI1-2)GXT - tL::;;:

Consideremos una serie de f~~r%as internas y externa~4ue act6an sobre un sistema de partlculas, entre dosinstantes de tiempo t~ y t2• Se cumple la siguiente~cu~ciÓn vectorial:

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL PARAUN SISTEMA DE PARTIOJLAS

,

I

I)CAB··l~~7

--mvo

(2)-+

mv

(1)-Gl'áf i camerite:

- - ~(LA)1 + (1.)1-2 - (LA)2Así, pa)'a "A":

Apliquemos el PrincipIo de Impulso y Cantidad deMovimiento a A y 8, por separado. Tomemos como instanteil'....icial (1), el mOlflent.:;¡arlteT'i':I)~ al con t.a c t.o ent.)'e A V B,y como instante final (2), el momento en que A deja dedeslizar sobre B.

propuesto y:3egL!t".,j,a. I_eyde solución

Un problema similar a éste ya fueresuelto en el capitulo correspondiente a lade Newton. Mostramos a continuaciÓn un métodomás adecuado y breve.

SOLUCION

Se supone que la plataforma es suficientemente .larga.

~ SIJP.\.IS~a

Vo

Una caj a "A", de masa rl" que se desp laza sobl'e unasuperficie horizontal con velocidad Vo cae sobre unaplataforma rodante "B", de ~asa M, inicialmente en reposo.Despreciando toda resistencia a la rodadura de B sobre elpiso, se pide hallar la velocidad final del conjunto A-B.

PROBLEMA 8.1

PROBLEMAS RESUELTOS

I

UCAB-12:3

MVmvo 13+B

B

(2)(ll

Gl"áf í.c amen te :

conjunt.o A-B:

No obstante existe un método de solución a6n másexpedito. Consiste en plantear el Principio de Impulso yCant.ida~ de Movimiento para A y B en conjunto, considera.j':IS eOf(\ü s i.s tel'úa •

respectivamente, no se conservan. De hecho, lamov í m í en to Ije A, d í sm í nuve Ije IIrn\,o'" a I1rl'l\,II, ''/

aumenta de 0 a Mv. En tanto que una disminuye,

de A Y B,can t. i d.9.d de

la. .:;:112 B

rnov im ierl todelas cantidadesNót.ese

Ve locida,jFinal delConjunto

De Las ecuac iones [Al y r8]:

+ ) (8](> + Fk ~t = l'1v(

Escribiendo la ecuaci6n seg6n x:

FlCótJ NAAt

el) --- e21..+ ~ ¡wstJ.t = -tNsl1t MV

Gl'áf icamerzte:

- - -(LB)~ + (Is)~-2 - CLS)2F'a l"a nB" :

+ ) [Almvc> - Fk.6t z: mv<:

Escribiendo la ec0ación seg~n x:

I

UCf.:'¡B-l'2',7J

~+ E(I)r::xT =

Apliquemos el Principio de Iwpulso y Cantidad deMovimiento para el sistema A-S:

SUP. LISA

Lx't-

Vo

Considel'erf:Os ah 1::0l'a el caao de que I a caja "A" caesobre la plataforma desde cierta altura h sobre ésta. SeI::.i,j,:! j,gu,~lfileni:,e halla\' la veloc ide,lj f í na l. del conjunto.

í mpu),SI:,S!Se debe

E!Sto es,

La ecuaciÓn [2J expresa que la suma de losde las fuerzas externas es nulo, por lo cualconservar la cantidad de movimiento del sistema.p reciaamen t.e, lo e):pl'esadopOI' 12. ecuación (1.).

w + M• rv c.\' -

m r--=1 Nr;;.

[ 21

[1](. + ,.) mv"" + O z: mv + f1v

'l segón '1 • (t+) O + Na ..6.t - l".IA..6.t - 1""9.6.t - O)' . -

Escribiendo la ecuación seg6n x:

Nótese que no se incluyen los impulsos de las fuerzasNA y Fk, ya que son fuerzas internas al sistema.

I

UCPlt;--13ü

es una ¿antidad vectorial). Sin embargo, nótese que losimpulsos de las fuerzas externas son verticales, es decir,no tienen componente horizontal. Por tanto, el sistema norecibe impulsos externos en la direcci6n horizontal, porlo cual se conserva la cantidad 00 movimiento en esadirección: esto es precisamente lo expresado por laE:cua.Cí on [1'].

de los impulsoslo cual no se<: \'ecI.Jé l' ,:1e '"3e c~u~~

ecuación [2'] expresa que l.=:,-sw¡,¡a.fuerzas externas no es nulo, porla cantidad total de movimiento

Lade! lascon s e r va

[2 1)

mv~ + 0 - mv + Mv( --'+'--¡¡"')

.......... .Escribiendo la ecuación según

Nótese que, de nueva, na se incluyen los impulsas delas fuerzas que se ejercen entre si la caja y laplataforma, por ser internos al sistema. Nótese por otraparte que la fuerza Na es de módulo variable, por lo cualsu impulsa debe ser calculado coma la integral

~(VA)1

A~mv

+B~ B -

BMV

(1.) (2)

Gr á f í camen t.e :

I

UCAB-l::::l

- - -IL1 + I(I)~xT - EL2

(A) Inicialmente, la barcaza "A" y la caja "8" están enreposo. El motor comienza a enrollar el cable conrapidez creciente. Durante este proceso ¿qué semovera: la caja, la barcaza o ambos? Apliquemos elPrincipio de Impulso y Cantidad de Movimiento alsistema A-B. Asi:

SOLUCION

l X+1

(8) La posición final de la barcaza, después de que elmotor ha enrollado 12 metros de cable.

CA) Calcular la velocidad de la caja y la barcaza, en elinstante en que la velocidad de enrollado del cable es1,.S. m/s.

Una barcaza de 3000 Kg de masa está inicialmente enreposo sobre la superficie de un lago. La barcaza estáprovista de un motor que a su vez está conectado a unacaja de 600 Kg de masa. No existe fricción entre la caja yla barcaza, ni entre la barcaza y el agua. En ciertomomento, el motor comienza a enrollar lentamente el cable,atrayendo hacia si la caja.

PROBLEMA :3.2

Nótese que la velocidad final es igual a la calculadaen el caso anterior.

m + M'1'o\" -

m

As í. , de [1. t 1

UCAB-l::;::2

El í m í n ancío "dt":

di.:.

(8) La ecuaciÓn [11 puede ser escrita como:

Los signQs de los resultados confirman los comentar í o s an t.e r Lor es •

(Vr,:¡/P,,)2 es la ve l oc ídací de "B" r e l e t í va a "A" ~(VS/A)2 = - 1,5 mIs. Así, de las ecuaciones [1]

dondede c í r ,[2J :

[2]

Por otra parte, en la posición (2)se cumplirá que:

(+-+)

Escribiendo la ecuación seg~n x:

CC:.rí'tI::J la surt'latcJI'iade los impulsos Ije las fLJel'ZaSexternas es nulo, se conservará la cantidad de movimientodel sistema A-B. ~::Jr tanto, si la cantidad de movimientoinicial es cero (posición 1), la cantidad de movimientofinal será también cero (posición 2). Por tanto, si "B" sefIiueve hac ia la í zou í erda , nA" debe h.acerlo hac í a laderecha: ambos se mueven, y en sentidos opuestos.

(11

+

m B (vB12

mA (vA12

WB6t

~ WAA.o/lIíIJJI!/í! /lVl!}1¡

tN6t

Gl'áfi camen te:

/

UCAB-l::':3

CA) La velocidad de retroc~so del canón, justo cuando labala está emergiendo por la boca del mismo.

apoya.do en un sopo rt.emOví]" cuya. m.::~sacon J un t.aes de 6ÜOKg. El caNón está en contacto con un !'esort.eno deformadode !'igidez 1000 kN/m. S6bitamente, el caMón dispara unaba La "8", de mesa 21.) Kg, la cual es e:>:pr..tlsad2lpOI' la bocadel canÓn 10-3 segundos después de la detonación, con unavelocidad relativa al caMón de 500 m!s. Despreciando todafricción, se pide:

caí"lón 1tAIIla figura se muest.ra el esquema de unEn

PROBLEt1A8.3

Así, la posición final de "A" es a 2m a la derecha desu posición inicial, '/ la posición final de "B" l::?S a 10rll él.

la izquie!'da de su posición inicial.

donde ~;':B/A es el desp Lazam í en 1;..o:J de I a. c:aja. C:':JnI'e-:ipect.oa la barcaza. En este caso , 6,XS/A = - 1.2 m . ASl, a p2.1't.il'd,.'? (1') y [ :2 t J :

l. ..::.' JA y' ~ - /\ ',' -1- /\ 'T' ~ A'-l r ••~ - L:::.. .• A L:::.. .-. ~ /p.j!'lo cual:

x

que:Por otra parte, en un instante cualq~iera se cumple

~XA - despLazsm í en to abso Luto de la barcaza~):B - desplazamient':J .abso Lu t.ode la caja.

donde:

Integrando entre posición inicial y final:

r

UCAB-134

Los impulsos de los pesos WA y WR son despreciablesfrente al impulso de la reacciÓn normal del piso NR•Esto es asl porque un altisimo porcentaje de Na tienesu origen en la fuerza impulsiva que eJerce la balasobl'e el cañón . En o t res pa Labr-es , se despl'ecian las

Nótese los siguientes aspectos:

A+

mA(VA12

( 21

me (VA)2 B ~VB IA12.ra6( 11

- - -IL1 + I(I)~xT - IL2

(Al Apliquemos el Principio de Impulso y Cantidad deMovimiento al sistema formado por el caMón "A" y laba la "B". Tomemos c orno instant.e· in ic ía l (1), elmomento anterior a la detonaciÓn, y como instantefinal (2), el ~~mento en que la bala emerge por laboca del caMÓn. Asi:

SOLUCION

(el La fuerza promedio ejercida por la explosión sobre labala, durante el lapso de detonación.

(8) La fuerza promedio ejercida por el piso sobre elcaMÓn, durante el lapso de detonaciÓn.

/

UCAB-1.:';:.':;.

