scv_2015_t_04

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UNIUNISemestralSemestral2 0 1 5

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• Ciencias Naturales

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4Preguntas propuestas

Trigonometría

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822

2

Ecuaciones trigonométricas

NIVEL BÁSICO

1. Calcule la menor solución positiva de la si-guiente ecuación.

cos cos cos2 4 614

θ θ θ =

A) p6

B) p12

C) p10

D) p16

E) p8

2. Calcule la suma de soluciones de la siguiente ecuación

8cos3x – 4cosx – 1=0; x ∈ ⟨0º; 180º⟩

A) 336º B) 262º C) 350ºD) 198º E) 264º

3. Calcule la solución general de la siguiente ecuación.

2 2 0sen cos tan cot ;x x x x n+ − − = ∈Z

A) 24

nππ

+{ } B) nππ

+{ }8 C) 2

54

nππ

+{ }D)

nπ π2

58

+{ } E) 234

nππ

+{ }4. Dada la ecuación cotx – 2cot2x+4cot4x=5tanx calcule la menor solución positiva.

A) p4

B) p3

C) p8

D) p10

E) p5

5. Calcule la suma de soluciones de la ecuación 4(senx – cscx)tanx+csc2x cosx=0; x ∈ ⟨ – 2p; 2p⟩

A) p B) – 2p C) 2pD) – p E) – 3p

6. Resuelva la ecuación

sen sec

sencos sec

42 2 4 1

x xx

x x= − −

e indique la suma de soluciones en el intervalo ⟨0; 2p⟩.

A) 6p B) 8p C) 92p

D) 4p E) 72p

NIVEL INTERMEDIO

7. Calcule el número de soluciones de la ecuación tan cot sen cos ; ;x x x x x− = +( ) ∈3 4 3 0 2π

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

8. Si x1 y x2 son soluciones de la ecuación, tal que x1 ≠ x2 ≠ np; n ∈ Z

(b+c)senx+bsen2x+csen3x=0 calcule arc sec(secx1+secx2)

A) 56p

B) 23p

C) p6

D) p3

E) 34p

9. Si a; b; c y d son números positivos que están en progresión aritmética en ese orden, indique una solución de la ecuación

cos cos cos cos2 2

2 21

12

ax bxdx cx

+

= + ( )+ ( )[ ]

A) na c

nπ−

∈; Z

B) nb c

nπ−

∈; Z

C) 4na b

nπ

−∈; Z

D) 2na d

nπ

+∈; Z

E) 2 1na d

n+( )−

∈π; Z

Trigonometría


3

10. Si x ∈π π2

32

; , calcule la suma de soluciones

de la ecuación 4|senx||cosx| – |cosx|=1

A) p B) 0 C) 3pD) 4p E) 2p

11. Resuelva la inecuación cos(2x+20º)+cos(x+380º)+cos340º ≥ 0; x ∈ [0º; 180º]

A) [0º; 70º] ∪ [120º; 160º]B) [0º; 70º] ∪ [120º; 150º]C) [0º; 70º] ∪ [120º; 180º]D) [0º; 60º] ∪ [120º; 160º]E) [0º; 90º] ∪ [120º; 160º]

12. Resuelva la inecuación

sen5x < cos2x en el intervalo 02

;p

A) p p14

514;

B) 014

514

25

; ;π π π

∪

C) 010 6

514

; ;π π π

∪

D) 014 6

514

; ;π π π

∪

E) π π π π14 6

514 2

; ;∪

13. Si el conjunto solución de la inecuación trigo-nométrica

sen cos ;2

223

xx n

−

< −( ) ∈

θθ Z

es ⟨3np; p+3np⟩, entonces el valor de q es igual a

A) p3

B) p4

C) p2

D) p8

E) p

14. Calcule el conjunto solución de la inecuación

sen cos tan ;x xx

k+ ≥ ∈2

Z

A) 22

2k kππ

π; +

B) ⟨ – p+2kp; 2kp]

C) − + +π ππ

π22

2k k;

D) π

π π π2

2 2+ +k k;

E) − +

ππ π

22 2k k;

15. Del sistema de ecuaciones

cos sen2 22 214

α θ− = (I)

α θπ

+ =6

(II)

halle los valores que toma a si a ∈ ⟨0; p].

