Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de

Matemática Número 24 (Marzo -abril 2006)

ISSN – 1698-277X

Índice Artículos, notas y lecciones de preparación de Olimpiadas Carlos A.Gomes (Natal, Brasil): Polinomios simétricos Francisco Bellot: Los libros de la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO) Problemas para los más jóvenes Resueltos: solución de 23.2, por Bruno Salgueiro Fanego (Vivero, España) Propuestos: Tres problemas propuestos en la Olimpiada rumana 2006, fase municipal, Bucarest. Problemas de nivel medio y de olimpiadas Resueltos: Soluciones a los problemas propuestos en el número 23, por Bruno Salgueiro Fanego. Propuestos: Problemas propuestos en la fase nacional de la 42 Olimpiada Matemática Española (Sevilla, marzo 2006) Propuestos: Cinco problemas de la Competición Húngaro-Israelí Problemas resueltos: Resueltos: Soluciones recibidas después de la aparición del número 23: Al problema 103, por Bruno Salgueiro Fanego (Vivero, España) Al problema 109, por Glauber Moreno Barbosa (Río de Janeiro, Brasil) y por José Jorge Rodríguez Pérez (Oleiros, España) Al problema 110, por José Jorge Rodríguez Pérez (Oleiros, España) Prob. 106 bis: recibidas soluciones de José Carlos García Barro (Mondoñedo, España); Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, España); Marcos Martinelli (Brasil); Bruno Salgueiro Fanego (Vivero, España) y el proponente. Presentamos la solución de Lasaosa.

Prob. 111: recibidas soluciones de José Carlos García Barro (Mondoñedo, España); Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, España); Bruno Salgueiro Fanego (Vivero, España) y el proponente. Presentamos la solución de García Barro. Prob. 112: recibidas soluciones de Miguel Amengual Covas (Cala Figuera, España); Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, España); Bruno Salgueiro Fanego (Vivero, España) y el proponente. Presentamos la solución de Amengual. Prob. 113: recibidas soluciones de Miguel Amengual Covas (Cala Figuera, España); Ricardo Barroso Campos (Sevilla, España); José E. Espinoza Guevara (Lima, Perú); Oscar Ferreira Alfaro (Valencia, España); José Carlos García Barro (Mondoñedo, España); Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, España); Cristóbal Sánchez Rubio (Benicassim, España) y el proponente. Presentamos las soluciones de Sánchez Rubio y Amengual. Prob. 114: Recibidas soluciones de José Carlos García Barro (Mondoñedo, España); Samuel Gómez Moreno (Jaén, España); Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, España) y el proponente. Presentamos la solución de García Barro. Prob. 115: Recibidas soluciones de Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, España) y Bruno Salgueiro Fanego (Vivero, España). Presentamos la solución de Lasaosa. Problemas 116-120 Divertimentos matemáticos Algunas citas de Mathematical Circles, de H. Eves Comentario de páginas web La página web de Francisco Javier García Capitán Editor: Francisco Bellot Rosado

POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal/RN.

* Nível Intermediário Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares, na resolução de algumas equações irracionais são as funções polinomiais simétricas, que apesar de seu grande poder algébrico são pouco divulgadas entre os nossos alunos. A finalidade deste breve artigo é exibir de modo sucinto como estas ferramentas podem ser úteis na resolução de alguns problemas olímpicos.

I.Polinômios Simétricos Um polinômio f, a duas variáveis x, y, é dito simétrico quando f (x, y) = f (y, x) para todos os valores x, y. Exemplos:

a) σ 1 = x + y e σ 2 = x . y , são evidentemente polinômios simétricos (chamados polinômios simétricos elementares). b) Os polinômios da forma Sn = xn + yn, com n ∈ N também são simétricos. Um fato importante a ser observado é que um polinômio simétrico f (x, y) pode ser representado como um polinômio em função de σ 1 e σ 2. Vejamos: Se Sn = xn + yn, n ∈ N, (n 2), então: ≥ Sn = xn + yn = (x + y) (xn-1 + yn-1) – xy (xn-2 + yn-2) = σ 1 . Sn-1 – σ 2 . Sn-2 (n ≥ 2) Mas, S0 = x0 + y0 = 1 + 1 = 2 S1 = x1 + y1 = x + y = σ 1

Assim temos que:

S0 = 2 S1 = σ 1

S2 = σ 1 . S1 – σ 2. S0 = σ 1 . σ 1 – σ 2 . 2 = σ 12 – 2σ 2

S3 = σ 1 . S2 – σ 2. S1 = σ 1 (σ 12 – 2σ 2) – σ 2 . σ 1 = σ 1

3 – 3σ 1. σ 2

E daí usando a lei de recorrência Sn = σ 1 Sn-1 – σ 2 Sn-2 (n ≥ 2) podemos determinar Sn em função de σ 1 e σ 2 para qualquer número natural n. Agora para garantirmos a afirmação anterior que todo polinômio simétrico f (x, y) pode ser representado como um polinômio em σ 1 e σ 2 observemos o seguinte fato: Num polinômio simétrico f (x, y) para os termos da forma a . xK . yK não temos nenhum problema pois a . xK . yK = a (x . y)K = a . σ 2

K. Agora com os termos da forma

b . xi . yK, com i < k devemos observar o seguinte fato: Como, por hipótese, f (x, y) é simétrico se b . xi . yk, com i < k estiver presente em f (x, y) temos que b . xk . yi também deve estar presente em f (x, y), visto que deve ser satisfeita a condição f (x, y) = f (y, x). Assim se agruparmos os termos b . xi . yk + b . xk . yi (i < k) temos que:

b . xi . yk + b . xk . yi = b . xi . yi (xk-i + yk-i) = b. σ 2i . Sk-i ,

mas como já mostramos anteriormente Sk-i

pode ser escrito como um polinômio em σ 1 e σ 2, pois k – i ∈ N, visto que i < k. II.Exemplos Resolvidos

01.(Funções simétricas elementares a 3 variáveis) Definido: σ 1 = x + y + z σ 2 = xy + xz + yz σ 3 = x . y . z Sn = xn + yn + zn, com n ∈ N. (n ≥ 2) Mostre que: a) Sn = σ 1 . Sn-1 – σ 2 . Sn-2 + σ 3 . Sn-3 (n ≥ 3 , com n∈ N ) b) S3 = σ 1

3 – 3σ 1σ 2 + 3σ 3

Resolução: Observe inicialmente que:

xn + yn + zn = (x + y + z) (xn-1 + yn-1 + zn-1) – (xy + xz + yz) (xn-2 + yn-2 + zn-2) + xyz (xn-3 + yn-3 + zn-3) e daí temos que: Sn = σ 1 . Sn-1 – σ 2 . Sn-2 + σ 3 . Sn-3 (n ≥ 3, com n∈ N)

Agora temos que: S0 = x0 + y0 + z0 = 1 + 1 + 1 = 3 S1 = x + y + z = σ 1

S2 = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz) = σ 12 – 2σ 2

Agora fazendo n = 3 temos na lei de recorrência Sn = σ 1 . Sn-1 – σ 2 . Sn-2 + σ 3 . Sn-3 temos que:

S3 = σ 1 . S2 – σ 2 . S1+ σ 3 . S0 = σ 1 (σ 12 – 2σ 2) – σ 2 . σ 1 + σ 3 . 3

S3 = σ 13 – 3σ 1. σ 2 + 3σ 3

02. a) Fatore x3 + y3 + z3 – 3xyz

Resolução:

Essa velha e manjada questão continua ainda hoje pegando alguns bons professores e alunos. A sua solução pelos métodos tradicionais envolve uma boa dose de atenção e de paciência para aplicar velhos “truques” de fatoração, por outro lado ela é imediata usando os polinômios simétricos. Vejamos:

x3 + y3 + z3 – 3xyz = S3 – 3 . σ 3

Mas de acordo com a questão anterior S3 = σ 1

3 – 3σ 1σ 2 + 3σ 3 e daí temos que S3 – 3σ 3 = σ 1

3 – 3σ 1σ 2. Assim:

x3 + y3 +z3 – 3xyz = S3 – 3σ 3 = =σ 1

3 – 3σ 1σ 2 = =σ 1 (σ 1

2 – 3σ 2) = =[(x + y + z)2 – 3 (xy + xz + yz)] = (x + y + z) (x2 + y2 + + z2 – xy – xz – yz)

Obs. (para os mais curiosos): Na RPM 41, pág.38 existe uma bela resolução desse problema usando um determinante.

b) Usando a fatoração obtida em (a), verifique a famosa desigualdade das médias

aritmética e geométrica. Se a, b, c ∈ R+ então 3

cbabc.a3 ++≤ e a igualdade ocorre, se,

e somente se, a = b = c. De fato, em (a) verificamos que

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz).

