sangakus. contemplació i raó

SANGAKUSContemplaci i ra

Ramon Nolla

SANGAKUS. Contemplaci i ra

SANGAKUS. Introducci Anlisi de lexperincia dobservaci El carcter japons i el costum de penjar sangakus Introducci a la matemtica japonesa wasan Els reglets de clcul Estudi dun sangaku Sangakus com a recursos daula Galeria de sangakus per a la secundria i el professorat

SANGAKUS. Introducci

Sn una de les manifestacions de la matemtica japonesa wasan consistents en tauletes de fusta que contenien problemes matemtics, en la seva majoria geomtrics, que es penjaven de les parets i rfecs de les teulades dels temples budistes i santuaris sintoistes al Jap de lpoca Edo [1603-1867].

Santuari Kaizu Tenma (pref. Shiga)Sangaku de 520 cm de llargria

Santuari Aga (pref. Hyugo)1879. 163 x 58 cm


Presenten composicions atractives de bellesa formal i plstica, de cercles, polgons, ellipses i figures tridimensionals. Algunes contenen les solucions i molt poques el procediment per arribar-hi.

Sen conserven al voltant de nou-centes i existeixen registres de ms de mil set-centes desaparegudes.

La ms antiga conservada s del 1683. (pref. Tochigi)

La ms antiga enregistrada s del 1668 (diari de Yamaguchi Kanzan [1781-1850] en un viatge pel Jap)


Confuci diu: Haureu de dedicar tot el vostre temps a estudiar, oblidant els pats i prescindint de dormir.Les seves paraules sn valuoses per a nosaltres. Des que era un nen, he estat estudiant matemtiques i llegint molts llibres de matemtiques. Quan tenia algun dubte, visitava i consultava al matemtic Ono Eijyu. Agraeixo els ensenyaments del meu mestre. Per la seva bondat, vaig a penjar un Sangaku en aquest temple.

Dedicatria i sangaku penjat per Saito Kuninori [1828].Temple Kitamuki Kannondo. Ueda (Nagano)


Lloc: Santuari Katayamahiko. Okayama (Okayama)1873. 162 x 88 cm


Lloc: Nagasaki215 x 107 cm


FragmentLloc: Nagasaki215 x 107 cm


Lloc: Santuari Isaniwa a Matsuyama (Ehime)111 x 87 cm


Lloc: Santuari Isaniwa a Matsuyama (Ehime)75 x 91 cm


Lloc: Santuari deTakami (Fukuoka)


Lloc: Santuari Mizuho (Nagano)1800. 160 x 58 cm


Lloc: Santuari Haguro (Yamagata)1823. 450 x 150 cm


Penjat el 1814 i descobertt el 1994. Dun temple que va ser destrut.


Sobre els termes WASAN, MATEMTICA i SANGAKU

wasan

Traducci estandard

Traducci literal

san: matemtica wa: japonesa

san: clcul o aritmtica wa: japonesa

Traducci estandard

Traducci literal

Tauleta matemtica

sangakusan: clcul o aritmtica gaku: aprenentatge o cincia

Tot all que s objecte dinstrucci i destudi amb estrets lligams amb la filosofia i les cincies en general.

Mathema o mathemata


Exemple: Per a Plat el mathema suprem s la idea del B,

... la Idea del B s lobjecte de lestudi suprem, a partir del qual les coses justes i totes les altres coses es tornen tils i valuoses.

Llibre VI de la Repblica, 505 a.

Conclusi:El nom de matemtica adoptat a Occident

pot implicar lexistncia de restes duna creena en un cert tipus de transcendncia del coneixement que proporciona aquesta matria.

Aquesta creena no es troba a la matemtica japonesa i potser per aix no queda reflectit en el seu nom wasan.

