Resolución, por medio del Álgebra Geométrica de Grossman y Hestenes, un problema “construcción” de la geometría clásicaJimSmithInChiapas2 junio 2014

Este video es dirigido y dedicado, sobre todo, a todos quienes (como yo) aprenden el Álgebra Geométrica (AG) de forma autodidáctica.

Pienso preparar más videos del mismo tipo (es decir, resoluciones por medio del AG, de problemas clásicos de la construcción), en los cuales se usarán otras maniobras comunes en el AG.

Además de los videos, presentaré resoluciones más completas en un documento que lo haré disponible en línea.

Entonces, invito y agradezco de antemano sus observaciones y críticas. (Inclusive de mi Español.)

El Autor

cuales están al mismo lado de . Debemos encontrar (construir) las circunferencias tangentes a , y que pasen por los dos puntos.

Se nos presentan una recta y dos puntos (a y b) ajenos a ésta, ambos de los

Bueno, se ha observado que muchos problemas tales se reducen a la identificación de algún punto.

En el caso del problema que tratamos aquí, dos puntos “candidatos” razonables son • Los centros de las

circunferencias; y • Los puntos de tangencia.

Por supuesto, nuestra búsqueda tendrá que partir de nuestros conocimientos acerca de circunferencias y tangentes.

La resolución de este problema por media de la geometría clásica usa los siguientes tres conocimientos:

(1) El bisectriz de una cuerda de una circunferencia pasa por el centro de ésta.

Entonces, el bisectriz del segmento pasa por los centros de las dos circunferencias que buscamos.

(2) La recta perpendicular a una recta tangente a una circunferencia, y que pasa por el

punto de tangencia, pasa por el centro de la circunferencia.

(3) Como lo expresan los libros de texto de la geometría, “Si de un punto exterior a un

círculo se trazan a él una secante y una tangente, la tangente es la media proporcional entre la secante y su parte exterior.” Por ejemplo,

Los mismos conocimientos pueden usarse en la resolución por medio del AG.

Sin embargo, uno de los fuertes del AG es el manejo fácil, de ángulos y de rotaciones de vectores.

Entonces, usaremos el siguiente conocimiento acerca de los ángulos que se pueden identificar en nuestro diagrama:

Los dos ángulos amarillos son iguales el uno al otro, y los azules son iguales el uno al otro:

Para usar este conocimiento con provecho en la resolución por medio de la AG, expresamos en la forma de vectores, los elementos claves de nuestro problema.

En concreto, ambos de los puntos de tangencia le pertenecen a . De las múltiples maneras que el AG ofrece para expresar una recta en función de n-vectores, …

elegimos la de tomar como punto de referencia a algún punto q que le pertenece a la recta, y definimos un

un vector unitario paralelo a …,

t1 y t2 son los dos puntos de tangencia.

para luego expresar la ubicación de cualquier punto v sobre como el punto terminal del vector que lleva el mismo nombre v:

,siendo λ un parámetro escalar.

De aquí en adelante, con fines de brevedad, escribiremos ésta como

,con el entendido que este vector v es la ubicación del punto v con respecto al q.

Según este esquema, podemos expresar los dos puntos de tangencia como

, y .

Ahora, tratemos la mayor de las dos circunferencias que nos toca identificar, agregándole al diagrama los elementos que nos resultarán útiles …

La igualdad de los ángulos amarillos es útil por tanto el AG posibilita expresar un vector como la (rotación + dilatación)

de otro.

Por ejemplo, en el siguiente diagrama,

,

siendo i el bivector unitario del plano que contiene los vectores p y v.

Con frecuencia, conviene trasformar esta última:

.

O sea, .

Re-examinando la figura que trata la circunferencia mayor, y apoyándonos en la identidad , podemos

escribir …

, y

.

A esas alturas, tenemos, y .

Son incógnitas, el ángulo y el vector t2. Entonces, usaremos una maniobra común para tratar con esta dificultad.

Primero, formamos el cociente de las dos ecuaciones:

. Se eliminó la .

Ahora, en cuanto a lo que queda de la expresión que teníamos en el lado derecho, o sea,

,retomamos a Hestenes (New Foundations for Classical Mechanics, p. 89).

En vez de trabajar más, esta expresión,

notamos que es algún escalar, mismo que lo representamos por medio del símbolo . Entonces, …

.

Por lo tanto,

,

.

Ahora, es provechoso sustituir t2 por :

.

NB: =1 ; =0. Las dimensiones de “1” en “” son (Longitud)2.

De esta última, se obtiene una ecuación cuadrática en :

.

Al resolver la cuadrática, se encuentra que la una de las raíces es (es decir, el valor de para el punto de tangencia t2),

y la otra es (el valor de para el punto de tangencia t1). Este resultado, claro, debe investigarse, pero no lo

haremos aquí. (Lo hago en el documento que haré disponible en línea.)

Para terminar, escribimos la ecuación para la circunferencia que tiene t2 como punto de tangencia. Retomando a Hestenes (New Foundations for Classical Mechanics, p. 89), usamos la siguiente forma paramétrica:

Todo punto x que le pertenece a dicha circunferencia cumple la condición

*,.

(*“” significa que es un escalar.)

El significado geométrico de la condición expresada por , es que un punto x le pertenece a la circunferencia si y solo si son iguales,

los ángulos axb y at2b.

Muchas gracias por su tiempo y atención. Agradezco de antemano sus observaciones y críticas.

Fin