Respuesta en el Tiempo

Sistemas de Primer Orden (Funcin de Transferencia)

Objetivos

Clasificar los sistemas de control con respecto a la ecuacin

diferencial de orden n que los define.

Determinar las caractersticas de la respuesta de los sistemas, tanto

en lazo abierto como en lazo cerrado.

Estudiar la aproximacin de la funcin de transferencia de un

sistema a partir de su respuesta real al escaln.

POLOS Y CEROS

Recordemos: La respuesta de un sistema es la suma de

dos respuestas:

Respuesta Forzada (Debido a la entrada)

Respuesta Natural (Homognea)

Forma clsica para resolver las ecuaciones diferenciales

es aplicar la transformada inversa de Laplace

Sin embargo es ms eficiente utilizar tcnicas que no

consuman tanto tiempo: mtodos cuantitativos-

cualitativos.

El concepto de los polos y los ceros es esencial para el

anlisis y diseo de sistemas de control.

Los polos son los valores que puede tomar la variable s

de la funcin de transferencia para volverse infinito.

Las races del denominador (incluso si se cancelan con el

numerador) .

Los ceros son los valores que puede tomar la variable s

de la funcin de transferencia para volverse cero.

Las races del numeradorCero: -2

Polos y Ceros de la Funcin de

Transferencia

Polos: 0, y -5

Respuesta de Sistemas de Primer Orden

Est definido por una ecuacin diferencial de primer

orden.

Respuesta a una entrada

paso:

En el dominio del tiempo:

Sistemas de Primer Orden

Respuesta del Sistema por inspeccin:

Por inspeccin cul es la respuesta de este sistema a una

entrada paso??

Sistemas de Primer Orden

Respuesta del sistema:

Cul es el papel del polo en a??

En general se utiliza un a entrada

paso para determinar las

propiedades temporales del sistema

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

Am

plit

ud

Respuesta a una paso

respuesta natural

Constante de Tiempo

Se define como el tiempo necesario para

que la exponencial decaiga un 37%

(o de forma alternativa la respuesta

alcance el 63%)

El trmino frecuencia exponencial

aparece a partir de la inversa de la

constante de tiempo.

La constante de tiempo se define como

la inversa del polo

Tiempo de Crecimiento: Se define como el tiempo en que

la respuesta cambia del 0.1 a 0.9 de su valor final (o del cambio

entre el valor inicial y valor final)

Tiempo de Asentamiento (estabilizacin): Es el tiempo

que le toma a la respuesta en alcanzar y mantenerse en el 2%

de su valor final

Tiempo de Crecimiento Tr y Tiempo de Asentamiento

Valor Final:

El valor final de la respuesta es:

Usualmente se le conoce como ganancia DC

Aproximacin de la respuesta

Si se posee la respuesta real del sistema a un escaln (entrada

paso), es posible obtener la funcin de transferencia del

sistema:

1. Constante de Tiempo: Se encuentra el tiempo cuando la respuesta

alcanza el 63% de su valor final. La ganancia se encuentra a partir

del valor final de la respuesta.

2. Pendiente Aproximada: Se traza una recta con pendiente mxima

al origen de la curva. El cruce entre esta pendiente y el valor final

definen la constante de tiempo.

Aproximacin a una respuesta de primer orden

Afecto del Tiempo Muerto

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Am

plit

ud

Sistema con tiempo muerto

Sistema sin tiempo muerto

La respuesta es la misma pero se

tarda el tiempo muerto b en aparecer

Funciones de Transferencia con Ceros

Los ceros en la funcin de transferencia afecta la amplitud

de la respuesta pero no la velocidad del decaimiento de la

exponencial.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo

Am

plit

ud

Cero -1.9

cero -2.5

cero -4

cero 1

Sin cero

Se ver ms efectos en sistemas de

2do orden.

Si el cero se encuentra en el

semiplano derecho se denomina:

sistemas de fase no-mnima

Derivada de c(t) c(t) escalado

Lazo Abierto vs. Lazo Cerrado

Qu sucede con los

polos y ceros de la

planta?

Matlab:

G=tf([1],[1, 2])

[ys,ts]=step(G);

stepinfo(ys,ts)

s=tf('s')

G2=exp(-1*s)*G

[ym,tm]=step(G2);

Obtencin de los parmetros

de la respuesta paso

Sistema con Tiempo

Muerto

Uds. pueden graficar las respuestas!!

Sistemas de Segundo orden

Respuesta de Sistemas de 2do Orden

A diferencia de los sistemas de primer orden, que el polo

implica la velocidad de la respuesta, los sistemas de segundo

orden los polos determinan no solo la velocidad sino tambin

la forma de la respuesta.

Tener respuestas similares a los de 1er orden.

Presentar oscilaciones, amortiguamientos, etc.

La forma de la respuesta depende de la ubicacin de los polos en

el plano s

Respuesta sobreamortiguada

1. Los dos polos del sistema

son reales negativos.