Anlisi de lexperincia dobservaci

ContemplaciContemplaci Explicacide lharmoniaExplicaci

de lharmonia

Percepciesttica

Percepciesttica

Movimentde la ra

Movimentde la ra

Intuicidharmonia

Intuicidharmonia


ContemplaciContemplaci

Contemplaci vol dir aturaraturar--sese a considerar una obra d'art, mirarmirar--lala, escoltarescoltar--la amb calma i durant l'estona que calguila amb calma i durant l'estona que calgui, a fi de descobrir-ne la seva bellesa formal i penetrar en el seu contingut profund

Anscari M. MundLa contemplaci de la bellesa en lart

Amics de lart romnic-IEC. 2004

Implicaci: La mirada hauria de ser duna qualitat que ports lnima a un estat silencis i buit per tal que la cosa observada pugui ser escoltada sense passar per cap filtre instalat en ella.


Es produeix un estat de percepcipercepci que es tradueix en un sentiment de profund nivell esttic.

Apareix la intuci duna harmoniaharmonia entre les parts de la imatge, alguns cops molt directa i clara i daltres oculta en una collecci desordenada dobjectes.

Possibilitat de reconduir la intuci per activar un moviment de moviment de la rala ra dirigit a explicar lharmoniaexplicar lharmonia mitjanant llenguatgesllenguatges que la facin present i amb poder comunicatiu.

Percepciesttica

Percepciesttica

Intuicidharmonia

Intuicidharmonia

Movimentde la ra

Movimentde la ra

Explicacide lharmoniaExplicaci

de lharmonia

El carcter japons i el costum de penjar sangakus

Els costums, les condicions socials i materials i la influncia del pensament filosfic poden guiar la comprensi sobre lelecci dels problemes, les idees, el seu tractament i les tcniques emprades.


Des de molts segles enrere, els fidels sintoistes feien ofrenes als dus (kami) en els santuaris.

Creien que als kami els agradaven els cavalls i aquells que no podien oferir-ne un de viu presentaven un dibuix sobre una tauleta dun cavall pintat.

Santuari Umamioka Watamuki

(Shiga)


17 cm dampladaSegle XVIII


Amb el temps els motius de les tauletes es diversificaren i el costum es conserv.

Actualment es venen tauletes per a ser penjades en els temples i santuaris

Temple Kouninnji (pref. Nara)


Seguint aquesta tradici, a partir del segle XVII es comencen a trobar tauletes matemtiques

Dos sangakus moderns entre tauletes de temtica diversa


DEVOCI?

i/o

ALTRES INTERESSOS?

La qesti s de naturalesa similar a la que plantegen els exvots de les capelles de les nostres contrades


Vaixells penjats a lesglsia de Sant Mag al carrer del Portal del Carro de Tarragona


Motius del costum de penjar exvots a Occident Agrament i devoci? Orgull? Publicitat? ...


Alguna cosa semblant pot haver passat al Jap.

Una interpretaci del costum de penjar sangakus al Jap en els seus inicis molt valorada pels historiadors, la trobem al Sanpo buttankai (No temeu de rectificar) [1673],

Ser una moda? s cada cop ms freqent que sinscriguin problemes de matemtiques [sobre tauletes] per exposar-los aqu o all en els santuaris. Tractant-se de tauletes votives, hom espera trobar-hi frmules dinvocaci. Quan no nhi ha, ens preguntem qu s el que pretenen realment sin cantar lloances al propi geni.


Desprs de Mikami YoshioMikami Yoshio [1875-1950], Annick Annick HoriuchiHoriuchi ha escrit lobra ms exhaustiva en llengua occidental sobre wasan. Ella fa referncia a la competla competncia entre ncia entre escolesescoles en larticle,

Les mathmatiques peuvent-elles ntre que pur divertissement? Une analyse des tablettes votives de mathmatiques lpoque dEdo.Extrme-Orient, Extrme-Occident,nm 20, 135156.