Vamos mostrar inicialmente que se x, y, z são números reais positivos então:

(x + y + z) . (x2 + y2 + z2 – xy – xy – yz) ≥ 0 De fato,

x2 + y2 + z2 –xy – xz + yz = 21 (2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2xz – 2zy)

= 21 (x2 - 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 + y2 – 2yz + z2)

= 21 [(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2] 0 (Soma de quadrados) ≥

Ora, como estamos supondo x, y, z reais positivos temos que x + y + z 0 e daí (x + y + z) (x

≥2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) ≥ 0 (pois é o produto de fatores 0). Assim temos

que: ≥

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) ≥ 0 e daí

3xyz x≤ 3 + y3 + z3 ⇒ xyz ≤ 3

zyx 333 ++

fazendo x3 = a, y3 = b e z3 = c temos que:

3cbac.b.a 333 ++

≤

e daí

3cbaabc3 ++

≤

Com a igualdade ocorrendo se e somente se a = b = c, pois em (x + y + z).(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) ≥ 0 a igualdade ocorre apenas quando x = y = z, visto que x + y + z > 0, uma vez que x, y, z são números reais positivos e além disso,

(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) = 21 [(x-y)2 + (x – z)2 + (y – z)2] = 0 ⇔ x = y = z.

:03. Fatore (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3) Resolução: (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3) = σ 1

3 – S3

Mas, no exemplo anterior vimos que S3 = σ 1

3 – 3σ 1σ 2 + 3σ 3 e daí (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3) = σ 1

3 – (σ 13 – 3σ 1σ 2 + 3σ 3)

= 3. (σ 1σ 2 – σ 3) = 3. [(x + y + z) (xy + xz + yz) – xyz] = 3.(x2y + x2z+ xyz+ xy2 + xyz+ y2z + xyz+ xz2 + yz2 – xyz) = 3. [xy (x + y) + xz (x + y) + yz (y + z) + xz (y + z)] = 3. [(x + y)(xy + xz) + (y + z)(yz + xz)] = 3. [(x + y) . x (y + z) + (y + z) . z (x + y)] = 3. (x + y)(y + z)(x + z) 04. Se x1 e x2 são as raízes da equação x2 – 6x + 1 = 0 determine o valor de x1

5 + x25.

Resolução: Fazendo Sn = x1

n + x2n, n ∈ N , queremos determinar S5 = x1

5 + x25

Temos que: σ 1 = x1 + x2 = 6 σ 2 = x1 . x2 = 1 S0 = x1

0 + x20 = 1 + 1 = 2

S1 = x1 + x2 = 6 Sn = σ 1. Sn-1 – σ 2 . Sn-2 = 6 Sn-1 – Sn-2

e daí

S2 = 6 . S1 – S0 = 6 . 6 – 2 = 34 S3 = 6 . S2 – S1 = 6 . 34 – 6 = 198 S4 = 6 . S3 – S2 = 6 . 198 – 34 = 1.154 S5 = 6 . S4 – S3 = 6 . 1.154 – 198 = 6.726 Assim x1

5 + x25 = 6.726

04. Determine todas as soluções reais do sistema

⎩⎨⎧

+++=+++=++

1zyxxyzzyx1zyx

444333

De acordo com o sistema acima temos que:

⎩⎨⎧

∈++=+=σ+

=σNn,zyxSonde,

1SS1 nnn

n433

1

Mas, S3 = σ 1

3 – 3σ 2σ 1 + 3σ 3 e S4 = σ 14 – 4σ 1

2σ 2 + 2σ 22 + 4σ 1. σ 3 (verifique isto!)

e daí S3 + σ 3 = S4 + 1⇒ σ 1

3 – 3σ 1σ 2 + 3σ 3 + σ 3 = σ 14 – 4σ 1

2 σ 2 + 2σ 2

2 + 4σ 1σ 3 + 1 Como σ 1 = 1 temos que:

1 – 3 σ 2 + 4σ 3 = 1 – 4σ 2 + 2σ 22 + 4σ 3 + 1 ⇒ 2σ 2

2 – σ 2 + 1 = 0 Como, = (-1)∆ 2 – 4 . 2 . 1 = -7 < 0, concluímos que existem raízes reais. Uma outra aplicação interessante dos polinômios simétricos pode ser encontrada na resolução de algumas equações irracionais. Vejamos: 05.Determine todas as raízes reais da equação abaixo:

6xx272 44 =+− Resolução: Fazendo zx272eyx 44 =−= temos que

x = y4 e 272 – x = z4 ⇒ ⎩⎨⎧

=+=+

272zy6zy

44

e agora lembrando que : σ 1 = y + z e σ 2 = y. z e Sn = yn + zn, com n ∈ N

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

=σ+σσ−σ=σ

⇒==σ

2722.46

272S6

222

21

41

1

4

1

Logo, 64 – 4 . 62. σ 2 + 2σ 2

2 = 272 ⇒ σ 22 - 72σ 2 + 512 = 0 ⇒ σ 2 = 64 ou σ 2 = 8

Assim, se σ 2 = 64 ⇒ ⇒ Não existem soluções reais. ⎩⎨⎧

==+64z.y

6zy

Por outro lado, se σ 2 = 8 ⇒ ⇒ y = 2 e z = 4 ou z = 2 e y = 4 ⎩⎨⎧

==+8z.y6zy

Assim concluímos que: y = 2 ⇒ x = 16

y = 4 ⇒ x = 256 Logo as raízes reais da equação são 16 e 256. III. Problemas: 01. Se γβα e, são as raízes da equação x3 + 3x2 – 7x + 1 = 0. Determine o valor de

+ 333 γ+β+α 444 γ+β+α

02.Mostre que se o sistema tem solução, então a⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

cyxbyx

ayx

33

22 3 – 3ab + 2c = 0

03. x, y, z são números reais tais que x + y + z = 5 e yz + zx + xy = 3. Verifique que

313z1 ≤≤− .

04. Se x + y + z = 0, verifique que, para n = 0, 1, 2, ... vale a relação:

xn+3 + yn+3 + zn+3 = xyz (xn + yn + zn) + 21 (x2 + y2 + z2)(xn+1 + yn+1 + zn+1)

05. Determine as raízes reais da equação 3xx33 55 =+− .

06. Verifique que:

(x + y + z)3 – (y + z –x)3 – (x + z – y)3 – (x + y – z)3 = 24xyz.

07. Dados a, b e c números reais positivos tais que a b clog b log c log a 0+ + =

)3,determine o

valor de ( ) . ( ) (3 3a b clog b log c log a+ +

08. Se α, β e γ são números complexos tais que 1α + β + γ = , e , determine o valor de

2 2 2 3α + β + γ =3 3 3 7α + β + γ = 21 21 21α + β + γ .

Referências: [1] Barbeau, E. J., Polynomials – Problems books in Mathematics – Springer Verlag. [2] Engel, Arthur , Problem-Solving Strategies – Springer Verlag. [3] www.obm.org.br, Mathematical Excalibur.