[ 1' Jo + NB~t _- OlA (VA2)V + ml~ (VB~)V

• I •~ .Así, escribiendo la ecuacIón vectorial inicial según

(8) Durante la detQnación, el piso eJerce sobre el ca~Ónuna fuerza Na variable en mÓdulo, de tipo impulsivo.El problema pide el valQr promedio de N~ durante ladetonación Na- Como se sabe:

El signo (-) indica que el canÓn se mueve hacia laixqu í l=: l'd~ •

í( VA)::;, - - 14 m/s__1Asf., de [1) y [2)

( \/1'\2):( = (,",.tA) 2donde:

(2](+-.)

Por otra parte, en la poslciÓn (2) se cumplil'á que:

[1]

(-t-~)

As i, ese l'ib'ieradola ecuac i ón seg(It'1:x::

fuerzas no impulsIvas WA y Wa frente a la fuerzaj rúpu1s iva NB-

El impulso del resorte J Rd~ e. despreciable frente al

impulso ejercido por la bala sobre el canón. Esto esasí porque un lapso tan breve como 10-~s no es suficiente como para que el resorte sufra una compresiÓnapreciable. Por tanto, el impulso que éste ejerce puedesel' í gnor-aoo •

/

UCAB-l:36

la ecuación vectorial \ ( ..; .Asi,

f Fyd-l:. = CFv) (6t)._

(1

1 f:.:dt z: (Fx) (6,UJ

POCil' '2f¡"tOSimpulsiva.val'i.able,

eje mÓdu 1,:,antes, F~ Y Fy sonsobl'e

componentes cartesianas dell'! ~

la bala, 1 Fdt. Como

~ -ser F una

Lass dossonintegrales J F.dt Y J Fy dt

impulso ejercido por

Los

me (VA)2+

me (Ve)2~\ h~"'"''''.._L_,____~ J_

~ -. .:.._..,..(La)1 + (IB)1-~ =(Lg)2Asf, para la bala "8":

A fin de calcular dicha fuerza, debemos plantear elPrincipio para la bala aislada, de manera que lafuerza pedida es externa a ésta, y aparecerá en laformulación del Principio.

(C) A efectos de calcular la fuerza promedio ejercida porel ca"ón sobre la bala, no podemos seguir empleando elPrincipio de Impulso y Cantidad de Movimiento para elsistema, ya que esta fuerza es interna al sistema y,por tanto, no figura en dicha formulación.

6<C;<,;;o_ que losmuc hohecho de que Na:::;'2 ve rLfica elpesos de A y B.

As 1., de [1']

~~r otra parte, en la posición (2) se cumplirá que:

UCAB-l::::7

(e> La máxima deformación que experimenta el resopte.

pOI'dUl'::'l

\la fuerza total promedio ejepcidadUI'ante SI~1 encu,?'ntr'o, sj, ést..e

La magnjt.uó deHB)) SClt:)l"'{~ HAn0,1::'1. S.

conjunto "A-B". antes de chocar(A) La velocidad delcontra el.pesorte.

plano inclinado, y es descargado aun peql~18fíl~ce.rr o "B" de lO Kg de ma";;.a.conjunto se desplaza hacia la derecha, yun resorte de rigidez 7,5 N/cm. Se pide

reposo sobre uncont.inl~\aciÓn en:=;e gJ..~;.Ijaft'~ertte, e J.es f i'enado pordetel'mj_nal' :

Un bloque "A" de 5 Kg de masa desliza partiendo del

PROBLEMA 8..4

PROBLEMAS PROPIJESTOS

El mismo pesultado se habrla obtenido si se hubieseaplicado el Principio al caMón aislado, ya que el mismo

impulso f Fdt ae túa sobl'e el caMn, pe,'o con s<mti.;Jo\)

opuesl.(). :=~=? deja al estudiante la ...;eTificac:ión ,je d í choc á l c u l o .

, ~:::----'=-'-:::--=-:---_.._--:-- - ".,.- ,)l f"':~ :: ~::~~..::i~~\.:~ ): 1. t,:~t.------------ __ ..._.--

- f¡)¡:;¡(VA):;;:I~_'~ -1.. ", F'.'',',A t. - T", \', I "\ _ ~ [;1 • '¡:;¡/A, ::2,.,(+-+)

y escpibiendo la ecuación según :c·-:

r-F---=-7.~~;~~~~--I::J' y - ...J ~. J. 0_' .,

------r ,.¡.. t '1, ,

SOLUCION: (Al 7545 N; (8) 0,265 ffi.

B

l/A"proruecí í o e iercida pOI' el plano sobr'eimpacto, si éste dura un lapso de O,01

(B) La 'f u.? r zadur-an t.eel

(A) La distancia recorrida por la cuna "A", después de quela bala se aloja denLro de ésta.

Una cuMa "A", de 13 Kg de masa, reposa sobre un planoinclinado idealmente liso, y es mantenido en la posiciónindicada mediante un pequeno tope. Una bala "8" de 50 grdisparada horizontalmente con una rapidez de 400 mis,penetra en la cuna y se aloja dentro de ésta. Se pideha Lla r :

8.SPROBLEMA

, -~j ,16 m(e)

( :~) 1, ;:;1 rf. :' s(8) 4S2Ü N

SOLUCION

B

--.IC--------a-»<-"'-~n.«VQ~J~A««~~~~ZONA USA I ZONA RUGOSA .1

"'1( .: Oli

''''

r

UCAB-- 1 :3'.3'

Las cajas "A" y "8", de masas 5 y 10 Kg, respectivamente, están conectadas mediante una cuerda ideal. Elconjunto se deja, en 1ibe\'ta.d desde el pepQso en la.p-os í cLón mostrada , de marrer-aque la caja "A" as c í ertde yrecoge el disco "e", de 7,5 Kg de masa. El contacto entre"A" y "e" se produce sin ningún rebole. Se pide calcularla altura máxima a la cual se elevarán "A" y"C".

PROBLEMA 8.7

::::4,7 mm:=::,17 .JouLe s

(A)(B)..

SOLUCION

A

(8) La erre rg ia disipa.da corno consecuericia del choque.

CA) La máxima deformaci6n que experimenta el resorte.

Un cilindro HA", de 0,5 Kg de masa, se deja caerdesde el reposa desde una altura de 2 ro sobre otracilindra "B", de 25 Kg de masa. El cilindro "B" estáapoyada inicialmente sobre un resorte de rigidez 30 N/cm.Ambos cilindros chocan sin que ocurra rebole alguno. Sepide h.aLl ar :

PROBLEMA 8.6

/

Un automÓvil "A", de 1500 Kg de masa, acelerapartiendo del reposo hasta alcanzar una rapidez de S miscon l'especto a la bar-caza "8", ,je60¡;JÜ!Cg, en un lapso de5 segundos. La barcaza está unida a un atracadero pormedio de una fuerte soga. Se desprecia la fricción entrela barcaza y la superficie del agua. Se pide:

,=- Cav ..._'PROBLEt1A

VG< = 3,3 mIsVA - 1,9 rlils;SOLUCION:

Dos bloques "A" y "B", de masas 25 y 15 Kg, resp~ctivamente, reposan sobre una superficie horizontal lisa.Ambos bloques están conectados mediante un recorte sinmasa de rigidez 12 Kgf/cm y longitud libre 30 cm. Losbloques son acercados uno a otro, acortándose el resortehasta 15 cm, y luego son dejados en libertad, a partir delreposo. Se pide hallar la rapidez de cada bloque~ cuandoel resorte recobre su longitud libre.

PROBLEMA ::3.8

SOLUCION: 0,86 m

e~...

UCAB-14l

~ gl/21SOLUCION::

/

Un soporte "A", cuya masa es 6M, se encuentra enreposo sobre un plano horizontal liso, como se muestra.Una peqL.!ef1a esfe¡'a "8", de masa r'1, est.á fija al e:ct.¡'el"t'tO ,j,.'?

una b arra "(:'¡B" 1 art.Lcu lada en el Sopol't.e. L_.:.;.. b,::'.l'l'¿~ e-.::Lí beracía desde el l'ep.;:.so, en la pos í c í ón í r.dí cada .Despreciando la masa de la barra, se pide calcular lavelocidad del soporte, cuando la barra coincide con lavel'tlcal.

PROBLEMA8.10

<: B) 1.500 N.(A) 1.5(l(l N;SOLUCION:

(8) Hallar la fuerza de tracción promedio ejercida por labarcaza sobre los cauthos del automóvil, durante elmovimiento.

CA) Hallar la fuerza promedio que se genera endurante el movimiento.

UCAB-142

(A) 1,10 mIs, hacia la izquierda(B> 6,35 mIs, a un ángulo de 300 con la horizontal

SOLUCION

Se sugiere al estudiante resolver el problema por dosmétodos diferentes.

(S) Hallar la velocidad de la caja respecto de la cuMa, enel mismo instante anterior.

CA) Hallar la velocidad de la cuMa, en el instante en quela caja completa el recorrido descrito.

En la figura se muestra una cuMa "B", provista deruedas, de 40 Kg de masa. En el extremo superior de lacuMa, se encuentra una pequena caja "A", de 10 Kg de masa.La caja se abandona desde el reposo, y recorre 3,5 m sobrela cuMa, llegando al borde inferior de ésta. Despreciandotoda fricci6n~ se pide:

PROBLEMA 8.11

/

UCflB 00 1.4:3

I COLISIONESl_, ___¡

,

/

¡ICAB-144

LINEA DE IMPACTO

PLANO DE CONTACTO

Se verifica cuando la dirección del movimiento de loscentros de masa de una, o de las dos partículas, quechocan f'::OI~f(lanciert.oángul.::;,con la "15.nea de impac lo" .Después de la colisión, ambas partículas se mueven~egún direcciones que, en principio, son desconocidas.

B) ColisiÓn Oblicua

/

LINEA DE IMPACTO

--VeVA

PLANO DE CONTACTO

Se verifica cuando la dirección del movimiento de loscentros de masa de las dos particulas que chocancoincide con la "linea de impacto" de la colisiÓn.Después de la colisión, ambas particulas se mueven alo largo de la linea de impacto.

CA) Colisión Directa:

En términos generales, se distinguen doscolisiones entre particulas:

Una colisiÓn ocurre cuando dos cuerpos hacen impactouno contra otro durante un lapso muy corto, de manera talque se ejerzan fuerzas muy intensas (de tipo impulsivo)entre ambos cuerpos.

COLISION

UCAB - 1.4.5J

a resolver simultáneamente las ecuacioneshallando los valores de (VA)2 y (VS)2.

