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REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS

SEGUNDO CUATRIMESTRE 2011

GASTÓN ANDRÉS GARCÍA

Hoja de ejercicios 1: Introducción a las representaciones lineales

En lo que sigue, k denotará un cuerpo y en particular Fq denotará el cuerpo de q = pn

elementos, con p un número primo.

Ejercicio 1. Sea CN = 〈g : gN = 1〉 el grupo cíclico de orden N . Hallar las representaciones

de grado 1 sobre k = C,R y Q. Suponiendo que N = 6, hallar las mismas representaciones

para k = F2,F3 y F5.

Ejercicio 2. Sea G un grupo �nito y consideremos kG el álgebra de grupo de G.

(a) Probar que un k-espacio vectorial V es un espacio de representación de G si y sólo si Ves un kG-módulo a izquierda. Además, si V y W son dos espacios de representación de

G, entonces f : V → W es un mor�smo de representaciones si y sólo si es un mor�smo

de kG-módulos. En particular, esto prueba que las categorías Rep G de representaciones

de G y kGM de kG-módulos a izquierda son equivalentes.

(b) Sea (ρ, V ) una representación de G tal que existe v ∈ V tal que {ρ(g)(v)}g∈G es una base

de V . Probar que (ρ, V ) ' (ψ,kG), donde (ψ,kG) es la representación regular.

Ejercicio 3. Sea G un grupo �nito y supongamos que k contiene raíces |G|-ésimas de la unidad,

e. g. es algebraicamente cerrado. Probar que la cantidad de representaciones de grado 1 salvo

isomor�smos está dada por |G/[G : G]|, donde [G : G] es el conmutador de G. En particular, si

G es abeliano, tenemos |G| representaciones de grado 1 no isomorfas.

Ayuda: Las representaciones de grado 1 están dadas por mor�smos de grupo α : G → k×.Probar primero que tales mor�smos se factorizan por α : G/[G : G]→ k×.

Ejercicio 4. Supongamos que car k 6= 2, 3 y consideremos el grupo simétrico S3 y la repre-

sentación (ρ, k3) dada por

ρ(σ)(x1, x2, x3) = (xσ−1(1), xσ−1(2), xσ−1(3)) para todo σ ∈ S3.

(a) Fijando la base canónica de k3 dar la matriz de ρ(σ) para cada σ ∈ S3.

(b) Consideremos ahora las subrepresentaciones de (ρ, k3) dadas por

Wst = {(x1, x2, x3) ∈ k3 : x1 + x2 + x3 = 0} y Wε = 〈(1, 1, 1)〉.Probar que k3 = Wst ⊕Wε, dar un base de Wst y una de Wε, y dar la matriz de ρ(σ)para cada σ ∈ S3 con respecto a la base elegida.

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Hoja de ejercicios 2: Producto tensorial y pletismo

Ejercicio 1. Sea A un anillo conmutativo con unidad y sean M,N,P tres A-módulos. Probarque se tienen los siguientes isomor�smos de A-módulos:

(a) M ⊗A N ' N ⊗A M .(b) (M ⊗A N)⊗A P 'M ⊗A (N ⊗A P ) 'M ⊗A N ⊗A P .(c) (M ⊕N)⊗A P ' (M ⊗A P )⊕ (N ⊗A P ).(d) A⊗A M 'M .

Ejercicio 2. Sean A,B dos anillos conmutativos con unidad,M un A-módulo, P un B-móduloy N un (A,B)-módulo, es decir, un A-módulo (a izq.) y un B-módulo (a der.) tal que (a ·n) ·b =a · (n · b) para todo n ∈ N , a ∈ A, b ∈ B. Probar que M ⊗A N es un B-módulo, N ⊗B P es unB-módulo y se tiene que

(M ⊗A N)⊗B P 'M ⊗A (N ⊗B P ).

Ejercicio 3. Sean G un grupo y F : (ρ, V )→ (ψ,W ) un mor�smo de representaciones linealesde G. Probar que (ρ|KerF ,KerF ) es una subrepresentación de (ρ, V ) y (ψ|ImF , ImF ) es unasubrepresentación de (ψ,W ).

Ejercicio 4. Sean V,W dos k-espacios vectoriales y n ∈ N.

(a) Probar que

∧n(V ⊕W ) 'n⊕

i=0

∧iV ⊗ ∧n−iW y que Symn(V ⊕W ) 'n⊕

i=0

Symi V ⊗ Symn−iW.

