sage practica 2

## FUNCIONS I REPRESENTACI GRFICA ## 1 - FUNCIONS TRIGONOMTRIQUES, EXPONENCIALS I LOGARITMIQUES## sin(x), cos(x), tan(x) # funcions sinus, cosinus # i tangent. x en radiants.# asin(x), acos(x), atan(x) # arcsinus, arccosinus i arctangent.# sinh(x), cosh(x), tanh(x) # sinus, cosinus i tangent # # hiperbliques.# exp(x) # exponencial de base e.# ln(x) # logaritme Neperi.# log(x,n) # logarime en base n.# sin(pi/4), exp(2), log(100,10), ln(e^5) (1/2*sqrt(2), e^2, 2, 5)# Suma, diferncia, producte, quocient i composici de funcions

f2=x+5g2=x^3-3suma=f2(x)+g2(x) resta=f2(x)-g2(x) pr=f2(x)*g2(x) div=f2(x)/g2(x) g2of2=g2(f2(x)) f2og2=f2(g2(x) )print "f2(x)=", f2print "g2(x)=", g2print "suma: (f2+g2)(x)=", sumaprint "resta: (f2-g2)(x)=", restaprint "producte: (f2*g2)(x)=", prprint "quocient: (f2/g2)(x)=", divprint "f2 composada amb g2: (g2of2)(x)=", g2of2print "g2 composada amb f2: (f2og2)(x)=", f2og2

f2(x)= x + 5g2(x)= x^3 - 3suma: (f2+g2)(x)= x^3 + x + 2resta: (f2-g2)(x)= -x^3 + x + 8producte: (f2*g2)(x)= (x + 5)*(x^3 - 3)quocient: (f2/g2)(x)= (x + 5)/(x^3 - 3)f2 composada amb g2: (g2of2)(x)= (x + 5)^3 - 3g2 composada amb f2: (f2og2)(x)= x^3 + 2

Practica-2-Funcions -- Sage

1 de 12

JoanRectngulo

JoanRectngulo

JoanRectngulo

# Valors de funcions

f2=x+5g2=x^3-3print "f2(x)=", f2," , ","g2(x)=", g2;print "(f2(0)+g2(0)^2)/2=", (f2(0)+g2(0)**2)/2 print "cos(f2(3))+g2(-4)=", cos(f2(3))+g2(-4)print "exp(f2(0)+2)=", exp(f2(0)+2)print "f2(0)^g2(0)=", f2(0)^g2(0)print "f2(g2(0))=", f2(g2(0)) print "f2(f2(-5))=", f2(f2(-5)) print "g2(f2(0))=", g2(f2(0))print "g2(g2(2))=", g2(f2(2))

f2(x)= x + 5 , g2(x)= x^3 - 3(f2(0)+g2(0)^2)/2= 7cos(f2(3))+g2(-4)= cos(8) - 67exp(f2(0)+2)= e^7f2(0)^g2(0)= 1/125f2(g2(0))= 2f2(f2(-5))= 5g2(f2(0))= 122g2(g2(2))= 340

solve(ln(ln(x))==0,x) [e == x]solve(exp(3*x-2)==4,x) [x == 1/3*log(4) + 2/3] # Funci inversa. Cal allar x en l'equaci y=f(x). var('x,y')f=x^3-1invf=solve(y==f(x),x) # allem x en l'equaci y=f(x) print invf

[x == 1/2*(I*sqrt(3) - 1)*(y + 1)^(1/3),x == 1/2*(-I*sqrt(3) - 1)*(y + 1)^(1/3),x == (y + 1)^(1/3)]

print "La funci inversa de f(x)=", f(x); print "s invf(x)=",invf[2] # de les tres anteriors # # triem la soluci real La funci inversa de f(x)= x^3 - 1s invf(x)= x == (y + 1)^(1/3)


2 de 12

JoanRectngulo

# 2 - GRFIQUES DE FUNCIONS # 2.1 - Representaci d'una sola grfica ## Per representar grficament una funci utilitzarem la comanda # plot(funci, interval, comandes adicionals)## Entre les mltiples comandes opcionals possibles, utilitzarem:# figsize=[num,num] # per canviar el tamany per defecte.# aspect_ratio=num # proporci entre el tamany de les # # unitats en els eixos. # ymin=y_0, ymax=y_1 # representa noms els valors amb # # y_0

plot(f,-3,3,aspect_ratio=1, figsize=[6,3], rgbcolor='red') # iguala la longitud de les unitats dels eixos, # i canvia el tamany i el color de la grfica anterior.

plot(f,-3,3, figsize=[8,2], thickness=5) # canvia el tamany i el gruix de la grfica anterior.

var('t')plot(1/sqrt(t),-5,5,figsize=[2,2]) # el missatge d'error s degut # # a que els punta t

var('t')plot(1/(t^2-1),-5,5, figsize=[3,3]) # valors massa grans.

plot(1/(t^2-1),-5,5, ymin=-5, ymax=5, figsize=[3,3]) #correcci.

