CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet DISEÑO DE ELEMENTOS MAGNÉTICOS EN

ALTA FRECUENCIA

T E S I S PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN C I ENC I AS EN INGENIERiA ELECTRÓNICA P R E S E N T A

ING. ROGER EFRAíN CARRILLO D k

DIRECTOR DE TESIS:

DR. MARIO PONCE SILVA

CUERNAVACA. MORELOS, MÉXICO DICIEMBRE 2004

jdef Centro Nacional de Investigaci6n y Desarrollo Tecnológiw Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos

ANEXO No.11 MI0

ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 15 de Octubre del 2004

C. Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Jefe del departamento de Electrónica Presente.

At’n C. Dr. Gerard0 V. Guerrero Ramírez Presidente de la Academia de Electrónica

Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada: “Diseño de Elementos Magnéticos en Alta Frecuencia”, realizada por el C. Roger Efraín Carrillo Díaz y dirigida por el Dr. Mario Ponce Silva y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas, acordamos ACEPTAR el documento final de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.

Atentamente ,@vat. La Comisión de Revisa

C.C.P. Subdirección Académica Departamento de Servicios Escolares Directores de tesis Estudiante

cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnolbgico Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos

A N E X O No. 12

AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS M11

Cuemavaca, Mor., a 16 de noviembre del 20004

C. Roger Efraín Carrillo Díaz Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Electrónica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: “Diseño de Elementos Magnéticos en Alta Frecuencia”, me es grato comunicarle que conforme a los lineamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

v ‘ I

C. Dr. Enrique Quihero-Mármol Márquez Jefe del Departamento de Electrónica

C.C.P. Subdirección Académica Presidente de la Academia de Electrónica Depanamento de Servicios Escolares Expediente

.. . ..

Dedicatoria

A Dios Por concederme esta vida llena de grandes satisfacciones y por permitirme lograr mis mas grandes anhelos.

A mis Padres RÓger y Magaly Que con su apoyo incondicional han sido el pilar de mi formación en la vida.

A mi abuela Pilar Mujer incomparable que me alienta en todo momento. Te amo Abuela.

A mis hermanos José, Zazil, Leny Con su amor fraternal y cariño son mi sostén en tierras lejanas.

A Irene Mi compañera de todo momento en esta aventura. Te amo.

Agradecimientos A Mario Ponce, por tener la paciencia de aguantar todos estos años bajo su tutela y al invaluable conocimiento que me ha otorgado.

A mis revisores, Dr. Jaime Arau, Dr. Rodolfo Echevarria y Dr. Elías Rodriguez por todo el apoyo recibido.

AI Dr. Carlos Aguilar y Graciela por la amistad que me han brindado. Gracias.

AI Departamento de Electrónica, a todos los Doctores que he tenido el placer de conocer. A Mayra y Don Román muchas gracias.

AI Cenidet, institución que cambio mi vida por completo.

A mi familia adoptiva San Martin: Hermano Noe, Hermana Maura, Aurora, Violeta, Marina, Marta, Orquídea, Gadi, Itzamara y Elisa.

A todos mis amigos y compañeros del Cenidet, a la Generación 1999- 2001, gracias por su amistad.

A Daniel Melchor, por su amistad y por impulsarme a emprender este proyecto.

A Miguel Zapata siempre en las buenas y las malas. (y de comentario acertado y oportuno ...)

A mis amigos, hermanos de toda la vida, Fernando Ayil y Edson Cano.

A Ileana, mi mejor amiga.

AI CONACYT por brindarme el apoyo económico durante mi estancia en el Cenidet.

Resumen

El desarrollo de los sistemas electrónicos en la vida diaria ha sido enorme en los últimos años debido a las grandes ventajas que presentan, desde sistemas de alimentación conmutados, balastros electrónicos, filtros activos, etc.. En la actualidad, existe la tendencia a disminuir el costo y el tamaño de estos sistemas electrónicos, como consecuencia del acelerado desarrollo de la tecnología para la fabricación de dispositivos semiconductores y circuitos integrados. Sin embargo, los elementos magnéticos que se utilizan en estos sistemas son muy específicos, particulares a la aplicación, voluminosos y de costo relativamente alto, por lo que sobre ellos se enfoca gran parte del esfuerzo para reducirlos.

Una de las estrategias propuestas para disminuir las dimensiones de estos elementos magnéticos consiste en elevar la frecuencia de operación. Sin embargo, esto ocasiona nuevos problemas en el diseño, ya que aparecen fenómenos que deben de ser tomados en cuenta en el diseño, como el efecto piel, proximidad, dispersión en el entrehierro, etc.

En este trabajo se estudiaron los fenómenos que aparecen al elevar la frecuencia en estos elementos magnéticos, los criterios, métodos y técnicas utilizados en su diseño, teniendo como resultado el presentar una metodología de diseño practico y efectivo.

Existen innumerables artículos, en donde presentan varias propuestas de análisis de los efectos en alta frecuencia, la mayoría basado en la propuesta hecha por Dowell. Estos análisis se han ido complicando a la par con los programas de computadores por lo que ahora de una solución en lD , se tienen versiones en 2D y 3D, además se extienden los resultados a formas de onda de corriente arbitrarias.

Sin embargo, debido a la complejidad de los análisis algunos autores vuelven a las soluciones 1D complementando y ajustando los factores involucrados para permitir resultados comparativamente satisfactorios a los obtenidos en 2D y 3D en ciertos limites de operación y presentan simplificaciones a los métodos de análisis de formas de corriente arbitraria, basados en análisis de fourier. Esto permite ahorrar tiempo y dinero en un diseño magnético, dejando los análisis mas complejos por computadora a diseños en donde realmente sean necesarios.

De la extensa bibliografía se seleccionaron los análisis mas sencillos posibles pero con un buen grado de exactitud comparado con versiones mas complejas, se propusieron nuevos factores de ajuste para lograr una mejor solución, permitiendo una fácil implementación en paquetes matemáticos de bajo costo.

Abstract The development of the electronic systems in the daily life has been enormous in

the last years due to the big advantages that present, from switche power supplies sytems, electronic balast, active filters, etc.. at the present time, the tendency exists t o diminish the cost and the size of these electronic systems, as consequence of the quick development of the technology for the production of devices semiconductors and integrated circuits. However, the magnetic elements that are used in these systems are very specific, particular to the application, voluminous and relatively high cost, because of that the effforts is focused to reduce them.

One of the strategies proposed to diminish the dimensions of these magnetic elements consists on elevating the operation frequency. However, this causes new problems in the design, since they appear phenomenons that should be taken into account in the design, as the skin effect, proximity effect, dispersion in the gap ...

I n this work the phenomenons were studied that appear when elevating the frequency in these magnetic elements, the approaches, methods and techniques used in their design, having as a result presenting a design methodology, practices and effective.

Innumerable articles exist where present several proposals of analysis of the effects in high frequency, most based on the proposal made by Dowell. These analyses have gone making difficult at the same time with the computer programs because of that now from a solution in ID, it is had versions in 2D and 3D, the results also extend to arbitrar current waveform.

However, due to the complexity of the analyses some authors return to the solutions 1D supplementing and adjusting the factors involved to allow comparatively satisfactory results to those obtained in 2D and 3D in certain limits of operation and they present simplifications to the methods of analysis in arbitrary current waveform, based on fourier analysis. This allows to save time and money in a magnetic design, leaving the analyses but complex for computer to designs where are really necessary.

From the extensive bibliography the analyses were selected more simple possible but with a good degree of accuracy compared with more complex versions, new adjustment factors were proposed to achieve a better solution, allowing an easy implementation in mathematical packages of low cost.

Tabla de contenido

Sim bología

Nomenclatura

Capítulo 1. Introducción

1.1.- Antecedentes

1.2.- Objet ivos

1.2.1.- Objet ivo general

1.2.2.- Objet ivos particulares

1.2.3.- Metas

1.3.-

1.4.- Metodología desarrollada

1.5.-

1.6.- Referencias

Marco conceptual y estado del arte

Aportación o contribución del t rabajo

vi1

xi11

1

1 2 2 2 2 2 7 8 8

I

Capítulo 2. Conceptos básicos 11

2.1.- Int roducción 2.1.1.- Elementos magnéticos e n convert idores electrónicos

de potencia

2.2.1.- Circuitos magnéticos

2.3.1.- Elementos magnéticos: bobinas

2.2.- . Principios de la teoría electromagnética

2.3.- Parámetros eléctricos en los elementos magnéticos

2.3.1.1.- Inductancia

2.3.1.2.- Efecto de un entrehierro

2.3.1.3.- Bobinas con núcleos abiertos

2.3.1.4.- Energía almacenada en una bobina

2.3.2.- Elementos magnét icos: transformadores

2.3.2.1.- El transformador ideal

2.3.2.2.- Inductancia magnetizante

2.3.2.3.- La inductancia de dispersión Magnetización, permeabi l idad relativa y susceptibil idad

magnética

ferromagnéticos

2.4.-

2.5.- Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y

2.6.- Dominios magnéticos

2.7.- Referencias

Capítulo 3. Efectos a frecuencias mayores a 1 kHz

3.1.- Alta frecuencia

3.1.1.- In t roducc ión

3.1.2.- Corrientes de Eddy e n e l conductor

3.1.2.1.- Efecto piel

3.1.2.2.- Efecto proximidad

3.1.2.3.- Análisis de corr ientes de Eddy en 1 D

3.1.2.4.- Conductor aislado tipo lamina

3.1.3.- Distr ibución de campo

11

11 12 14 17 17 17 20 23 24 25 26 28 29

31

32 33 34

37

37 37 37 38 41 42 42 44

3.1.3.1.- Distribución de campo en baja frecuencia

3.1.3.2.- Distribución de campo en alta frecuencia

3.1.3.3.- Aplicación del análisis en 1D

3.1.4.- Histéresis

3.1.4.1.- La curva dinámica de Histeresis

3.1.5.- Efecto del entrehierro

3.2.- Referencias

46 46 48 50 51 52 55

Capítulo 4. Análisis comparativo de métodos de diseño. Núcleos convencionales

4.1.- Diseño de componentes magnéticos

4.1.1.- Int roducción

4.1.2.- Tipos de dispositivos magnéticos 4.1.2.1.- Inductor de filtrado en convertidores en modo

de conducción continua (MCC)

4.1.2.2.- Inductor operado en modo de corriente discontinuo

4.1.2.3.- Inductor de CA

4.1.2.4.- Transformador

4.1.2.5.- Inductor acoplado Consideraciones generales para el diseño de un elemento magnético

4.2.-

4.3.- Métodos de diseño

4.3.1.- Producto de areas

4.3.2.- Constante geométr ica K, 4.3.3.- Diseño de u n t ransformador uti l izando la constante

geométr ica K,f,

Comparación de métodos de diseño

4.3.4.- Método del vo lumen mínimo

4.3.5.- 4.4.- Referencias

57

57 57 58

58 59 60 61 62

63 69 69 77

80 83 88 89

Capítulo 5. Método de diseño propuesto en alta frecuencia 91

5.1.-

5.2.- Selección del núcleo

Diseño magnét ico en alta frecuencia con núcleos

convencionales

5.2.1.- Restricciones de diseño

5.2.2.- 5.2.3.- Numero de vueltas

5.2.4.- Entrehierro

5.2.5.- Factor de dispersión

5.2.6.- Reajuste de vueltas

5.2.7.- 5.2.8.- Devanado

5.2.9.- Resistencia e n CD

5.2.10.- Resistencia en CA 5.2.11.- Optimización del devanado

5.2.12.- Conductores multi-hilos, hi lo t renzado

5.2.13.- Manufactura final. Prueba del e lemento magnét ico 5.2.14.- Hoja de cálculo para resolver el diseño de un e lemento

magnét ico

Selección de tamaño aproximado del núcleo

Selección del tamaño del conductor

5.3.- Tabla d e la metodología propuesta para el diseño

de un e lemento magnét ico en alta frecuencia

5.4.- Prototipos

5.5.- Referencias

91 93 93 94 97 97 97 98 98 98 99 99 100 101 101

101

101 104 106

Capítulo 6. Conclusiones 109

6.1.- Conclusiones

6.2.- Trabajos fu turos

6.3.- Referencias

1 o9 110 111

I V

Anexo 1 113

Tablas de la guía de selección de productos 2004 FERROXCUBE

Tabla 1. Materiales de polvo férrico. Tabla 2. Matriz de aplicación. Tabla 3. Matriz de aplicación. Tabla 4. Materiales y aplicaciones.

Anexo 2

Calculo y optimización de la resistencia de CA para inductores con núcleo y entrehierro central y exter ior para formas de onda

de corr iente arbitraria

Anexo 3

Formulas para el Óptimo grosor de un devanado para varias formas de onda, y = (5p2-1)/15, p = Número d e capas

Anexo 4

Formas geometricas comerciales Definición de índices sobre sus dimensiones

Anexo 5

Programa en Maple: Procedimiento de diseño de un inductor analizando los l imites de operación de los diferentes t ipos de núcleos.

119

129

131

135

Bibliografía 147

VI

Ab

. Ac

A C O "

AC"

Ad

AL

AP

At

A,

A6

B

BAC

B,a.

Br

BE

B S

Bsat

Simbología

Área del conductor desnudo

Área transversal del núcleo

Área del conductor

Área del cobre utilizada

Área disponible para el conductor

Factor de reluctancia

Producto de áreas

Área total

Área de la ventana

Área sin utilizar

Densidad de flujo

Densidad de flujo alterna

Densidad de flujo maxima

Flujo remanente

Retentividad

Punto de saturación

Flujo de saturación

VI1

Bo

d

D

e

f

F

F i

F2

Fd

FR

9

h

H

Hb

HC

Hdt)

Hm

HX

i l

i 2

im

imp

I

Io

I a c

I d c

Im

I,,,

J

JP

Is

VI11

Densidad de flujo magnético en un toroide

Ancho del devanado

Diámetro

Fuerza electromotriz (f.e.m.1 , . FrecUencia ,$.. i '.

: :!I . ''

Fuerza magnetomotriz (f.m.m.)

Factor multiplicativo del efecto piel

Factor multiplicativo del efecto proximidad

Factor de dispersión

R,J%C

Entrehierro

Grosor del conductor

Intensidad de ca'mpo magnético

Altura de la bobina seleccionada

Fuerza coercitiva

Campo magnético variante en el templo

Valor del campo magnético a través de la capa m

Intensidad de campo magnético

Corriente del primario

Corriente del secundario

Corriente magnetizante

Corriente magnetizante en el primario

Corriente

Corriente de salida

Componente de corriente de CA

Componente de corriente de CD

Imanación

Corriente máxima

Densidad de corriente

Densidad de corriente producida por el efecto proximidad

Densidad de corriente producida por el efecto piel

Densidad de corriente sobre el plano z

Relación entre la corriente de DC y la corriente RMC

constante determinada por las condiciones de operación eléctrica y magnética

Coeficiente constante que depende de la forma de onda

Constante de forma geometrica del núcleo

Constante geometrica del transformador

Constante relacionada al crecimiento de temperatura

Constante del núcleo, perdidas por unidad de volumen

Factor de utilización de la ventana o factor de llenado (fill factor)

Constante relacionada a la configuración del núcleo

Coeficiente de utilización de la ventana

Longitud del elemento considerado

Longitud del entrehierro

Ruta magnética del núcleo

Ancho de la ventana del núcleo

Inductancia

Inductancia de dispersión

Inductancia magnetizante

Inductancia magnetizante en el primario

Número de capas

Campo producido por el material magnético

Longitud promedio por vuelta del embobinado

Número de vueltas

Número de vueltas corregido

Conductores por capa

Perdidas

Perdidas en,el devanado

Potencia de entrada

Perdida por capa

Perdidas en el núcleo

Potencia de salida

I X

pérdidas por el efecto proximidad

Pérdidas por el efecto piel . .

Capacidad de potencia aparente

Pérdidas totales

Radio del conductor

Radio del área sin utilizar

Reluctancia

Resistencia en ac

Resistencia equivalente de CA por capa

Resistencia en dc

Reluctancia del núcleo

Resistencia efectiva

Reluctancia del entrehierro , .

Reluctancia debida a la dispersión

Tensión

Volumen en el cual existe un campo magnético

Volumen del núcleo donde se encierra todo el flujo

Volumen del entrehierro donde se encierra todo el flujo

Ancho de la ventana conductor tipo lamina

Densidad de energía en el entrehierro

Energía almacenada en una bobina

Energía almacenada en el núcleo

Energía almacenada en el entrehierro

Peso del transformador

Susceptibilidad magnética

Regulación

Profundidad piel

Profundidad piel a la frecuencia fundamental

h/6o

Rizo de corriente

Flujo magnético

Flujo magnético en el entrehierro

@I

v Porosidad

Flujo magnético en la ruta magnética del núcleo

Flujo magnético total o de enlace

P Permeabilidad

PO Permeabilidad del vacio

P C Permeabilidad del núcleo

Pr Permeabilidad relativa

P Resistividad

P C " Resistividad del cobre

a Conductividad

ow Conductividad de lamina equivalente

w Frecuencia angular

XI

XI1

1D

2D

3D

CA

CD

Nomenclatura

Primera dimensión

Segunda dimensión

Tercera dimensión

Corriente alterna

Corriente directa

XI11

XIV

Capítulo I I n traducción

1.1.- Antecedentes

El desarrollo de los sistemas electrónicos ha sido enorme en los últimos años debido a las grandes ventajas que presentan en áreas como sistemas de alimentación conmutados, balastros electrónicos, filtros activos, etc. En la actualidad, existe la tendencia a disminuir el costo y tamaño de estos sistemas, como consecuencia del acelerado desarrollo de la tecnología para la fabricación de dispositivos semiconductores y circuitos integrados. Sin embargo, los elementos magnéticos que se utilizan en estos sistemas son muy específicos, voluminosos y de costo relativamente alto, por lo que sobre ellos se enfoca gran parte del esfuerzo en reducción de costo y tamaño.

Una de las estrategias propuestas para disminuir las dimensiones de los elementos magnéticos consiste en elevar la frecuencia de operación. Esto, ocasiona nuevos problemas en el diseño, ya que aparecen fenómenos que deben ser tomados en cuenta como el efecto piel, proximidad, distribución del campo magnético, entre otros.

Otras estrategias involucran el estudio de nuevos materiales, una nueva geometría del núcleo y el empleo de devanados no convencionales (transformadores planos, devanados dentro del circuito impreso).

Teniendo en cuenta que los sistemas electrónicos operan cada vez a frecuencias más altas, por lo que los fenómenos que surgen por este incremento hacen que el diseño de los elementos magnéticos se vuelva muy crítico. A esto hay que sumarle dichos elementos deben ser construidos en forma muy especifica según las características de la aplicación. En este trabajo se estudiaron los fenómenos mas importantes derivados de la operación de los elementos magnéticos en alta frecuencia más importantes; los criterios, los métodos y las técnicas utilizadas que los incluyen en el diseño magnético, teniendo como resultado final, una metodología de diseño práctica y efectiva en alta frecuencia.

1

1.2.- Objetivos

1.2.1.- Objetivo general

Estudio del comportamiento de elementos magnéticos en alta frecuencia enfocado ai diseño de dispositivos magnéticos,

1.2.2.- Objetivos particulares

Estudio de los fenómenos en alta frecuencia: efecto piel, efecto proximidad, parásitos, entre otros. Estudio de los diversos métodos y técnicas de diseño magnético en alta frecuencia. Selección de un método, práctico y efectivo, bajo los siguientes criterios: exactitud y precisión del método, mínimas pérdidas, menor tamaño y facilidad de devanado. Selección de un método práctico, para implementarse en los diseños que se realizan en el área de Electrónica de Potencia del Departamento de Ingeniería Electrónica.

1.2.3.- Metas

Dominio de los fenómenos en alta frecuencia. Comprender los análisis propuestos en 1D para evaluar e incluir los efectos en alta frecuencia en el diseño de un elemento magnético. Establecer criterios de diseño que tomen en cuenta los efectos en alta frecuencia, haciendo énfasis en la aplicación particular. Establecer ecuaciones de la literatura para evaluar los efectos de alta frecuencia, sencillos y prácticos, que no involucren tiempo y uso de equipo o software especializado, con la suficiente precisión para su uso efectivo. Obtención de un método de diseño en alta frecuencia efectivo (núcleos convencionales). Establecer algún método de optimización del diseño final, para reducir las perdidas de CA, especialmente para conductor de hilo redondo, el mas utilizado.

1.3.- Marco conceptual y estado del arte

Existen muchos trabajos sobre el diseño magnético en alta frecuencia; cada uno se enfoca en algún problema en particular: forma de los devanados, corrientes parásitas, resistencia de CA, etc.; pero no existe uno que abarque todos estos fenómenos, esto debido principalmente a que depende fuertemente de las características de la aplicación. Se han dedicado esfuerzos para analizar. los fenómenos de alta frecuencia con el fin de comprenderlos e incluirlos en el diseño magnético. Aquí se presentarán algunos de los métodos y técnicas existentes en la literatura que buscan solucionar algunos de los problemas que-surgen en alta frecuencia.

2

Colonel Wm. T. MacLyman. Transformer and Inductor Design Handbook. Método del producto de areas. [i]

Este método tiene por objetivo estimar el tamaño del núcleo necesario para la aplicación considerada, en función del parámetro conocido como producto de áreas, este parametro consiste en el producto del área efectiva por el área de ventana del núcleo magnético a utilizar (AP = A, x Ac). El parámetro parte de relaciones empíricas (Únicas) del producto de áreas con el volumen, el area de superficie, densidad de corriente y peso para los diferentes tipos de núcleos. Toda la información la proporciona el fabricante.

La premisa básica de la cual parte este método indica que: para máxima eficiencia las pérdidas del núcleo son iguales a las del devanado.

Básicamente el método consiste en lo siguiente:

Especificar un incremento de temperatura aceptable y los parametros de la

Calcular el entrehierro.

aplicación (L, I,,,, I,,, I,r) se obtiene un valor de A,. Seleccionar por medio de una tabla el núcleo adecuado. Calcular el número de vueltas, utilizando las relaciones de A,, utilizando como criterio el límite de saturación o las pérdidas. Calcular el diámetro del hilo, en función del número de vueltas y el área de ventana.

Las desventajas de este método son:

. . No es fácil especificar un incremento de temperatura aceptable. NO existen criterios suficientes para especificar una densidad de flujo máxima B ~ C . Para máxima eficiencia se suponen pérdidas en el núcleo iguala las del devanado, pero no se cumple cuando el límite de diseño es la saturación, es decir, podría operar por encima de B,,t. NO se toman en cuenta los fenómenos de alta frecuencia. .

r . 7

t-’ 1- D-4

Figura 1-1. Producto de areas para el núcleo tipo Pot: (a) Vista superior y (b) corte transversal.

3

~~

Juan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: “Elementos magnéticos en alta frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño”. Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, de Computadores y de Sistemas de la Universidad de Oviedo, España. Diciembre de 1993. [ 2 ]

En su trabajo doctoral, I. Lopera hace una mejora al producto de areas y agrega algunos criterios para la selección del hilo y técnicas de devanado. Básicamente es el mismo método de producto de áreas.

Método de valoración de perdidas: . . .

Se obtiene el tamaño del núcleo a partir de la especificaciÓn de las máximas perdidas aceptables (producto de areas). Se obtiene una nueva relación con el volumen del núcleo. Se estima el volumen mínimo necesario en función de constantes de los materiales y de las perdidas aceptables. Se evita que el núcleo trabaje por encima de BSat. Se selecciona el núcleo de los cálculos anteriores. Se obtiene el volumen mínimo del núcleo. Se calcula el número de vueltas y el diámetro del hilo. Se calcula el entrehierro.

Lopera agrega algunos criterios de selección del hilo Óptimo:

o Hilo redondo y tipo laminar.

Por medio de un proceso iterativo es posible obtener las dimensiones del hilo Óptimo, considerando el efecto piel en alta frecuencia y realizando un análisis de perdidas en los devanados.

o Hilo de Litz.

Se caracteriza por tres parámetros: diámetro exterior, diámetro del hilo base y número de hilos base. El diseño se realiza con base en:

Selección de un diámetro exterior de forma que se llene completamente el área de ventana. ~

Elegir diámetro de hilo base menor que la profundidad piel, para evitar efectos en alta frecuencia. Desventaja: dificil de conseguir y costoso.

Igualmente Lopera presenta un proceso de selección del devanado Óptimo: dependiendo de la dimensión del hilo Óptimo propone dos métodos para encontrar el devanado óptimo para minimizar las perdidas.

Las conclusiones de Lopera, en cuanto al diseño magnético en alta frecuencia son:

J No es posible desarrollar un método completo de diseño de elementos magnéticos que permitan la selección del núcleo necesario.

J Recomienda e l uso del hilo redondo, por fácil de devanar y económico.

4

Ashkan Rahimi-Kian, Al¡ Keyhani, Jeffrey M Powell. “Mjnj,pjum L~~~ oesjgn of a 100 kHz Inductor with Litz Wire”. IEE PESC 1gg7.[31

LOS autores Presentan Un método iterativo para obtener pérdidas minimas en el núcleo y utilizan el método del producto de áreas para determinar los datos del núcleo y el tipo de hilo.

Con los datos anteriores determina Io siguiente:

Área de ventana. Sección transversal. Densidad de flujo. Número de vueltas.

En este punto realizan un nuevo calculo de la densidad de flujo y además:

Se comprueba si las pérdidas del núcleo son iguales a las perdidas del devanado. Si es cierto, se utiliza otro núcleo y se repiten los pasos anteriores. Si no es cierto se escoge otro tamaño de hilo y se repiten los pasos anteriores. Se comparan los resultados Para varios núcleos y se escoge el mejor caso.

, .

Dimensión del entrehierro de aire.

Se determinan las perdidas en el núcleo y del devanado. Se determina la resistencia de CA del hilo Litz. Determinación del factor de utilización de la ventana Kw.

D. K. W. Cheng, K. L. Ng. ” A new approach in switching mode transformer design with distributive configuration “. Politécnico de Hong Kong. IEEE PESC 1992. Pags 1387-1392. [4]

Los autores ofrecen un nuevo método de diseño utilizando una configuración distributiva:

Figura 1-2. Configuración distributiva.

