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Rutas hacia el lgebra Actividades en Excel y Logo

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Proyecto Conacyt: Introduccin temprana al pensamiento algebraico en entornos tecnolgicos de aprendizaje: un estudio terico experimental en el nivel bsico (convocatoria seb/sep/Conacyt; nmero 145906).


Rutas hacia el lgebra Actividades en Excel y Logo

Cristianne Butto ZarzarJoaqun Delgado Fernndez


Edicin y correccin de estilo: Adriana Hernndez UrestiFormacin y grficos cd: Mara Eugenia Hernndez Arriola

Diseo de portada, fotografas, ilustraciones y diseo cd: Rodrigo Garca Garca

Primera edicin, octubre de 2012 Derechos reservados por

Esta edicin es propiedad de la Universidad Pedaggica Nacional, Carretera al Ajusco nmero 24, col. Hroes de Padierna, Tlalpan, cp 14200, Mxico, df www.upn.mx

isbn 978-607-413-137-6

Queda prohibida la reproduccin parcial o total de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin expresa de la Universidad Pedaggica Nacional.

Impreso y hecho en Mxico.

QA157 Butto Zarzar, CristianneB8.7 Rutas hacia el lgebra : actividades en Excel y Logo / Cristianne Butto Zarzar, Joaqun Delgado -- Mxico : upn, 2012. 1v. (Horizontes educativos) isbn: 978-607-413-137-6

1. lgebra - Problemas, ejercicios, etctera 2. Computadoras en la educacin 3. Excel (Archivo para computadora) 4. Logo (Lenguaje de programacin para computadora) I. Delgado, Joaqun, coaut.

Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y LogoCristianne Butto Zarzar / [email protected]

Joaqun Delgado / [email protected]

Sylvia Ortega Salazar Rectora

Aurora Elizondo Huerta Secretaria Acadmica

Jos Luis Cadenas Palma Secretario Administrativo

Adrin Casteln Cedillo Director de Planeacin

Mario Villa Mateos Director de Servicios Jurdicos

Fernando Velzquez Merlo Director de Biblioteca y Apoyo Acadmico

Adalberto Rangel Ruiz de la Pea Director de Unidades upn

Juan Manuel Delgado Reynoso Director de Difusin y Extensin Universitaria

Mayela Crisstomo Alcntara Subdirectora de Fomento Editorial

Coordinadores de rea Acadmica:

Dalia Ruiz vila Poltica Educativa, Procesos Institucionales y Gestin

Gisela Victoria Salinas Snchez Diversidad e Interculturalidad

Mara Teresa Martnez Moctezuma Aprendizaje y Enseanza en Ciencias, Humanidades y Artes

Mara Estela Arredondo Ramrez Tecnologas de la Informacin y Modelos Alternativos

Mnica Anglica Calvo Lpez Teora Pedaggica y Formacin Docente


NDICE

PREFACIO ..................................................................................................9

INTRODUCCIN ...................................................................................13

Contenido .................................................................................................15

A quin va dirigido el libro? ...................................................................16

captulo 1

LAS DOS GRANDES RUTAS: PROPORCIONALIDAD

Y PROCESOS DE GENERALIZACIN .................................................17

Pensamiento algebraico temprano ..........................................................20

Campos conceptuales de Vergnaud .........................................................24

Razonamiento proporcional ....................................................................39

Procesos de generalizacin ......................................................................59

captulo II

CONTENIDOS MATEMTICOS

EN LOS LIBROS DE TEXTO DE PRIMARIA ........................................69

Mapa curricular de la educacin bsica ...................................................70

Objetivos de la educacin primaria .........................................................72

Competencias matemticas ......................................................................72

Estndares curriculares de matemticas ..................................................73

5


6

Factibilidad del lgebra temprana en la primaria ...................................80

Proporcionalidad ......................................................................................86

captulo III

ENTORNOS DIGITALES DE APRENDIZAJE ......................................89

Micromundo Logo ...................................................................................91

El micromundo y las situaciones didcticas ...........................................98

Procesos de generalizacin en la hoja de clculo ....................................99

captulo Iv

MODELOS TERICOS LOCALES .......................................................103

Sistemas matemticos de signos ............................................................106

Modelo de los procesos cognitivos ........................................................107

Modelo de comunicacin ......................................................................108

Modelos de enseanza ...........................................................................110

Modelo de competencia formal ............................................................111

captulo v

INTERACCIN SOCIAL EN EL AULA ................................................115

Teora sociohistrico-cultural ...............................................................115

Desarrollo y aprendizaje ........................................................................116

Zona de desarrollo prximo ..................................................................116

Estudio de los procesos cognitivos ........................................................122

captulo vI

ACTIVIDADES EN EL CD: LPIZ Y PAPEL,

WINLOGO Y EXCEL .............................................................................129

REFERENCIAS .......................................................................................133


7

Transente, sta es la tumba de Diofanto: es l quien con esta

sorprendente distribucin te dice el nmero de aos que vivi.

Su niez ocup la sexta parte de su vida; despus, durante la

doceava parte su mejilla se cubri con el primer bozo.

Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa

y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez

alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci

de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle,

llorndole, durante cuatro aos. De todo esto se deduce su edad.

Los autores agradecen enormemente la excelente labor

profesional de edicin y revisin de Adriana Hernndez.


9

PREFACIO

En Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo los autores*

nos presentan el tema fascinante del acceso temprano a dos ideas

poderosas en matemticas: la proporcionalidad y la generalizacin,

como puertas de entrada al lgebra escolar. Su aproximacin al

tema, a travs de distintas perspectivas, nos permite asomarnos de

cerca al mundo de los procesos cognitivos y de construccin social

del conocimiento involucrados en el aprendizaje de dichos tpicos,

as como al contexto especial de los entornos tecnolgicos y su pa-

pel en tales procesos en el caso de alumnos muy jvenes.

A pesar de ser una obra especializada, no est dirigida slo a

investigadores especialistas, pues una de sus principales caracters-

ticas es que tiende puentes entre teora y prctica. Es decir, si bien

se hace una revisin de la literatura de investigacin sobre pensa-

miento algebraico en edades tempranas y se sintetizan resultados

de estudios empricos realizados por los propios autores, tambin

hay una propuesta concreta para la implementacin en el aula de

secuencias didcticas que promueven ese acceso temprano.

* Cristianne Butto Zarzar de la upn Ajusco.Joaqun Delgado Fernndez del Departamento de Matemticas, uam-Iztapalapa.


10

Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo

El universo de lectores potenciales incluye a profesores de pri-

ma ria y secundaria; a diseadores y desarrolladores del cu rrcu-

lo, quie nes pueden encontrar en este libro modelos de actividades

cuida dosamente diseados para su uso expedito en un laboratorio

de cmputo o en aulas con equipamiento bsico de una compu-

tadora y un proyector. En otras palabras, la propuesta de ense anza

tiene la flexibilidad suficiente como para ponerla en obra tanto en

la modalidad de trabajo de los alumnos en equipo o por parejas

frente a una computadora, como en la modalidad de discusin gru-

pal frente a lo que se proyecte en el saln de clases desde una compu-

tadora manipulada por el profesor o por un estudiante.

El lgebra simblica es una de las reas de las matemticas en la

que los estudiantes de un rango amplio de edades encuentran las

mayores dificultades. Como los mismos autores afirman, stas se

presentan aun en alumnos de educacin media superior y supe-

rior. Las investigaciones de los aos ochenta y hasta mediados de

los noventas reportaron la presencia de errores que los estudiantes

cometen de manera generalizada y persistente al interpretar y ope-

rar los smbolos algebraicos. Tambin se analizaron los obstculos

que los aprendices tienen que remontar para adquirir los concep-

tos algebraicos y en general el uso del lgebra manipulativa.

Estos resultados motivaron otro tipo de estudios, como por ejem -

plo, aquellos en los que se ponan a prueba distintos acercamien tos

de enseanza al lgebra, como el funcional, resolucin de proble-

mas, modelacin y generalizacin. Otros proyectos involucraban

el uso de la tecnologa para ayudar a los alumnos a transitar hacia el

lgebra de una manera ms prctica y experimental, al utilizar he-

rramientas como el lenguaje de programacin Logo, las hojas elec-

trnicas de clculo y los manipuladores simblicos (o CAS, por sus

siglas en ingls). Pero ha sido en los aos recientes cuando surge

la corriente llamada lgebra temprana o early algebra, dentro de la

cual se estudia la factibilidad de iniciar a los alumnos de primaria en

conceptos bsicos del lgebra, para de esta manera, garantizarles los

antecedentes necesarios en su adquisicin del lenguaje algebraico en


11

Prefacio

la escuela secundaria. Hoy en da, la literatura en esta rea es muy

nutrida y abarca un espectro amplio de acercamientos, algunos de

los cuales resultan antagnicos entre s, como es el caso de quienes

proponen una iniciacin a travs de experiencias conceptuales del

lgebra (a partir de la generalizacin o de la modelacin) sin el uso

prematuro de una simbolizacin formal, o como el caso de quie-

nes proponen una iniciacin temprana al lgebra va la utilizacin

de su simbologa para representar situaciones concretas o familiares

para el estudiante.

Rutas hacia el lgebra. Actividades en Excel y Logo conjuga y hasta

cierto punto concilia varias de estas propuestas e incorpora la expe-

riencia de estudios previos al surgimiento de la corriente del early

algebra, pues por un lado aprovecha resultados anteriores sobre

una iniciacin al lgebra por medio de procesos de generalizacin

en tareas de percepcin y representacin de patrones y por otro uti-

liza los ambientes de Logo y Excel para la representacin simblica

y figurativa de dichos patrones. Si bien la sintaxis en Logo y en Excel

no coinciden totalmente con la sintaxis algebraica, su similitud con

ella es suficiente para fines de representacin y comprensin de la

generalidad, lo cual ha quedado documentado por investigaciones

realizadas con estudiantes pre-algebraicos.

