revisiÓn y ajustes del modelo actual de exposiciÓn
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REVISIÓN Y AJUSTES DEL MODELO ACTUAL DE EXPOSICIÓN CREDITICIA PARA OPERACIONES DE SWAP DE TASAS DE INTERÉS EN COLOMBIA
JOHN ALEXANDER AYALA SUÁREZ
DIRECTOR: ALFONSO VARGAS ROJAS
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
MAYO DE 2010
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 6
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .................................................................................... 7
2. JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO ....................................................................................... 8
3. OBJETIVOS ............................................................................................................................... 9
3.1 Objetivo general ................................................................................................................ 9
3.2 Objetivos específicos ........................................................................................................ 9
4. MARCO TEÓRICO Y/O CONCEPTUAL .............................................................................10
4.1 Bonos ................................................................................................................................10
4.1.1 Valoración de Bonos ...............................................................................................11
4.1.2 Factores que afectan la volatilidad del precio de los Bonos ............................16
4.2 Instrumento Financiero Derivado ..................................................................................16
4.3 Derivado de crédito .........................................................................................................17
4.4 Futuras Implícitas ............................................................................................................17
4.5 Forward Rate Agreements .............................................................................................19
4.6 Swaps o Permutas Financieras ....................................................................................21
4.6.1 Interest Rate Swaps ................................................................................................22
4.7 Riesgos asociados con las operaciones de derivados..............................................27
4.7.1 Riesgos de Mercado ...............................................................................................27
4.7.2 Riesgo de Contraparte ...........................................................................................27
4.7.3 Riesgos operacionales ...........................................................................................27
4.7.4 Riesgos jurídicos .....................................................................................................28
4.8 Modelo de Cálculo de la exposición crediticia de instrumentos financieros
derivados y de productos estructurados. .................................................................................28
4.9 International Swaps and Derivatives Association (ISDA) .........................................30
4.10 Interest Rate Swap Agreement e Interest Rate and Currency Exchange
Agreement ....................................................................................................................................31
4.11 Crystal Ball y Simulación de Monte Carlo ...................................................................31
5. DESARROLLO DE LA METODOLOGÍA .............................................................................32
5.1 Estructuración y valoración de un IRS .........................................................................32
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5.1.1 Análisis de sensibilidad ..........................................................................................36
5.1.2 Máximo valor de mercado ......................................................................................36
5.2 Modelo de Exposición Crediticia Superintendencia Financiera de Colombia .......37
5.3 Propuesta de valoración de la Exposición Crediticia mediante el uso de
Simulaciones ................................................................................................................................38
6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES ....................................................................................41
7. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................42
ANEXOS ...........................................................................................................................................43
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INTRODUCCIÓN Para el desarrollo de este Trabajo de Grado se tuvo en cuenta la necesidad de cambiar los modelos determinísticos por modelos estocásticos, que son más cercanos a la realidad y sobre todo a la realidad financiera. Al observar el modelo de la Superintendencia Financiera de Colombia, vemos que este modelo es completamente determinístico, con factores estáticos que no reflejan la compleja realidad financiera, en dónde hay riesgos que no es posible evitar, aunque sí gestionar. Esto nos lleva a errores en la determinación del riesgo, bien sea por ser subvalorado, y exponernos más de lo que deberíamos; o por el contrario ser sobrevalorado y entonces cubrirnos en demasía. Estos dos errores conllevan sus consecuencias económicas, bien sea por la pérdida en caso de una exposición excesiva que no cubrimos, o por el exceso en cobertura, desplazando recursos en otros gastos y disminuyendo los cupos de crédito. Por esta razón debemos desarrollar los modelos financieros lo más cercanos posible a la realidad, pues en ellos se comprometen importantes recursos de las firmas y del sistema financiero en general. Con mejores modelos, que incluyan el componente estocástico, veremos un mejor aprovechamiento de los recursos y menores pérdidas al tener controlada adecuadamente la exposición al riesgo. Este Trabajo de Grado busca una aproximación a dicho modelo, que está cada vez más al alcance de estudiantes y profesionales, gracias a los avances en la capacidad de los PC, las hojas de cálculo y los programas especialmente diseñados para estas simulaciones.
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1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El análisis del riesgo es un tema que ha venido tomando importancia global a partir de los 3 Pilares establecidos en Basilea II, no sólo por la necesidad de conocer y minimizar la exposición crediticia que tienen las entidades financieras, sino por las implicaciones económicas que dicha exposición conlleva. A partir de allí la Superintendencia Financiera de Colombia ha emitido Circulares Reglamentarias que regulan los procesos relativos a la gestión de todos los tipos de riesgos a los que se exponen las entidades financieras en sus operaciones diarias. Dentro de estas operaciones, las operaciones con derivados son un componente cada vez más importante y se encuentran sometidas a la regulación expedida por la SFC en lo que se refiere a la gestión del riesgo. La Superintendencia Financiera de Colombia, como organismo regulador del sector financiero, ha establecido los métodos y modelos de gestión de riesgos correspondientes al entorno colombiano, inclusive los concernientes a las operaciones con derivados y específicamente las operaciones swap. Dicho modelo, como todos, presenta fortalezas y debilidades y es susceptible de ser mejorado para responder más acertadamente a las necesidades de un entorno en constante evolución. Por lo tanto revisaremos y evaluaremos el modelo existente para finalmente proponer los ajustes necesarios y hacerlo más acorde a las necesidades del mercado. La pregunta que buscamos responder es la siguiente: ¿Es posible potencializar el modelo actual para que nos permita medir de una mejor manera la exposición crediticia de las contrapartes involucradas en un swap de tasas de interés?
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2. JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO Un modelo que no se ajusta completamente a las necesidades de sus usuarios es un modelo con posibilidades de ser mejorado. Si los operadores financieros pueden contar con una mejor herramienta para evaluar su exposición crediticia, esto se verá reflejado en mejores prácticas y mayor estabilidad del sistema financiero, reducción del riesgo de crédito y beneficios para todos los usuarios del modelo.
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3. OBJETIVOS 3.1 Objetivo general Revisar y ajustar las metodologías actuales utilizadas para evaluar el riesgo de contraparte en operaciones de derivados. 3.2 Objetivos específicos
Describir el funcionamiento y la valoración de los bonos.
Describir brevemente los tipos de Swaps y específicamente los Interest Rate Swaps (IRS).
Enumerar los factores que inciden en el precio de los Swaps.
Describir los tipos de riesgos asociados con las operaciones de derivados.
Estructurar un IRS para ser usado como ejemplo y verificación.
Describir y analizar los modelos de exposición crediticia para operaciones Swap existentes.
Determinar las posibles modificaciones a los modelos de exposición crediticia para operaciones Swap existentes.
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4. MARCO TEÓRICO Y/O CONCEPTUAL 4.1 Bonos “Un instrumento de ingreso fijo es aquel en el que el emisor (prestatario) ha accedido a hacer pagos que están fijos por contrato. Por ejemplo cada 6 meses durante los próximos 10 años, un emisor puede acceder a pagar $50. Otro ejemplo es un título en el que el emisor accede a hacer un pago basado en la tasa de interés que pagan los certificados de depósito a 6 meses. En este ejemplo, el monto del ingreso fluctuará cada 6 meses dependiendo de la tasa de interés de los certificados de depósito a 6 meses. De cualquier forma, este título es un instrumento de ingreso fijo porque la cantidad contractual está fija. El inversor no puede obtener más que esta cantidad y, asumiendo que el emisor es capaz de satisfacer su obligación, el inversor no recibirá menos que esa cantidad. Los instrumentos de ingreso fijo pueden ser divididos en dos categorías: obligaciones de deuda y valores de renta variable. Con una obligación de deuda el prestatario hace pagos de intereses. Incumplir con los pagos de interés contractuales significa que el prestatario está en mora. En general, de aquí en adelante nos referiremos a los instrumentos que representan obligaciones de deuda como bonos. En contraste con las obligaciones de deuda, las acciones preferentes son un instrumento de renta variable en el que los accionistas han accedido a un pago de ingreso fijo llamado dividendo. A continuación describiremos las características básicas de los bonos. Una característica clave de cualquier bono es su fecha de vencimiento, que es la fecha en la que la deuda dejará de existir y el prestamista habrá pagado completamente la cantidad prestada. En la práctica, las palabras vencimiento y término son usadas indistintamente para referirse al número de años restantes en la vida de un bono. Técnicamente, sin embargo, vencimiento denota la fecha en la que la deuda será paga completamente y término denota el número de años hasta esa fecha. La cantidad que el emisor acuerda pagar en la fecha de vencimiento se llama valor nominal, valor de vencimiento, o valor facial. El cupón de un bono es el pago de intereses periódicos hecho al titular durante la vida del bono. Refiriéndose a un bono, el cupón mencionado es de hecho la tasa cupón, o tasa de interés, la que, multiplicada por el valor nominal, indica el valor del pago cupón. Comúnmente, pero no siempre, para bonos emitidos en los Estados Unidos, la mitad del pago cupón se hace semestralmente. Hay bonos en los que no se pagan intereses periódicos durante la vida del contrato. En lugar de esto, el principal y los intereses son pagados en la fecha de vencimiento. Estos bonos son llamados bonos cero cupón. El inversor en un bono