A) 02

;π{ }

B) π

π6;{ }

C) π π π

π6 2

23

; ; ;{ }D)

π π4 2;{ }

E) π π π6 2

23

; ;{ }NIVEL AVANZADO

16. Resuelva la ecuación senx=tanx e indique la suma de soluciones en ⟨0; 2p⟩.

A) 4p B) 52p

C) 5p

D) 94p

E) 114p

Trigonometría


4

17. Calcule la suma de soluciones de la ecuación

sen2x+2senx=cos2x+2cosx+3, x ∈ ⟨ – 2p; 7p⟩.

A) 252p

B) 24p C) 192p

D) 26p E) 232p

18. Calcule el número de soluciones de la ecuación

3 18 52 2 12 1622 2tan tan tan tanx x x x− + + − + =

− + +tan tan2 6 280x x

si x ∈ ⟨0; 50p⟩.

A) 50 B) 30 C) 60

D) 40 E) 70

19. Resuelva la inecuación e indique un conjunto

solución.

2 5 2 2 3 2tan tan tanx x x− < − − −

A) π4

52

; arctan

B) 052

; arctan

C) arctan ; arctan52

3

D) ⟨0; arc tan3⟩

E) p4

3; arctan

20. Resuelva la ecuación

tan cot2 222

11π πx y x y

x

x+( ) + −( ) =

+−

e indique los valores de x; ∀ n ∈ Z.

A) n2

14

− B) n2

14

+ C) n −14

D) n +14

E) 212

n −

Trigonometría


5

Resolución de triángulos oblicuángulos

NIVEL BÁSICO

1. En un triángulo ABC se cumple que

sensen

sensen

AC

A BB C

=−( )−( )

calcule a c

b

2 2

2+

A) 1

B) 1/2

C) 4

D) 1/4

E) 2

2. Calcule el valor de x si AC=BN.

B

2x

4x3xA CN

A) 15º B) 18º C) 20º

D) 5º E) 10º

3. Del gráfico, calcule BM si AB=3, BC=5 y CM=2.

B

2θ θA CM

A) 333 B) 3333

C) 3339

D) 23

333 E) 1113

4. En el cubo mostrado, halle 5 cosθ si AM=MB.

θ

A M B

A) 2 B) 1/2 C) 1/3

D) 1 E) 1/4

5. Del gráfico, calcule MN si AB=1, BC=2, CN=3

y AN=4.

B

C

NM

θ

A

A) 1/2 B) 15/7 C) 4/3

D) 13/2 E) 8/9

6. Del gráfico, calcule sensen

42θθ

23

5– 3 5+ 3

θθ

A) 2/9

B) 1/9

C) 2/3

D) 3/4

E) 1/3

Trigonometría


6

7. Del gráfico, calcule x/y en términos de q y a.

3 x

y

2

αθ

45º

A) 32sen cscθ α

B) 32sen senα θ

C) 32sen cscα θ

D) 23csc cscθ α

E) 23sen cscα θ

NIVEL INTERMEDIO

8. En el gráfico, O' y O'' son los centros de las

circunferencias tangentes a los lados del rec-

tángulo. Si el punto P es de tangencia, calcule

1802 cosθ.

28

9

P

θ

O''

O'

A) 28

B) 29

C) 30

D) 31

E) 32

9. Del gráfico, calcule 32cotθ.

30º

2θ

3

30º

A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3

D) 1/6 E) 5/6

10. Del gráfico, calcule la suma de valores de q.

30º

secθ

2θ2

A) 60º B) 80º C) 120º

D) 70º E) 150º

11. Dado un triángulo ABC de lados a; b y c, res-

pectivamente, reduzca la expresión.

a b c

a b b c A bc A

4 4 4

2 2 2 2 2 32 4 4

+ −+ −cos cos

A) 1 B) 1/2 C) 2

D) 1/4 E) 3

12. En un triángulo ABC de lados a; b y c, respec-

tivamente. Si el circunradio es R, además se

cumple que

a b c

Ab a c

Bc a b

CR

2 2 2 2 2 233

+( )+

+( )+

+( )=

sec sec sec calcule senA senB senC.