Otra de las aportaciones originales de esta obra es la propues-

ta alterna de acceso al lgebra por la ruta de la proporcionalidad,

la cual se inspira en las investigaciones que conciben a la aritm-

tica, de hecho a la matemtica de la escuela elemental, como un

piso firme sobre el cual pueden construirse conceptos algebraicos

como el de incgnita y el de variable en una relacin funcional.

Aqu tambin los entornos tecnolgicos de Logo y Excel juegan un

papel central, en razn de que uno de ellos (Logo) permite veri ficar

una regla general que represente una situacin de relacin de pro-

porcionalidad, por medio de retroalimentacin visual de figuras

que se reproducen en la pantalla, al variar uno de los parmetros

de la regla que se ha expresado en el lenguaje del programa. En lo

que respecta a Excel, ste permite desplegar tablas de variacin que


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se generan a partir de la introduccin de una frmula o regla gene-

ral escrita con la sintaxis del programa.

Las rutas de acceso temprano al lgebra propuestas en el libro,

con apoyo de las tecnologas digitales, pueden considerarse una in-

novacin en la enseanza, sin embargo, no irrumpen de manera

drstica en el currculo actual de matemticas, en virtud de que los

autores se dieron a la tarea de analizar en ste la presencia (explcita

o no) de los tpicos en cuestin (proporcionalidad y patrones y

ge neralizacin). Lo anterior le da viabilidad a la propuesta para su

implementacin en la enseanza elemental.

Finalmente, quiero sealar que el contenido de la obra, sin duda,

resultar relevante para la comunidad de investigadores y estu-

diantes de posgrado en el rea de la educacin matemtica, debido

a la resea tan amplia que hacen los autores de la literatura de early

algebra y a la presentacin de los resultados de sus propios estudios,

los cuales han contribuido al enriquecimiento terico y metodol-

gico de la investigacin sobre este novedoso tema.

Teresa Rojano


INTRODUCCIN

El lgebra temprana se refiere a la introduccin del pensamiento alge-

braico a edades que van del cuarto al sexto ao de primaria y primero

de secundaria del ciclo escolar. En el currculum mexicano, la ensean-

za y el aprendizaje del lgebra se pospone al ciclo de educacin secun-

daria (sptimo a octavo ao), se argumenta la dificultad inherente a

los contenidos matemticos, inaccesibles a edades tempranas. Desde

la perspectiva piagetiana, el enfoque de lge bra temprana en el nio se

sita en una etapa de su desarrollo cognitivo en la cual no se han desa-

rrollado completamente el pensamiento lgico formal y la abstraccin

sobre lo concreto; en cambio la conservacin de la cantidad, la reversi-

bilidad y las operaciones concretas se hallan bien consolidadas. El tema

parece contradecir las investigaciones originales que afirman que el

pensamiento algebraico corresponde ms bien a la etapa de las ope-

raciones formales, situadas alrededor de los 15-16 aos. Sin embargo,

estudios posteriores a Piaget han permitido dilucidar etapas ms finas

en el desarrollo cognitivo del nio y entender otros factores que permi-

tiran abordar el desarrollo del pensamiento algebraico a edades ms

tempranas, con los enfoques pertinentes y al tomar en cuenta otros

factores que han demostrado influir en el desempeo de las tareas.

El lgebra temprana es tambin un tema de investigacin ac-

tiva con contribuciones de diversas reas tales como la psicolo-

13


14


ga cognitiva o la matemtica educativa. Los autores de este libro

sostienen la importancia de la interaccin social como detonador

de los procesos de aprendizaje y proponen la incorporacin de ele-

mentos de la teora sociohistrico-cultural de Vigotski como mar-

co terico para estudiar las diversas interacciones que se dan en

el aula: alumno-alumno, alumno-profesor, entorno-alumno, por

citar algunos ejemplos. Sin duda la parte motivacional es un factor

importante para desper tar el inters por el aprendizaje de las ma-

temticas, pero no se aborda en esta obra.

Es importante distinguir los trminos lgebra temprana y pre-l-

gebra. En el primero se hace nfasis en los procesos de pensa miento

que conducen a las ideas algebraicas, incluso cuando no sean total-

mente acabadas, pero que ofrezcan verdaderos medios para acceder

con soltura a las ideas algebraicas ms acabadas. Ello est fundamen-

tado por la psicologa piagetiana que seala los diversos estadios en

el desarrollo del pensamiento matemtico del nio. En el enfoque de

pre-lgebra se hace nfasis en los contenidos matemticos previos

a la introduccin formal de los conceptos algebraicos, tales como

propiedades de exponentes, polinomios, productos notables, etc-

tera. En este libro proponemos dos rutas de acceso al pensamiento

algebraico temprano, basadas en la nocin de razn y proporcin,

y de los procesos de generalizacin. El por qu el concepto de ra-

zn y proporcin permite una ruta de acercamiento al pensamiento

algebraico puede explicarse de la siguiente manera: desde el pun-

to de vista matemtico, la igualdad de dos razones es una propor-

cin: a/b = c/d. En problemas de valor faltante, la ncgnita puede

ser un trmino de la proporcin: x/b = c/d, lo que plantea una ecua-

cin lineal o dos incgnitas: x/b = y/d, que da la idea de co-variacin

o funcin lineal; o una incg nita doble (razn primera y ltima):

x/a = c/x, lo cual resulta en una ecuacin cuadrtica.

Los procesos de generalizacin consisten en descubrir un pa-

trn o regla a partir de una secuencia de objetos, que pueden ser

numricos o geomtricos. Las investigaciones al respecto muestran

que un nio puede comprender una regla, aun cuando no pueda


15

Introduccin

expresarla en lo que llamamos un lenguaje algebraico. Sin embargo,

es capaz de constuir una tabla y extrapolar o interpolar correspon-

dencias fuera del dato.

Contenido

La presente obra consta de dos partes. La primera es el material es-

crito en forma de libro en el que presentamos las investigaciones

realizadas en el campo del lgebra temprana, que sustentan nuestra

propuesta de las dos rutas de acceso al pensamiento algebraico. La

segunda parte es un CD que contiene tres secciones: Actividades en

Excel,1 Actividades en WinLogo y Actividades lpiz y papel, el cual se

describe en el captulo VI.

Todas las prcticas incluyen sugerencias para el profesor de cmo

llevar a cabo la actividad, cules son los conceptos alge braicos invo-

lucrados y recomendaciones de tareas adicionales. El uso de Excel

sin Visual Basic, por un lado tiene la ventaja de requerir pocos re-

cursos computacionales como procesador, memoria, modelo, etc-

tera. Est disponible en casi cualquier plataforma y se pueden usar

otras hojas de clculo libres, como Open Office, por ejemplo. La

desventaja es que requiere una familiarizacin con el lenguaje pro-

pio de Excel. Sin embargo, creemos que este reto es ms bien una

ventaja, ya que el disear una frmula en Excel que funcione exige

el dominio pleno de conceptos tales como variable, as como sumo

cuidado en el orden de asociacin de las operaciones aritmticas.

Por ejemplo, el equivalente de la frmula matemtica (n1)2+2n1

se escribira en Excel =(A1-1)^2+2*A1-1. Para el lector interesado

recomendamos las notas bsicas de Excel en el sitio: http://mat.izt.

uam.mx/notas_de_clase/ManualExcel.pdf

1 Reconocemos que los programas WinLogo, Excel, Visual Basic y el paquete Office Microsoft son marcas registradas, pero por razones editoriales en este libro y en el cd que lo acompaa se omitir incluir el smbolo de copyright correspon-diente cada vez que se men cionen dichos productos.


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En las referencias se listan diversos sitios donde se puede descar-

gar la versin gratuita de WinLogo. La hoja de clculo Excel forma

parte de la suite de Microsoft Office y existen licencias acadmicas

de bajo costo.

A quin vA dirigido el libro?

Este libro est dirigido a profesores de matemticas de educacin

bsica primaria y secundaria, as como a pedagogos y psiclogos

educativos interesados en el aprendizaje del lgebra temprana con

el uso de nuevas tecnologas. Las nuevas tendencias en educacin

apoyadas por investigaciones en psicologa cognitiva apuntan a una

introduccin ms temprana de los conceptos bsicos del lgebra

de una manera progresiva donde el conocimiento previo de con-

ceptos aritmticos, tablas, series numricas, figuras geomtricas se

usa como puentes para acceder a conceptos naturales en el lgebra

tales como incgnita, variable, induccin, funcin, etctera.

El inters que los autores pretenden despertar en el lector es do-

ble: por una parte en la investigacin reciente en el rea de lgebra

temprana, la obra presenta las principales investigaciones en el tema

desarrolladas por diversos autores nacionales y extranjeros, as el lec-

tor encontrar algunas de las ideas principales que se manejan en

este campo del conocimiento y de investigacin activa. Por otra parte

se incluyen prcticas que se han diseado y probado con alumnos

de diversos grados desde tercero de primaria hasta el primer ao de

bachillerato de escuelas tcnicas. Aunque el trmino lgebra tem-

prana est pensado para un pblico de los ltimos grados de pri-

maria: cuarto, quinto y sexto, nuestras propias experiencias nos han

revelado que muchas de las dificultades originales en el aprendizaje

del lgebra persisten a lo largo de los grados siguientes. Las prcticas

tienen diverso grado de dificultad. Las diseadas en ambiente Logo

se han aplicado a nios pequeos de segundo y tercero aos de pri-

maria; las prcticas en Excel en alumnos de secundaria y bachillerato.