Desprs duna anlisi de les condicions histriques en qu es produeixen els sangakus HoriuchiHoriuchi conclou, respecte de la concepci dactivitat dentreteniment que satribueix a la seva creaci, que

La moda de les tauletes, en la qual sha vist durant molt de temps la prova que aquesta cincia [wasan] era desenvolupada com un pur entreteniment, sinscrivia en un context histric precs marcat per la creixent difusi de la disciplina en el mn rural, la professionalitzaci dels mestres de la capital i, finalment, la forta competncia entre les escoles. En aquest context, les tauletes juguen el paper dinstruments decomunicaci i de publicitat cmodes ds, econmics, eficaos i ms espectaculars que els tractats.


Un ltim element per a lanlisi.

Aproximaci a la sensiblitat del carcter japons a travs dun exemple extret de les arts tradicionals

PinturaCalligrafiaCerimnia del te

Arranjament floral i de jardins

Elaboraci de haikus

Teatre ... Elaboraci de sangakus ?

Els pins. Hasegawa Tohaku [1539-1610]


Imatge inicial de larticle de la revista que em va introduir als sangakus on es troben traces per e lanlisi

Sota la gran onada de kanawaga. Una de les Trenta-sis vistes del Mont Fuji. Jatsushika Hokusai [1760-1849]


Percepci de desenlla obertA completar a partir de la contemplaciGeneraci dun moviment intern amb conscincia de no permanncia

El quadre no respon a les qestions: Dest dels pescadors Simbolisme del Mont Fuji

9Al mateix nivell que les onades (igual plasticitat=perill)9Pol oposat daquestes (estabilitat, seguretat, solidesa)

No sentreveu lestat dnim dels pescadors, noms presncia ordenada davant ladversitat9Senten la protecci del Mont Fuji?9Senten lamenaa de lonada?9Se senten actors fora del temps en comuni amb els esdeveniments?

El detall de lescuma infon alguna caracterstica al conjunt?


Lobservador es converteix en protagonista i sobre una porta a la meditaci


Octavio PazOctavio Paz reflexiona sobre la sensibilitat del carcter japons en la introducci de lexcellent relat de viatge i poemari Sendas de Oku de Matsuo BashoMatsuo Basho [1694]

Edici de Seix Barral, Barcelona,1981


Ni antes ni ahora el Japn ha sido para nosotros una escuela de doctrinas, sistemas o filosofas sino una sensibilidad. Lo contrario de la India: no nos ha enseado a pensar sino a sentir. Cierto, en este caso no debemos reducir la palabra sentir al sentimiento o a la sensacin; tampoco la segunda acepcin del vocablo (dictamen, parecer) conviene enteramente a lo que quiero expresar. Es algo que est entre el sentimiento y la idea. Los japoneses usan la palabra kokoro: corazn. Pero ya en su tiempo Jos Juan Tablada advertaque era una tradicin engaosa: kokoro es ms, es el corazn y la mente, la sensacin y el pensamiento y las mismas entranas, como si a los japoneses no les bastara sentir slo con el corazn. Las vacilaciones que experimentamos al intentar reducir este trmino,la forma en que los dos sentidos, el afectivo y el intelectual, se funden en l sin fundirse completamente, como si estuviese en perpetuo vaivn entre uno y otro, constituye precisamente el sentido (los sentidos) de sentir.

Octavio Paz [1981]Octavio Paz [1981]Introducci de Introducci de Sendas de Oku de Matsuo BashoMatsuo Basho,1694.


Hi ha una coherncia daquesta sensibilitat amb els sistemes filosfics i religiosos adoptats pels japonesos:

BBudisme en la seva vessant zenudisme en la seva vessant zen, que busca el despertar a la realitat ltima partint de la conscincia de no permanncia i caducitat, i utilitzant el binomi meditaci-acci per educarlatenci.

SSintoisme o intoisme o via dels dvia dels dusus constituts per elements naturals, nocions abstractes i les nimes dels morts de manera que totes les parcelles de la vida sn sagrades. Amaterasu, deessa del

Sol en el sintoisme

Aquests sistemes, amb independncia de les disposicions governamentals de cada perode histric i malgrat alguns enfrontaments, foren sovint viscuts pels japonesos com a dues cares duna mateixa religi en qu els budes i els bodhisattvas i les divinitats del sintoisme eren emanacions duna mateixa realitat i es constituen en guies protectors cap al despertar.