A) 1/16 B) 1/8 C) 1/4

D) 1/9 E) 2/27

Trigonometría


7

13. En un triángulo ABC de lados a; b y c, respecti-vamente, se cumple que

cot cot cotA B Ca b c

+ + =+ +2 2 2

8 calcule el área del triángulo ABC.

A) 4 B) 1/8 C) 6D) 1/4 E) 2

14. Si AC BC+ = 12 3 y CN=5, calcule el circunra-dio del triángulo ABC.

B N

C

30º 30º

A

A) 84 B) 85 C) 70

D) 78 E) 90

15. Del gráfico, calcule x/y si q toma su mínimo valor.

A) 3

yx

1

θ

4 2

B) 6

C) 5

D) 2

E) 10

NIVEL AVANZADO

16. ¿En qué tipo de triángulo ABC, son circunradio R, se cumple que

bccosA+accosB+bacosC=4R2

A) isóscelesB) acutánguloC) obtusánguloD) rectánguloE) equilátero

17. Si AB=c, AC=b y ANb c

=+3

, calcule los valores

de los ángulos del triángulo ABC.

A

C N B

60º

θ θ

A) 45º; 55º; 80ºB) 60º; 30º; 90ºC) 50º; 60º; 70ºD) 72º; 28º; 80ºE) 72º; 24º; 84º

18. Del gráfico, ¿a qué es igual CM+AE?

A) AM A E

M

CB

αα

60º60º

60º

B) BE

C) BM

D) BC

E) AB

19. Las longitudes de los lados de un triángulo son las tres raíces distintas de la ecuación

4x3 – 24x2+47x – 30=0 calcule el área del triángulo.

A) 1/2 B) 3/2 C) 1/4D) 3/4 E) 3/8

20. Si G es baricentro y S el área del triángulo ABC, calcule cota – 3cotq en términos del lado a y su área S.

A) a2

2S

A

C Ba

cb

θ

α

G

B) 2 2aS

C) a2

S

D) a2

4S

E) 32

2aS

Trigonometría


8

Cónicas I

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, G es baricentro de la región triangular ABC, AB=18 y mS ACB=74º. Halle la ecuación de la parábola cuya directriz es paralela al eje X; C es foco de la parábola.

A B

G

C

Y

X

A) (x – 1)2=32(y – 4)

B) (x – 2)2= – 32(y+4)

C) x2= – 32(y+4)

D) (x+3)2= – 16(y – 4)

E) (x+2)2= – 12(y+4)

2. Si el inradio del triángulo VMN es 4 5 2−( ), V el vértice y F el foco de la parábola. Calcule la ecuación de la parábola.

Y

X

N

V

M F

A) x2=4yB) x2=16yC) x2=8yD) x2=2yE) x2=9y

3. Según el gráfico, PQ es una cuerda focal de la parábola P. Si el eje Y es la directriz, halle la ecuación de la parábola.

P(6; m)

Q(3; n)

F eje focal

Y

X

A) y2=8(x – 2)B) y2=6(x – 3)C) 2y2=3(x – 2)D) y2=4(x – 1)E) y2=4(x – 2)

4. Si AM=MB, calcule la ecuación de la recta L.

L

A

Y

B

y=x2

M(1; 5)M(1; 5)

X

A) 2x – y+3=0B) 2x+y – 7=0C) x – y+4=0D) 3x – y+2=0E) 3x – 2y+7=0

5. Si LD es la recta directriz, V el vértice y F el foco de la parábola de ecuación y2=–12x, calcule el área de la región sombreada.