S'2 pl'ocede(1.1 y (21,

IJ _ JJt::coe f te ientevalol' delAsí, conocido el

(Va)::;:" -- (VA)2

e - Ul(VA);I. - (vr,,);I.

1'85tituc í óri "I/coeficient.eEl de la colisiÓn (e)y después del choque,antesrelaciona las velocidades

de acuerdo a la ecuaci6n:

/

(l)

Con5iderando ambas partfculas como un sistema, ynotando que no existen impulsos debidos a fuerzasexte"na~ impulsl.vas, la cant.idad de rílovÍfili.~nb:J1. int!a1.total del sistema se conserva antes y después de la'colisión. Así, podremos escribir:

la. EcuaciÓn:

DESPlJES DE LA COLISIONANTES DE LA COLlSION

A

-(V8)2-(VA) 2-(V8)1(VA) 1

Consideremos dos partículas A y B, de masas mA y mm,que se mueven seg6n la misma linea recta hacia ladel'echa con velocidades C:V:_)1 y (;:;;)1' :::i (~)1 e'smayol' que (V';) l., amb.:o..spa r-t i cu Las harán co lis i ón .Después de la colisión, las partículas se moveránsobl'l'? i.a misma rect.a, con velocidades (Y:.)2 y (V';.):;;::. r.:\efectos de calcular estas velocidades finales, seplantean dos ecuaciones:

CA) Colisión Directa:

Comentemos brevemente cada caso por separado.

UCMI,'-146

(2°) A fin de obtener las dos inc6gnitas restantesy <: VRt"t):"" se p 1.an te,:;"n dos ec l"t,"1.C iQt'les :

Así se obtienen dos de las cuatro incógnitas planteada s ..

(1°) La componente según el eje tangente "t" de lacantidad de movim ient.ode cada par t í cu La , considel'2\dapor separado, se conserva antes y después de laco Lís í ón . POI' tanto, la compon en t.esegún "t." de lavelocidad de cada pa~ticula taMbié~ se conserva. Asi:

plantea lo siguiente:seincógnitas,cua t.1'Oe a 1eu 1a l' ].a s(..\ ef ee tos

OESPUES DE 'LA COLISIONDURANTE LA COLISIONANTES DE LA COLISION

FAt -FAt(VA) 1

("'alo¿(VA) o¿

Tomemos un eje normal "n", coincidente con la línea deí rnpac t.o, '{ un eje tangente "t", coincidente con elplano de contacto. Asumiendo que no existe fricci6nentre las partículas, las 6nicas fuerzas presentesdUI'ante. la co Lia i ón son las f ue r-za-s í n t.er-nas F y -Fdirigidas según la linea de impacto.

Consideremos dos partículas A y B, de masas roA y mBque se Mueven segón direcciones no coincidentes con la"linea de impacto", con velocidades (V:;:),_ y (V;) 1·

Después de la colisión, las partículas se Moverán convel¡:)ci.jadesf.V';,.)2 y (Y';)~, de magnitudes)' dir.:?ccionesdesconocidas. Se tendrán, por tanto, cuatro incógni-t

~ ,-, ~as: ~os por lVAJ2 y dos por (VR)2'

(B) Colisión Oblicua:

/

1

UCAB-147

.'

ExisLe un caso particular de colisión oblicua en elcual una de las partículas está obligada, por algunal'estl'icCl.ót"l,a Ií:ovel'sesegún c í ert..a d í recci ón ¡jespués deld-¡()('.¡l,h ..."". F'odl'iar;HJS Ll arua r La "col i s í on ob l í c ua r e s t.r-í n g í dav ,(VE:l' 121 b~:d:'(j de Beel' '! .J'ohnst.on, pág. ,5:32).

As1,, conoc í do el va lo r- del coeficiente "el!, sepl'clI:ede a i'esol.vel' simultánt!-2~rfl~ntA:: 1..~1S eCI.,I.3.cione,--;[l'] y [2'J, hallando los valores dt'2 (VAn):;;:y (Vr:.n)z.

(Ven)2 - (vAn)2e - [2']

(vAn) \ - (ven) 1.

ant.es '/ despl...lés

de r est í t.ucí ón" de la colisión (e)velocidades según el e.je no r-rnal "n "del choque, de acuerdo a la ecuación:

El "cweficlente

2a. Ecuación:

ConsIderando ambas partículas como un sistema~ ymostrando que~ de nuevo~ no eXIsten impuls~s debidosa fuerzas externas impulsIvas, la cantidad dem0vimiento lin~al t0tal del sistema se conserva seg6nel ej.::: t-lol'm.¡:d "1"1", antes '>' ,jespLJésde )C-" CO] í s í ón ,Así, pndremos 0scribir:

la. Ecuación:

/

1.ICAS-1.4:3

Apliquemos el Prlncipio de Impulso y Cantidad deMovimiento al sistema formado por las dos esferas. Elinstante inicial (1) es el momento justo anterior al

dirigida hacia la derecha.

pgl':: 3,:34 m/s

CA) La velocidad de A, justo antes del choque, será:

SOUJCIGN

......... -.:..-_-

1=0,75 m

B

(C) La fuerza promedio ejercida por A sobre B durante elimpacto, si éste dura O,01 segundos.

ángulo gi radoposición más

el ángulo ~, correspondiente alpéndulo "8", cuando alcanza la

<: 8) Halla,'pOI' elalta.

las velocidades de A y B, justo después del( A) Ha 1121.1'choque.

El impacto se verifica de tal forma que, justo antesde produc il'se, la esfel'a "A" se mueve según una rectahorizontal que pasa por los centros de masas de ambasesferas. La longitud de ambas cuerdas es 0,75 m.Despreciando toda fricción, se pide:

Una esfera "A", de 1 Kg de masa, se deja en libertaddesde el reposo cuando el ángulo a = 90°, Y hace impactocon una esfera "B", de 2 Kg de masa, inicialmente enreposo. El coeficiente de restitución del impacto es 0,8.

PROBLEMA 9.1

PROBLEMAS RESUELTOS

jI1

/

,

( -¡.~)

deque la cantidaddurante el choque:

tanto, podemos decirdel sistema se conserva

POI'

ft°pJV 1 rúJ. en t.;:,

estudiante puede verificar que, durante el impacto, elvalor de Trn es comparable al de ws; y el valor de T~es comparable a 3WAo Por t.anto, dichos impulsos sontambién despl'ec í ab Les o

/

ElfJí mpu Lao s(c) Los

despl'eciables- A - ALos impulsos de los pesos WA~t y wu~t,

fcente al impuls., .:lel choque I Fdt.

de las tens iones J T,;,dt. y

(b)

Durante el corto lapso del impacto, en el sistema sep\'esentan los siguientes impulsQs:

(a) El impulso .ro F.jt~ que se ejel'cen arüba.sI:ST':I'.'-í.S I:nt\'es l: o •

Aosi, ant.es del i rnpact.o, COTllO lo indica el t.ext.o, "A"se mueve según la linea "n" 'l "B" está inicialmente enl'ep':Jso.Se t.rat.a, pOI' tan t.o, de Uf"1 impacto d t rect.o, Justodespués del impacto, las esferas se mueven con velocidades(v;;.)::;:: y (V;)2~ ambas h.jl'izontales.

-me (VB) 2mA(VA)2mA (VA) 1

+

Gl'áfí camen t.e:

- - -!L1 + !(I)ExT = !L2

justomomento121(2), esel instante finalchoque o As i :

choque, '>'pos tel'i.or él 1.

I1I1,

I

T,\ + U1-2 = T;:¡;:

Aplicando el Principio del Trabajo y la Energía entrelas posiciones (1) y (2) I para la esfera B:

]"-'"'"

Vi: 2.~Om/s

(B> Según acabamos de vel', la esfera B sale despedidahacia la derecha con una velocidad de 2,30 mis. Lacuel'da a la que está conectada gil'ará cierto ángulo ~hasta que la esfera se detenga. Se pide hallar esteángL.llü.

después delí zqu-í e r da ,

El signo negativo de (VA)2 indica que,choque, la esfel'a A se mueve hacia lacontrariamente a lo asumido.

As 1., de (11 Y (21

[ 2J

- C:.l

m/s.c= :3 ,:34(VAn) 1

(v""n)(VSti)2pel'O se cumple que:

coefi-delP,::)l' o t.ra parte, e-scl'í bamos la expl'esí ónc í en te de I'estituc iÓn para el ímpact.o,

(1)

I

Así, la fuerza promedio ejercida por A sobre B es de460 N. Se propone al estudiante realizar el mismocálculo, aplicando el Principlo a la esfera A. Elresultado debe ser ldéntico.

o + CF)(0,01) = (2)(2,30)

(" + -l---'---+'

Nótese que el impulso J F.jt es exte r no a la esfel'a B,

Escribiendo la ecuación según x, y haciendo ,f. Fdt =CF> .6.t. .

malVa) 1:o

B+

ma (vaíz

B

Gr áf i e amen te:

- - -L1. + 11.-:4 = L:;;:

p.::,!'el1.::...

de calcular la fuerza promedio ejercidadurante el lapso del impacto, apliquemosde Impulso y Cantidad de Movimiento a

aislada. Así, pal'''''_8:

(e)A efectosA sobr-e BP l' i n e j_ p í oesfel'aB,

1Cos J3 =Además, se cumple que:

1 - h

h - (), 27 ffl

,1

111

UU-'B-1S2

•

- ~ -IL~ + !(I)ExT = EL2

CA) Apliquemos el Principio de Impulso y Cantidad deMovimiento al sistema formado por los dos discos A yB. El instante inicial (1) es el momento justo anterior al impacto, y el instante final es el momentojusto posterior al impacto. Así:

SOLUCION

CUERDA TENSA

Se desprecia toda fricciÓn.

(8) Si la cuerda fuese elástica y de rigidez muy baja, ¿sealterarían los resultados obtenidos?

(A) La rapidez de cada disco después del choque.