Sensibilitat japonesa:Sensibilitat japonesa: produeix obres que ens inviten a participar, passar de la contemplaci a lacci.

Sensibilitat occidental:Sensibilitat occidental: produeix obres acabades, compactes, tancades en la seva perfecci, com les catedrals o un teorema matemtic demostrat sense fisures.

Sensibilitat japonesa Sensibilitat occidental

Podem experimentar la sensibilitat japonesa allant alguns elements de lobservaci.

Daquesta manera, aquests elements deixen de formar part del tot acabat i es fan accessibles al joc sensaci-pensament.


Catedral de Santa Maria, Tarragona.

Faana del Pla de la Seu i element decoratiu


Esglsia dOrsanmichele, Florncia


Seminari de Tarragona

Detall de finestra


Occident o Orient?


Conclusi:

En la sensibilitat japonesa es produeix un joc entre contemplaci i acci, un moviment entre sensaci i pensament

Podem aproximar-nos a aquesta sensibilitat des de lobservaci dels sangakus i, tamb, allant elements de les obres occidentals

ContemplaciContemplaci Lexperincia dutilitzar la mirada japonesa queda

reflectida en lesquema inicial que condueix de la contemplaci a la ra

Percepciesttica

Percepciesttica

Intuicidharmonia

Intuicidharmonia

Movimentde la ra

Movimentde la ra


de lharmonia

Admirable

aquel que ante el relmpago

no dice: la vida huye . . .

Introducci a la matemtica japonesa wasan

El desenvolupament del wasan coincideix amb lpoca de govern dels Tokugawa, coneguda com a perode Edo [16031867].

En aquest perode el Jap rest unificat i en pau i el poder real estavaen mans del governador que install el seu govern a Edo (Tquio).

Els nobles guerrers (samurais) tingueren que buscar noves formes de subsistir. Alguns es convertiren en mestres itinerants o descoles rurals (juku).

Aquesta poca coincid amb un perode de tancament del pas (sakoku). En la dcada del 1630, el cristianisme qued eradicat i el 1639 els portuguesos foren expulsats.

Lnic contacte amb Occident fou, sota grans restriccions, amb els comerciants holandesos. Aquests feien els seus intercanvis confinats en lilla artificial de Deshima de 200 per 70 metres, en el port de Nagasaki.


En resulta una manera prpia de fer matemtiques que presenta dues vessants no antagniques,

Artstica

Cientfica o de recerca

Lloc: Santuari Souzume (Okayama)1861


Vessant artstica

Es manifesta pblicament en lelaboraci de sangakus dexecuci molt acurada i en qu el component esttic resideix

En la plstica de les presentacions

En el procediment (jutsu) de resoluci, quan hi s, molt concs i de gran claretat per que pot amagar una anlisi del problema i un seguit de clculs per aconseguir-lo de gran complexitat.

Nhi havia que presentaven fora complexitat i es podienresoldre grcies a la gran activitat desenvolupada en la vessant cientfica.

Ladjectiu artstic li escau no tant sols per motius esttics sin pel tipus dorganitzaci de les escoles, similar al model iemoto que seguien les escoles darts tradicionals japoneses.


Vessant cientfica o de recerca

La trobem en el contingut dels tractats escrits per lelit de la capital Edo en qu es desenvolupen recerques de ms alt nivell.

Aquestes adopten i assimilendurant bona part del segle XVIIla tradici xinesa per desprs trencar amb ella i desenvolupar formes prpies de recerca.

Seki Takakazu Els actors principals en aquest trencament

sn Seki Takakazu [1640?-1708] i el seu deixeble Takebe Katahiro [1664-1739].


lgebra en la tradici xinesa

s una eina per resoldre problemes i no una matria que sestudi per ella mateixa. Fins i tot quan sestudia amb independncia dels problemes es fa sota la perspectiva de millorar les tcniques de cara a la seva resoluci.


lgebra en la tradici japonesa

Hi ha un esfor de generalitzaci, de fer-ne una presentaciabstracta i de crear una estructura dels processos de resoluci.