La configuración se construye con núcleos planares tipo E. Las ventajas que presentan son:

5

El tamaño del transformador puede Ser reducido. Distribución térmica. La capacitancia y el coeficiente de acoplamiento pueden ser controlados.

Desventaja:

Incremento de las perdidas del cobre debido al efecto piel y perdidas del núcleo.

Jiankun Hu, Charles R. Sullivan. "Analytical Method for Generalization Of numerically Optimized Inductor Winding Shapes". IEEE PESC 1999. Pags 568- 573. [SI

Los autores presentan un método simple para optimizar la forma de embobinado de inductores, para cualquier diseño con el mismo núcleo, sin repetir las operaciones del calculo. Esto permite reducir las pérdidas de embobinado en alta frecuencia, debido al efecto proximidad y al entrehierro presente.

* . o . . .

10KHz 30KHz 50 KHz

Figura 1-3. Ejemplo de optimización del embobinado de u n inductor,

W.G.Hurley, E. Gath, and 3.6. Brelin. "Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with arbitrary wave forms". IEEE PECC 1999.[6]

Los autores presentan una nueva fórmula para optimizar la dimensión de las capas de transformadores multicapa, utilizando Únicamente los valores eficaces de corriente y voltaje; aplicable a cualquier forma de onda. Esto evita el utilizar los coeficientes de

~~ _. ~~

Fourier de hasta 30 armónicos y obtener hasta 10 valores diferentes de capa hasta encontrar el óptimo.

Resumen

Como se puede observar en los artículos anteriores:

No existen criterios universales de diseño en alta frecuencia. Los fenómenos atribuidos a la alta frecuencia en los elementos magnéticos, como el efecto piel o proximidad, deben ser incluidos ai realizar el diseño.

6

El método base para cualquier diseño es el producto de areas, a pesar de que no es recomendable para alta frecuencia. La mayoría de los autores presentan técnicas para optimizar el diseño de los

elementos magnéticos una vez determinado los datos Dor medio del orodurtn de ~ ~~~ ~ --

areas. Estas técnicas son muy variadas y algunas son específicas a cierta(s) aplicación(es).

1.4.- Metodología desarrollada

Dado que el problema fue el estudio de los fenómenos en el diseño magnéticos en alta frecuencia, se siguió la siguiente metodología a fin de comprenderlos mejor y estudiar las soluciones propuestas en la bibliografía para tomarlos en cuenta en el diseño y optimizarlos.

ESTUDIO DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA. Revisión general de la teoría electromagnética:

1. Campo Magnético

Ley de Ampere Ley de Biot - Savart Fuerza de Lorentz Ley de Faraday EiemDio de campo magnético de un hilo, espira, solenoide y toroide. F¡ujo'magnético.y deniidad de flujo Ley de Gauss para campos magnéticos Intensidad de campo magnético H Fuerza magnetomotriz Autoinducción Energía almacenada en una bobina Energía almacenada en un campo magnetic0 El potencial vector magnético. Ley de la divergencia

2. Materiales magnéticos

- Fuentes de campo magnético - - -

Relación entre 8, H y M (imanación) Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos Formación de dominios en los materiales ferromagnéticos

3. Magnetismo

- - - Circuito magnético -

Energía perdida en un ciclo de histéresis Perdidas por corrientes de Foucault

Transformador, autoinducción e inducción mutua

7

4. Ecuaciones de Maxwell. - - - - Aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell, ondas electromagnéticas y

Ley de Faraday, Ampere, y de Gauss como ecuaciones de Maxwell Flujo magnético cuarta ecuación de Maxwell Potenciales para campos variables con el tiempo

propagación de energía.

ESTUDIO DE LOS FENÓMENOS EN ALTA FRECUENCIA. Efecto piel, proximidad, pérdidas en los devanados etc. y los problemas que ocasionan en el diseño de elementos magnéticos en alta frecuencia. Aplicaciones de las leyes de Maxwell a las estructuras de los elementos magnéticos (conductores, devanados, núcleo) para obtener las ecuaciones (Ecuación de Dowell) que predicen las pérdidas ocasionadas al incrementar la frecuencia, y la consiguiente optimización de dichas pérdidas en el diseño de los elementos magnéticos.

ESTUDIO DE LOS MÉTODOS Y TÉCNICAS DE DISENO DE ELEMENTOS MAGNÉTICOS EN ALTA FRECUENCIA.

VALIDACIÓN DE LOS MÉTODOC OBTENIDOS. Evaluación de las ecuaciones simplificadas obtenidas para determinar el incremento de resistencia en CA al elevar la frecuencia. Construcción de un prototipo experimental utilizando núcleo convencional, verificando que el método propuesto sea práctico, de fácil implementación y que no involucre rediseños innecesarios.

1.5.-

Esta tesis proporcionará bases sólidas para el diseño de elementos magnéticos en alta frecuencia. Se propondrá un método adecuado según los criterios establecidos y alguna(s) técnica(s) de optimización. Con este trabajo se espera enriquecer el área de Sistemas de Alimentación Conmutados.

Aportación o contribución del trabajo

1.6.- Referencias

[l] Colonel Wm. T. MacLyman. "Transformer and Inductor Design Handbook". Editorial Board, 1988.

[Z] Juan Manuel íopera Ronda. Tesis doctoral: "Elementos rnagnetjcos en alta frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño". Universidad de Oviedo, España. Diciembre de 1993. Gijon, España.

[3] Jiankun Hu, Charles R. Sullivan. "AnJ/itiCJ/ Method for GenerJ/ization o f numerical Optimizad Inductor Windings Shapes". PESC 1999. Pags. 568-573.

[4] Ashkan Rahimi-kian, Ali keyhani, Jeffrey M Powell. "Minimum Loss Design o f J 100 kHz inductor with Litz wire". IEEE Annual Meeting, New Orleans, LA., Octubre 5-9, 1997.

8

I51 K.W.E. Chang. P.D. Evans. "Optimization of high frequency inducor design of serie resonant converter". PESC 1992. Pags 1416-1422.

161 W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. "Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with arbitrary wave forms". I E E E PESC 1999.

D.K.W Cheng, K.L. N g . ' X new approach in switching mode transformer design with distributive configuration". PESC 1992. Pags. 1387-1392.

[9] Magnetics Inc. Tecnicals Bolletin and Catalogs.

[lo] Unitrode. Power Supply Design Seminar 1993.

[ill I. Casada, T . Yamaguchi y K. Harada. "Methods for loss reduction in planar

[SI

inductors". PESC 1992. Pags 1410-1415.

9

10

Capítulo 2 Conceptos Básicos

2.1.- Introducción

Dentro del conjunto de dispositivos que constituyen un circuito eléctrico, los elementos magnéticos presentan una particularidad importante que los diferencia del resto, y es que, mientras que los demás componentes se adquieren ya fabricados, los elementos magnéticos en la mayor parte de los casos deben ser diseñados y construidos para cada aplicación específica.

Este hecho trae consigo la necesidad imperiosa de disponer de modelos que permitan conocer los parámetros eléctricos de los dispositivos magnéticos, así como de criterios de diseño que faciliten al mismo.

Dichos criterios de diseño serán diferentes en función de que en el elemento magnético aparezcan o no ciertos efectos de redistribución del campo electromagnético. Ello dependerá tanto de la frecuencia de trabajo como de las dimensiones del elemento a diseñar (conductores y núcleo).

2.1.1.- Elementos magnéticos en convertidores electrónicos de potencia

Los elementos magnéticos se dividen de forma general en dos grandes grupos según la función que realizan:

- Inductores

El objetivo de los sistemas de potencia es extraer energía de una fuente primaria para suministrarla a una determinada carga de forma controlada. En los sistemas electrónicos de potencia esta energía inicial proviene de un campo eléctrico. Para

controlar el flujo de energía hacia la carga sera necesario almacenar parte de la energía en algunos instantes de tiempo. Para ello existen dos formas clásicas: almacenar la energía en forma de campo eléctrico (condensadores) o almacenarla en forma de campo magnético (inductores).

AS¡ pues un inductor es un dispositivo que almacena energía procedente de una corriente eléctrica.

- Transformadores

AI igual que los inductores, los transformadores convierten la energía de un campo eléctrico en un campo magnético, pero no con la misión de almacenarla, sino para volver a convertirla en un nuevo campo eléctrico, y conseguir así modificar las propiedades (tensión - corriente) del campo inicial, además de proporcionar aislamiento galvánico.

Esta división general de los elementos magnéticos en transformadores e inductores es muy simple, ya que las misiones específicas de los componentes magnéticos son muy variadas. En un circuito electrónico podemos encontrar elementos tan diversos como:

Transformadores de alterna, de baja frecuencia. Inductores para filtros de entrada, de corrientes bajas. Transformadores de potencia de alta frecuencia. Inductores para filtros de salida, de corrientes altas. Transformadores de impulsos. Inductores auxiliares para circuitos resonantes. Amplificadores magnéticos. Inductores para filtros. Transformadores de corriente y señal.

2.2.- Principios de la teoría electromagnética

A continuación se citarán las leyes básicas que describen el comportamiento electromagnético.

* Ley de Bio-Savart [4]

Esta ley permite obtener el valor de la densidad de flujo magnético en un punto del espacio, considerando campo cercano, debido a un elemento diferencial de corriente. La expresión matemática resulta ser:

- - dl (2.1) - p u l d l x r d B = - -

4n r2 donde: P I r dl d¡

r -

12

es la permeabilidad del medio. Es la corriente por el conductor. Es la distancia entre el punto considerado y el elemento de corriente. Es la longitud del elemento considerado. Es un vector unitario tangente ai elemento de corriente y con sentido el de dicha intensidad Es un vector unitario en la dirección de la recta que va del punto al elemento de corriente y que apunta a P.

La figura

/ / I 1 4 -

I l r

/ I I I I

Figura 2-1. Campo creado por un elemento de corriente.

2-1 ilustra las magnitudes anteriormente consideradas.

* Ley de Ampere

Esta ley establece que la integral de linea del vector intensidad de campo magnético H a lo largo de una trayectoria sencilla cerrada, es igual a la corriente total (o fuerza magnetomotriz) encerrada por dicha trayectoria. La expresión matemática correspondiente será por lo tanto:

-- F = d H d l = xi

siendo:

F la fuerza magnetomotriz (A) H dl

el vector intensidad de campo (A/m) elemento diferencial de longitud del contorno cerrado (m)

* Ley de Faraday de la inducción electromagnética

La f.e.m. inducida en yn circuito eléctrico es igual a la rapidez de disminución de flujo magnético de enlace sobre el circuito.

d L dt

e=- - -

13

donde:

e es la fuerza electromotriz h es el flujo magnético de enlace o total, si se dispone de una bobina con N vueltas,

con un flujo por vuelta Q>, el flujo magnético de enlace responde a \a expresión:

A = N . Q (2.4)

La polaridad de la f.e.m. inducida viene dada por la ley de Lenz que afirma que la corriente inducida va en una dirección tal que se opone al cambio del flujo que la originó.

* Energía en e l campo magnético

Crear un campo magnético requiere un "gasto" de energía para el que establece dicho campo: la densidad de energía en cualquier punto del campo viene dado por la expresión:

w = F . d ? donde:

w B H

es la densidad de energía expresada en julios/m3 es el vector densidad de flujo (en Teslas) es el vector intensidad de campo magnético (en A/m)

En un medio isotrópico se verifica que:

siendo la p la permeabilidad magnética del medio, (para el vacío po=4n.10-' H/m), con lo cual:

* Ley de la divergencia

Las líneas de campo magnético son continuas, forman trayectorias cerradas sin fuentes ni sumideros. Se dice que la densidad de flujo B tiene carácter solenoidal.

div 2 = O

2.2.1.- Circuitos magnéticos

Como se acaba de indicar, las líneas de flujo magnético forman curvas cerradas. Si todo el flujo magnético (o una gran parte del mismo) asociado con una determinada distribución de corrientes, se confina en una serie de trayectorias bastante bien definidas, entonces podemos hablar de un circuito magnético. Esa 'buena definición" de las trayectorias va a servir para determinar los flujos magnéticos en las mismas, y ahí va a residir su interés. En la figura 2-2 se muestra un circuito de estas características en un anillo de material ferromagnético sobre el que se arrolla un devanado toroidal.

14

Figura 2-2. Devanado toroidal.

En un circuito magnético, la ley de Ampere describe la relación que existe entre la corriente eléctrica que genera un campo magnético y el propio campo. En el caso expuesto en la figura 2-2, con un total de N vueltas se cumple:

El sentido del vector de intensidad de campo H respecto a la intensidad i viene dado por la regla de mano derecha.

La anterior expresión se puede escribir también en la forma:

(2.10)

Siendo A el area de la sección transversal del circuito en el punto considerado.

En un circuito magnético como éste, se espera que sea constante en todos los puntos, con lo cual:

Se define la reluctancia del circuito magnético de la siguiente forma:

R = @ - dl P . A

(2.11)

(2.12)

se expresa en A/Wb y es un parametro que depende de las características del medio y de la geometría del circuito magnético. Si el flujo no fuera idéntico para todos los tramos de un determinado circuito magnético, se define la reluctancia para cada uno de los tramos en donde si cumple la constancia del flujo.

A partir de la anterior definición, se puede rescribir la ley de Ampere en la forma:

(2.13)

15

Ecuación que presenta una clara analogía con la expresión correspondiente a un circuito eléctrico (ley de Ohm)

e = r . i (2.14)

La analogía existente, se centra en magnitudes tales como:

e (f.e.m.) - F (f.m.m.) r (resistencia) - R (reluctancia) i (intensidad) - @ (flujo magnético)

La reluctancia es, por tanto, una medida de la 'resistencia" que presenta el circuito magnético o parte del mismo a la "circulación" de un flujo de campo magnético. La analogía con el circuito eléctrico puede emplearse para el análisis de circuitos magnéticos complejos, siendo posible la combinación de reluctancias en serie y en paralelo de la misma forma que era posible la asociación de resistencia, la figura 2-3 sugiere dos disposiciones, serie y paralelo respectivamente, para dos circuitos magnéticos diferentes así como sus dos circuitos eléctricos análogos.

i

Figura 2-3. Asociaciones serie y paralelo en circuitos magnéticos.

16

2.3.- Parametros eléctricos en los elementos magnéticos

2.3.1.- Elementos magnéticos: bobinas

Tal como se ha expuesto al principio, bobinas y transformadores están presentes en la mayoria de los circuitos electrónicos de potencia. De modo amplio, se puede decir que las bobinas son dispositivos almacenadores de energía y como tales son empleados para conseguir el filtrado de formas de onda conmutadas, la generación de corrientes o tensiones senoidales en circuitos resonantes, la limitación en la velocidad de variación en las corrientes o circuitos de protección, corrientes de arranque o transiciones limitadas, etc.

El parametro fundamental que define una bobina es su inductancia, cuyo significado físico y valoración sera establecido a continuación.

2.3.1.1.- Inductancia

El flujo magnético que atraviesa un circuito eléctrico aislado es función de la Forma geométrica del circuito, y dependiente de la intensidad de corriente en el propio circuito. Por tanto, para un circuito estacionario rígido, los cambios de flujo resultan de cambios en la corriente. Lo anterior se puede expresar como:

d A d A di dt di di _=_._

Donde h es el flujo de enlace total. Ver ecuación (2.4)

Se define la inductancia o coeficiente de autoinducción (L) como la relación:

d;l L=- di

(2.15)

(2.16)

Esta magnitud se mide en Henrios siendo:

1 Henrio = 1 Weber/l Amperio

Si la relación entre h y la corriente que causa el campo magnético es lineal, la inductancia es una constante:

A N . Q , L=-=- i i

De la anterior expresión y de la ley de Faraday (2.2) se puede obtener: di e = -L- dt

que resulta ser una expresión de importancia practica considerable.

(2.17)

(2.18)

17

Según se había expuesto con anterioridad, una bobina es un elemento de circuito que almacena energía en forma de campo magnético, siento la inductancia una medida de esa capacidad de almacenamiento de "energía magnética":

(2.19)

De la expresión anterior, se deduce que para una misma evolución de la corriente, a mayor inductancia, mayor cantidad de energía almacenada.

De la expresión (2.17) también se deduce que para la obtención de la inductancia de una bobina u otro circuito cualquiera, se hace necesario determinar el flujo total de enlace generado por una determinada corriente que circula por el propio circuito, para posteriormente, dividir ese valor por el de la corriente.

En los casos prácticos, para obtener la inductancia, no se hace necesario determinar de manera exacta el campo magnético generado, sino que se puede suponer con la suficiente precisión, que el campo sigue unos caminos dados, que presentan unas áreas transversales determinadas, sobre las cuales el campo es uniforme, es decir unos determinados tramos del circuito magnético total.

De las ecuaciones (2.13) y (2.17) también se puede obtener una relación de interés:

N2 L=- R

(2.20)

R es la reluctancia del circuito magnético de la bobina y se puede decir que depende de manera exclusiva de la geometría y de las propiedades magnéticas del material sobre el que se establece el circuito magnético según se puede apreciar en la expresión (2.12). El termino N2 resulta ser un factor de escala para la inductancia.

Por tanto, la reluctancia y su inversa, denominada permeancia (P) resultan de gran utilidad en el análisis de estructuras magnéticas complejas:

1 p = - R

(2.21)

En el caso de que en el circuito magnético se mantengan constantes las dimensiones geométricas y el material:

(2.22)

Según se había expuesto con anterioridad al hablar de los circuitos electromagnéticos, la analogía va a permitir determinar la inductancia cuando se emplean formas magnéticas variadas y complejas si se establecen las reluctancias de las trayectorias"preferidas" por las líneas de campo. El flujo seguirá los caminos de baja reluctancia ofrecidos por los materiales de alta permeabilidad antes que los caminos de alta reluctancia que brinda el aire, de manera análoga a la circulación de corriente a través de los cables conductores y no por el aire circundante de un circuito eléctrico.

18

sin embargo, existe una diferencia fundamental entre el comportamiento de un circuito eléctrico Y el de uno magnético: un circuito eléctrico se realiza con hilos de cobre u otros materiales conductores cuyas conductividades son mayores en unos doce Órdenes de magnitud que el aislante o el aire que lo rodea, mientras que un circuito magnético está hecho con materiales cuyas permeancias son sólo unos pocos Órdenes de magnitud superiores a la del aire del entorno, de hecho el aire forma parte frecuentemente del circuito magnético. Por tanto, una cierta cantidad de flujo circula fuera del camino magnético definido por el material y se cierra sobre sí mismo a través de trayectorias alternativas por el aire. Este flujo se conoce como flujo de dispersión fuera del circuito magnético y en una primera aproximación se puede suponer despreciable.

A partir del circuito magnético, resulta posible obtener la inductancia de una bobina realizada a partir de un determinado núcleo, como el que muestra la figura 2-4.

Se asume, en primer lugar que la permeabilidad del material del núcleo es mucho mayor que las del espacio libre con lo cual todo el campo magnético se supone encerrado en el núcleo. Éste constituirá por tanto el circuito magnético que puede dividirse en tres partes: la columna central, la rama derecha que consta de dos segmentos horizontales y uno vertical y la rama izquierda que es simétrica a la anterior. Los dos circuitos magnéticos por los que se cierra el flujo están definidos de manera clara y se puede establecer la analogía eléctrica según se muestra en la figura 2-4. La permeancia 0 reluctancia de cada rama depende sólo, según se viene insistiendo, de la geometría y de las propiedades del material del núcleo. Por lo tanto como aproximación se pueden obtener:

e =- &.A , (2.23)

K.4 (2.24)

,

', p2 =-

1, + 21,

Figura 2-4. Circuito magnético y su analogía eléctrica: (a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equwalente.

19

Resolviendo el circuito eléctrico análogo, y de (2.13) y (2.21) se obtiene:

Y de (2.17) N . O I _ 2 . A, , A, .,!ic. N 2 L, =- -

i 2 4 ~ l , + A , ( i , + 2 l 2 )

(2.25)

(2.26)

Para simplificar la determinación de la inductancia de una bobina dada, sin tener que calcular la reluctancia (tal como se ha indicado en el ejemplo anterior) para cada una de las formas geométricas posibles de núcleos magnéticos empleados, los fabricantes de núcleos, suministran para cada caso un parametro denominado factor de reluctancia (A,) que corresponde a la inductancia referida a una vuelta para el núcleo y material especificado. Por tanto, el factor de inductancia coincide con la permeancia puesto que

L = A , . N ~ (2.27)

La inductancia obtenida en el ejemplo anterior es linealmente dependiente de la permeabilidad del núcleo que se ha supuesto constante. Sin embargo, esta es una aproximación que puede ser errónea si se tiene en cuenta que esa permeabilidad depende del valor del flujo magnético. Para independizar ese valor de la inductancia de las variaciones de pLc, se incluye en ocasiones un entrehierro en el circuito magnético según se describe a continuación.

2.3.1.2.- Efecto de un entrehierro

La presencia de un entrehierro en un circuito magnético hace menos dependiente a la inductancia del nivel del flujo y aumenta la densidad de energía almacenada en la estructura según se puede observar con el siguiente ejemplo.

Supóngase ahora una bobina en un núcleo con entrehierro como el que aparece en la figura 2-5.

La reluctancia de los tramos de núcleo y entrehierro serán respectivamente:

g RE =- POA

La inductancia será por tanto:

(2.28)

(2.29)

(2.30)

20

(a) (b)

Figura 2-5. Bobina en núcleo con entrehierro: (a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equivalente

si se verifica

(2.31)

lo cual puede darse de manera habitual puesto que ve >> po, entonces la inductancia no depende de las propiedades magnéticas del material y por lo tanto:

po. A . N ~ L = , (2.32)

Es frecuente intercalar un entrehierro para hacer que la inductancia sea predecible y estable ante variaciones de la temperatura, nivel del flujo o modificaciones en la Fabricación que afectan a las propiedades del material magnético, aun a costa de disminuir la inductancia del conjunto.

Los cálculos realizados hasta'ahora, con o sin entrehierro, se efectuaron asumiendo que todo el flujo que atraviesa el devanado está circulando a través del núcleo o del volumen definido por el mismo. Sin embargo, tal y como se ha comentado, debido a los pocos Órdenes de magnitud de diferencia existentes entre el entorno y el núcleo, aparece siempre un flujo de dispersión. Además, la existencia de un entrehierro hace que el flujo a traves del mismo incluya una componente adicional por la existencia de un "abombamiento" que extiende y amplia la sección efectiva atravesada por el flujo en esa zona. Ambos efectos incrementan el valor calculado pata la inductancia en el supuesto de que todo el flujo esté contenido en el núcleo y que el flujo en el entrehierro es perpendicular a las caras que lo limitan.

DGITl CENIDET

' CENTRO DE INFORMACION

21

lSEP

(a) (b)

Figura 2-6. Flujo de dispersión y en el entrehierro: (a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equivalente

La figura 2-6(a) ilustra esa situación, apareciendo un flujo de dispersión OI respecto al circuito magnético y un flujo en el entrehierro @, que no se ajusta a la sección principal del circuito magnético.

El circuito eléctrico que aparece por analogía se representa en la figura 2.6(b). La reluctancia del entrehierro es ahora R,, menor que la correspondiente al ejemplo anterior, debido a la nueva distribución del flujo en el espacio del entrehierro. El flujo de dispersión "circula" a través de la rama RI en paralelo con la fuente.

La inductancia de una bobina realizada sobre este núcleo será pues:

(2.33)

E l valor de esta inductancia resulta ser mayor que el obtenido en la expresión del

La importancia de esta modificación depende de las dimensiones relativas del núcleo y del entrehierro, si éste es mucho menor que las dimensiones de los lados de la sección transversal, la modificación resultara mucho menos significativa. En otros casos en los que se necesite una mayor precisión, se debería valorar el flujo en cada punto mediante un análisis numérico, de elementos finitos por ejemplo.

En ciertas formas geometricas y para determinados núcleos, los fabricantes ya tienen prevista la necesaria inclusión y ajuste de un entrehierro.

Núcleos como el mostrado en la figura 2-7, del tipo denominado RM, disponen de una holgura (S) en el montaje de las dos partes que constituyen el conjunto que representa el entrehierro máximo posible. Sobre un hueco central vertical existente, puede entrar un tornillo con recubrimiento plástico e interior de material magnético de manera que se permite efectuar el ajuste del entrehierro en función de la mayor o menor introducción e n el hueco y por tanto de la ocupación con material magnético del entrehierro inicial.

ejemplo, (2.32).

22

\ 5.1 / 024.7:,,

>IO.@

-=5.,.3-

4

(a) ( b )

Figura 2-7. Núcleo RM con entrehierro ajustable': (a) Vista superior, corte transversal y ( b ) accesorios.

8 , I N vuelios I 1. ..-- I

La modificación del valor de la inductancia, también se puede suministrar por medio de unas curvas las cuales. se grafican en función del número de vueltas dadas al tornillo de ajuste, la variación porcentual de la inductancia referida al valor mínimo correspondiente al entrehierro máximo.

2.3.1.3.- Bobinas con núcleos abiertos

En ciertas aplicaciones, como en el caso de las bobinas de las fuentes de alimentación que trabajan con un nivel de continua elevado, para evitar la saturación del núcleo magnético, se hace necesario el empleo de bobinas con núcleos abiertos, es decir bobinas en las cuales el "recorrido" del flujo magnético se verifique en gran medida por el aire como ilustra la figura 2-8.

Figura 2-8. Bobina con núcleo abierto.

' Cortesía de Ferroxcube

23

La determinación de la densidad de flujo magnético en el interior de la bobina se puede determinar a partir de la ley de Bio-Savart (2.2), extendiendo la integración a toda la bobina.

Procediendo de ese modo, se obtiene en el centro de la bobina una densidad de flujo:

mientras que en un extremo de la bobina se tiene, por el mismo método:

p . N . I 2 m

B =

(2.34)

(2.35)

Esta reducción se debe a la fuga de flujo cerca de los extremos del solenoide, de manera que si I es lo suficientemente grande, se puede considerar 6 como constante e igual al valor en el centro del solenoide.

