3). Leer el Acpite 11.6 (Errors) pginas 322 a 335 del libro Matrix Structural Analysis de McGuire, Gallagher, Zieman. Leer con cuidado el ejemplo 11.7. Presentar un resumen, no ms de un pgina tamao A4 en Word. ERRORES: En el anlisis estructural se reconoce que la perfeccin de resultados es inalcanzable por lo se brinda una precisin suficiente para obtener una respuesta confiable que nos garantice seguridad y economa. La mayor cantidad de errores por falta de precisin se produce por las siguientes causas: Idealizacin: Proceso de conversin de una estructura a un modelo computacional. Nuestra precisin se ve afectada por simplificaciones y juicios personales. Entrada/Salida: Que involucran errores en el momento de ingreso de informacin a la computadora y su subsecuente interpretacin. Manipulacin: Que nacen del procesamiento computacional en s mismo y que derivan fundamentalmente de truncamientos y redondeos. Los errores de manipulacin al resolver un sistema de ecuaciones se relacionan directamente con la misma condicin del problema. Pequeos errores causan poco efecto en la solucin mientras que grandes errores harn que el problema este mal condicionado. Por ejemplo en un sistema de ecuaciones, cuando estas son linealmente dependientes, la solucin no existe y las grficas son paralelas; esto se traduce a un sistema inestable en el anlisis estructural de prticos. La condicin ptima es la perteneciente a un sistema ortogonal que es muy rara de encontrar por lo que consideramos un problema bien acondicionado, aquel representado por un caso intermedio donde el vector solucin es {Xa}. Debemos recordar que en un sistema aporticado, los problemas de acodicionamiento podran darse en estructuras: (1) Con elementos adyacentes con extremas variaciones de rigidez, (2) Al tener rotaciones de largos cuerpos rgidos sin causar significativas deformaciones o (3) Cuando tenemos muchos grados de libertad. El redondeo provoca la mayor cantidad de errores de manipulacin en los problemas de anlisis estructural por lo que es necesario repasar el concepto de norma. Esta funcin nos brinda el valor del tamao de un vector o una matriz y tiene una serie de propiedades como: valor escalar, valor positivo, desigualdad triangular, norma euclidiana, uniformidad e infinidad, entre otros. La norma de una matriz permitir calcular el trmino nmero de condicin o k, el cual estar expresado en funcin de una matriz cualquiera [A] y que nos brindar una herramienta para detectar mal acondicionamientos en grandes sistemas. El nmero k depender de la norma de la matriz [A] y de su inversa correspondiente, por tanto el clculo del mismo puede complicarse por el hecho de tener en algn momento un mal acondicionamiento de la matriz original y por ende de su respectiva inversa. Por tanto se considera como estimacin razonable a un lmite inferior de la norma de la inversa de [A]; aqu entra a tallar una nueva matriz [B] que restar a la original [A] brindando un valor mucho menor a [A] y su inversa. Esta nueva matriz [B] tendr los mismos elementos que [A] excepto que la ltima fila ser reemplazada por una combinacin lineal de todas las dems filas hasta que la ltima fila de [B] cuadre con la de [A] excepto en una sola posicin. Otra forma ms comn de deteccin de errores es la de substituir el vector solucin {Xa} en el sistema de ecuaciones original, y de esta manera calcular el vector {ba}. Si este ltimo difiere muchsimo del original es claro que existen errores significativos y que por tanto no llegaremos a calcular el verdadero valor de {Xt}. Este procedimiento no es necesariamente cierto ya que pequeas diferencia entre {ba} y {b} (vector original) no prueban que {Xa} es preciso y cercano a la solucin {Xt}. En el anlisis estructural, sustituir la solucin encontrada no es ms que realizar el chequeo de equilibrio para luego extendernos a un chequeo de compatibilidad de desplazamientos para confirmar que la solucin es la correcta. Otro mtodo para incrementar la precisin de la solucin es el mtodo conocido como mejoramiento iterativo que se encarga de analizar una matriz [A] y sus correspondientes solucin {X1} y residuo de la solucin {r1}, que brindarn un nuevo valor como respuesta llamado {X2}. Usando este mismo valor repetimos el procedimiento en forma iterativa hasta que los valores obtenidos en el sistema sean despreciables. Finalmente debemos saber que no existe ningn tipo de sistema que nos permita detectar y recuperar la informacin perdida debido a los errores por redondeo, por tanto la nica manera de amenguar esta merma es la de usar toda la precisin computacional disponible y adems que cada uno debe estar seguro de la formulacin de cargas vectoriales, propiedades de los elementos y los coeficientes de rigidez que deben presentar gran precisin.

4). Leer el Acpite 11.4 (Sparseness and Bandedness) pginas 316 a 317 del libro Matrix Structural Analysis de McGuire, Gallagher, Zieman. Presentar un resumen, no ms de un pgina tamao A4 en Word. DISPERSIN Y BANDEADO: La matriz de rigidez global es poco popular en la mayora de problemas del anlisis estructural. Esto es debido a que cada fila o ecuacin de equilibrio para un determinado grado de libertad es solo afectada por los grados de libertad asociados usualmente a un pequeo nmero de elementos conectados a ese grado de libertad. Los dems grados de libertad para los elementos restantes no tienen ningn efecto en la ecuacin de equilibrio y por tanto tienen coeficientes cero en esa fila. Usualmente la dispersin se presenta en forma de banda en una matriz de rigidez (figuras), donde las cruces representan la localizacin de coeficientes de rigidez diferentes a cero. El bandeado de la matriz de rigidez est indicado a travs del agrupamiento de esos coeficientes a lo largo de la diagonal principal. Denotaremos como HBW a la mitad del ancho de banda de una matriz simtrica. La oportunidad de ganar eficiencia para resolver ecuaciones algebraicas lineales puede ser alcanzada si notamos que todos los coeficientes fuera del ancho de banda siempre conservarn un valor cero durante cualquier procedimiento de solucin. El rendimiento de estos sistemas puede ser mejorado a travs de modificaciones que evitarn el almacenamiento y manipulacin de ceros inservibles. En todos los casos el ancho de banda ser calculado de la siguiente forma:

HBW = max(maxdofel mindofel) 1

5). Leer el Artculo Shear Wall Analysis New Modeling, Same Answers K. Amott que est colgado en Intranet documentos del curso (Lectura 5). Presentar resumen, no ms de una pgina tamao A4 en Word. ANLISIS DE MUROS DE CORTE NUEVO MODELAMIENTO RESPUESTAS SIMILARES: Si las deflexiones y la distribucin de las fuerzas son importantes, necesitamos tener todos los aspectos de nuestro modelo, esto implica: precisin en las propiedades del material para cada miembro, precisin en las propiedades geomtricas y una buena disposicin de los elementos para idealizar la geometra fsica. Existe un buen juicio con respecto a la seleccin de las propiedades de los materiales as como de su geometra o secciones ya que esto afecta directamente los resultados y deben ser tomadas en consideracin cuando se debaten la complejidad de modelos idealizados. En la siguiente descripcin se utiliza las deflexiones como primera base de comparacin para demostrar que diferentes modelos pueden ser iguales uno con otro. En un primer ejemplo se analiza un pao simple de muro de corte, donde para estar convencidos que un ncleo complejo de un muro puede ser idealizado y analizado satisfactoriamente usando modelos simples de vigas. Por ello se us un muro de 35 m de alto distribuido en 10 pisos cada uno de 3.50 m, presenta una longitud de 6 m y espesor de 20 cm. Una fuerza axial de 1000 kN y una carga lateral de 100 kN son aplicadas en la parte ms alta del muro. Entonces se crea 5 modelos distintos donde el primero presenta una idealizacin simple de vigas que tienen un ancho de 20 cm y un peralte de 6m, los dems modelos son una serie de muros tipo shell o cscara que presentan divisiones de afinamiento a travs de mallas cada vez ms finas. Los puntos a describir en la descripcin de los resultados son:

Cuando consideramos efectos globales como la inclinacin de edificios, el modelo en base a vigas brinda similares resultados que los modelos en base a muros con divisiones finas. Inclusive la variacin de los resultados entre modelos con muros divididos varia ligeramente uno respecto del otro por lo que asumirse que un buen resultado puede extraerse de una divisin de muro de corte en tamaos proporcionales de 1/3 o 1/4 de la altura de entrepiso.

Debemos saber que el modelo de vigas produce informacin de diseo ms utilizable como fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores para el panel. Sin embargo para encontrar estas fuerzas o este tipo de informacin en el caso de los muros de corte para un determinado nivel de piso, ser necesario reintegrar todas estas divisiones hechas al panel nico original.

Un segundo ejemplo nos muestra la utilizacin del mismo muro de corte, con las mismas cargas aplicadas, pero con aberturas significativas de corte en cada nivel a lo largo de su altura. Primeramente examinaremos que los resultados son obtenidos de una serie de divisiones finas que aumentan de un modelo a otro. El modelo que presenta 63 divisiones parece ser razonable segn sus resultados ya que estos varas en un porcentaje del 5% con respecto a los dems; debemos notar que se tiene al menos 3 a 4 paneles a lo largo de la altura de entrepiso incluyendo la viga de acoplamiento. Tambin se construy una idealizacin en base a una serie de modelos con vigas y con las aberturas descritas anteriormente. El modelo 1 muestra una serie de paneles divididos a cada lado de la abertura con una viga usada como acoplamiento ente ellos. Esta viga de presenta una seccin de 20 cm y un peralte de 1.10 m y est posicionada en el centro del nivel de piso. Los resultados de este modelo concuerdan bien con los resultados del segundo ejemplo y debemos notar en cada extremo de la viga de acoplamiento se tiene una serie de elemento rgidos entendidos arriba y abajo sobre la cara del muro dividido. Si estos elementos rgidos son borrados, la deflexin del muro se incrementar sustancialmente mientras que el momento en el acoplamiento se reduce. Este modelo puede demostrar buenos resultados pero tambin muestra una trampa de vigas mixtas y muros de corte en el modelo de anlisis. El modelo 2 usa solamente vigas en toda la altura y presenta resultados muy parecidos a los del modelo 1 excepto en que se computan cargas axiales. Esto tiene una explicacin ya que en el modelo con divisiones en los muros de corte; cuando uno de estos paneles es comprimido verticalmente, los lados del panel se expanden lateralmente (debido al efecto Poisson) y expansin lateral es resistida por la viga de acople. Este efecto puede ser despreciable y puede ser ignorado, por lo tanto esta diferencia no es significativa. Los modelos 3 y 4 repiten los anteriores modelo 1 y 2 pero tiene la diferencia de que la viga de acoplamiento se encuentra situada a la altura del entrepiso. Esta aproximacin es menos precisa pero ms prctica y conveniente para el modelo. Un tercer y ltimo ejemplo muestra un ncleo simple en forma de C de un muro de corte ligeramente separado del centro de un edificio de 10 niveles. Se tiene columnas alrededor del ncleo y fuerzas en X y Y son aplicadas manteniendo una ligera excentricidad en la direccin Y y originando torsin en cada nivel. Como siempre generamos modelos en base a una divisin cada vez ms fina del muro de corte y un modelo adicional con vigas. Este ltimo nuevamente presente una excelente aproximacin de resultados.