Introducci duna lgebra escrita inspirada en la representaci xinesa que utilitza la manipulaci de reglets sobre una taula, per representar nombres, operacions i equacions.

En aquesta lgebra incorporen novetats com la de que les dades poden ser numriques o literals.

Aix els permet ampliar les seves recerques en el tractament dequacions i estudiar, per exemple, les condicions dexistncia de solucions duna equaci o la compatibilitat de les dades dun problema.


Geometria wasan

Les recerques en el domini de llgebra, els permetem lobtenci dalguns resultats en geometria que avancen els descobriments occidentals, lluny de ls de les eines de la geometria analtica i projectiva introdudes per Descartes-Fermat i Desargues, i de les del clcul diferencial en les recerques de mxims i mnims, drees i volums determinats per expressions polinmiques

Per establir les equacions algbriques que determinaran les solucions dels problemes geomtrics, utilitzen principalment les regles de:

La base-perpendicular-hipotenusa (teorema de Pitgores)

La doble hipotenusa-perpendicular (clcul de laltura dun triangle, en funci dels seus costats, a partir dels dos triangles rectangles que determina).

La semblana de triangles rectangles.


La relaci inexistent amb la matemtica occidental sexplica per,

La poltica dallament del pas a lpoca Edo

Pel carcter japons que no mostra inters en muntarun gran edifici teric que justifiqui els resultatsobtinguts en les seves recerques a lestil de la tradiciiniciada als voltants del segle VIaC. a Grcia.


La matemtica segons Takebe,

Les matemtiques consisteixen en lestabliment de regles, laclariment del principi dels procediments i el clcul dels nombres. Quant a aquesta tasca es dir que s conforme si el principi s aclarit, si el procediment s explicat i si els nombres sn calculats amb lajut daquest procediment. Es dir que s contrria si el procediment s avaluat per mitj dels nombres i si el principi s cercat amb lajut del procediment.

Tetsujutsu sankei(El clsic del procediment per acumulaci)

[1722]


Recerca per mitj del principi (conforme).

Resideix en el geni i la intuci nascudes de latenci, la qual porta a una visi directa de la font de comprensidel problema o procediment estudiat.

Segons Takebe un representant privilegiat s el mtode del tianyuan que a partir del principi de la introducci delelement desconegut i de lestabliment duna equaci a partir de les condicions del problema permet amb un procediment que noms implica multiplicacions i sumes aplicades duna manera recurrent obtenir la soluciduna classe molt gran de problemes.


Recerca per mitj dels nombres (contrria).

Consisteix en lelaboraci de temptejos de clcul sobre valors numrics concrets per tal dorientar els matemtics sobre el resultat quan el principi s de difcil accs. No hi ha una visi directa de la font del problema o procediment, sin que shi arriba per una marxa inversa a lanterior. Un exemple el proporcionen els procediments per al clcul de la longitud de larc i del cercle.


Conclusi:

En cap moment es parla de deducci lgica a partir duns primers principis o de demostraci tal com lentenem a la nostra tradici.

Ms aviat es parla de descobriment per via intutiva parallelaa ls del pensament que, moltes vegades, raona inductivament.

Aqu tornem a aquell moviment entre pensament i sensacique parlvem al principi, propi del carcter japons i que assimila part de lactivitat matemtica a un art.

Els reglets de clcul

Sabem pels textos escrits, ms que per les tauletes, que per resoldre els problemes dels sangakus, es recorria a laplicaci del teorema de Pitgores i de la semblana de triangles amb llenguatge algbric i a la posterior resoluci de les equacions resultants.

Es representaven els nombres i les equacions amb reglets. En el cas japons es presentaven sobre un tauler quadriculat i tenien una versiescrita que permetia introduir coeficients literals.


Els nombres es presentaven com es mostra a la imatge.

