s e l_104
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Sistemas de ecuaciones linealescon un parámetro
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
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Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada según los valores de a
010
312
20
a
a
a
A
Hallamos el determinante de A:
|A| = a·(a – 1)·(a – 2)
Solución:
Si |A| es distinto de cero el rango de A (y el de A') será 3
Vamos a estudiar que ocurre si |A| = 0
aa
a
aa
A
1010
0312
20
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
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|A| = 0 a·(a – 1)·(a – 2) = 0
2
1
0
a
a
a
Veamos que ocurre en estos casos:
Si a = 0
Solución:
Si a = 0 el sistema es incompatible
1
0
0
3
2
2
z
y
y
y
x es incompatible y = 0
y = –1
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
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Si a = 1
Solución:
Si a = 1 el sistema es compatible indeterminado.Solución: x = 3 – 5, y = , z = 1 – 2
0
0
1
3
0
2
z
z
y
y
y
x
0
1
3
2
z
z
y
y
x
Resulta un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, compatible indeterminado
y
y
z
z
x
21
3 zx
z
y
3λ
λ21
λ
λ21
λ
λ53
z
y
x
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
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Si a = 2
Solución:
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
1
0
2
3
22
0
z
z
y
y
y
xes incompatible
2z = 4
3z = 1
Si a = 2 el sistema es incompatible
Podemos ver que la matriz A' tiene rango 3
101
031
222
= –6 + 0 + 0 – 6 + 2 – 0 = –10 0
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Si a 0, a 1 y a 2
Solución:
Por lo tanto, rg(A) = rg(A') = 3 = nº de incógnitas
Si a 0, a 1 y a 2 el sistema es compatible determinado
|A| = a·(a – 1)·(a – 2) 0
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
Es un sistema escalonado, podemos resolverlo despejando las incógnitas en el orden adecuado:
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Solución:
aa
zyaaa
x2
;1 ;)2(62
:Solución
a 0, a 1 y a 2
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
a
a
z
az
ya
y
y
xa
1
03
)1(
2
)2(
11
1
aa
y
2 aaza
az
2
zxa 31)2( a
a 631
aaa 63
)2(62
aaa
x