(b) Usando (a) probar por inducción que si dimV = m entonces

dim∧nV =

(mn

)si m ≥ n y dimSymn V =

(m+ n− 1

n

).

Ejercicio 5. Sea G = S3 el grupo simétrico y k un cuerpo de característica distinta de 2y de 3. Considere las representaciones simples dadas por la representación trivial (ε,kε), larepresentación signo (sg,ksg) y la representación estándar (ρ, Vst), donde Vst = {(x, y, z) ∈ k3 :x+ y + z = 0}.(a) Probar que Vst ⊗ Vst ' kε ⊕ ksg ⊕ Vst.(b) Encontrar la descomposición de las representaciones dadas por Sym2 Vst y Sym3 Vst.(c) Probar que Sym2(Sym3 Vst) ' Sym3(Sym2 Vst).

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Hoja de ejercicios 3: Caracteres

Ejercicio 1. Sea G un grupo y (ρ, V ), (ψ,W ) dos representaciones de G de grado �nito.

Probar que Hom(V,W ) = {f : (ρ, V ) → (ψ,W ) : f es lineal} es un espacio de representación

de G y vale que Hom(V,W ) ∼= V ∗ ⊗W como representaciones de G. Más aún, si denotamos

HomG(V,W ) = {f : (ρ, V ) → (ψ,W ) : f mor�smo de rep.} y (V ∗ ⊗W )G = {α ∈ V ∗ ⊗W :g · α = α}, entonces (V ∗ ⊗W )G ∼= HomG(V,W ).

Ejercicio 2. (Fórmula original de punto �jo)Sea G un grupo y supongamos que G actúa en un conjunto �nito X. Si denotamos por V = kXal espacio de representación asociado a esta acción y χV es el caracter correspondiente, probar

que, para todo g ∈ G, χV (g) es la cantidad de elementos de X �jados por la acción de g.

Ejercicio 3. Supongamos que k es algebraicamente cerrado y que car k 6= 2, 3. Sea G = S3 el

grupo simétrico en tres letras y (ε,kε) la representación trivial, (sg,ksg) la representación signo

y (ρ, Vst) la representación estándar.

(a) Probar que (ε,kε), (sg,ksg), (ρ, Vst) son representaciones simples, son no isomorfas entre

sí y además son las únicas salvo isomor�smos.

Ayuda: Si (ψ,W ) es una representación de S3, entonces por restricción es una represen-

tación de A3 = 〈(123)〉. Descomponer W usando la acción de A3 y luego usar que (123)y cualquier trasposición τ generan S3 con la relación τ(123)τ = (123)2 = (132).

(b) Usando teoría de caracteres probar que V ⊗nst∼= k⊕a

ε ⊕ k⊕bsg ⊕ V ⊕c

st , donde a = b =13(2n−1 + (−1)n) y c = 1

3(2n + (−1)n−1) para todo n ∈ N0.

Ejercicio 4. Supongamos que k es algebraicamente cerrado y que car k = 0. Sea G un grupo

�nito y sean (ρ, V ) (ψ,W ) dos representaciones de G de grado �nito.

(a) Probar que

χSym2(V⊕W ) = χSym2(V ) + χSym2(W ) + χV χW y que

χ∧2(V⊕W ) = χ∧2(V ) + χ∧2(W ) + χV χW .

Usar esto para descomponer χSym2(V⊕W ) y χ∧2(V⊕W ) en término de χV y χW .

(b) Calcular los caracteres de las representaciones dadas por Symk V y ∧kV para todo k ≥ 3.

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Hoja de ejercicios 4: Caracteres y representaciones simples. Ejemplos: S4 y A4.

Supondremos en esta hoja de ejercicios que k es algebraicamente cerrado y de característica

cero, todos los grupos son �nitos y las representaciones son de grado �nito.

Ejercicio 1. Sea G un grupo y (ρ, V ), (ψ,W ) dos representaciones de G siendo (ρ, V ) simple.

Probar que dim HomG(V,W ) = 〈χV , χW 〉.

Ejercicio 2. Sea G un grupo. Probar que G es abeliano si y sólo si todas sus representaciones

simples son de grado 1.

Ejercicio 3. Encontrar las representaciones simples del grupo alternado A4 y dar su tabla de

caracteres.

Ejercicio 4. Considerar el grupo simétrico en cuatro letras S4 y su subgrupo alternado A4.

(a) ¾Cuáles de las representaciones simples de S4 son representaciones simples de A4 cuando

se restringen al subgrupo?