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cero cupón obtiene o gana intereses por la diferencia entre el valor de vencimiento y el precio de compra. Un instrumento de tasa flotante es aquel en el que la tasa cupón es reajustada periódicamente. La nueva tasa cupón para el periodo está determinada contractualmente como una tasa de referencia ajustada por un spread. El spread puede sumarse o restarse del valor de la tasa de referencia y se expresa en puntos básicos (centésimas de punto porcentual). Dos ejemplos de la fórmula de reajuste para un instrumento de tasa flotante son: tasa de referencia + 100 puntos básicos, o, tasa de referencia – 50 puntos básicos”. (Fabozzi, 1999, págs. 438-439) 4.1.1 Valoración de Bonos “El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente de los flujos de caja que se espera obtener de dicho instrumento. Entonces, para determinar el precio se requiere: 1. Una estimación de los flujos de caja esperados 2. Una estimación de la tasa de descuento apropiada Los flujos de caja esperados de algunos instrumentos financieros son fáciles de hallar; para otros la tarea es más complicada. La tasa de descuento refleja la tasa para instrumentos financieros con riesgo comparable, o las llamadas inversiones alternativas o sustitutas. El primer paso para determinar el precio de un bono es determinar su flujo de caja. El flujo de caja de un bono del que el emisor no se puede retirar antes de su vencimiento establecido (bono no exigible) consiste en: 1. Pago de intereses periódicos hasta la fecha de vencimiento 2. El valor nominal al vencimiento Nuestros ejemplos de valoración de bonos usan tres supuestos para simplificar el análisis: 1. Los cupones se pagan cada seis meses. 2. El siguiente pago de intereses del bono se recibe exactamente 6 meses después 3. La tasa de interés es fija para el término del bono En consecuencia, los flujos de caja para un bono no exigible consisten en la anualidad de una tasa cupón fija pagadera semestralmente y el valor nominal. Por ejemplo, un bono a 20 años con una tasa cupón del 10% y un valor nominal de $1000 tiene el siguiente flujo de caja del pago de intereses:
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Interés del cupón anual = $1000 x 0.10 = $100 Interés del cupón semestral = $100 / 2 = $50 Entonces, hay 40 flujos de caja semestrales de $50, y hay un flujo de caja de $1000 dentro de 40 semestres. Nótese el tratamiento del valor nominal. No es manejado como si se recibiera dentro de 20 años. En lugar de eso, se maneja consistentemente con los pagos del cupón que son semestrales. La tasa de descuento se determina investigando las rentabilidades ofrecidas por bonos comparables en el mercado. En este caso, las inversiones comparables serian bonos no exigibles de la misma calidad crediticia y con el mismo vencimiento. La tasa de descuento típicamente se expresa como una tasa de interés anual. Cuando los flujos de caja ocurren semestralmente, el estándar del mercado es usar la mitad de la tasa de interés anual como la tasa de interés periódica con la que se descuentan los flujos de caja. Con los flujos de caja de un bono y la tasa de descuento tenemos toda la información necesaria para valorar un bono. Como el valor de un bono es el valor presente de los flujos de caja, se determina sumando estos dos valores presentes: 1. El valor presente de los pagos cupón semestrales 2. El valor presente del valor nominal en la fecha de vencimiento En general, el precio de un bono puede ser calculado usando la siguiente fórmula:
o
(Ecuación 1) donde P = precio (en $) n = número de periodos (número de años x 2) C = Pago cupón semestral (en $) r = Tasa de interés periódica (tasa de descuento anual / 2) M = Valor nominal
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t = Periodo de tiempo donde el pago es recibido Como los pagos cupón semestrales son equivalentes a una anualidad común, el valor presente de los pagos cupón puede ser determinado por la siguiente fórmula:
ó
(Ecuación 2) Los bonos cero cupón no hacen ningún pago periódico. En lugar de eso, el inversor obtiene rendimientos por la diferencia entre el valor nominal y el precio de compra. El precio de un bono cero cupón se calcula sustituyendo C por 0 en la ecuación 1:
(Ecuación 3) La ecuación 3 establece que el precio de un bono cero cupón es simplemente el valor presente de su valor nominal. En el cálculo del valor presente, sin embargo, el número de periodos usado para descontar no es el número de años hasta el vencimiento del bono, sino dos veces ese número. La tasa de descuento es la mitad de la tasa de descuento anual.” (Fabozzi, 1999, págs. 475-477) 4.1.1.1 Relación Precio / Tasa “Una propiedad fundamental de un bono es que su precio cambia en dirección opuesta al cambio en la tasa de descuento. La razón es que el precio del bono es el valor presente de los flujos de caja. Como la tasa de descuento se incrementa, el valor presente de los flujos de caja decrece; por consiguiente, el precio decrece. Lo contrario es cierto cuando la tasa de descuento decrece: El valor presente de los flujos de caja se incrementa y el precio del bono se incrementa.” (Fabozzi, 1999, pág. 478) 4.1.1.2 Relación entre Tasa Cupón, Tasa de Descuento, y Precio “Como las tasas en el mercado cambian, la única variable que puede compensar a un inversor en un bono existente es el precio de ese bono. Cuando la tasa cupón es igual a la tasa de descuento, el precio del bono será igual a su valor nominal. Cuando las tasas del mercado superan la tasa cupón en determinado momento en el tiempo, el precio del bono se ajusta y el inversor puede obtener un interés adicional. Esto se logra porque el precio cae por debajo del valor nominal. La
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apreciación del capital que se obtiene al conservar el bono hasta su vencimiento representa una forma de interés para el inversor que compensa una tasa cupón más baja que la tasa de descuento. Cuando un bono se vende por debajo de su valor nominal, se dice que se vende con descuento. Cuando la tasa de descuento en el mercado es menor que la tasa cupón el bono se debe vender por encima de su valor nominal. Esto es porque los inversores que tendrían la oportunidad de adquirir el bono por su valor nominal obtendrían una tasa cupón mayor que la ofrecida por el mercado. Como resultado, los inversores subirán la oferta por el precio del bono porque su rendimiento es muy atractivo. Eventualmente, el precio llegaría a un nivel donde el bono ofrece la tasa de descuento del mercado. Un bono cuyo precio está por encima de su valor nominal se denomina bono con prima.” (Fabozzi, 1999, págs. 478-479) 4.1.1.3 Relación entre Precio y Tiempo si la Tasa de Interés no cambia “Si la tasa de descuento no cambia entre el momento en que el bono es adquirido y la fecha de vencimiento, ¿qué ocurrirá con el precio del bono? Para un bono que se vende a su valor nominal, la tasa cupón es igual a la tasa de descuento. Mientras el bono se acerca a su vencimiento, su precio será igual a su valor nominal. El precio del bono, sin embargo, no se mantendrá constante para un bono con prima o con descuento. El precio de un bono con descuento se incrementa mientras se acerca a su vencimiento asumiendo que la tasa de descuento no cambia. Para un bono con prima, ocurre lo opuesto. Para ambos bonos, el precio será igual a su valor nominal en la fecha de vencimiento.” (Fabozzi, 1999, pág. 479) 4.1.1.4 Razones para el cambio en el Precio de un Bono “El precio de un bono cambiará por una o más de las siguientes tres razones: 1. Cambios en la tasa de descuento debidos a un cambio en la calidad crediticia del emisor. Esto es, la tasa de descuento cambia, porque el mercado ahora compara el rendimiento del bono con rendimientos de diferentes conjuntos de bonos con el mismo riesgo de crédito. 2. Hay un cambio en el precio de los bonos con prima o con descuento, aunque no cambie la tasa de descuento, sólo porque el bono se acerque a su vencimiento. 3. Cambios en la tasa de descuento debidos a un cambio en la tasa de los bonos similares. Esto es, cambios en la tasa de interés del mercado.” (Fabozzi, 1999, págs. 479-480)
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4.1.1.5 Complicaciones “1. El siguiente pago cupón es en menos de 6 meses. Cuando un inversor adquiere un bono cuyo siguiente pago cupón es en menos de 6 meses, el método aceptado para calcular el precio del bono es el siguiente:
donde
d as entre la liquidación y el siguiente cupón
d as en un periodo de meses
2. Los flujos de caja no son conocidos. Para bonos no exigibles, asumiendo que el emisor no entra en mora, los flujos de caja son conocidos. Para la mayoría de los bonos, sin embargo, los flujos de caja, no son conocidos con certeza. Esto es porque un emisor puede exigir un bono antes de la fecha de vencimiento establecida. En los bonos exigibles, los flujos de caja dependerán del nivel de las tasas de interés corrientes relativas a la tasa cupón. Por ejemplo, el emisor típicamente exigirá un bono cuando las tasas de interés caigan lo suficientemente por debajo de la tasa cupón que sea más económico retirar el bono antes de su vencimiento y emitir nuevos bonos a una tasa cupón más baja. Consecuentemente, los flujos de caja de los bonos que pueden ser exigidos antes de su vencimiento dependen de las tasa de interés corrientes en el mercado. 3. Tasas de descuento diferentes para cada flujo de caja. Este método de valoración ha asumido que es apropiado descontar cada flujo de caja usando la misma tasa de descuento. Sin embargo, un bono puede ser visto como un conjunto de bonos cero cupón, en cuyo caso una única tasa de descuento debería ser usada para determinar el valor presente de cada flujo de caja.” (Fabozzi, 1999, pág. 480) 4.1.1.6 Intereses acumulados “Cuando un inversor adquiere un bono en medio de dos pagos cupón, el inversor debe compensar al vendedor del bono por los intereses ganados desde el último cupón pagado hasta la fecha de liquidación del bono. Esta cantidad se llama interés acumulado. (La excepción son los bonos que están en mora. Dichos bonos se cotizan al precio básico, esto es, sin intereses acumulados.) Para calcular el interés acumulado, se deben determinar el número de días entre el último cupón y la fecha de liquidación. Existen diferentes convenciones en los mercados de bonos dentro de los Estados Unidos y en otros países para
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determinar el número de días. Dichas convenciones se denominan convenciones de calendario” (Fabozzi, 1999, pág. 481) 4.1.2 Factores que afectan la volatilidad del precio de los Bonos 4.1.2.1 El efecto de la Tasa Cupón Para un determinado cambio en la tasa de descuento, los bonos cero cupón tienen la volatilidad del precio más alta, y los bonos con tasa cupón más grande tienen las volatilidades del precio más pequeñas. En general, para un vencimiento y una tasa de descuento inicial dados, entre más baja es la tasa cupón, más alta es la volatilidad del precio de un bono. (Fabozzi, 1999, pág. 501) 4.1.2.2 El efecto del Vencimiento Para un determinado cambio en la tasa de descuento, un bono a 25 años tiene una volatilidad del precio más alta, mientras que uno con vencimiento más corto tiene una volatilidad de precio más pequeña. En general, para una tasa cupón y una tasa de descuento inicial dados, entre más largo el vencimiento, más alta es la volatilidad del precio de un bono. (Fabozzi, 1999, págs. 501-502) 4.1.2.3 Efectos de la Tasa al Vencimiento en la Volatilidad del Precio La volatilidad del precio de un bono también es afectada por el nivel de las tasas de interés en la economía. Específicamente, entre más alto el nivel de las tasas, más baja la volatilidad del precio. Por ejemplo, el cambio en el precio de un bono será mayor cuando las tasas de interés suben de 7% a 8%, que cuando suben de 13% a 14%. Es decir, a niveles de tasa más bajos, los cambios de precios son significativos cuando la tasa de interés cambia. En los niveles de tasa más altos, el cambio en el precio es mucho menor para el mismo cambio en la tasa. Esto significa que para un cambio dado en las tasas, la volatilidad del precio es mayor cuando las tasas del mercado son bajas, y la volatilidad del precio es menor cuando las tasas son altas. (Fabozzi, 1999, pág. 502) 4.2 Instrumento Financiero Derivado “Es una operación cuya principal característica consiste en que su precio justo de intercambio depende de uno o más subyacentes y su cumplimiento o liquidación se realiza en un momento posterior. Dicha liquidación puede ser en efectivo, en instrumentos financieros o en productos o bienes transables, según se establezca en el contrato o en el correspondiente reglamento del sistema de negociación de valores, del sistema de registro de operaciones sobre valores o del sistema de compensación y liquidación de valores.
