resolución de sistemas por el método de matriz inversaº bach hum/teorema de rouche... · 1...
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1
Resolución de sistemas por el
Método de Matriz Inversa
Ejercicio nº 1.- Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:
Ejercicio nº 2.- Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
Ejercicio nº 3.- Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:
Ejercicio nº 4.- Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 5.- Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:
32
1
624
zyx
z x
zyx
1
423
12
zyx
zyx
zyx
32
02
53
z x
zyx
zyx
72
82
6
zyx
zyx
zyx
02
52
732
zy
zyx
zyx
2
Teorema de Rouché y Regla de Cramer
Ejercicio nº 6.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:
Ejercicio nº 7.- Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 8.- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 9.- Estudia la compatibilidad del sistema:
Ejercicio nº 10.- Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:
Ejercicio nº 11.- Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:
1
22
32
tzyx
tzyx
tzyx
5
26
13
32
yx
yx
yx
yx
33
2
132
zyx
zyx
zyx
22
12
3
zyx
zyx
zyx
7
32
143
zx
zyx
zyx
63
332
32b)
732
64a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
3
Ejercicio nº 12.- Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Ejercicio nº 13.- Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:
Ejercicio nº 14.- Resuelve, aplicando la regla de Cramer:
Ejercicio nº 15.- Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:
Ejercicio nº 16.- Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:
Ejercicio nº 17.- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:
Ejercicio nº 18.- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:
Ejercicio nº 19.- Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
63
42
2b)
53
02
a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
12
33
02b)
1
53a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
323
12
02b)
12
323a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
53
53
12b)
15
523a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
222
1
822
tzyx
tzyx
tzyx
81157
43
52
zyx
zyx
zyx
12
53
62
zyx
zyx
zyx
63
52
343
zyx
zyx
zyx
4
Ejercicio nº 20.- Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:
Ejercicio nº 21.- Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del parámetro a:
Ejercicio nº 22.- Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:
Ejercicio nº 23.-
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro . Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Ejercicio nº 24.-
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de y resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Ejercicio nº 25.- Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
5
3222
22
tzyx
tzyx
tzyx
azaayx
azax
azy
21
12
12
1
1
2
mzmyx
myx
zymx
01
02
02
zyx
zy
z x
02
02
02
zyx
zyx
zyx
22
321
zy
azyxa
ayax
5
Soluciones sistemas por el
Método de Matriz Inversa
Ejercicio nº 1.- Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:
Solución: Expresamos el sistema en forma matricial:
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x 1, y 1, x 0
32
1
624
zyx
z x
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA
3
1
6
112
101
124
3
1
6
;;
112
101
124
: existe si ver para Calculamos 1AA
1 Existe03
112
101
124
AA
201
561
231
252
063
111
t
AAdj AAdj
201
561
231
3
1
11 tAAdj
AA
CAXCAAXACAX 111
0
1
1
0
3
3
3
1
3
1
6
201
561
231
3
1X
6
Ejercicio nº 2.- Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x 2, y 0, z 1
Ejercicio nº 3.- Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:
1
423
12
zyx
zyx
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA
1
4
1
111
213
121
1
4
1
;;
111
213
121
: existe si ver para , Calculamos 1AA
1 Existe01
111
213
121
AA
512
101
311
513
101
211
t
AAdj AAdj
512
101
311
11 t
AAdjA
A
CAXCAAXACAX 111
1
0
2
1
4
1
512
101
311
X
32
02
53
z x
zyx
zyx
7
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Calcula la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x 1, y 1, z 1
Ejercicio nº 4.- Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA
3
0
5
102
121
113
3
0
5
;;
102
121
113
: existe si ver para Calculamos 1AA
1 Existe01
102
121
113
AA
724
211
312
723
211
412t
AAdjAAdj
724
211
31211 t
AAdj A
A
CAXCAAXACAX 111
1
1
1
3
0
5
724
211
312
X
72
82
6
zyx
zyx
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA
7
8
6
121
112
111
7
8
6
;;
121
112
111
8
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x 2, y 1, z 3
Ejercicio nº 5.- Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:
Solución: Expresamos el sistema en forma matricial: Si llamamos:
: existe si ver para , Calculamos 1AA
1 Existe01
121
112
111
AA
113
101
011
110
101
311t
AAdjAAdj
113
101
011
11 t
AAdjA
A
CAXCAAXACAX 111
3
1
2
7
8
6
113
101
011
X
02
52
732
zy
zyx
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA
0
5
7
210
211
132
0
5
7
;;
210
211
132
: por izquierda la por ndomultiplica despejamos ,resolverlo Para 1AX
CAXCAAXACAX 111
9
Obtenemos X:
Por tanto la solución del sistema es:
x 1; y 2; z 1
Soluciones Teorema de Rouché y Regla
de Cramer
Ejercicio nº 6.- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) 2.