Por tanto, la inductancia correspondiente será:

N . B . A p. N 2 .z. R2 - L = I - Jm

y en el caso habitual de que I >> R entonces se puede tomar como aproximación:

(2.36)

(2.37)

Si en el centro del solenoide no existiera un núcleo magnético sino un “núcleo de aire” todas las trayectorias de campo se describirían por el aire y se debería de sustituir en la anterior expresión la permeabilidad p por la correspondiente al vacío pa.

2.3.1.4.- Energía almacenada en una bobina

La expresión (2.38) permite determinar la energía magnética almacenada en una bobina en términos del campo magnético existente en la misma, de manera que se cumple:

1 2

W =- B . H .dV (2.38)

siendo V el volumen en el cual existe campo magnético. Si se dispone de un núcleo sin entrehierro y se supone la permeabilidad constante y uniforme, se verifica además:

w=- B2Vc 2P

donde V,, es el volumen del núcleo en el que se supone se encierra todo el flujo.

(2.39)

24

Si el núcleo dispone de entrehierro, el volumen de integración deberá incluirlo. Debido a la ley de divergencia, el valor de la densidad de flujo B, deberá de mantenerse a lo largo de las líneas de campo aunque se produzcan variaciones en la permeabilidad p. Se puede expresar por tanto, la energía total almacenada como suma de la energía almacenada en el núcleo y la energía almacenada en el entrehierro:

(2.40)

Admitiendo como aproximación que las secciones transversales atravesadas por el flujo en el núcleo y el entrehierro son iguales, la relación entre energías almacenadas en uno y otro resulta ser:

w, - PCg (2.41) T Po4

Para un núcleo magnético se verifica de manera habitual:

(2.42)

con lo cual la relación (2.41) resulta ser mucho mayor que uno, es decir la gran mayoría de la energía almacenada en la bobina se encuentra en el entrehierro hasta el punto de poder considerar:

(2.43)

La densidad de energía en el entrehierro por el volumen del mismo nos proporciona una buena aproximación de la energía total almacenada en una determinada inductancia.

Si el núcleo fuera de hierro, que suele presentar una densidad de flujo máximo de 1.4 Teslas, la densidad de energía máxima en el entrehierro sería:

(2.44)

Sin embargo, si el núcleo es de ferrita, la densidad de flujo maxima es típicamente de 0.3 Teslas, la densidad de energía maxima sería sólo de 0.05 J/cm3.

Cuando se diseña una bobina, los valores de la corriente y la inductancia de la misma, determinan la energía total almacenada y conocida la densidad maxima en el entrehierro, resulta inmediata la determinación del volumen necesario de éste.

2.3.2.- Elementos magnéticos: transformadores

En una primera aproximación, se puede decir que un transformador es un conjunto de dos o mas bobinas acopladas entre sí a través de un circuito magnético común, es decir dos o mas devanados enlazados por un flujo común. La figura 2-9 muestra por tanto un transformador de dos devanados.

25

Figura 2-9. Transformador de dos devanados.

El núcleo del transformador es el que suministra el circuito magnético de baja reluctancia a través del cual "circula" la gran parte del flujo generado por los devanados.

Los transformadores, dentro de los circuitos electrónicos de potencia, se emplean con muy diversos cometidos y características. En baja frecuencia (50 Hz, 60 Hz o 400 Hz) los transformadores de potencia se realizan con núcleos de chapas de acero laminado y su finalidad es elevar o reducir la tensión de linea, conseguir aislamiento eléctrico o lograr desplazamientos de fase en sistemas polifasicos. En alta frecuencia, el transformador hace posible el aislamiento y la modificación de tensiones. En las aplicaciones de alta frecuencia los fabricantes emplean mezclas de polvo de hierro o ferritas con la finalidad de reducir las pérdidas en el núcleo.

En otras ocasiones, es preciso emplear transformadores para efectuar el mando en la compuerta o en la base de los dispositivos de control de potencia. También son usados en ciertos casos como sensores de tensión o corriente en sistemas realimentados.

2.3.2.1.- El transformador ideal

Se dice que los devanados de un transformador de dos bobinas están perfectamente acoplados si ambos se encuentran atravesados por el mismo flujo de enlace y éste es el único que los atraviesa. En ese caso, la tensión inducida por vuelta es la misma, siendo además la tensión en cada devanado directamente proporcional a su número de espiras.

26

(2.45)

El origen del campo magnético en el transformador es la suma algebraica de las f.m.rn. producidas por cada uno de los devanados. Se emplea el convenio de puntos para indicar la polaridad de los devanados, de manera que si las corrientes son entrantes por los puntos señalados (terminales correspondientes), los flujos generados por ambos se suman, tómese como ejemplo el transformador de la figura 2-10 en la cual, la aplicación de la regla de la mano derecha nos indica cuales son las terminales correspondientes.

La intensidad del campo magnético se puede obtener a partir de la ley de Ampere (2.2):

H = NI i, + N2 i2 (2.46)

1,

Si la permeabilidad del núcleo fuese infinita, H debería ser cero para evitar que la densidad de flujo magnético B fuese infinita. Pero la condición de nulidad de H se verifica si la suma de f.m.rn. es cero, es decir:

(2.47)

Los sentidos de las corrientes son opuestos: uno entrante y otro saliente de "terminal con punto".

La impedancia "vista" desde las terminales de entrada, (correspondientes ai devanado 1) supuesta una señal senoidal en los mismos, corresponde a la relación entre su tensión y su corriente, por tanto a partir de las expresiones (2.45) y (2.47):

(2.48)

En la figura 2-10 se ilustra el caso de una impedancia de carga de valor Z2 situada en el secundario que podría reemplazarse a efectos del primario por una impedancia equivalente Z1 del valor indicado por (2.48).

Nl:N2

ZI

'1-1 2, r v, v,

-

Figura 2-10. Impedancia referida al primario

27

Las ecuaciones (2.45) a (2.48) describen el comportamiento de un transformador ideal. Un transformador real difiere del ideal en tres aspectos fundamentales:

1.- Las tensiones no responden exactamente a la relación (2.45) puesto que no todo el flujo que atraviesa uno de los devanados cruza el otro, debido a la existencia de un flujo de dispersión.

la permeabilidad es finita con lo que la relación (2.47) tampoco es totalmente cierta. Es necesaria una f.m.m. total no nula para crear un flujo en el núcleo, la corriente necesaria para crear ese campo se denomina corriente magnetizante.

Las relaciones (2.45) y (2.47) expuestas no dependen de la frecuencia pudiendo trabajar en continua, pero este no es el caso de un transformador real.

A pesar de estas diferencias, la aproximación del transformador ideal resulta muy

2.-

3. -

Út i l en el modelado de los transformadores reales.

2.3.2.2.- Inductancia magnetizante

Tal y como se ha dicho, para que dos devanados se encuentren acoplados magnéticamente deberá de existir un flujo que los atraviese a ambos, normalmente uno de ellos genera una densidad de campo B que enlaza al otro devanado. Sólo en el caso hipotético de permeabilidad infinita puede existir densidad de flujo B sin intensidad de campo H (2.6) y por tanto con f.m.m. total nula. La mayor aproximación se obtendrá empleando un núcleo sin entrehierro y alta permeabilidad. En ese caso, lo que se tiene desde uno de los devanados, si el otro se encuentra en circuito abierto, es simplemente una inductancia de valor muy elevado (pero finito) denominada inductancia magnetizante. En Función de cual sea el devanado desde el que se mide la inductancia magnetizante, ésta puede tomar dos valores distintos que estarán relacionados entre si por el cuadrado de la relación de espiras.

La figura 2-11 muestra un transformador con acoplamiento perfecto pero con una inductancia magnetizante finita L, que se sitúa en paralelo con el transformador ideal correspondiente.

Figura 2-11. Modelo con inductancia magnetizante.

28

~~

La inductancia magnetizante podría situarse en cualquiera de los dos lados del transformador ideal. La corriente que circula a traves de esa inductancia (i,,,), se denomina corriente magnetizante y es la causante de que la expresión (2.47) no sea exacta debido a la necesidad de que la f.m.m. total generada por los dos devanados sea no nula.

El calculo de la inductancia magnetizante de un transformador se obtiene por el mismo procedimiento de calculo de inductancias visto con anterioridad, si se considera Únicamente el devanado primario o el secundario y se mantiene el otro en circuito abierto.

2.3.2.3.- La inductancia de dispersión

Como ya se había comentado a la hora de hablar de los circuitos magnéticos, existe la posibilidad de que no todo el flujo generado por uno de los devanados circule por el circuito magnético y atraviese el otro devanado. Existe una porción de flujo que atraviesa el aire y no enlaza los dos devanados, lo que provoca un acoplamiento imperfecto entre devanados.

A la hora de incluir esta circunstancia en el modelo de un transformador real, se incorporan unas inductancias de dispersión en serie con las terminales de entrada y de salida tales como bl y Ld2 en la figura 2-12.

Por tanto, la relación de tensiones primario/secundario difiere de la dada por la expresion (2.45) debido a las ”caídas de tensión” existentes en las dos inductancias de dispersión.

La dispersión del flujo fuera del circuito magnético presenta un efecto más importante en los transformadores que e’n las bobinas. En éstas últimas, el único efecto es el aumento en el valor previsto, mientras que en el otro caso, se interfiere el funcionamiento básico del transformador. Por tanto sera necesario conocer el motivo de la dispersión del flujo en un transformador para realizar un diseño más efectivo. En la mayoría de las ocasiones se pretenderá minimizar ese parámetro, puesto que aparte de la discrepancia con la expresión (2.45) la inductancia de dispersión puede provocar la aparición de sobretensiones indeseadas en los dispositivos de conmutación ai intentar cortar de manera brusca la corriente que circula a través de ellos.

Figura 2-12. Modelo con inductancias de dispersión.

29

Ese seria el caso del convertidor CD/CD mostrado en la figura 2-13, donde la inductancia de dispersión se sitúa de manera directa en serie con el interruptor.

En caso como el de los convertidores resonantes, puede ser oportuno tener ajustado ese valor con la finalidad de incluir la inductancia de dispersión en la inductancia resonante (figura 2-14).

En cualquier caso, resulta evidente que en todas las aplicaciones se necesita tener controlado este parámetro.

La determinación de la inductancia de dispersión puede efectuarse por un procedimiento de medida, si se dispone ya del transformador, o por un procedimiento analítico a partir del detalle constructivo y disposición de los devanados. Este procedimiento será de mayor interés si se pretende realizar el ajuste de manera previa a la materialización del transformador, como ocurre en la mayoría de los casos.

Figura 2-13. Convertidor PWM de topología flyback.

Figura 2-14. Convertidor de interruotor resonante.

30

2.4.- Magnetización, permeabilidad relativa y susceptibilidad magnética

Si se considera el toroide de la figura 2-15(a), aplicando las leyes y ecuaciones mostradas anteriormente la densidad de flujo magnético 6 en el toroide será:

NI Bo = Po T (2.49)

Sin embargo, si se mide en el toroide de la figura 2-16(b), se obtiene una densidad de flujo mayor de la esperada.

Debe existir por tanto otra fuente de flujo magnético en el material que provoque dicho aumento. Dado que, para el caso del aire la fuente del campo magnético era una corriente, este flujo total B, puede expresarse en la forma:

N I

B = /io -(I + I,,,) = /io (2 .50 )

donde H es el campo producido por la corriente exterior I, M es el campo producido por el propio material magnético. I,,, representa al campo adicional M, conocido como magnetización o imanación.

Aire Núcleo

(a) (b)

Figura 2-15. Devanado toroidal: (a) con núcleo de aire y (b) con núcleo magnético,

31

Por analogía con el caso de núcleo de aire, donde:

B = poH (2.51)

para el caso de materiales magnéticos, en los que:

B = po(H + M ) = p0 I +- ( se define la permeabilidad como:

P = Po (1 +$) y la permeabilidad relativa como:

(2.52)

(2.53)

(2.54)

La relación adimensional M/H se conoce como susceptibilidad magnética X,, y da una medida del grado de imanación de un material por efecto de H. Es decir:

M = XmH (2.55)

j I r=l+xm (2.56)

2.5.- Materiales diamagneticos, paramagnéticos Y ferromagnéticos

Si se introducen como núcleo, en el toroide de la figura 2-16, varios materiales, se

a) Para unos materiales la B obtenida es ligeramente menor a la obtenida con núcleo de aire. Su susceptibilidad magnética sera por tanto negativa. A estos modelos se les denomina diamagnéticos.

b) En otros materiales la 6 observada es ligeramente superior que en caso de núcleo de aire. Su susceptibilidad magnética es positiva. Dichos materiales se denominan paramagnéticos.

c) Por Último, para algunos materiales la B obtenida es muy superior a Bo. Estos materiales, que se denominan ferromagnéticos, presentan además la peculiaridad de que dicho efecto (B>>B,) desaparece a partir de una temperatura denominada temperatura de Curie Te..

observan tres distintos efectos:

32

PARAMAGNÉTICO

DIAMAGNÉTICO

FERROMAGNÉTICO

Temperatura de Curie

La permeabilidad de los materiales usados para diseño de elementos magnéticos, como las ferritas, varían con la temperatura generalmente hasta un valor máximo y decae rápidamente hasta un valor de 1. La temperatura a las cual ocurre esto se llama temperatura de Curie. Es decir, en la temperatura Curie, el material del núcleo pierde SUS características magnéticas

Material Susceptibilidad Mg 1.2 x 10-5 Ai 2.2 x 10-5 Pt

3.6 x 1 0 ~ 7 aire 01 2.1 10-6 Na -0.24 x 10-5 cu -1.0 x 10-5

-2.2 x 10-5 diamante -3.2 x 10-5 Hg

Hz0 0.9 10-5 Fe (cristales) 1.4 x lo6

3.6 x

hojas para transformador 7 x lo4 cristales 3.8 x lo6

Si-Fe Si-Fe

p-metal 105

2.6.- Dominios magnéticos

Por debajo de la temperatura de Curie, los momentos dipolares magnéticos de los átomos de materiales ferromagnéticos tienden a alinearse por si mismos en una dirección paralela en pequeñas regiones llamadas dominios magnéticos. Cuando un material ferromagnético es desimanado por enfriamiento lento desde encima de su temperatura de Curie, los dominios magnéticos se alinean aleatoriamente de forma que no hay ningún momento magnético neto para una muestra del material (figura 2-16). Los dipolos están alineados en cada dominio, pero los dominios están alineados aleatoriamente, por lo que la magnetización neta es cero.

Dominios Magnéticos

Figura 2-16. Dominios magnéticos en un material ferromagnético.

33

Rotacian de los dominios por M momentos de los rnagnetizacion

Rotacion de los

c 3 Más crecimiento

Crecimiento de los dominios

crecimiento de favorables y dominios- disrninucion de los

desfavorables

Distribución al

H

Figura 2-17. Crecimiento y rotación de dominios de un material ferromagnético al aplicarse una intensidad de campo ti.

Cuando se aplica un campo magnético externo a un material ferromagnético desimanado, los dominios magnéticos cuyos momentos están inicialmente paralelos ai campo magnético aplicado crecen a expensas de los dominios menos favorablemente orientados (fig. 2-17). El crecimiento del dominio tiene lugar por el movimiento de las paredes del dominio, como se indica en la figura 2-17.

Cuando el crecimiento del dominio termina, si el campo aplicado material ferromagnético desimanado al imanarlo hasta la saturación mediante un campo magnético aumenta sustancialmente, ocurre la rotación del dominio. La rotación del dominio necesita considerablemente más energía que el crecimiento del dominio, y la pendiente de la curva B o M frente a H decrece para campos altos para la rotación del dominio (fig. 2-17). Cuando se elimina el campo aplicado, la muestra permanece imanada, aunque se pierde algo de imanación debido a la tendencia de los dominios a rotar a su alineación original.

2.7.- Referencias

[ 11 Colonel Wm. T. MacLyman. "Transformer and Inductor Design Handbook". Editorial Board, 1988.

[2] luan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: "Elementos magnéticos en alta frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño". Universidad de Oviedo, España. Diciembre de 1993. Gijón, España.

Electromagnetics 1. "6-M-fie/d.pdff. CN Kuo, Fall 2003.

M.A. Planus. "Electromagnetismo aplicado". Editorial Reverté. 1992.

Fundamentals of Power Electronics. Robert Erickson. Segunda Edición. Universidad de Colorado. 2003

131

[4]

[SI

34

Fundamentals of Tape Wound Core Design Magnetics. Magnetics Corporation.

Lloyd H. Dixon. "Magnetics desing for switching Power supplies". Section 1 to section 5.

Lloyd H. Dixon. "Magnetic core properties". Unitrode Power Supply Seminar, 1990.

Magnetics Inc. Tecnicals Bolletin and Catalogs.

[lo] Peter Signell. "SELF-INDUCTANCE AND INDUCTORS". Michigan State University. M144.pdf.

[ll] R. Street. "Magnetism and Magnetic Materials". Dept. of Physics. The University of

[I21 Reitz and Milford. "Fundamentos de teoría electromagnética". Editorial UTEHA.

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1969.

1131 Reuben Lee, Leo Wilson and Charles E. Carter. "Electronic transformers and circuits". Editorial Wiley. Tercera Edición. 1988.

[ 141 Salvador Martinez Garcia. "Prontuario para en diseño eléctrico y electrónico". Marcombo Boixareu Editores. 1989.

[15] Soft Ferrites and Accessories. Soft Ferrites. 2002 Feb 01. H2OOZ.pdf.

[ 16) Thompson. "Inductance calculations techniques. Part 2 . Clasical methods". Power control and intelligent Motion. Vol 25, no 12. December 1999, pp 40-45. 1nd-pt-l.pdf.

35

36

Capítulo 3 Efectos a frecuencias mayores a 1 kHz

3.1.- Alta frecuencia

3.1.1.- Introducción

Los fenómenos que contribuyen en mayor medida a elevar las pérdidas como resultado de incrementar la frecuencia son: efecto piel, efecto proximidad, dispersión en el entrehierro y perdidas por histéresis en el núcleo. Estos fenómenos empiezan a ser significativos a frecuencias mayores a 1 Khz.

En general los efecto piel y proximidad son los responsables de las mayores perdidas de CA en los devanados, y sobre ellos se enfocan los esfuerzos por minimizarlos, sin embargo, cualquiera de estos fenómenos puede ser el predominante, ya que también dependen de la técnica de embobinado y terminado del elemento magnético.

En general las soluciones en l D , es una de las aproximaciones mas usadas para calcular las pérdidas en alta frecuencia, siendo suficiente para ernbobinados sencillos. Sin embargo, en situaciones de muy altas frecuencias y corrientes de excitación, es necesario tomar en cuenta los efectos en ZD, incluso 3D; requiriendo de software especializado (basado en Análisis de Elementos Finitos) para obtener resultados mas precisos.

3.1.2.- Corrientes de Eddy en el conductor

Los dispositivos magnéticos que operan en altas frecuencias incrementan sustancialmente las pérdidas en los conductores de los devanados y en el material magnético utilizado debido a los efectos de las corrientes de Eddy (corrientes inducidas). Los mecanismos que provocan corrientes de Eddy especificamente en conductores son llamados efecto piel y efecto proximidad. Estos efectos alteran la distribución de corriente y campo magnético entre los devanados lo cual resulta en un incremento en la resistencia de CA en función de la frecuencia.

37

El análisis de las perdidas en conductores operando en alta frecuencia no es una tarea sencilla. Cuando el embobinado es simple, una aproximación en 1D es suficiente para evaluar las perdidas en los conductores del devanado. Sin embargo, para estrategias de embobinados dificiles de analizar o el uso de frecuencias muy elevadas obligan a tomar en cuenta los efectos en 2D para predecir los efectos sobre las pérdidas. Se han propuesto factores de corrección a las soluciones en lD, para tomar en cuenta estos efectos. Cuando la complejidad es aun mayor, el análisis basado en elementos finitos a resultado ser una buena herramienta auxiliar.

3.1.2.1.- Efecto piel

El efecto piel es la tendencia de la corriente a fluir en una capa cercana a la superficie del conductor al incrementar la frecuencia. En bajas frecuencias este efecto es prácticamente despreciable, pero al elevar la frecuencia, esta redistribución de la corriente provoca que no se utilice toda el área disponible del conductor, incrementando su resistencia, y por lo tanto, las pérdidas asociadas.

En la figura 3-1 se muestra el efecto sobre la distribución de la corriente debido al efecto piel en un conductor aislado. Donde DS es la distancia desde la superficie del conductor hasta el punto donde se mide la densidad de corriente y Dw es el diámetro el conductor.

Esta distribución de corriente es producida en el conductor al circular una corriente i(t) variable en el tiempo la cual genera un campo magnético H(t) circular, tanto en el exterior del conductor como en el interior del mismo (figura 3-2). Este campo alterno (variable en el tiempo), de acuerdo a la Ley de Lenz, genera una corriente (corriente de Eddy) que trata de oponerse a la corriente que generó el campo original. Esto provoca que las corrientes tiendan a cancelarse al centro, disminuyendo la densidad y el campo magnético y se suman en las capas cercanas a la superficie, aumentando la densidad y el campo magnético. El resultado conjunto es una distribución de la densidad de corriente y campo magnético no lineal y variable con el tiempo. La corriente instantánea en el conductor no cambia, pero si su distribución sobre la sección del conductor; esto provoca que no se utilice la totalidad del area, incrementando las perdidas en el conductor (pobre utilización de cobre). Como las corrientes inducidas son proporcionales a las variaciones de la corriente principal, el fenómeno de redistribución de corriente incrementa sustancialmente con la frecuencia. En la figura 3-11 se muestra una comparación del campo magnético en baja y alta frecuencia y su efecto en la distribución de corriente en un devanado.

Densidad de corriente

Baja Alta

Figura 3-1. Distribución de corriente debido al efecto piel

38

t ill1

Figura 3-2. Corrientes de Eddy en el conductor: distribución del campo.

Se define como profundidad piel (6), a la distancia medida desde la superficie del conductor hasta el punto en que la densidad de corriente decae hasta l / e (.367) de su valor.

Para régimen sinusoidal la profundidad piel es :

6 = ~ 1 = \I- P (3.1) C W f Prrf

p es la permeabilidad ( p = pop,) , f es la frecuencia de la corriente sinusoidal y a la

conductividad, que también puede expresarse como o =

Para el caso de un conductor de cobre, la resistividad en función de la temperatura es:

. ;/p

pcu = 1.724[1+ .0042(T -20)]. 10-*52 - rnm (3.2)

Donde T es la temperatura del cobre:

La permeabilidad relativa del cobre esp, = I

Sustituyendo en (3.1), la profundidad piel del cobre es:

6 = 3 1 8 * J y .0394796+.00018102 2' en m y

A una temperatura de 100°C la profundidad piel es:

a=- 76 en mm J7

(3.la)

(3.lb)

39

Figura 3-3. Corte del conductor mostrando al área utilizada del conductor debido al efecto piel.

A pesar que la densidad de corriente decae exponencialmente desde la superficie del conductor, la resistencia en alta frecuencia (y las perdidas) para un conductor aislado pueden considerarse las mismas que para un conductor donde la densidad de corriente es constante desde la superficie hasta la profundidad piel, y cero en el resto del conductor (figura 3-3). El area sombreada muestra la densidad de corriente constante hasta la profundidad piel. R, es el radio del conductor, r, es el radio hasta la profundidad piel y 6 es la profundidad piel.

El area utilizada en alta frecuencia, incluyendo el efecto piel, se calcula considerando el concepto anterior, de la siguiente manera:

Área del conductor: A, = z * r c 2 Área sin utilizar: Ad =.or; Área cobre utilizada: A,. = A,-% = z * ( r r 2 - r ; ) = 2 x 6 * ( r c - 6 )

Donde rc es el radio del conductor, S la profundidad piel y r, = r, - 6 , el radio del área sin utilizar.

La resistencia del conductor es:

p es la resistividad, I la longitud y A. el area de cobre utilizada a la frecuencia de la corriente que circula a traves del conductor. Claramente se observa en esta Última ecuación la dependencia de la resistencia y de las perdidas, de la frecuencia de trabajo, en el termino S . La gráfica de la figura 3-4 muestra esta variación en un conductor en función de su radio y de la frecuencia considerando la ecuación anterior.

1

Figura 3-4. Gráfica de la variación de la resistencia del conductor en función del radio y de la frecuencia.

40

3.1.2.2.- Efecto proximidad

AI colocar un conductor aislado sin corriente neta circulando a través de él, en una región donde existe un campo magnético externo, variable en el tiempo, se inducen corrientes similares que producen el efecto piel como se observa en la figura3-5.

L c a e

a) b)

Figura 3-5. Corriente inducida en un conductor aislado: (a) Conductor inmerso en una región donde existe un campo H(t) y

(b) corte transversal del conductor, mostrando las corrientes inducidas.

En este caso las líneas de campo variables que atraviesan la sección del inductor inducen unas corrientes en el mismo, las cuales producen un campo que trata de oponerse al campo exterior. En la figura se muestra el efecto causado en un conductor circular, y las corrientes inducidas. Estas corrientes producen perdidas aún si el conductor no llevara corriente propia circulando a través de él.

Para el caso de que el conductor llevara una corriente neta, este efecto produce también una re-distribución de corriente, incrementando las perdidas con la frecuencia y reduciendo el area transversal del conductor (figura 3-6).

camir*i< I CmdYrm<Z

U o "1)

(a) (b) Figura 3-6. Efecto proximidad en conductores cercanos:

(a) Corrientes inducidas y (b) re - distribución de corriente.

41

,,. , . .. ,

Este efecto, llamado prox'imidad, se produce en los conductores que lleven corriente variable en el tiempo, sujetos a campos externos variables en el tiempo, como es el caso de los conductores en los devanados de un dispositivo magnético y ocurre de manera simultánea con el efecto piel, ambos causan un re-distribución de corriente, disminuyendo el área transversal del conductor, aumentando la resistencia, por lo que las perdidas aumentan con la frecuencia.