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Un instrumento financiero derivado permite la administración o asunción, de uno o más riesgos asociados con los subyacentes y cumple cualquiera de las siguientes dos (2) condiciones alternativas: (i) No requerir una inversión neta inicial. (ii) Requerir una inversión neta inicial inferior a la que se necesitaría para adquirir instrumentos que provean el mismo pago esperado como respuesta a cambios en los factores de mercado.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 2009, págs. 2-3) 4.3 Derivado de crédito “Es un instrumento financiero que permite a una parte transferir a otra el riesgo de crédito de uno o varios activos a los que se está o no expuesto, sin vender o negociar dichos activos. El riesgo de crédito transferido o mitigado está determinado por los eventos de crédito recogidos en el contrato contentivo de la operación. Se consideran derivados de crédito las permutas de incumplimiento („credit default swaps‟), los „total return swaps‟ con rendimientos dependientes de un riesgo crediticio de un tercero, las opciones y los „forward‟ sobre el „spread‟ de crédito, los contratos de primer incumplimiento („first to default‟), los contratos de segundo incumplimiento („second to default‟), entre otros.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 2009, pág. 2) 4.4 Futuras Implícitas “Las futuras impl citas son tasas de interés impl citas de las tasas cero cupón para periodos de tiempo futuros. Para mostrar cómo se calculan, suponemos un conjunto particular de tasas cero cupón como se muestra en la segunda columna de la tabla:
Año (n)
Tasa cero cupón para una inversión
de n años (% anual)
Tasa futura para el año
n (% anual)
1 3.0
2 4.0 5.0
3 4.6 5.8
4 5.0 6.2
5 5.3 6.5
Las tasas se asumen como continuas. Entonces, la tasa del 3% anual por un año significa que, como retorno de una inversión de $100 hoy, un inversor recibe
100 $103.05 en un año; la tasa del 4% anual por dos años significa que,
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como retorno de una inversión de $100 hoy, el inversor recibe 100 $108.33 en dos años; y así sucesivamente. La tasa futura para el año 2 en la tabla es de 5% anual. Esta es la tasa de interés implícita por la tasa cero cupón para el periodo de tiempo comprendido entre el final del primer año y el final del segundo año. Puede ser calculada a partir de la tasa cero cupón para un año de 3% anual y la tasa cero cupón para 2 años de 4% anual. Esta es la tasa del interés para el año 2 que, cuando se combina con el 3% anual para el año 1, nos da el 4% para los dos años. Para mostrar que la respuesta correcta es 5% anual, suponga que se invierten $100. Una tasa del 3%
para el primer año y 5% para el segundo año nos da 100 $108.33
al final del segundo año. Una tasa del 4% anual por 2 años nos da 100 que es también $108.33. Este ejemplo ilustra el resultado general que cuando las tasas de interés son continuas y se combinan tasas en periodos sucesivos de tiempo, la tasa global equivalente es simplemente la tasa promedio durante la totalidad del periodo. En nuestro ejemplo, 3% para el primer año y 5% para el segundo año promedian 4% para los 2 años. El resultado solo es aproximadamente cierto cuando las tasas no son continuas. La tasa futura para el año 3 es la tasa de interés implícita por una tasa cero cupón a 2 años del 4% anual y una tasa cero cupón a 3 años del 4.6% anual. Esta es 5.8% anual. La razón es que una inversión por dos años al 4% anual combinada con una inversión por una año al 5.8% anual nos da un retorno promedio global para los 3 años de 4.6% anual. Las demás tasas futuras pueden ser calculadas
similarmente y se muestran en la tercera columna de la tabla. En general, si y son las tasas cero cupón para los vencimientos , respectivamente, y
es la tasa de interés futura para el periodo de tiempo entre :
Para ilustrar esta fórmula, considere el cálculo de la tasa futura del año 4 a partir
de los datos en la tabla: y , y la fórmula nos da . La ecuación anterior puede ser reescrita como:
Esto muestra que, si la curva cero cupón tiene pendiente positiva entre , o sea que , entonces , (es decir, la tasa futura es mayor que las dos tasas cero cupón). De manera similar, si la curva cero cupón tiene pendiente
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negativa con , entonces (es decir, la tasa futura es menor que las dos tasas cero cupón). Asumiendo que las tasas cero cupón para prestar e invertir son iguales (lo que es cercano a la realidad para una gran institución financiera), un inversor puede bloquear la tasa futura para un periodo de tiempo posterior. Supongamos, por ejemplo, que las tasas cero cupón son, como en la tabla. Si un inversor pide prestados $100 al 3% por un año y luego invierte el dinero al 4% por 2 años, el
resultado es un flujo de caja negativo de 100 $103.05 al final del año 1 y
un flujo de caja positivo de 100 $108.33 al final del año 2. Como $108.33
= 103.05 , un retorno equivalente a la tasa futura (5%) se gana sobre $103.05 durante el segundo año. Suponga ahora que el inversor pide prestados $100 por 4 años al 5% y los invierte por 3 años al 4.6%. El resultado es un flujo de caja
positivo de 100 $114.80 al final del tercer año y un flujo de caja negativo
de 100 $122.14 al final del 4 año. Como 122.14 = 114.80 , el dinero está siendo prestado por 4 años a la tasa futura de 6.2%. Si un inversor piensa que las tasas en el futuro serán diferentes a las tasas futuras de hoy hay muchas estrategias que el inversor encontrará atractivas. Una de estas involucra la entrada dentro de un contrato conocido como forward rate agreement.” (Hull, 2005, págs. 84-86) 4.5 Forward Rate Agreements Un Forward Rate Agreement (FRA) es un acuerdo que aplica una determinada tasa de interés al prestar o pedir prestado un determinado capital durante un periodo de tiempo específico. Dicho contrato se basa en que el préstamo normalmente se haría a la tasa LIBOR. Considere un FRA donde una compañía X acuerda prestar dinero a una compañía Y para el periodo de tiempo comprendido entre T1 y T2. Definimos: RK: La tasa de interés acordada para el FRA. RF: La tasa de interés LIBOR futura para el periodo comprendido entre T1 y T2, calculada hoy. RM: La tasa de interés LIBOR observada en el mercado en el momento T1 para el periodo comprendido T1 y T2. L: El principal subyacente del contrato. Partiremos del supuesto de capitalización de intereses continuos y asumimos que las tasas RK, RF, RM se miden con una frecuencia de capitalización que refleja su vencimiento. Esto quiere decir que si T2 – T1 = 0.5, están expresadas con capitalización semestral; si T2 – T1= 0.25, están expresadas con capitalización trimestral; y así sucesivamente.