Además:
: hallamos y 03 que sComprobamo 1 AA
121
542
754
157
245
124
t
AAdjAAdj
121
542
754
3
1
1 1 t
AAdjA
A
1
2
1
3
6
3
3
1
0
5
7
121
542
754
3
11CAX
1
22
32
tzyx
tzyx
tzyx
1111
11
12
12
11
A
0312
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
09
111
112
211
10
Por tanto, ran (A) 3.
Con esto, también deducimos que ran (A') = 3, siendo A' la matriz ampliada.
Así, como ran (A) ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 7.- Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:
Solución: Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Como ran (A) ran (A'), el sistema es incompatible.
Ejercicio nº 8.- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
11111
21112
31211
'A
5
26
13
32
yx
yx
yx
yx
.2 0131
21
11
61
31
21
AranA
3' 03
261
131
321
5
2
11
61
1
3
31
21
'
AranA
33
2
132
zyx
zyx
zyx
2 0111
120
311
1
3
11
12
AranAA
11
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Como ran (A) ran (A'), el sistema es incompatible. Ejercicio nº 9.- Estudia la compatibilidad del sistema:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
El rango de la matriz ampliada, A', será también 3.
Por tanto, como ran (A) ran (A') no incógnitas, el sistema es compatible determinado. Ejercicio nº 10.- Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
3' 05
311
211
112
3311
21
13
11
12
'
AranA
22
12
3
zyx
zyx
zyx
3 0
112
121
111
AranAA
7
32
143
zx
zyx
zyx
101
121
143
A
2. )( Luego, .0221
43
Aran
.2)( tanto, Por .0 Además, AranA
12
Así, como ran (A) ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 11.- Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Solución:
La solución del sistema es: x 2, y 1
Ejercicio nº 12.- Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:
2.)'( Luego, .0
701
321
143
7
3
1
101
1
1
21
43
'
AranA
63
332
32b)
732
64a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
5;32
41;
732
641
732
64a)
AA
yx
yx
15
5
5
72
61
;25
10
5
37
46
yx
17
311
132
121
;
6311
3132
3121
63
332
32b)
A
zyx
zyx
zyx
;17
45
17
361
132
131
;17
15
17
316
133
123
yx
17
54
17
611
332
321
z
17
54,
17
45,
17
15:es sistema del solución La
zyx
63
42
2b)
53
02
a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
13
Solución:
La solución del sistema es: x 1, y 2
La solución del sistema es: x 1, y 2, z 1
Ejercicio nº 13.- Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:
Solución:
La solución del sistema es: x 2, y 1
5;13
12;
5
0
13
12
53
02a)
AA
yx
yx
25
10
5
53
02
;15
5
5
15
10
yx
12
113
121
111
;
6113
4121
2111
63
42
2b)
A
zyx
zyx
zyx
;212
24
12
163
141
121
;112
12
12
116
124
112
yx
112
12
12
613
421
211
z
12
33
02b)
1
53a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
4;11
31;
111
531
1
53a)
AA
yx
yx
14
4
4
11
51
;24
8
4
11
35
yx
3
112
131
121
;
1112
3131
0121
12
33
02b)
A
zyx
zyx
zyx
14
Ejercicio nº 14.- Resuelve, aplicando la regla de Cramer:
Solución:
La solución del sistema es: x 1, y 3
La solución del sistema es: x 1, y 0, z 2
;33
9
3
112
131
101
;3
4
3
4
3
111
133
120
yx
3
14
3
14
3
112
331
021
z
3
14;3;
3
4:es sistema del solución La xyx
323
12
02b)
12
323a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
1;12
23;
112
323
12
323a)
AA
yx
yx
31
3
1
12
33
;11
1
1
11
23
yx
2
231
121
112
;
3231
1121
0112
323
12
02b)
A
zyx
zyx
zyx
;02
0
2
231
111
102
;12
2
2
233
121
110
yx
22
4
2
331
121
012
z
15
Ejercicio nº 15.- Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:
Solución:
La solución del sistema es: x 1, y 4
La solución del sistema es: x 2, y 0, z 1
Ejercicio nº 16.- Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
53
53
12b)
15
523a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
7;15
23;
115
523
15
523a)
AA
yx
yx
47
28
7
15
53
;17
7
7
11
25
yx
22
311
113
121
;
5311
5113
1121
53
53
12b)
A
zyx
zyx
zyx
022
0
22
351
153
111
;222
44
22
315
115
121
yx
122
22
22
511
513
121
z
222
1
822
tzyx
tzyx
tzyx
21
11
21
11
1122
A
16
Luego, ran (A) 2.