2. La respuesta natural

presenta dos exponenciales

con constantes de tiempo

iguales a la inversa de los

polos

Existe una gran absorcin de energa en el sistema . Si la absorcin de

energa se reduce la repuesta presentar un comportamiento distinto

Respuesta Crticamente Amortiguado

Los polos son reales negativos y repetidos

La respuesta natural posee un

componente exponencial que decae y un

componente que depende de linealmente

del tiempo y de una exponencial que

decae

Amortiguamiento y Frecuencia natural

El polinomio caracterstico del sistema

puede expresarse como frecuencia natural y

factor de amortiguamiento

Frecuencia Natural no

amortiguada

Factor de amortiguamiento

relativo

Amortiguamiento y Frecuencia natural

Los polos de un sistema de

segundo orden se pueden

escribir:

Aparecen nuevos trminos:

1. Frecuencia natural amortiguada

2. Factor de amortiguamiento relativo

Respuesta Sub-amortiguada 0

Respuesta Sub-amortiguada 0

Respuesta Sub-amortiguada 0

Respuesta No-amortiguada

Existen dos polos imaginarios

puros conjugados:

1. Respuesta posee un

componente puramente

sinusoidal

Respuestas de Sistemas de Segundo Orden

Caractersticas de la respuestas de sistemas

de 2do. Orden

Especificaciones de la Respuesta Transitoria

Tiempo de Crecimiento Tr

Tiempo de Asentamiento

Tiempo Pico Tp

Mximo Sobrepico MP (%):

El valor en porcentaje que la respuesta sobrepasa el valor final

Estos valores dependen de la frecuencia natural del sistema y del

factor de amortiguamiento

Especificaciones de la Respuesta Transitoria

Tiempo Pico Tp: El instante de tiempo donde sucede el

sobreimpulso:

Como obtenerlo??

Mximo Sobrepico (Sobreimpulso)

A partir de la respuesta temporal el mximo sobrepico

es:

El cual puede ser encontrado a travs de:

MP

A partir de esta frmula se puede

calcular el factor de amortiguamiento

Relacin Factor de Amortiguamiento y MP

Tiempo de Asentamiento

Basados en el concepto de tiempo de asentamiento,

podemos buscar el tiempo en el cual la amplitud de la

respuesta alcanza la franja de 2%.

Entonces, el tiempo de asentamiento puede ser

aproximado a: Notan alguna similitud con el tiempo de asentamiento de

sistemas de primer orden??

Tiempo de Crecimiento Tr

Notan la relacin entre el

tiempo de subida y el

tiempo pico?

Preguntas clave de razonamiento

Como cambia la respuesta si suponemos el polo se mueve en

el plano s de tal manera:

1. que se mantiene la parte REAL constante y solo cambia la

parte IMAGINARIA?

2. que se mantiene la parte IMAGINARIA constante y solo

cambia la parte REAL ?

3. que el ngulo que forma el polo con el origen es

constante?

1. Que sucede si cerramos el lazo??

Sistemas de Orden Superior

La respuesta a un sistema de tercer orden a una entrada paso esta

dado por:

Sistemas de orden mayor a dos tambin se les puede relacionar con

los trminos: mximo sobrepico, tiempo de crecimiento, etc.

Sin embargo en lugar de analizar todo el polinomio caracterstico, se

puede aproximar a sistemas de segundo orden cuando estos se

comporten como tales mediante los denominados polos

dominantes.

Sistemas de orden Superior

La respuesta temporal tendr la siguiente forma:

Caso I Caso II Caso III

Sistemas de orden Superior

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Caso III

Caso II

Caso I

Cual de las respuestas

se asemeja ms al

caso II (segundo

orden)??

Polos Dominantes

El o los polos dominantes son elementos que por su

cercana al eje imaginario del plano ejercen mayor efecto

en la respuesta del sistema.

Los polos restantes estn mas alejados (esto es relativo)

al eje imaginario tienen menor influencia en el sistema.

Para que un sistema se comporte como un sistema de

segundo orden:

Los polos restantes deben estar alejados al menos 10 veces

ms del eje imaginario que los polos dominantes.

Que sucede si no??

Efecto de los Ceros

En sistemas de primer orden ya se estableci el efecto de los ceros.

Recordemos: No afectan el tipo de respuesta (exponencial, oscilatoria),

pero afecta la amplitud de cada uno de las componentes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Sin cero

cero -3

cero -5

cero -10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

Efecto de los ceros

c(t) escalado

Si a es suficientemente grande el efecto de la derivativa desaparece.

Si a es muy pequeo el termino de la derivativa contribuye ms en la

respuesta, por lo que se espera ms sobreimpulso.

Derivada de c(t)

Si a es negativa, i.e. cero en el semiplano derecho, veremos el siguiente efecto:

La derivada y el escalado de c(t) tendrn diferente signo.

La respuesta empieza tomando valores negativos aunque su valor final es

positivo.

Sist

em

as d

e

Fas

e n

o-

mn

ima