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Normalmente la compañía X recibiría RM del préstamo a la LIBOR. El FRA hace que reciba RK. La tasa de interés extra (que puede ser negativa) que obtiene como resultado de entrar al FRA es RK – RM. La tasa de interés se determina en el periodo T1 y se paga en el periodo T2. La tasa de interés extra nos lleva a un flujo de caja para la compañía X en el periodo T2 de
Similarmente hay un flujo de caja para la compañía Y en el periodo T2 de
De las dos expresiones anteriores vemos que hay otra interpretación para el FRA. Es un acuerdo donde la compañía X recibe intereses sobre el principal entre T1 y T2 a la tasa fija RK y paga intereses a la tasa del mercado RM. La compañía Y pagará intereses sobre el principal entre T1 y T2 a la tasa fija RK y recibe intereses a la tasa RM. Usualmente los FRAs son liquidados en el periodo T1 preferiblemente que en el periodo T2. El pago debe entonces ser descontado del periodo T2 al periodo T1. Para la compañía X el pago en el periodo T1 es
y para la compañía Y el pago en el periodo T1 es
Ejemplo: Suponga que una compañía entra en un FRA que especifica que recibirá una tasa fija de 4% sobre un principal de un millón por un periodo de 3 meses iniciando en 3 años. Si la tasa LIBOR a 3 meses prueba ser 4.5% para el periodo de 3 meses el flujo de efectivo para el prestamista será 1000000 x (0.04 – 0.045) x 0.25 = -$1250 dentro de 3.25 años. Esto es equivalente a un flujo de caja de -1250 / (1 + 0.045 x 0.25) = -$1236.09 dentro de 3 años. El flujo de caja para la parte del otro lado de la transacción será de +$1250 dentro de 3.25 años o +$1236.09 dentro de 3 años. (Todas las tasas de interés en este ejemplo están expresadas en capitalización trimestral).” (Hull, 2005, págs. 86-88)
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4.6 Swaps o Permutas Financieras Un swap o permuta financiera es un contrato entre dos partes que acuerdan intercambiar flujos de dinero en el tiempo de las obligaciones, lo cual financieramente se asimila a una serie de contratos forward, cuyo objetivo es reducir los costos y riesgos en que se incurre con ocasión de las variaciones en las tasas de cambio de las divisas o en las tasas de interés. (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, pág. 5). “En su definición más general, un swap es un contrato por el cual dos partes se comprometen a intercambiar una serie de flujos de dinero (cashflows) en una fecha futura. Los flujos en cuestión pueden, en principio, ser función de casi cualquier cosa, ya sea de las tasas de interés a corto plazo como del valor de un índice bursátil o cualquier otra variable. La invención de los swaps ha sido uno de los avances más importantes en las finanzas aplicadas modernas, ya que el mercado de swaps ha establecido un mercado líquido de valor presente. Antes de los swaps no había instrumentos que permitiesen manipular directamente la curva forward y el valor presente; había tan solo bonos y préstamos que acarreaban implícitos muchos otros riesgos como, por ejemplo, un importante componente de riesgo de crédito. Si una compañía quería hace pocos años eliminar un riesgo específico de mercado que afectaba a sus operaciones, como por ejemplo el riesgo de variaciones en las tasas de interés o el riesgo de variaciones en el precio de una materia prima que consume, a veces era posible hacerlo con instrumentos existentes (y muchas veces no), pero casi siempre la solución era peor que el remedio. Al intentar eliminar un riesgo de mercado, como el de las tasas de interés, la compañía se veía obligada a asumir enormes riesgos de otro tipo, como enormes riesgos de crédito o de tesorería que difícilmente deseaba gestionar. Aunque los swaps también tienen un componente de riesgo de crédito, en un swap de tasa de interés estándar el riesgo de crédito es mucho menor que en un préstamo estándar al mismo plazo. A diferencia de los bonos, por ejemplo, el usuario de un swap puede construirlo totalmente “a la medida”, sin limitarse a usar los bonos o deuda disponibles en el mercado con todos los problemas que acarrean (plazos y cupones disponibles, dificultades a la hora de vender corto sobre todo durante plazos largos, etc). El mercado de swaps es un mercado de reciente aparición comparado con el mercado de divisas o con casi cualquier bolsa de valores, y eso le hay dado importantes ventajas al no depender de una herencia histórica que lo limite. El mercado es también totalmente internacional a pesar de que la mayor parte de los participantes se encuentran en Londres, Nueva York y Tokio, por lo que es más flexible y ajeno a presiones y manipulaciones políticas locales que una bolsa de
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valores, por ejemplo. Es un mercado puramente institucional, y su estructura, como la del mercado de divisas, es muy descentralizada y libre de reglamentación. El único organismo internacional que existe es el International Swap Dealers Asociation (ISDA), que no tiene ningún poder legal y que no es más que un club informal de participantes en el mercado que se reúnen para intercambiar opiniones sobre futuras direcciones en el mercado y aspectos legales como documentación y riesgo de crédito. A pesar de su falta de poderes legales, el ISDA tiene de todos modos una enorme influencia.” (Rodríguez de Castro, 1995, págs. 49-50) 4.6.1 Interest Rate Swaps En un IRS, dos partes (llamadas contrapartes) acuerdan intercambiar pagos de intereses periódicos. El monto de los pagos intercambiados se basa en una cantidad principal predeterminada, llamada cantidad nocional. El monto que cada contraparte paga a la otra está determinado por la tasa de interés periódica multiplicada por la cantidad principal nocional. El único intercambio entre las partes son los pagos de intereses, no la cantidad nocional. En el tipo de swap más común, una parte acuerda pagar a la otra una tasa de interés fija en unas fechas específicas durante la vida del contrato, mientras que la contraparte paga un interés que varía según una tasa de referencia. La tasa de referencia usada para la tasa variable en un IRS es normalmente la LIBOR. (Fabozzi, 1999, pág. 664). “Un swap de interés es un contrato entre dos partes que desean intercambiar los intereses derivados de pagos o cobros de obligaciones que se tienen, pero calculados para diferentes tipos de tasa (tasa fija o tasa variable). En este tipo de contrato no existe traspaso del principal y se hace sobre la misma moneda. Existen dos clases de swap de interés: Tasa Fija – Tasa Variable Estos son swaps de interés entre las partes A y B; donde A se compromete a pagarle a B los intereses calculados a partir de una tasa fija, y a cambio recibe de B los intereses calculados a partir de una tasa variable. Ambos cálculos se hacen sobre el mismo monto de capital. Tasa Variable – Tasa Variable Estos son swaps de interés entre las partes A y B; donde A se compromete a pagarle a B los intereses calculados a partir de una tasa variable (por ejemplo, DTF), y a cambio recibe de B los intereses calculados a partir de otro tipo de tasa variable (por ejemplo, LIBOR). Ambos cálculos se hacen sobre el mismo monto de capital.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, pág. 5)
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“Aunque el mercado de swaps comenzó su existencia basado en el marco legal de los préstamos paralelos (A presta a B a tasa variable, B presta a A a tasa fija la misma cantidad de dinero), en la actualidad la documentación de un swap excluye específicamente toda mención de préstamos paralelos; un swap es exclusivamente un intercambio de flujos de tasa de interés y nadie presta el nominal a nadie; de hecho el nominal es referido como “nominal nocional” (“notional principal” en inglés) para enfatizar que sólo es usado como un número más en el cálculo de los intereses debidos. El motivo de esta exclusión es un deseo de reducir el riesgo de crédito; si el nominal no ha sido prestado es evidente que no podrá verse afectado por problemas de riesgo de crédito que resultaren por ejemplo, de una bancarrota o suspensión de pagos. En algunos países la protección acordada a compañías en suspensión de pagos podría sino, dar lugar a una situación en la cual una compañía insolvente podr a exigir el “repago” de un nominal que nunca prestó bajo un swap, y luego al estar en suspensión de pagos negarse por su parte “reintegrar” un nominal que nunca le fue prestado bajo el mismo swap.” (Rodríguez de Castro, 1995, págs. 50-51) 4.6.1.1 Swaps como combinaciones de forwards “El modo más fácil de entender un swap es como una combinación de forwards. Consideremos por ejemplo un FRA que permite al usuario fijar por adelantado una tasa de interés durante un plazo futuro fijo, por ejemplo contra LIBOR a seis meses en dólares. Si hacemos una serie de FRA (seis meses dentro de seis meses, seis meses dentro de doce meses, seis meses dentro de dieciocho meses, hasta por ejemplo cinco años, con todos los FRA a la misma tasa de interés fija r), lo que hemos conseguido es un contrato mediante el cual intercambiamos semestralmente flujos de una tasa fija por flujos variables, determinados cada semestre por el nivel de LIBOR vigente. Este contrato es por lo tanto un swap, aunque en la práctico los swaps y los FRAs son algo diferentes porque en los FRA la diferencia entre la tasa y el variable se paga por adelantado al principio del plazo mientras que en los swaps se suele pagar al final del mismo, y un swap es un único contrato que especifica varios cashflows, mientras que en el ejemplo anterior tendríamos varios FRA, cada uno en su propio contrato. Al principio de cada periodo de seis meses durante los próximos cinco años observamos la tasa LIBOR a seis meses y lo anotamos. Al final del periodo de seis meses A paga a B la pasa de interés fija acordada (8% s.a. A/365) sobre el nominal de la transacción (USD 100 MM) y recibe de B la tasa LIBOR anotada anteriormente sobre el mismo nominal. En el práctica casi siempre se evita tener que efectuar dos pagos en direcciones opuestas; lo normal es que si A debe pagar más dinero a B del que B debe pagar a A, A pague a B tan solo la diferencia entre ambos flujos y viceversa.