3.1.2.3.- Análisis de las corrientes de Eddy en una dimensión (1D)

El análisis en 1D es una técnica de gran ayuda para entender la distribución de campo en los componentes magnéticos, además de que permite obtener aproximaciones muy Útiles de sus efectos en las pérdidas en alta frecuencia.

En el análisis aproximado en 1D se asume que una dirección principal donde el campo cambia y las componentes en las otras dos direcciones son constantes o nulas.

A continuación se presenta el análisis para el caso de un conductor aislado tipo lámina, para después extender el resultado a un embobinado con múltiples capas de conductor. AI final se presentan los resultados obtenidos para el caso de conductores circulares aislados, y en devanados en transformadores e inductores.

3.1.2.4.- Conductor aislado tipo lámina

Consideremos la sección transversal de un conductor aislado tipo lámina como se muestra en la figura 3-7. Se asume que el conductor lleva una corriente pico I fluyendo en la dirección 2 (densidad Jz), y que tiene un grosor h mucho más pequeño que su ancho w (h<<w). El conductor es parte de una espira infinita por lo que su curvatura en el eje z es despreciable y los efectos de terminado pueden ser.ignorados. Esto implica que el campo magnético es siempre perpendicular al flujo de corriente y paralelo a la superficie plana del conductor (Hx).

Ill2 - x

-h/2 H X . W . Figura 3-7. Sección transversal de un conductor aislado tipo lámina. Hx es la componente sobre el

eje x de la intensidad de campo H, h es el grosor del conductor y w el ancho.

Dado que la corriente es en la dirección Z, la ecuación de intensidad de campo magnético puede ser escrita como:

L V2H = j o a p H , = j - H , = a 2 H , 62 (3.4)

Donde w=2rrf es la frecuencia en radianes de la corriente sinusoidal, U es la

conductividad (yp) del conductor, p es la permeabilidad, j f i , 6 es la profundidad

piel, y a se define como:

42

a=- i+j 6

La solución general de la ecuación (3.4) tiene la forma:

(3.5)

H , = H,e"" + H,e-"' (3.6)

Donde H i y H2 son constantes que pueden ser encontradas por las condiciones de frontera:

Por tanto la solución para el campo magnético, usando funciones hiperbólicas:

La densidad de corriente puede ser hallada usando la ecuación de Maxwell,

Las pérdidas por unidad de longitud, debido al efecto piel Pr, se calcula como: h -

I 2 s i n h A + s i n A 2 W P, =- fIJ:ky=- 2a __ h 4 ~ 0 6 C O S h A -COS A

2

(3.10)

Donde A es la dimensión definida como:

A = - h (3.11) S

Para el caso de que el conductor no llevara una corriente neta, pero estuviera en una región donde existe un campo magnético H,cos(wt) , la intensidad de campo magnético y la densidad de corriente son:

cosh(ay) cosh(a x)

sinh(ay) cosh(a x)

H , = H e

J , = aHe

(3.12)

(3.13)

En este caso el efecto piel no esta presente, así que las pérdidas por unidad de longitud debido al efecto proximidad fD es:

h - W 2 wH: s inh A -sin A 2a h OS cosh A +cos A

P,=- I(J:Iy=-* _ _

2

(3.14)

Las perdidas por efecto piel y proximidad están desacopladas debido a la inherente ortogonalidad reconocida por Ferreira [14]. Por tanto para un conductor tipo lámina conduciendo una corriente y en una región con campo magnético perpendicular a la corriente, las pérdidas por conducción por unidad de longitud son:

sinh A -sin A cosh A +cos A

F, = A *

(3.16)

(3.17)

Is y Ip son las densidades de corriente producidas por los efectos piel y proximidad y Js* y Jp* son los conjugados respectivos. Rdc es la resistencia por unidad de longitud, Irms es el valor RMS de la corriente que fluye en el conductor, Fi es el factor multiplicativo del efecto piel y F2 del efecto proximidad. Las graficas de la figura 3-8 muestran el valor de estos factores en función de A (variable con la frecuencia) A representa la relación del grosor del conductor con respecto a la profundidad piel (3.11). Las perdidas aumentan conforme A aumenta, ya sea ai variar el grosor del conductor y mantener la profundidad piel fija (frecuencia fija) o al mantener un grosor de conductor fi jo y variar la profundidad piel (variar la frecuencia). Se observa que las perdidas por efecto proximidad (F2) son más significativas para valores más altos de A, y al depender del cuadrado de la intensidad de campo magnético H, son las más significativas en regiones de campos intensos como ocurre en los devanados de los elementos magnéticos. Más adelante se extenderá el resultado para conductores tipo redondo y devanados de varias capas,

A A

Figura 3-8. Grafica de los factores F, y Fz en función de A

3.1.3.- Distribución de campo

Los efectos anteriormente descritos fue para el caso de un conductor aislado. Como vimos ambos se producen simultáneamente en los devanados de los dispositivos magnéticos, por lo que ahora describiremos sus efectos en los mismos. Para este caso, se considerara que el campo es unidimensional (lD), como se muestra en la figura 3-9.

44

Anollsmlonto dol pilmarlo Amollamlenm del secundario

po*Icla"

Figura 3-9. Estructura 1D de un transformador, tres capas en el primario y tres capas en el secundario con su distribución de campo entre los devanados.

Para simplificar el estudio, se consideraran devanados de tipo lamina, similar al caso del conductor aislado anterior, que se extienden en toda la altura de la ventana, se desprecia la curvatura del embobinado. Para este caso h=d. Y Para la conversión de conductor cuadrado a lamina:

h d 6 6

A =- & =- &

Nd

(3.18)

W ,

Figura 3-10. Conversión de conductor redondo a lamina equivalente. d es el ancho del conductor tipo lamina y (T su conductividad .

Donde D es el diámetro del conductor redondo y w la altura del devanado de N conductores. a, es la conductividad del conductor tipo lámina de altura wf. q es el factor de porosidad.

45

Para el caso de devanados con conductores redondos, se realiza una conversión lámina equivalente. Primero se convierten los conductores redondos a por conductores cuadrados con la misma área transversal. Estos conductores se unen posteriormente en una Única lamina conduciendo la suma de las corrientes por cada uno de ellos y por ultimo se extiende esta lámina a toda la altura de la ventana (figura 3-10).

(3.19)

3.1.3.1.- Distribución de campo en baja frecuencia

Para el caso de baja frecuencia, considerando la estructura anterior, se obtiene la distribución de campo de la figura 3-11(a), la cual corresponde a un transformador con 3 capas de primario y tres capas de secundario. El campo es despreciable en el material magnético debido a su alta permeabilidad. La densidad de corriente es constante en toda la sección de los conductores por lo que el campo varia linealmente dentro de los devanados y permanece constante en el espacio entre ello. El efecto pelicular y proximidad prácticamente son despreciables.

3.1.3.2.- Distribución de campo en alta frecuencia

Considerando la misma estructura, la distribución de campo en alta frecuencia se anula en el interior de los conductores, debido a los efectos piel y proximidad y decae a cero en las proximidades del conductor. Para que esto sea posible, una corriente de la misma magnitud es inducida en el devanado siguiente, lo que provoca la anulación entre las capas (figura 3 - l l b ) .

Capa6 del pnrnano Capas del secundario --

.. .. poriian

(b)

Figura 3-11. Distribución de campo: (a) Baja frecuencia y (b) alta frecuencia.

46

~

Analicemos las pérdidas en los devanados. En la figura 3-12 tenemos un transformador con tres capas de primario y tres de secundario, conduciendo una corriente I. Los devanados son de tipo lamina (similar al caso de un conductor aislado). En cada capa circula una corriente neta I. Distribución de corriente debido al efecto proximidad.

0 2 0 3ul 2 0

Figura 3-12. Transformador con 3 capas d e primario y 3 d e secundario.

Siguiendo la figura 3-12, empecemos con el primer devanado del primario. Las perdidas en CA de la capa uno, considerando que tiene una resistencia R,,, que incluye los efectos debido a la frecuencia y es del mismo valor para cada capa, son:

4 = 12R,, (3.20)

Para la segunda capa, debido al efecto proximidad, se induce una corriente, en sentido contrario, en la parte izquierda del devanado, de valor -I. Como la corriente neta no cambia ya que es el mismo devanado, una corriente de magnitud 21 es inducida en la zona derecha del devanado para mantener el valor de corriente I. Por tanto las pérdidas totales son:

P, =(-I)2R,,+(2/)2R,, =512R,, =54 (3.21)

Para la tercera capa se induce una corriente de valor -21 por la parte izquierda. Para mantener la corriente neta I, una corriente de 31 es inducida en la parte derecha. Las perdidas son:

P, =(-21)2R,,,+(31)2R,,, =1312R,, =134 (3.22)

Las pérdidas totales en el devanado, sumando las capas individuales, son:

P, =f : +P, +e =194 (3.23)

Las perdidas totales, sin considerar los efectos proximidad son: Pr = 3P, considerando que las perdidas son iguales en cada capa. Como se observa el aumento es considerable, de casi 6 veces el valor si no se consideran estos efectos.

Si se considera además la reducción del area efectiva, el aumento de resistencia puede llegar a ser enorme.

Por esta razón el diseño de devanados en alta frecuencia es crítico y debe de tomarse en cuenta estos efectos a la hora de seleccionar el tamaño y tipo de conductor así como la colocación de los devanados.

47

3.1.3.3.- Aplicación del análisis en 1D. Resultado obtenido para el caso de un conductor aislado, aplicado a los devanados del transformador.

Para obtener el valor promedio del campo H a través de las capa m utilizamos la ecuación:

(2m-1) I H , = 0-

2 W (3.24)

Donde w es el ancho de la ventana.

Sustituyendo en la ecuación (3.15) tenemos: 2

(3.25) A sinhA+sinA 2in -1 sinh A - sin A p, =-o O R , I ' + ( ~ ) *A* 0 R,i' 4 CüshA-cosA cosh A +cos A

por tanto la resistencia equivalente en ac es:

3 Rdr sinh A -sin A cosh A + cos A

+(2m-1)~

Para simplificar considerando que A>>l, la ecuación se reduce a:

A RdJ2 4

Aplicando a cada capa del devanado:

A 2

4 = - o R , , I ~

O R ~ , I ~ = 54 5A p2 =2

O R ~ ~ I ~ = 134 e = , 13A L

Valores que concuerdan con el análisis anterior.

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

El concepto de expresar las perdidas en alterna R,, en función de las perdidas Rdc

El mismo procedimiento se ha aplicado a bobinas con núcleo que presentan

fue introducido por Dowell [ 2 2 ] .

entrehierro en la pierna central Perry [20].

(3.31)

y para pierna Central y exterior por Vandelagc y Ziogas [15]

48

En ambos casos m es el número de capas, y las funciones F1 y Fz son:

1 sinh 2A + sin 2A cosh2A-cos2A

F; =A

sinh A cos A + cosh A sin A cash 2A - COS 2A

F, = A

(3.33)

(3.34)

La solución propuesta por Dowell considera corrientes sinusoidales. Para el caso de formas de onda arbitraria se aplica descomposición en series de fourier, calculando para cada armónico la contribución en el incremento de la resistencia en Rdc y sumando el resultado para todos los armónicos considerados.

Hurley [24], utiliza expansión de series de las funciones trigonometricas e hiperbólicas para simplificar el calculo, incluyendo formas de onda de corriente arbitrarias con lo que obtiene para el calculo del incremento de resistencia en AC, para el caso de un transformador:

R., - y 4

Rdc 3 --1+-A

5m-1 y=- 15

(3.35)

(3.36)

m es el número de capas, A es el factor definido anteriormente tanto para conductor tipo lamina como la conversión para conductor hilo redondo.

Para el caso de formas de onda de corriente arbitraria:

(3.37)

donde I,,, es el valor rms de la corriente y IimS es el valor rms de la derivada de la forma de onda de corriente. Este resultado es el mismo para un inductor con entrehierro en la pierna central.

El mismo procedimiento, aplicado a los trabajos obtenidos para inductores con entrehierro en la pierna central y exterior:

(3.38)

49

20m$ + 19 120

Y = (3.39)

Para forma de onda de do corriente arbitraria:

(3.40)

20mCop + 19 120

Y = (3.41)

k = - I*, (3.42) Ir,,rs

Donde I,,, es el valor rms de la corriente y I,, es el valor rms de la derivada de la forma de onda de corriente

3.1.4.- Histeresic

Cuando el material magnético ha realizado un ciclo completo de magnetización y desmagnetización, el resultado se muestra en la figura 3-13. Comenzando con un material magnético neutral, recorriendo la curva 6-H que empieza en el punto X. Mientras H se incrementa, la densidad de flujo 6 aumenta a lo largo de la línea combinada al punto de saturación 6s. Ahora, cuando H se decrementa y B es trazado, la curva 6-H recorre la trayectoria de 6, donde H es cero el núcleo aun esta magnetizado. El flujo aquí es llamado flujo remanente y tiene una densidad de flujo 6,.

La fuerza de magnetización H ahora se invierte en polaridad para dar un valor negativo. La fuerza de rnagnetización requerida para reducir el flujo 6, es llamada fuerza coercitiva (Hc). Cuando el núcleo es forzado hacia saturación, la retentividad (Brs) es el flujo restante después de la saturación y la coercitividad (HCs) es la fuerza requerida para restablecer a cero. A lo largo de la curva de magnetización inicial (X, la línea combinada de la figura 3-13), B aumenta de la no linealidad original con H hasta que el material se satura. En la practica la magnetización de un núcleo en un transformador excitado nunca sigue esta curva, porque el núcleo nunca esta totalmente desmagnetizado cuando la fuerza magnetizante es aplicada por primera vez.

La curva de histeresis representa la energía perdida en el núcleo. El mejor camino para visualizar la curva de histéresis es usar corriente de cd, porque la intensidad de la fuerza de rnagnetización puede ser cambiada muy lentamente de manera que no sean generadas corrientes de Eddy en el material. Solo bajo esta condición esta el área dentro de la curva cerrada 6-H indicativa de perdidas de histéresis. El area encerrada es una medida de perdida de energía en el material del núcleo durante ese ciclo. En aplicaciones de ca, este proceso se repite continuamente y la perdida total de histéresis es dependientes de la frecuencia.

50

B (Toria)

" (" U )

Figura 3-13. Curva de Histeresis.

3.1.4.1.- La curva dinámica de Histéresis

La perdida por histéresis, sin embargo, solo es parte de las perdidas de energía encontradas en el núcleo del material sometido a un campo alternante. El flujo cambiante también induce dentro del material del núcleo mismo pequeñas corrientes conocidas como corrientes de Eddy. La magnitud de esas corrientes depende de la frecuencia y de la densidad de flujo impuesta por la aplicación y de la resistividad especifica y el espesor del material del núcleo.

Incrementado la frecuencia o velocidad del ciclo, entre +H y -H, se puede observar que la curva B-H se ensancha como se muestra en la figura 3-14. El ensanchado de la curva B-H es causado por las corrientes de Eddy, principalmente las cuales son generadas por el flujo magnético cuando penetra las laminaciones. El flujo magnético induce un voltaje y causa una corriente que fluye alrededor de la línea de flujo.

Ya que la corrientes de Eddy con proporcionales al voltaje inducido en el material del núcleo, las perdidas por corrientes de Eddy pueden disminuirse cuando el voltaje es disminuido. El máximo voltaje que puede ser inducido en el material del núcleo es igual a los volts por vuelta del núcleo bobinado. La cantidad de corriente esta en función del voltaje inducido y de la resistividad del material magnético. Las corrientes de Eddy pueden ser reducidas usando laminaciones más delgadas y/o material magnético con resistividad mas alta. Con laminados que son de la mitad de espesor, el flujo en cada laminado y el voltaje máximo que genera corrientes de Eddy en cada laminado se reduce a un medio de su valor.

Las pérdidas totales en el núcleo es la suma de las pérdidas de histéresis y las perdidas por corrientes de Eddy. Usualmente esto se expresa en Watts por Kilogramo de un material de espesor definido para un núcleo operando a una densidad de flujo y frecuencia dados.

51

Figura 3-14. Curva 6 - H operando a varias frecuencias,

3.1.5.- Efecto del entrehierro

En la mayoría de los dispositivos magnéticos es necesario utilizar entrehierro en las piernas del núcleo, para estabilizar el valor de la inductancia (depende Únicamente de las dimensiones del entrehierro) así como para almacenar energía.

En bajas frecuencias, y entrehierros pequeños el espacio utilizado para almacenar energía es el volumen dado por Ac x lg, siendo Ac el área transversal del núcleo.

Sin embargo al incrementar la longitud del entrehierro, las líneas de campo en las proximidades del entrehierro se dispersan ocupando un volumen mayor. Estas líneas de dispersión provocan un aumento del valor de la inductancia, y si llegan a cortar a los conductores situados en la vecindad, inducen corrientes, al igual que en el efecto piel y proximidad, aumentando la resistencia, y con ello las perdidas (figura 3-15).

Por tanto, es necesario ajustar el numero de vueltas, considerando el incremento del area del entrehierro. Comúnmente se considera que el entrehierro se dispersa una distancia de la pierna en una longitud igual al largo del entrehierro, es decir, para un area transversal cuadrada o circular tenemos, según la figura 3-16.

Figura 3-15. Dispersión en el entrehierro.

52

Ac=ab

8 AS=-‘

4

a+lg Ac=(a+ig)(b+ig)

o Figura 3-16. Incremento del area transversal debido

a la dispersión del entrehierro.

Es posible calcular el factor de incremento del area transversal, Fd llamado comúnmente factor de dispersión, para sección rectangular:

(3.43) Ac a*b

y para sección circular:

(3.44)

Algunos autores como McLyman, utilizan la ecuación, obtenida de manera empírica, por Stephen:

donde Iw es el ancho de la ventana del núcleo.

El número de vueltas corregido es:

N N, =- f i

(3.45)

(3.46)

Los resultados con el calculo del factor de dispersión son aproximados cuando el valor de corrección es menor al 20%, y varia de acuerdo a la forma geomelrica del núcleo utilizada.

Cuando es necesario utilizar valores de entrehierros mas grandes, como por ejemplo en un inductor resonante en un balastro que utiliza la misma frecuencia para el encendido y para el estado estable de la Iampara, la ecuación (3.45) ya no es de mucha utilidad ya que introduce desviaciones de mas de 5% sobre el valor de la inductancia.

La siguiente ecuación presenta una mejor aproximación, permitiendo valores con desviaciones menores al 5% de la inductancia, tolerancia usada comúnmente en el proceso de manufactura.

53

Fd =1+1.618 (.618x1~,+1.618x(i~ F + l g C ) (3.47)

Simplificando,

(.GI 8x 1:+1.618x (I , F + I, C ) F, = 1 + 1 . 6 1 8 ~

JAcx(lg+F)(lg+ C) (3.48)

Ac, F, C en metros

F, =1+161.8~ (.618x li,+ , 0 1 6 1 8 ~ (I, F + 1, C) (3.49) J A c x (lg+ .OlF)(lg+ .OlC)

Ac, F, C en cm.

Donde F d es el factor de corrección, lg es el valor del entrehierro, C y E son datos de la forma geometrica del área transversal del núcleo.

Esta ecuación se obtiene de manera empírica, es valida para núcleos tipo EE. El concepto utilizado es muy simple:

No conocemos la geometría de la dispersión del entrehierro, pero podemos suponer que tiene cierta forma, la cual es alterada por un factor que depende de su geometría y que la modifica conforme aumenta el entrehierro. La geometría considerada es la que se presenta en la figura 3-15; en los extremos rectos se supone una dispersión con geometría de medio cilindro. El radio del cilindro es de valor '/z Ig.

De los dos lados rectos iguales, sumados obtenemos un volumen de dispersión de forma de un cilindro de radio igual a Ig y de largo el lado recto de núcleo. En las esquinas se supone una geometría en forma de circunferencia, que abarca un cuarto de volumen del mismo. Las cuatro esquinas, permiten suponer un volumen de una esfera de diámetro Ig. Cada volumen es multiplicado a si mismo por un factor que ajusta el valor de dispersión real del entrehierro a varios valores del mismo.

Para núcleos con areas transversales circulares, puede suponerse una geometría de cilindro de radio lg y de largo nrn, donde rn es el radio del área transversal.

Es muy recomendable, obtener ecuaciones similares para las diferentes formas geometricas de los núcleos. Esto implica realizar algunos diseños con valores de entrehierro del orden de 10 mils, 50 mils, lOOmils, 150 mils, 200 mils con una inductancia que llene la totalidad del area de la ventana. Con los datos obtenidos, de manera empírica puede obtenerse los coeficientes para ajustar la ecuación anterior a valores que permitan una aproximación más exacta del valor de inductancia.

54

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55

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[26] Intusoft. Magnetics Designer. Personal Computer. Circuit Design. Tools. file-134.pdf

56

Capítulo 4 Análisis comparativo de métodos de diseño.

Núcleos convencionales

4.1.- Diseño componentes magnéticos

4.1.1.- Introducción

Una variedad de factores están involucrados en el diseño de un elemento magnético. Selección del material, el tamaño y forma geométrica del núcleo, selección de la densidad de flujo magnético apropiada para no saturar al núcleo y mantener las perdidas asociadas lo más bajo posible. El diámetro del conductor debe ser lo suficientemente pequeño para llenar el area de la ventana, pero lo suficientemente grande para reducir las pérdidas Óhmicas. Si el conductor es muy grueso, los efectos piel y proximidad incrementan sustancialmente las pérdidas en el devanado. Si se almacena energía es necesario utilizar entrehierro; sin embargo, no es recomendable en transformadores. Según la aplicación, algún o algunos de estos factores son predominantes mientras que algunos otros son prácticamente despreciables.

El objetivo de este capítulo es presentar los métodos propuestos para el diseño de elementos magnéticos. Primero se describen los diferentes tipos de elementos magnéticos que podemos encontrar comúnmente en los circuitos electrónicos identificando las formas de onda características de corriente que manejan y su impacto en la curva B-H para que con base a su funcionamiento se puedan establecer algunos criterios de diseño que nos ayudaran a seleccionar la forma geométrica, el material, densidad de flujo de operación, y los factores predominantes que deben de ser tomados en consideración a la hora de realizar el diseño. Por ultimo se presentan los procedimientos propuestos para el diseño de un elemento magnético.

57

4.1.2.- Tipos de dispositivos magnéticos

4.1.2.1.- Inductor de filtrado en convertidores en modo de conducción continua (MCC)

En la figura 4. l (a) tenemos un ejemplo de un inductor de filtrado empleado en un convertidor reductor operado MCC. El inductor se escoge de tal manera que el valor del rizo de la corriente A i sea una fracción de la componente en CD I , a carga máxima como se muestra en la figura 4- l (b ) .

Figura 4-1. Inductor de filtrado usado en un Convertidor Reductor Operado en MCC: a) Circuito esquemático. b) Forma de onda de corriente en el inductor.

Para este caso es necesario utilizar entrehierro en el núcleo para evitar que la

La intensidad del campo magnético Hc(t) se relaciona con la corriente del corriente I+Ai sature ai núcleo.

embobinado i(t) de acuerdo a:

ni(t) R, H J t ) =-- 5 Rc f R,

n es el número de vueltas, I,,. es la ruta magnética del núcleo y R, y R, son las reluctancias del núcleo y del entrehierro, lg es la longitud del entrehierro.

Como H,(t) es proporcional a i(t) entonces puede ser expresada en dos componentes, una componente grande H&) mas una componente de rizado pequeño AH,(t):

(4.4)

58

La curva 6-H de esta aplicación se muestra en la figura 4-2. Este dispositivo opera en la curva menor 6-H indicada en la figura. El area de esta curva y sus perdidas correspondientes dependen del valor del rizo de corriente Ai. Las pérdidas del cobre dependen del valor eficaz de la corriente, el cual es básicamente el valor de la componente en CD I.

Las perdidas en el núcleo y pérdidas por proximidad pueden ser ignoradas, ya que Ai, de la cual dependen, generalmente es una pequeña porción de I, centrándose el diseño en las perdidas en el cobre del devanado. La maxima densidad de flujo es limitada por la saturación del núcleo y la frecuencia de operación.

B

C v r w rncnoi B-H dcl inductor

de filtrado

Figura 4-2. Curva 5-H del dispositivo magnético.

4.1.2.2.- Inductor operado en modo de corriente discontinuo

Transformador Flyback

El transformador Flyback es un inductor con dos devanados. El devanado primario es usado durante la conducción del transistor y el secundario durante la conducción del diodo, como se ilustra en la figura 4-3.

.....__...___...__..

%

I

(a) (b)

Figura 4-3. Convertidor Flyback: (a) Circuito esquemático y (b) formas de onda de corriente en el primario, secundario y de entrada.

59

Como el transformador flyback almacena energía es necesario utilizar entrehierro. Las perdidas del núcleo dependen de la componente de CA de la corriente de magnetización. La curva 8-H se ilustra en la figura 4-4, el área menor representan las perdidas en el núcleo, por lo que son significativas. Es necesario seleccionar una densidad de flujo de operación que mantenga las perdidas en un nivel aceptable según la frecuencia de operación. Las pérdidas por proximidad y efecto piel son significativas debido a la excursión de la corriente y a la frecuencia de operación, por lo que es necesario tomarlas en cuenta.

B

t

Figura 4-4. Curva 8-H del convertidor Flyback

4.1.2.3.- Inductor de CA

En la figura se muestra un inductor usado en circuitos resonantes. En este caso, la variación de la corrientes en alta frecuencia son grandes, por tanto, la curva 8-H del dispositivo es grande como se muestra en la figura 4-5.

B 4

I

(b) ( C )

Figura 4-5. Inductor resonante: a) Circuito eléctrico, b) forma de onda de corriente y c ) curva 5-H.

Las perdidas en el núcleo por efecto proximidad y efecto piel son significativas por lo que deben de tomarse en cuenta en el diseño. La máxima densidad del flujo de operación está determinada por las perdidas en el núcleo o por la saturación del mismo y la

60

frecuencia de operación. Es necesario utilizar material magnético en el núcleo para alta frecuencia como las ferritas.

