Valor esperado y Varianza de variables aleatorias

continuasPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Valor esperado de v.a continuas Suponga que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

La media o valor esperado de X, denotada como o es

Ejemplo Para la medición de la corriente en el alambre de cobre la media de X será:

Interpretación : El promedio de la corriente medida en un alambre delgado de cobre es de 10 miliamperios.

Varianza de v.a continuas La varianza de X, denotada como o , es

La desviación estándar de X es

Ejemplo Para la medición de la corriente en el alambre de cobre la varianza de X será:

Desviación estándar :

Interpretación : Existe una variación en la medición de corriente en el alambre de cobre con respecto a la media de 5.77 miliamperios

Ejemplo Para la operación de taladrado del ejemplo anterior el valor esperado de X es

Puede aplicarse la integración por partes .

Interpretación : el diámetro promedio que hay en la operación de taladrar un agujero es de 12.55 milímetros .

Ejemplo Para la operación de taladrado la varianza de X es

Puede integrarse por partes dos veces y ver que 0.0025

Desviación estándar :

Interpretación : Existe una variación en el diámetro de un agujero realizado con taladro con respecto a la media de 0.05 milímetros

Propiedades de medias y varianzas de variables aleatorias

Si a y b son constantes entonces :

El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una v.a X es la suma o diferencia de valores esperados de las funciones. Es decir,

Sean X y Y dos variables independientes. Entonces,

Otras propiedades del valor esperadoEl valor esperado tiene ciertas propiedades que se presentan a continuación, las cuales son de utilidad para aplicaciones futuras. Sean a y b dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria. Entonces:

1. E(a) = a

2. E(bX) = b E(X)

3. E(X + a) = E(X) + E(a) = E(X) + a

4. E(a + bX) = E(a) + b E(X) = a + b E(X)

Debido a que la varianza se define en términos del valor esperado, también ella posee propiedades, algunas de las cuales se presentan a continuación.

Sean “a” y “b” dos constantes cualesquiera y sea X una variable aleatoria.

Entonces: 1. Var (X) no puede ser negativa2. Var (a) = 03. Var (X + a) = Var (X) + Var(a) = Var(X)4. Var (bX) = b2 Var (X)5. Var (a + bX) = b2 Var (X)

Las propiedades de la desviación estándar son las mismas que las de la variancia y lo único que se debe hacer es tomar la raíz cuadrada de los valores de la variancia.

Ejercicio 1. Dada una variable aleatoria definida en el intervalo [2,3] con

función de densidad obtener media y varianza.

2. La pdf de ventas semanas de grava X fue :

Calcular media y varianza.