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CAPTULO 1

LAS DOS GRANDES RUTAS: PROPORCIONALIDAD

Y PROCESOS DE GENERALIZACIN

En este captulo se hace referencia a dos rutas conceptuales para

acceder al pensamiento algebraico: el razonamiento proporcional y

los procesos de generalizacin, ambas pretenden tender un puente

hacia el pensamiento algebraico.

La eleccin de la primera ruta (razonamiento proporcional) se

fundamenta, en primera instancia, en la familiaridad de los nios

con ese contenido matemtico en la escuela primaria especfica-

mente quinto grado, aun cuando estn en transicin del pensamien-

to aditivo al multiplicativo, y examina el hecho de que ese contenido

matemtico se conecta conceptual e histricamente (Radford, 1996)

a la idea de variacin proporcional, variable en una relacin fun-

cional y como nmero general. Esto a su vez lo vinculamos con la

segunda ruta de acceso (los procesos de generalizacin) que pro-

mueve la percepcin de patrones como la expresin y escritura del

patrn mediante actividades que involucran el razonamiento acerca

de patrones en grficas, patrones numricos y figuras. Se busca que

los nios sean capaces de detectar similitudes, diferencias, repeticin

y otros aspectos, as como de realizar operaciones aritmticas para

generalizar, a partir de casos particulares hacia lo general y viceversa.


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A diferencia de los tratamientos tradicionales para ensear lge-

bra, partimos de la variacin funcional hacia los procesos de gene-

ralizacin en su condicin de tema perteneciente al campo de las

estructuras multiplicativas, desde donde proyectamos dicho conte-

nido matemtico a la variacin proporcional, variable como rela-

cin funcional y nmero general, va los procesos de generalizacin.

El contenido del captulo caracteriza el pensamiento matem-

tico como un perodo de transicin entre las estructuras aditivas

y multiplicativas propias de esas edades y de la instruccin escolar

en la escuela primaria, que privilegia contenidos matemticos per-

tenecientes al campo de las estructuras aditivas. Vergnaud (1983,

1998), propone la nocin de campo conceptual con el inters de en-

tender la adquisicin y el desarrollo de conocimientos especficos

y de destrezas relacionadas con situaciones y problemas. El campo

conceptual de la estructura multiplicativa ha sido estudiado desde

la dcada de 1980 y se han realizado importantes aportaciones, tan-

to en su delimitacin terica como en las estrategias, dificultades y

errores que cometen los estudiantes en tareas ligadas de este campo

conceptual. Para tratar los problemas de estructura multiplicativa,

Vergnaud distingue los siguientes contenidos: comparacin ml-

tiple de magnitudes, proporcionalidad simple, proporcionalidad

simple compuesta, proporcionalidad doble o mltiple.

Problemas de estructura aditiva: para Vergnaud (1991) los pro-

blemas de estructura aditiva son todos aquellos para cuya resolucin

intervienen sumas o restas y no pue den estudiarse en forma separa-

da, pues pertenecen a una misma familia de problemas o a un mis-

mo campo conceptual. Involucran la construccin de conocimientos

matemticos que van ms all de los algoritmos de la suma y la resta,

como son el dominio de diversas estrategias de clculo y el reconoci-

miento de los problemas que se resuelven con esas operaciones.

Problemas de estructura multiplicativa: Vergnaud (1991) de-

fine los problemas de tipo multiplicativo como aquellos que inclu-

yen una multiplicacin o una divisin, y clasifica tres categoras:

proporcin simple, producto de medidas, y proporcin mltiple.


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Captulo I. Las dos grandes rutas: proporcionalidad y procesos de generalizacin

Por su parte, el pensamiento algebraico involucra la compren-

sin de las relaciones funcionales, la generalizacin de patrones

y de las relaciones numricas, el trabajo con la estructura, el simbo-

lismo y la modelizacin como medio de expresin y formalizacin

de generalizaciones.

De acuerdo con Vergnaud (1991) una estructura multiplicativa

se basa en la estructura aditiva, aunque determinados elementos

intrnsecos de la estructura multiplicativa no estn presentes en

la primera. De las investigaciones publicadas sobre razona miento

proporcional que se han identificado inicialmente como apoyo

para este captulo sobresalen las siguientes: Inhelder y Piaget, 1958;

Hart et al., 1982; Spinillo y Bryant, 1991; English y Halford, 1995,

y Noelting, 1980.

Diversos estudios se han centrado en el desarrollo del razona-

miento multiplicativo; especficamente, en la transicin del pen-

samiento aditivo al multiplicativo en estudiantes de educacin

primaria. El anlisis de algunos problemas de estructuras multipli-

cativas tienen aspectos comunes a la estructura aditiva; por ejemplo,

la multiplicacin como la adicin de partes repetidas, pero tambin

tienen caractersticas que no se reducen a aspectos aditivos.

La comprensin del razonamiento proporcional, por ejemplo,

requiere del estudiante un cambio cualitativo en los esquemas cog-

nitivos para que pueda transitar del pensamiento aditivo al pensa-

miento multiplicativo. La mayora de los alumnos de educacin

primaria presenta dificultades para realizar ese cambio cualitativo.

Una de esas dificultades consiste precisamente en poder diferenciar

situaciones de estructura multiplicativa de situaciones de estructura

aditiva. Esto se manifiesta en el uso de mtodos aditivos errneos.

Por otro lado, en los planes y programas de estudio de la Secre-

tara de Educacin Pblica (sep, 2011), el estudio de la proporcio-

nalidad se desarrolla, principalmente, en los dos ltimos grados de

educacin primaria (quinto y sexto grados) y en los dos primeros

grados de la educacin secundaria. En educacin primaria se estu-

dia el pensamiento proporcional relacionado con los problemas


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de estructura multiplicativa: multiplicacin, divisin, nmero ra-

cional, escala, porcentaje y probabilidad, entre otras (Block, 2006;

Block, et al., 2010).

En educacin secundaria las relaciones de proporcionalidad se

estudian vinculadas al pensamiento algebraico, como, funciones

lineales. El estudio del pensamiento proporcional en educacin b-

sica forma un eje articulador de contenidos matemticos diversos,

que continan y se generalizan en niveles de estudios posteriores.

PensAmiento AlgebrAiCo temPrAno

La transicin de la aritmtica al lgebra es un paso importante para

acceder a ideas ms complejas dentro de las matemticas escolares.

Una de las dificultades que la mayora de los estudiantes enfrenta al

iniciarse en el estudio del lgebra obedece a que sta ha sido vista

como una transicin lineal, como una extensin de los clculos nu-

mricos a la operacin con incgnitas y variables. Se pretende que el

pensamiento del alumno evolucione del manejo de cantidades defi-

nidas, como nmeros y operaciones, a la abstraccin de propiedades

generales tales como a + b = b + a, o que distinga la tenue diferen-

cia entre coeficiente y variable, siendo ambas desconocidas: ax + b.

Que maneje con soltura el anlisis de una expresin algebraica:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y su sntesis: a2 + ab = (a + b/2)2 b2/4.

Las dificultades en el aprendizaje del lgebra se deben en parte

a que este contenido matemtico se ensea, por lo general, a par-

tir de fuentes de significados limitadas, usualmente se toma como

base el dominio numrico y se dejan de lado ideas importantes que

se interconectan con otros dominios matemticos, como por ejem-

plo, el geomtrico.

Por otro lado, numerosos estudios en didctica del lgebra han

investigado y catalogado las dificultades y los errores que cometen

los estudiantes al iniciarse en el estudio del lgebra elemental; auto-

res como Booth (1984), Kieran (1980 y 1988), Mason et al. (1985);


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Filloy y Rojano (1989); Filloy, Rojano y Puig (2008) sealan que

estos alumnos tienden a usar mtodos aritmticos en lugar de m-

todos algebraicos para resolver problemas de enunciado y tienen

dificultades para comprender y manejar conceptos propios del l-

gebra como el de incgnita, nmero general y variable, as como

para comprender que las operaciones en lgebra pueden no llevar

a un resultado numrico y que eventualmente pueden quedar como

operaciones suspendidas. Estos estudios, adems, evidenciaron que

un bagaje predominantemente aritmtico puede resultar un obs-

tculo para el aprendizaje del lgebra ver por ejemplo, el estudio

de Filloy y Rojano (1989) y Kieran, (1988). En ese sentido, algunos

estudiosos afirman que para el desarrollo del pensamiento alge-

braico es imprescindible que los alumnos puedan pensar y perci-

bir la simbologa y las operaciones aritmticas de manera distinta

a la que se cultiva tradicionalmente en la escuela primaria, para que

sobre ese nuevo modo de pensamiento aritmtico construyan las

nociones bsicas del lgebra.

Cabe mencionar que el acercamiento ms tradicional empieza

por ensear la sintaxis algebraica, se enfatizan sus aspectos mani-

pulativos y al final se resuelven problemas. La principal crtica a este

acercamiento es que se introduce al estudiante a un simbolismo

desprovisto de significado y de sentido, se ignora que viene de tra-

bajar con aritmtica, donde los smbolos se relacionan con diversas

fuentes de significado y los contextos de los problemas determinan

en buena medida la manera de resolverlos.