(b) ¾Qué representaciones simples no isomorfas de S4 son isomorfas cuando se las considera

como representaciones de A4 usando la restricción?

(c) ¾Cuáles de las representaciones de A4 se obtienen a partir de restricciones de represen-

taciones de S4?

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Hoja de ejercicios 5: Descomposición canónica, y subgrupos abelianos.



Ejercicio 1. Sea G un grupo �nito yW1, . . . ,Wk los representantes de las clases de isomor�smos

de representaciones simples de G. Sea (ρ, V ) una representación de G y V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vmsu descomposición canónica, donde Vi es la componente isotípica de V correspondiente a Wi.

Supongamos que B = {e1, . . . , eni} es una base de Wi y que [ρ(g)]B = (rk`(g)) para todo g ∈ G.

Consideremos la transformación lineal dada por

pk,` =ni|G|

∑g∈G

r`,k(g−1)ρ(g),

donde ni = dimWi. Probar que

(a) La aplicación pk,k es una proyección que es nula en Vj si j 6= i, Im pk,k := Vi,k ⊆ Vi paratodo 1 ≤ k ≤ ni y Vi = Vi,1 ⊕ · · · ⊕ Vi,ni

. En particular, pi =∑ni

k=1 pk,k.(b) La aplicación pk,` es nula en Vj si j 6= i y en Vi,r si r 6= ` y de�ne un isomor�smo

Vi,` ∼= Vi,k.(c) Sean 0 6= x1 ∈ Vi,1 y xk = pk,1(x1) ∈ Vi,k. Entonces los elementos {xk}1≤k≤ni

son

linealmente independientes y generan un subespacio W (x1) que es G-invariante. Más

aún, para cada g ∈ G se tiene que

ρ(g)(xk) =

ni∑`=1

r`,k(g)x`;

en particular, W (x1) ∼= Wi.

(d) Si {x11, . . . , x

m1 } es una base de Vi,1, entonces

Vi =m⊕j=1

W (xj1).

Ejercicio 2. Sea S3 el grupo simétrico en 3 letras, (ρst, Vst) la representación estándar con ca-

racter χst y E3 = 16

∑σ∈S3

χst(σ−1)σ ∈ kS3. Probar que kS3E3

∼= Vst⊕Vst como representaciones

de S3.

Ejercicio 3. Sea G un grupo abeliano y sea G el conjunto de caracteres irreducibles de G.

(a) Probar que G es un grupo abeliano y queG ∼= G.

(b) ¾Qué sucede si G no es abeliano? Calcular S3 y S4.

Ejercicio 4. Supongamos que k = C. SeaG un grupo y sea (ρ, V ) una representación irreducible

de grado n y caracter χ. Si Z(G) denota el centro de G, probar que1

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(a) ρ(g) es una homotecia para todo g ∈ Z(G). En particular, |χ(g)| = n para todo g ∈Z(G).

(b) n2 ≤ |G||Z(G)| .

(c) Si ρ es �el, esto es ρ(g) 6= 1 si g 6= 1, entonces Z(G) es cíclico.




Hoja de ejercicios 6: Representaciones inducidas, representaciones simples de S5 y A5.



Ejercicio 1. Sea G un grupo �nito. Decimos que una representación (ρ, V ) es �el si el mor�smo

de grupos ρ : G → GL(V ) es inyectivo. Sea (ρ, V ) una representación �el, probar que toda

representación simple de G está contenida en alguna potencia tensorial V ⊗n de V .

Ayuda: Si χV es el caracter de V y ψ es el caracter de una representación simple, considerar

an = 〈ψ, χnV 〉 y la serie de potencias

∞∑n=0

antn =

1

|G|

∞∑n=0

∑O

|O|ψ∗(O)χV (O)ntn =1

|G|∑O

|O|ψ∗(O)1− χV (O)t

,

donde O representan las clases de conjugación de G. Mostrar que el lado derecho es una función

racional no trivial.

Ejercicio 2. Sea G un grupo �nito y H un subgrupo de G. Si (ρ, U) es una representación de Gy (ψ,W ) es una representación de H, probar que U ⊗ IndW = Ind(ResU ⊗W ). En particular,

Ind(ResU) = U ⊗ P , donde P es la representación de G en G/H dada por la acción canónica.