Les unitats dordre imparell tal com es veu al costat superior esquerre, i les dordre parell al costat inferior esquerre.

Els nombres negatius i positius es presentaven amb reglets de colors negre i vermell respectivament, i en la representaci escrita es podia trobar un reglet inclinat sobre la representaci de les unitats si el nombre era negatiu.

Pel zero es deixava un espai buit i en la representaci escrita es podia trobar representat per un petit cercle. Les operacions aritmtiques es feien manipulant els reglets.


Per al tractament dequacions, es tria una lnia horitzontal de referncia que representa lelement desconegut (yuan) o la lnia que representa lelement constant (tai). Llavors les lnies immediatament inferiors representen les segones, terceres, quartes potncies, etc, com es mostra en el quadre adjunt,

Presentaci indistinta de lequaci

07521 23 =+ xxo del polinomi

7521 23 + xx


yuan

Estudi dun sangaku

Problema de difcultat baixa en qu posarem de manifest la diferncia dels estils i interessos entre el wasan, el model euclidi i el model de resoluci per radicals.

Dos cercles de radi r sn tangents a la lnia l. Tal com es mostra a la figura, un quadrat de costat t toca ambds cercles. Trobeu t en funci de r.

Santuari de Katayamahiko. Okayama (Okayama)

Estudi dun sangaku. Resoluci 1

Anlisi resoluci algbrica per radicals (a lestil de secundria)

Si tracem les lnies auxiliars de la figura i apliquem el teorema de Pitgores sobt

En ser la meitat del costat menor que el radi, obtenim que el costat del quadrat s


Anlisi i resoluci algbrica a lestil wasan

Llgebra wasan per a lextracci darrels utilitza el mtode xins del tianyuan* amb les incorporacions de les recerques prpies del wasan. En el nostre problema estudiarem un esbs del procediment en el cas particular de radi igual a 160 unitats, per tal de presentar algunes de les parts del clcul de manera ms entenidora. El procediment consta de tres parts.

*tian, cel; yuan, origen.Tengen jutsu en japons, mtode de lelement celestial


1) Elecci de lelement deconegut o incgnita i presentaci dels elements resultants de lanlisi mitjanant els reglets de clcul.

2) Manipulaci algbrica dels elements presentats de cara a ser relacionats en una equaci mitjanant laplicacidalguns dels teoremes geomtrics citats anteriorment. Disposen de les regles de suma, multiplicaci i potncies de configuracions algbriques de reglets (polinomis).

3) Resoluci de lequaci per un mtode similar al de Ruffini-Horner daproximacions successives.


1) Elecci de lelement desconegut o incgnita i presentaci dels elements resultants de lanlisi. Enel nostre problema, si considerem el triangle rectangle de la figura els elements de lanlisi sn,


2) Manipulaci algbrica dels elements presentats de cara a ser relacionats en una equaci mitjanant el teorema de Pitgores


Teorema de Pitgores i divisi per 5


3) Resoluci de lequaci per un mtode similar al de Ruffini-Horner daproximacions successives.

Dels clculs adjunts sestableix la soluci

32230 =+=x


1)

2)

3)


Anlisi i resoluci geomtrica a lestil de la tradici euclidiana en el marc del teorema de Pitgores

Una de les possibilitats de plantejament de la qesti per part dels gemetres grecs hagus sigut sota la forma dun problema de construcci dabast ms general.

Daquest obtindrem la construcci concreta i la relaci del costat en funci del radi com un subproducte.

Primerament sens demanaria construir el quadrat inscrit entre els dos cercles tangents de la configuraci donada i la seva recta tangent externa.

Amb ls del mtode de lanlisi (llibre VII de la Collecci Matemtica de Papos[s.III]) transformarem el problema en un denunciat geomtric ms general. Aquesta anlisi, que es fonamentaria en els teoremes I.47, II.1, II.4 i II.7 dels Elements i alguns de parallelisme i congruncia del primer llibre.


Anlisi


Enunciat del problema ms general

Donats un segment AB i un quadrat PG de costat PQ, apliqueu sobre AB, amb defecte dun quadrat AD, un rectangle BD drea igual a la del quadrat PG.