L D

F V X

Y

2

A) 20 B) 15 C) 17D) 19 E) 18

Trigonometría


9

6. Si V es el vértice y F el foco de la parábola de ecuación (y+1)2=x+1, calcule el área de la región sombreada.

B(8; n)

X

Y

V

A

F

A) 14 B) 16 C) 5,5D) 10 E) 12

NIVEL INTERMEDIO

7. Halle la ecuación de la parábola de vértice V y foco F si VF=5.

45º

Y

F

V

X45º

0

A) (x – 20)2= – 20(y – 15)B) (x – 25)2= – 20(y – 10)C) (x – 20)2= – 20(y – 25)D) (x – 10)2= – 20(y – 15)E) (x – 15)2= – 20(y – 10)

8. Según el gráfico, OABC es un cuadrado. Si OM=MC=CP; AV=VM y AM contiene al foco de la parábola, halle la ecuación de la pará-bola con eje focal paralelo al eje de las orde-nadas.

Y

XM CPO

V

A B(4; 4)

A) (x – 3)2= – 20(y – 3)

B) x y−

= − −

52

1052

2

C) x y−

= − −( )3

220 3

2

D) x y−( ) = − −

3 8

32

2

E) x y−( ) = − −

3 12

32

2

9. Si ABCD es un rectángulo donde A=(3; – 1) y D=(3; 7), halle la ecuación de la parábola cuyo lado recto es BC y su directriz contiene al lado AD, además, la parábola no interseca al eje Y.

A) (y – 3)2=8(x – 5)B) (y – 4)2=4(x – 4)C) (y – 3)2=4(x – 5)D) (y – 3)2=2(x – 5)E) (y – 6)2=4(x – 2)

10. El foco de una parábola es el punto F (3; 2) y la recta directriz es x+y – 10=0. Calcule el vértice de la parábola.

Y

X

FV

LD

A) 174

54;

B)

174

114

;

C)

194

134

;

D) 174

134

;

E)

154

134

;

Trigonometría


10

11. Si F es el foco de la parábola, calcule AB.

A

13

F10

B

Y

X

y2=36x

A) 333 B) 332 C) 198

D) 222 E) 433

12. Si F es el foco de la parábola y la suma de abs-cisas del punto A y B es 2, calcule la pendiente de la recta L .

A

B

F

Y

X

y2=4px

A) P

P1− B)

21

PP−

C) 4

1P

P −

D) 2

1P

P + E)

PP + 2

13. Determine la ecuación del arco parabólico for-mado por los cables que soportan un puente colgante cuando la luz es de 82 m y la depre-sión es 9 m. Considere que el punto más bajo del puente está a 1 m del nivel del terreno.

A) 9x2=1681(y –1)B) (x – 1)2=120yC) (x – 1)2=80yD) (x – 1)2=100yE) (x – 1)2=160y

14. El arco de un túnel es de forma parabólica y tiene una altura de 10 m y un ancho de 20 m. Calcule la altura del túnel a 5 m hacia la iz-quierda o derecha del centro del túnel.

A) 7,3 m B) 7,5 m C) 6,9 mD) 7,6 m E) 6,6 m

15. Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica. Cuando el nivel del agua alcanza una altura de 10 m, su ancho mide 20 m. Halle el nuevo ancho del nivel del agua cuando su nivel descienda hasta la mitad.

A) 5 2 B) 8 2 C) 10 2

D) 6 2 E) 12 2

NIVEL AVANZADO

16. Si F es el foco y LD la recta directriz de la pará-bola, calcule tan2q+cos2a.

θ α

L D

F

Y

X

M=(x0; y0)

y2=4px

A) 1/2 B) 5/6 C) 1D) 7/2 E) 3/2

17. Por el punto Q de la parábola se trazan las rec-tas tangente y normal LT y LN, respectivamente, que intersecan al eje Y en los puntos M y N. Si F es el foco de la parábola, calcule MN/MF.

L T

L N

Y

x2=4py

X

N

F

M

A) 2 B) 1/2 C) 3D) 4 E) 1/4

Trigonometría


11

18. Desde el punto A(5; 9) se han trazado tangen-

tes a la parábola y2=5x. Calcule la ecuación de

la cuerda que une los puntos de contacto.