Por otra parte, los tiempos didcticos para el aprendizaje del

lgebra son prolongados y parece oportuno iniciarse en ese pensa-

miento a edades tempranas (7-11 aos), al aprovechar las fuentes

de significados que estn presentes en los contenidos curriculares de

la primaria. En respuesta a cuestionamientos como los anterio-

res, se han llevado a cabo diversos estudios para investigar la transi-

cin del lgebra, como: la perspectiva de la aritmtica generalizada

(Mason, 1985), la evolucin por rupturas (Filloy y Rojano, 1989);

la reificacin (Sfard y Linchesvski, 1994); el sentido de las operacio-


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nes (Slavit,1999); la interpretacin de los smbolos (Kieran, 1992,

Matz, 1980 y Booth, 1984); el tratamiento de las operaciones y las

funciones (Carraher, Schliemann y Brizuela, 2000); el lgebra como

una herramienta de representacin y resolucin de problemas (Da

Rocha Falco, 1993); la dialctica entre la teora y la prctica: un

proyecto de iniciacin temprana al lgebra (Malara, 2003), lgebra

en la escuela elemental (Carraher, Schliemann y Brizuela y Earnest,

Goodrow, Lara Roth y Peled, 2003), funciones lineales (Carraher

y Earnest, 2003), transiciones entre las diferentes generalizaciones

simblicas por principiantes en lgebra en un ambiente intensivo

computacional (Tabach, Hershkowitz y Arcavi, 2008); con relacin

a la generalizacin y la formalizacin progresiva (Kaput y Blanton,

2000), hacia la representacin en lgebra: puntos de vista (Kaput,

Blanton y Moreno, 2008). Todos esos estudios han mostrado que

en dicha transicin hay obstculos que requieren ser superados

por los alumnos para llegar a las nociones del lgebra simblica.

Algunos resultados sugieren que la posibilidad de remontar tales

obstculos depende directamente de la manera como se concibe el

pensamiento algebraico y especficamente de qu forma se intro-duce la iniciacin temprana a dicho pensamiento.

Existen diversas maneras de mirar al lgebra: como un lengua-

je, una herramienta, aritmtica generalizada o como cultura. Esta

forma de entender el pensamiento algebraico y por extensin su

iniciacin temprana involucra no solamente una mirada a estas

perspectivas sino tambin su factibilidad como una ruta para acce-

der a las primeras ideas algebraicas.

En esta obra se propone la iniciacin temprana al pensamiento

algebraico a partir de dos rutas de acceso: la variacin proporcional

y los procesos de generalizacin.

La variacin proporcional se refiere a cantidades que varan de

acuerdo con la ley simple: si una cantida aumenta cierto nmero

de veces, entonces la otra aumenta en la misma proporcin. Esta

ruta conduce de manera natural a las ecuaciones lineales, cuando

hay una variacin proporcional y una cantidad desconocida; a siste-


23


mas de ecuaciones lineales cuando hay ms de una cantidad desco-

nocida; a la funciones lineales f (x) = ax o f (x) = ax + b. Se hace un

amplio uso de la idea de proporcin en figuras geomtricas, ya que

con stas se generan objetos concretos capaces de ser medidos (por

ejemplo con una regla o una cuadrcula) o comparados. Inclusive,

a edades tempranas, permiten detectar si la idea de proporcin est

plenamente desarrollada en el nio.

Los procesos de generalizacin son inductivos: a partir de una

secuencia de objetos ordenados en secuencia, el alumno intenta dar

una regla de generacin del siguiente objeto. Ejemplos de procesos

de generalizacin han sido usados en muchas investigaciones de

secuencias de patrones, como por ejemplo, los nmeros cuadrados,

nmeros triangulares, etctera.

En los estudios sobre la aritmtica como una entrada al lgebra

hay una diversidad de opiniones sobre cmo implemetarla, Kaput,

Carraher y Blanton (2008) basan su postura en la premisa de que la

aritmtica y la matemtica en la escuela primaria se han abordado de

maneras que muchas veces restan importancia a la generalizacin,

siendo sta una parte inherente al pensamiento algebraico. En el

campo del lgebra temprana muchos piensan que los alumnos en la

escuela primaria pueden estar preparados para pensar sobre estruc-

turas y relaciones, aunque no puedan usar smbolos convencional-

mente aceptados. No se trata de quitar importancia a las habilidades

bsicas (por ejemplo la fluidez en el clculo), lo que se enfatiza es que

se pueden desarrollar otras habilidades ms complejas o avanzadas

mientras se aprenden y ejercitan las ms bsicas.

En una segunda postura del enfoque prealgebraico no se exige

agregar ms contenidos al programa escolar sino tratar con mayor

profundidad los temas que ya se cubren, para que enfaticen la gene-

ralizacin. Los investigadores en lgebra temprana tienden a con ce bir

una visin amplia del razonamiento simblico, para ellos ste incluye,

pero no se restringe, al razonamiento con una notacin alge braica;

por ejemplo, este grupo de in vestigadores incorporan al uso del len-

guaje oral, las tablas y los grficos, adems de la notacin algebraica.


24


En este libro se toma el enfoque de pensamiento algebraico tem-

prano o lgebra temprana; las rutas conceptuales que se proponen

no rompen con el pensamiento numrico o geomtrico en etapas

tempranas, ms bien este abordaje requiere de una exploracin

ms profunda de elementos que ya for mando parte del curricu-

lum en el nivel primario, permiten tender un puente al pensa-

miento algebraico.

CAmPos ConCePtuAles de vergnAud

La teora de los campos conceptuales pretende dar un marco de re-

ferencia en investigaciones relacionadas con actividades cognitivas,

particularmente con aquellas que tienen que ver con aprendizajes

cientficos y tcnicos. En primera instancia fue elaborada con el

fin de explicar los procesos de conceptualizacin de las estructuras

aditivas, multiplicativas, del lgebra y relaciones espacio-nmero.

Iniciada por Vergnaud (1982, 1983).

Esta escuela francesa trabaja sobre dos hiptesis, una de tipo

epistemolgica y otra constructivista; la primera supone que los

problemas son una fuente de conocimiento y el aprendizaje se pro-

duce como consecuencia del reconocimiento y resolucin de stos

dentro de un contexto. La segunda supone que el aprendizaje se

construye a partir de un conflicto cognitivo y en interaccin con

su entorno.

Para Vergnaud (1990) la teora de los campos conceptuales es una

teora cognitivista que pretende proporcionar un marco coheren te

y algunos principios base para el estudio del desarrollo y del apren-

dizaje de competencias complejas, especialmente las que se refieren a

las ciencias y las tcnicas.

Se trata de una teora psico lgica del proceso de conceptualiza-

cin de lo real que permite localizar y estudiar continuidades y rup-

turas entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido

conceptual (1990, p. 133). El problema que se plantea Vergnaud


25


(1996) es la relacin entre el conocimiento y los problemas tericos

y prcticos a los cuales responde. Adems, aborda esta relacin tal

como aparece en una situacin real, como por ejemplo en un saln

de clase.

Vergnaud (1996) reconoce la importancia de la teora del suizo

Jean Piaget, al destacar las ideas de adaptacin, equilibrio y desequi-

librio como piedras angulares para la investigacin en didc tica de

las ciencias y de la matemtica. Considera que la gran piedra an-

gular colocada por Piaget fue el concepto de esquema. Reconoce

igualmente que su teora de los campos conceptuales fue desarro-

llada tambin a partir del legado de Vigotski; eso se percibe, por

ejemplo, en la impor tancia atribuida a la interaccin social, al len-

guaje y a la simbolizacin en el progresivo dominio de un campo

conceptual por los alumnos (Moreira, 2002].

Aunque Piaget haya hecho un trabajo muy impor tante para la

educacin, l mismo no imparti en el aula matemticas o ciencias,

de ah que sea importante estudiar los contenidos que se ensean.

Una de las contribuciones de Vergnaud es sin duda su teora de

los campos conceptuales particularizados a las estructuras aditivas

y multiplicativas.

Para Vergnaud un concepto consiste de una terna C = (S, I, R)

donde S es el conjunto de situaciones a las que el alumno se en-

frenta y dan sentido al concepto por sus vivas experiencias; I es el

con junto de invariantes que son los objetos, propiedades y sus rela-

ciones, los cuales se traducen en reglas de aplicacin en ciertos do-

minios; R es el conjunto de representaciones diversas del con cepto:

lenguaje natural, grficas, tablas, diseos, sentencias, etctera, for-

man el bagaje que el alumno usa para enfrentar las situaciones del

concepto. El primer conjunto el de situaciones es el referente

del concepto, el segundo el de invariantes operatorios es el sig-

nificado del concepto; en cuanto al tercero el de representaciones

simblicas es el significante.


26


Esquemas

En la construccin de los invariantes operatorios juega un papel

importante la nocin de esquema: un esquema describe la orga-

nizacin invariante de la conducta de una persona en una clase de

situa ciones. Es dentro de los esquemas que se pueden investigar

los conocimientos en acto del sujeto; es decir, los elementos cog-

nitivos que le permiten al sujeto ser operatorio Vergnaud (1991).

Los esquemas son clasificados en tres tipos:

1. Teoremas en accin o de tipo proposicin: son las propieda-

des o relaciones que usa el alumno cuando resuelve un pro-

blema, aunque no sea capaz de explicitar o justificar.

2. Conceptos en acto: forman parte de los teoremas en accin.

Indispensables en su formulacin.

3. Argumentos, por ejemplo los objetos, los nmeros. Los in-

variantes tienen un dominio de aplicacin. A menudo los

errores se presentan como la aplicacin de esquemas fuera

de su do minio.

La idea de esquema puede parecer muy abstracta, por ello ponga-

mos algunos ejemplos.