4.1.2.4.- Transformador

La figura 4-6 ilustra un transformador convencional empleado en un convertidor conmutado. La magnetización del núcleo se modela con la inductancia magnetizante L,, . La corriente de magnetización se relaciona con el campo magnético H(t) en el núcleo de acuerdo a la ley de Ampere:

n es el número de vueltas y I,,, es la ruta magnética del núcleo.

(4.6)

(a) (b)

Figura 4-6. Transformador convencional: (a) forma de onda de tensión y (b) forma de onda de corriente magnetizante.

Sin embargo, la corriente magnetizante im(fl no es una función directa de las corrientes de embobinado i ,(q e i..(t). Depende de la forma de onda de voltaje aplicado al embobinado v,(t). Especificamente, la máxima densidad de flujo aplicado es directamente proporcional a los volts-segundo hi aplicados. La figura 4-7 muestra la curva B-H para esta aplicación.

B

Figura 4-7. Curva B-H de un transformador convencional.

61

En esta aplicación, las pérdidas en el núcleo y las perdidas por el efecto piel y proximidad son significativas y deben ser tomadas en cuenta en el diseño. La máxima densidad de flujo es limitada por las perdidas en el núcleo y la frecuencia de operación o por saturación.

4.1.2.5.- Inductor acoplado

Un inductor acoplado es un inductor de filtrado con múltiples embobinados. La figura ilustra un inductor acoplado en un convertidor Forward con dos salidas, así como las formas de onda de corriente.

,.- e.-

(a) +;;, ............. I.

I

A i2

(b)

Figura 4-8. Convertidor Forward con dos salidas: a) circuito esquemático y b) forma de onda de corriente.

Los inductores pueden ser embobinados en el mismo núcleo, debido a que las formas de tensión son proporcionales en los embobinados. Los inductores de convertidores Cuk y Sepic, así como convertidores reductores con múltiples salidas y otros similares pueden ser acoplados. El rizado de la corriente del inductor puede ser controlado por medio de la inductancia de dispersión del embobinado. Una corriente de CD fluye en cada embobinado, la magnetización neta del núcleo es proporcional a la suma de los ampere-vuelta del embobinado:

(4.7)

62

Como en el caso de un inductor de filtrado de un solo embobinado, el tamaño de la curva menor 6-H es proporcional al rizo total de corriente (figura 4-9). Pequeño rizo de corriente implica pequeñas perdidas en el núcleo, así como pequeñas perdidas por efecto proximidad. Es necesario utilizar entrehierro, y la maxima densidad de flujo de operación es limitada por a saturación y la frecuencia de operación.

Figura 4-9. Curva 8-H de un inductor acoplado.

4.2.- Consideraciones generales para el diseño de un elemento magnético

Considerando los diferentes tipos de funcionamiento de un elemento magnético vistos anteriormente podemos obtener los siguientes datos iniciales usados de manera general en los procedimientos de diseño y que nos permitirá tener un mejor conocimiento para establecer los primeros criterios a considerar en el diseño. Es muy importante, entender e l funcionamiento del elemento magnético en cada aplicación en particular, más conocimiento mejor diseño.

Datos iniciales

Según la aplicación primero se determina los datos iniciales, las formas de onda y funcionamiento del elemento magnético, su posible impacto en la curva 6-H, y determinar los datos analizados en el apartado anterior. Estos datos son comunes a cualquier método de diseño.

Valor de inductancia deseada, L para el caso de un inductor

Depende de los parametros de la aplicación.

Valor de corriente I,,, y Ipico, I;,,,,

Para el caso de un transformador, los valores con respecto a la corriente de entrada y la salida a maxima carga o potencia de salida. Para el caso de un inductor, la corriente de operación.

63

Es muy importante determinar la forma de onda de corriente, el valor rms y en caso de no ser sinusoidal, su descomposición en análisis de fourier. Para simplificación de calculo de resistencia en alta frecuencia del devanado, se usara el valor de la derivada de la corriente rms I,,,,>. En el anexo 4 se presentan algunas formas de onda y los valores de corriente pico, rms y derivada rms necesarios.

Densidad de corriente 3 de operación

Generalmente se utiliza una densidad de corriente de 4.5 A/mm*. Esta densidad produce un incremento de temperatura en el devanado de aproximadamente 25OC a temperatura ambiente. Dado que la densidad de corriente no solo se relaciona con la temperatura de operación del devanado, sino también con el grosor del conductor a seleccionar y por tanto el número de vueltas que puede ocupar la ventana con cierto conductor a una corriente dada. Se cumplen las siguientes relaciones:

Seleccionar una densidad de corriente mas baja reduce la temperatura del devanado, al utilizar un conductor mas grande. Sin embargo, debido al efecto piel y proximidad, según la frecuencia de operación, el area efectiva del conductor pudiera no incrementarse, resultando en un incremento en las pérdidas en CA.

La densidad de corriente puede variar entre 3 A/mm2 y 6 A/rnm2 de forma segura para el tipo de aislamiento estándar del conductor. El valor Óptimo dependerá de las características de la aplicación en particular, después de realizar una evaluación con varios diseños (esto debido a que es necesario tener algunas pruebas térmicas antes determinar el valor final); depende de la temperatura ambiente de trabajo en el circuito y su disposición con respecto a otros elementos que disipativos. El valor de 4.5A/mm2 es un buen punto para empezar.

Factor de utilización de la ventana, K,

Depende del tipo de conductor a utilizar. Para conductor alambre magneto redondo,

En caso de utilizar alambre trenzado, para evitar el efecto piel y proximidad: considerando aislamiento entre capas, se utiliza comúnmente K,=0.4.

K,=0.2.

Para el caso de hilo de litz: K,=0.16.

Para un transformador con múltiples salidas, cada embobinado ocupa la parte proporcional del area de ventana.

El valor de K, también depende de la técnica de embobinado o manufactura final del devanado. Sin embargo los valores anteriores son una buena aproximación.

Curva 6-H

Aunque todavía no tenemos los datos finales de funcionamiento, se puede bosquejar la curva B-H de funcionamiento, según la forma de corriente que maneja el

64

elemento magnético, como se vio al inicio del capitulo 4. Esto permitirá establecer por un lado si es necesario tomar en cuenta las pérdidas en el núcleo y el posible valor inicial de la densidad de flujo. Depende también de la frecuencia de operación.

Frecuencia de operación, f

Depende de las características de la aplicación. Sin embargo, a la hora de seleccionar la frecuencia de trabajo, es recomendable verificar la curva fxB de los materiales, ya sea para seleccionar el mejor material disponible a la frecuencia de operación seleccionada o cambiar la frecuencia de operación de la aplicación a un valor que permita la maxima utilización del núcleo según el material disponible.

Impedancia del inductor, XL

Con el valor de inductancia y la frecuencia de operación se obtiene:

X L = 2zfl (4.9)

Tensión en el elemento magnético

Para un transformador, la tensión de entrada VI, y de la salida V,.

Para el caso de un inductor, con el valor de corriente y la impedancia del inductor se obtiene:

Energía almacenada en el inductor o potencia aparente que maneja, E o Pt

Para un transformador, la potencia total que maneja o aparente, es decir. La suma de la potencia de entrada y de salida.

{ =en +p, Con el valor de la inductancia, la corriente y la frecuencia de operación se obtiene la

energía que almacena el inductor o la potencia aparente:

E = - L I ; ~ , 1 ' 2

para el caso de corriente con componente de CD, I N =Idc +I:c

= VLI,, = XLI, i , (4.11)

65

Selección del material del núcleo

Para seleccionar el material adecuado se necesita como dato de entrada la frecuencia de operación del elemento magnético. El fabricante proporciona tablas de sugerencia de material magnético en función de la aplicación y de la frecuencia de trabajo. También son Útiles las gráficas del factor de desempeño, que nos permiten escoger el mejor material de acuerdo a la frecuencia manteniendo constante las pérdidas en el núcleo en un nivel aceptable. Para un cierto diseño, mejorar el funcionamiento reduciendo las perdidas del núcleo implica seleccionar un mejor material del núcleo. También pudiera ser necesario, según el material disponible, cambiar la frecuencia de operación del circuito a un valor que permita maximizar la utilización del núcleo, según su curva de desempeño.

Selección de la forma geométrica

La forma geométrica depende de las características de la aplicación, disposición física del elemento magnético, necesidad de aislamiento magnético, temperatura del medio y ventilación del embobinado. E l fabricante presenta una serie de recomendaciones en cuanto a la forma geométrica según la aplicación de que se trate.

Selección de la densidad de flujo de trabajo

El fabricante, por medio del factor de desempeño del material del núcleo, permite establecer de manera gráfica el punto de partida para escoger una densidad de flujo de operación de tal manera que las perdidas en el núcleo se mantengan en un nivel constante y aceptable, tomando como variable la frecuencia de operación.

Por ejemplo, las compañía como FERROXCUBE, define el factor de desempeño ( fxBmax) como la medida de potencia que el núcleo puede manejar a cierto nivel de perdidas aceptables. En la gráfica de la figura 4-9 es claro que para bajas frecuencias no hay mucha diferencia entre los materiales, dado que el límite de diseño es la saturación del núcleo Esat. A frecuencias más altas la diferencia se incrementa. Existe una frecuencia Óptima de trabajo para cada material del núcleo. Es evidente que para aumentar el manejo de potencia o la densidad de operación en alta frecuencia es necesario seleccionar un mejor material. En este caso el límite de diseño es un valor muy por debajo de la saturación B,,,.

Sin embargo, dada la cantidad de aplicaciones, la experiencia es la mejor forma para establecer un valor aceptable final, ya que depende de criterios muy particulares de diseño relacionados con la aplicación así como la prueba final del elemento en el circuito.

Seleccionar una densidad de flujo alta (límite densidad de saturación B,+ permite reducir el tamaño del núcleo, disminuye el número de vueltas, reduce las perdidas del cobre en el devanado, reduce el efecto del entrehierro. Sin embargo aumenta la pérdidas en el núcleo, incrementa la temperatura de operación. Por otro lado trabajar con una B,,, por debajo de saturación aumenta el tamaño del núcleo pero disminuye las pérdidas. Incrementa el número de vueltas, aumenta la resistencia del cobre del devanado. Incrementa el entrehierro, así como su efecto en las inmediaciones del núcleo.

66

Figura 4-10. Factor de desempeño (fxümax) pérdidas por volumen de 500rnw/cm3 en función de la frecuencia de operación (Cortesía de FERROXCUBE).

Un caso particular muy interesante es el inductor resonante utilizado en aplicaciones de balastros. En estado estable, la corriente es prácticamente sinusoidal, por Io que seria Óptimo utilizar un valor de densidad de flujo cercano a la saturación para maxirnizar la utilización del núcleo y reducir su tamaño.

Sin embargo, la frecuencia de operación obliga a seleccionar una densidad de flujo mas baja para evitar altas perdidas en el núcleo. Además, es común utilizar la misma frecuencia de resonancia durante el encendido para encender la lámpara. Como en algunos casos es necesario una tensión de hasta 3 o 4 kV para lograr el encendido, durante la resonancia circulan corrientes pico muy altas en el inductor. Por tanto, es necesario utilizar una densidad de flujo todavía mas pequeña, aumentando el entrehierro, para evitar que se sature el núcleo durante la ignición y permita el encendido adecuado. Esto incrementa el tamaño del núcleo, así como las pérdidas del devanado, ya que aumenta el número de vueltas así como el efecto del entrehierro. La diferencia de funcionamiento durante el estado estable y durante el encendido puede llegar a ser muy grande: en estado estable el inductor maneja una corriente de 1 a 2 amperes. Durante el encendido la corriente puede llegar a ser de hasta 20 A pico para lograr la tensión adecuada. Por tanto, seleccionar la densidad de flujo se vuelve muy critico para lograr un buen compromiso entre estos dos estados, y probablemente sea necesario ensayar con varios prototipos midiendo el la tensión de encendido hasta lograr el valor requerido. Si a esto le añadimos que se espera tener bajas perdidas en el devanado para tener un cierto valor de eficiencia esperado, así como un tamaño lo mas pequeño posible y de bajo costo, la situación se complica.

En este caso tal vez sea necesario evaluar opciones de encendido con dos frecuencias, que permiten con menos corriente durante la ignición, alcanzar la tensión

67

pico de encendido o el uso de ignitores, si es que el tamaño es un criterio de diseño importante o si las perdidas en estado estable no son las esperadas.

En resumen, la densidad de flujo de partida se toma del fabricante del material y la frecuencia de operación según la tabla fx8. Los requerimientos particulares de la aplicación y los criterios principales del diseño, alteran el valor final según sea necesario. La experiencia y e l mayor conocimiento posible del funcionamiento del elemento magnético en la aplicación evita tener que realizar varios diseños, ensayando con varios valores de densidad de flujo, y seleccionar el mejor después de probar su funcionamiento.

L I,,, Ipico 1-5.

3

F XL

Tabla de resumen de datos generales de diseño de un elemento magnético

Tabla 4-1. Resumen de datos para diseño de un elemento magnético.

Depende de la aplicación Depende de la aplicación. Para un inductor con componente de DC:

2 2 2 I,m, = I d C + I"< Para. el caso de un transformador con respecto a la corriente de entrada. Depende de la aplicación. Valor general

usado entre 3 A/mm2 y 6 A/mm2 Depende de la aplicación x, =2nfL

Dato iductancia orriente nominal en valores ficaz, pico y eficaz de la erivada de la corriente.

VL

P

lensidad de corriente de peración. recuencia de operación npedancia

ensión del elemento iagnético

Inductor: VL=XJmS Transformador: Tensión de entrada

Depende de la aplicación. nergia almacenada o otencia aDarente

laterial del núcleo

orma geométrica del iúcleo >ensidad de flujo de ioeración

- - iímbolo I Ecuación

Para un transformador: potencia de entrada mas Dotencia de salida. Pt = Pi. +

I I Depende de la aplicación.

lnidades Henrios 4mperes

A/mm2

Hertz Ohms

Volts

Joules o Watts

Tesla

68

4.3.- Métodos de diseño

El principal problema de un diseño es poder seleccionar el núcleo adecuado a la aplicación. A continuación se presentaran los métodos más comunes que permiten establecer relaciones entre las dimensiones físicas del núcleo con parametros importantes del diseño para poder realizar una selección adecuadas. Una vez seleccionado el núcleo, los datos físicos obtenidos, area de ventana A,, área transversal Ac y (MLV permiten resolver las ecuaciones para determinar el número de vueltas y el entrehierro en caso de un inductor.

4.3.1.- Producto de areas

[i] Colonel W. T. McLyrnan, "Transformer and inductor Design Handbook", Ed. Marcel Dekker, Inc., 01988.

McLyman establece las relaciones que existe del producto de areas (área de ventana por area efectiva del núcleo) con diferentes variables del diseño en particular. Esto permite escoger un núcleo en base a las propiedades de los materiales, las características de potencia requeridas y las especificaciones del diseño; utilizando la información otorgada por los fabricantes del núcleo.

El método se basa en suponer que las pérdidas del devanado son iguales a las

Una primera aproximación para las pérdidas en el núcleo se obtiene con:

perdidas del núcleo para maxima eficiencia.

w=kjfmgn (4.12)

Donde k, rn, n son coeficientes derivados de gráficas y de la forma geométrica del núcleo.

A,, = 4 A, (4.13)

Las ecuaciones que obtiene McLyman, se basa en suponer relaciones proporcionales entre las variables, como ejemplo (caso de diseño de un transformador) entre el producto de áreas y el volumen:

(a) (b)

Figura 4-11. Definición del producto de areas para un núcleo tipo Pot: (a) Vista superior y (b) corte transversal.

69

El volumen varía de acuerdo con el cubo de una dimensión lineal ”I“, y el producto de areas varia con la cuarta potencia. Por tanto se puede establecer:

Volumen = K,i’

A, = K,P

Despejando de la ecuación (4.15):

(4.14)

(4.15)

de (4.17) y de (4.14), se obtiene:

Volumen=kl 2 (;,j”” Se define

k, k Y

K , =-

La relación del producto de areas con el volumen es finalmente:

Vohneri = K , A ~

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

Donde Kv es una constante relacionada a la configuración del núcleo, la cual se obtiene para varios tipos de núcleos graficando el producto de areas contra el volumen y promediando el resultado por medio de una curva. Ejemplo para un núcleo C:

Figura 4-12. Volumen de un núcleo tipo C.

70

t V

I

rn e n

cm4

O

U

1 O Producto de áreas Ap (cm4)

Figura 4-13. Volumen contra producto de áreas para el núcleo tipo C.

Siguiendo el mismo procedimiento, obtiene las siguientes relaciones del producto de áreas con:

Peso del transformador.

ri; = ~ ~ ~ g 0 . 7 5

Área de superficie del transformador.

A, =K,A?

Densidad de corriente del transformador.

J = K~A;”~

que se generaliza para cualquier núcleo como:

J = Y A ;

El factor y depende la geometría del núcleo.

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

De la misma manera, obtiene relaciones con la constante geometrica del transformador Kg; otro parametro que usa el fabricante para indicar el manejo de potencia y características de sus núcleos.

A, = KpK; (4.25)

McLyman propone un método utilizando la capacidad de potencia aparente, relacionada con el producto de areas. La capacidad de potencia aparente se define como:

4 = +e watts (4.26)

p. 4“ =- rl

(4.27)

71

Y la relación del producto de areas con la capacidad de potencia aparente es:

Introduciendo el factor

Donde el exponente depende de la geometría del núcleo.

J = K,A;

Por tanto (4.32) queda como:

(4.28)

(4.29)

Ku Kr Kj x f Bm

es el factor de utilización de la ventana. es un coeficiente constante que depende de la forma de onda. es una constante que esta relacionada al crecimiento de temperatura. es un factor que depende de la geometría del núcleo. es la frecuencia de operación, Hz. es el flujo máximo, tesla.

Para el caso de un inductor, el producto de areas se relaciona con la capacidad de manejo de energía por la ecuación:

(4.30)

Donde la energía esta dada en watts segundo

Ku Kj x Bm

es el coeficiente de utilización de ventana. es una constante que esta relacionada al crecimiento de temperatura. es un factor que depende de la geometría del núcleo. es el flujo máximo, tesla.

La constante geométrica del núcleo se relaciona con la capacidad de manejo de potencia por la ecuación:

( energia)2 K , =

a K , donde la energía esta dada en watts segundo

(4.31)

a es la regulación Ke es una constante que se determina por las condiciones de operación eléctrica y

magnética: K , =O.i45%B~,, x104

Po es la potencia de salida y

(4.32)

72

Tabla de diseño de un transformador. Producto de areas

Tabla 4-2. Procedimiento de diseiio para un transformador por e/ método de producto de áreas

Ecuación ~

Depende de la aplicación Depende de la aplicación Depende de la aplicación Depende de la aplicación Depende de la aplicación

Depende de la aplicación Depende de la aplicación 4 para onda cuadrada

Depende de la aplicación

Dato Joltaje de entrada Joltaje de salida

Unidades Volts Volts

Amperes Hertz

OC Tesla

Zorriente de sal,da 'recuencia de operacion __

Según tamaño de núcleo seleccionado

ificiencia

cm4

3recmiento de temperatura lensioad oe flJjo

~~

'laterial del núcleo :actor de forma

:orma geométrica 'otencia de salida

lotencia aparente

Jtilizacion de la ventana 'roddcro de Áreas

;elección de núcleo cor roducto de áreas mayoi (ue el calculado 'roducto de áreas de iúcleo

pt

K, A,

4.44 para onda sinusoidal Depende de la aplicación

p, = VOIO

puente onda completa. I e = P, -+ Transformador con (: j derivación central en el secundario circuito puente onda completa I e = Po ($ + &)Transformador con .

derivación central en primario y secundario circuito Push-Pull puente onda completa

K.=0.4

depende de la forma geometrica. K, según I forma geométrica y temperatura Tomar datos del núcleo

73

- 17 18 19 20

21 22 23

- - -

- - -

- 24

- 25

- 26

- 27

28

29

30

31

-

-

-

-

- 32

- 33

34

35

36

37

-

- -

-

- 38 -

A, A, W,

Longitud de vuelta promedio Área transversal Área de ventana Área disponible para embobinado

Dato del núcleo crn' Dato del núcleo cm2 Dato del carrete del núcleo cm'

Area total Peso del núcleo

'

Número de vueltas primario

~

J=K,A,' y depende de la forma geométrica

Corriente de entrada

RI

R~

p~

Densidad de corriente

derivación central multiplicar por 0.707 el resultado

AWG

Según conductor seleccionado Rlcm

R, =(MLT) (R , ) n P, = I , ;R~ watts

Area del conductor desnudo

AWB

Seleccionar tamaño de conductor de la tabla AWG Resistencia por unidad de longitud Resistencia del primario

... Io cm' 4 -- para configuración con J

derivación central multiplicar por 0.707 el resultado

AWG

Pérdidas por el cobre del orimario

Rs I R, =(MLT)(R,)

Número de vueltas del secundario

R

Área del conductor del secundario

ps

Wfkg

Seleccionar el tamaño del conductor de la tabla AWG Resistencia por unidad de longitud Resistencia del secundario

Pérdidas del cobre del secundario Perdidas de la ferrita por kilogramo

4 = I,R, 2 watts

Wlkg=Kf"B: de las curvas de Wfkg pérdidas del núcleo otorgadas por el

Perdidas del núcleo

I¡" cm' AB = - para configuración con 1 AwB I J

I I Ri I Según conductor I n /cm

74

Tabla de diseño de un inductor. Producto de áreas

el factor x depende

75

Entrehierro

Flujo de dispersión

Recalcular numero de vueltas

Resistencia del embobinado

Pérdidas del cobre

Pérdidas de la ferrita por kilogramo

calcular la densidad de flujo total

Calcular la densidad de CA

Calcular pérdidas WattsIKg

Calcular pérdidas del núcleo

Pérdidas totales

F

pre

P N

O . ~ X N ' A , x IO-'' I = (. I

, D es la

dimensión según la figura 4.11 N N, =- JF

R=(MLT)(R,)

p, = I ~ R

Wlkg= Kf"Bm de las curvas de perdidas del núcleo otorgadas por el fabricante.

B, = 0 . 4 ~ 1 1 0404

1, AI 0 . 4 ~ - x 1 O-'4 2 B,,, = 1,

-=Kf"B:, los valores de m y r W Kg dependen del material y form? geométrica

PN = P, +Pr, Diseño de un inductor con núcleo toroidal con corriente CD

El diseño sigue los pasos descritos anteriormente hasta el paso 25.

Calculo de la permeabilidad del núcleo requerido

L x MPL x IO8 "= 0.4zN'Ac

Selección de un núcleo con la permeabilidad mas cercana.

Calcular el número de vueltas requeridos

cm

R

watts

W/kg

Teslas

Teslas

Watts

Watts

(4.33)

(4.34) N = 1 OOO( &]

76

4.3.2.- Constante geometrica K,. Procedimiento de diseño de un inductor.

[3] Robert Erickson. “Fundamentals of Power Electronics”, . Dragan Maksinovic. Universidad de Colorado. Segunda Edición. 2001.

Maxima densidad de flujo

Dado un pico de corriente de embobinado Imax, operar el núcleo a una densidad de flujo a un valor pico Bmax escogido de tal manera que sea menor que el peor caso de saturación de densidad de flujo del material:

De la ley de ampere, resolviendo el circuito magnético

ni = BA,R, (4.35)

Haciendo I=Imax y 5=Bmax

Limitaciones: El número de vueltas n y el entrehierro lg son desconocidos.

Inductancia

(4.36)

(4.37)

Limitaciones: El número de vueltas n, el area del núcleo Ac, y el entrehierro lg son desconocidos.

Área de embobinado

Área total del cobre en la ventana:

Área disponible para embobinado de conductores:

nAw

K”W” Limitación de diseño: K,W, 2 nA,

K,

Valores tipicos de Ku: 0.5 para un inductor simple de bajo voltaje

es la fracción de la ventana que puede ser llenada por el embobinado.

(4.38)

(4.39)

Resistencia de embobinado

(4.40)

77

donde p es la resistividad del material conductor, Irn es el largo del alambre, y A b es el area del alambre desnudo.

El largo ib puede ser expresado como:

l,, = N ( M L T ) (4.41)

donde MLT es largo promedio por vuelta del embobinado, y es función de la geometría del núcleo. Por tanto:

N ( M L T ) 'dc = P

Ab con las anteriores ecuaciones, combinándolas, se obtiene:

(4.42)

(4.43)

El lado derecho son especificaciones o cantidades conocidas.

El lado izquierdo es función de la geometría del núcleo,

La constante geometrica del núcleo se define como:

La Kg describe el tamaño efectivo eléctrico del núcleo magnético, en aplicaciones donde las siguientes cantidades son especificadas:

Pérdidas del núcleo. Maxima densidad de flujo.

Las especificaciones afectan al núcleo de tal manera:

Un núcleo pequeño puede ser usado incrementando:

Brnax, usando materiales que tengan altos Bsat Rdc, permitiendo mayores pérdidas de cobre.

La geometría del núcleo afecta las capacidades eléctricas:

Una Kg grande puede ser obtenida si se incrementa: Ac, mas material de núcleo, o A,, mayor area de ventana o mas cobre.

Tamaño del núcleo

(4.45)

78

Se escoge un núcleo cuyas dimensiones satisfagan la inecuación. Se anotan los valores de A,, Aw, y MLT.

Entrehierro

po = 4z10-' H/m

Este valor es aproximado y desprecia perdidas del flujo y otras no idealidades.

Número de vueltas

Dimensiones del alambre

(4.46)

(4.47)

(4.48)

Diseño de un inductor utilizando el factor geométrico K,

Partiendo de los parametros conocidos:

p Resistividad del alambre (Q-cm). Imax corriente pico del embobinado (A). L Inductancia (H). R Resistencia del embobinado (Q). Ku factor de utilización de ventana. Bmax densidad de flujo maxima del núcleo (T).

