LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Trigonometría 5º

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORM AL ANGULOS EN POSICIÓN ESTANDAR (CANONICA O NORMAL) Es un ángulo trigonométrico cuyo vértice es el origen de coordenadas rectangulares, su lado inicial es el semieje positivo de las abscisas, su lado final puede estar en uno de los cuadrantes o bien sobre el eje ”x” o el “y” � α > 0 ∧ α ∈ IC � β > 0 ∧ β ∈ IIC � θ < 0 ∧ θ ∈ IIIC OBSERVACIÓN: Ejemplo: Completar 100° ∈ ........................ 250° ∈ ........................ -40° ∈ ........................ -300° ∈ ........................ ANGULOS CUADRANTALES: Son aquellos ángulo en posición estándar cuyo lado fina coincide con un semieje coordenado. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. n ∈ Z

CASO GENERAL: CASO PARTICULAR :

0° < IC < 90° 90° < IIC < 180° 180° < IIIC < 270° 270° < IVC < 360°

ANGULOS COTERMINALES: (CO-FINALES) Dos o más ángulos trigonométricos serán coterminales, si tienes los mismos elementos (vértice, lado inicial y lado final) Si: “α” y “θ” son ángulos coterminales, se cumple: I. α - θ = 360°.k ó α - θ = 2kπ, k∈Z II. R.T (α) = R.T (θ)

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS

EN POSICIÓN ESTANDAR

ry

Sen =θ yr

Csc =θ

rx

Cos =θ xr

Sec =θ

xy

Tg =θ yx

Ctg =θ

θ

x

y

α

β

x

y

o

θ

Lado final

Lado Inicial

r

270°

IVC

90°

x

y

IIIC

IIC IC

180°

360°

Ángulos cuadrantales = 90°. n

α

x

y

θ

x

y

o

θ

P(x;y)

r

(4k+1)2π

2kπ (2k+1)π

(4k -1)2π

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Donde: x = Abscisa y = Ordenada r = Radio vector Recordar: ; r > 0 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMERICAS EN CADA CUADRANTE: Son positivas:

NOTA: Toda razón trigonométrica es positiva sólo

en dos cuadrantes y negativa en los otro dos.

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS

CUADRANTALES En el cuadro adjunto se muestran los valores de las razones trigonométricas de los principales ángulos cuadrantales.

Ës R.T

0° ; 360° 90° 180° 270°

Sen 0 1 0 -1

Cos 1 0 -1 0

Tg 0 N 0 N

Ctg N 0 N 0

Sec 1 N -1 N

Csc N 1 N -1 NOTA: N : NO EXISTE

PRACTICA DIRIGIDA

01. De la figura, calcular: θ−θ CtgCsc5

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

02. De la figura, calcular: )CosSen(13 α−α

A) -2 B) -3 C) -5 D) 1 E) 2

03. Siendo θ un ángulo es posición estándar del III

cuadrante y Ctgθ = 2,4. Calcule el valor de: Tgθ - Secθ

A) 0 B) 1 C) 1,5 D) 2,5 E) 1,25

04. El lado final de un ángulo es posición normal θ pasa por el punto (-4;3), calcule el valor de:

5Ctgθ + Cscθ A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5

05. Del gráfico, hallar: θ+αθ+α

CosCosSenSen

A) -3 B) -1 C) –1/3

D) 2/3 E) 10− 06. Siendo θ un ángulo en posición estándar del II

cuadrante, donde: Tgθ = -3/2; calcule el valor

de: M = )CosSen.(133 θ+θ+

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

θ

x

y

(-2;1)

α

x

y

(-3;-2)

α

x

y

(a;-3a)

θ

22 yxr +=

x

y

Todas las Razones

Trigonométricas

Seno Cosecante

(+)

Tangente Cotangente

(+)

Coseno Secante

(+)

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07. Si: Ctgα = 2,4 además α ∈ III C. Calcular:

α+α= Cos41

Sen2K

A) -2 B) -1 C) 1/2 D) 1 E) 2

08. Si: 82Tg =θ , además θ ∈ III C. Calcular: 10.Senθ.Cosθ

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

09. Del gráfico mostrado, calcule el valor de: Senθ.Cosθ

A) 2/3− B) 2/6− C) 2/2−

D) 3/6− E) 3/2− 10. En que cuadrante se cumplen las dos

proposiciones a la vez:

I. El seno y la tangente tienen el mismo signo

II. El coseno y la cosecante tienen signos contrarios

A) I B) II C) III

D) IV E) Ninguno

11. Si: θ−θ °=° Ctg2Ctg )45Csc()60Sec( y “θ” pertenece al IIIC, calcular el valor de la expresión:

E = Cosθ.( 0,5.Senθ + 2Cosθ ) A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 12. ¿A qué cuadrante pertenece el ángulo θ, si:

Cosθ < 0 ∧ Tgθ > 0 ?

A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) N.A.