Ejemplo:

En el nivel de secundaria, los chicos deben resolver la ecuacin

lineal:

ax + b = c, con a, b > 0 y b < c

Tpicamente siguen el esquema de solucin donde se observan con

claridad los invariantes:

se conserva la igualdad al restar b de ambos lados

se conserva la igualdad al dividir de ambos lados


27


Este esquema es menos confiable cuando se considera por ejemplo

la ecuacin:

(1/2)x 3 = 1

Ejemplo:

Los trabajos de investigacin sobre el nmero decimal (Sackur-

Grisvard, C. y Leonard, F., 1985) han permitido ver que las respues-

tas falsas y sin duda muchas de las correctas de los alumnos de

secundaria al tratar de comparar nmeros decimales siguen ciertas

reglas que pueden descomponerse en dos subreglas:

1. Un algoritmo de descomposicin de la parte entera.

2. La distincin entre las cifras delante y despus del punto

decimal.

Cuando la parte entera es igual, la comparacin de la parte decimal

en 80% de los casos se hace de acuerdo con las reglas R1 (mayor-

mente) y R2:

R1: El nmero que tiene la parte decimal ms grande, como en-

tero, es la mayor. Por ejemplo:

12.113 > 12.4 porque 113 > 4

12.8 > 12.4 porque 8>4

R2: El nmero que tenga el mayor nmero de decimales es el

ms pequeo. Por ejemplo:

12.04 < 12.4

12.98 < 12.9


28


Ejemplo:

Las siguientes reglas se obtienen con frecuencia en el nivel bsico

primaria-secundaria:

a + c = a + c

b d b + d

|a + b| = |a| + |b|

a+b = a + b

se pueden considerar que revelan el teorema en accin

f (a + b) = f (a) + f (b)

fuera de su dominio de aplicacin.

Ejemplo:

Las siguientes reglas concernientes a las razones entre nmeros rea-

les se encuentran en varios niveles del currculum de matemticas.

R1: Si se multiplica (divide) un nmero por otro, entonces ste

aumenta (disminuye).

R2: El cuadrado de un nmero es ms grande que el nmero.

R3: La raz cuadrada de un nmero es ms pequea que el n-

mero.

Se ve claro que el teorema en acto subyacente es la generalizacin

de las propiedades R1-R3 vlidas en los enteros positivos a los n-

meros reales.


29


Estructuras aditivas

Se entiende por problema de tipo aditivo aquel cuya solucin ame-

rita tan slo sumar o restar. Estructuras aditivas son las relaciones en

juego que slo estn formadas por adiciones o sustracciones. El pro-

ceso de sumar est ntimamente relacionado con el acto de contar o

ms generalmente de medir, siendo una medida discreta el acto de

contar. En el sentido matemtico una media es una manera de asig-

nar un nmero no negativo a conjuntos de un universo. Esta asigna-

cin la podemos denotar por:

A m(A)

para todo conjunto A dentro del universo. Esta asignacin mnima-

mente satisface las propiedades intuitivas de medida:

1. A B m(A) m(B). 2. A B = m(A B) = m(A) + m(B).

Menos obvio es la existencia de conjuntos de medida cero; por con-

sistencia el conjunto vaco tiene medida cero. La nocin de medida

depende del ambiente de los conjuntos. Por ejemplo, tratndose

de figuras planas, la medida de un rectngulo se calcula como:

m(rectngulo) = base altura

pero la medida de uno de sus lados es cero. Al continuar con este

ejemplo, la medida de figuras que no son rectngulos se extiende:

m(tringulo) = base altura

2

debido a que dos tringulos forman un rectngulo:


30


De esta manera se puede calcular el rea de un polgono regular

como la suma de las reas de los tringulos que lo componen: ob-

teniendo as la frmula:

m(polgono) = permetro apotema

2

La medida discreta se usa para medir conjuntos finitos y es el n-

mero o cantidad de elementos (cardinalidad) del conjunto:

m(A) = #(A)

Es bien sabido que el proceso de contar no se da sino hasta edades

relativamente grandes en el nio, 6-7 aos, cuando la nocin de co-

rrespondencia entre conjuntos y de ah la de nmero o conteo est

bien desarrollada. En el ejemplo citado por Vergnaud, en nios de

5 o 6 aos se les presenta la siguiente situacin de copitas y huevos,

se le pide al nio que diga si hay ms copitas que huevos. Sin difi-

cultad contestan hay las mismas o que es igual. En la situacin

mostrada con los huevos desalineados de las copitas, se plantea la

misma pregunta. Hasta los 5, 6 o 7 aos, dependiendo del individuo

contestan hay ms copitas porque es ms largo o hay ms huevos

porque estn ms apretados. Es slo hasta los 7 aos, segn Piaget,

que los nios contestan es igual con argumentos del tipo no se

quit ni se puso nada o se puede volver a como estaba antes. As la

nocin de medida discreta sintetiza el proceso psicolgico de contar.


31


El proceso de sumar se pude sintetizar en la propiedad dos de la

nocin abstracta de medida:

Figura 1.1 Hay ms copitas que huevos?

Figura 1.2 Hay ms copitas que huevos?

Ejemplo:

Juan tiene cuatro canicas en la bolsa izquierda y tres canicas en la

bolsa derecha, cuntas canicas tiene Juan? En smbolos:

Figura 1.3 Cuntas canicas hay?

En el marco conceptual de las estructuras aditivas, Vergnaud clasi-

fica en seis grandes categoras el tipo de relaciones aditivas. Hay que

recordar que la operacin de suma es una relacin ternaria (comn-

mente llamada operacin binaria) que relaciona la suma c con los

sumandos a, b:

(a, b) c = a + b


32


Las seis categoras son las siguientes:

1. Primera: dos medidas se componen para dar una tercera me-

dida.

2. Segunda: una transformacin opera sobre una medida para

dar otra medida.

3. Tercera: una relacin une dos medidas.

4. Cuarta: dos transformaciones se componen para dar una

trans formacin.

5. Quinta: una transformacin opera sobre un estado relativo

para dar un estado relativo.

6. Sexta: dos estados relativos se componen para dar un tercer

estado relativo.

Cabe aclarar al lector que la nocin de medida de Vergnaud no

coin cide totalmente con la definicin matemtica dada anterior-

mente. Vergnaud llama medida al resultado de medir: m(A) y no

a la funcin de medida m. El trmino transformacin lo usa en el

sentido de una accin que se efecta funcin sobre un objeto.

Para la primera categora podemos tomar el ejemplo de las ca-

nicas; las dos medidas se distinguen porque el primer conjunto de

canicas es de vidrio y el segundo de metal. Podramos enunciar

la situacin as: Juan tiene cuatro canicas de vidrio en la bolsa iz-

quierda y tres canicas de metal en la bolsa derecha, cuntas cani-

cas tiene Juan?

De la segunda categora: una transformacin opera sobre una

medida para dar otra medida; considere el problema:

Ejemplo:

Pablo tena siete canicas antes de empezar a jugar; gan cuatro aho-

ra tiene 11. Se puede representar por el esquema:

+4

7 11


33


En esta notacin los cuadrados representan: nmeros naturales y

los crculos nmeros relativos (enteros). Se podra ser ms preciso

y definir la transformacin (funcin):

f (x) = x + 4 y entonces f (7) = 11,

o bien

f (m(A)) = m(B), siendo m(A) = 7, m(B) = 11,

la medida de las canicas que Juan tena antes y despus.

De la tercera categora: una relacin une dos medidas.

Ejemplo:

Juan tiene ocho canicas, Ernesto tiene tres menos; entonces tiene

cinco, donde la flecha punteada indica la relacin tiene menos que.

-38 5

De la cuarta categora: dos transformaciones se componen para dar

una transformacin. Considere la siguiente situacin:

Ejemplo:

Pablo gan seis canicas ayer y hoy perdi nueve, en total perdi tres.

6 -9-3

-3


34


De la quinta categora: una transformacin opera sobre un estado

relativo para dar un estado relativo.

Ejemplo:

Andrea le debe cinco monedas a Lidia, le devuelve cuatro, slo le

debe una.

-4

-5 -1

De la sexta categora: dos estados relativos se componen para dar

un tercer estado relativo.

Ejemplo:

-2

-6

-4

Pablo le debe seis canicas a Enrique, pero Enrique le debe cuatro.

Entonces Pablo le debe a Enrique slo dos canicas. Aqu los corche-

tes representan la relacin le debe a.

Las categoras aditivas de Vergnaud dan un marco terico para

el planteamiento de problemas algebraicos ms simples.

Ejemplo:

Pablo acaba de jugar a las canicas. Tena 41 antes de jugar y ahora

tiene 29. Por lo tanto perdi. Cuntas canicas perdi?

El problema se pude enmarcar como un problema aditivo de la

segunda categora con una cantidad desconocida x o en notacin

algebraica: 41 + x = 29

x41 29


35


Una ecuacin lineal de primer grado

Problemas algebraicos ms complejos de tipo aditivo pueden anali-

zarse dentro de este marco.

Ejemplo:

Pablo tena cierta cantidad de canicas, el primer da gan seis. El

siguiente da perdi dos; de cualquier manera acab con el doble

de canicas que tena el primer da. Con cuntas canicas comenz a

jugar? Con cuntas canicas comenz a jugar el segundo da?