Además:
Por tanto, ran (A) 3.
Con esto, también deducimos que ran (A) 3, siendo A' la matriz ampliada:
Así, como ran (A) ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos la t al 2º miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Las soluciones del sistema son:
x 2+, y 1, z 2+, t , con .
0321
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
09
121
111
122
22121
11111
81122
'A
tzyx
tzyx
tzyx
222
1
822
22121
1111
8122
: Hacemos t
.9
121
111
122
que Sabemos
29
918
9
1222
111
128
x
19
99
9
1221
111
182
y
29
918
9
2221
111
822
z
17
Ejercicio nº 17.- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) 2.
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Sabemos que la 3a columna depende linealmante de las otras dos primeras. Veamos qué ocurre con la 4a columna:
Por tanto, ran (A') 2.
Como ran (A) ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 3a ecuación pues es combinación lineal de las dos primeras. Pasamos la z
al 2o miembro y aplicamos la regla de Cramer:
81157
43
52
zyx
zyx
zyx
1157
1
2
31
11
A
0431
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
.2 ran tanto, Por .0A Además, A
81157
41
52
31
11
'A
0
857
431
511
zyx
zyx
43
25
431
2511: Hacemos z
.431
11 que Sabemos
4
7
4
11
4
711
4
34
125
x
18
Las soluciones del sistema son:
Ejercicio nº 18.- Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:
Solución:
Empezamos estudiando la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
También el rango de la matriz ampliada, A', será 3.
Así, como ran (A) ran (A') no incógnitas, el sistema es compatible determinado. Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:
La solución del sistema es: x 2, y 2, z 1
Ejercicio nº 19.- Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
4
1
4
9
4
9
4
41
251
y
11 7 9 1; ; , con .
4 4 4 4x y z
R
12
53
62
zyx
zyx
zyx
.3 tanto, Por .011
121
113
211
AranAA
111
11
11
121
513
611
;211
22
11
111
153
261
;211
22
11
121
115
216
zyx
63
52
343
zyx
zyx
zyx
3)( 022
311
121
143
AranAA
19
El rango de la matriz ampliada será también 3.
Por tanto, como ran (A) ran (A') no incógnitas, el sistema es compatible determinado.
Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:
La solución al sistema es: x 2, y 1, z 1
Ejercicio nº 20.- Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) 2.
Además:
Por tanto, ran (A) 3.
Con esto, también deducimos que ran (A') 3, siendo A' la matriz ampliada:
Así, como ran (A) ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
122
22
22
361
151
133
;222
44
22
316
125
143
yx
122
22
22
611
521
343
z
5
3222
22
tzyx
tzyx
tzyx
1111
22
11
12
21
A
0312
21 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
02
111
212
121
51111
32212
21121
'A
20
Hacemos t = . Entonces:
Las soluciones del sistema son:
x 16 5, y 13+4, z 82, t , con R
Ejercicio nº 21.- Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del parámetro a:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Cramer. de regla la aplicamos y miembro 2 al la pasamos ,resolverlo Para ot
tzyx
tzyx
tzyx
5
2322
22
5111
23212
2121
.2
111
212
121
que Sabemos
5162
1032
2
115
2123
122
x
4132
826
2
151
2232
121
y
282
416
2
511
2312
221
z
azaayx
azax
azy
21
12
12
. de valor cualquier para0
111
01
102 aA
aa
a
a
A
21
Estudiamos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, ran (A') 2.
Como ran (A) ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a. Podemos prescindir de la 3ª ecuación, pues es combinación lineal de las dos primeras.
Lo resolveremos pasando la z al 2º miembro:
Las soluciones del sistema serían:
Ejercicio nº 22.- Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Si m 0, m 1 y m 1 El sistema es compatible determinado.