A) 5x – 18y+25=0

B) 6x – 11y – 24=0

C) 5x+18y – 25=0

D) x – y+6=0

E) 7x – 14y+36=0

19. Determine la ecuación de la parábola vertical

que pasa por los puntos en donde se cortan

las parábolas

y x y x= + ∧ = −12

2 2 22 2

y por el punto A(2; –1).

A) 13x2+2y – 48=0

B) 13x2+4y – 40=0

C) 13x2+4y – 48=0

D) 12x2+2y – 45=0

E) 12x2+3y – 44=0

20. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos donde se pueden trazar rectas tangentes a la parábola y2=2Px, que forman entre sí un ángulo constante q.

θθ

Y

X

M1(x1; y1)

N2(x2; y2)

A) yx

Px

Px

− = +

22

242

12

tan θ

B) yx

Px

Px

− = +

22

223

12

tan θ

C) yx

Px

Px

− = +

22

241

2tan θ

D) yx

Px

Px

− = +

22

221

4tan θ

E) yx

Px

Px

− = +

22

232

13

tan θ

Trigonometría


12

Cónicas II

NIVEL BÁSICO

1. Si F1 y F2 son los focos de la elipse, calcule MN.

F2

M

L : 2x – 5y+10=0

X

Y

N

F1

A) 829

29 B) 827

29 C) 425

29

D) 527

26 E) 829

23

2. Si F es un foco de la elipse, su excentricidad es 4/5 y el área de la región sombreada es 24 m2, calcule la ecuación de la elipse.

XF

Y

A) x y2 2

50 161+ =

B) x y2 2

40 181+ =

C) x y2 2

40 91+ =

D) x y2 2

50 201+ =

E) x y2 2

50 181+ =

3. Si la ecuación de la elipse es

xP

yP

2 2

18 91

−+

−=

de modo que la distancia entre los directrices de la elipse es 8, calcule el valor de P.

A) 5 B) 6 C) 4D) 3 E) 7

4. La excentricidad de una elipse es e=2/3 y el radio focal de un punto M de la elipse es igual a 10. Calcule la distancia del punto M a la directriz unilateral de este foco.

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

5. Halle la ecuación de la elipse si F es foco, AB es el eje mayor, además,

FB=3(AF)=3(AC) y BC = 2 17.

Y

X

BFA

C

A) x y−( )

+ =4

12 161

2 2

B) x y−( )

+ =4

4 31

2

C) x y−( )

+ =4

8 161

2

D) x y−( )

+ =4

16 121

2

E) x y−( )

+ =28 6

12 2

6. La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica es de 300 000 km y la excentricidad es de 0,017 aproximadamente, calcule la distan-cia máxima y mínima de la Tierra al Sol.

A) 152 550 y 146 450B) 152 550 y 147 430C) 152 550 y 147 450D) 153 540 y 147 420E) 152 530 y 147 410

Trigonometría


13

NIVEL INTERMEDIO

7. Si AB=BC=CM, calcule el área de la región sombreada.

AB

C

M

x2

9y2

4+ =1

Y

X

A) 95

B) 52

C) 54

D) 94

E) 23

8. Si F1 y F2 son los focos de la elipse y tanθ =224

, calcule c+n.

Y

θF1 F2 X

x2

20 – ny2

4 – n+ =1

A) 5 B) 6 C) 8D) 7 E) 4

9. Halle la ecuación de la elipse, cuyo eje mayor

es el lado recto de la parábola x2 – 8x+8y=0 y

la excentricidad de dicha elipse es 154

.

A) x y−( )

+−( )

=2

1621

12 2

B) x y−( )

+ =4

16 11

2 2

C) x y−( )

+ =41 16

12 2

D) x y−( )

+ =44 1

12 2

E) x y−( )

+−( )

=21

216

12 2

10. Si F es un foco de la elipse, calcule la longitud del eje menor.

Y

F

P(2; 1)

X

x2

a2y2

b2+ =1

A) 2 66+ B) 2 65+ C) 2 68+

D) 6 63+ E) 4 60+

11. Si F es un foco de la elipse, calcule la excentri-cidad de la elipse.

Y

F X

x2

a2y2

b2+ =1

60º60º

A) 38 22−

B) 39 22−

C) 40 22−

D) 39 36−

E) 37 32−

Trigonometría


14

12. Si C es el centro de la elipse y P(2; 2), calcule la suma de los semiejes de la elipse. Considere que M y N son puntos de tangencia.