Tabla 4-4. Procedimiento de diseño para un inductor utilizando el factor geométrico Kp

79

' g 8 Entrehierro

A b 9 Tarnaiío del conductor

4.3.3.- Diseño de un transformador utilizando la constante geometrica Kgfe

Para el caso de un transformador se utilizan las siguientes relaciones:

Pérdidas en el núcleo:

p,e = K , ( A v A A (4.49)

Kfe es una constante del material, p tiene valores típicos de 2.6 o 2.7 para ferritas y AB es el valor pico de la componente CA de B(t). Incrementando el valor de AB causa que las pérdidas del núcleo se incrementen con rapidez.

Volts segundo aplicados.

crn POLI:,, 104 1, = B L A,

crn2 K" 4% A, =- N

Figura 4-14. Voltaje aplicado al devanada. El area representa los volts-segundo.

La ley de Faraday permite calcular los volts-segundos aplicados al primario durante la porción positiva de vl(t):

r 2

.2, = I W d f

AB=- 4

< I

El valor pico de la componente de CA de la densidad de flujo es:

% '4, n, es el número de vueltas del primario. A, el area transversal del núcleo.

(4.50)

(4.51a)

80

Despejando n,:

n, =- 4 (4.5b) 2ABA,

Perdidas del cobre:

(4.52)

donde p es la resistividad del cobre, WA es el area de ventana, K, factor de

P(MLT)n:I:, W"K"

Pcu =

utilización de ventana.

k n. I,o, = 1 J=I . 4, n, (4.53)

Sustituyendo (4.52) en (4.53):

Se observa como las perdidas en el cobre disminuyen con el aumento de AB

Las perdidas totales son Pt = Pfe + Pcu. El valor Óptimo ocurre cuando:

-- dj9,, dPie dp, d(ABB) -=+e='

Por tanto:

Sustituyendo (4.57) y (4.58) en (4.56) y despejando AB:

(4.54)

(4.55)

(4.56)

(4.57)

(4.58)

Sustituyendo AB en la ecuación de pérdidas de cobre y de núcleo, las perdidas totales son:

81

Arreglando la ecuación anterior:

1 2 3 4 5

6

El termino del lado izquierdo depende de la geometría del núcleo. El lado derecho de

Dato Símbolo Utilización de la ventana K" Material del núcleo Forma geométrica

Corriente eficaz total del Itot embobinado, referido al primario Relación de vueltas deseada

Resistividad del cobre P

las especificaciones de la aplicación.

Definiendo la constante Kgfe como:

7

.(Y)

Volts segundo aplicados al 4 primario

(4.61)

Dependen de la aplicación

El procedimiento de diseño permite seleccionar un núcleo que satisfaga la ecuación:

w

(4.62)

I núcleo

núcleo LO Coeficiente de perdidas del

Procedimiento de diseño para un transformador usando la constante Kgfe

Tabla 4-5. Procedimiento de diseño para un inductor utilizando Kqfe

r

Kre

8 I Perdidas totales I Ptot 9 ]Exponente de perdidas dell 8

Ecuación I Unidades1 K,=0.4 Depende de la aplicación Depende de la aplicación

I Amperes I

I Depende del fabricante y del material

núcleo.

82

1 1

12

13 14

(%I P 4 X K, (o+%)

Factor geométrico K g ~ e

K , = 4K" (e, 1

Selección del núcleo

Tomar datos del núcleos Determinar AB

Núcleo con factor Kple que cumpla con la relación anterior Dimensiones del núcleo, Ac, Aw, MLT

AB Tesla

- 16

- 17

15 Verificar que la densidad no supere la saturación,

Especificar un valor menor a saturación o utilizar un núcleo con Dérdidas mas

ventana para cada devanado d e / an I a,=- ,a2 =- n~'l , etc n,', 18 fraccionar el área

n,',, fl,',", I

numero de vueltas del primario

Calcular vueltas de secundarios según relación de vueltas

grandes.

n, =- 4 104 2MAC

ni

n2, n3

4.3.4.- Método del volumen mínimo

19

20

[ 6 ] I . Manuel Lopera. "Elementos Magnéticos en Alta Frecuencia: Estudio, Modelado y Criterios de Diseño", Universidad de Oviedo, España. Tesis Doctorado 1993.

Lopera desarrolla una ecuación para determinar el volumen mínimo de acuerdo a:

Las perdidas en el núcleo son proporcionales al volumen del mismo y al cuadrado de la densidad de flujo alterno con la que trabaja (baja frecuencia).

Perdidas del núcleo.

a K W cm2 G " W " ,Abz = A ,etc

Tamaño del conductor Abn

A*, = n1 n2

Seleccionar conductor De la tabla de AWG

(4.63)

w L = - + s i la relación entre el flujo total (/\=NO) y la corriente que causa el campo I

magnético es lineal.

A B,, = --i A = N @ A,

(4.64)

83

Perdidas en el devanado.

Las perdidas totales son:

(4.65)

(4.66)

Derivando las perdidas totales con respecto a N e igualando a cero, se obtiene el número de vueltas que minimiza las pérdidas totales:

K,,K,L~I:,A,.V + Nap = 4 J P G p : dp,,

dN (4.67)

Donde

- K W 4 V es el área efectiva del conductor es el área efectiva del núcleo es el área de ventana es el coeficiente de utilización de la ventana es una constante del núcleo perdidas por unidad de volumen

A,,, - ~ N Acon Ac Aw K U

KM

Por tanto las pérdidas totales son:

Lopera comprueba que para el caso de tomar el limite de diseño la Bac se cumple

se puede asumir que las pérdidas en el núcleo son iguales al devanado. El factor __

que -- K F G , donde KFG es la constante de forma geometrica del núcleo. La

ecuación queda:

VI 44

-- I A ~ A : v%

despejando V se obtiene:

(4.69)

(4.70)

84

De esta manera se puede seleccionar el volumen mínimo necesario en función de constantes de los materiales, de la aplicación y de las perdidas aceptables.

Trabajando ahora con un Bs.t se obtiene, suponiendo que:

(4.71)

(4.72)

donde se podría obtener el volumen necesario aunque no de manera implícita.

Tabla para el diseño de un inductor, volumen mínimo

Tabla 4-6. Procedimiento de diseño para un inductor por el método del volumen mínimo.

Devanado Óptimo para conductores hilo redondo

De los trabajos de Perry [16], Vandelac y Ziogas [17] se obtienen las ecuaciones que permiten calcular las pérdidas del devanado, incluyendo los efectos piel y proximidad.

85

,. ,.. . . , , _~_ / . , . , , . w . . , .

Para el caso de un inductor con entrehierro central, las perdidas totales son, . . aplicado a hilo redondo: .

donde

D 6

D, = - , D es el diámetro del hilo redondo.

N r =-6 N es el número de vueltas. h,

El diseño óptimo es el par (Dn, m) que minimiza las funciones F,() y F2() en (4.79) . . . para una cierta aplicación r: . ..

Dado r, se varia el número de capas m, y para cada capa se varia D, desde O hasta Dn max

Dicho máximo esta dado por:

(4.80) m r 4,,, = -

de las gráficas obtenidas se obtiene el valor Óptimo.

Considerando corriente con componente en CD y CA, definiendo:

Las perdidas totales son:

Obteniendo gráficas para varios valores de k, se obtiene el valor Óptimo.

Para bobina con entrehierro en la pierna central y exterior:

(4.81)

(4.82)

(4.83)

86

(4.84)

En las gráficas obtenidas se obtiene el valor Óptimo (Dn, r )para minimizar las pérdidas.

Para el caso de un transformador se reduce al diseño de un inductor.

1. 2.

3.

Se utiliza como inductancia L el de la bobina magnetizante (LM) deseada. Se utiliza como factor de utilización de ventana la mitad que en el caso de las bobinas. Todas las corrientes serán del primario excepto Iac, que se tomara como la parte alterna de la corriente magnetizante, ya que es la responsable de las pérdidas.

Para obtener el devanado optimo, intercalando primario y secundario para disminuir el efecto proximidad, propone dos métodos:

Método 1.

Se aplica cuando:

(4.86) -- r r N

1) 2 )

3)

Se asigna la mitad del área total para el primario y la otra para el secundario. Dado el número de vueltas del primario, se selecciona un tamaño de hilo que llene su mitad del área total. Se obtendrá así el número de capas del primario mp. El secundario debe tener mp-1 capas. Conocido este número, el número de vueltas del secundario y su área total de I otra mitad de la ventana, se obtiene el tamaño del hilo del secundario. Si el número de vueltas del secundario es menor que el número de capas de secundario necesarios, o tan bajo que no llena la altura de la ventana, se utilizarán tantos hilos en paralelo como sean posibles para llenar dicha area.

4)

Método 2.

Se aplica cuando:

(4.87) ))a --

1) 2 )

3)

Dividir el area de ventana en n franjas de una profundidad piel. Se rellenan las franjas impares con el primario, paralelizando tantos hilos como sean necesarios. Se rellenan las franjas pares con el secundario, paralelizando igualmente si resulta necesario.

87

4.3.5.- Comparación de métodos de diseño

Ahora se compararan los métodos expuestos anteriormente, tratando de establecer las ventajas y desventajas que presentan. Esto tomando en cuenta el criterio con que basan el método de diseño, facilidad de diseño, la precisión de los resultados obtenidos, es decir que involucre menos rediseños, la inclusión de efectos en alta frecuencia.

Tabla 4-7. Tabla comparativa de métodos de diseño magnético.

Ventajas

Desventajas

Producto de areas is un método utilizado :omúnmente para seleccionar !I tamaño del núcleo.

ixiste suficiente información )or parte de los fabricantes le núcleos

ista basado en datos )btenidos en baja frecuencia.

.as relaciones encontradas ;on empiricas.

do incluye los efectos de alta recuencia. ;o10 es valido para formas de inda sinusoidales.

Constante geométrica Permite controlar el diseño cuando el criterio son las pérdidas del devanado con valores de corriente de rizado de CA pequeños.

Recientemente incluye análisis de las perdidas en alta frecuencia

El criterio se basa en establecer la densidad de flujo óptima, la cual podría ser de un valor mayor a la de saturación.

AI no incluir los efectos de alta frecuencia, no es posible garantizar un valor de resistencia en el devanado (y de pérdidas) como lo establece el método.

No extiende los resultados para formas de onda arbitrarias.

Las pérdidas en alta frecuencia y su optimización son a través de graficas, los cuales implican mas tiempo de diseño.

Volumen mínimo Establece el mínimo del volumen requerido para cumplir con el criterio de pérdidas del cobre iguales a las del núcleo

Incluye el aumento de las perdidas por efecto de la frecuencia.

Establece criterios para seleccionar el devanado Óptimo que minimice las perdidas en alta frecuencia. Poco conocido. El criterio utilizado se complica cuando se tienen componente de CO con un rizo de CA. Es necesario generar varias gráficas para establecer el devanado óptimo.

Para formas de onda no sinusoidales es necesario descomponer en fourier, lo cual implica tiempo en el diseño.

88

Conclusiones

Los tres métodos anteriormente descritos, producto de áreas, constante geométrica y volumen mínimo establecen como criterio principal de diseño que las pérdidas del núcleo son iguales a las perdidas del cobre. Sin embargo tanto el método de constante geométrica como el de Lopera aclaran que para los casos donde se opere con corrientes con componentes de CD y de rizado de CA, el método podría utilizar valores de densidad de flujo por encima de saturación. Además, cuando el valor del rizado es muy pequeño en comparación a la componente de CD las pérdidas por proximidad y por efecto piel son prácticamente despreciables, por lo que el criterio de igualar pérdidas de cobre con las del núcleo no es el óptimo.

E l producto de áreas de McLyman, es el más ampliamente utilizado, cuando menos para seleccionar un núcleo aproximado. Algunos autores complementan este método realizando un análisis de 10s efectos de alta frecuencia, optimizando el devanado para varios núcleos similares y seleccionar el Óptimo según los resultados obtenidos.

Lopera retorna el método de diseño producto de áreas, y propone una ecuación que determina el volumen que minimiza las pérdidas, para el caso de limite por Bac, y a su vez demuestra que las perdidas en el cobre son iguales a las del núcleo para un determinado valor de vueltas; sin embargo, esto solo es válido para aplicaciones muy particulares. Para el caso de diseño limitado por Bat. no puede derivar una ecuación para determinar el volumen mínimo. Completa su método de diseño con criterios adicionales como selección del tipo de hilo, tamaño del núcleo y devanado en donde incluyen los efectos en alta frecuencia. Sin embargo, es poco conocido y utilizado este método, además de que el análisis de los efectos en alta frecuencia consumen tiempo durante el diseño.

En conclusión, los métodos proporcionan una herramienta que permiten seleccionar de manera aproximada un núcleo que cumpla con las especificaciones de manejo de potencia. Sin embargo, el diseño final dependerá de las características particulares de la aplicación en base a la experiencia que se tenga sobre el funcionamiento del elemento en el mismo para determinar las factores que son necesarios optimizar, y establecer los criterios pertinentes para lograrlo.

En la actualidad, existen muy buenas aproximaciones de los análisis de efecto piel y proximidad, además de que se pueden aplicar a formas de onda arbitrarias. Esto permite con menos tiempo y recursos, realizar tanto el diseño de un elemento magnético, como el análisis de las perdidas en alta frecuencia y su optimización. Esto es uno de los objetivos de esta Tesis, establecer las mejores aproximaciones para el diseño, de tal manera que sea práctico, sencillo y io mas preciso posible.

4.4.- Referencias

[l] Colonel Wm. T. MacLyrnan. "Transformer and Inductor Design Handbook". Editorial Board, 1988.

121 ECEN 4517. Filter Inductor Design. 1nductor.pdf.

[3] Robert Erickson. "Fundamentals of Power Electronics". . Dragan Maksinovic. Universidad de Colorado. Segunda Edición. 2001.

[4] Fundamentals of Tape Wound Core Design Magnetics. Twc-sl.pdf.

89

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90

Capítulo 5 Método de diseño propuesto

en alta frecuencia

5.1.- Diseño magnético en alta frecuencia con núcleos convencionales

El problema básico para el diseño de un elemento magnético -con núcleo- puede dividirse en dos partes:

0

Criterios de optimización.

Obtención de los datos requeridos para el diseño (conocimiento de la aplicación). Selección del núcleo: material y forma geométrica. Selección de los devanados (tamaño y disposición).

Es muy importante entender el funcionamiento exacto del elemento magnético en la aplicación, ya que permite establecer criterios específicos que facilitan tomar las decisiones adecuadas durante el desarrollo del diseño. Inclusive lo recomendable es manejar la como variable de diseño la frecuencia final de operación, encontrando el valor ya sea por recomendación del fabricante.

Los primeros dos puntos se discutieron en el capitulo 4, donde se obtienen los datos iniciales generales para cualquier diseño.

Se analizaron los métodos producto de áreas, constante geométrica y método de Lopera los cuales permiten establecer parámetros para la selección mas adecuada del núcleo. Como Lopera menciona, el producto de áreas funciona en baja frecuencia, pero en altas frecuencias (mayores a 100 kHz) ya no funciona correctamente, en parte debido a los fenómenos que aparecen, como el efecto piel, proximidad, del entrehierro, etc. Y por otra los datos que proporciona el fabricante, como el cálculo de perdidas en el núcleo,

91

son determinadas en baja frecuencia, 10s cuales pueden quedar alejadas de 10s valores que se obtienen en alta freCUenCia.

El método de producto de áreas, relaciona las dimensiones físicas del núcleo (área de ventana por área transversal) con 10s parámetros del diseño en Particular. SU principal problema es determinar la densidad de flujo y el crecimiento de temperatura aceptable que minimice las pérdidas tanto en el núcleo como en el cobre. (como se ha las pérdidas minimas se obtienen cuando las pérdidas del cobre Son iguales al del núc'eo. Y que no se consideran los efectos que surgen en alta frecuencia.

Con el método de la constante geometrica, se introduce una dimensión mas del núcleo, la longitud de vuelta promedio, relacionada con la resistencia del cobre y Con las pérdidas del mismo. El diseño es parecido al de producto de areas, la diferencia es que es necesario determinar la resistencia y la densidad de flujo maxima (y con ello las pérdidas) que se esperan en el elemento magnético. AI igual que en el producto de areas, depende de valores proporcionados por el fabricante, que como se mencionó, son obtenidos en baja frecuencia y no son completamente utilizables al incrementar la frecuencia. Sin embargo, al introducir una dimensión mas, la selección del núcleo es un tanto más cercana a las necesidades del diseño.

El método de Lopera es por demás interesante. Encuentra el número de vueltas que minimizan las perdidas totales, y demuestra que se cumple, cuando se utiliza como límite Bsat, que las pérdidas del cobre son iguales a las del núcleo. Con las vueltas mínimas, determina el volumen mínimo que se necesita para las vueltas que minimizan las perdidas. Para lograr esto, establece una constante geométrica, del volumen con el área de ventana, área transversal y longitud de vuelta promedio, la cual es constante (o puede considerarse como tal) para una forma geométrica determinada, sin importar el tamaño. El diseño, por tanto se basa en proponer la forma geometrica, las pérdidas aceptables, determinar la constante asociada y hallar el volumen mínimo según los parametros de diseño, que minimizan las perdidas. Cuando se utiliza como limite Bmax (con componente CD, entrehierro), se sigue un proceso similar aunque el resultado no es tan evidente, ya que no se puede establecer la relación entre la constante propuesta con anterioridad para hallar el volumen mínimo en forma explicita, pero puede determinarse en forma gráfica.

Una vez seleccionado el núcleo, conociendo las dimensiones físicas, el diseño se basa en ecuaciones generales, que se aplican en cualquiera de los métodos antes mencionados (excepto en el de Lopera, ya que encuentra la ecuación que establece el valor de vueltas mínimas que optimiza las perdidas.)

Sin embargo, a pesar de que los métodos antes mencionados tratan de proporcionar un camino de selección del núcleo, en alta frecuencia no son aplicables satisfactoriamente porque las pérdidas del cobre en continua no coinciden con las pérdidas en alterna, además de que no se incluyen los efectos proximidad, piel, corrientes de Eddy, que surgen al incrementar la frecuencia, de los cuales solo Lopera incluye la manera de obtener el diámetro Óptimo de devanado.

Entonces, ¿cómo escoger el núcleo operando en alta frecuencia? Se presentará a continuación el procedimiento paso a paso para el diseño de un elemento magnético.

92

5.2.- Selección del núcleo

Los datos que ofrece el fabricante sobre los materiales y núcleos que ofrece son el mejor aliado, ya que permiten seleccionar de manera practica, con graficas y tablas, el material y la forma geometrica, de acuerdo a los parametros de la aplicación.

Ahora empieza el verdadero trabajo de diseño, seleccionar el tamaño adecuado del núcleo de tal manera que tengamos las mejores prestaciones. Pero, ¿Cuales son las mejores prestaciones?, o dicho de otra manera ¿Cual es el criterio o criterios a seguir para obtener el diseño optimo?.

Aqui se hace necesario empezar a tomar ciertas consideraciones prácticas para establecer los criterios que permitirán optimizar el diseño del elemento magnético.

¿Que es lo que mas importante en este diseño?, ¿Reducción de tamaño?, ¿Reducción de perdidas? En este punto entran en juego los datos obtenidos anteriormente ya que escoger una densidad de flujo adecuada permite por un lado reducir el tamaño del núcleo, sin embargo como todavía no hemos seleccionado el núcleo no podemos evaluar el resultado final.

Empecemos estableciendo algunas restricciones y criterios de diseño:

5.2.1.- Restricciones de diseño

a) Como generalmente se busca como uno de los criterios principales el tamaño del núcleo, se puede empezar primero por determinar las restricciones físicas que se tienen en el circuito. El espacio y disposición que va a ocupar en el circuito nos permite establecer el volumen o peso máximo, la altura y e l ancho máximo del elemento. Núcleos disponibles. En algunos. casos solo se cuenta con tamaños específicos que deber ser usados, ya sea por costo o por tiempo de manufactura por ejemplo. Situación térmica. Determinar el medio ambiente en el que va a operar el elemento, problemas térmicos derivados por la cercanía de otro elementos disipativos como MOSFET's u otros elementos magnéticos. Esto puede ayudar a determinar a establecer como criterio principal de diseño la reducción de perdidas tanto en el núcleo como en el devanado para evitar temperaturas excesivas durante la operación. (Aunque sera necesario tomar registro de las temperaturas del núcleo, devanado y medio ambiente durante el funcionamiento en estado estable del elemento en el circuito para decidir si cumple con el requisito, en caso contrario sera necesario rediseñar y evaluar de nuevo) En caso de ser un diseño sin restricciones de tamaño, entonces con los datos obtenidos hasta el momento se procederá a determinar el tamaño del núcleo.

b)

C)

d)

93

5.2.2.- Selección de tamaño aproximado del núcleo

Con los datos obtenidos de la aplicación, el método mas sencillo para obtener un valor aproximado de tamaño de núcleo es utilizar el producto de areas. Los métodos de constante geométrica, y Lopera requieren mas experiencia para determinar de manera satisfactoria las pérdidas que se consideran aceptables para la aplicación. Sin embargo, hay que tener en cuenta que estos métodos solo son una aproximación, que no incluyen los efectos de alta frecuencia en el método de selección, y que se basan de suponer las perdidas del núcleo iguales a las del cobre,

para un transformador o inductor resonante: (I)

AI 2

para un inductor con componente de CD, I = I , f- :

(5.1)

I donde E - -L12

Con el dato de producto de areas, se selecciona el núcleo con el valor inmediato mayor en los datos del fabricante del núcleo, y se anotan los datos de las dimensiones físicas: Área transversal Ac, area de ventana A,.,, Peso, Volumen, largo de vuelta promedio MLT, y los valores de dimensión física del núcleo de acuerdo a la figura 5-1.

L - 2

4 G / c L D 4

(a) (b)

Figura 5-1. Datos del núcleo: a) tipo POT y b) tipo EE.

Los cuales permitiran calcular los valores restantes del diseño, como el número de

Una manera practica y sencilla de seleccionar el núcleo es determinar el máximo número de vueltas posible de varios núcleos en función de los datos de la aplicación; corriente maxima de funcionamiento, densidad de corriente (se puede empezar con un valor de 4.5A/rnm2), densidad de flujo maxima, factor de utilización de la ventana y determinar con ello la maxima inductancia máxima posible sobre los núcleos. Se utilizan las siguientes ecuaciones:

vueltas, entrehierro, conductor, etc.

94

Área de conductor posible, según la densidad de corriente propuesta:

(5.3) A - 'mu

b -- J Numero de conductores que llenan la ventana:

Inductancia máxima: Ab

(5.4)

Para el caso de corriente sinusoidal, a una densidad de flujo propuesta, teniendo como límite máximo el valor de saturación, comúnmente .390 T para ferrita o un valor recomendado por el fabricante en sus tablas de operación.

La ventaja de utilizar estos datos en forma de tabla, es que se pueden variar los datos de diseño de manera rápida y practica, según los parámetros de la aplicación, y permite realizar una evaluación rápida para seleccionar un núcleo adecuado, basta con observar en la columna de inductancia máxima y escoger el núcleo pertinente. La tabla se puede complementar con el valor de entrehierro necesario máximo, número de capas del devanado, resistencia del cobre en CD y CA a vueltas máximas. Con estos datos podemos tener una idea mucho mejor del posible resultado final del elemento magnético y escoger el mas adecuado para su posible optimización.

Utilizando una gráfica en el programa Excell, podemos obtener los siguientes datos para la familia del núcleo EE, de FERROXCUEE:

Tabla 5-1. Tabla de datos para un núcleo €E.

1 0.194 I 0.15908 1 1 lO.414501 147.6 I 0.14 I 283.4688 0.547200 10.22091 0.120876 I 1 10.414501 98.5 I 0.14 I 215.393

0.41371 0.225522 I 1 10.41450)98.12 I 0.14 I 401.8641 0.27561 0.131957 I 1 10.41450186.18 I 0.14 I 235.1381

95

La desventaja es que se necesita introducir todos los datos para la familia del núcleo. Sin embargo, una vez realizado este trabajo su utilización para futuros trabajos es realmente de enorme ayuda.

Con el tiempo, y la experiencia que se obtiene de realizar varios diseños, será mucho mas fácil seleccionar de la tabla anterior .núcleos de manera rápida, que cumpla con las características mas importantes de nuestro interés en las muchas aplicaciones de los elementos magnéticos. A si mismo permitirá ir desarrollando el conocimiento que permita establecer que criterios de diseño son realmente necesarios de tomar en cuenta y que parametros son necesarios de variar para lograr el objetivo final: Un diseño confiable y optimizado.

Para el caso de un transformador, se calcu'la el número de vueltas máximo de la ecuación:

V N = K,B"ACf

Una vez seleccionado el tamaño del núcleo ya sea por medio del producto de areas, constante geométrica, Lopera, por recomendación del fabricante o de la tabla tratada con anterioridad, es fácil encontrar los datos faltantes. Del núcleo se toma nota de las dimensiones físicas del núcleo necesario, para el caso del tipo E:

b- DA

Figura 5-2. Dimensiones físicas del núcleo tipo E

96

Área transversal,

Área de ventana, A , = F x C ( 5 . 7 )

AM, = ( 2 D ) ( M ) = Volumen y peso.

En el anexo 4 se presentan los diversas formas geométricas de núcleo, con los índices resDectivos.

5.2.3.- Número de vueltas I

Con los datos del núcleo tomados con anterioridad, densidad de flujo seleccionada, inductancia deseada y corriente de trabajo se calcula el número de vueltas con la siguiente ecuación:

N=- L I,, (5.9) A A a x

Donde I,,, es el valor máximo que alcanza la forma de onda de corriente. Para forma de corriente sinusoidal I,, = =&I,"$ en amperios; B,,, es el valor máximo de

densidad de flujo de trabajo, tomando como límite Bsat del material del núcleo, en teslas. Ac tiene unidades en m2.

5.2.4.- Entrehierro

Para el caso de necesitar entrehierro, se calcula su dimensión física con la siguiente ecuación:

, L I ~ N ~ A , , en m I, = L

(5.10).