Para cada valor de m, distinto de 0, 1 y 1, tenemos un sistema diferente, todos ellos con solución única:
. de valor cualquier para2 entonces ,0101
10 Como aAran
0
211
1201
10
2
12
1
111
01
10
' 2
a
a
a
a
a
aa
a
a
A
z
zaax
azy
azax
azy Hacemos
12
1
12
122
. con,;1;12 2 R zayaax
1
1
2
mzmyx
myx
zymx
1
1
0
01
1
01
1123
m
m
m
mmmmA
mm
m
m
A
1
12
1
12
1
1
01
112
222
m
m
mm
mm
mm
mm
m
x
1
2
1
2
1
11
011
12
222
m
m
mm
mm
mm
m
m
y
22
Si m 0, queda:
Luego, el sistema es compatible indeterminado.
Las soluciones serían:
Si m 1, queda:
Si m 1, queda:
Las ecuaciones 1ª y 3ª son contradictorias. El sistema sería incompatible.
Ejercicio nº 23.-
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro . Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Solución:
Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0). Veamos si tiene, en algún caso, más soluciones. Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
0
1
11
11
21
2
mm
m
m
m
z
0,
1
2,
1
12:
22 m
m
m
mSolución
1
1
2
001
0
1
01
10
.0101
10 y iguales son filas últimas dos Las
R
con,,2,1:decir Es1
2
zyx
z
x
zy
le.incompatib
sería sistema El orias.contradict son 3 y 1 ecuaciones Las
1111
1011
2111aa
1111
1011
2111
1111
1011
2111
a
a
a
3
2
11
FILAS
01
02
02
zyx
zy
z x
23
Para = 1, queda:
El sistema sería compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:
Las soluciones serían: x 2; y ; z , con R
El sistema sería compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:
3
4
10473
111
120
202AA
4
Para 1 y El sistema solo tiene la solución trivial 0, 0, 0 .3
0
0
0
110
1
2
10
01
.2' ,0110
01 Como
AranAran
z
zy
zx
zy
zx Hacemos
2
0
02
4Para , queda:
3
0
0
0
113/1
1
2
3/20
03/4
.2' ,09
8
3
20
03
4
Como
Aran Aran
zzy
zzx
zy
zx
zy
zx
zy
zx
2
3
2
3
2
3
4
6
32
64
032
064
03
2
023
4
3 3Las soluciones serían: ; ; , con
2 2x y z
R
24
Ejercicio nº 24.-
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de y resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Solución:
Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0).Veamos si tiene, en algún caso, más soluciones:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Si 1 el sistema solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).
Si 1, quedaría:
Luego, ran (A) ran (A') 2 < no incógnitas.
El sistema sería compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Las soluciones del sistema son:
x ; y ; z , con R
02
02
02
zyx
zyx
zyx
1013363
12
21
21
22
AA
0
0
0
1
2
12
11
211
.0312
11 además, y,iguales son filas primeras dos Las
z
zyx
zyx
zyx
zyx Hacemos
2
2
02
02
12
211
.312
11 que Sabemos
3
3
3
2
21
;3
3
3
1
12
yx
25
Ejercicio nº 25.- Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Estudiando el rango de la matriz de los coeficientes:
Si a 1 ran (A) ran (A') 3. El sistema es compatible determinado. Para cada valor de a 1, tenemos un sistema con solución única:
Para cada valor de a 1, tenemos un sistema diferente. Cada uno de los sistemas tiene solución única:
x 1, y 0, z 2
Si a 1
Las dos últimas filas son iguales, luego ran (A') 2.
Como ran (A) ran (A') < no incógnitas, en este caso el sistema sería compatible indeterminado. Prescindimos de
la 3a ecuación, pues es idéntica a la 2a, pasamos z al 2o miembro y resolvemos el sistema:
22
321
zy
azyxa
ayax
101122
120
121
01
aaaaaAa
a
A
1
1
1
1
122
123
01
a
a
a
a
a
x
0
1
120
131
0
a
aa
aa
y
21
12
1
220
321
1
a
a
a
aa
aa
z
120
12
01
0
1
A
.2 entonces ,0112
01 Como Aran
2120
21
10
20
11
'A
26
Las soluciones del sistema son:
2
11
2
2 Hacemos
22
1yz
zy
yx
2
121
2
111yx
R con,;2
11;
2
12 zyx