L¿l":.i m",~~;asde los disc,:,.s"(~"y "8" l'epl'l?s,,;!(',t¡;,¡,do~;sonidénticos, y se encuentran sobre un plano horizontal liso.El disco "B" e'sta conec tado a l~na p.arecí, mediante unacuerda inextensible e inicialmente tensa. La velocidadinicial del disco A es de 25 mIs hacia la derecha,d í rLg í da segLin la linea punteada, ql.Jepasa pOI' lQS cen t.r-osde masa de "A" y "B". El o í aco "B" se encuentl'a or í g í na I>mente en reposo. El coeficiente de restituciÓn del impactoes ~1-;8. Se pide:

F'F:OBLEMA9 -;.

UCAB-1S::::

Es C l' ibamo srestitución del

dedicha

del coeficienteI'ecol'dal'seque

la e xp r e s í óni mpac t,;:). Debe

erlde

apal'ececantidad

tiene c'::JmponeFtte según" x", pOI' lo eua 1 nodicha ecuaciÓn como incógnita. Es decir, lamovimiento del sistema se conserva según x.

Nótese que el impulso ejercid,' por la cuet'da J T.jt no

de donde: [1)

(~ )

t1ovimienlo::Jsegún el eje "x":Principio de Impuls6 y Cantidad deEsc l'ibamos el

(\/A)~ "{í nc ógn itas:

de laineI'ement.oel impulso provocado por el súbito

tensión J T.jt. :312 tienen ent,)nces dos(VI3);;;"

si Bla cuerda ejerce sobre el disco

Dur an t.eel breve

,21 impulso f F.jt, yJ

entl'eimpacto, los discos se ejercen

Así, antes del impacto, el disco A se mueve según la1. inea pun t.eada con ve Loeidad ('V;) So, ';' el di.se') 8 está enreposo. La linea punteada indicada en el texto no es másque el eje de impacto "rt", eorresp.:Jndiente al choque.Estamos, pue~, en presencia de un impac~o dire~to. Despuésdel impacto, el disco A se seguirá moviendo seg~n la lineade impacto (hacia la derecha o la jzqui~rda); por suparte, el disco S, por efecto de la cuerda tensa, saldrádespe,jido con una velocidad (V:;)2, pel'pendiculal' a lapo sí.cí ón inicial de la cuerda. Así, la velocidad '(Y:):;;eestará dirigida según el eje "x" (ver figura).

A

+

Gr á f ieamen t.e:

UCAB·-1.54

(8) El impulso ejercido por el piso sobre la cuMa, durant.e

(A) La rap í dez de "A" v "B", justl;:¡,jespués del impacto.

rnaS.?l 'J

1l. ;;';:1 •cp...le!El

pi.de

ccn t.ra un·,",.cufl.a "B" ~ de E. Kg deuna superficie horizontalrestituciÓn del impacto es O,8.

e·:;;fel'3.chocar~2p';jSa SObl"2cCll2fi e ien te decal c u l a r- :

Una esfera "A", de 2 Kg de masa, está unida a unacuerda ideal de 75 cm de longitud, y parte del. reposo enla posición indicada, donde la cuerda está horizontal •.Justo cuando la cue rda a Lcanza la pos í ci ón vl:?l'·I:.ical,la

PROBLEMA 9.3

resultados si se alterarian.t.anto ~Se tratarla de otra situación

ea) Si la cuerda fuese de un material muy elástico, elalargamiento que pudiera experimentar durante el lapsode impact.o seria prácticamente nulo, por lo cual dicha

c(.,el'da eje"cel'fa sobre el disco B un in',pulso I Tdt que

seria virtualmente cero. Al ser asl, la velocidad(v-:)~ se d i r ig í r í a segút:'1 1.8. lit""n2a IjE! í mp.sc t.o ,

El signo negativo de (VA)2 indica que el disco A semueve hacia la izquierda después del choque,con t.rert aroen t.ea lo supuesto en el esquefl'¡<;l.

(\/A)::;;: -- --~-,,:: ~:,.;::¡--r",-7~---]- , -' ~ ,_,

._--_._---

A partir de [11 y [21

[.-::,.~.._~de donde:

( V B )::¿, C05 .5:~:,1o

eI(v~n)2 - (vAn)2 - e

A'::.; 1. :

1=:~cu.3.ción d'2bQ ser l2~lcl'it.a. ser,.:;ún el eje un". :::;~~l'iaun 121"1"01'escribirla seg6n el eje x.

J

me (Verh

-mA (VA )2

UC.AB--1S5

+

mAlVA )1

t·./

Gl'áf í e .:~rI1l2rlte:

~ ~ ~ELt.+ E(I)~xT - ~L2

Apliquemos el Principio de Impulso y Cantidad deMovjmiento al sistema formado por la esfera y la cu"a. El::.nstante í n i c í a l 1.1) es el flioment..::> just.::> ante r Lor alimpacto, y el instante final es el momento justo posterioral impacto. Asi:

<: vA) 1. = ~ 2g 1 I = :3, ::;.4 m.' s

dirigida hacia la derecha.

(A) L& velocidad de "A", justo antes del choque, será:

I = 75cm

SOLUCION

~ _«_a_~~~~~AG -vIIIIIIIIIII,,_L,

I ,\ I'-_-"

el choque. Se desprecia toda fricción.

UCA8"lS6

'+ "I.~,

Par~ el sistema A-B, escr,blendo el Principio segun el eje).. :

l~ cantidad dese conser-vapar a 1.:1,esfe¡'a A,As i ,

r---------·----l• r ._ ":;. ..:,....:' .,1 c:I {_\ A'I~):2 - '-' ,.,J._, fll, -.

¡

Para la esfera A (aislada) escriblendo el Prlncipio seg~nel e.je "t. ...

:3e(VI3)2'

impulsos de los pesos de A y B sonLos

-Fdt esí mpu lso rJ

esfe¡'a-cuf1a.Ijespl'ec í ab Le-s •

que elcuria el

si sterfla

impu1so r Rdt". Nótese\

a la interacciÓn del

-Fdt, Y elesf8ra se ejercen entre si el impulso

develoLidcldl' ....pa c t.o ,,jj ¡'ecc i ón

a~es dl2] í rnpacto , la esfel'a '';;2muevt.' con(VA)', Y la cuNa esL~ en reposo. Después ~ella esfel'a l'eb'.Jt.3CI)n ve loc í dad (V:;):2,desconocida, y la LuNa sale despedida con'-'v>?)')Lidad I.Ve)2, ql..Iese sabe es hor i zon ta l y hac í a la

d0¡',-~cha.En el g¡'áficiJse l.tldl.t..:an I'?l e.je no rma l "1"1"(correspondiente a la línea de lmpacto) y el eje tangente"t" (correspondiente al plano de contacto). Cada uno delos veclores m~se ha proyectado según dichos ejes.

As).,

UCAB-'lS7

1L-~_r_R_,._j_t__=__5_,_5_:~_'N~de donde:

8 + I RdL - mAlvA.). Sen 30" + mA (vAn). S"n 68"

("+ t·,. ,

Rdt, escribimos el Principio seg6n el eje y:

(B) A efectos de calcular el impulso ejercido por el piso

NÓLese que la ecuaciÓn (1) expresa la conservación dela cantidad de movimiento del sistema seg6n el eje x. Esto

es asi porque ,,1 i."'pul SoO ,,>: tel'n,'I t.:ít. "5 V"" ti ca1,

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

I!(Ve)2 - O,53 mIs

ecuac iones [1 J Y [2J:

laspor lo cual pueden resolverse slmultáneamente

Nótese que en la ecuación [1) no figura la incógnita

1:2]

I,

delEscribamos ahora la expresión correspondientecoe f i c ien t.e de l'estjtucl'Jnpal'¿(e) impe cto ;

[1]

III

in c r ns t.a 8FI una esfer·,a "B", tj~ .S 1([; (j~ rú.~sa_ I_a esfero.::..pende en r8poso de una cuerda jne~~ensl~le. El viaje de la

v i a.i a con IJtnaindicada. ')/ St?

t.1~"'la 1:I.8.1a '1A" '} eje 12 gr~aff ..JS ,je ff:¿,.sa ,vl21':Jcidad,je 800 mls en la di.I'ec,.i,:,n

PROBLEMA 9.5

la i zqu i e r-cía3"31 mis, hacia1 ,::;4. m

SOLUCION

@A

8

(8) La máxima deformación que experiml2nta el resorte.

justo(A) L.:::,. lúa.gnitud y sen ti,jo,je 1¿\ ve 1o e i,ja,jdl2 "A 11 ,

después de 1 impac to .

Una esfel'a "A", ,je .s~) gramos de masa., se desplazahor t zon t.nIrnen t.e con una ve Loc í dad .-Ie <;:.üt:, mis y chocacon L\' do un bloque" B", ,je .r;. Kg ,je rflasa. j n 1e ia 1rl"lent.e enrep0so. El bloque está conectado a un resorte nodeformado. El coeficiente de restituclon del impacto esO,::;. La r Lg í dez del re-sort.e8S 0,1 !'Jlfl":rr:y el coeficiented í r.ám í co de f r í cc í ón entl'e el bloque "B" y el piso es~~,.jO. ::;e pide:

PROBLEMA 9.4


Se proporie corno e iercic io al estudiante h~el' losiguiente: en lugar de descomponer los vectores mv seg6nlos ejes n y t, pueden descomponerse seg6n los ejes x e y.Se tendrán así las incógnitas (VA.)2, (VAy)2 y (V~)2. Alplantear las ecuaciones [1) y [2) y resolverlas, seobtendrán los mismos valores para las rapideces de A y B,después del impacto.

,,I

UCAB-1.S9

(8) H~llar la rapidez de cambio del módulo de la velOCldadJ2r'1 el pun to "en.

<:A)Hallar el coeficiente de restituciÓn del impacto.

El resorte mostrado está comprimido inicialmente ~~cm. Dicho resorte, de rigidez S0 kN/m, impulsa un bloque"A", de 50 Kg de masa, sobre una supericie horizontal.Dicha superficie sól.;)posee f r í cc i ón en t.r e 1':05 pun t.os "D"(donde el bloque "A" se despega del l'esO:jl'te)y "E". Elbloque "A" hace impacto con un bloque "8", de 70 Kg demasa. El bloque "B" sale despedido y, en el instante enque p•.:;\sapOI' "C"', la supel'ficie c í rcu Lar ejerce SObl'E: ést.euna fuel'za de '3(H:~ N. El coef iciente de I'oee dinámico en eltramo "DE" es 0,30. Se pide:

PROBLEMA 9.6

(A) 1:36 N<:8) 1,3.5m .1s

SOLUCION

B

(8) La rapidez de la esfera, inmediatamente después delchoque.