# 2.2 - Representaci de ms d'una grfica amb text # # Per representar ms d'una funci podem etiquetar cada grfica # i finalment representarles utilitzant la comanda# show( grfica 1 + grfica 2 + ..., comandes opcionals)## Tamb podem afegir text a la grfica utilitzant la comanda # text('text', punt) # escriu texte en un grfic en les # # coordenades punt=(,)#


5 de 12

JoanRectngulo

JoanRectngulo

g1=plot(3*x,0,5) # definim la grfica de 3x.g2=plot(x^2,0,4,rgbcolor='red') # definim la grfica de x^2.t1=text('f(x)=x^2',(3,15),rgbcolor='red') # definim texte.t2=text('g(x)=3x',(2,10)) # definim texte.show(g1+g2+t1+t2, axes_labels=('X','Y'), figsize=[4,2])

# 2.3 - Representaci de figures geomtriques # Podem utilitzar les comandes:# point((punt1, punt2,...), comandes) # dibuixa punts.# line([origen,final], comandes) # dibuixa un segment.# circle( centre,radi, comandes) # dibuixa un cercle. from sage.plot.line import Line # crida la comanda Linepts=point(((1,3),(3,-1),(2,1)), pointsize=40) # defineix punts.ls=line([(1,3), (3,-1)],rgbcolor='green') # defineix un segment.cr=circle((2,1),1) # defineix un cercle.show(pts+ls+cr, aspect_ratio=1,figsize=[3,3]) # els dibuixa.


6 de 12

JoanRectngulo

JoanRectngulo

var('x')p= plot(x^2, (-0.5, 1.1), rgbcolor='blue') + line([(0,0), (1,1)], rgbcolor='green') # rgbcolor defineix el color.p += line([(0.5, 0.5), (0.5, 0.5^2)], rgbcolor='purple') # dibuixa una linia en les coordenades indicades.p += point(((0, 0), (0.5, 0.5), (0.5, 0.5^2), (1, 1)), rgbcolor='red', pointsize=20) # dibuixa un punt.p += text('A', (-0.05, 0.1), rgbcolor='red') # coloca el texte en les coordenades indicades.p += text('B', (1.01, 1.1), rgbcolor='red')p += text('C', (0.48, 0.57), rgbcolor='red')p += text('D', (0.53, 0.18), rgbcolor='red')show(p,axes=False, xmin=-0.5, xmax=1.4, ymin=0, ymax=1.3,figsize=[3,3]) # sense eixos, lmits de la grfica

# 2.4 - Dibuix de poligonals # Tot i que hi ha comandes per dibuixar-les, ho farem# utilitzant la comanda line # L sn els vrtexs d'un decgon regular.

L = [[5*cos(i*pi/5), 5*sin(i*pi/5)] for i in range(0,11)]line(L,figsize=[2,2])


7 de 12

JoanRectngulo

JoanRectngulo

# Taula de valors seguida de la poligonal.

var('x,y')f(x)=(x^2+1)/(x^4+1)punts=[[i, f(i)] for i in range(-5,6)]print " x, f(x)";print "----------";y=0while y

# 2.5 - Creaci de grfics interactius (tipus applet) ## Amb la comanda # @interact # podem crear grfics interactius.# @interactdef para(a = slider(-3,3,1,default = 1), b = slider(-4,4,1,default = 2), c = slider(-5,5,1,default=3)): var('x') html('$ y= ' + latex(a*x^2+b*x+c) + ' $') prb=plot(a*x^2+b*x+c,-3,3,plot_points = 1024, rgbcolor = 'red') show(prb, figsize = [4,4], xmin=-3, xmax=3, ymin=-20, ymax=20)

a 1

b 2

c 3

y

= x2 + 2 x + 3


9 de 12

JoanRectngulo

JoanRectngulo

@interactdef para(n1 = slider(1,5,1,default = 2), n2 = slider(1,5,1,default = 3), a1 = slider(1,10,1/10,6/5), a2 = slider(1,10,1/10,6), b = slider(0,2,1/50,0)): var('t') html('$r=' + latex(b+sin(a1*t)^n1 + cos(a2*t)^n2)+'$') p = parametric_plot((cos(t)*(b+sin(a1*t)^n1 + cos(a2*t)^n2), sin(t)*(b+sin(a1*t)^n1 + cos(a2*t)^n2)), (t,0, 20*pi), plot_points = 1024, rgbcolor = (0,0,0)) show(p, figsize = [5,5], xmin = -2-b, xmax = 2+b, ymin = -2-b, ymax = 2+b, axes = False)

n1 2

n2 3

a1 6/5

a2 6

b 0

r = sin 56 t 2 + cos 6( t)3


10 de 12

# 3 - RESOLUCI D'EQUACIONS I INEQUACIONS ## Per a resoldre equacions combinarem les comandes# plot per localitzar els zeros, i# find_root per calcular el seu valor aproximat.# # En ser d'ajuda la funci # signe(f)=f/abs(f)# que val 1 si f>0 i -1 si f