LOS LIBROS DE LA OLIMPIADA INTERNACIONAL DEMATEMÁTI-CAS (IMO)Francisco Bellot Rosado

Como es conocido, en 2008 la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMOen lo sucesivo) se celebrará en España, concretamente en Granada. Qu.izá seainteresante recordar a los lectores de la Revista Escolar de la OIM los libros quese han publicado hasta este momento, conteniendo los problemas propuestos enel concurso y, en algunos casos, los propuestos al Jurado Internacional (la "listacorta", en la jerga de la IMO).Es claro que cada Comité Organizador de la IMO ha publicado el folleto

con los problemas propuestos al Jurado; pero esta publicación siempre tieneuna circulación restringida y no suele estar al alcance del público. En este casonos proponemos comentar los libros que, hasta donde nosotros sabemos, se hanpublicado sobre esta materia.Tal vez los dos primeros, cronológicamente hablando, sean los publicados en

1976:D.Gerll, G.Girard:Les Olympiades internationales de mathématiques; Ha-

chette, 1976; reeditado en 1994 por Ed. Jacques Gabay.E.A.Morozova, I.S.Petrakov, V.A. Skvortzov: Mejdunarodnie matem-

aticeskie Olimpiadii, Moscú, Provescenie, 1976 (en ruso).El libro de Gerll y Girard tiene resueltos los problemas de la IMO entre 1967

y 1975; los enunciados de los propuestos entre 1959 y 1966; y un cierto númerode otros problemas, tanto de la "lista corta" como de Olimpiadas de algunospaises.Por su parte, el libro de Morozova, que se puede descargar gratuitamente

de la dirección de Internet http://ilib.mccme.ru, incluye las soluciones de losproblemas de la lista corta y de otras olimpiadas, entre 1959 y 1976. En lospaíses del Este, el libro siempre se consideró un clásico.En 1978 apareció en inglés el libro de Samuel L. Greitzer International

Mathematical Olympiads 1959-1977, publicado por la Mathematical Associationof America (de él se hizo una traducción al español, en La Tortuga de Aquiles).Tenía la ventaja de estar escrito en inglés, pero solamente incluía los proble-mas propuestos en la competición. Tuvo un éxito considerable, y Murray S.Klamkin escribió International Mathematical Olympiads 1979-1985 and fortysupplementary problems, en 1986, publicado también por la M.A.A.En 1981, Dimitrios Kontogiannis publicó en griego su primer tomo de

Matematikes Olimpiades, comprendiendo las 19 primeras olimpiadas Interna-cionales. De cada problema propuesto se ofrecen casi siempre varias soluciones,y extensiones y generalizaciones extraordinariamente interesantes. A mi enten-der, junto con el libro rumano de Cuculescu (del que tengo un ejemplar, pre-cisamente regalado por Kontogiannis en 1988), que comentaré a continuación,es uno de los libros más completos sobre las primeras IMOs.En 1984, Ion Cuculescu publicó en la Editura Tehnica de Bucarest su

Olimpiadele internationale de matematica ale elevilor, comprendiendo las IMOsde 1973 a 1982. Además de las soluciones "o�ciales" comentadas, se describen

1

en esta obra única en su género los reglamentos y costumbres de la IMO, losresultados, las discusiones sobre la elección o rechazo de los problemas, algu-nas soluciones destacadas de los propios alumnos participantes, y los criteriosempleados por los coordinadores durante la corrección y puntuación.En 1988, las Editions du Choix publicaron Olympiades Internationales de

mathématiques, por J.P.Boudine, F.LoJacomo y R. Cuculière, que com-prende los problemas propuestos entre 1988 y 1977 . En este libro no sólo se dala solución de cada problema, sino que se indica el camino que conduce a ésta.Es un excelente ejemplo de cómo se deben exponer las soluciones a los alumnos.Es lástima que no haya tenido continuación.En 2001, Anthem Press publicó International Mathematical Olympiad 1959-

1999, del profesor húngaro István Reiman (premio Paul Erdös, junto con quienesto escribe, de la World Federation of National Mathematics Competitions delaño 2000). La versión previa húngara de este libro tuvo un extraordinario éxitoen su país, nada extraño si se tiene en cuenta que los concursos de matemáticasson centenarios en Hungría.En 2003, el polacoMarcin E. Kuczma publicó International Mathematical

Olympiads 1986-1999, editado por la M.A.A. Este libro es más que la simplecontinuación de los escritos por Greitzer y Klamkin, ya comentados. En efecto,las soluciones de Marcin tienen siempre un punto de originalidad que hace queuno aprecie nuevos e interesantes puntos de vista, por conocido que pueda pare-cer un problema. Además, varios de los problemas propuestos en la IMO sonoriginales suyos, lo cual añade atractivo al libro.Hace apenas unos meses que se ha publicado, en la colección Problem books

in Mathematics, de Springer, The IMO Compendium. A collection of problemssuggested for the IMO:1959-2004, compilado por cuatro profesores serbios, an-tiguos concursantes en la Olimpiada Internacional: Dushan Djukic, VladimirJankovic, Ivan Matic y Nikola Petrovic. Incluye los problemas propuestos(con soluciones), los de la lista corta (con sluciones) y los enunciados de la "listalarga", cuando les ha sido posible conseguirlos. Es propósito de los autores pub-licar también las soluciones de estos últimos, quizá en una próxima edición ocomo publicación independiente. En total hay 1900 enunciados, de los que 864están resueltos.En el momento de escribir este comentario todavía no ha llegado a mis

manos el libro sobre la IMO del profesor rumano Mircea Becheanu, peroespero conseguirlo pronto...Valladolid, mayo 2006Francisco Bellot Rosado

2

Problemas para os máis novos (23) 23.2. Demostrar que, para , se verifica 2≥n

[ ] ( )( )6

1411

1

2+−

=∑−

=

nnnkn

k

.

Solución de Bruno Salgueiro Fanego (Viveiro, España): Agrupando os sumandos que teñen a mesma parte enteira, resulta:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )876543211

1

2

+++++++=∑−

=

n

k

k

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )1514131211109 +++++++

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++++++++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+ 15232221201918174 22 L+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+ 132142121111 222222 mmmmmmmm L L+

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+ 1222524221111 2222222 nnnnnnnnnnn L

( ) ( ) ( ) ( )444444444333333322222111 +++++++++++++++++++++++= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )111111 −++−+−++−++−+−++ nnnmmm LLLL

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )11111149372513 −++−+−++−++−+−++⋅+⋅+⋅+⋅= nnnmmm LLLL ( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 4142313221221112 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )11121112 −⋅+−⋅++−⋅+−⋅+ nnmm L

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )12

116

11211122121

1

1

1

21

1

−⋅−+

++−+−−

=+=⋅+⋅= ∑∑∑−

=

−

=

−

=

nnnnnmmmmn

m

n

m

n

m

( ) ( )( ) ( )( )6

14131226

1 +−=+−⋅⋅

−⋅=

nnnnnn .

Problemas para los más jóvenes (24)

Presentamos tres problemas de la clase VII (12-13 años de edad) propuestosen marzo de 2006 en la fase municipal (Bucarest) de la Olimpiada rumana.

24.1. Demostrar que para todo número natural n > 1; el número

p11 � � � 144 � � � 4,

donde la cifra 1 aparece n veces, y la cifra 4 aparece 2n veces, es irracional.

24.2. Un conjunto M de cuatro números naturales se dice ligado, si paratodo elemento x 2 M; al menos uno de los números x � 1 y x + 1 pertenece aM:Sea Un el número de subconjuntos ligados del conjunto f1; 2; : : : ; ng :a) Calcular U7:b) Determinar el menor número n tal que Un � 2006:

24.3. Se considera el triángulo isósceles ABC con AB = AC: Sea D elpunto medio del lado BC, M el punto medio del segmento AD y N el pie de laperpendicular trazada desde D a BM. Demostrar que dANC = 90o:

1

Problemas de nivel medio e de Olimpiadas (23) 23.1. Sobre unha semicircunferencia de raio 1, tómanse, nesta orde, os puntos , A B , C , D , E . Probar que

42222 ≤⋅⋅+⋅⋅++++ DECDBCCDBCABDECDBCAB .

Solución de Bruno Salgueiro Fanego (Viveiro, España): Sexan , A′ E ′ os puntos diametralmente opostos da semicircunferencia, nesta orde. Entón

DECDBCCDBCABDECDBCAB ⋅⋅+⋅⋅++++ 2222 ( )( ) ( EDCDBCEDCDCDBCBABCBA ′⋅⋅+′++⋅⋅′++′≤ 22221 )

)

( )( ) ( EDCDCAEDCDECBCBABCBA ′⋅⋅′+′++′⋅⋅′++′≤ 22222

( )( ) ( )EDCDEACEDCDCEABCBABCBA ′⋅⋅′′∠+′++′′∠⋅⋅′++′= cos2cos2 22223

( ) ( )

425

224

=′′=′+′= EAECCA ( )1 BAAB ′≤ e EDDE ′≤ (igualdades se e só se AA ≡′ , EE ′≡ ). ( )2 (igualdade sse ECCD ′≤ EED ′≡≡ ), CABC ′≤ (igualdade sse BAA ≡≡′ ); así, en ( )2 dase a igualdade se e só se BAA ≡≡′ , EED ′≡≡ .

( )3 2π

=′′∠ EAC , por ser un ángulo inscrito nunha semicircunferencia; EACCEA ′′∠−=′′∠2π , por

ser π a suma dos ángulos interiores de ECA ′′ ; 2

cos ECEAECCEA

′=

′′′

=′′∠ ,

2

cos CAEACAEAC

′=

′′′

=′′∠ .