Ac en m2, L en Henrios, ,UQ = 47Cx lo4'.

poN2A= x10a4 , para A, en cm* (5.11) 1, = L

5.2.5.- Factor de dispersión

Una vez calculado el número de vueltas y el valor del entrehierro es necesario calcular el factor de dispersión para reajustar el número de vueltas.

97

(.618x1~+.01618xlg F+.01618~1, c) (5.12) Fd =1+161.8~

$4' ((2Ig+,01F)( 21g+.01C))

F, C, Ac en cm.

donde F y C son dimensiones físicas del núcleo, en cm. Como se mencionó antes esta ecuación permite una mayor precisión que el factor usado por McLyman; y es particular para núcleos tipo E. Aunque se puede utilizar en forma general para cualquier tamaño, como se ha mencionado, es recomendable realizar algún ajuste a los factores multiplicativos para un tamaño en particular.

5.2.6.- Reajuste de vueltas

Con el factor de dispersión, se recalcula el número de vueltas.

N N, 2- 6

(5.13)

5.2.7.- Selección del tamaño del conductor

El tamaño del conductor resulta de dividir la corriente entre la densidad de corriente seleccionada. A," = - I,, , con la densidad de corriente en A/cm2 o A/mmz. Por medio de la tabla de

J conductores AWG, se selecciona el conductor mas cercano al valor anterior, se anotan los valores de resistencia por km,(o por metro, cm o rnm) y diámetro.

5.2.8.- Devanado

Conociendo el diámetro del conductor, el número de vueltas y las dimensiones de la bobina, el area de embobinado se obtiene el número de conductores que llenan la altura de la ventana y las capas del devanado.

Conductores por capa:

(5.14)

donde Hb es la altura de la bobina seleccionada, que también puede utilizarse como aproximación:

Hb = 2Dx 0.81 (5.15)

donde D es la altura del núcleo, y el número de capas:

98

(5.16)

5.2.9.- Resistencia en CD

Con el numero de vueltas, la longitud media MLT y la resistencia por kilómetro (Rr,) se obtiene el valor de la resistencia, en CD del devanado:

Rdc =(N)(MLT)(R,) , MLT en km (5.17)

5.2.10.- Resistencia en CA

Con los datos de construcción del devanado, número de capas y dimensiones del conductor se calcula el incremento de pérdidas debido a los efectos piel y ecuaciones, es decir, la resistencia en CA.

Para valores prácticos se puede utilizar las siguientes ecuaciones: ,

Para el caso de formas de onda sinusoidales, Para un transformador, sin entrehierro, de la solución propuesta por Dowell [17],

simplificada Hurley en [20], y para un inductor con entrehierro en la pierna central, de Perry [16]:

5m, -1 Y = 15

mcapes el número de capas.

(5.18)

(5.19)

Para un inductor con entrehierro en la pierna central y exterior, Vandelac [io]:

(5.20)

(5.21)

Para el caso de formas de onda de corriente arbitraria, Hurley [20]:

entrehierro en la pierna central: Para un transformador, sin entrehierro, y para el caso de un inductor con

(5.22)

5m, - ' (5.23) Y = 15

Para el caso de un inductor con entrehierro en la pierna central y exterior:, 2

Rq7 - k2+3 Y (5.24)

RdC

99

20rn, + 19 120

Y = (5.25)

(5.26)

donde I,",, es el valor rms de la forma de onda de corriente, I,,, es el valor rms de la derivada de la forma de onda de corriente. k es la razón entre la componente de CD y el valor rms de la forma de onda de corriente.

A = - & d , es la altura del conductor, para conductor redondo d = -O,,, =.886D,,r,

D,,, es el diámetro del conductor redondo. q es el factor de porosidad y 6, es la profundidad piel a frecuencia fundamental; definidos en el capitulo 3.

8 d

4

5.2.11.- Optimización del devanado

Conociendo el numero de vueltas y las capas es posible optimizar el devanado para reducir las perdidas en CA. Del trabajo de Hurley [20] obtenemos el valor Óptimo A~,,,:

(5.27)

(5.28)

de donde obtenemos el valor Óptimo de grosor de la capa d:

d,, = A O P A (5.29)

Aplicando la conversión de hilo redondo equivalente podemos obtener el diámetro del conductor de hilo redondo. Este resultado es válido para inductores con entrehierro en la pierna central.

Para el caso de inductor con entrehierro en la pierna central y exterior:

(5.30)

20m, + 19 (5.31) Y = 120

k=- I d , (5.32)

E l resultado final de la optimización de devanado es que para un determinado número de vueltas y capas de devanado existe un tamaño Óptimo de conductor.

Dependiendo el grado de optimización que se desee, o cual sea el (o los) objetivo(s) mas importantes de diseño, podría ser necesario ensayar para diferentes número de capas, considerando un valor de numero de vueltas fijo, para encontrar el mejor diseño.

I,,

100

Incluso podría ser necesario considerar 2 o 3 núcleos diferentes para compararlos y seleccionar el mas adecuado.

Dato Símbolo Ecuación 1 Inductancia L Depende de la aplicación 2 Corriente I,, Depende de la aplicación y de la forma de onda

5.2.12.- Conductores multi-hilos, hilo trenzado

Es muy conveniente utilizar hilo trenzado para reducir todavía' mas las perdidas en alta frecuencia. Utilizando un diámetro de hilo menor a 2 6 , y trenzar tantos hilos fueran necesarios para obtener la corriente deseada, a una cierta densidad de corriente. La desventaja es que el factor de utilización de ventana Ku se reduce' de un valor de 0.4 para hilo redondo hasta valores de k, de 0.16-0.2 dependiendo del aislamiento y la manufactura del embobinado. Puede utilizarse hilo de litz, sin embargo el costo es comparativamente bastante alto, menos utilización -de la ventana y manufactura más difícil.

5.2.13.- Manufactura final. Prueba del elemento magnético

Con los datos obtenidos, solo resta realizar la manufactura del elemento magnético medición de parámetros como son la inductancia, resistencia en CD y resistencia en CA, para varias frecuencias, y puesta en funcionamiento para su valoración en el circuito electrónico donde se requiere y verificar que cumpla con los requerimientos.

Unidades H

Amperes

5.2.14.- Hoja de calculo para resolver el diseño de un elemento magnético

Para mayor facilidad, las ecuaciones de diseño mostradas con anterioridad pueden introducirse en una hoja de calculo, como Excel, para realizar un proceso iterativo rápido y que permita, tanto ensayar para varios núcleos, como poder variar los parámetros involucrados y seleccionar lo mas conveniente. Así mismo pueden utilizarse programas como MAPLE o MATEMÁTICA para facilitar resolver las diversas ecuaciones y presentar los resultados de forma gráfica o tabular para una mejor visualización de los resultados. Aquí se presenta un ejemplo de hoja de Excel y uno con el paquete MAPLE como ejemplos de ayuda para el diseño magnético, basado en el diagrama de flujo mostrado a continuación.

5.3.- Tabla de la metodología propuesta para el diseño de un elemento magnético en alta frecuencia

Con los pasos mencionados de diseño puede construirse la siguiente tabla como metodología a seguir para el diseño de un inductor.

Tabla 5-2. Tabla de metodología para el diseño de un elemento magnético en alta freCIJenCia.

eficaz de

Valor eficaz ; I I 101

3

4

5

6

7

8

9

10

11

del núcleo

derivada de la corriente de operación. Corriente pico Frecuencia de Operación Material del núcleo Forma geométrica Densidad de flujo de operación Factor de utilización de la ventana Densidadde corriente de operación Impedancia del inductor Tensiónen el inductor Energía almacenada en ei

13 Datosdel núcleo

14 Calcular el número de vueltas

15 Calcular el entrehierro

16 Factorde dispersión

entrehierro 17 Re-ajuste de

vueltas

conductor

f

K"

VL

E ___

- N

__.

AWG ____

Depende de la aplicación

Depende de ia frecuencia de operación. Hoja de datos de fabricante. Depende de la aplicación. Hoja de datos del fabricante.

Depende de la aplicación, según lo discutido en el capitulo 4. Curva fxB del fabricante del núcleo.

K, = 0.4 para hilo redondo K, = 0.2 Para hilo trenzado o Litz

I = 450 A/cm2

XL=2xfL

VL=xLI,,,

1 E = - I ' L 2

Por medio de hoja de datos del fabricante, producto de areas o por medio de la tabla de núcleos, llenando con los datos de la aplicación y seleccionando el mas o mas convenientes. Tomar nota de las dimensiones del núcleo.

(0.6 18 x /: +.O 16 18 x ZEF + .O 16 1 8 x 1,C) Fd =1+161.8~

J4<((lE + O . O l F ) ( $ +O.OlC))

N N , =- JE I,, A =-

De la tabla de AWG, para un solo hilo redondo. Tomar nota J coo

Hertz

Tesla

A/cm2

n

Volts

Watts- segundo

m, rn2

M

cm2

cm

102

del Area del diámetro del conductor A,, I

7

28

I del I

Relación & entre

Resistencia deCAyCD R,,

Ref Para el caso deforma de - corriente no Rdc sinusoidal relación de resistencia

Conductor

por Km

de CD del

Con entrehierro en la pierna central, aplicar (5.18 y 5.19) -on entrehierro en pierna central y exterior aplicar 5.20 y 5.21)

:on entrehierro en la pierna central, aplicar (5.22 y 5.23) :on entrehierro en pierna central y exterior aplicar :5.24, 5.25 y 5.26)

disponible

acomodar

conductores

conductores por capa

capas del devanado

efectiva y * diámetro Óptimo de conductor

pasos

De la tabla de AWG 1 n/cm

R , = (MLT)(N)(R,) , MLT en kilómetros, tomado de los I R datos del núcleo o bobina a utilizar. De los datos de la bobina o Hb = 2 0 ~ 0 . 8 1 D es dimensión del núcleo

cm

I

, tomar entero inmediato N

mcnp = __ N ,

Con entrehierro en la pierna central, aplicar (5.27 ~5.28) Con entrehierro en pierna central y exterior aplicar !

(5.30, 5.31 y 5.32)

d,, = A d o d A -- ,LD -

Reoetir el orocedimientos Dara varios núcleos o para'varios 0.886

- - - ~

numero de vueltas y capas para obtener el adecuado a la aplicación

I

103

5.4.- Prototipos

El método propuesto anteriormente se irnplementó en un programa en MAPLE para su solución. Se aplicó al diseño de un balastro electrónico. (Desarrollo completo en el anexo 2).

Las simplificación para el calculo de resistencia de CA se verificó con dos inductores realizados. La resistencia fue media con un equipo HP 4284A.

Los datos obtenidos fueron:

Prototir>o 1

Con valor de Inductancia de 2.1 mH, entrehierro pierna central 80 mils, diámetro del conductor AWG #25, AD=0.45 rnm, 108 ohms/krn. Núcleo EE25. MLT 52mm. Rdc = 1.1232 ohms.

Tabla 5-3. Tabla de resultados para el prototipo 1.

1.124 1000 2.07 1.3 1.128 10000 1.638 20000 3.185 30000 5.764 40000 2.07 9.374 50000 2.08 14.18 60000

Realizando la optimización, para onda sinusoidal, resulta en un valor de:

Tabla 5-4. Tabla de resultados optirnizados para el prototipo I .

Seleccionar un diámetro de conductor para 60 kHz, el cual corresponde a AWG #33, diámetro de 0.19 y 605 ohms/km. Realizando los cálculos con este conductor:

104

Tabla 5-5. Tabla de resultados derivada de la optimizacjón del protot;Do I . !

!

Se observa que para 60KHz hubo una reducción de 3 veces el valor de la resistencia.

Prototivo 2 I

Con valor de Inductancia de 2.lmH, entrehierro pierna central 80 mils, diámetro del conductor AWG #25, A~=0.45mm, 108 ohms/km. Núcleo EE25. MLT 52mm Rdc =1.1232 ohms, entrehierro pierna central y exterior.

Tabla 5-6. Tabla de resultados para el prototipo 2.

Como se observa, el calculo obtenido para la resistencia de CA, y las perdidas asociadas son muy aproximados, las ecuaciones son sencillas de aplicar y fácil de implementar n hojas de datos o programas matemáticos. En este caso se utilizó una hoja de Excel para realizar los cálculos a las diferentes frecuencias de operación.

Otro punto importante es que los resultados muestran que es mejor utilizar entrehierro en la pierna central y exterior, a comparación de utilizar Únicamente en la pierna central. Usar entrehierro distribuidos permite reducir enormemente las pérdidas en alta frecuencia. 1

105

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[I51 K.W.E. Chang. P.D. Evans. "Optimization o f high frequency inducor design of serie

[I61 M.P. Perry. "Multiple layer series connected winding desing for minimum losses".

resonant converter". PECC 1992. Pags 1416-1422.

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1171 P. L. Dowell, 'Effects of Eddy Currents in Transformer Windings". IEE Proc., Vol 113 NO. 8, pp. 1387-1394, August 1966.

[18] Robert A. lensen and Charles R. Sullivan. "Optimal Core Dimensional Ratios for Minimizing Winding Loss in High-Frequency Gapped-Inductor Windings". 8000 Cummings Hall, Dartmouth College, Hanover, NH. 03755, USA. http://engineering.dartrnouth.edu/inductor aspectratio.pdf.

[is] Soft Ferrites and Accessories. Soft Ferrites. 2002 Feb 01. HZOO2.pdf.

I201 W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. "Optimizing the AC resistance o f multilayer

[21] W.G.Hurley, W.H. Wolfle and J.G. Breslin. "Optimized transformer desing: inC/USiVe of high frequency effects". IEEE PECC 1999.

[22] xi Nan and Charles R. Sullivan. "An Improved Cü/CU/atiOn Of prOxiTi~Y-~ffect in High-Frequency Windings of Round Conductors". 8000 CummiWs Hall, Dartmouth College, Hanover, NH 03755, USA, Tel. +1-603-646-2851 Fax +1-603-646-3856. http://engineering.dartmouth.edu/indUCtOr. newca1c.W.

1231 XU Tang and Charles R. Sullivan. "Stranded Wire With Uninsulated Strands as a Low-Cosf Alternative to Lit2 Wire". PESC 2003 1. Dartmouth College, Hanover.

transformer windings with arbitrary wave forms". IEEE PESC 1999.

108

Capítulo 6 Conclusion es

6.1.- Conclusiones

Uno de los objetivos mas importantes en esta tesis es presentar una metodología que simplifique el diseño de un elemento magnético, incluyendo los efectos que aparecen al incrementar la frecuencia. Existen innumerables artículos, en donde presentan varias propuestas de análisis de los efectos en alta frecuencia, la mayoría basado en la propuesta hecha por Dowell [l]. Estos análisis se han ido complicando a la par con los programas de computadores por lo que ahora de la propuesta basado en una solución lD , ahora se tienen versiones en 2D y 3D, además se extienden los resultados a formas de onda de corriente arbitrarias.

Sin embargo, algunos autores vuelven a las soluciones 1D complementando y ajustando los factores involucrados para permitir resultados comparativamente satisfactorios a los obtenidos en 20 y 3D en ciertos limites de operación y presentan simplificaciones a los métodos de análisis de formas de corriente arbitraria, basados en análisis de fourier. Esto permite ahorrar tiempo y dinero en un diseño magnético, dejando los análisis mas complejos por computadora a diseños en donde, realmente sean necesarios.

Después de revisar la bibliografía sobre los métodos de diseño utilizados actualmente, siendo el basado en el producto de áreas el mas común, ,y las propuestas para incluir los efectos en alta frecuencia, se optó por utilizar los .,mas sencillos o simplificados que permitan obtener resultados satisfactorios de manera práctica y con la suficiente aproximación a resultados obtenidos con sistemas mas complejos, y extendiendo a formas de corriente arbitrarla, cada vez mas comunes en los sistemas electrónicos actuales.

109

por io que en esta tesis se presenta como parte de la metodología de diseño:

. una ecuación sencilla, que permite realizar ajustes debido a la dispersión de' entrehierro con mas precisión que el tradicional de Stephens [21.

. Se obtuvieron expresiones simples para predecir la resistencia de CA en transformadores e Inductores con entrehierro central y central y exterior. Esto permite evaluar las pérdidas en alta frecuencia.

Se obtuvieron expresiones de fácil aplicación para encontrar el tamaño óptimo del conductor para reducir las perdidas de CA en alta frecuencia considerando formas de corrientes no sinusoidales, aplicado a transformadores e inductores con entrehierro central y central y exterior. Esto evita que se utilice el tradicional análisis de fourier, que involucra el calculo de cuando menos 30 armónicos para la forma de onda.

No es sencillo establecer un método general que englobe todas las características Óptimas de funcionamiento en el diseño de un elemento magnético en alta frecuencia dada la diversidad de aplicaciones y criterios involucrados en su funcionamiento.

La base del diseño en alta frecuencia se centra en el análisis del elemento magnético en la aplicación, las características particulares permiten establecer los criterios necesarios para su optimización (experiencia). Mientras mayor conocimiento se tenga de la aplicación, y el funcionamiento exacto del elemento magnético involucrado, es mas fácil seleccionar los parámetros adecuados involucrados en el diseño que permitan su optimización. La optimización involucra posibles cambios en el circuito para mejorar el desempeño mutuo (evaluación general del funcionamiento de la aplicación).

6.2.- Trabajos futuros

Entendiendo los efectos en alta frecuencia, la manera en que se analiza e involucra en las diversas aplicaciones, el siguiente paso es incrementar la complejidad de estos análisis para obtener resultados cada vez mas próximos a la realidad.

Existen varios programas de software en el mercado como el Pmag de Ansotf Corporation que permiten realizar análisis cada vez mas complejos, tan complejos que muchas veces los resultados son difíciles de interpretar. Sin embargo, el avance en programación ya permite obtener como resultado final, utilizando salidas visuales y gráficas, directamente la construcción final del elemento magnético - optimizado - que permiten establecer la manera exacta de construirlo. El problema sigue siendo el costo de estos programas.

Una posible solución es empezar a involucrarse con la implementación de programas que realicen estos análisis para poder reducir los costos, además de poder simplificarlo para usuarios que no cuenten con la suficiente experiencia en el diseño.

110

6.3.- Referencias

[l] P. L. Dowell, "€fleck o f Eddy Currents in Transformer Windings". IEE Proc., Vol 113 NO. 8, pp. 1387-1394, August 1966.

Intusoft. Magnetics Designer. Personal Computer. Circuit Design. Tools. file-134.pdf [2]

111

112

Anexo 1

Tablas de la guía de selección de productos 2004 FERROXCUBE

Tabla 1. Materiales de polvo férrico. Corteda de FermxCube.

2P40 2PsO 2P65 2P80 I 2P90

40 50 65 09 90

material Properoes measuredon slntered, ungmund dng mres of dlmenslons B25xD15x lOmm,whlchsrenotsubjectedtoexternal sbsses.

113

c Tabla 2. Matriz de aplicación. Cortesía de FerroxCube. c P

Electronic Datá Processing

(EDP) " I Appiicntion aren Telecommunication

3C81.3C90.3ES.3E6.3E27

Tcmids Current transformen

7 1 3c81.3cB). 3CQ4 3ET

3C81.3C90.3ES. 3E6.3E27 I I I I

I I Toroids U. T-de

7X61.3C90.3CM.3E27.3F4 3C81.3m. 3 C U 3E27 1 Tmida. E.ER. EP. EFD.

Driver lransfómers I Tcmids. E. ER. EP. EFD. w n , pn I I

I 381. SI. 3S4.V.15 &El. I 451. a. dS7 I I 381.351.3S(.4A144El. I ffi2.dsd.4SI 381. SI. 3s4.4415 4El.

EMI-suppression 4Sz.dsd. ds7 on PCE

I I I BOW. RJS. CMS.IIC.MLs.WES. WEC

EOW,RJS.CkiS.iiC.MLC.WES. WEC

I I I I I

EMl-suppression in power lines

2P.~1.3c81.3s1.3S13,

ZP. El 1.335. m, 527. 3E5 36. ~ , 4 9 1 1 . U15

2P.?81.3c81,S1.3SZS!. 4915dE1. dS2

~ ~ ~ w v . ~ . i i ~ . ~ ~ ~ . n e c CMS.hlHC. Torcids

ECBIIN.~D~.~IC.WES.~PC. M S . MHC. Tar¡&

EC Wh PA5 IIC WES HBC. U 6 UHC laroda I

I I 2P. X11. €25. EX, Y27. I 3 E S 1 S . ~ . J A l l . U l ñ Ehll.suppression in mains filters

I

2SlQ JSIQds50.FFPlO ZS1Q J S I Q SYO. FFPlD

EMl-suppmssiom on signal wires and cables

EMI.absorbing powders and surfaces

- - -

I- I- VI

r - - - - - l F l ~ l ~ / T l Filter inductors (slgnnf) r - - - - - l ~ ~ ~ / ~ l [/ t - - - l l I

Inductive delay lines

3-15. 3CY1.3C34.3c81 ~ 5 , 3 C U . 3 C 3 4 , 3 c E l

transformers (LOT)

Magnetlc regulators Tmids Tmids Tomida

Power inductors I 1 Power bansformers

I 3c81.3C90.3F3.3F4.3cS1, I 3WO. ZP. 3W4.3F35

Planar E. ER. PO. RMn. RMdLP. Pn. K . K S

3C81.3C90.3C91. 3F3.3F4. dF1 3cs11.3C86.3F35 E. EC EFD ETO. ER PlanarE. PO, RMII. RMllLP Pll PT. PTS

I Tmidb I 13H1.303.387 I

3CEl. 3C90.3F3.3F4. 3CQ1. 3WO. ZP. 3W4.3F35

PhnarE. ER.Pü.RMfl. RhWLP.

3C81.3C90, 3C91. 3F3.3F4. 4F1.3CP-i. 3C96.3F35 E. EC. EFD. ETD. ER. Planar E. PO. Rhln. RMIILP. Pli. PT. K S . 1 Twoids

I ~3cE1.3C90.3F3. 3c81.3C30.2P 3c81.3C90.3F3.3F4. 1 13CQl. 3W0.2P.3c94.3F35 I 1

Tnmids. U. E. ETD. Ranar E. ER

Tomids. U. E ETD. Ranar E. ER:PQ

E. EC. EFD. ETD. ER. PlanarE E. EC. EFD. ETD. ER. PlsnarE I I , I --

Pmxirnliy switehes PH

AE1.402.4C65.4E1. 381.3C90

Wideband. transformero- Tmids. MHE Tmids Tomids

L

-I-

116

n 7 1 [3E27.3E5.3E6.3E7.3EE I n -

I I ZP. 3c94.3F35 I I I 3C81.3C90.3F3. 3Fd.'291. 3CU. ZP. 3CB1.3F35

3C81, JC90. 3F3.3C91, 1L30. )3C81.JC90.3C91.3cJo.2P -1 Plenar E. ER. K2. RMfl. RMIILP. 1 1 I j Po, RM, RMILP. PA. m. PTS.

E. EC. 5 0 . ETO. ER Aansr E. PO. RIM. RWlLP.Tahd8 --

I

3E1.3Ed 3E5 3E6 ?E7,3Ell 3Ci1 IE25 3E55 3E2B

. . 3E1 3E4.3E5. 3E6.3Ei7.3EZT. 3E1.3E4.3E5.3ffi. 3E7.3EZT. 3CI 1 . Y25.3E56.3E28 3CI I 3E25.3E55.3E28

m m I-

- n

I

I

I

O N

O ax u:

c f

O

N

: : = a 2 i

n E z O a H I

118

Anexo 2

Calculo y optimización de la resistencia de CA para inductores con núcleo y entrehierro central y exterior para formas de onda de corriente arbitraria

Resumen

Elevar la frecuencia de operación en circuitos conmutados permite reducir considerablemente el tamaño de los componentes magnéticos y de las fuentes de alimentación. Las formas de onda no sinusoidales y los efectos proximidad y piel en alta frecuencia contribuyen a las pérdidas en los componentes magnéticos utilizados. Los cálculos tradicionales de las perdidas de CA se basan en suponer corrientes y voitajes sinusoidales. En este trabajo se utilizan herramientas sencillas para el cálculo de las perdidas de CA en .inductores, tomando en cuenta las formas de onda arbitrarias, y la obtención de una fórmula para optirnizar el grosor del embobinado.

NOMENCLATURA

d

D Ciclo de trabajo

f Frecuencia en Hz

IdC

1"

1,s

l b n s

Espesor de la lámina o capa

Valor promedio de la corriente

Valor rms de la corriente n-armónica

Valor rrns de la corriente

Valor rms de la derivada de la corriente

119

Relación entre la corriente de dc y la corriente rms de la forma de onda

Relación de la resistencia de CA a la resistencia de dc a la n-frecuencia armónica

Número de capas

Número de vueltas por capa

Número de armónico

Resistencia de CA del embobinado con excitación sinusoidal

Resistencia de dc del embobinado

Resistencia efectiva del embobinado, con forma de onda de corriente arbitraria

Resistencia de dc del embobinado de espesor 6 0 R b

t, Tiempo de subida (O-100%)

T Periodo de la forma de onda de corriente

F 60

wpOo profundidad piel a frecuencia fundamental

Profundidad piel a frecuencia n-armónica 8”

6O relación del espesor de capa con la profundidad piel

Factor de porosidad rl

I.- Introducción

Los sistemas de alimentación conmutados son operados en altas frecuencias para minimizar las dimensiones de los componentes magnéticos. Los circuitos resonantes permiten incrementar la eficiencia de las fuentes de alimentación. Estas fuentes de alimentación tienen formas de onda de corriente y voltaje no sinusoidales por lo que incrernentan adicionalmente las pérdidas de CA debido a los armónicos [l]. Para el caso de transformadores, Dowell [Z] obtiene una expresión para el cálculo de la resistencia de CA, la cual ha sido utilizada en muchas aplicaciones como en transformadores matriciales por Williams [3], entrehierros distribuidos por Evans [4], inductores toroidales por Cheng

Los efectos debidos a las formas de onda no sinusoidales han sido tratados por Venkatraman [ 6 ] , Carsten [7], Vandelac [8] y Hurley [ 9 ] . Las corrientes se descomponen en sus componentes armónicos, estos componentes armónicos son ortogonales [lo] por lo que las perdidas totales es igual a la suma de las perdidas debidas a cada armónico. El proceso es bastante largo; para optirnizar el ernbobinado es necesario:

[51.