CA) El incremento promedio de la tensión de la cuerda,durante el choque.

bala a través de la esfera hasta detenerse con respecto aésta dura 0,05 segundos. Se pide:

II

UCAB-160

Una esfera "A", de 4 Kg de masa, se deja en libertaddesde el reposo y hace impacto con un bloque "8", de 2 Kg.jemasa, también en l'eposo. A la del'echa del blc)que "13" seextiende una zona rugosa, cuyo coeficiente dinámico deroce es 0,30. Al final de esta zona se encuentran dosl'eS()I'tes"1" y "2", de rt g í de.ces k¡ = (. N/cm y k:;,: - '3N/cm. :3uponiendo un impacto idealmente elástico entl'e "A"y "B" 1 se pide detel'minal'si el bloque "B" llega a bacerimpacto con el resorte "1", y la máxima defol'maciÓn queéste experimental'ia, para los siguientes dos casos:

},PROBLEMA 9.7

(A) Ü ,35(8) - 4,905 m/s~

SOLUCION

A S·

O

l~ },

1.4m 1.7m

___ -B _

1\

UCAB-161

(8) La distancia "d".

(A) L~ localizaciÓn del tope (h y S), de manera que nopasen el control aquellas esferas cuyo coeficiente derestituciÓn sea inferior a O,7.

En el control de calidad de esferas de acero paraco J ine t.e-s , se si t.úa el t.abí que "T" de man era t.al qUI.,? eltope coincida con el punt.o más alt.o de la trayectoria derebote, producida cuando se dejan caer las esferaspartiendo del reposo desde una altur& H = 90 cm. Se pideclett'?l'fI': í nar :

Q o_ .'.JPROBLEt1A

CA) No llega a tocar- el resort.e"1".eB> Si llega; 0~20 m

SOLUCION

ZONA LISAZONA RUGOSAl1

t

ucA8-'162

Se desprecia toda fricción.

eSTel''=:\ ,en C,

(8) La dist.ancj a hOI'izontal ",jO que l'eC':II'I'elahasta chocar contra la superficie horizontaldespués del choque.

(Al La rapidez de la esfera, justo antes del impacto.

Una esfera A, de 750 gramos de masa, es lanzada haciaabajo segúr. '..In ángulo de 7.5" con la hljl'izont.al.La esfel'achoca contra contra un bloque "BU, de 50 Kg de masa, quereposa sobre un resorte de rigidez 20 N/cm. El coeficientede restituciÓn del choque es O,9. Como consecuencia delmismo, el resorte sufre una compresión adicional de.5 cm.:312 pide:

PROBLEMA 9.9

h -- O --:..::. m . s - ~) ~'!I fi.- , •._}I.J , - , .jlJ,

,j - ~:,,7.5 m-(A)( 8)

SOUJCION

h

9IIII //-- ......, __ o -

I / "H t / \1/\1/\I / T \I I \

'/ '~ \

ueAS-16:::':

VE< - 17,6 r..:/s.;'oí ('.\ = 1..S, 1 f'-: :' s ;

-,

3~

4 "

"SOLUCION

B

A

La fl'l.asa Ije las ew=.fer·as UAU ~~(nBIJ, l'epr~esent.3 .•j.é*.S en lafigul'a, I~S 1 Kg, r espec t i vamen t.e . La es f er a "B" pende enl'ep.::.so de una cuel'd-:::t í nexten s í bLe , cuando la esfel'a "AII

choca con t r a ella, con una velocidad de 2S m/s, di.l'igid-ahacia la derecha. El coeficiente de restitución del choquees 0,8. Se pide hallar la rapidez de A y B, justo despuésdel choque.

PROBLEMA '3.10

<: A ) 12 , 7 m / S( 8) 7 ,2(;< m.

SOLUCION

d

e

UCAB- i6A

(8) 5,15 mIs, hacia la izquierda.(e) 7,90 mIs, hacia la izquierda.

SOLUCION

A

Bp

14,5 ..4,5 1ft

f

(e) HaLla r las veloc ida,jes de "A" y "B", justo dt?spués delcr-IIJque.

(8) HaLl ar- la ve Loe idad de "A", ju..,;t.o ,:;..nt.es de cho carcont,\'a una .je 1':'<.5 ba.\'o.ndasde "B".

(A) Vel'í f í car que "A" desl iza sobl'e "B".

Las fI\asas del bl.:lque"A" y de la c ar r-e ta "13" sonn)A = :2~:'; Kg y me = :;:a;, Kg. El c oef í c í en t.e de r oc e errt r e "A"y "B" es gs = }.{k = (',2<'), en tant,':)que la f r í cción eflt.re"8" y la superficie horizontal es despreciable. Elcoeficiente de restitución para el impacto de los doscuerpos es nulo. El conjunto parte del reposo cuando esapl icada SObl'E'la car-ret.auna fuerza ho r-í zon t.al "F", deMagnitud 300 N. Se pide:

PROBLEMA 9.11

IIiI

!.,.ICAB-16.5

------_._---_._- ..._.-- ......._-----_ .._ ..}MOVIMIENTO ANGULAR I

I. F'_A_R_T_I_C_U_LA ..__ . ...__ ._•._. .....1

DE IMPULSO y CANTIDAD DEr--~'R1NC 1P 1O!

L

1

1

~

~

,

UCAB·-1.66

e';:; ,j.::.('il' es e' ¡:·I',-,·j,·ri·.,-, en1'I'':' ~::.1vector' !'i'lomento de F con\ •. _ ..... 'i" ..... _.~ . ._........ - -' - _oO.

l'espec t.o de "OH, t1c., '/ el esc2.1al- "cJt".

-r ~ _ --derA) - (~ X F)dt - Mo dt

un lapso "di.:.."_ .....,...diferencial de iCllpulso angular dCIA)punto JJO" a la cantidad:

unael

del

ac t.úa sc,bl'edef í ne COI'I"IO

con l'espec t.o

que~FfUE.'I-Zaun aC,:'nsi de 1-eraiO'S

partícula durante

IMPULSO ANGULAR DE UNA FUERZA

x

y

Ha

z

- -por los vectores r y mVdonde ~ es el ángulo formado

Ho = r ruv sen 0cuyo módulo vendrá dado por:

.Con.s í cíe r eruo s una pa r t r c u La de masa "'''-1'' qI...H::~ S(':

desplaza a lo largo de cierta trayectoria. En un instantedado~ la particula posee cierta cantidad de movimiento- __,.linea.l 1_ ::mv , y está I'efel'i.jaa un CÚ:~I-t.O or í geri "01/

t j ... - ~ jf'mediante un V(2C ~Ol' • e POSl.Cl..::.tI 1'. :=.e " e i r.e corno "c'::tnt.i.jadde rnov irni er.t.o angulal-" o "r(¡,JCllentoc í rié t.Lco " con l'e<.:.:;pectode 1 pUF: t.o 1/O" .::._1.3. c ·~.nti dad vec t.o-r ia 1 •

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTICULA

UCAB-l!::.7J

l'~2sult¿i,nb=.·ql~leeons t.an te!ff:E'fl tl~

~ 1. e ..:.:,i.S() r:h? I=! '-~ 1,:~

Esto ocurre en el caso que la fuerzat L 1 ", "'~F " . . "ac .Qa soore a par~tcu~a ~- eSLá dlrlgloa

lrl#i a. el pun to "O I! (f UE'i! l'za e en t. l'a 1.), o etc:!:F:-- ":3J2.E:. ítLll a ..

la cual expresa que la ca~tidad de movimiento angular dela particula es la misma en los instantes t~ y t2, esdecir, se conserva igual entre dichos instantes.

.rr . -.<. Ho) 1. = (Ho .);:;:~

Cuando el impulso angular de todas las fuerzas queactúan sobre la part!cula es nulo, entre los instantes t1y 12, la ecuación anterior se reduce a la forma:

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE t"10VIl"'IIENTO ANGULAR PARA UNAPARTICULA

es el impulso angular de todas lasfuerzas que actúan sobre laparticula, entre 105 instantesinicjal y final.

movimiento angular~n la posición

es la ~antidad dede la particulafinal ..

-( Ho ):2 -..

HIOV i rnient...I;J "-IXI gu 1a r'en la posición

es la cantidad dede la partículainicial.

-\' ~......-<: t-~c,)1 ::

- - -(Ha), + (IA),-2 = (HO)2

_ CO::)i'''lsi,jel'l~mos l,.,tna. serie de fuerza';:;,C:1~1'~'3.l'E.":5lAlt,-2I.nte es~:F, que elct.úan sob l'E' 1)1"1.::"pa l' tic u la. en t.1' e dos ins tan tes t~.Y t2. Se cumple la siguiente ecuación vectorial:

PRINCIPIO DE IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR PARAUNA F'ARTICULA

t,,I

le 'i" .... .POSICION

Consideremos al conjunto trineo-persona como una solapa rt Lcu La , de 12(, Kg ,jemasa. En la pos í c í ón inicial [lJ,la longitud de la cuel'da es 4,5 m, y el tl'ineo se muevecon una velocidad ~, de orLerit.acíón cono cíde , En J.'¡:J.posición final [21, la longitud de la cuerda es 3 ro, y eltl'ine'Jse ffll_.¡eve con velocidad ~, de '::lI'ient.aciÓn desconocida.

2.25",

SOLUCION

211'1/.

(8) Las componente.::;de la velocidad final del rní amo , segúnla cuerda y su perpendicular.

(A) Hallar la I'apidez final del trineo.