( )4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′∠+==′′∠−=′∠ EACCEABCA

2ππ , por ser BCA′∠ inscrito e abarcar o trozo de

semicircunferencia que non abarcaba CEA ′′∠ , logo CEABCA ′′∠−=′∠ coscos , co cal o teorema do coseno en implica que BCA′ BCABCBABCBACA ′∠⋅′−+′=′ cos2222

; CEABCBABCBA ′′∠⋅′++′= cos222

analogamente, o teorema do coseno en ECD ′ implica que EDCDCAEDCDEC ′⋅⋅′+′+=′ 222

. EACEDCDEDCD ′′∠′⋅+′+= cos222

( )5 Teorema de Pitágoras en . ECA ′′ E dase a igualdade no enunciado se e só se dá en ( )1 e ( )2 , é dicir, se e só se BAA ≡≡′ , EED ′≡≡ , ou sexa, só e cando os puntos tomados son, ó sumo, tres: os extremos da semicircunferencia e C un punto calquera da mesma. Polo tanto, se os cinco puntos tomados son distintos, dase a desigualdade estrita no enunciado.

Problemas de nivel medio e de Olimpiadas (23) 23.2. Tres círculos iguais, que pasan polo punto P , córtanse mutuamente ademais nos puntos , AB e C . Os tres círculos están contidos nun triángulo CBA ′′′ cuxos lados son tanxentes a dous dos círculos. Probar que a área do triángulo CBA ′′′ é ao menos veces a área de . 9 ABC

Solución de Bruno Salgueiro Fanego (Viveiro, España): Sexan: , o centro do círculo que pasa por A ′′ P , B e ; C B ′′ , o centro do círculo que pasa por P , C e ; A C , o centro do círculo que pasa por ′′ P , e A B ; r , o raio dos círculos.

( rCPBPAP =′′=′′=′′ ) , logo P é o circuncentro de CBA ′′′′′′ . Ademais, , logo ( rBPAP =′′=′′ ) P está na mediatriz de BA ′′′′ , rBCAC =′′=′′ , e tamén está na mediatriz de

CBA ′′′′ , co cal é a mediatriz de PC BA ′′′′ . Analogamente, é a mediatriz de PA CB ′′′′ e

é a mediatriz de PB AC ′′′′ . Así, BAPC ′′′′⊥ , CBPA ′′′′⊥ e ACPB ′′′′⊥ . Supoñendo que a notación elidida para designar a CBA ′′′ é tal que BABA ′′′′′′ // , CBCB ′′′′′′ // e

, resulta que e ACAC ′′′′′′ // CBA ′′′ CBA ′′′′′′ teñen os lados respectivamente paralelos, tendo polo tanto os mesmos ángulos, co cal son semellantes. Lema 1: é igual a , e teñen os lados respectivamente paralelos. CBA ′′′′′′ ABCProba: Verase que BAAB ′′′′ é un paralelogramo, co cal os lados opostos do mesmo serán paralelos e da mesma lonxitude; en particular, e ABBA //′′′′ ABBA =′′′′ ; analogamente se probaría para os outros dous pares de lados dos triángulos. Como BA ′′ e AB ′′ teñen a mesma lonxitude ( r ), se se proba que son paralelos resultará que o cuadrilátero BAAB ′′′′ terá dous lados opostos paralelos e da mesma lonxitude, sendo polo tanto un paralelogramo. Para ver que ABBA ′′′′ // , probarase que BA e BA ′′′′ forman o mesmo ángulo coa recta común BA ′′ , é dicir, que os ángulos BBA ′′∠ e ABA ′′′′∠ son suplementarios. Sexan e ACB ′′′′∠=φ ACB ′′′′∠=θ . Como CBA ′′′′ é isóscele con ( )rBACA =′′=′′ , resulta que

e, por ser a suma dos ángulos interiores de θ=′′′′∠ CBA π CBA ′′′′ , que θ2π −=′′′′∠ BAC . Como e é isóscele, tense que BPAC ⊥′′′′ BPC ′′ AC ′′′′ é a altura desde C ′′ e a bisectriz de en dito

triángulo, co cal , de onde PCB ′′∠

φ=′′′′∠=′′′′∠ ACBPCA φ2=′′∠ PCB . Analogamente, é a bisectriz de BC ′′′′ ACP ′′∠ en PAC ′′ , logo θ=′′′′∠=′′′′∠ ACBBCP e, por tanto,

. Entón θ2=′′∠ ACP θ2φ2 +=′′∠+′′∠=∠ ACPPCBBCA . Así, é un triángulo isóscele con ángulo no vértice igual a BCA ′′ θ2φ2 + , sendo polo tanto os

outros dous ángulos ( ) ( )2

θ2φ2π +−=′′∠=′′∠ ABCCAB . Entón

θφ2π

2θ2φ2πθ2π −+=

−−−−=′′∠−′′′′∠=′′∠ ABCBACBBA .

Pero (θ=′′′′∠ CBA BCA ′′′′ é isóscele con BACA ′′=′′ e con θ=′′′′∠ ACB ) e ; como a suma dos ángulos interiores de é igual a , será

θ=′′′′∠ PBCCBP ′′′′ π θ2π −=′′′′∠ CPB . Como é isóscele,

sendo un dos seus ángulos iguais, o ángulo no vértice ACP ′′′′

φ=′′′′∠ PCA P será . φ2π −=′′′′∠ APCLogo ( ) ( ) θ2φ2φ2πθ2ππ2π2 +=−+−−=′′′′∠+′′′′∠−=′′′′∠ APCCPBBPA , sendo así BAP ′′′′ isóscele con BPAP ′′=′′ e ángulo no vértice θ2φ2 + , co cal os outros dous ángulos son iguais a

( ) θφ2π

2θ2φ2π

+−=+−

=′′′′∠ ABP .

En resumo, θφ2π

−+=′′∠ BBA e θφ2π

+−=′′′′∠ ABP ; polo tanto, π=′′′′∠+′′∠ ABPBBA , como se

quería probar. Sexan:

1A ′′ : a proxección de sobre A ′′ BA ′′ ; 1B ′′ : a proxección de B ′′ sobre BA ′′ ; 2B ′′ : a proxección de B ′′ sobre ; CB ′′ 2C ′′ : a proxección de C ′′ sobre CB ′′ ; 3C ′′ : a proxección de C ′′ sobre ; AC ′′ 3A ′′ : a proxección de A ′′ sobre AC ′′ ;

CBBCa ′′′′== ; ; ACCAb ′′′′== BAABc ′′′′== ; 2

cbap ++= ;

( )( )( )rACAPotAAAAx ,,31 ′′′=′′′=′′′= ; 21 BBBBy ′′′=′′= ;

32 CCCCz ′′′=′′′= ; CABCABBAC ′′′∠=′′′′∠=∠=α ; ABCABCCBA ′′′∠=′′′′′′∠=∠=β e . BCAABCCBA ′′′∠=′′′′′′∠=∠=γ

Hai que probar que [ ][ ] 9≥

′′′ABC

CBA , ou equivalentemente, que [ ][ ] 9≥

′′′′′′′′′

CBACBA . Se é a razón de

semellanza de a , tense que

k

CBA ′′′′′′ CBA ′′′ [ ][ ]

2kCBACBA

=′′′′′′′′′ e que

ACCBBAACCBBA

ACAC

CBCB

BABAk

′′′′+′′′′+′′′′′′+′′+′′

=′′′′′′

=′′′′′′

=′′′′′′

=

( ) ( ) ( )bac

xbzzayycxACCBBA

AAACCCCCCBBBBBBAAA++

++++++++=

′′′′+′′′′+′′′′′′′+′′′′+′′′+′′′+′′′′+′′′+′′′+′′′′+′′′

= 332211

12 +++++

=cbazyx , co cal o resultado a demostrar é cbazyx ++≥++ .

Pero ( )1

11cot

AAAA

AAA′′′′′′′

=′′′′′∠ , é dicir, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2αcotrx ; analogamente, ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2βcotry e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2γcotrz .

Ademais, por ser r o raio do círculo circunscrito a CBA ′′′′′′ , do teorema dos senos dedúcese que

γsinβsinαsinγsinβsinαsin2

++++

====cbacbar , co cal a desigualdade a verificar pasa a ser:

( )γsinβsinαsin22γcot

2βcot

2αcot ++≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Lema 2: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2γcot

2βcot

2αcot

2γcot

2βcot

2αcot .