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En la transacción que acabamos de describir, la compañía A podría ser un inversionista como un fondo de pensiones o una compañía de seguros, que tiene dinero invertido a corto plazo pero que espera que vayan a bajar las tasas y por lo tanto desea fijar su rentabilidad a una tasa fija antes de que se produzca la baja. B podría ser, por ejemplo, una compañía que haya emitido deuda a cinco años a una tasa fija y desee convertir su obligación a tasa variable porque cree que van a bajar las tasas de interés. Evidentemente recomprar su deuda y emitir nueva deuda a tasa variable sería una posibilidad, pero resultaría muy costoso y tardaría mucho tiempo en hacerlo. Con un swap consigue el mismo efecto la tasa de interés fija que recibe mediante el swap puede ser utilizado para pagar los intereses sobre su deuda, y contra estos intereses fijos que percibe paga una tasa variable (LIBOR) igual que si hubiese emitido deuda a tasa variable. El swap es barato (la diferencia entre la tasa fija a la cual el mercado está dispuesto a recibir contra LIBOR y la tasa a la que está dispuesto a pagar no suele exceder 0.05% en dólares), rápido (una transacción como la que hemos descrito puede concluirse en menos de cinco minutos), y flexible (también es posible anular un swap en menos de cinco minutos, o cambiar su perfil de nominal para que corresponda por ejemplo a la amortización de la deuda emitida), por lo que presenta evidentes ventajas con respecto a un refinanciamiento. Recomprar bonos y reemitir nueva deuda es proceso caro, complicado y lento, debido a las comisiones cobradas por los intermediarios de la emisión de deuda, comisiones de admisión a cotización en mercado organizado, gastos legales y duración de los trámites necesarios.” (Rodríguez de Castro, 1995, págs. 51-52) 4.6.1.2 Valoración de los swaps de tasa de interés “Un swap no es más que una combinación de flujos de dinero, y por lo tanto se puede valorar utilizando las matemáticas de valor presente habituales. El lado a tasa fija del swap se evaluar muy fácilmente ya que no es más que una serie de
flujos fijos conocidos de antemano en unas fechas fijas también conocidas de antemano:
o, usando tasas de interés convencionales:
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donde el subíndice aplicado a la tasa de interés r o R nos avisa que la tasa de interés puede ser función del plazo (la curva de tasas no tiene por qué ser plana). Si conociésemos también de antemano cuáles van a ser todas las tasas variables
podríamos calcular fácilmente el valor de un swap:
” (Rodríguez de Castro, 1995, págs. 56-57) 4.6.1.3 Valoración de los swaps como bonos “En general, no disfrutamos de la clarividencia necesaria para conocer por adelantado la evolución de las tasas, por lo que la evaluación del lado variable de un swap parece en principio imposible, pero en realidad es muy sencilla: el valor del lado variable estará siempre a la par inmediatamente después del pago de un cupón. Consideremos la transacción siguiente: un banco B compra a la par un bono a tasa fija emitida por A y lo financia a tasa variable en el mercado de dinero hasta la próxima fecha de cupón, refinanciando entonces la compra a la nueva tasa prevalente en el mercado de dinero. Los flujos son los siguientes:
El nominal de 100% se puede eliminar entre ambas series de flujos con lo que nos queda:
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Claramente esto no es más que un swap, y nos sirve para obtener un método para valorar el lado variable de un swap sin conocer de antemano la evolución de las tasas. El método consiste en valorar el lado fijo del swap como si fuese un bono, es decir incluyendo al vencimiento un flujo adicional ficticio que corresponda al repago del nominal, y valorar el lado variable como si fuese un bono a tasa variable, es decir incluyendo también al vencimiento otro flujo adicional ficticio (designo contrario para que cancele el efecto del flujo ficticio del lado fijo) que corresponda al repago del dinero tomado prestado para financiar la compra del bono ficticio. La valoración de un bono o tasa variable es, por supuesto un ejercicio trivial; si estamos en una fecha de cupón hasta el presente, más el valor descontado del primer cupón variable (que conocemos de antemano porque el LIBOR que lo define fue fijado al principio del periodo). El valor de los demás cupones variables nos es, por supuesto, desconocido, pero sabemos que en fecha posterior a un cupón, un bono tasa variable vale 100% por definición. La fórmula para el valor de un swap es por lo tanto:
o, usando tasas de interés convencionales,
En ambas ecuaciones, el primer término representa la suma de todos los flujos fijos menos el último, el segundo término representa el último flujo fijo con su flujo de nominal ficticio, y el tercer término representa el valor de un bono a tasa variable.” (Rodríguez de Castro, 1995, págs. 57-59)
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4.7 Riesgos asociados con las operaciones de derivados 4.7.1 Riesgos de Mercado “Los riesgos de mercado dependen del comportamiento del subyacente. En este aspecto, los productos derivados son semejantes a cualquier otro producto financiero como los bonos o las cuentas por cobrar denominadas en otras divisas cuyo valor depende de las tasas de interés y de cambio. No obstante, las relaciones que determinan el valor de los derivados son en general más complejas y menos conocidas que las de productos financieros más tradicionales.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, pág. 3) 4.7.2 Riesgo de Contraparte “A lo largo de la vigencia de un derivado su valor económico o de mercado cambia de acuerdo con las fluctuaciones del producto financiero negociado, generando ganancias a una de las partes del contrato y pérdidas a la otra. Si por alguna razón, la parte no favorecida por la evolución del valor de mercado del derivado no cumple sus obligaciones contractuales, ello generará una pérdida a la otra parte. El riesgo de esta pérdida se conoce como riesgo de contraparte.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, pág. 3) “El riesgo que las dos partes toman cuando entran en un swap es que la otra parte falle en cumplir sus obligaciones como se expusieron en el contrato swap. Esto es, cada parte enfrenta riesgo de incumplimiento, o de contraparte. En cualquier acuerdo entre dos partes que deba ejecutarse de acuerdo a los términos de un contrato, el riesgo de contraparte es el riesgo de que la otra parte incumpla. Con los futuros y las opciones de intercambio, el riesgo de contraparte es el riesgo de que la cámara de compensación establecida para garantizar la ejecución del contrato incumpla. Los agentes del mercado ven este riesgo como pequeño. En contraste, el riesgo de contraparte en un swap puede ser siginificativo.” (Fabozzi, 1999, pág. 665) 4.7.3 Riesgos operacionales “Los riesgos operacionales surgen de deficiencias en algún aspecto de la ejecución de un programa de derivados. Sus causas son similares a las que pueden ocurrir en el manejo de instrumentos financieros más tradicionales, pero por la complejidad de los derivados su prevención es más difícil. Entre ellas se pueden citar fallas en los controles gerenciales, en los sistemas de información, malas liquidaciones, incompetencia o error humano, entre otras.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, pág. 3)
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4.7.4 Riesgos jurídicos “El acelerado desarrollo y la constante evolución de los derivados obligan a operar dentro de un entorno legal complejo y a menudo incierto. El riesgo jurídico se define, entre otros, como el que nace de la posibilidad de que a los contratos representativos de operaciones con derivados no se les reconozca su exigibilidad. No existe una forma estándar para cuantificar este riesgo.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, pág. 3). 4.8 Modelo de Cálculo de la exposición crediticia de instrumentos financieros derivados y de productos estructurados. “La Exposición Crediticia de un derivado, para efectos de los cupos individuales de crédito, se medirá de la siguiente manera:
EPFCREC donde: EC = Exposición Crediticia CR= Costo de Reposición = Máximo (Valor de Mercado del Derivado, 0) EPF = Exposición potencial futura La Exposición Potencial Futura (EPF) se define como:
NominalValorFCEPF _*
donde: FC = Factor de Crédito: Porcentaje que refleja la variación máxima probable en el precio de un derivado como consecuencia de variaciones en el precio del activo subyacente del contrato. Valor_Nominal = Valor Nominal del contrato de derivados, expresado en pesos colombianos. Si se encuentra en una divisa diferente al dólar estadounidense, se deberá efectuar primero la conversión a esta moneda con base en el reporte informativo de tasas de conversión de divisas que publica diariamente el Banco de la República, correspondientes a la fecha de cálculo de la exposición potencial futura. Las cifras en dólares estadounidenses, a su turno, deberán convertirse a pesos utilizando la Tasa Representativa del Mercado (TCRM) calculada por la Superintendencia Financiera en esa misma fecha.
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Los Factores de Crédito (FC) a aplicar de acuerdo con el tipo de subyacente y el plazo remanente de cada contrato serán los siguientes:
Plazo remanente Renta Fija Tipo de cambio
Hasta 10 días 0.01 % 1.32 %
Mayor de 10 días hasta 1 mes 0.02 % 2.19 %
Mayor de 1 mes hasta 3 meses 0.10 % 3.68 %
Mayor de 3 meses hasta 6 meses 0.28 % 5.16 %
Mayor de 6 meses hasta 12 meses 0.80 % 7.34 %
Por año adicional (*) 2.00 % 2.51 %
(*) Cuando el plazo remanente de la operación con derivados exceda de doce (12) meses, el factor de crédito a aplicar será el que resulte de sumar el factor de crédito para el plazo entre 6 y 12 meses y el factor de crédito adicional, calculado éste último de la siguiente manera:
365
365) - días en remanente (plazo* adicional año por crédito de FactoradicionalcréditodeFactor
Para efectos de la aplicación de los Factores de Crédito, se entenderán como derivados de renta fija aquellos contratos en los cuales el subyacente sea una tasa de interés de mercado o un título de deuda, independientemente del emisor del título y de la especie del título de que se trate. Esta categoría incluye swaps de tipo de interés en la misma moneda, forward sobre tasas de interés, futuros de tipo de interés, forward sobre renta fija y opciones sobre tipo de interés compradas. Para los derivados sobre tipo de cambio, se aplicarán los Factores de Crédito definidos en la tabla anterior, independientemente de la divisa sobre la cual se haya estructurado el derivado. Este factor se aplicará en el caso de operaciones de swaps sobre divisas, forwards sobre divisas, futuros de divisas y opciones sobre divisas compradas. Cuando la entidad haya suscrito Acuerdos Bilaterales de Compensación Efectivos de productos derivados, en los cuales se describan de manera clara los eventos en los cuales se hacen jurídicamente exigibles las obligaciones, la exposición potencial futura del portafolio de derivados con la contraparte con la que se haya firmado dicho acuerdo podrá calcularse a través de la siguiente fórmula:
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venta. de operación una de trata se-1] si[I
y compra de operación una de ratat se1] si[I
ésima,-k operación la de indicador Función I
ésima-k operación la de Crédito de Factor FC
ésima-k operación la de Nominal Valor NOMINAL
econtrapart una con portafolio el en derivados con soperacione de Número N
donde
ΙFCNOMINALutoValorAbsolEPF
k
k
k
k
k
N
k
kkk
:
**1
La entidad deberá tener a disposición de la Superintendencia la documentación relacionada con los acuerdos de compensación suscritos y el libro de derivados por contraparte, a través del cual se pueda verificar el correcto cálculo de la exposición potencial futura con la misma. Es acuerdo bilateral de compensación efectivo aquel documento suscrito por la entidad con la contraparte en el cual se establece claramente cuando se hace jurídicamente exigible una obligación con el fin de liquidar mediante la compensación las posiciones.” (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, págs. 2-3). 4.9 International Swaps and Derivatives Association (ISDA) “La ISDA es una organización comercial con sede en New York de los participantes en la industria de negociación con derivados. La asociación se desarrolló de un pequeño grupo de representantes de los principales negociadores de swaps que se formó en 1984 para estandarizar la documentación que acompaña una operación swap. Anteriormente, cada contrato podía contener diferentes términos que nos solo consumían tiempo y dinero en conceptos legales si no que también hacían difícil encontrar dos swaps equivalentes o negociarlos en un mercado secundario. En 1985 el grupo de representantes, expandido y organizado como la International Swaps Dealers Association (el nombre actual se adoptó en 1993), publicó el Code of Standard Wording, Assumptions and Provisions for Swaps. La ISDA revisó el código en 1986 y usó esta versión como la base para dos formas estándar de operaciones swap: el Interest Rate Swap Agreement y el Interest Rate and Currency Exchange Agreement, publicadas en 1987 y actualizadas en 1992. Adicionalmente la asociación ha publicado varios definiciones y anexos, resolviendo principalmente las mecánicas de cálculo de los pagos. Hoy la ISDA, la cual tiene cerca de 200 miembros alrededor del mundo, ha expandido sus responsabilidades más allá de la documentación. Sus funciones
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incluyen representar la posición de la industria en asuntos regulatorios y legislativos, resolver disputas del mercado, publicar estudios de mercado y dirigir seminarios y conferencias.” (Ungar, 1996, págs. 81-82) 4.10 Interest Rate Swap Agreement e Interest Rate and Currency Exchange Agreement “Estos acuerdos maestros estandarizados cubren, respectivamente swaps denominados en dólares americanos, y swaps de tasas de interés y divisas en todas las monedas. Cada acuerdo consiste de dos partes: un conjunto de términos estándar, con definiciones, y un programa en el que estos términos pueden ser ajustados a las necesidades particulares de las dos partes. Como acuerdos maestros, gobiernan todos los swaps entre un conjunto de contrapartes, con cada transacción posterior a la original tratada como un suplemento. La ISDA diseñó, y ha refinado, los dos documentos de manera que puedan se adaptados a casi cualquier circunstancia, mientras que define cada término dejando el menor espacio posible para malentendidos o vuelos de la imaginación. Como resultado, puede necesitar un abogado especialmente entrenado para descifrar totalmente un acuerdo construido en una plantilla ISDA. A pesar de su complejidad, los documentos que gobiernan cualquier swaps son una lectura obligatoria.” (Ungar, 1996, págs. 82-83) 4.11 Crystal Ball y Simulación de Monte Carlo
“El análisis de riesgo usando Crystal Ball se basa en el desarrollo de un modelo matemático en Excel que representa una situación de interés. Después de desarrollar el modelo determinístico, se reemplazan los estimadores con supuestos de una distribución probabilística y se predice la distribución de salida. La distribución de salida prevista se usa para evaluar el riesgo de la situación.” (Charnes, 2007, pág. 4) “Con Crystal Ball, se obtiene una solución aproximada usando la simulación de Monte Carlo* para obtener la distribución de salida. Una de las características de la simulación de Monte Carlo es que entre más simulaciones se corren, más se acerca la simulación a la distribución real. La técnica de Monte Carlo ha sido usada por muchos años con ese propósito por científicos e ingenieros trabajando en grandes y costosos computadores mainframe. En combinación con los pequeños y baratos computadores personales de hoy, Crystal Ball y Excel le brindan a todos la posibilidad de correr simulaciones de Monte Carlo en un PC.” (Charnes, 2007, págs. 5-6)
*La Simulación de Monte Carlo es un sistema que usa números aleatorios para calcular los efectos de la
incertidumbre en un modelo de hoja de cálculo.
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5. DESARROLLO DE LA METODOLOGÍA Después de estudiar todo lo concerniente al marco teórico, pasamos al desarrollo de la metodología propuesta como ajuste para la valoración de la exposición crediticia en un IRS. Primero que todo, definiremos el IRS que nos servirá como ejemplo y verificación. Luego desarrollaremos el modelo de calculadora en Excel que nos permitirá valorar el IRS con diferentes fechas y diferentes curvas cero cupón. Posteriormente haremos un análisis de sensibilidad y buscaremos el máximo valor de mercado del IRS. A continuación evaluaremos la exposición crediticia del IRS según el modelo de la SFC y posteriormente utilizaremos la simulación de Monte Carlo en Crystal Ball para obtener la exposición crediticia por nuestro método de simulación. 5.1 Estructuración y valoración de un IRS Para valorar un IRS, que para este caso en particular lo definimos como un IRS con un nominal de 5‟000.000 cuyo cupón recibe LIBOR (la LIBOR inicial es de 0,478%) y paga una tasa fija del 2,79% cada 6 meses desde el 27/05/2009 hasta el 27/05/2014 en las fechas indicadas más abajo, debemos empezar por obtener la curva cero cupón, que es la curva que nos permite inferir las tasas para determinado número de días. Esta se obtiene de Bloomberg para la fecha en la que se hace la valoración (28/01/2010) y es la tasa con la que descontamos los flujos del IRS.
Curva Swap 23 28/01/2010
Dias Tasa Dias Tasa Dias Tasa
1 0,171% 210 0,459% 2160 3,010%
2 0,200% 240 0,538% 2520 3,266%
7 0,206% 270 0,621% 2880 3,464%
14 0,217% 300 0,700% 3240 3,623%
30 0,229% 330 0,776% 3600 3,758%
60 0,239% 360 0,854% 3960 3,878%
90 0,249% 720 1,132% 4320 3,978%
120 0,278% 1080 1,750% 5400 4,192%
150 0,324% 1440 2,269% 7200 4,342%
180 0,386% 1800 2,683% 9000 4,405%
A continuación calculamos el número de días desde la fecha de valoración del IRS hasta cada pago de intereses, y de la misma forma el número de días transcurridos entre cada uno de dichos pagos, teniendo en cuenta para esto la convención de fecha utilizada, es decir, los días efectivamente transcurridos entre
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cada fecha; o si suponemos meses de 30 días, en cuyo caso el número de días entre una fecha D1/M1/A1 y una fecha D2/M2/A2 será igual a
.
FECHA DIAS DIAS FLUJO
360 365
27/05/2009 27/11/2009 - 180 184
27/05/2010 119 180 181
29/11/2010 305 182 186
27/05/2011 484 178 179
28/11/2011 669 181 185
29/05/2012 852 181 183
27/11/2012 1.034 178 182
28/05/2013 1.216 181 182
27/11/2013 1.399 179 183
27/05/2014 1.580 180 181
Con los días transcurridos desde la valoración del swap hasta cada vencimiento y la curva cero cupón podemos ahora interpolar por el método de mínimos cuadrados la tasa cero cupón para el número de días específicos que obtuvimos para el swap que utilizaremos como muestra. El método de mínimos cuadrados
nos permite hallar la ecuación de la recta a partir de una serie de x e y conocidos con los cuales estimamos
y
FECHA DIAS TASA CC
27/05/2009
27/11/2009 0
27/05/2010 119 0,277%
29/11/2010 305 0,713%
27/05/2011 484 0,949%
28/11/2011 669 1,092%
29/05/2012 852 1,358%
27/11/2012 1034 1,671%
28/05/2013 1216 1,946%
27/11/2013 1399 2,210%
27/05/2014 1580 2,430%
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A continuación, con la tasa cero cupón calculamos la tasa futura implícita para cada vencimiento, para lo cual definimos un año de 365 días, una tasa y un plazo cortos (TC y PC) –el más cercano entre los dos plazos-, una tasa y un plazo largos (TL y PL) -el más lejano entre los dos plazos-, y utilizamos la siguiente fórmula:
FECHA DIAS TASA CC FRA
27/05/2009
27/11/2009 0
27/05/2010 119 0,277% 0,478%
29/11/2010 305 0,713% 0,994%
27/05/2011 484 0,949% 1,357%
28/11/2011 669 1,092% 1,471%
29/05/2012 852 1,358% 2,344%
27/11/2012 1034 1,671% 3,158%
28/05/2013 1216 1,946% 3,540%
27/11/2013 1399 2,210% 4,004%
27/05/2014 1580 2,430% 4,174% Posteriormente calculamos los pagos de intereses de la pata fija para cada vencimiento, con el nominal y la tasa fija que definimos y los días transcurridos entre cada vencimiento, así:
FECHA DIAS DIAS FLUJO PATA FIJA
360 365 INT.
27/05/2009
27/11/2009 - 180 184 0,0
27/05/2010 119 180 181 69.750,0
29/11/2010 305 182 186 70.525,0
27/05/2011 484 178 179 68.975,0
28/11/2011 669 181 185 70.137,5
29/05/2012 852 181 183 70.137,5
27/11/2012 1.034 178 182 68.975,0
28/05/2013 1.216 181 182 70.137,5
27/11/2013 1.399 179 183 69.362,5
27/05/2014 1.580 180 181 69.750,0
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A continuación calculamos el Factor de Descuento con el que descontaremos los flujos de intereses, y con éste el valor presente de dichos flujos:
y
FECHA DIAS TASA CC
INT. FD VP
27/05/2009
27/11/2009 - 0,0 1 0,0
27/05/2010 119 0,277% 69.750,0 0,9990863 69.686,3
29/11/2010 305 0,713% 70.525,0 0,9939808 70.100,5
27/05/2011 484 0,949% 68.975,0 0,9873167 68.100,2
28/11/2011 669 1,092% 70.137,5 0,9799087 68.728,3
29/05/2012 852 1,358% 70.137,5 0,9683694 67.919,0
27/11/2012 1.034 1,671% 68.975,0 0,9531515 65.743,6
28/05/2013 1.216 1,946% 70.137,5 0,9363899 65.676,0
27/11/2013 1.399 2,210% 69.362,5 0,9177074 63.654,5
27/05/2014 1.580 2,430% 69.750,0 0,8988402 62.694,1
PATA FIJA
Procedemos de la misma forma con la pata variable del swap, calculamos los intereses, el Factor de descuento y el valor presente de los flujos de intereses.