Y

M

N

C

L : 2x – y=0

P

X

A) 3 o 16 B) 3 o 18 C) 3 o 15D) 4 o 15 E) 5 o 13

13. El arco de un túnel es de forma semielíptica y tiene un ancho en la parte más baja de 16 m y una altura en el centro de 6 m. ¿Qué ancho tiene el túnel a la mitad de su altura?

A) 5 3

B) 6 3

C) 8 2

D) 8 3 E) 9 2

14. El techo de 14 m de altura en el centro de un pasillo de 10 m de ancho tiene la forma de una semielipse y las paredes laterales tienen una altura de 10 m. Calcule la altura del techo a 2 m de cualquier pared.

A) 13,6 m B) 12,7 m C) 13,5 mD) 12,8 m E) 13,2 m

15. Calcule la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de corte de las elipses

x y2 2

9 161+ = y

x y2 2

25 161+ = .

A) x2+y2=16

B) x2+y2=9

C) x2+y2=25

D) x2+y2=12

E) x2+y2=4

NIVEL AVANZADO

16. Del gráfico, calcule la ecuación de la elipse si T

es punto de tangencia y tan .α =23

A(2; 0)

Y

T

X

B(0; 2 2 )

α

A) x2+3y2=1

B) x y2 2

2 31+ =

C) 2x2+3y2=1

D) 2x2+3y2=6

E) 6x2+15y2=20

17. Se tiene la ecuación de la elipse ax2+y2=1. Si la recta tangente a la elipse es y=mx+b, además a y b son constantes, calcule el valor de m.

A) a b2 4−( ) B) a b2 1−( ) C) b a2 1−( )

D) a b2 4+( ) E) b b2 2−( )

Trigonometría


15

18. Una elipse, cuyos ejes son paralelos a los ejes

coordenados, tiene sus dos vértices sobre las

rectas x=1 y x=9. Su centro está sobre la recta

L : y=x+2 y pasa por el punto P(2; 6). Calcule

la ecuación de la elipse.

A) x y−( )

+−( )

=5

167

16 71

2 2

/

B) x y−( )

+−( )

=5

1677

12 2

C) x y−( )

+−( )

=3

165

16 71

2 2

/

D) x y−( )

+−( )

=3

1654

12 2

E) x y−( )

+−( )

=4

126

12 51

2 2

/

19. Si F es el foco y LD la recta directriz de la elipse,

calcule a2senq+b2cos2q.

Y

F

θ

X

L D

x2

a2y2

b2+ =1

A) 0 B) 2ab C) c2

D) a2+b2 E) c2/ab

20. El punto medio de la cuerda de una elipse es (5; 2). Halle la ecuación de la cuerda si la elip-se tiene por ecuación x2+4y2 – 6x – 8y – 3=0.

A) x+2y – 3=0B) x+2y+9=0C) x+2y – 9=0D) 2x+y – 9=0E) 3x+2y+2=0

Trigonometría


16

Transformación de coordenadas

NIVEL BÁSICO

1. Por medio de una traslación de ejes, la ecua-ción 3y2 – 6y+6x – 4=0 se transforma en (y')2=4px'. Calcule p.

A) – 3 B) – 1/2 C) 2D) 1/2 E) – 2

2. ¿A qué punto debe trasladarse el origen de coordenadas para eliminar el término cons-tante y el término lineal en y de la ecuación 8y2 – 6x – 24y+15=0?