En el nostre llenguatge, si r = OYs el radi,

en qu


En aquest punt lanlisi seguiria* i, un cop acabada, la presentaci clssica que farien de la soluci del problema seria,

Evitar de fer menci de lanlisi

Donar la construcci de la soluci

Demostrar la seva validesa.

(*) Podeu consultar-la, junt amb la daltres construccions de solucions dequacions de segon grau a Nolla [2006] Estudis i activitats sobre problemes clau de la histria de les matemtiques, cap 2, 88-102.

El teorema II.11 dels Elements (secci uria dun segment en llenguatge drees) s una via dentrada excellent per experimentar amb lanlisi geomtrica grega en el terreny dels problemes daplicaci drees equivalents a la resoluci dequacions de segon grau.


Construcci

Considerem

El punt mitj M dAB i el punt K sobre la mediatriu dAB amb MK = PQ.

Un dels punts X dintersecci de la circumferncia (K,AM) amb AB.

Llavors el rectangle buscat t costats BX i XD = XA.


Demostraci*

(*) Geometria del tangram [generalitzada]/Teorema de Pitgores


Valor del costat del quadrat 2 x = 2 AX, soluci del sangaku, en funci del radi r.

Considerem peces q quadrades bsiques de costat u=r/5 i recordem que

Llavors


Anlisi i resoluci geomtrica a lestil de la tradici euclidiana en el marc de la teoria de la semblana

Resultat de lanlisi: A, T i C estan alineats Construcci Relaci entre el radi i el costat del quadrat,

Sangakus com a recursos daula

Hem mostrat que els problemes continguts en els sangakus sn susceptibles de tractaments algbrics i geomtrics.

Aix es tradueix en que es poden utilitzar en les activitats amb alumnes

de manera que es reflecteixi la complementarietat dels llenguatges de llgebra i la geometria,

en diferents etapes de desenvolupament del pensament i coneixement.

Si agafem com a referncia el model de Van Hiele(p.2) es poden crear recursos i presentacions per a lalumnat que es trobi majoritriament implicat en els seus tres primers nivells:

Visualitzaci o reconeixement

Anlisi

Ordenaci o classificaci


Generaci de recursos en qu es pretn, reproduir amb lalumnat les diferents etapes presentades a lesquema contemplacirade cara a,

percebre la matemtica com

un fenmen cultural

una via denriquiment personal constatar la validesa dels seus llenguatges en el pla racional

assolir els rudiments daquest llenguatges

Percepciesttica

Percepciesttica

Intuicidharmonia

Intuicidharmonia

Movimentde la ra

Movimentde la ra


de lharmoniaContemplaciContemplaci


Una proposta de reproducci de les etapes.

Introducci de lentorn on es troba el problema de cara a crear un estat perceptiu favorable i presentaci de la imatge del sangaku que es vol estudiar sense cap tipus ms dinformaci.

(ContemplaciPercepci estticaIntuci dharmonia) Invitaci als alumnes a fer-ne una representaci acurada a m alada i

debat sobre les dificultats que sorgeixen de cara a una representacisatisfactria i, consegentment, les propietats geomtriques observades.

(Intuci dharmoniaMoviment de la ra)

Plantejament del problema a resoldre que pot ser el mateix que proposa lenunciat del sangaku o qualsevol altre que hagi sorgit com el de fer-ne una representaci amb regle i comps.

Aqu es pot optar per elaborar un document per la alumne que el gui en lanlisi del problema.Finalment es fa un recull dels mtodes i propietats utilitzades en lestudi. Tamb, en funci dels objectius perseguits i del tipus dalumnat, es pot aprofundir en el seu estudi abstracte.

(Moviment de la raExplicaci de lharmonia)


Quant al document-guia sen poden trobar tres a Nolla-Masip [2009]Sangakus. Recursos de geometria.Cadascun dels tres documents es presenta amb lestructura segent:

Activitat guiada per a lalumnat.