13. Si el punto P(-1;-7) pertenece al lado final del ángulo en posición estándar α, calcular:

ααα Sec.Tg.Sen

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

14. Si: θ ∈ IVC, además: 3Tg2Tg )45Sec(8 −θθ °= . Calcular: Secθ - Tgθ

A) 1/3 B) 1/2 C) 2 D) 3 E) 4

15. Si el punto (-1;3) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica θ. Calcular:

Senθ.Ctgθ

A) 10/1− B) 10/2− C) 10/3−

D) 10/4− E) 10

16. Dada la expresión: 273 1Tg =+θ

con: 2

3π<θ<π

calcular el valor de: Cscθ - Secθ

A) 5− B) 25− C) 5

D) 25

E) 52

17. Del grafico, calcular: Cosα.Cosβ

A) 1/5 B) 2/5 C) –1/5 D) –2/5 E) 0

18. Indicar el signo para cada caso: P = sen100°.Cos300° Q = Tg150°.Sec350° R = sec240°. Csc170°

A) +;+;+ B) - ; - : - C) +; - ; - D) +; +; - E) - ; - ; +

19. De la figura, calcular: A = Csc53° - Ctg α

A) 1/2 B) 2 C) –1/2 D) 3 E) –1/3

θ

x

y

)2a;a( −

6

α

x

y

(-1;-2)

β

(-2;1)

α

x

y

37°

x’ y’

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20. Si: 1Tg2

Tg321

4+θ

θ

= ; Senθ < Cos2π

Calcular: A = 13.Senθ + 5.Ctgθ

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

21. Del gráfico, calcular: A = 4Tgθ + 3

A) -3 B) -4 C) 9 D) -6 E) 5

22. Del gráfico, calcular: Ctgθ

A) 37− B)

47− C)

57−

D) 67− E)

77−

23. Del gráfico mostrado, hallar el valor de:

E = Cosα . Senβ

A) –1/2 B) 1/2 C) –1/8 D) 1/8 E) 2

24. Si: 0Tg.Sec <θθ

Hallar el signo de : θ+θθθ=

CtgTgCos.Sen

A

A) + B) – C) + ∨ – D) + ∧ – E) No tiene signo

25. Del grafico halle “Tgθ” A) 5/2 B) -5/2 C) -2/5 D) 2/5 E) 1/5 26. Del grafico mostrado, calcular:

M = Tgθ + Ctgθ

A) 6 B) 13 C) 6/13 D) 13/6 E) 19

27. Determine es signo de:

º120Cscº.270Senº190Tgº.340Cos

K =

A) – B) + C) + ∨ – D) + ∧ – E) neutro 28. En el grafico mostrado el centro de la

circunferencia de radio 5 es (-7;-1) se pide: M = Senα.Secβ

P y Q son puntos de tangencia

A) -1 B) -2 C) -1/2 D) -1/3 E) -2/3

29. Del gráfico mostrado, calcule:

E = Tgα + Tgβ

θ x

y 1

8

θ x

y

(4;3)

α

x

y

)a;53( −−

β

(-2a;6)

θ x

y

(2;5)

x

y

(a-1;-6)

θ

(-2;a)

x

y

α P

Q

β

x

y

M(-4;5) α

P(3;-8)

β

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A) 52/15 B) -15/52 C) -52/15 D) 15/52 E) 11/15

30. Del gráfico, AB = BC = CD determine:

K = Tgθ.Ctgα

A) 7/2 B) 11/2 C) 33/2 D) 2/11 E) 14/11

31. Halle Ctgφ + 31

, si G(-6;5) es baricentro del

triángulo ABC. A) -4 B) -3 C) -2 D) 1 E) 2 32. A partir de gráfico, halle el valor de:

K = Cscα - Ctgφ.Ctgα

Dado que mBCD = 2α A) 2 B) 1 C) -1 D) 3 E) -2

33. Del gráfico obtener: “Tgθ”, si QRPQ = .

A) FD B) 2/3 C) 3/2 D) -2/3 E) -3/2 34. Del gráfico determinar “Tgβ”

A) ab B) ba− C)

ab−

D) ba

E) ab

35. De la figura mostrada; calcule Tgφ + Ctgφ si el

área de la región triangular AOB es 7µ2. A) 1/3 B) 3/2 C) 5/2 D) 4 E) 3 36. En el gráfico mostrado, el valor del área de la

región triangular sombreada es 22

17 µ . Halle

“Tgα”.

A) 1 B) -1 C) 3−

D) 21− E)

33−

37. Siendo θ y φ ángulos cuadrantales positivos y

menores que 360º, además: Cscθ = -1 ; Senφ = 0

Calcule el valor de: 4

Sen26

Cos2Eφ+θ=

A) 2 B) 1 C) 0

D) 23

E) 25

α x

y

B(3;4)

C(7;-1)

A

D

θ

x

y

G

φ

A(3;9)

B(-7;0)

C

x

y

D

B φ

C

x

y

P

θ

RQ

3

2

a

β x

y

b

y

x

φ

A(m;4)

B(2m+1;3)

o

A

α

B(-3;2)

x

y

C