Proba: Dedúcese de que , pois πγβα =++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2βcot

2αcot

1

2γcot

2αcot

1

2γcot

2βcot

1

2γcot

2βcot

2αcot

2γcot

2βcot

2αcot

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2γtan

2βtan

2αtan

2βtan

2αtan

2αtan

2γtan

2γtan

2βtan

2βtan

2αtan

( )1

2βαtan

2βαtan

2βαtan

2βtan

2αtan

2βtan

2αtan

1=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2βαtan

12βα

2πtan

2γtan ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2βtan

2αtan1

2βtan

2αtan

2β

2αtan

2βαtan .

Lema 3: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=++

2γcos

2βcos

2αcos4γsinβsinαsin .

Proba: Dedúcese de que , pois πγβα =++

( ) ( )[ ]γβαsinγsinβsinαsinγsinβsinαsin ++−++=++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

γ2βαcos2βαsin2

2βαcos

2βαsin2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++−

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +++

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

2γ2βα

2βα

sin2

2γ2βα

2βα

sin22βαsin2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=2γcos

2βcos

2αcos4

2α

2πsin

2β

2πsin

2γ

2πsin4

2γβsin

2γαsin

2βαsin4 .

Dos lemas 2 e 3 dedúcese que a desigualdade que hai que probar é:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2γcos

2βcos

2αcos8

2γcot

2βcot

2αcot , ou a súa equivalente:

81

2γsin

2βsin

2αsin ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Lema 4: ( )( ) ( )( )ca

apcp −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2βsin e ( )( )

abbpap −−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2γsin .

bccpbp −−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2αsin ,

Proba:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )bc

cpbpbc

cpbpbc

acbacbbcacb

−−=

−−=

++−+=

−++

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

422

422

1

2αcos1

2αsin

222

,

e similarmente para as outras dúas igualdades.

Entón 81

2γsin

2βsin

2αsin ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⇔

( )( ) ( )( ) ( )( )81

≤−−−−−−

abbpap

caapcp

bccpbp

⇔( ) ( ) ( )

81

222

222

≤−−−

cbacpbpap

⇔( )( )( )

81

≤−−−

abccpbpap .

Aplicando a desigualdade das medias xeométrica e aritmética por parellas aos números positivos ap − , e bp − cp − (porque , cba +< acb +< e bac +< ), obtense que

( )( ) ( ) ( )22cbpapbpap =

−+−≤−− , con igualdade se e só se bpap −=− , é dicir, se e só se ba = ;

( )( ) ( ) ( )22acpbpcpbp =

−+−≤−− , con igualdade se e só se cb = ;

( )( ) ( ) ( )22bapcpapcp =

−+−≤−− , con igualdade se e só se ac = .

Multiplicando membro a membro estas tres desigualdades, chégase a que

( )( )( )8

abccpbpap ≤−−− , con igualdade se e só se cba == , ou sexa, se e só se os centros dos tres

círculos son equidistantes, como se quería probar.

Problemas de nivel medio e de Olimpiadas (23) 23.3. Considéranse os polinomios ( ) cbxaxxf ++= 2 con coeficientes reais e que verifican ( ) 1≤xf para . Achar o máximo valor de 10 ≤≤ x cba ++ .

Solución de Bruno Salgueiro Fanego (Viveiro, España):

( ) cf =0 ; cbaf ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2421 ; ( ) cbaf ++=1 implican que

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=+

+−=+

214042

10

ffba

ffba, de onde

( ) ( ) [ ]1,4,31121403 −−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

deffffb , [ ]2,4,2 −=a e [ ]0,0,1=c . Sexa cbas ++= .

Ao ser e ( ) 1≤xf ( ) 1≤− xf para 10 ≤≤ x , tense que: Se : 0≤a Se : 0≤b Se : 0≤c [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 111,0,00,0,11,4,32,4,2 ≤−=−=−−−−−−=−−−= fcbas ; Se : . 0≥c ( ) ( ) 3112102 =+⋅≤−= ffs Se : 0≥b

Se : 0≤c [ ] 171318163,8,6 =⋅+⋅+⋅≤−−=s (igualdade se e só se ( ) 10 −=f , 121

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f e ( ) 11 −=f );

Se : 0≥c 15285 =++≤s . Se : aparecerán casos simétricos dos anteriores; en efecto: 0≥a Se : Se : 0≤b 0≥b Se : ; Se 0≤c 15≤s 0≤c : 3≤s ; Se : . Se : 0≥c 17≤s 0≥c 1≤s . Por tanto, o máximo valor de s é 17 , que aparece nun dos dous casos seguintes:

1) Cando , e , acadándose se e só se 0≤a 0≥b 0≤c ( ) ( ) ( ) ( )1318161321806 −⋅−⋅+−⋅−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+− fff ,

é dicir, se e só se ( ) 10 −=f , 121

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f e ( ) 11 −=f , condicións estas que definen un único

polinomio: . ( ) 188 2 −+−= xxxf2) Cando , e , para o polinomio 0≥a 0≤b 0≥c ( ) 188 2 +−= xxxf .

Problemas de nivel medio e de Olimpiadas (23) 23.4. Sexa O o circuncentro do triángulo acutángulo . As rectas , , intersecan aos lados opostos do triángulo en , , respectivamente. Supoñamos que o raio do círculo circunscrito a é t , onde é un número primo, e que , e teñen lonxitudes enteiras. Achar os lados do triángulo .

ABC AO BO CO1A 1B 1C

ABC t 1OA 1OB 1OCABC

Solución de Bruno Salgueiro Fanego (Viveiro, España): Sexan , , , C11 OAa = 11 OBb = 11 OCc = ′ o pé da altura que parte de en e o pé da altura que parte de en .

C ABC cOO ABO

Como , son semellantes (triángulos rectángulos co mesmo ángulo en ), teñen os

lados respectivamente proporcionais; en particular,

1COOc 1CCC ′ 1C

1

1

CCOC

CCOOc =

′. Así,

[ ][ ] 1

1

1

1

2

2ct

cCCOC

CCOO

CCAB

OOAB

ABCOAB c

c

+==

′=

′⋅

⋅

= ; analogamente, [ ][ ] 1

1

ata

ABCOBC

+= e [ ]

[ ] 1

1

btb

ABCOCA

+= .

Entón [ ] [ ] [ ][ ] 1

1

1

1

1

11ct

cbt

bat

aABC

OABOCAOBC+

++

++

=++

= , de onde

( )( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]11112

111112

111112

1111 batbatcactactbcbtcbtatctbta +++++++++++=+++ ; ( ) ( ) ( ) ( ) 111111111

2111111111111

2111

3 32 cbataccbbatcbacbataccbbatcbat ++++++=+++++++ ; ( )[ ] 111111111

2 2 cbaaccbbatt =++− ⇒ t divide a . 1112 cbaComo é acutángulo, O é interior a e así ABC ABC ta <1 , tb <1 , tc <1 ; polo tanto, ao ser primo maior ca , e e dividir a , resulta que divide a 2 . Como t é primo, , co cal

divide a , deducíndose disto que

t

1a 1b 1c 1112 cba t 2=t 2

1112 cba111

1cba

é un número enteiro, de onde , sendo

polo tanto equilátero. Pero é o raio do círculo circunscrito ao triángulo equilátero ,

co cal, se , do teorema dos senos en resulta que

1111 === cba

ABC 2=t ABC

ABCABCa === ABC ta

⎜⎝⎛

2

3πsin

=⎟⎠⎞

, por ser t o raio

do círculo circunscrito a , logo ABC 32=== cba é a medida de cada un dos lados do triángulo . ABC

Problemas de nivel medio e de Olimpiadas (23) 23.5. Se c é un enteiro positivo, defínese a sucesión ( )na mediante

ca =1 ; ( )( )11 221 −−+=+ nnn accaa para K,2,1=n

Demostrar que tódolos son enteiros positivos. na Solución de Bruno Salgueiro Fanego (Viveiro, España):

( ) ( )( ) 2222

1 11 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=−+ nnn accaa ;

12 2222221

21 +−−=+− ++ nnnnnn acacacacaa ;

( ) 012 2211

2 =−++− ++ caacaa nnnn ; ( ) ( ) ( )

1211422 22

12

11

⋅

−+⋅⋅−−±−−= +++ cacaca

a nnnn ;

( )( )2

1122 21

21 −−±

= ++ nnn

accaa ( )( )11 2

12

1 −−±= ++ nnn accaa; ;

o signo + non é válido, porque nese caso ( )( )( ) 1122

12

1 11 +++++ >≥=−−+= nnnnnn acaaaccaa , o cal é contraditorio con que . ( ) nnn acaa >≥+1

Entón ( )( ) ( )121 +++ −−= nnnn caaca11 21

21 −−−= ++ nnn accaa ; a ; 212 ++ −= nnn acaa ; nnn acaa −= ++ 12 2 .