A) − −

12

32

;

B) − −

12

23

;

C) 12

32

; −

D) 1232;

E) −

1232;

3. Por una traslación de ejes, transforme la ecua-ción 2x2 – 3xy+5x+3y – 8=0 en otra que no contenga términos lineales.

A) 2(x')2 – 3x'y' – 1=0B) (x')2 – 3x'y' – 1=0C) (x')2 – 3x'y'+1=0D) 2(x')2+x'y'+2=0E) 3(x')2 – 2x'y'+1=0

4. Halle la ecuación de la parábola en el nuevo sistema X'Y' cuando el origen de coordenadas (0; 0) se traslade al punto P(h; k), si el punto F(0; 4) es el foco de dicha parábola.

Y '

X 'F P

X

Y

A) (x'+1)2=8(y'+2)B) (x’+1)2=4(y’+1)C) (x’+8)2=16(y’+4)D) (x’+2)2=16(x’+1)E) (x’ – 8)2=16(y’ – 4)

5. Por una rotación de 45º de los ejes coor-denados, cierta ecuación se transformó en 4(x')2 – 9(y')2=36. Calcule la ecuación original.

A) 3x2 – 26xy+3y2+70=0B) 5x2 – 26xy+5y2+72=0C) 5x2 – 13xy+5y2+72=0D) 2x2 – 26xy+2y2 – 70=0E) 4x2 – 15xy+4y2 – 35=0

6. Por una rotación de ejes, transforme la ecuación

2 5 9 0x y− + = en otra que carezca del término en x.

A) y' – 3=0B) y’+3=0C) y’ ± 3=0D) 2y’ – 1=0E) 2y’ ± 1=0

7. Halle la medida del ángulo de rotación necesa-rio para transformar la ecuación x y+ − =3 2 0 en otra cuya pendiente en el nuevo sistema sea – 1.

A) 15º B) 30º C) 45ºD) 37º E) 53º

Trigonometría


17

8. Respecto a las ecuaciones x2+4xy+y2 – 3=0 (I)

13 6 3 7 16 02 2x xy y− + − = (II) x2 – 2xy+y2+4x – 4y+3=0 (III) determine la relación correcta.

A) I. hipérbola II. parábola III. parábola

B) I. parábola II. elipse III. parábola

C) I. hipérbola II. elipse III. dos rectas paralelas

D) I. hipérbola II. elipse III. parábola

E) I. elipse II. parábola III. hipérbola

NIVEL INTERMEDIO

9. Según el gráfico, determine la ecuación de la elipse en el sistema xy si OA = 2 y OB=1.

Y '

YX '

X45º

BA

OB '

A '

A) 3x2 – 4xy+3y2 – 4=0B) 2x2 – 3xy+2y2 – 3=0C) 3x2 – 2xy+3y2 – 4=0D) 3x2 – 2xy – 3y2+4=0E) 3x2 – 4xy+2y2 – 3=0

10. Las coordenadas de un punto son (3; 6). ¿Cuá-les son las coordenadas del mismo punto cuando los ejes giren 30º y el origen se traslade al punto (2; – 6)?

A) 1 3 392

32

3+ −

;

B) 132

392

3 3− −

;

C) 132

392

3 3− +

;

D) 132

392

3 3+ −

;

E) 132

392

3 3+ +

;

11. Por una rotación de ejes, la ecuación

8x2 – 12xy+17y2 – 80=0 se transforma en

A(x')2+M(y')2=N. Calcule N AM−+1

.

A) 5 B) 1/2 C) 3D) 2 E) 4

12. Calcule la distancia focal de la cónica de ecua-ción x2 – xy=1.

A) 4 24 B) 2 2 C) 2 24

D) 4 2 E) 24

13. De la ecuación x2+xy+y2=8, elimine el térmi-no xy usando rotación de ejes e identifique la gráfica.

A) Y 'X '

X

Y B) Y ' X '

X

Y

C) Y ' X '

X

Y

D) Y ' X '

X

Y E) Y ' X '

X

Y

Trigonometría


18

14. Calcule la ecuación de la parábola con respec-

to a los ejes x e y, que pasa por los puntos (0; 0)

y 0809

;

y cuyo eje focal es la recta y x=

43

.