Ejercicio 3. Determinar las clases de isomor�smos de las representaciones de S4 inducidas por

(a) la representación de grado 1 del subgrupo cíclico generado por el 4-ciclo (1234) dada por

χ(1234) = i.(b) la representación de grado 1 del subgrupo cíclico generado por el 3-ciclo (123) dada por

χ(123) = ω con ω una raíz 3-ésima primitiva de la unidad.

Ejercicio 4. Describir las representaciones simples de S5 y A5 y dar sus respectivas tablas de

caracteres.

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Hoja de ejercicios 7: Representaciones inducidas, transfromada de Fourier y

representaciones simples de SL2(F3).

Supondremos en esta hoja de ejercicios que k es algebraicamente cerrado y car k = 0.

Ejercicio 1. Sea G un grupo �nito y H un subgrupo. Considerar el conjunto G/H y la repre-

sentación que éste induce por la multiplicación a izquierda y sea χ el caracter correspondiente.

(a) Probar χ = IndGH(εH).

(b) Probar que χ− εG es el caracter de una representación de G.(c) Determinar bajo qué condiciones la representación hallada en (b) es simple. Ayuda: Usar

la fórmula de reciprocidad.

Ejercicio 2. Sea G un grupo �nito y H un subgrupo de G. Sea (ψ,W ) una representación de

H, probar que

IndW ∼= HomH(kG,W ) ∼= {f : G→ W : f(hg) = hf(g), g ∈ G, h ∈ H},donde G actúa por (g · f)(t) = f(tg).

Ejercicio 3. Sea G un grupo �nito y (ρ, V ) una representación de G. Si ϕ : G → k es una

función, se de�ne la transformada de Fourier ϕ(ρ) en End(V ) por

ϕ(ρ) =∑g∈G

ϕ(g)ρ(g).

(a) Si se de�ne el producto de convolución por (ϕ∗ψ)(g) =∑

h∈G ϕ(h)ψ(h−1g), probar que

ϕ ∗ ψ(ρ) = ϕ(ρ)ψ(ρ).(b) Probar la fórmula de inversión

ϕ(g) =1

|G|

h∑i=1

dimVi Tr(ρi(g−1)ϕ(ρi)),

donde la suma es sobre todas las representaciones simples (ρi, Vi) de G.(c) Probar la fórmula de Plancherel∑

g∈G

ϕ(g−1)ψ(g) =1

|G|

h∑i=1

dimVi Tr(ϕ(ρi)ψ(ρi)),

donde la suma es sobre todas las representaciones simples (ρi, Vi) de G.

Ejercicio 4. Sea F3 el cuerpo de 3 elementos. Considerar el grupo �nito

SL2(F3) = {( a bc d ) : ad− bc = 1, a, b, c, d ∈ F3}.

(a) Probar que |SL2(F3)| = 24.1

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(b) Probar que SL2(F3) contiene un subgrupo isomorfo a Q4 y deducir que SL2(F3) 6∼= S4.

(c) Describir las representaciones simples y dar su tablas de caracteres.




Hoja de ejercicios 8: Valuaciones y números p-ádicos.

En lo que sigue, p denotará un número primo.

Ejercicio 1. Sea Qp el anillo de los números racionales p-ádicos

(i) Probar que

Qp∼= {(. . . a2a1a0a−1a−2 . . . a−t)| 0 ≤ ai < p, a−t 6= 0} y

Zp∼= {(. . . a2a1a0)| 0 ≤ ai < p}.

(ii) Probar que α = (. . . a2a1a0a−1a−2 . . . a−m)p ∈ Qp tiene �nitas cifras, i.e. ai = 0 para

todo i mayor o igual a un cierto N ∈ N, si y sólo si α ∈ Q es positivo y su denominador

es una potencia de p.(iii) Probar que α = (. . . a2a1a0, a−1a−2 . . . a−m)p ∈ Qp tiene cifras que se repiten, i.e. ai =

ai+r para algún r ∈ N y para todo i mayor o igual a un cierto N ∈ N, si y sólo si α ∈ Q.

(iv) Probar que car Qp = 0.

Ejercicio 2. Probar que dos valuaciones ϕ1 y ϕ2 sobre un cuerpo k son equivalentes si para

algún 0 6= a ∈ k, ϕ1(a) < 1 si y sólo si ϕ2(a) < 1.

Ejercicio 3. Sean ϕ1 y ϕ2 dos valuaciones sobre un cuerpo k. Probar que ϕ1 es equivalente a

ϕ2 si y sólo si existe un número real positivo α tal que ϕ1(x) = ϕ2(x)α para todo x ∈ k.