Probarase agora o resultado, a partir destas consideracións e utilizando indución en : n1º) é un enteiro positivo (por hipótese); ca =1 121 222

2 −=−+= ccca é un enteiro tamén

positivo porque . 0111212 222 >=−⋅≥−= ca

2º) Se e e son enteiros positivos, entón 1≥n na 1+na nnn acaa −= ++ 12 2 é un enteiro (diferenza de enteiros) que é positivo porque 02122 112 >=−≥−⋅⋅≥−= +++ nnnnnnnn aaaaaacaa .

XLII Olimpiada Matemática Española

Fase nacional 2006 (Sevilla)

Primera sesión (24 marzo)

Problema 1 Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que si existe un entero k

tal que ninguno de los enteros P(1),P(2),...,P(k) es divisible por k, entonces P(x) no tiene raíces enteras.

Problema 2 Las dimensiones de un paralelepípedo de madera son enteras. Pintamos toda su superficie (las seis caras), lo cortamos en cubos de una unidad de arista y observamos que exactamente la mitad de los pequeños cubos no tienen ninguna cara pintada. Probar que el número de paralelepípedos con tal propiedad es finito.

(Puede resultar útil tener en cuenta que 31 0,79... 0.82= < ).

Problema 3 ABC es un triángulo isósceles con AB = AC. Sea P un punto cualquiera de la circunferencia tangente a los lados AB en B y a AC en C. Llamamos a, b y c a las distancias desde P a los lados BC, AC y AB respectivamente. Probar que:

a2=b·c

No está permitido el uso de calculadoras. Cada problema se

puntúa sobre 7 puntos. E1 tiempo de cada sesión es de 3,5 horas.

XLII Olimpiada Matemática Española

Fase nacional 2006 (Sevilla) Segunda sesión (25 marzo)

Problema 4 Hallar todas las funciones f : (O, ∞ ) -» que satisfacen la ecuación

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )f x f y f f f xyx yλ λ

+ + =

para todo par de números reales x e y positivos, siendo A un número real positivo tal

que ( ) 1f λ =

Problema 5 Probar que el producto de cuatro naturales consecutivos no puede ser ni cuadrado ni cubo perfecto.

Problema 6 Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo ABCD se cortan en E. Denotamos por Sl S2 y S a las áreas de los triángulos ABE, CDE y del cuadrilátero ABCD respectivamente. Prueba que 1 2S S+ ≤ S . ¿Cuándo se alcanza la igualdad?

No está permitido el uso de calculadoras. Cada problema se puntúa sobre 7 puntos. El tiempo de cada sesión es de 3,5 horas.

Problema 106

Propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España.

Sean a, b, c tres números positivos. Demostrar que

2 2

2 2 3

1 3 31

1ciclica

b ca b a a abc

+ + ≥ + +

∑ .

Solución de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, España.

El enunciado tal y como se presenta aquí contiene obviamente una errata, pues tomando

a=b=c=2, se tiene que la desigualdad del enunciado se convierte en

3 3

1 3 3 3 3 3 33

4 4 31 2ciclica

= ≥ = +

∑ ,

que es obviamente falso. Propongo y demuestro dos enunciados alternativos:

Enunciado alternativo 1:

Sean a, b, c tres números positivos. Demostrar que

2 2

2 2 3

1 3 31

1 1ciclica

b ca a a abc

+ + ≥ + +

∑ .

Se tiene que

( )

( ) ( ) ( )

2 22 2 2

2 2

2 2 2

1 11

1 1

1 1 1.

1 1 1

ciclica ciclica

b ca b c

a a a a a

a b ca a b b c c

+ + = + + + +

= + + + + + + +

∑ ∑

Luego como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )33 3

1 1 1 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c abc a b c abc a b c

+ + ≥ =+ + + + + + + + +

,

para demostrar el enunciado alternativo nos bastaría con demostrar que

( )( ) ( )

2 2 2 3

33

13 11 1 1

a b c abcabca b c

+ +≥

++ + +.

Enunciado alternativo 2:

Sean a, b, c tres números positivos. Demostrar que

2 2

2 2 3

1 3 31

1 1ciclica

b cb a a abc

+ + ≥ + +

∑ .

Se tiene que

( )

( ) ( ) ( )

2 22 2 2

2 2

2 2 2

1 11

1 1

1 1 1.

1 1 1

ciclica ciclica

b ca b c

b a a a b

a b ca b b c c a

+ + = + + + +

= + + + + + + +

∑ ∑

Luego como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )33 3

1 1 1 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a abc a b c abc a b c

+ + ≥ =+ + + + + + + + +

,

nos bastaría con demostrar, igual que antes, que

( )( ) ( )

2 2 2 3

33

13 11 1 1

a b c abcabca b c

+ +≥

++ + +.

Utilicemos ahora la siguiente notación para las medias cuadrática y geométrica de a,b,c:

2 2 2

3a b c

Q+ +

= ; 3G abc= .

Ahora bien,

( ) ( )( )( )33 2 2 2 3 2

1 1 1 1

3 1 3 3 1 1 ,

a b c abc ab bc ca a b c

G a b c Q Q Q Q Q

+ + + = + + + + + + +

≤ + + + + + ≤ + + + = +

donde se han utilizado la desigualdad del producto escalar, la desigualdad entre medias

aritmética y cuadrática y la desigualdad entre medias geométrica y cuadrática. Luego la

desigualdad que implica ambos enunciados alternativos se puede escribir como

( )( )( )3 11 1 1

Q GGa b c

≥++ + +

.

Pero esto es siempre cierto por la desigualdad recién demostrada y la desigualdad entre

medias geométrica y cuadrática, ya que

( )( ) ( )3

1 11 11 11 1 1 1 1

Q Q GQ Ga b c

Q G

≥ = ≥ =+ ++ + + + +

.

Luego se cumplen los dos enunciados alternativos propuestos, dándose la igualdad si y

sólo si a=b=c, ya que todas las desigualdades utilizadas en la demostración se

convierten en igualdades si y sólo si a=b=c.

Jose Carlos Garcıa Barro

Problema 111.

Si x1, x2, . . ., xm son numeros reales estrictamente positivos, m natural y x > 1, calcular

limx→+∞

x

√√√√√√( m∑

i=1

xi

)x

−m∑

i=1

(xi)x

mx −m(1)

Solucion:

Denotemos por L al lımite buscado.

En primer lugar, observamos que para m = 1 ocurre que tanto el numerador como el denominador de la

fraccion que interviene se anulan, por tanto supondremos m > 1.

Acotaremos el radicando, superior e inferiormente, por expresiones que tengan el mismo lımite, y se pueda

calcular de un modo sencillo, ası el lımite buscado existira y coincidira con este ultimo.

a) Acotacion superior.

Puesto que los numeros xi son todos estrictamente positivos y x > 1, tenemos la desigualdad

( m∑

i=1

xi

)x

−m∑

i=1

(xi)x ≤( m∑

i=1

xi

)x

. (2)

Ademas, dado que m > 1 y x > 1, tambien podemos acotar el denominador de la siguiente forma,

mx −m ≥ mx −mx−1 = mx−1(m− 1). (3)

Sustituyendo estas dos ultimas desigualdades, (2) y (3), en la expresion inicial (1), deducimos

x

√√√√√√( m∑

i=1

xi

)x

−m∑

i=1

(xi)x

mx −m≤

x

√√√√√√( m∑

i=1

xi

)x

mx−1(m− 1)=

m∑

i=1

xi

mx−1

x (m− 1)1x

,

de donde, tomando lımites, se sigue

L ≤ 1m

m∑

i=1

xi. (4)

b) Acotacion inferior.

Sacando factor comun y operando, llegamos a

( m∑

i=1

xi

)x

−m∑

i=1

(xi)x =( m∑

i=1

xi

)x [1−

∑mi=1(xi)x

( ∑mi=1 xi

)x

]=

( m∑

i=1

xi

)x [1−

m∑

i=1

( xi∑mj=1 xj

)x].