Se lanza una cuerda ideal, unida al poste "A" de laorilla de un lago congelado, a una persona que seencuentra en el trineo "B". Cuando la persona recibe lacuerda, el trineo tiene la posición y velocidad indicadasen la. f i gura , Inrllediatarllente después, la pel's'Jnat.i r a dela cuerda con una fuerza const.ante de 100 N, acortándoseésta en 1,5 m. La masa total ~el conjunto trineo-personaes 120 Kg. Despreciando la fricci6n entre el tl'ineo y lasuperficie del lago, se pide:

PROBLEMA 1¡,) • 1

PROBLEMAS RESUELTOS

1

~\/~ ,deEl problema pregunta además las componentes

según la cuerda y su perpendicular:

r--------------------~I \'7 - 2,55 mIs J

La rapidez final del trineo puede hallarse a travésdel Principio del Trabajo y la Energia, entre lasposiciones [1] y [21:

Como esta tensión apunta durante todo el ~~vimientohacia el punto nA", se cumplirá que la cantidad demov í m í en t.o angulal' de "BJI se conae r-va con l'espectCi a "A",durante el desplazamiento. Asl:

(21"-,' ..... --~----->< l'l

A

Entre las posiciones (1) y (2), las fuerzas queactúan sobre el conjunto trineo-persona son el peso, lareacción normal ejercida por la superficie del lago y latensi6n ejercida por la cuerda. ~l peso y la normal se¿H'II..ll.;:tn entl'e si, de tal maner'~ que la fuel'za r'esult.an te esLa tensión de la cuerda.

JJ .-:. 11 •-'- .F'O:3IC!ONl

1

UCAB-170

CA) HRllar la máxima distancia a la que llega a alejarse~?J. disco del pun t.o tiA".

Un peque"o disco "BU, de 200 gramos de masa, seencuentra sobre un plano horizontal idealmente liso. Eldisco está unido a una tira de caucho, de rigidez 8 N/m,cuyo 12:': t.r-emo opu~s t.oes t.á Ut-, ido a LAr. pun t.o f i. jo" A".. L,~longitud natural de la tira es 600 mm. El disco se pone enmovimiento hacia la derecha con una velocidad de 4 mis,cOMO se muestra. Se pide:

PROBLEMA 10.2

[--_._._..__._--_._~(\/C)~: = 2.,(·J¿, ff:/S

------despejando:

y, por Teorema de Pitágoras:

Pero se cumple que:

De ac ue rdc a la ecuac í ón [11:

En el esquerala:(VC)=-: - comporrent.e de V; segl~n la.cIJlel'd.",.(Vp)2 - componente de V; ':oegút", l a p,,'::'l'p<'?n

dicular a la cuerda.

(Vp)2

DIRECCION DE LA CuERDAEN LA POSICION (2)

Vz

1t

UCAB-171

y (t)

(Zl

e om 1en;:::2~ i:~e LlI' V i "1 i flect

valor máximo. A partir de ese moment.o, el discoac e r ca rae ha c i a lOA", siguien,j,:. la t.1'd.yect.c1l'iadese l' i Ca.

Una vez que la distanc ia "AB" alcanza. un va l o r- de 1::.00mm, la l.il'd. corllienz.:;,. a. ha.lal' ,jeldisco, con Liria. fuel'Z:¡~dil'jgida en t.odo moment.o hacia "A". El d í s co comienza enese momento a describir una trayectoria curvilinea. L18g~un instante (2) en el cual la d í s t.an c Le "AB" alca.nzd. 1.11'1

En el instante lnic:al (1), el disco "8" se desplazacon una velocidad de 4 mIs) y l~ tira está combada. Hastat.an t.o la distanc ia entl'e "AH y "B" no llega a igualal' lalongitud natul'al de la ti r a (.6~)') rMI), el ,jisca "8" sedesplaza en linea recta con esa velocidad de 4 mIs, envirtud de la la. Ley de Newt,on.

SOUJCION

30"-,

<,

r = 400mmA

<:8) Ha l La r- la r ap l,jez del disco en la posición an t.er- ior ....

<:C) Ha Ll a r el radio de cur-va t.ur a de la tl'a')'ee tOI' ia de],jj seo ~ ~n did'la pos i r: t,::;,1'"I •

1

~.

UCAB-172

se llega ,"",AS1, a partll' de las ecuaciones (l] y [2]la siguiente ecuac í ón de cuart.o~I'ado:

r.::nde donde, se obtendrá:

T1 - 1/2 fflV 1~! -- 1/2 U) ,2) (4)j; = 1. ,G .r- -V].. - (i-

"1"::;;: _. 1. r;' rllV;2~ - ¡::) 1\!2 :::o:- ,V - 1. /-» K:z::z :::o: - 1/2 ( :::) ( l' ::<: - ~:),6)2:2 - -

donde:

Se tiene asf una ecuación con dos lncógnitas: 1'::;;: yV;:;:. Fode!íll:r3 bu's ce r- una segl_~ndaecuac í ón en el Pr' í nc í p ío do:;:Conservación de la Energla Mecánlca, entre las posiciones(1) y (2):

[1.]de donde, se obtendrá:

Pi - 30°-d2 - 9~,o-

Vi - 4 m/sV2 - ?

l' 1 - ~',4 m\....2 - ?

en esta ecuación, se tiene:

Nótese que durante el movimIento desde (]) hasta (2),la fuerza resulante que act6a sobre el disco se dirigeconstantementt:.' hac í a "A". F'QI' tanto, la can t í darí demovIrn í eri to angl..I1al~del d isco con I'especto de "A" seconserva, dUl'ante es te mov í rn í en Lo , As f:

N6tese la slguiente particularidad: en el punto (2),el v8ctor velocidad es perpendicular a la direcciÓn de lacuerda, por ser justo éste el punto donde el discocomienza a devolverse.

UCAB-17~~:

Un satélite ,artificial describe una órbita elípticaalrededor de la tierra, cuyos ejes mayor y menor seindican en la figura. Cuando el satélite está ubicado enel pel'igeo;:t(punt.o "POI), Sl? et-,Cuentl'.:;o.a una..alt.urs, de :;;::::1.:.Km sobre la superficie terrestre, y su rapidez es de 33870Km/h. El radio de la tierra es de 6380 Km. Se pide hallarJ.a. l' ap idez de 1 ':;até::it.8 en el ap,:ogeo "A I! '¡/ o:?n e l pun lo"BU ..

PROBLEMA 10.3

PROBLEMAS RESUELTOS

El. es t.ucíían t.e debe no t.er que 1'::;;: y.f> no son ~l misrnopal'ámetl'o::lgeomét.l'ic(), CO!IIO;) lo c on f í r-rna el l'oE:sult.ado_

1 F = 1:::: nHfI ]

O,')' - r,', vr :::<: /ot·o.::;':: - "':;;:, JIFn - man :Asi:

ef~,este

dE":Ley

IJf"2a.

hallar el r,adio de curvaturael punto (2), escribamos laí ns tan t.e :

deA fint I'ayectOI'iaNe",..ton pa ra

Vo Lv i e-ndo a [1] v:;¡,- ~),bE. m/s Ir :;: - 1, 22 m

UCAB-174

(A) ::::,4:3 fl:/ SiCE) :::;,ü1::, .J

:30LUCION

I/

<,<, ......__

-<,--_---_.../!'(

entre las dos posielones.latrabajo efectuado sobre la esfera por(B) El

CA) La rapidez de la esf~ra en la segunda posición.

Una cuerda ideal se pasa a través del orificiosuperlor de un poste hueco vertical, y está conectada auna pequeMa esfera de 0,5 Kg de masa. En la posicióninicial, la 2sfera describe un circulo horizontal y secumple que 1 = 2m y a = 30°. Seguidamente, se recoge lacuerda lentamente, hast~ una nueva posición en la cual laesfera describe otro circulo horizontal (situado másarrlba que el primero' para el cual A-60°. Se pidedetel'min'::'.I':

PROBLEMA 1o .4.

V~. - 1954~j !:::m/hSOLUCION: VA - 11290 I·:.fll/'·:;

te'"

UCAB-175

Una cuerda ideal está unida a un pequeno bloque de 8onzas, que puede deslizar sobre una superficie horizontalidealment.e li.sa. La cue¡'rja pasa a t.1'a',/·és dI:: un '::'.gujeposi.t.1...1edo en el punt.o "O", Y 5001'12 ést2, es aplicada J...H'i';:Afuerza constante "F", como se muestra. En la posici.6ninicial, el bloque describe una trayectoria circular, de 1pie de radio, correspondiente a un valor de F = 12 libras.:~:;t::ltji.t..::UYlent.e, ,.:!l va 1.:'1' de "F" S2 \~l'?duce hast.~. l.;n '.1,;:,.101'constante de F = 4 libras. Inmediatamente, el bloquecomienza a describir una trayectoria en espiral haciaafuera. Se pide hallar la rapidez del bloque en el

PROBLEMA 10.6

SOLUCION: 3 N/cm.

Un pequeMo disco de 2 Kg de masa puede deslizar sobreun plano horizontal idealmente liso. El disco estáconectado a una cuerda ideal. El extremo opuesto de lacuerda pasa por un agujero, y se conecta a un resortei,jeal, CJ:JrÚI:. se i.nd ica , EFt la po s í c í on mos t.r acía..., Lavelocidad del disto es de 30 mis hacia la derecha, entanto que la cuerda está totalmente estirada y el resorteposee su longitud natural. Durante el movimientosubsecuente, la.distanc ia ruáxim.::..a la. que llega a ¿dejal'see 1 di.sco de 1. aguj el":' es de 3m- Se pide ha llal' 1a l' ig idezIjel r eso r t.e .

PROBLEMA 10.5

UCAB'-17'::'

A

l' - 2~:,~j~~Km-F: - 24(H~ ~:::rn-

(B) Una vez llegado a "B", hallal' el va Lo r- hasta el cualdebe l'educirse adicionalmente la rapidez para ingresaren la órbita clrcular más pequeMa.

CA) Hallar la r~pidez de la nave justo antes de llegar alpunt.o.:."8",

Una nave espacial describe una órbita circular de2400 Km de radia alrededor de la luna, con una rapidezconstan t.e e),::: .51L1(l f-::fiI/h. Los t.r í pu lan t.e-sdesean t ransf eri rla nave a una órbita circular más peque"a, de 2000 Km deradio. A estos efectos, la rapidez de la nave se l'educe a4.·.:~~)O ~<rf:/ h ~ d.} pa s.::~:' P':'I' e 1 pun to "A". 1nrt)e,j ia t..amen t.e ~ 1anave entl'¿~ en Llna t.r avec t.oria eLíp tí ca "AB", qlJle enla.zarálas dos trayectorias circulares. Se pide:

PROBLEMA 10.7

SOLUCION: 22,7 pie/s

SUPERFICIELISA

instante en que se encuentra a 1,5 pies del agujero.