FECHA DIAS DIAS FLUJO TASA CC FRA
360 INT. FD VP
27/05/2009
27/11/2009 - 180 0,0 1 0,0
27/05/2010 119 180 0,277% 0,478% 12.030,8 0,999086294 12.019,8
29/11/2010 305 182 0,713% 0,994% 25.747,0 0,99398084 25.592,0
27/05/2011 484 178 0,949% 1,357% 33.861,3 0,987316703 33.431,8
28/11/2011 669 181 1,092% 1,471% 37.940,5 0,979908748 37.178,2
29/05/2012 852 181 1,358% 2,344% 59.933,1 0,968369354 58.037,4
27/11/2012 1.034 178 1,671% 3,158% 80.461,1 0,953151487 76.691,6
28/05/2013 1.216 181 1,946% 3,540% 90.295,7 0,936389929 84.552,0
27/11/2013 1.399 179 2,210% 4,004% 102.817,7 0,917707439 94.356,6
27/05/2014 1.580 180 2,430% 4,174% 106.047,1 0,898840212 95.319,4
PATA VARIABLE
Finalmente, sumamos los valores presentes para obtener el valor presente de cada pata y al restarlos obtener el valor mark to market. Este proceso se encuentra en el archivo anexo de Excel “calculadora y curvas.xls”.
36
VP Pata fija (Obligación) 602.302,55
VP Pata Variable (Derecho) 517.178,86
Valor mark to market -85.123,69
Para este caso en particular, la obligación es mayor que el derecho, por lo tanto el pagador de tasa fija se encuentra en una posición de pérdida; y el pagador de tasa variable tiene una posición de ganancia. Si se quisiera reemplazar este IRS por uno equivalente, el pagador de tasa fija debe compensar a quien esté interesado en asumir su posición. En el caso contrario, esto es, si el derecho fuera mayor que la obligación, el pagador de tasa fija se encuentra en una posición de ganancia, mientras que el de tasa variable se encuentra en una posición de pérdida. En este caso, el pagador de tasa fija se vería compensado en caso de querer reemplazar el IRS por uno equivalente. 5.1.1 Análisis de sensibilidad Cuando la Curva cero cupón aumenta en 0,01%, aumenta la tasa futura implícita en un punto y se reduce el factor de descuento, esto hace que se reduzca el valor presente de la pata fija en 0,023%, pero como aumenta la tasa futura implícita, los intereses de la pata variable aumentan y entonces su valor presente aumenta en 0,35%, por lo tanto el valor mark to market del IRS es -83.153,32, es decir, se reduce en 2,31%.
VP Pata fija (Obligación) 602.163,01
VP Pata Variable (Derecho) 519.009,69
Valor mark to market -83.153,32
Cuando la Curva cero cupón disminuye en 0,01%, disminuye la tasa futura implícita en un punto y aumenta el factor de descuento, esto hace que aumente el valor presente de la pata fija en 0,023%, pero como disminuye la tasa futura implícita, los intereses de la pata variable disminuyen y entonces su valor presente disminuye en 0,35%, por lo tanto el valor mark to market del IRS es -87.094,88, es decir, aumenta en 2,31%.
VP Pata fija (Obligación) 602.442,14
VP Pata Variable (Derecho) 515.347,26
Valor mark to market -87.094,88
5.1.2 Máximo valor de mercado Al cambiar la fecha de valoración del IRS, aumentándola un mes cada vez y calculando su VPN, obtenemos la tabla que se encuentra en el Anexo 1 y su correspondiente gráfica (para mayor claridad, cambiamos los signos en la gráfica, ya que la exposición es igual para cualquiera de las contrapartes):
37
Lo anterior nos muestra que el IRS llega a su máximo valor de mercado de 204.306,35 el 28/05/2012, es decir, justo en la mitad de su plazo y 28 meses después de la valoración inicial del 28/01/2010. Luego todas las valoraciones las haremos hasta dicha fecha de ahora en adelante. El proceso anterior se encuentra en el archivo anexo de Excel “calculadora y curvas.xls”. 5.2 Modelo de Exposición Crediticia Superintendencia Financiera de Colombia Para la Superintendencia Financiera de Colombia, la exposición crediticia en un IRS se calcula de la siguiente manera (Superintendencia Financiera de Colombia, 1998, pág. 2):
EPFCREC donde: EC = Exposición Crediticia CR= Costo de Reposición = Máximo (Valor de Mercado del Derivado, 0) EPF = Exposición potencial futura La Exposición Potencial Futura (EPF) se define como:
NominalValorFCEPF _*
donde:
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FC = Factor de Crédito: Porcentaje que refleja la variación máxima probable en el precio de un derivado como consecuencia de variaciones en el precio del activo subyacente del contrato. Valor_Nominal = Valor Nominal del contrato de derivados, expresado en pesos colombianos. Entonces, para nuestro IRS tendríamos que el 28/01/2010, el factor de crédito FC sería igual a:
y la exposición del pagador de tasa fija sería:
mientras que la exposición del pagador de tasa variable sería:
5.3 Propuesta de valoración de la Exposición Crediticia mediante el uso de Simulaciones Para evaluar la exposición crediticia mediante el uso de simulaciones tomamos el modelo en Excel con el que calculamos anteriormente el valor del IRS y su valor máximo de mercado y agregamos los supuestos con los cuales trabajaremos en Crystal Ball. Primero obtenemos la serie histórica diaria de la curva cero cupón para 1 día, 1 mes, 3 meses, 6 meses, 1 año, 2 años, 3 años, 4 años y 5 años, para este caso desde el 02/01/2008. Con esta serie calculamos las variaciones mensuales de la curva en cada uno de los plazos y a esta nueva serie le calculamos la Desviación Estándar. Esta será la desviación estándar de nuestra distribución supuesta. A continuación calculamos las correlaciones entre cada una de las series, las cuales serán usadas también como insumo en nuestra simulación. Partimos del supuesto de que conocemos las curvas cero cupón del día de la valoración, y estas tasas podrán subir o bajar con el tiempo pero siempre serán mayores que cero; por lo tanto asumimos se comportarán como una distribución normal con media la tasa conocida de la curva cero cupón y
39
desviación estándar la desviación estándar de la variación mensual; y con las correlaciones antes calculadas. Estos datos (media, desviación estándar y correlaciones) se ingresan para cada uno de los plazos (1 mes, 3 meses, etc.) y se define el valor mark to market del IRS como la variable a pronosticar en el simulador Crystal Ball para Excel, el cual realiza 1000 simulaciones por el método de Monte Carlo y después genera un reporte del resultado. En este reporte se encuentran los datos de la simulación, el gráfico de distribución de frecuencias, los estadísticos y los percentiles. Tomaremos los percentiles 10, 50 y 90 para empezar a armar una tabla con los valores pronosticados. A continuación cambiamos la fecha de valoración del IRS para un mes después de la valoración inicial y repetimos la simulación, tomando de nuevo los percentiles 10, 50 y 90, y así sucesivamente para 2 meses, 3 meses, hasta el 28/5/2012 que fue el plazo para el que obtuvimos el mayor valor de mercado del IRS. Todos los datos, la calculadora y los reportes se encuentran en el archivo de Excel anexo “crystal.xls”. Del proceso anterior obtuvimos la tabla que se encuentra en el Anexo 2 y su correspondiente gráfica (de nuevo con los signos cambiados para mayor claridad):
Posteriormente corremos de nuevo toda la simulación, pero esta vez estresamos la desviación estándar, agregando un factor escalar que la multiplica así: √1 para 1 mes después de la valoración inicial, √2 para 2 meses después, √3 para 3 meses después, y as sucesivamente hasta √28 para el 28/05/2012. Todos los datos, la calculadora y los reportes se encuentran en el archivo de Excel anexo “crystal_con_escalar.xls”. Del proceso anterior obtuvimos la tabla que se
40
encuentra en el Anexo 3 y su correspondiente gráfica (con los signos cambiados para mayor claridad):
41
6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES Cuando cambiamos las fechas de valoración de un IRS, establecimos que el máximo valor de mercado del IRS se encuentra en la mitad de su vencimiento. Esto nos permitió reducir el número de simulaciones, pues sólo se hicieron hasta esa determinada fecha. Esto aplica para todos los IRS. Al evaluar la exposición crediticia con el modelo de la SFC obtuvimos 373.000 para el pagador de tasa fija y 471.166,54 para el de tasa variable el 28/01/2010. Aquí se presenta el primer inconveniente con la metodología de la SFC, por cuanto en un IRS tanto el pagador de tasa fija como el de tasa variable tienen la misma exposición crediticia. Además, el Factor de Crédito FC penaliza fuertemente la Exposición Potencial Futura, pues agrega 0,0054% por cada día de plazo remanente superior a un año, mientras que el FC para 10 días es apenas 0,01%, y para un mes 0,02%. De otro lado, con el modelo por simulaciones obtuvimos que en la simulación sin escalar, la máxima exposición crediticia es de 259.065,81; y con el modelo estresado la máxima exposición crediticia es de 389.512,47. Lo anterior nos permite concluir que el modelo de la SFC es bastante conservador y alejado de la variabilidad de la realidad, además de que se incluye en su cálculo el valor del nominal, el cual nunca se intercambia en realidad en un IRS. En las gráficas se puede apreciar cómo aumenta la variabilidad de los resultados al agregar el escalar, y cómo se separan las series con el tiempo. Finalmente, si tenemos en cuenta la variabilidad en la exposición crediticia, podemos hacer una mejor gestión de los recursos, los cupos de crédito y el sistema financiero en general. Al agregar el componente estocástico al modelo, nuestras simulaciones se comportan más cercanas a la realidad y nos permiten hacer mejores pronósticos. Por lo tanto debemos propender a usarlas siempre que la tecnología y el conocimiento nos lo permitan.