A) (3y – 4x)2=4(3x – 4y)

B) (3y – 4x)2=4(3x+4y)

C) (3y+4x)2=4(3x+4y)

D) (3y+4x)2=4(3x – 4y)

E) (3y – 2x)2=4(3x+2y)

15. Calcule la ecuación de la elipse en el sistema xy, cuyos vértices son los puntos V1( – 2; – 2) y V2(4; 4), la excentricidad es igual a 0,5 y su centro es el punto C.

Y 'Y ''Y

C

V1

V2

X '

X ''

X

A) x y y x+ +( )

+−( )

=2

36 271

2 2

B) x y y x+ +( )

++( )

=2

36 271

2 2

C) x y y x+ −( )

+−( )

=2

36 271

2 2

D) x y y x+ −( )

++( )

=2

36 271

2 2

E) x y y x− +( )

+−( )

=2

36 271

2 2

NIVEL AVANZADO

16. Del gráfico, halle las coordenadas de O' en el sistema XY, si la menor distancia de O hacia L es 2.

Y '

O 'X '

X

Y

O

: 8Y '=X 'L 1

L

A) −

4 130

1302

;

B) −

2 130

1302

;

C) −

4 130

1303

;

D) −( )2 130 130;

E) −

3 130

1304

;

17. Del gráfico mostrado, halle la ecuación de la recta L en el sistema x'y'.

y 'x '

X

32

Y

L

A) 7 7 60 2 0x y' '+ + =

B) 7 7 30 2 0x y' '+ + =

C) 17 7 60 2 0x y' '+ − =

D) 17 60 2 0x y' '+ − =

E) 13 5 30 2 0x y' '+ − =

Trigonometría


19

18. Del gráfico, calcule si se sabe que P'(4; 3) son coordenadas en el sistema rectangular x'O'y', además tana=2 y O'=(4; 3).

y 'x '

X

0'

P '(4; 3)Y

θα

A) 5 2+

B) 2 1+

C) 4

D) 2

E) 5 4+

19. Calcule la ecuación de la recta directriz LD de la parábola de vértice V.

Y '

X '

X45º

Y

VL D

42

1124

2

(y ')2 y ' – x '+ =02

32

32

22–

A) 6x+6y – 5=0B) 6x+3y – 1=0C) 3x+6y – 1=0D) 6x+6y – 1=0E) 3x+2y – 1=0

20. Grafique la siguiente cónica de ecuación

4 4 5 5 5 02 2x xy y x− + + + =

A) Y ' X '

X

Y

B) Y ' X '

X

Y

C) Y ' X '

X

Y

D) Y ' X '

X

Y

E) Y ' X '

X

Y

Semestral UNI

EcuacionEs trigonométricas

01 - d

02 - e

03 - A

04 - d

05 - b

06 - b

07 - d

08 - b

09 - d

10 - d

11 - A

12 - d

13 - c

14 - c

15 - c

16 - e

17 - A

18 - A

19 - c

20 - d

rEsolución dE triángulos oblicuángulos

01 - e

02 - b

03 - e

04 - d

05 - b

06 - a

07 - c

08 - d

09 - d

10 - b

11 - a

12 - b

13 - a

14 - a

15 - c

16 - d

17 - e

18 - c

19 - b

20 - c

cónicas i01 - c

02 - c

03 - A

04 - A

05 - d

06 - c

07 - c

08 - A

09 - A

10 - d

11 - A

12 - b

13 - A

14 - b

15 - c

16 - c

17 - A

18 - A

19 - c

20 - A

cónicas ii01 - a

02 - E

03 - b

04 - E

05 - d

06 - c

07 - a

08 - b

09 - b

10 - c

11 - d

12 - c

13 - d

14 - E

15 - a

16 - d

17 - b

18 - a

19 - c

20 - c

transformación dE coordEnadas

01 - b

02 - e

03 - a

04 - c

05 - b

06 - c

07 - a

08 - d

09 - c

10 - e

11 - c

12 - a

13 - a

14 - b

15 - c

16 - a

17 - c

18 - d

19 - d

20 - e

scv_2015_t_04

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