Entonces, dado que evidentemente mx −m ≤ mx, podemos establecer

x

√√√√√√( m∑

i=1

xi

)x

−m∑

i=1

(xi)x

mx −m≥ 1

m

( m∑

i=1

xi

)x

√√√√1−m∑

i=1

( xi∑mj=1 xj

)x

. (5)

Ahora bien, el radicando del segundo miembro de la desigualdad anterior es un numero real comprendido

entre 0 y 1, que ademas tiende a 1 cuando x tiende a +∞. Esto se debe a que, para cualquiera de los xi,

tenemos 0 <xi∑m

j=1 xj< 1 y, si x′ > x > 1,

0 <

m∑

i=1

( xi∑mj=1 xj

)x′

<

m∑

i=1

( xi∑mj=1 xj

)x

<

m∑

i=1

xi∑mj=1 xj

= 1.

Deducimos entonces L ≥ 1m

m∑

i=1

xi, desigualdad que junto con (4), nos conduce a

L =1m

m∑

i=1

xi,

es decir, el lımite buscado es la media aritmetica de los numeros xi, i = 1, . . . , m.

Problema 112

Solución de Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, Mallorca, España.

La condición reduce la identidad 0333 =++ cba( ) ( )( )( )accbbacbacba ++++++=++ 33333 a la igualdad

( ) ( )( )( )accbbacba +++=++ 33 la cual implica 0≠+ ba , , 0≠+ cb 0≠+ ac y 0≠++ cba . (En efecto, si, p. e.,

resultaría o, equivalentemente, 0=+ ba 03 =c 0=c que es contrario a la hipótesis). A su vez,

( )( )( ) ( )[ ]bccbcb

cbcbcbcbacba

+−+=

+−+=

+=−⇔=++

2

22

333333 0

y siendo, según se ha visto, 0≠+ cb , obtenemos

( )cb

abccb+

−=+−

32 ,

( )( ) ( ) ( )cb

cbaaacb

abcacbbcacbacb+

++−=−

+−

=+−−=+−−+−2

23

22

y, por sustitución,

( )( )( ) 1

cíclica cíclica

2

=++

=+−−+−

+−∑ ∑ cbaa

bcacbacbbccb .

Problema 113

Solución de Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, Mallorca, España.

Pues , AABAE cos⋅= ACAAF cos⋅= , BBCBF cos⋅= y , la condición del enunciado, habida cuenta del teorema de los senos, se escribe

CBCCE cos⋅=

( ) ( ) ACBACB sincoscoscossinsin +=+ , de donde

2cot

2tan

2cos

2cos2

2cos

2sin2

coscossinsin

cossintan

A

CB

CBCB

CBCBCBCB

AAA

=

+=

−+

−+

=

++

==

que implica o90

2=+

AA

y o60=A

B C

A

E

F

Problema 113 Propuesto por K.R.S.Sastry, Bangalore, India En el triángulo ABC; BE y CF son alturas, con ,E AC F AB∈ ∈ Si AE + AF = BF + CE; calcular el ángulo A del triángulo. Solución: Siendo E y F los pies de las alturas, los puntos B, C, E, F son concíclicos siendo BC el diámetro de la circunferencia que los contiene. Trivialmente se tiene

( )( )

cos

cos

AE AF BF A

AF AE EC A

= +

= +

sumando y teniendo en cuenta la condición del enunciado.

( ) ( ) 1cos 2 cos cos 60º

2AE AF AF BF AE EC A AE AF A A A+ = + + + = + ⇒ = ⇒ =

A

C

E

F

B

Jose Carlos Garcıa Barro

Problema 114.

Hallar los menores numeros naturales x, y, z; λ, µ, ν que verifican el sistema de ecuaciones

x + y = λz, y + z = µx, z + x = νy,

siendo λ > µ > ν.

Solucion:

Sumando las tres igualdades, obtenemos

2(x + y + z) = λz + µx + νy > ν(x + y + z),

de donde deducimos ν = 1 .

Si sumamos ahora solamente las dos primeras igualdades, llegamos a

x + 2y + z = λz + µx.

Teniendo en cuenta que ν = 1, la tercera igualdad del enunciado es z + x = y, y sustituyendo en la

igualdad anterior, deducimos

3(x + z) > µ(x + z),

de donde concluimos µ < 3, es decir, µ = 1 o µ = 2, pero como µ debe ser mayor que ν, la unica solucion

es µ = 2 .

Ahora bien, considerando estos valores de µ y ν, si sumamos las dos ultimas igualdades del enunciado,

tenemos

x + y + 2z = 2x + y,

siendo, pues, 2z = x y, por tanto, a partir de la tercera igualdad, y = 3z, relaciones que sustituidas en la

primera igualdad nos aseguran que λ = 5 .

Por tanto, el sistema se ha simplificado:

x + y = 5z, y + z = 2x, z + x = y,

y finalmente, como ya sabemos que y = 3z y 2z = x, la solucion con los naturales mas pequenos sera

evidentemente z = 1, y = 3 y x = 2 .

Problema 115

Propuesto por el editor

Un triángulo está inscrito en la elipse 2 2

2 2 1x ya b

+ = ,

y tiene su baricentro en el centro de la elipse. Determinar el lugar geométrico del

circuncentro del triángulo.

Solución de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, Navarra, España.

Dada cualquier elipse de la forma

( ) ( )2 21 1

2 2

x x y yk

a b− −

+ = ,

con k positivo, tiene 0, 1 o 2 puntos comunes con la elipse dada, pero nunca más. Esto

es trivial considerando que una misma transformación de coordenadas convertiría a las

dos elipses en circunferencias, preservando los puntos de tangencia o coincidencia.

Constrúyase entonces una tal elipse con k=3, y siendo (x1,y1) un punto cualquiera de la

elipse dada. Se comprueba trivialmente que (−x1,−y1) es exterior a la elipse construida

pero está sobre la elipse dada. Sin embargo, (x1,y1) es obviamente interior a la elipse

construida estando también sobre la dada. Luego ambas elipses deben cortarse en

exactamente dos puntos.

Sean ahora (x2,y2) y (x3,y3) dos puntos tales que el triángulo formado por estos dos

puntos y (x1,y1) está inscrito en la elipse dada y tiene su baricentro en el centro de la

elipse dada. Entonces, han de ser nulas la suma de los xi y la suma de los yi, luego

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 22 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 2

2 22 2 2 23 32 2 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 3.

x x y y x x x x y y y ya b a b

x yx y x ya b a b a b

− − + − + + − ++ = +

− −= + + + − + =

Luego (x2,y2) es uno de los dos puntos de intersección de la elipse dada y la construida,

siendo el otro obviamente (x3,y3), pues también debe satisfacer la anterior relación. Se

concluye entonces que, dado un punto cualquiera de una elipse, existen exactamente

otros dos puntos de la elipse que forman con el primero un triángulo inscrito en la elipse

y cuyo baricentro es el centro de la elipse.

Hallemos ahora dichos puntos, que por lo tanto deben satisfacer las ecuaciones de la

elipse dada y la construida: 2 22 2

1 1 1 12 2 2 2 2 22 3 1

x x y y x y x ya b a b a b

+ = + + + − = −

; 12

1

12

y b x xb y a

= − +

;

22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 21 1 1 1 1 1

1 14 4

x y b x x b x x b b x b x x ba b aa y a y y a y a y y

= + = + + + = + +

;

22 2 2 221 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 32 4 4 4 2

x x x x x x y x ya a a a a b a b

+ = + + = − + = .

Luego sin pérdida de generalidad, podemos tomar

2 1 1 32 2

x x ya a b

= − + ; 2 1 1 32 2

y y xb b a

= − − ;

3 1 1 32 2

x x ya a b

= − − ; 3 1 1 32 2

y y xb b a

= − + .

Nótese que cuando (x1,y1) recorre el arco corto entre los puntos de coordenadas

( ),0a y 3

,2 2a b

−

,

entonces (x2,y2) y (x3,y3) recorren respectivamente los arcos cortos entre los puntos

3,

2 2a b

− −

y ( ),0a ; 3

,2 2a b

−

y 3

,2 2a b

− −

.

3b

3a

ab

( )1 1,x y

( )2 2,x y

( )3 3,x y

3b

3a

ab

( )1 1,x y

( )2 2,x y

( )3 3,x y

Luego los tres puntos recorren toda la elipse. Calculamos ahora las mediatrices de los

lados cuyo vértice común es (x1,y1). Las pendientes serán

( )2 22 22 2 31 1 1 12,3 1 1 1 1 1

2 2 22 2 2 2 222,3 1 1 1 11 1

4 33 4 33 4 33

abx y a y b xx x abx a y a a x y a by y b b x a y b x a baby b x

+−− = − = =

− − −±

∓∓ ∓.