Calcular los coeficientes de fourier Calcular las pérdidas a cada frecuencia armónica Calcular las pérdidas totales para cada grosor de capa del embobinado en un cierto rango

120

Obtener el embobinado optimo de una grafica de la resistencia CA versus grosor de capa

Típicamente es necesario calcular las pérdidas para mas de 30 armónicos y para cuando menos 10 grosores diferentes de capa.

En (11, Huriey introduce una nueva fórmula aproximada para el calculo de la resistencia de CA para cualquier forma de onda de corriente, la cual solo requiere de los valores rms de la corriente y su derivada. Basa su trabajo en las ecuaciones de Dowell, pero las simplifica convirtiendo las funciones trigonometricas e hiperbólicas por medio de expansión de series; las perdidas las calcula utilizando la representación por medio de series de fourier de la corriente así como de su derivada. AI final obtiene una ecuación para calcular el tamaño Óptimo de manera sencilla, sin necesidad de graficas.

Así el proceso de selección del embobinado óptimo se simplifica enormemente y con muy poco porcentaje de error.

11.- Resistencia de CA para Bobinas con entrehierro central y exterior, de m capas iguales en serie

Vandelac y Ziogas [8] resuelven las ecuaciones de Maxwell, considerando corrientes sinusoidales, para el caso de una bobina con entrehierro central y exterior, de m capas iguales en serie (figura 1), y obtienen una expresión para calcular el factor de resistencia de CA y con ello las pérdidas en los devanados:

L J

donde las funciones F1 y Fz son:

sinh(A)cos(A) + cosh(A)sin(A) co~h(2A) - COS(~A) F* (A) = (3)

Donde A es la relación entre el espesor de la capa d con respecto a la profundidad piel &.

Esta es una buena aproximación a la solución cilíndrica original, si el grosor de la capa es menor al 10 O/O del radio de curvatura.

Para embobinados que consisten en conductores redondos, o laminas que no ocupan el ancho total de la .ventana, pueden ser tratados como laminas equivalentes de ancho d y conductividad efectiva o, = o-q [2][8], tal y como se muestra en la figura 2.

121

. . . ~ , . . . ,,

O 0 0 0

........

........ mH \ ........

-----_.-----__-----______ L 2

Figura 1. Bobina con entrehierro central y exterior.

. . . . ' D' ' d ' ! d !

.................

Wf I ................. II d '

Nd wf t72 =-

W V I = -

W cw = 'l;a

Figura 2. Conversión de conductor redondo a lámina equivalente

Las funciones trigonométricas e hiperbólicas en (1) pueden expresarse en por medio de expansión de series como:

sinh(ZA)+sir(ZA) I 4 3 I 7 11 q ( A ) = =- +- A -- A + q A )

oxi(2A)-cm(2A) A 45 4725

Y

(4)

122

Utilizando Únicamente términos de orden A 3 , los errores incurridos son menores al 9 O h en el peor de los casos, por tanto (1) se reduce a:

donde

20m2 + 19 v = 240

(7)

Un corriente arbitraria puede ser representada por su serie de Fourier como: m

i(f) = Id< + 1 cnCos(nwt + un) ( 8 )

Donde idc es el valor dc de i(t) y C, es la amplitud del n-armónico con la correspondiente

fase

Las pérdidas totales debidas a todos los armónicos es:

“=I

El valor rms del n-armónico es 1, = - C” . JT

“=I

donde Kpn es el factor de resistencia de CA a la frecuencia del armónico n. Puede ser calculado a partir de (l), y utilizando la aproximación de (6) como:

Ref es la resistencia efectiva debida a la corriente i(t) por lo que

P = R&$ I

I,,, es el valor rms de la corriente i(t). De (9) y (11):

Sustituyendo (10) en (12):

el valor rms de i(t) en términos de armónicos es:

La derivada de i(t) en ( 8 ) es:

123

el valor rms de la expresión anterior es:

Sustituyendo (14) y (16) en (13):

Definiendo:

Por lo que:

Esta es una expresión directa que permite encontrar la resistencia efectiva del embobinado, considerando una forma de onda de corriente arbitraria, sin necesidad de conocer los coeficientes de Fourier.

111.- Diámetro Óptimo de capa

Para encontrar el diámetro optimo de embobinado definamos Rs como la resistencia de una lámina de grosor So [3] de tal manera que:

el cual implica que

124

de (22) utilizando (20)

2 R 5 k 2 + 3 Y 6 - Ro 8A 3 [:;:I +-A3 - -_-

Derivando la expresión anterior e igualando a cero para encontrar el valor Óptimo de Aopt:

2

el valor optimo de Aopr es:

El valor correspondiente d Óptimo es

d,, = A,,60

Sustituyendo (25) en (20) , el valor Óptimo de la resistencia efectiva es:

5 k 2 + 3 4 (”),,, = 4 3 1

Escribiendo (20) en término de Aopt:

(26)

(27)

Ahora contamos con ecuaciones sencillas para encontrar el valor óptimo de lámina o grosor de capa de un embobinado y su resistencia efectiva, basado Únicamente en los valores rms de la corriente y su derivada y de la constante k.

1V.- Validación

Para la forma de onda mostrada en la figura 3, se representa en series de fourier como:

125

t

DT T

Figura 3. Corriente en un convertidor Flyback MDC.

los valores rms y de su derivada son: -

I@ IdC =- 2

El valor Óptimo encontrado con la fórmula propuesta (25) es:

para un valor de D=0.5, m=6 los valores son:

= 6.5 (6)' + 1 y=-

12

k =0.61237

AOp, = 0.52695

126

Utilizando la serie de Fourier de la corriente, encontramos el valor Óptimo, utilizando (12) y (10 ) para al menos 19 armónicos, para 20 valores de A, el valor Óptimo resulta ser de 0.540.

V.- Referencias

[I] W.G.Hurley, W.H . Wolfle and 3.G. Breslin. ”Optimized transformer desing: inclusive of high frequency effects”. IEEE PESC 1999.

121 P . L. Dowell, “Effects of Eddy Currents in Transformer Windings”. I E E Proc., Vol 113 NO. 8, Pp. 1387-1394, August 1966.

[3] R. Williams, D.A. Grant, 3 . Gowar, “Multielement Transformers for Switched-Mode Power-Supplies: Toroidal Designs”, IEE Proceedings, P t . 8 , vol. 140, no. 2, pp. 152- 160, March 1993.

[4] P.D. Evans, W.M. Chew, “Reduction of Proximity Losses in Coupled Inductors”, IEE Proc. Pt . 6, vol. 138, no. 2, pp. 51-58, March 1991.

[ 5 ] K.W.E. Cheng, P.D. Evans, “Calculation of Winding Losses in High-frequency Toroidal Inductors Using Multistrand Conductors“, IEE Proc. - Electr. Power Appl., vol. 142, no. 5, pp. 313-322, September 1995.

[6 ] P.S. Venkatraman, ”Winding Eddy Current Losses in Switch Mode Power Transformers Due to Rectangular Wave Currents”, Proc. of Powercon 11, section A- l, pp. 1-11, 1984.

[ 7 ] Bruce Carsten. ”High Frequency Conductor Losses in Switchmode Magnetics”. H i g h Frequency Power Conversion Conference Proceedings, CA, May 1986.

[SI 3 . P. Vandelac and P.D. Ziogas. “A Novel Approach for Minimizing High Frequency Transformer Copper Losses”. IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 3, No. 3, pp.

[9] W.G.Hurley, E . Gath, and 3.G. Breslin. ”Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with arbitrary wave forms”. I E E E PESC 1999.

[ lo] 3.A. Ferreira, “improved Analytical Modelling of Conductive Losses in Magnetic Components”, IEEE Trans. Power Electron., vol. 9, no. 1, pp. 127-31, January 1994.

266-276, July 1988.

127

Anexo 3

Formulas para el Óptimo grosor de un devanado para varias formas de onda, = (5p2-1)/15, p = Numero de capas

+ En la forma de onda 2 para n = k = 1 h D E N (el conjunto de los números naturales), y en la forma de onda 3 para n = k = 1 D E N la expresión encerrada en {} es reemplazada por n2/16.

A continuación se presentan una tabla' con las formas de onda y fórmulas para el grosor de un devanado.

' W.G.Hurley, E. Gath, and I.G. Breslin. "Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with arbitrary wave forms: IEEE PESC 1999.

129

labia 1. Formulas y formas de onda para el grosor Óptimo de un devanado.

Forma de onda de corriente

1.

2.

'* pi? 3.

4.

5.

L p 2 6.

1:

""I =I$

Series de Fourier, i(t)

Sen(or)

2D/, 401 Cos(nnD) -+.¿$[ <I-4n'.'J Cos ( n o r )

401, Cos(nnDI2) ' y[ (l-i i 'D') 1 cos ( " 0 1 ) "-!.odd

Aaw =

A "i n'D(1- D ) =L-

130

Anexo 4

................. @[-I .................

................. - H

Formas geometricas comerciales. Definición de índices sobre sus dimensiones

roo. LQE + 1 ................. @----I ................. .................

................. - H

~ Q E L. .............. .............. .............. ..............

" balun1 bead1

drurncore e c o r e l

cutccore

e-core2

[ cutecore E'P e-core3

131

efdcor l

- I K C L D - !

ep-core 1

planar-1

@@j Lo4

potcorel A- -

potcore5

epcore2

er-core3

:iT planar-2

potcore2

potcore6

efd-cor3

r-c--! t-B- . . . . . . . . . . . ... -@u 1 . ..... . ... ... -

A K k t-04 ep-core3

planar-3 -A- C B i

I - @ potcore3

hO4

potcoreí

efdcor4

P I r c q . . . . . . . . .. [@ .. ...... ~

sJk er-core1

i plana-

i o c Lo4

potcore4

pq-core1

132

rrncore8

toroid-3

I rmcore6

~ ~~~~~

. .... . ... . __._

. .... .. .. .. .. SJk

ucore2

133

..,,.".~ .<..

134

Anexo 5

Programa en Maple V: Procedimiento de diseño de un inductor analizando los limites de operación de los diferentes tipos de núcleos.

Datos de entrada: Corriente rms de operacion: I rms Corriente Pico de trabajo: Ipico Densidad de corriente: I d Inductancia deseada: L Factor de utilizacion de la ventana: Kv

> restart;

Datos de entrada Corriente de trabajo en estado estable, en amperes.

> Irrns:=.55;

I rms := .55

Para forma de onda sinusoidal, este dato varia de acuerdo a la forma de onda de corriente de trabajo.

> Ipíco:=evalf(Irms*sqrt( 2));

135

Ipico := ,7778174591

Inductancia deseada en mcrohenrios

> L:=2100;

L := 2100 . , ,..as, i_ :..: ,: :#' ;& "*,, -*, *

Frecuencia de operacion, estado'estable.

> Fop:=60000;

Fop := 60000

Datos del Nucleo

> Nucleo:=usuario;

Nucleo := usuario

> read "TablaNucleos.txt"; > Ac:=E[ Nucleo] [Cl] *E[ Nucleo] [ Fl] * le-02;

Ac := ,406316

> Aw:=(E[Nucleol[ElI-E[Nucleo][F11)*E[Nucleo][Dl]*le-02;

AW := .86595

> Ap:=Ac*Aw;

Ap := .3518493402

> Vol:=E[Nucleo][Ve];

136

-5 Vol := ,1930 10

Material del núcleo.

> read "MaterialNucleo.txt"; > Material:="3C81";

Material : = "3C81"

Densidad de flujo maxima del material del nucleo. En Teslas.

> Bmax: =MN[Material][Bmaxl];

Bmax := .33

Densidad de flujo de operación en estado estable propuesto.

> Bopp:=.14;

Bopp := .14

Constante de pérdidas por voiumen (lOO°C).

> Kv:=MN[Material][k];

-13 KV := .9436089960 10

Perdidas en el nucleo, en función de la densidad de flujo y la frecuencia de operacion, en watts sobre metro cubico (iOO°C)

> Const:=evalf((sqrt(5)+1)/2);

Const := 1.618033989

> Pv:=evalf((Kv*(FopA(Const))*((Bopp* 1000)A(Const+ l))*( lOO))*lOOO);

Pv := 211173.4633

Pérdidas en watts del núcleo seleccionado (a 100°C):

> PN: = Pv* E[ N ucleo] [Ve];

PN := .4075647842

Limites de diseño Factor de utilizacion de ventana, Kv. Depende del tipo de conductor a utilizar, el carrete, tecnica de embobinado. Para conductor circular de un solo hilo se utiliza 0.4. Para

137

~, ... .. ....,, ,

multihilos ün valor aprox. de 0.2 (Dependiendo del numero de hilos, el aislamiento y e¡ diarnetro del hilo)

> Kv:=0.4;

Kv := .4

Densidad de corriente de trabajo en amperes por cm2. Un valor aceptable es de 450A/cm2. El rango aceptable a utilizar es de 300 a 600 A/cm2. Este valor depende de la caracteristicas de temperatura deseada (as¡ mismo de la ventilacion del elemento, y de la situacion dentro del prototipo y caja)

> Jd:=450;

Jd := 450

Maximo posible de numero de vueltas que puede ocupar el area de ventana, considerando un solo conductor circular.

> Nmax: =Aw* (( Kv*Jd)/Irms);

Nmax := 283.4018182

Factor de corrección debido al entrehierro, para el valor máximo de vueltas (fisico).

~Fxc=l+((sqrt(5)+1)/2)*(sqrt((Ac*le-04)/((2*Ig+E[Nucleo][F1]*le- 03)*(2*1g+E[Nucleo][C11*le-O3))))*(((sqrt(5)- 1)/2)*1g*Ig*lg+( (sqrt( 5 )+ 1)/2) *( ig*ig*E[Nucieo][Cl]* le- 03+lg*ig*E[Nucleol[F1]*le-03))/(Ac*lg*le-04);

I

\ Fxc = 1 + 78.44008255 I(sqrt(5) + 1)

1 Sqrt(-------------------------------)

(2 lg + .00628) (2 lg + .00647)

3 2 \ (U2 (~q r t (5 ) - 1) lg + .006375000000 (Sqrt(5) + 1) lg )// I9

/

>ig1:=so1~e(F~c=1+78.44008255*(sqrt(5)+1)*sqrt( 1/((2*19+.628e- 2)*(2*lg+.647e-2)))*(l/2*(sqrt(5)-l)*lgA3+.6375OOOOOOe- 2*(sqrt(5)+l)*isA2)/i9,19);

4 l g l := RootOf(7875643584577O4Z5632OOOOOO~Z + (

3012433671100718780424000 + 1004144557033572926808000 sqrt(5)

3 2 ) 3 + (-12800000000000000000000 FXC

138

+ 25600000000000000000000 Fxc

+ 19204264653267082225203 sqrt(5) + 32009950857623191858807)

2 - 2 + (-81600000000000000000 + 163200000000000000000 FXC

2 - 81600000000000000000 Fxc) -Z - 130021120000000000

L - 130021120000000000 FxC + 260042240000000000 Fxc)

SoliciÓn bajo las condiciones:

> Nmaxd:=Nmax*sqrt(Fxc);

Nmaxd := 283.4018182 sqrt(Fxc)

> Igm:=evalf(((4*Pi*le-07)*Nmaxd*Nmaxd*(Ac*le-04))/(L*le-06));

Igm := ,001952808956 Fxc

>solve( {Rootof( 78756435845770425632000000*~2A4+(30124336711007187 80424000+ 1004144557033572926808000*Sqrt(5))*J"3+(- 1 2 8 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O * F x c A 2 + 3 2 O O 9 9 5 O 8 5 7 6 2 3 l 9 l 8 5 8 8 O 7 ~ l 9 2 O 4 2 6 4 6 53267082225203*~qrt(5)+25600000000000000000000*F~~)*~~"2+(- 816OOOOOOOOOOOOQOOOO+1632OOOOQQOOOOOOQOOOQ*F~~- 81600000000000000000*F~~~2)*~Z-130021120000000000- 130021120000000000*FxcA2+260042240000000000*Fxc)=.1098455037~- 2*Fxc,Fxc> l),Fxc);

{FXC = 2.216689188>

> Fxc: =2.216689 188;

Fxc := 2.216689188

Número de vueltas máximo, considerando el factor de corrección debido a la dispersión en el entrehierro.

> Nmaxd: = Nmax*(sqrt( Fxc));

Nmaxd := 421.9442118

Entrehierro máximo para lograr el valor de inductor con los datos de vueltas máximo.

> IgM := .1098455037e-2*Fxc;

IgM := .O02434933404

en mils:

139

5 lgMm := (.1098455037e-2*Fxc/(2.54*le-05));

IgMrn := 95.86351985

Densidad de flujo minima que puede utilizarse en el nucleo, considerando el numero de vueltas rnaxirno y la inductancia deseada, y el valor pico de corriente (en Teslas).

> Bmin:=evalf(L*le-O6*1pico)/(Ac* le-O4*Nmaxd);

Bmin := ,09527479519

Numero de vueltas rninimo para evitar la saturacion. Utilizando la densidad de flujo maxima del nucleo a utilizar (la parte mas lineal) y el pico de la corriente.

> Nmin:=evalf((L*le-06*Ipico)/(Bmax*Ac*le-O4));

Nrnin := 121.8201466

Entrehierro rninirno.

> Igmin:=evalf(((4*Pi*le-07)*Nmin*Nmin*(Ac*le-04))/(L*le-06));

lgrnin := .O003608217674

En mils:

> Igminm:=lgmin/(2.54*le-05);

lgrninrn := 14.20558139

~Fxmin:=evalf(l+((sqrt(5)+1)/2)*(sqrt((Ac*le- 04)/((2*lgmin+E~Nucleo][Fl]*le-03)*(2*lgmin+E[Nucleo][C1]*le-

1)/2)*lgmin*lgmin*Igmin+((sqrt(5)+1)/2)*(lgmin*lgmin*E[Nucleo][C1]* l e - 03+lgmin*Igmin*E[Nucleo][F1]*le-03))/(Ac*lgmin*le-04));

03))))*(((sqrt(5)-

Fxrnin := 1.269154404

Numero de vueltas rninirnas, considerando la dispersion en el entrehierro.

> Nminc:=Nmin/sqrt(Fxmin);

Nrninc := 108.1339051

Inductancia maxima en el núcleo, en rnicrohenrios, con la corriente especificada, evitando la saturación.

> Lmax:=evalf~((Nmax*sqrt(Fxcm)*Bmax*Ac*le-04)/Ipico)/le-06);

Lrnax := 4885.430162 sqrt(Fxcm)

> Nmaxdm: =Nmax* (sqrt( Fxcm));

140

Nmaxdm := 283.4018182 sqrt(Fxcm)

> lgm:=evalf(((4*Pi*le-07)*Nmaxdm*Nmaxdm*(Ac*le-04))/(Lmax*le-06));

Igm : = .O008394140683 sqrt(Fxcm)

>solve(CRootOf(78756435845770425632000000*~ZA4+ (30124336711007187

128000000000000000000OO*FxcmA2+32009950857623191858807+19204264 653267082225203*sqrt(5)+25600000000000000000OOO*Fxcm)*~ZA2+(- 81600000000000000000+163200000000000000000*F~~~- 81600000000000000000*FxcmA2)*~Z-130021120000000000- 130021120000000000*FxcmA2+260042240000000000*Fxcm)=.6295605510e- 3*sqrt( Fxcm),Fxcm>l),Fxcm);

80424000+ 1004144557033572926808000*~qrt(5))*~Z"3+(-

{Fxcm = 1,525464231)

> Fxcrn:= 1.525464231;

Fxcm := 1.525464231

> Lmax:=evalf(((Nmax*sqrt(Fxcm)*Bmax*Ac*le-04)/Ipico)/le-06);

Lmax := 6033.979409

Energia máxima que maneja el núcleo, en microjoules. De la inductancia máxima, y el factor de crecimiento del área transversal debido a la dispersión del entrehierro.

> LIZ: =evalf((Aw* Kv* Jd* Bmax*Ac*sqrt(Fxcm)* le-04) / ( 2*sqrt(2))* 10~0000);

LIZ := 912.6393849

Calculo del Inductor. Valores Seleccionados. > N: =evalf(( (L* le-06) *Ipico)/(Bopp*Ac* le-04));

N := 287.1474804

Longitud del GAP en mm:

> Ig:=evalf(((4*Pi*le-07)*N*N*(Ac*le-04))/(L*le-06));

lg := .O02004769921

En mils:

> Lg: =(lg* l eos / (2.54));

Lg := 78.9279496s

> Ig:=lg+2.5e-06;

141

lg := ,002007269921

>Fx: =evalf ( 1 + (( sqrt( 5)+ 1)/2) * (sqrt( (Ac* le-04)/ (( 2* lg +E[ Nucleo] [ F l ] * l e - 03)*(2*lg+E[Nucleo][C1]*le-03))))*(((sqrt(5)- 1)/2)*ig*lg*lg+((sqrt(5)+l)/2)*(lg*lg*E[Nucleo][Cl]*le- 03+1g*lg*E[Nucleo][F1]*le-03))/(Ac*lg*le-04));

Fx := 2.072610142

Vueltas corregidas:

> Nc:=evaif(sqrt((lg*L* le-O6)/(4*Pi*le-O7*Ac* le-O4*Fx)));

Nc := 199.5799144

Conductor. Un solo hilo. Area del conductor, segun la densidad de corriente seleccionada, en mm2

> read "AWG.txt"; > read "AWG2.txt"; > Carea:=(Irms/Jd)* 100;

Carea := .1222222222

> Sel:=O;

Se1 := O

> f o r i from 1 by 1 while i < 28 do if (AWGZ[i][Area]>Carea) then Sel:=i ;i:=28 fi > od;

Conductor seleccionado, en AWG.

> Cal: =AWGZ[Sel] [AWGl];

Cal := 26

Corriente que maneja el conductor seleccionado, a la densidad de corriente propuesta.

> Icond:=AWGZ[Sel] [Area]*Jd/lOO;

Icond : = .5850000000

Numero de conductores:

> if I r m s I c o n d then N:=l else Ncond:=ceil(Irms/Icond) fi;

N := 1

142

Conductor. Multihilos. Resistividad del cobre.

> pcü:=1.724*(1+.0042*(T-20))*le-08;

-7 -10 pCU := .15791840 10 + ,72408 10 T

Temperatura.

> T:=100;pcu:=1.724*(1+.0042*(T-20))*le-08:

T := 100

Permeabilidad en el vacio.

> mu:=4*Pi*le-07;

-6 mu := .4 10 Pi

Profundidad Piel a la frecuencia de operacion. En mrn.

> dp:=evalf(sqrt(pcu/(mu*Pi*Fop)))*lOOO;

dp := .3118289025

Diametro del conductor rninirno a seleccionar, según la profundidad piel.

> read "AWG.txt"; > read "AWG2.txt"; > Sel:=O;

Se1 := O

> for i from 1 by 1 while i C 28 d o if (AWG2[i][Dia]>2*dp) then Sel:=i ;i:=28 fi > od;

Conductor seleccionado, en AWG.

> Cal2:=AWG2[Sell[AWG11;

Cal2 := 22

Corriente que maneja el conductor seleccionado, a la densidad de corriente propuesta.

> Icond: =AWG2[Sel] [Area] *Jd/100;

Icond := 1.485000000

143

Numero de conductores, en Ca50 de que conductor seleccionado no pueda manejar la corriente total.

> if Icond<Irms then Ncond:=ceil(Irms/Icond) else Ncond:=l fi;

Ncond := 1

Pérdidas en el cobre del Inductor. Longitud de vuelta promedio del inductor.

> ~vp:=52e-03;

Lvp := .O52

Longitud total del inductor. En metros.

> Lt:=Lvp*ceil(Nc);

Lt := 10.400

Resistencia por metro del conductor.

> Cal:=25;

Cal := 25

> Rrnl:=AWG[Cal][Rm];

R m l := . lo8

Resistencia en CD total, en ohms.

> Rdc:=Rml*Lt;

Rdc := 1.123200

Numero de conductores que caben en la altura de la ventana.

> NVcon:=trunc(.9*2*E[Nucleo][Di]/ (AWG[Cal][Dia]));

NVcon := 27

Numero de capas del devanado.

> Mdev:=trunc((Nc/NVcon));

Mdev := 7

Relacion del diametro del conductor. Conversion hilo redondo a cuadrado.

> d:=O.S66*AWG[Cal][Dia];

144

d := .38970

Porosidad.

> n:=(".'con*d)/(.9*2*E[N~cieo][~l]);

n := ,8471739128

Relacion entre el diametro del conductor y la profundidad piel.

> DO:=(AWG[Cal][Dia]/(dp))*sqrt(n);

DO := 1.328257983

Resistencia de CA. Aplicado a pierna central.

> Psil: = (5*Mdev*Mdev-l)/( 15);

244

15 psi1 := ---

> Rac:=convert(expand((i+(Psil/3)*DOA4)),polynorn);

Rac := 17.87745861

Resistencia de CA

> Rca:=Rac*Rdc;

Rca := 20.07996151

Perdidas en watts en el conductor:

> P:=Irms*Irms*Rca*Rdc;

P := 6.822528363

Conductor optirno en profundidades piel.

> DOop:=evalf( l/(sqrt((cqrt(Psil)))));

DOop : = ,4979381004

Diarnetro optirno del conductor.

> dopt:=DOop*dp;

dopt := .1552714914

Convertir en Area de conductor circular.

145

~~~~

z Diaop:=dopt/.866;

Diaop := ,1792973342

Calibre en AWG.

> Sel:=O;

Se1 := O

> for i from 1 by 1 while i < 28 do if (AWG2[i][Dia]rDiaop) then Sel:=i ;i:=28 fi > od;

Conductor seleccionado, en AWG.

> Cal2:=AWG2[Sel][AWGl];

Cal2 := 33

Numero de conductores necesarios para manejar la corriente de operación.

z Ncop:=ceil(Irrns*l00/(AWG[Ca12][Area]*Jd));

Ncop := 5

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