42
7. BIBLIOGRAFÍA Bolsa de Bogotá. (1988). Manual de valores negociados en la Bolsa de Bogotá (4ª
ed.). Bogotá D.C.: Bolsa de Bogotá.
Charnes, J. (2007). Financial Modeling with Crystal Ball and Excel. New Jersey:
John Wiley & Sons, Inc.
Fabozzi, F. J. (1999). Investment management (2ª ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Gluck, J. A. (1996). Measuring and controlling the credit risk of derivatives. En R.
A. Klein, & J. Lederman (Edits.), Derivatives risk and responsability: the complete
guide to effective derivatives management and decision making (págs. 121 - 150).
Chicago: Irwin Professional.
Hull, J. C. (2005). Fundamentals of futures and options markets (5ª ed.). New
Jersey: Prentice Hall.
Lando, D. (2004). Credit risk modeling: theory and applications. Princeton:
Princeton University Press.
Neftci, S. N. (2004). Principles of financial engineering. San Diego: Elsevier
Academic Press.
Rodríguez de Castro, J. (1995). Introducción al análisis de productos financieros
derivados. Mexico D.F.: Limusa.
Rogers, K. (2003). Introducción a los derivados. Barcelona: Ediciones Gestión
2000.
Soler Ramos, J. A., Staking, K. B., & Ayuso Calle, A. (1999). Gestión de riesgos
financieros: un enfoque práctico para países latinoamericanos. Washington D.C.:
Banco Interamericano de Desarrollo.
Superintendencia Financiera de Colombia. (2009). Instrumentos financieros
derivados y productos estructurados. En Circular básica contable y financiera.
Bogotá.
Superintendencia Financiera de Colombia. (1998). Valoración y contabilización de
derivados. En Circular básica contable y financiera. Bogotá.
Ungar, E. (1996). Swap literacy: a comprehensible guide. Princeton: Bloomberg
Press.
43
ANEXOS Anexo 1: Tabla de Máximo valor de mercado
Fecha actual Fecha hábil VPN VPN Positivo
28/01/2010 28/01/2010 -98.166,54 98.166,54
27/02/2010 01/03/2010 -114.371,89 114.371,89
27/03/2010 29/03/2010 -127.539,78 127.539,78
27/04/2010 27/04/2010 -143.240,14 143.240,14
27/05/2010 27/05/2010 -100.632,93 100.632,93
27/06/2010 28/06/2010 -115.959,17 115.959,17
27/07/2010 27/07/2010 -130.222,10 130.222,10
27/08/2010 27/08/2010 -145.859,64 145.859,64
27/09/2010 27/09/2010 -161.898,94 161.898,94
27/10/2010 27/10/2010 -177.800,88 177.800,88
27/11/2010 29/11/2010 -123.773,28 123.773,28
27/12/2010 27/12/2010 -134.380,06 134.380,06
27/01/2011 27/01/2011 -146.060,21 146.060,21
27/02/2011 28/02/2011 -158.045,53 158.045,53
27/03/2011 28/03/2011 -168.471,25 168.471,25
27/04/2011 27/04/2011 -179.576,20 179.576,20
27/05/2011 27/05/2011 -135.876,55 135.876,55
27/06/2011 27/06/2011 -145.987,22 145.987,22
27/07/2011 27/07/2011 -155.697,98 155.697,98
27/08/2011 29/08/2011 -166.293,80 166.293,80
27/09/2011 27/09/2011 -175.528,98 175.528,98
27/10/2011 27/10/2011 -185.005,62 185.005,62
27/11/2011 28/11/2011 -139.368,11 139.368,11
27/12/2011 27/12/2011 -149.345,47 149.345,47
27/01/2012 27/01/2012 -160.168,51 160.168,51
27/02/2012 27/02/2012 -171.152,52 171.152,52
27/03/2012 27/03/2012 -181.571,84 181.571,84
27/04/2012 27/04/2012 -192.861,65 192.861,65
27/05/2012 28/05/2012 -204.306,35 204.306,35
27/06/2012 27/06/2012 -140.288,89 140.288,89
27/07/2012 27/07/2012 -149.098,06 149.098,06
27/08/2012 27/08/2012 -158.354,28 158.354,28
27/09/2012 27/09/2012 -167.764,69 167.764,69
27/10/2012 29/10/2012 -177.638,47 177.638,47
27/11/2012 27/11/2012 -115.166,61 115.166,61
44
27/12/2012 27/12/2012 -121.091,35 121.091,35
27/01/2013 28/01/2013 -127.494,47 127.494,47
27/02/2013 27/02/2013 -133.574,52 133.574,52
27/03/2013 27/03/2013 -139.315,65 139.315,65
27/04/2013 29/04/2013 -146.163,12 146.163,12
27/05/2013 27/05/2013 -152.040,92 152.040,92
27/06/2013 27/06/2013 -91.111,90 91.111,90
27/07/2013 29/07/2013 -95.668,16 95.668,16
27/08/2013 27/08/2013 -99.868,44 99.868,44
27/09/2013 27/09/2013 -104.432,45 104.432,45
27/10/2013 28/10/2013 -109.072,12 109.072,12
27/11/2013 27/11/2013 -49.019,28 49.019,28
27/12/2013 27/12/2013 -49.919,41 49.919,41
27/01/2014 27/01/2014 -50.848,03 50.848,03
27/02/2014 27/02/2014 -51.774,93 51.774,93
27/03/2014 27/03/2014 -52.610,52 52.610,52
27/04/2014 28/04/2014 -53.563,44 53.563,44
27/05/2014 27/05/2014 0,00 0,00
Anexo 2: Tabla de los percentiles 10, 50 y 90 para el modelo sin escalar.
Percentil
Fecha 10% 50% 90%
28/01/2010 -184.193,75 -95.473,78 -7.594,27
01/03/2010 -205.320,93 -119.425,52 -35.749,77
29/03/2010 -228.569,86 -131.070,08 -39.665,30
27/04/2010 -235.636,02 -140.925,06 -53.536,92
27/05/2010 -198.415,04 -104.734,27 -14.204,39
28/06/2010 -204.528,15 -115.009,50 -30.343,76
27/07/2010 -221.011,21 -129.398,67 -50.888,63
27/08/2010 -237.072,03 -140.287,42 -52.146,91
27/09/2010 -245.515,59 -159.077,07 -70.955,79
27/10/2010 -257.565,64 -177.410,12 -91.653,91
29/11/2010 -204.582,24 -120.748,72 -47.572,57
27/12/2010 -207.409,93 -127.460,88 -51.333,26
27/01/2011 -225.259,97 -145.095,84 -67.552,13
28/02/2011 -236.645,54 -158.909,35 -82.150,93
28/03/2011 -246.207,52 -167.706,64 -85.226,90
27/04/2011 -256.198,02 -177.526,47 -100.193,01
27/05/2011 -207.528,65 -133.025,30 -66.591,95
45
27/06/2011 -220.561,79 -148.277,54 -74.743,47
27/07/2011 -222.342,94 -153.757,02 -86.835,19
29/08/2011 -238.101,14 -167.303,13 -103.977,78
27/09/2011 -242.740,00 -176.500,58 -107.795,76
27/10/2011 -254.455,75 -184.012,44 -114.004,87
28/11/2011 -193.662,37 -138.192,96 -84.700,57
27/12/2011 -207.987,67 -151.826,14 -96.342,52
27/01/2012 -218.414,32 -161.024,31 -106.026,45
27/02/2012 -226.833,69 -171.431,48 -114.653,10
27/03/2012 -234.233,65 -181.500,37 -122.596,68
27/04/2012 -247.569,98 -192.543,93 -136.038,30
28/05/2012 -259.065,81 -203.905,36 -151.087,11
Anexo 3: Tabla de los percentiles 10, 50 y 90 para el modelo escalado.
Percentil
Fecha 10% 50% 90%
28/01/2010 -189.335,55 -98.509,47 -16.645,57
01/03/2010 -212.628,14 -116.135,67 -21.268,86
29/03/2010 -264.645,55 -132.705,23 -7.145,14
27/04/2010 -294.672,14 -151.354,70 -1.870,03
27/05/2010 -280.722,63 -95.876,18 75.931,59
28/06/2010 -312.817,70 -110.415,31 77.169,63
27/07/2010 -337.066,16 -125.448,25 92.122,73
27/08/2010 -367.428,64 -132.589,79 92.170,05
27/09/2010 -383.168,21 -148.431,56 105.732,01
27/10/2010 -389.512,47 -145.796,73 114.481,44
29/11/2010 -346.502,97 -114.036,84 117.592,67
27/12/2010 -374.224,03 -123.641,76 124.668,04
27/01/2011 -355.868,61 -127.995,07 106.503,53
28/02/2011 -385.784,00 -122.420,92 121.888,70
28/03/2011 -377.868,83 -130.039,64 140.746,56
27/04/2011 -382.128,58 -142.996,80 123.894,16
27/05/2011 -332.849,21 -110.172,30 132.666,17
27/06/2011 -340.736,86 -121.668,77 134.266,60
27/07/2011 -336.988,57 -121.929,35 128.213,42
29/08/2011 -353.584,74 -126.404,28 162.533,38
27/09/2011 -350.112,68 -143.584,65 105.730,34
27/10/2011 -365.574,46 -130.360,51 137.963,69
28/11/2011 -306.363,54 -102.612,37 124.655,09
46
27/12/2011 -315.296,66 -106.806,44 130.498,21
27/01/2012 -298.791,81 -113.987,46 104.528,13
27/02/2012 -311.608,92 -111.017,22 116.436,28
27/03/2012 -311.797,01 -124.917,10 123.207,86
27/04/2012 -324.385,74 -135.844,03 131.162,45
28/05/2012 -318.435,93 -133.890,50 113.997,82
Anexo 4: Se anexan en el CD junto al documento escrito 3 archivos de Excel:
calculadora y curvas.xls
crystal.xls
crystal_con_escalar.xls
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