## Clcul de les arrels.#r1=find_root(f==0,-1,0)r2=find_root(f==0,0,1)r3=find_root(f==0,1,2) print "Les arrels de f(x) sn aproxiamdament :"print " r1=",n(r1,digits=5), ", r2=",n(r2,digits=5), ", r3=",n(r3,digits=6); Les arrels de f(x) sn aproxiamdament : r1= -0.61803 , r2= 0.65063 , r3= 1.61803## Observeu la diferncia entre les tcniques 1 i 2 quan tenim arrels mltiples.# En el segent cas, 0.5 s una arrel de multiplicitat 2.# g=4*x^2-4*x+1plot(g,-5,5,ymin=-1,ymax=1,figsize=[5,1])

plot(g/abs(g),-5,5,ymin=-1,ymax=1,figsize=[5,1])

## Tot i que no s'aprecia b, pel primer mtode veiem que # podria haver-hi una arrel entre 0 i 1.#

find_root(g==0,0,1) 0.49999999999999994


12 de 12

GRAU D'ENGINYERIA INFORMTICA tardor-10

CLCUL: PRCTICA 2

Funcions amb SAGE

1 EXERCICIS: Funcions

1. Trobeu el domini de les segents funcions:

(a) f(x) = 1 + x2 (b) f(x) =1

x2 1(c) F (t) =

1t 1 (d) F (t) =

11 +t

2. Simpliqueu les segents expressions:

(a)

22(2)32(b) (8)1/3 2 (c) 232/(23)2

(d) e3 ln(3) (e) eln(7)5 (f) e(1/2) ln(4)

3. Considerem una circumferncia de radi 10, quina longitud t l'arc de la circumferncia d'angle

4pi5 ?. I el de 110

?.

4. Resoleu les segents equacions:

(a) ln(ln(x)) = 0 (b) e3x2 = 4 (c) eln2(x) = 3 (d) ex 4ex = 2

5. Expresseu l'rea i el permetre d'un triangle equilter com a funci de la longitud x d'un delscostats.

6. Siguin f(x) = cos(x2) i g(x) = x3 1. Trobeu:(a) (f(0) + g(0)2)/2 (b) cos(f(3))+g(4) (c) ef(0)+2 (d) f(0)g(0)

(e) f(g(0)) (f) f(f(5)) (g) g(f(0)) (h) g(g(2))

7. Trobeu les equacions de les rectes segents:

(a) Passa per (1, 1) amb pendent 1.(b) Passa per (2,2) i s parallela a la recta 2x+ 5y = 3.(c) Passa per (0, 1) i s perpendicular a la recta 8x 13y = 13.

8. Dibuixeu la recta y = 2x 3 i la seva perpendicular que passa pel punt p = (1,1).

1

JoanRectngulo

9. Farenheit i Celsius. En el pla FC, dibuixa la grca de la funci

C =59(F 32),

que relaciona les escales Farenheit i Celsius. En la mateixa grca dibuixa la recta y = x.Existeix alguna temperatura en la qual el termmetre en graus Celsius mesuri el mateix que el

de graus Farenheit?

10. Determineu el conjunt de punts x R tals que veriquen:(a) x2 + x 2 (b) x2 3x 2 (c) x3 + 5x 1 0(d) ex 4 x4 (e) 4 sin(x) < 1

11. Determineu el domini de les funcions:

(a)

x2 + x 2 (b) ln(x2 3x+ 2) (c) x

x3 + 5x 1

12. Un triangle t costats a = 2 i b = 3 i formen un angle = 60. Trobeu la longitud del costat c.

13. Un triangle t un costat de longitud c = 2. Els angles que forma amb els altres costats sn = pi/4 i = pi/3. Trobeu la longitud a del costat oposat a .

14. Dibuixeu un pentgon regular inscrit en una circunferncia de radi 4.

15. Feu una taula de valors de la funci f(x) =x2 + 1x4 + 1per a valors enters entre -5 i 5 i dibuixeu els

punts en una grca. Dibuixeu tamb la poligonal que uneix els punts.

2

Practica-2-Funcions -- Sagepractica2_tardor10

sage practica 2

Documents