Deberán además dichas mediatrices pasar por los puntos medios de dichos lados:

( )( )

2 32 3 2 2 3 21 2,3 1 2,31 1 1 1 1 1 1

2 22 2 2 2 21 1

2 2

1 12

4 3 3 4 4 3 3 32 2 44 3 4 3

3 .4

y y x xa x y a b a b a y ax y bx a bxh

abb x a b x a

a bay bx

ab

+ + − − ±= − =

− −

−= −

∓ ∓

∓

Por lo tanto, el circuncentro (x0,y0) ha de cumplir

( )2 3 2 2

1 10 0 1 12 22 2 2

1

4 33

44 3a x y a b a b

y x ay bxabb x a b−

= −−∓ ∓ ;

3 2 2

0 122 2 21

2 33

24 3a b a b

x xabb x a b−

=−

; 22 2

0 1 124 3

4x a b x xb ab a a

−= −

;

2 2 21 1

0 0 12 22 2 21

444 3

a x y a by x y

bb x a b−

= −−

; 22 2

0 1 124 1

4y a b x ya ab a b

−= −

.

Ahora bien, de aquí se obtiene que 22 2 6 4 2 4 2 2 2 22 2

0 0 1 1 1 1 1 1 1 12 2 6 4 2 4 2 2 2 2

2 2 24 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 14 2 2 2 2 2 2

16 24 9 16 84

8 8 9 .4 4 4

x y a b x x x x y x y yb a ab a a a a b a b b

a b x x y x y a b x y a bab a a b a b ab a b ab

−+ = − + + − +

− − −= − − + + = + =

Luego el circuncentro del triángulo está sobre una elipse cuyo centro coincide con el de

la elipse dada y cuyos semiejes en las direcciones x e y miden, respectivamente,

2 2

4

a b

a

−,

2 2

4

a b

b

−.

Es decir, es una elipse que se puede obtener a partir de la dada mediante una rotación de

π/2 alrededor de su centro y una homotecia sobre el mismo punto de razón

2 2

4

a b

ab

−.

Al recorrer (x1,y1) el arco antes mencionado de la elipse dada, se comprueba

trivialmente que (x0,y0) recorre toda la elipse descrita. Luego todo punto de dicha elipse

es el circuncentro de un triángulo inscrito en la elipse dada en el enunciado, y cuyo

baricentro es el centro de dicha elipse.

Recíprocamente, dado un punto cualquiera de la elipse que hemos hallado, podemos

resolver la ecuación cúbica en x

02 2 2 3 2 3

4

x x x xa b a a a

a

= + − − ,

cuyas tres soluciones corresponden a las coordenadas x de los tres vértices de dicho

triángulo.

( )1 1,x y

( )2 2,x y

( )3 3,x y

( )0 0,x y

( )0,0

( )1 1,x y

( )2 2,x y

( )3 3,x y

( )0 0,x y

( )0,0

Problemas 116-120

Problema 116. Propuesto por Doru Popescu Anastasiu y Miguel AmengualCovas (Slatina, Rumania, y Cala Figuera, España)Si los números reales x; y veri�can la condiciónp

x2 � 3x+ 3 +py2 � 3y + 3 = 1;

demostrar que

x2 + y2 � 2 (x+ y) :Problema 117.Propuesto por José Luis Díaz Barrero (Barcelona, España)Sean a; b; c los lados del triángulo ABC, y sean r; ra; rb; rc los radios del

círculo inscrito y de los exinscritos al triángulo. Demostrar que�a3

ra+b3

rb+c3

rc

� Xc�{clica

cos2 (A=2)

(b+ c)3

!� 1

2r

r1

3

Problema 118. Propuesto por José Luis Díaz Barrero (Barcelona, España)Resolver, en el conjunto de los números reales, el sistema de ecuaciones

x+ y + z = 6xy + yz + zx = 9x3 + y3 + z3 = 63

9=;Problema 119. Propuesto por el editor.Demostrar que las ecuaciones

ax3 + 3bx2 + d = 0;

bx3 + 3dx2 + e = 0

tienen una raíz común si

(ae� 4bd)3 = 27�ad2 + b2e

�2:

Problema 120.Propuesto por el editor.Demostrar que el cuadrado del diámetro del círculo circunscrito al triángulo

formado por las rectas

ax2 + 2hxy + by2 = 0;

lx+my + 1 = 0

es h(a� b)2 + 4h2

i �l2 +m2

�(am2 � 2hlm+ bl2)2

:

1

DIVERTIMENTOS MATEMÁTICOS (24)

Citas de Mathematical Circles, de Howard W.Eves Howard W. Eves publicó en la colección de la Mathematical Association of America una enorme cantidad de anécdotas relacionadas con las matemáticas. Recogemos algunas de ellas.

- Leo Moser comenta: “Se dice que solamente tres personas han leído los Principia Matemática, de Bertrand Russell y Alfred Whitehead….ellos dos y el corrector de pruebas…”

- G.Hardy (1877-1947) no solía perder tiempo repitiendo algún concepto presentado en su clase anterior, pues daba por sentado que sus estudiantes lo recordaban. En una ocasión, uno de sus cursos fue interrumpido por unas vacaciones largas. En su primera clase después de las vacaciones, subió al encerado con la tiza en la mano y comenzó la clase: “….De ahí se deduce que….”

- Helmut Hasse visitó a Hardy en 1933. En su cuarto de Trinity College vió los retratos de Lenin, Jesucristo y Hobbs (un famoso jugador de cricket, deporte al que Hardy era muy aficionado). Cuando le preguntó por qué precisamente esos tres personajes, Hardy contestó: “Porque, en mi opinión, son las tres únicas personalidades que han conseguido al 100% lo que querían”.

- Una noche, en Nueva York, Albert Einstein asistió a un banquete al que había sido especialmente invitado. Su esposa, resfriada, no pudo acompañarle. Era un banquete de gala, con los caballeros de corbata blanca y las señoras con generosos escotes bajo las capas. Cuando volvió a casa, su mujer empezó a preguntarle como había estado el festejo….Él empezó a hablarle de los importantes científicos presentes, pero ella le interrumpió en seguida: “No me importa eso. ¿Cómo iban vestidas las señoras?” “Realmente, no lo sé, respondió Einstein. Por encima de la mesa no llevaban nada, y no iba a mirar por debajo…”

- Una frase atribuida a Polya: “Las matemáticas consisten en probar las cosas más obvias de la manera menos evidente posible”

- Terminamos con la famosa cita en Latín de san Agustín: Bono christiano sive mathematici sive quilibet inpie divinantium, maxime dicentes vera, cavendi sunt, ne consortio daemonicorum animam pacto quodam societatis inretiant. Aquí, la palabra mathematici debe traducirse por astrólogos.

COMENTARIO DE PÁGINAS WEB (24) La página web de Francisco Javier García Capitán

http://garciacapitan.auna.com

Francisco Javier García Capitán, profesor del I.E.S. “Álvarez Cubero”, de Priego de Córdoba, ha incluido en su interesantísima página web, desde los ejercicios propuestos a sus alumnos de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato hasta artículos sobre coordenadas baricéntricas, una herramienta muy utilizada en el siglo XIX y comienzos del XX para obtener resultados sobre geometría del triángulo, y cuya utilización en la actualidad podría resultar increíble, pero que los lectores de la revista Forum Geometricorum (es digital y también, como la nuestra, gratuita) o los miembros del grupo Hyacinthus conocen bien y emplean profusamente en sus investigaciones sobre puntos notables del triángulo. También la conocerán los lectores de Crux Mathematicorum. Hay también un enlace con la página de Ricardo Barroso, Laboratorio virtual de triángulos con Cabri (comentada en un número anterior de esta revista) y una preciosa colección de problemas San Gaku, japoneses. Pero la mejor recomendación que se puede hacer al lector de esta nota es que la visite. No quedará defraudado, sin ninguna duda. La página es un excelente ejemplo de cómo combinar la Geometría clásica con las nuevas tecnologías. Los alumnos del I.E.S. “Álvarez Cubero” son afortunados por contar entre sus profesores a García Capitán. Valladolid, mayo de 2006 Francisco Bellot Rosado

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