UCAB-177

CA) 5880 Km/he8> 5630 Km/h

SOLUCION

\[

II

\

UCAF3-17:-:;

J PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGI)LAR

L SISTEMA DE PARTICULAS

UCAB -]. 7'9

a.n gl.l) al'V t::;::, e~:;

expresa que la cantidad de movimjentoslstema es la misma en los lnstantes t1conserv~ 19ual entre dichos instantes.

la l:ua 1.to t.a 1. .jl:?ldec i 1', 58

~ --I (Ho) 1 = I (Ho) ::2

Cuando la suma'Loria de los lmpulsos de todas lasfuel'zas e xt.er-nas es 1""1Ula , entl'e los i ns t.arr t.es t1 y t::a, laecuacion anterior se reduce a la forma:

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR PARA UNSISTEMA DE PARTICULAS

Esta ecuaClOn es válida en los ca~os en que laspal'tlculas de] sistema estén conectadas mediante elementosextensibles o Inextensibles, por las mismas razonescomentadas para al Principio de Tmpulso y Cantidad deMCJvi(úl,-,'nLI"iLineal.

-I(IA)~xT, es la sumatoria de los Impulsos angulares detodas las fuerzas externas que actQan sobreel sistema, entre los instantes inicial Vfinal.

movi_.en el

las can'Lldades delas pert rcuLs.a

r e-spec 'lo de O.

es la sumatoria demiento angular deinstante final, con

~~(HO)l, es la sumatoria de las cantldades de movi-

miento angular de las p~rtfculas en. elinstante inicial, con re~pecto de O.

~ ~ ~ICHo)s + I(IA)~xT - I(Ho)~

y e~(tel'n.¡;;¡_sI.'?nti'edoss j glJ j en'Le

Consideremos una serie de fuerzas internasque ac'L~an sobre un sistema de partlculas~instan'Les de tiempo L1 y 'L2• Se cumple laecuación vectorial:

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGlJLAR PARAlJNSISTEMA DE PARTIClJLAS

Asi, en esta posición, se cumplirá:

En la posición iniclal descrita, los bloques A, B Y edescriben un movimiento circular, de O,60 m de radio, entanto que el bloque O se e~cuentra en reposo.

SOLUCION

Zo

)- (

cbw

En la figura se indica un sistema compue~to porcuatro bloques A, B, e y D, de masas mA = me = me = 1,4 Kgy mo = 4,5 Kg, conectados mediante cuerdas ideales. Losbloques A, B y e pueden deslizar a lo largo de un arreglode barras lisas, separados entre si 120°, montadas sobreun marco circular. Dichos bloques están conectados a trescue rdas , que a su vez están un í de.s a una cuart.a cue rda , dela cual pende libremente el bloque D. En el instanteinicial, los bloques A, B Y e, se mantienen a unadistancia de O,60 m del eje del marco, mediante tres topespequenos, mientras el mismo gira con una velocidad angularde 3 rad/s. Si los topes son retirados súbitamente, sepide hallar la velocidad angular del marco y la velocidaddel.bloque "D", cuancío éste se ha desplazado una dist.anciade (),1.5m.

PROBLEMA 11.1

PROBLEMAS RESUELTOS\

•(VA) l' - l' ::<: ;, 0.-(VA)':' - l"'::;.:v..'~-

F't.:"JS i c í on Fina 1

Si se da la la. Posibilidad, los bloques A, B Y e sealejarán una distancia r2 - O,75 ro,y el bloque Q subiráuna distancia de 0,15 m.

2a. Posibilidad: Los bloques A, B Y e comienzan a acercarse al eje de rotaciÓn y, por tanto, elb1("'queD ba ,ia _

a alejal'setanto, el

la. Posibilidad: Los bloques A, 8 Y e comienzandel eje de r o tac i ón y, pOI'b 1(Jq!.JeD. sube.

A con tí ruraciÓ!·I,los topes son !'etil'ad'::ls súbi tarflent.e.Se pueden presentar ahora dos posibilidades:

Nól>2se que 1':'5 ve e t':.I'esV sor. pel'pendicu l a r-es a Lassbarras, es decir, carecen de componente a lo largo de la~1:0a l' l' a s _

(VA) 1

1'.1 - (> ,60 mIJ.',_ - :::: 1'2t.d/s

Posición Inicial

U(:AB-'182

Si se diese la la. posibilidad, se cumplirá que:

que:se cumpl i r á( ':;"1._,Es decir, entre las posiciones (1) y

Nótese que tanto para la la. como para la 2a.posibilidad, las ónicas fuerzas externas que act6an sobreel conjunto son los pesos de los cuatro bloques, todos deorientación vertical. Por tanto, dichos pesos no producenmomento con respecto del eje del marco, por lo cual seconservará la cantidad de movimiento angular del sistemacon respecto de dicho eje, llamémosle Z.

En esta posición el movimiento centrípeto vieneacampanado por un movImiento transversal. Por e~ta razón,tern~mOS de nuevo las dos compon entes (l'adial y tl'.:1.nsv •er"sal) de las velocidades de A, B y C. En este caso, lacomponente Vr apunta hacia adentro.

(VA).

Ol' - 1":2 <-(VA)':" - 1"'21~'~-

Posición Final

Si se da la 2a. Posibilidad, los bloques A, B Y C seacercarán una distancia r2 = O,45 m, y el bloque O bajaráun a distancia ,je (',15 m.

Nótese que, en esta posición, el movimientocentrifugo viene acampanado por un movimiento transversal.Po r- esta razón , pOI' ejemplo, la ve Lo c í cíad (v:)~ tiene doscomponentes: una radial (vA)r y otra transversal (VA> •• Lorn í smo sucede con (V';)2 y (~)2. Las componentes v ....apurltanhacia afuera, en esta la. posibilIdad.

UCAB··1:33

yf"r"at¡aj eltend\'':;',:

Aplicando de nuevo el Principlo delEnel'gta pdl'a el sist.ema (ecuación [lJ), se

n t:1mE! 1'0

ve r-cíad~ste resultado es absurdo (el cuadrado de un

real no puede ser negativo). Por tanto, lo que enocurre es la 221..posibilidad.,

"::jE:'l 14 j[3J(2] ,lU ,pa l' t. i r\.) , l=-l.5'3 ,.•

Zr,:>:;¡:

[4]

20 + r - const-• • •20 -1 r - i) - ---) l' = '::'0-

Pero se cumple que:

1. ::::]•

(\'0) ~ = 20

donde,:

III

Supongamos inicialmente que 10 que en verdad se da esla la. posibilidad. Aplicando el Prlncipio del Trabajo yla Enel'gl.a pal'a el sist.ema de los cua tr-o bloques, entl'e1.3.S po s í c í one s (1) y <:2):

(~a. Poslbilldad)['J.I~- .5 ,~3:::: I'ad/s

Si se diese la 221..posibilldad, se cumplirá que:

\

.(

\

UCAB·· u:::.<t

Tl"?S I?STI=.'l'a·::¡ idénticas "A", "B" Y "e" de :1. I<g de [I)·9.S':::I.

e a•.da Ut"l·3. y racíios pequl?i'los,est..::tnconect..::;..das¡-fledi.d.ntE.'una.bCÁi'r'2l r i.g ícía y Liv ian a AC, a r tí cu Lada en "O". La tJ3Tl'¿<.

puede girar libremente en un plano vertical. La barra esdejada en libertad desde el reposo en la posiciÓn e = 300•Justo cuando e = 0°, la esfera "A" es impactada por unacuarta esfera "0", también de radio peque~o, de 1 Kg demasa, que se mueve con una velocidad de 10 mis, seg0n unángulo de 45° con la vertical. El coeficiente derestituciÓn del impacto es O,5. La linea de impactoco í nc ide con la línea punteada I/A·'O"" Se pide h8.11.;::'.l' la

F'ROBLEl'"íA 11.2

•Zo~ igual también a una cantidad negativa, en esta 2a.posibilidad? Habrfa querido decir que en verdad, los!:::d.;:_:,qu..:,,'~:;A, B Y C se det.j_(~mencon l'espect.o a las [:,,:;'.\'1','2l':;

antes JjE' l'eCQ1'1'el' una d í s t.an c ía de 0,1..'::, m, por U) c ua lcareceria de sentidQ la pregunta formulada. En el caso quenos ocupa, el bloque O se desplaza hacia abajo unadistancia mayor de O,15 m hast.a detenerse. Se deja comotarea al estudiante el cálculo de esta distancia.

va lorr..H-,8mbargo, ¿qué habria querIdo decir:::-il. n

en la posición final, la velocidad de "0" seray la velocidad angular del marco de 5,33 radis.

A·;::;i ')~), !:;.r:,m.l s ,

As!, el resultado correspondiente a la 2a. posibilidad es perfectamente plausible. Por tanto, al retirar lostope·::;,lo que OCUI'1'e es que "A", "B" Y "C" se acel'can alt::.~I.je (jl.:? r ot.a c í ón , '/ H[)" baia .

.Lo - Ü ,.~,6 mis

[S1 y [6] se obtlene que:A pa l' t i l' de l 1. J

[6]•

(\/0):2 = Zo

r .::'}•(\(A)22 = (-Lo):2 -t.. r·:_?:::C:t.¡J:2:2

,:~T1. :: (:., :304 .J

l

l_.tC:A13-1_!::.5

[ 1J¿T1

Calculemos primeramente la velocidad angular de lab.=-~l'l'a"AC" justo antes del impacto. Pal'a ello, ap liq....lefflosel Principio del Trabajo y la Energla al sistema formadopor las esferas A, B, e y la barra, entre las posicionese = 30° Y e = 0°. Asi:

:30LUCION

"/'"

AII/lI '.\ I A,,-- ./

" I

"-J4S" :

e

velocidad angular de la barra justo después del choque.I

UCAB-186

Nótese que en el momento del impacto, las únicasfuerzas externas al sistema formado por las cuatro esferasy la barra son los pesos de las esferas. Y, si las esterasson de radios despreciables, las líneas de acción de estasfuerzas pasan todas pOr el pivote "0". Por tanto, lacan t í cíad angulal- de mov í m í ent.o del si·5t..emase conserva conrespecto a dicho punto.

As1, antes del choque, la velociada angular de labarra es O,936 radts, y la velocidad de "A" tiene un valorde 1,872 mIs, hacia la izquierda.