El problema es complejo de plantear; aun para chicos de secun-

daria. Pero se pueden abordar las ideas anteriores. Denotemos por:

x la cantidad de canicas con las que Pablo comenz el primer da

y la cantidad de canicas con las que Pablo comenz el segundo da

Entonces podemos plantear la situacin en cada da como sigue:

Primer da:

+6x y

Segundo da:

-2y 2x

que se traduce en el sistema de ecuaciones

x + 6 = y

y 2 = 2x


36


cuya solucin, obtenida por cualquiera de los mtodos conocidos

nos da x = 4, y = 10. Verifiquemos:

+64 10

-2

10 8

doble

Estructuras multiplicativas

El campo conceptual de las estructuras multiplicativas consiste en

todas las situaciones en que pueden ser analizadas como problemas

de proporciones simples y mltiples para los cuales general mente es

necesaria una multiplicacin, una divisin o una combinacin de

estas operaciones.

Es importante hacer referencia a los problemas de estructu-

ras multiplicativas para interpretar de mejor manera los conteni-

dos matemticos que se presentan en la educacin primaria tales

como el razonamiento proporcional y la idea de variable. Sin duda

la ins truccin escolar privilegia el estudio de las estructuras aditi-

vas y deja para ms tarde el estudio de las estructuras multipli ca-

tivas, lo que ocasiona algunos problemas para que los nios puedan

compren der, por ejemplo, el razonamiento proporcional y, va

este contenido matemtico, el pensamiento algebraico.

De acuerdo con Vergnaud (1983), la estructura multiplicativa se

basa en la estructura aditiva, pero ciertos aspectos intrnsecos de la

primera no estn presentes en la segunda; los clasifica en tres cate-

goras: proporcin simple, producto de medidas y proporcin ml-

tiple; afirma que ese campo conceptual se desarrolla entre los siete


37


y 18 aos de edad; comenta que las dificultades a menudo se sitan

en dos grandes categoras: isomorfismo de medida y producto de

medida.

Vergnaud entiende por isomorfismo de medida una relacin

entre cantidades x (primera medida) e y (segunda medida) relacio-

nadas funcionalmente por una proporcin simple:

x =

xy y

o funcional y = f (x) = mx. As diversos problemas algebraicos se

pueden entender como determinar una de las medidas desconoci-

das dada la relacin:

M1 | M

2

x y = f(x)...

... ...

x y = f(x)

donde M1, M

2 representan las medidas o cantidades.

Ejemplo:

Tengo tres bolsas de canicas. Hay cuatro canicas en cada bolsa

Cun tas canicas tengo?

bolsas | canicas

1 4 3 y

Ejemplo:

El metro de tela para un vestido cuesta $ 40, se necesitan tres metros

de tela para confeccionar el vestido. Cunto debo pagar?

metros | pesos

1 403 y


38


Ejemplo:

Pagu $12 por un paquete de gelatinas que tiene cuatro. Cunto

cuesta cada gelatina?

gelatinas | pesos

1 y 4 12

Ejemplo:

Pedro tiene $12 y quiere comprar varios paquetes de caramelos que

cuestan $3 cada paquete. Cuntos paquetes puede comprar?

paquetes | pesos

1 3 x 12

Ejemplo:

Hablar tres minutos por celular cuesta $2. Si hablo 15 minutos

Cunto me costar?

minutos | costo

3 2 15 y

Producto de medidas

Dos medidas se pueden combinar para dar otra medida, de un tipo

nuevo, posiblemente.

Ejemplo:

El rea de un rectngulo es la medida de la base por la altura. La

nueva medida (el rea) tiene unidades distintas de la base y la altu-

ra: se mide en metros cuadrados.


39


Ejemplo:

El volumen (la nueva medida) de una pirmide es el rea de la base

(la primera medida) por la altura (la segunda medida). La nueva

medida tiene unidades de m3.

Ejemplo:

Para saber cuntos soldados hay en un pelotn se puede contar

cada soldado (razonamiento aditivo), o bien contar cuntas filas

hay de fondo, cuntas de frente y multiplicar ambas (razonamiento

multiplicativo).

Figura 1.4 Soldados.

rAzonAmiento ProPorCionAl

El tema razn y proporcin ha sido uno de los ms investigados

en el campo de la educacin matemtica y existe una literatura

muy extensa. Aqu slo se har referencia a aquellos trabajos que

se relacionan directamente con la posibilidad de desarrollar ideas

algebraicas a partir de este concepto.

La enseanza del razonamiento proporcional en la escuela pri-

maria enfatiza con frecuencia su carcter numrico y deja de lado


40


el carcter geomtrico de la nocin y proporcin. Esto trae como

consecuencia una fragmentacin del tema, que hace que los es-

tudiantes adquieran habilidades principalmente en un contexto

numrico, pero sin alcanzar un conocimiento integral. En la ins-

truccin escolar muchas veces se reduce el concepto de propor-

cionalidad a un conjunto de algoritmos tales como proporciones

simples versus compuestas, se deja que el nio comprenda a travs

de muchos ejemplos la distincin entre una y otra.

La teora de Piaget divide cronolgicamente el desarrollo cogni-

tivo del nio en cuatro estadios principales:

Sensorio-motor (hasta los dos aos).

Preoperatorio (de dos a siete aos).

Operaciones concretas (de siete a 11 aos).

Operaciones formales (de 12 aos en adelante).

En el estadio sensorio-motor el nio depende de sus sentidos para

explorar el mundo, pero rpidamente se da cuenta que puede inter-

venir en ste. Son caractersticos movimientos repetitivos o circu-

lares, como agitar una sonaja. En la etapa preoperatoria, los nios

son capaces de manejar smbolos, por ejemplo dibujar un rectn-

gulo y un trangulo encima para representar una casa, as como

algu nos smbolos alfa numricos. Piaget afirma que el razonamien-

to proporcional se sita en el estadio de las operaciones formales ya

que se trata de operar sobre una operacin y no sobre los objetos;

por lo tanto es necesario un proceso de abstraccin.

Los siguientes expermientos realizado por Piaget son bien cono-

cidos en esta etapa.

Experimento 1

La edad del nio va de cinco a seis aos situndolo en la fase pre-

operatoria. Se le muestran dos hileras de fichas con la misma canti-

dad, perfectamente alineadas. Cuando se le pregunta en cul hilera

hay ms fichas?, es capaz de responder que hay el mismo nmero

de fichas sin contarlas o bien puede contarlas y afirma que hay el


41


mismo nmero. En seguida, delante de l, se separan las fichas de

una de las hileras sin variar el nmero. El nio responde a la misma

pregunta que hay ms fichas en la hilera que tiene las fichas ms

separadas (figura 1.5).

Figura 1.5 Conservacin de la cantidad 1.

Experimento 2

La edad del nio va de cinco a seis aos, como antes. Se le muestran

dos recipientes idnticos con agua. En presencia del nio se vaca el

conte nido de uno de los vasos en uno ms alto y se pregunta en qu

recipiente hay ms agua. Las respuestas del infante varan depen-

diendo de si el nio juzga el contenido por el ancho o la altura del

algua en el recipiente (figura 1.6).

Figura 1.6 Conservacin de la cantidad 2.


42


Experimento 3

La edad del nio es alrededor de nueve aos. Se le presenta la misma

situacin que en el experimento anterior. El nio verifica con sumo

cuidado que las cantidades de agua en los vasos son iguales. Cuando

el contenido de uno de ellos se vaca en un vaso ms delgado es ca-

paz de argumentar que como el contenido del agua en el vaso ms

delgado se puede regresar al vaso original hay la misma cantidad de

agua (figura 1.7). Este comportamiento se conoce tambin como

reversibilidad concreta, pues se puede lograr identificar la igualdad

e objetos concretos, pero no siempre en objetos abstractos.

Figura 1.7 Reversibilidad concreta.

Estos experimentos muestran que en el estadio preoperatorio el

nio an no desarrolla plenamente el concepto de conservacin de

la cantidad. Se desprende de los estudios de Piaget que las relacio-

nes que involucren igualdades o equivalencias son inaccesibles a los

nios a estas edades tempranas. Sin embargo, diversos autores sos-

tienen crticas relativas a la diversidad en los grados de desarrollo

de los infantes o a la manera como son formuladas las preguntas e

inclusive el contexto.

En el estadio de las operaciones concretas el nio es capaz de

comprender conceptos tales como peso o velocidad y puede en-

tender que la cantidad de agua en los dos recipientes del experi-

mento tres es la misma. Tambin son capaces de concebir relaciones

causa-efecto aunque no explicarlas a detalle, sin embargo tienen


43


dificultad de asumir situaciones hipotticas. Los nios en esta etapa

son capaces de usar el razonamiento inductivo, donde pueden ir de

situa ciones particulares a generales, pero se les dificulta el razona-

miento deductivo en el que deben plantearse hiptesis. La reversi-

bilidad es uno de los conceptos ms importantes que se desarrollan

en esta etapa. El nio es capaz de comprender que si a una cantidad

se le agrega y se le quita lo mismo, queda igual. Por ejemplo, puede

entender que 4 + 4 = 8 y 8 4 = 4, pero ligado a objetos concretos

(cuatro manzanas se agregan a un montn de cuatro manzanas y se

retiran las mismas, quedan las mismas cuatro manzanas).

Piaget identifica tres operaciones esenciales involucradas en to-

dos los niveles de desarrollo, ya sea fsico o mental: asimilacin,

acomodacin y adaptacin o re-equilibracin. La acomodacin se

da cuando al contacto con los objetos modifica la accin refleja.

La consolidacin y fortalecimiento de estos reflejos es la asimila-

cin. En suma, la acomodacin es la modificacin de la accin de

asimilacin. La adaptacin es cmo los procesos de asimilacin

y acomodacin llegan a un balance; es decir se re-equilibran para

asegurar que el individuo se adapte a su ambiente.

