s5_derivada

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Administrativas Escuela Académica Profesional de Turismo

MATEMATICA II

Lic. Omar Aldazabal Melgar. Página 23

DERIVADA

OBJETIVO

Desarrollar la idea de recta tangente a una curva, definir la pendiente de una curva, definir una derivada y darle una

interpretación geométrica.

Calcular derivadas por medio del uso de la definición de límite.

Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto

sobre una curva. Quizá en geometría usted vio que una recta tangente, o tangente, a un círculo

es una recta que toca al círculo en un solo punto (véase gráfico 01). Sin embargo, esta idea de

una tangente no es muy útil en otras clases de curvas. Por ejemplo, en la figura (a) las rectas L1

y L2 intersecan a la curva en exactamente un solo punto, P. Si bien L2 no la veríamos como la

tangente en este punto, L1 sí lo es. En la figura (b) podríamos considerar de manera intuitiva

que L3 es la tangente en el punto P, aunque L3, interseca a la curva en otros puntos.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h"

un número real que corresponde al incremento de x (Δx).

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la

diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]


MATEMATICA II


Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por

h

y ó

x

y

, al cociente entre

la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

h

afhafhaaTVM

)(,

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de

abscisas a y a+h.

h

afhafm

)(

sec

ya que en el triángulo PQR resulta que:

h

afhaf )(tan

CONCEPTO DE DERIVADA EN UN PUNTO:

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de la TVM cuando el incremento de la

variable tiende a cero.

h

afhaf

h

yaf

hh

)(limlim)´(

00

Para determinar la derivada de la función utilizando la definición de la derivada, el procedimiento para derivar cualquier

función se realiza en 5 pasos:

1) Colocamos la función f(x) según el dato:

2) Se sustituye en la función, “x” por “x+h” y se calcula del valor de la función f(x+h).

3) Se reemplaza en la definición de la derivada.

4) luego desarrollamos el límite que nos piden.

5) el valor que se obtiene es la derivada.

EJEMPLO

Determine f´(x) si f(x)= 2x2

+ 3x

1) xxxf 32)(2


MATEMATICA II


34)´(

)324(lim

)324(lim

324lim

3233242lim)´(

0

0

2

0

222

0

xxf

hx

h

hxh

h

hhxh

h

xxhxhxhxxf

h

h

h

h

2)

hxhxhx

hxhxhxf

33242

)(3)(2)(

22

2

3)

4)

5)

Determine f´(x) si f(x)= 2x2

+ 3x en el punto x=2

Como la derivada de la función f(x) es: 34)´( xxf ; reemplazamos en el punto x=2: 113)2(4)2´( f

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 01

Determine la derivada f ’(x) y f ’(c) utilizando la definición:

h

xfhxfLim)x´(f

0h

1) 3

x)x(f c=- 2 2) 2

x2)x(f c=1 3) 1x2)x(f c=1,5

4) 1x2x3)x(f2 c=2,5 5)

x4

x4)x(f

c=-1 6) 1x3)x(f c=2

7)

2x3

1)x(f

c=-1 8)

5x

1x2)x(f

c=0,2 9) 1x1x)x(f c=0

10) 3x)x(f c=0,5 11) 8) 3c 422 ;xxxf 12)

1c

2

4

2

;

x

xf

PENDIENTE EXACTA DE UNA CURVA EN ALGUNO DE SUS PUNTOS

Para calcular la pendiente de una curva representada mediante la función y=f(x) en un punto, es necesario que el punto

considerado pertenezca a esa función. El dato exacto de la pendiente de la curva en un punto debe encontrarse haciendo

uso de la derivada.


1) Encuentre la pendiente de la curva 4 2

xxf en el punto (-2,8)

2) Encuentre la pendiente de la curva 5-2

4xxf cuando x=0

3) Encuentre la pendiente de la curva 2

32 xxf en el punto (1,-1)

4) Encuentre la pendiente de la curva xxf cuando x= 1

5) Hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función dada en el punto que se indica.

a) 12 ; xxf (2; 5) b) 12

2 ; xxxf (-3; 4)

c) 1 ; xxf (3; 2) d)

1

1;

x

xf (0; 1)

e) 2324 ; xxxf (1; 0)


MATEMATICA II


REGLAS DE DEFERENCIACIÓN

Aplicando la fórmula de la derivada podemos calcular la derivada de cualquier función. Por comodidad utilizamos la

siguiente tabla resumen de las derivadas de las funciones más usuales, que nos permite hacer lo mismo sin necesidad de

recurrir a la definición en cada caso.

Función Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidad

y=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas


MATEMATICA II


Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones


Encontrar la derivada f´(x) utilizando REGLAS DE DIFERENCIACIÓN:

1) 3

x)x(f 2) 5

x2)x(f 3) 3

x

2

1)x(f

4) 4

x

3)x(f 5) 1x2x3)x(f

2 6) 532

x

5

1x

3

1x

2

1)x(f

7) 31x2)x(f 8) 3

1x4)x(f 9) 2x3x)x(f2

10) 3

x

2x5)x(f 11)

3

4

bx

ax)x(f

12) x1x)x(f


MATEMATICA II


13)

x

x4)x(f

14) 75

1x3)x(f 15)

2x3

1)x(f

16)

5x

4x)x(f

17)

3x

1x2)x(f

2

2

18)

b

ba

a2

bx

b

ax)x(f

24

19) abba

x3xx)x(f 20) 2

3

2

5

2

7

x2x4x6)x(f 21) 5x53x)x(f32

22)

3

1

x

7

x

1)x(f

32 23) 33

xx1xx1)x(f 24) 528x3)x(f

25) knmxx)x(f 26)

321x

7)x(f

27)

3

2

x1

x)x(f

28) 1x3x

2

1x

3

1)x(f

23 29) 1x5x3x5)x(f23 30) 2x1x)x(f

54

Utilizando las diferentes reglas de diferenciación, halle la derivada de las siguientes funciones y evalué el punto dado:

1) 0c 42

3

13 ;xxf 2) 1c

7

652

;x

xf

3)

1c 35

2

;

x

xxf 4) 1c 1x12

32 ;xxxf

5) 0c 23x12 ;xxxf 6) 1c

x

13

2

5

;xxxf

7) 2c

1

1

;

x

xxf 8) 3c 42

2 ;xxxf

9)

1c

2

4

2

;

x

xf 10) 1c 132 ;xxf

Resuelve:

1) Halle los puntos de la gráfica de ; 12 xxf en los que la pendiente es: a) –1 b) 0 c) 1

2) Halle la ecuación de una recta que es tangentes a la gráfica de 1

x

xf y es paralela a la recta x+2y - 6=0

3) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 322 xxf , que es paralela a la recta 8x - y+3=0

4) Halle la ecuación de una recta normal a la curva 122 xxxf , que es perpendicular a la recta x+2y+1=0

5) Halle la ecuación de la recta normal a la curva 322 xxf , que es perpendicular a la recta 8x - y+3=0

6) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 34 xxf , y que es perpendicular a la recta x - 2y - 11=0

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