I~ - O,936 rad/sIANTES DEL'-o ---'_ It1F'ACTO

[1]sustituyendo, en la ecuación

. . .- 1/2(1)(rA9)2 + 1/2(1)(r~a)2 + 1/2(1)(rc9)2 - 392

!:T1 = (;

\

Ie" I'.,....

III

J / A r'3, ,.~--;-~--------------~\ rA --_"

hl =h2

eI

POSICION (l)

1.'CAB-l :::7

Antes del impacto (1), la bdrra gira en sentidot-;I.)I·';i!'io '¡' la esfel''::'. "D" se despla::::;ah.'.ü:l.:l al'l'iba con una~elocidad de 10 mIs. Como dicha esfera se viene moviendo alo largo de la linea de impacto, justo después del choque~G seguirá ffi0viendo a lo Largo de rlicha linea (hacia

8

o

DESPUÉS DEL'MPACTO (21

(VC

[ 21ECHo)s. - l.(Ho):2

o

e

Wc

(Vch

-~~;!////

"

A

8L

ANTES DEL''''PACTO (1)

e

:::e curnpLí r á , pOI' -tan t.o , que:

Wo

I

UCAB- 1::':;:3

•- l'A6;2 Cos A.So

donde, de acuerdo a los esquemas:\

[41

Se cump Líra que:

DESPU(S OELIMPACTO (2145"

ANTES DELIMPACTO (11

[3]o t.r adel

Por tanto, a fin.de cuentas, tenemos la ecuaCloncon dos incógnitas: 92 y (VO)2' Es necesario buscarecuación. Dicha ecuación corresponde a la expresióncoeficiente de restitución.

y1m,En esta ecuaci6n, rA = ro = 2 m y re - re -al = 0,936 rad/s. Se cumple además que:

. .- mArA~9~ - merB29~ - mcrc29, + moro(vo~)x -

As i , de a cue r-doa la ecuac í ón [21, se c ornp 1il'á que:

arriba o hacia abajo). En el esquema correspondiente alinstante justo después del impacto (2), se ha supuesto quela esfera non se mueve hacia abajo, y que la barra gira ensentido antihorario.

SOLUCION: - 20 rad/s:::;:

,_- 1-Zm/s 1 2 m/s~~------------1+------------~L2m z rn

8_,..,.A-

e; Ie D 10 rod/s

l)r, -=t l'l'eg loen f 01" ma de "T" puede 1'.:;.ta 1- 1ib l' eniente entorno a su eje vertical "GO". El arreglo, de masa despreciable, soporta dos pequenos collares A y B, de 2 Kg demasa cada uno. Dichos collares estén provistos cada uno deun m í núsculo motol', que Los ob l í ga a desplazal'se h3.C iaafuera con una rapidez constante de 2 mis, relativa él,,",-1' I'eglo. CI..Jar-IIjola distanc ia de los eo Ll ares al eje IJ CD"es 2 m, la velocidad angular del arreglo es de 10 rad/s.Se pide hallar la aceleraciÓn angular en dicho instante.

PROBLEMA 11.3


Los valores positivos indican que, como se asumió,después del impacto, la esfera "D" se mueve hacia abajo, yla barra gira en sentida antihorario. Valores negativos dealguna de las cantidades habría indicado una suposicióni rle o') r l'ee t.a .

L~o):::: - 2,43 m/sl

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones [3J y (4]se obtiene:

Sustituyendo estas últimas igualdades en la ecuaci6n[4], ob t.erremos otra ecuación en las incógnitas e:::;: y (VD):::;:.

, · r

iJr'AF:-1'3()

El arreglo de barras y esferas-mostrado es totalmenterigido, y puede girar libremente alrededor de un pivotelocalizado en el punto "A", en un plano vertic~]. La masade cada una de las cuatro esferas es idéntica, en tantoque la ma$a de las barras es despreciable. Se pide hall~runa expresión para la aceleraci6n angular del arreglo e,en función de g, 1 Y 9.

PROBLEMA 11 ..5

SOLUCION: 4,5 rad/s

A

r

~ ~~ ~o M e

r

B

el rni s rno 2\1'l'~g].:;¡ dt:l p rob l ema an t.e r í o r- se disp>:me,~hol'a d,::? Ittatl~?l'aqt..leel eje "CD" es ho rLz on t.aL, En eIinstante í n íc íal , la d í a tan c ía "1'" tiene un valor ele:;2 ((',y el arreglo gira con una velocidad angular de 10 rad/s(.E?n sent.ido horar á o , cuan.:k,es visto de "e" haciz\ "[}"). Ene$e momerito , S'? ap Líc a sobl'e el eje "CD" un pa ra t'1 (.jt2igual sentido), cuyo mÓdulo viene dado por la expreslont1 = :~:t:2 -l- 4l, donde "t" se (,¡ideen segundos, y "t1" en N.m.Se pide determinar la velocidad angular del arreglo, en elinstante en que la posición de los collares es r = 3 M.

,

1PROBLEt"1A11.4.

I---------~

La barra es de masadespl'eciable

lJCAlj-l'31

SOLUCION: CA) 11,62 radie(8) T~ = 120 N; T~ = 337 N<: c. 232 .r

(e) El trabajo efectuado por la fuerza "p".

(8) La i n í c í a I ytensión de la cuerda en las posiciones'f i n a l .

(A) La. ve Lo e i,jad angula,' del s í st.ema cuando la esfel'a "A"se encuentra en la nueva posición.

Una barra lisa de 2 m de longitud se encuentragirando alrededor del eje vertical 0-0t con velocidadangular constante de 4 rad!s, en sentido antihorario,cuando es vista desde arrLba . La esf era "A", de 5 Kg demasa, puede moverse sobre la barra, mientras que la esfera"8", dt2: J ~:::g de masa está fija en el e xt.remo ,je la m í srna ,Una cuerda que p~sa por dentro del eje vertical, estáun í da 3 la esfer'2\ "A'·, 'y la mant iene a 1,5 m Ijel e J e , Si

, se hala la cuerda, reubicando la esfera a 0,5 ro del eje,C_':1 1, e u 1. ¿'," :

.5 a,(7)SOLUCION: f) - Sen e-

'3

PROBLEMA 11.6

(.I.::¡) o ,62 r.../s(S) distancia - 0,J9 m

SOUJCION

o'

a

RESORTfCUfROA

w

(8) Plantear una ecuaClón que permlta determinar lao í st.anc i¡;. l'eCOI'I'i,ja pOI' "B" hasta de terll:?I'se yI'eso 1ve r la,

(A) La l'apidez de "B", cuancío "A" se }".a movido lÜ cm sobl"el.~<. bal'1'.3..

Una barra horizonLal se encuentra girando alrededorde un eje vertical 0-0'eon velocidad angular constante de3 \'ad/s. Un co Ll ar- "A", de 6 I(g,se encuentra sobl'e la1:;'.8.I'I'a a ~~1,7 m de (l-~~', cQnectado a un \'eso\'tede r igi.cíez 4N/el.) 'l a LAn co Ll er "B", de lü ¡(g, wediante una cuerdaideal. En la condición inicial descrita, el resorte poseesu longitud natuf'al)' itA" es manten id,:.er. la po s ic í ónin i. r: i'::t 1 me,j ian t,e dQ-=. tQpes peque('\üs. ::;i Los t:.c,pes sonretirados s~bitamente, se pide:

PROBLEMA 11.7

UCAB-193

Dos collares A y B, de masas MA = 2 Kg Y m~ = 0,5 Kg,están conectados mediante una cuerda ideal de 1 m delongitud. Dichos collares pueden deslizar a lo largo de untravesa"o horizontal l1S0, como se indica. El conjunto

PROBLEI'1A11.'3

(A) 240 I'ad/-:;(B) 62:::0 N

SOUJCION

m

Desprecie fricción y masade las var Ll Laa

A

f¡'¡ - 400 gl'

(8) La fuerza promedio que origin6 la variación de G.

CA) La rapidez angular del sistema en la nueva posición.

El brazo "AS" de un regulador centrifugo puede serdesplazado hacia arriba y hacia abajo, por el efecto deuna fuerza "F", modificándose así el valor de 6. En laposici6n inicial, e = 60°, y el sistema rota con velocidadangular de 80 rad/s. Seguidamente, la fuerza se incrementa, haciendo que e descienda a 30°. Se pide calcular:

I

PROBLEMA 11.8

UCAB-194

(B) Hallar la rapidez absoluta de cada collar, en la mismapo s í c í ón .

CA) Hallar la velocidad angular del arreglo, cuando r = 18pulgadas.

Un arreglo en forma de horqueta puede girarlibremente en torno a su eje vertical. El arreglo, de masadespreciable, soporta tres collares A, B Y e, de 4 lb depeso cada uno, conectados mediante dos cuerdas ideales,como se indica. Inicialmente, los collares A y B están enreposo con respecto a las barras, en la posición r - 9pUlgadas, y la rapidez angular del arreglo es de 2 rad/s.En estas condic io:.nes~ el sistema es dejado en litll?)'tad. :::;epÍtje:

PROBLEt1A11 .10

(A) - 0,50 rad/s2CS) &A = O,11 m/52; aR _ O,61 m/s2

SOLUCION

"AII y "811•

los mÓdulos de las aceleraciones absolu~as de<: B) HaLl a r

CA) Hallar la aceleración angular del conjunto.

puede girar libremente alrededor de un eje vertical. EltravesaMo y su eje son de masa despreciable. En elinstante en que el bloque uAu se encuentra a 60 cm deleje, se está desplazando hacia afuera con una rapidezrelativa al travesano de 40 cm/s, y la rapidez angular delconjunto es de O,5 rad/s. Para este instante, se pide:

UCAB-19.s

(A) - 1,04 rad/s2(B) 0,72 pie/s:::;'

SOLlJCION

(B) La acelel'ac í on del co lLar- "G".

(A) La aceleración angular del arreglo.

Para el mismo sistema del problema anterior, seobsel'va (liJeen c iert.o instante, cuando r = 1.5 plJlga,jas,los collares A y B deslizan sobre las barras hacia afuera,con una rapidez relativa de 9 pulgadas/s, al t.iempo que elarreglo rota con una rapidez angular de 1 rad/s. Para esteinstante se pide hallar:

PROBLEMA 11.11

(A ) C), .50 l'a.d/s(8) VA = Ve = 1,30 pie/s; Ve - 1,07 pie/s

SOLUCION

w

UCAB-196

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