En todas las etapas de desarrollo y en cada nivel las tres ope-

ra ciones estn en constante interaccin. Por ejemplo, las etapas

cognitivas posteriores permanecen interconectadas con el nivel

sen somotor aunque con un mayor grado de complejidad.

La etapa de las operaciones formales se inicia en la preadoles-

cencia y dura el resto de la vida adulta. El nio va ms all: de lo

concreto a lo abstracto, es capaz de pensar lgicamente y obtener

informacin a partir de la informacin disponible. Usa el razona-

miento hipottico-deductivo, lo cual significa que es capaz de hacer

hiptesis o suposiciones y concluir el mejor camino para resol-

ver un problema.

En cuanto a la demanda cognitiva que representa el razona-

miento proporcional, estudios desarrollados en una primera etapa

por Inhelder y Piaget (1958) afirman que el concepto de propor-

cionalidad es caracterstico del estadio de las operaciones formales,


44


propio de la pre y adolescencia. Segn Piaget et al. (1987) el con-

cepto de proporcionalidad no se puede entener [a menos que] se

establezca una relacin entre dos leyes de progresin (aritmtica

y geomtrica).

De acuerdo con Lowell (1971) para Piaget hay dos elementos

que caracterizan el razonamiento formal: el estu diante debe ser

capaz de manipular condiciones lmite de las variables y razones

entre valores ordenados de las variables; eso requiere la cuantifi-

cacin de la proporcin, ms que la descripcin en trminos cuan-

titativos.

Entre las rplicas a los estudios de Piaget, Lunzer y Pumfrey

(1966 citados en Hart, 1989), registran tareas y describen las estrate-

gias utilizadas con las distintas diferentes razones matem ticas (1:1,

2:1 y 3:1), estas razones resultaban ser las ms fciles y preferan

resolver los problemas de manera aditiva. Varios autores contes-

tan tal postura bsicamente entorno a dos puntos: el pri mero, que

el razonamiento proporcional en efecto pertenece al estadio de las

operaciones formales, pero que el tipo de tareas puede hacer la dife-

rencia. En el primer caso, Bryant y Spinillo (1990), Spinillo y Bryant

(1989) y Spinillo (1993) afirman que el razonamiento proporcional

no es una habilidad propia de las operaciones formales y puede ser

desarrollado a edad temprana.

Los estudios con nios de cuatro a seis aos de edad muestran

que ellos comprenden la idea de mitad, que desde temprano tie-

nen una apreciacin perceptual y empiezan a comparar razones

de cantidad antes de cualquiera experiencia con razones num-

ricas. Esto indica que el juicio perceptual (geomtrico) como ha-

bilidad puede ser desarrollado desde temprana edad. El segundo

cuestionamiento se refiere al tipo de tareas propuestas a los ni-

os, al lenguaje utilizado y al contexto de los problemas como

ele mentos que posiblemente interferan en el entendimiento y

desem peo en la tarea.

El propio Piaget, tambin en otra etapa de su trabajo, describe

estadios tempranos ms finos al usar correspondencias cualitativas


45


y seriaciones: el llamado estadio intermedio para adicionar com-

pensaciones de dos razones 2:1, y el estadio avanzado en el razona-

miento proporcional aplicado a valores numricos con datos y sus

razones. Concluye, as, que puede haber un entendimiento tempra-

no de algunos conceptos matemticos, por ejemplo, el concepto de

proporcionalidad.

English y Halford (1995) afirman que una de las caractersti-

cas esenciales del razonamiento proporcional involucra relaciones

de 2o orden (relaciones entre dos relaciones), relaciones entre dos

cantidades directamente perceptibles. Esta perspectiva defiende

que en la fase temprana del razonamiento proporcional de los

nios, ste involucra un razonamiento aditivo, en la forma de

a b = c d. Entretanto, el trabajo de Lesh et al. (1988, citado en

English y Halford 1995) apunta hacia un razonamiento paradig-

mtico en el que los nios usan varias estrategias multiplicativas,

tpicas de una ecuacin a b = c d y pueden ser indicadores de

razonamiento proporcional, especialmente cuando tienen una so-

lucin algortmica.

En otro orden de ideas y ubicados en el terreno de la educa-

cin, es interesante hacer referencia a estudios como el de Karplus

y Peterson (1970), quienes caracterizan las respuestas de los nios

agrupndolas a partir de su nivel de comprensin. Aqu es muy co-

nocido el estudio sobre el seor bajo y el seor alto, en la figura 1.8

se muestra el problema adaptado al lenguaje espaol cotidiano

En el trabajo original de Karplus y Petersen el problema se plan-

tea as:

Experimento 4

El seor Bajo mide seis clips. Si se le mide con botones, mide cuatro

botones (figura 1.8). El seor Alto es parecido al seor Bajo, pero

mide seis botones. Cul es la altura del seor Alto en clips de pa-

pel? En seguida se muestran alguna soluciones tpicas.


46


Figura 1.8 El problema del seor Alto y el seor Bajo.

Tabla 1.1 Tipo de razonamiento seor Alto y seor Bajo

Tipo de razonamiento

Explicacin

Multiplicativo 1 Cada botn es igual a uno y medio clips de papel. Si el seor Alto mide seis botones de alto, multiplicas 6 por 1 y por lo tanto el seor Alto mide nueve clips.

Multiplicativo 2 El seor Alto es 1 veces ms alto que el seor Bajo. Puesto que el seor Bajo mide seis clips de alto, el seor Alto debe ser 6 1 = 9 clips alto.

Multiplicativo usando sumas

Por cada dos botones hay tres clips de papel. El seor Alto es dos botones ms alto que el seor Bajo, as que l debe ser tres clips de papel ms alto: 6 + 3 = 9 clips de papel.

Aditivo 1 El Sr. Bajo mide cuatro botones y seis clips de papel, o sea que los botones son dos menos que los clips de papel. Puesto que el seor Alto y el seor Bajo son similares y el seor Alto mide seis botones, entonces debe medir ocho clips de papel.

Aditivo 2 El seor Alto es dos botones ms alto que el seor Bajo, as que l ser tambin dos clips de papel ms alto que el seor Bajo, lo que da ocho clips de papel de alto.

Estimativa Nueve. Me imagin que sera un poco ms alto.

Azar Puesto que el seor Alto es dos botones ms alto que el seor Bajo, tom los seis clips de papel y los multipliqu por dos para obtener 12 clips.


47


Por mucho, las respuestas ms comunmente se encuentran entre

las estrategias aditivas. La estrategia aditiva, a pesar de ser sistem-

tica y dar resultados plausibles, es incorrecta.

El anlisis de las distintas estrategias procede como sigue: deno-

temos la altura seor alto como A y la del seor bajo como B; por b,

c la altura de un botn y un clip respectivamente.

Estrategia aditiva 1:

B = 4b = 6c y 6 = 4 + 2 y A= 6b

A = 6 + 2 = 8c.

Estrategia aditiva 2:

A = B + 2b A = B + 2c B = 6c A = 8c.

Estrategia multiplicativa 1:

b = 1c y A = 6b

A = 6 1 c = 6 3/2c = 9c.

Estrategia multiplicativa 2:

A = 1 B y B = 6c

A=1 6c = 3/2 6c = 9c.

Estrategia multiplicativa con sumas:

B = 6c y 2b = 3c y A = B + 2b

A= 6c + 3c = 9c

Estrategias en proporcionalidad inversa

Matemticamente, en una proporcin inversa dos cantidades va-

ran de manera que su producto permanece constante. Sin em-

bargo, en situaciones concretas el nio se enfrenta a la variacin de

dos cantidades. Un primer requisito para reconocer una variacin


48


inversamente proporcional es que al aumentar una cantidad la otra

disminuya. Esto no es sin embargo suficiente. Es necesario primero

reconocer la invariancia de cierta propiedad, la cual depende del

contexto; por ejemplo, si x es el nmero de trabajadores que rea-

lizan una labor e y es el nmero de horas empleadas para realizar

la misma labor, entonces x vara en proporcin inversamente con

y porque si aumenta el nmero de trabajadores, disminuye el n-

mero de horas empleadas. En este caso x y se interpreta como la

labor completa.

El siguiente ejemplo muestra una situacin que ilustra diversas

estrategias que involucran una variacin inversa proporcional.

Figura 1.9 El tringulo de agua.

Experimento 5

El llamado tringulo de agua es un contenedor de lquido en for-

ma de tringulo rectngulo (ngulo recto), el cual puede incli narse

y los niveles en los lados (catetos) izquierdo y derecho se pueden

determinar mediante una escala en ellos (figura 1.9). El trin gu lo de

agua se rota hasta que la altura en el lado derecho mida seis unidades

y la altura en el lado izquierdo mida cuatro. Supngase que el trin-

gulo se rota un poco ms hasta que la altura en el lado derecho es

de ocho unidades. Cul ser la altura del agua en el lado izquierdo?

Una respuesta multiplicativa correcta rara vez se observa en ni-

os en la transicin de la estrategia aditiva a una muliplicativa.


49


Tabla 1.2 Tipo de razonamiento tringulo de agua

Tipo de razonamiento Explicacin

Aditivo 1 La altura del lado izquierdo sera de dos unidades, porque el nivel del agua en el lado derecho aument en dos, as que el nivel en el lado izquierdo debe disminuir en 2 : 4 2 = 2.

Aditivo 2 Antes haba un total de 10 unidades porque 4 + 6 = 10. El nmero total de unidades queda igual, as que la respuesta es dos porque 2 + 8 = 10.