Full del professor per a lactivitat que inclou el tipus dalumnat a qui va dirigida les qestions curriculars implicades Una proposta dactivitats complementries. Alguns daquests

aspectes es desenvolupen en un annex deines complementries per al professorat.

Proposta de resoluci dels diferents apartats de lactivitat.

Daquests documents-guia, els dos primers estan dedicats a lestudi del problema discutit anteriorment i el tercer a lestudi del problema 2de la galeria que presentarem al final.


Tangram 30-60-90

Ramon Masip

Galeria de sangakus per a la secundria

Es presenten dotze enunciats extrets de sangakus de nivell de dificultat divers. A ms de resoldre la qesti proposada es pretn fer-ne la construcci. Els sis primers es poden adequar per a lelaboraci de recursos a partir del segon cicle dESO i els sis ltims per a lalumnat de BAT i treballs de recerca.


Enunciat 1. Trobeu la relacientre els radis, r i R, del cercle ms petit i el cercle que inclou tot el disseny, si els altres dos cercles inscrits sn iguals i els seus centres estan sobre el dimetre del cercle gran.

Soluci.


Enunciat 2. Si les figures inscrites en el triangle rectangle sn un triangle equilter, un quadrat i un cercle tangent en tots els seus contactes, trobeu la relaci entre el costat l deltriangle equilter i el catet vertical c.

Soluci.


Enunciat 3. Els arcs de les figures sn quarts de cercle amb el centre sobre els dos vrtexs de la base del quadrat de costat a. Trobeu la relaci entre el radi R del cercle gran i a, i la del radi r del cercle petit i a.

Soluci.


Enunciat 4. Entre els cinc cercles de radi a inscrits inscrits en el cercle gran de radi 2a hi ha dos tipus de cercles ms petits inscrits tangencialment de radis R > r. Trobeu la relaci entre R i r.

Soluci.


Enunciat 5. Trobeu la relaci entre els tres radis, R, r1 i r2 , dels cercles inscrits respectivament entre hipotenusa-catet vertical-catet horitzontal i la circumferncia.

Soluci.


Enunciat 6. Els cercles inscrits entre el triangle equilter de costat a i els dos segments tenen el mateix radi r. Trobeu la relaci entre r i a.

Soluci.


Enunciat 7. Els dos cercles petits tenen el mateix radi r. Si anomenem a el radi del cercle circumscrit i R el radi de laltre cercle inscrit, trobeu r en funci de R i de a.

Soluci.


Enunciat 8. Els cercles inscrits entre les paralleles sn tangents. Trobeu la relaci entre els radis r1 del gran, i r2, r3 dels petits.

Soluci.


Enunciat 9. En un triangle rectangle de catet horitzontal a fix i catet vertical x variable tracem un sector amb centre el vrtex superior i radi x, tal com indica la figura. Si inscrivim un quadrat de costat y, que depn de x , entre el sector i el triangle, trobeu el mxim valor de y.

Soluci.

Animaci CABRI


Enunciat 10. Entre dos sectors de cercle concntrics tals que el radi del gran s el doble del petit hi ha inscrits els cercles de la figura. La figura s simtrica respecte un eix vertical que passa pel centre dels sectors. Trobeu la relacientre els radis, r < R, dels dos cercles ms petits.

Soluci.


Enunciat 11. Tenim cinc cercles inscrits en una circumferncia de radi a, amb les tangncies que es mostren a la figura. Els tres ms petits tenen el mateix radi r, els dosms grans el mateix radi R.Trobeu la relaci entre a i r.

Soluci.

Animaci CABRI

Problema generat


Enunciat 12. Aquest s un problema inspirat en lobservaci dalguns sangakus amb configuracions de cercles tangents com lanterior. Tenim la configuraci de la imatgeadjunta en qu tres cercles inscrits tenen els centres sobreun dimetre del cercle exterior. Es demana de construir la figura fixant el ms gran dels tres cercles citats.

sangakus. contemplació i raó

Documents