Ejercicio 4. Probar que, si 0 < ρ < 1, entonces la función sobre Q de�nida por

|x|ρ,p =

{ρνp(x) si x 6= 0,

0 si x = 0.

es una valuación no arquimedeana. Probar usando el ejercicio anterior que esta valuación es

equivalente a ϕp. ¾Qué sucede si ρ = 1? ¾y si ρ > 1?

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Hoja de ejercicios 9: Sistemas p-modulares.

En lo que sigue, p denotará un número primo y (K,R, k) un sistema p-modular.

Ejercicio 1. Sean A un dominio íntegro y K su cuerpo de fracciones. Para cada A-módulo Mse de�ne el mor�smo de A-módulos ψ : M → K ⊗A M dado por ψ(m) = 1 ⊗ m para todo

m ∈M . Probar que Kerψ = t(M), donde t(M) es la torsión deM . En particular, ψ es inyectivo

si y sólo si M es libre de torsión.

Ejercicio 2. Sean G un grupo �nito y T : G → GL(n,R) un mor�smo de grupos, i.e. una

representación matricial sobre R, donde T (g) = (aij(g))1≤i,j≤n para todo g ∈ G. Se de�ne el

mor�smo de grupos T : G→ GL(n, k) por T (g) = (aij(g))1≤i,j≤n para todo g ∈ G. Probar que

si (ρ, V ) es un KG-módulo y T es una representación matricial de G sobre R dada por un RG-

retículo completo M en V con respecto a una base {m1, . . . ,mn} de M , entonces {m1, . . . ,mn}es una base de M sobre k y T de�ne una representación matricial de G sobre k.

Ejercicio 3. Probar que M ∼= k ⊗R M .

Ayuda: Usar que se tiene la s.e.c 0→ ℘→ R → k → 0 donde ℘ es el ideal maximal de R y

aplicar el funtor (−)⊗RM a la s.e.c. Notar que dicho funtor es exacto, puesM es un R-módulo

libre.

Ejercicio 4. Sean A un anillo artiniano, V1, . . . , V` un conjunto completo de representantes de

A-módulos simples �nitamente generados y U ∈ A−mod. Denotemos por rj(U) la cantidad de

factores de descomposición de U que son isomorfos a Vj. Probar que la aplicación rj : A−mod→Z es aditiva con respecto a s.e.c.

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Hoja de ejercicios 10: Completaciones, matrices de descomposición.

En lo que sigue, p denotará un número primo, (K,R, k) un sistema p-modular, ℘ ⊂ R el ideal

maximal de R y ϕ la valuación discreta de R.

Ejercicio 1. Recordemos que dos topologías σ y τ sobre un espacio X son equivalentes si

son iguales como conjuntos, es decir, todo abierto en la topología (X, σ) es un abierto en la

topología (X, τ). Probar que la topología ℘-ádica es equivalente a la topoloía ϕ-ádica.

Ejercicio 2. Encontrar un ejemplo de un sistema p-modular (K,R, k), un grupo �nito G y

dos RG-retículos completos M1 y M2 en un KG-módulo simple V tales que M1 y M2 no sean

isomorfos como kG-módulos.

Ejercicio 3. Encontrar las matrices de descomposición de los grupos S3 y S4 en el caso que

p = 3 y el sistema 3-modular sea (Q3,Z3,F3).

Ejercicio 4. Sea A un anillo semisimple. Probar que K0(A) = G0(A).

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Hoja de ejercicios 11: Representaciones de S3 y S4 sobre F3. Caracteres de Brauer.

En lo que sigue, p denotará un número primo, (K,R, k) un sistema p-modular, ℘ ⊂ R el ideal

maximal de R y ϕ la valuación discreta de R.

Ejercicio 1. Describir las representaciones simples de S3, y sus correspondientes envolventes

proyectivas, sobre F3.

Ejercicio 2. Describir las representaciones simples de S4, y sus correspondientes envolventes

proyectivas, sobre F3.

Ejercicio 3. Sea G un grupo abeliano �nito tal que p divide al orden de G. Determinar los

caracteres de Brauer de los kG-módulos simples.

Ejercicio 4. Sea G un grupo �nito. Probar que el núcleo del mor�smo de descomposición

d : G0(KG)→ G0(kG) está dado por el siguiente subconjunto de caracteres virtuales

{ψ ∈ R(G) : ψ|Gp′= 0}.

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