Multiplicativo Al principio el rea del tringulo de agua es 12 porque

4 6 = 12. La cantidad de agua no cambia, por lo 2 que la respuesta es tres porque 3 8 = 12. 2

Este ejemplo muestra que los nios que no estn an en el nivel de

las operaciones formales tpicamente aplican una estrategia aditiva

para resolver problemas de variacin proporcional inversa. Al igual

que en la variacin directa proporcional, esta estrategia inco rrecta

le parece lgica y razonable al nio, pero se sorprenden cuando

llevan a cabo realmente el experimento inclinando el tringulo y

descubren que la respuesta correcta es 3 y no 2 como lo habran

predicho bastante seguros.

Noelting (1980) estudia el razonamiento proporcional en ex-

perimentos en los que no se requiere una respuesta numrica, sino

que los nios deben comparar razones.

Experimento 6

Se dice a los nios que los vasos sombreados representan jugo de na-

ranja concentrado y aquellos que no estn sombreados representaban

agua (figura 1.10). Se les pide que imaginen que se vierte en la jarra

vaca el jugo de naranja concentrado y los vasos de agua indicados. Se

pregunta a los alumnos cul jarra contiene la naranjada con un sabor

ms fuerte o si las dos tienen el mismo sabor. El estudio se realiz con

nios de entre seis y 12 aos. Los resultados indican que los nios


50


pueden comparar razones tales como 1 : 2 y 2 : 4 pero adoptan una

estrategia aditivia cuando comparan razones como 2 : 3 y 3 : 4.

Karplus y Peterson (1970) presenta problemas de comparacin

de razones, usa concentraciones de jugo en el que se le pide al nio

que diga qu limonada es ms dulce en la situacin mostrada en la

figura 1.11.

Figura 1.10 El problema de la limonada.

3 cucharadas 12 cucharadas de jugo de azcar de limn

5 cucharadas 20 cucharadas de azcar de jugo de limn

Figura 1.11 Comparacin de concentraciones.


51


Basndose en problemas de comparacin mostrados en la figura

1.11, Noelting (1980) consigue identificar entre seis y siete etapas

en la comprensin del concepto de razn en nios y jvenes de seis

a 16 aos, que incluyen los estadios de las operaciones concretas y

formales, en la clasificacin de Piaget.

El tipo de problema y caractersticas de las etapas se muestran en

la tabla siguiente. La edad de acceso se determina cuando 50% de la

clase resuelve al menos un problema. En la columna de tem tpico

los cuadros negros representan vasos de naranja y los cuadros blan-

cos vasos de agua. Podra usarse la notacin compacta (n, a) para un

nmero n de vasos de naranja y a de agua, para la razn n/a.

La caracterstica de la etapa representa el tipo de problema que

puede resolver. Tabla 1.3 Etapas de comprensin

Etapa Edad tem tpico Caracterstica

0 2 vs. Identificacin de elementos.

IA 3 vs. Comparacin de primeros trminos solamente.

IB 6 vs. Mismo primer trmino. Comparacin de segundos trminos.

IC 7 vs. Relacin inversa entre trminos en las parejas ordenadas.

IIA 8 vs. Clase de equivalencia de razn 1:1.

IIB 10 vs. Clase de equivalencia de cualquier razn.

IIIA 12 vs. Razn de dos trminos correspondientes mltiplos uno de otro.

IIIB 15 vs. Cualquier razn.

Noelting (1980b) clasifica las estrategias usadas en la comparacin

de razones (a, b) vs. (c, d), como estrategias dentro, si se comparan

trminos correspondientes a y b dentro de la misma razn (a, b) y


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estrategias entre, cuando se comparan trminos correspondientes

a y c, y b y d. En el mismo estudio, Noelting reconoce un proceso de

equilibracin creciente o reestructuracin adaptativa, cuando las

estrategias pasan del fallo al xito.

Tournaire y Pulus (1985) presentan un resumen de la investi-

gacin hecha sobre razonamiento proporcional hasta 1985. Revisa

el tipo de tareas usadas en la investigacin: balanzas y poleas; pro-

yeccin de sombras; comidas y peces; Sr. Alto y Sr. Bajo; jugo de

naranja, etctera, las cuales se resumen en las siguientes categoras:

problemas de razn, problemas de mezcla y tareas de probabilidad.

Hace la diferencia entre problemas de mezclas, en los que la unidad

es la misma (onzas por ejemplo o vasos), de problemas de razn

(onzas y dlares).

Dentro de las estrategias correctas para resolver problemas de

proporcionalidad menciona las estrategias multiplicativas y las

estra tegias en marcha (building-up). Un ejemplo de una estrate-

gia en marcha sera la siguiente: en una tienda, el tendero vende

dos dulces por ocho centavos, cunto cuestan seis dulces? En la

estrategia en marcha la respuesta correcta se obtiene de manera

recursiva: ocho centavos por dos dulces, ocho centavos ms son

16 centavos por cuatro dulces y ocho centavos ms son 24 centavos

por seis dulces.

Una estrategia errnea puede ocurrir de usar mal una estrategia

correcta. Un error comn consiste en usar parte de los datos, por

ejemplo comparar slo los numeradores al intentar comparar una

proporcin. Otro tipo de error frecuente es usar la estrategia de

la diferencia constante o estrategia aditiva, en la cual la razn en una

proporcin se calcula con la diferencia de los trminos de la propor-

cin y se supone la misma diferencia entre los trminos de la otra

proporcin. En ocasiones el nio puede usar una es tra tegia en mar-

cha cuando la razn es entera, pero utiliza una estrategia aditiva en

razones que no son enteras.

Los mismos autores mencionan varios aspectos que interfieren

en la comprensin de problemas de proporcionalidad. De los refe-


53


rentes a la tarea estn: las estructurales que incluyen la presencia de

razones enteras, en qu trmino de la proporcin aparece la incg-

nita y la magnitud de los trminos y razones. Esta informacin pue-

de usarse con ventaja al desarrollar una secuencia didctica, por

ejemplo al presentar primero problemas de proporcionalidad 1:2,

luego del tipo 1:n, con razones enteras y luego no enteras. Otra clase

de dificultades en la tarea se relacionan con el contexto: los proble-

mas de mezclas son en general ms difciles que los que ivolucran

razones de distintas cantidades. El contexto, discreto o continuo,

familiar o ajeno, puede afectar tambin e desempeo. Finalmente el

uso de materiales puede influir favorablemente en el xito de pro-

blemas de proporcin: balanzas, poleas, etctera, aunque el porcen-

taje pueda ser bajo, de alrededor de 25 por ciento.

Sobre las caractersticas del alumno que pueden influir en el

desempeo, los autore mencionan el gnero, la edad, la inteligencia.

Hart et al. (1989) hacen referencia a un estudio en el saln de

clase sobre el tpico de razn y proporcin. El estudio se realiz con

nios entre 10 y 13 aos de edad en cuatro clases de cuatro escuelas

diferentes, en tres etapas:

1. Formalizacin de las lecciones (pre test).

2. Aplicacin de una secuencia didctica.

3. Formalizacin (pos test).

Las tareas consistieron en hacer parejas de escuadras (tringulos

equilteros, romboides) para diferenciar las partes y mostrar pa-

rejas de lneas; se les pregunt acerca de centros de aumento, seme-

janza, factor de escala y partes aumentadas. Se trataba de investigar

el reconocimiento del aumento por un factor escala (concepcin de

los alumnos) y la construccin de los mtodos utilizados.

Los profesores tambin participaron en el estudio, desarro llaron

inicialmente un esquema de trabajo y pusieron algunos pre-requi-

sitos tales como: medir las tareas de aumento y habilidades a medir.

Adems, introducan nuevas tcnicas para el factor escala, tales como

centro de aumento de lneas, tiempo grande, ms grande y mayor


54


tiempo, as como relacionar el aumento con los distintos significados

que tiene en el mundo. Uno de los objetivos del estudio era investigar

el papel de la enseanza y la preformalizacin en ideas de semejanza.

El anlisis de los resultados revela (pre entrevista) que los nios

usaban trminos como similar o algunos para describir el nmero

de lados o alguna rea. En el poscuestionario los nios desarro llaron

diferentes respuestas en trminos del reconocimiento de la escala y

usaron el centro de aumento o la idea de pares de lneas para resol-

ver los problemas. Utilizaban estrategias aditivas y de rea para la

descripcin de las diferentes estrategias. La variacin en el desempe-

o fue atribuida a aspectos de la instruccin escolar. Los profesores

se concentraron en la produccin de esquemas particulares para el

trabajo e ignoraron los pre-requisitos y habilidades para el trabajo

durante las clases. El concepto de razn es visto como una opera-

cin esencialmente aditiva y no multiplicativa, por lo que se repite

la adicin.

Las dos estrategias ms utilizadas son: la adicin con rea y la

estrategia aditiva con uso del factor escala y la nueva medida alrede-

dor del borde. Tambin predominaba la integracin de factores de

escala en los mdulos de enseanza con ciertos pre-requisitos. Otro

aspecto de la enseanza fueron los ngulos y su invariancia en el

aumento; eso ayud a explicar la variacin en el desempeo de los

nios relacionado con las partes regulares e irregulares. Tambin so-

bresale el contexto de los problemas y el papel que juega la natura-

leza de las relaciones numricas que influyen en el problema, pero

estos aspectos pueden comprenderse mejor si los profesores varan

las relaciones numricas y el contexto de los problemas en el aula.

Streefland (1985, citado en Hart 1989), sugiere que el aprendi-

zaje de razn y proporcin empieza con la comparacin cualitativa

y argumenta

rutas hacia el álgebra - páginas web...

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