resistenciaesfuerzocortante

N o t a s d e R e s i s t e n c i a a l E s f u e r z o C o r t a n t e

3

suelo del cortante esfuerzo al aresistenci la interviene donde tierra, de masas de destabilida de s Analisi1.1 Figura

RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE

Todo estudio de Mecánica de Suelos consta centralmente de dos aspectos:

1. Cálculo y análisis de asentamientos.

2. Análisis de estabilidad.

Para la discusión de los asentamientos, resulta imprescindible el uso de la teoría de la consolidación de Terzaghi; en lo que se refiere a los “Análisis de Estabilidad” habrá que atender no a las resistencias y en concreto a la resistencia al corte. Usualmente, en Ingeniería estos “Análisis de Estabilidad” se refieren a:

a) Estructuras de contención de

rellenos. b) Taludes en excavaciones o en otros

lugares u obras. c) Cimentaciones, para lo cual se

evalúa la “Capacidad de soporte” o de carga.

Las principales teorías que se evocan al problema, lo hacen suponiendo superficies de falla que acotan “cuñas”, las cuales a su vez se supone que se mueven como cuerpos rígidos, movimientos que se logran solo si se vence la resistencia al corte (S) que el suelo ofrece en la superficie supuesta de falla. (Figura 1.1)

Estos problemas serán atacados ampliamente en el segundo curso de Mecánica de Suelos, para efectos de este primer curso, discutiremos solamente las expresiones que establecen tal resistencia (S) y las pruebas de laboratorio que permiten conocerla. Históricamente, Coulomb, en 1776 ataca el problema bajo la hipótesis inicial que dicha resistencia era debida a las propiedades de fricción existente en las superficies de contacto de las partículas. (Figura 1.2) Donde el peso del cuerpo es “W”, el área decontacto “A”, la carga aplicada “P”, la carga total a la superficie de deslizamiento es ”N”. Resulta obvio, de acuerdo a la física elemental que:

Ν F ≈

N F μ= 1

donde µ es constante de proporcionalidad (Modulo de fricción)

CUÑA = SUPUESTA COMO CUERPO RIGIDO

S = RESISTENCIA AL ESFUERZO COTANTE DEL SUELO

SUPERFICIES SUPUESTAS DE FALLA

S

S

CUÑA

S

CUÑA E

S

CUÑAS


4

R F Superficie de deslizamiento

Para algun cuerpo:

A

P

F W

N=P+W

R N

F N

Para el suelo:

F

suelo. al aplicado fricción de Modelo 1.2 Figura

de 1:

N

F =μ = tan φ

y de la figura 1.2:

F = N tan φ

por lo tanto:

tan θμ = 2

De acuerdo a la expresión 2 es posible representar a la naturaleza friccionante por un ángulo, este ángulo ha sido llamado por ello: ángulo de fricción interna. El ángulo de fricción interna ( θ ), resulta ser el ángulo de inclinación de la fuerza resultante “R” respecto a la normal a la superficie de deslizamiento; esta aseveración es aplicada de manera cotidiana en el próximo curso de Geotecnia II. Sustituyendo:

tan θμ = en la expresión 1:

θ tan N F =

dividiendo entre el área A:

θ tan A

N

A

F=

por lo tanto:

tan S θσ= I Ley de la resistencia para suelos puramente friccionantes. (arenas y gravas limpias) donde"σ” es esfuerzo normal actuante en la superficie de deslizamiento,”S” es el esfuerzo tangencial actuante en la superficie de deslizamiento, “θ” es el ángulo de fricción interna ( constante del material).

La expresión I establece, que a confinamiento nulo (σ = 0) la resistencia al esfuerzo cortante (S) es nula, (S = 0) esto es cierto solo en algunos suelos, los granulares ( arena y gravas limpias), pues en ellos si es posible suponer que la resistencia al corte se debe exclusivamente a la fricción; pero existen otros suelos en los que se supone inicialmente como constante dependiente del nivel de esfuerzos “σ”.Así:

C S= II

donde “C” es la = Cohesión Ley de resistencia para suelos “puramente cohesivos” (arcillas y algunos limos). Los suelos que tengan cohesión y fricción ( suelos – cohesivos – friccionantes ) exhibirán una ley de resistencia combinada, se ha supuesto que tal combinación se presenta como una adicción; por ello:


5

S= tg S=C+ t

g

S

Envolventes de falla

S=C

tes.friccionan-cohesivoy tesfriccionan cohesivos, :suelos para falla de Embolvente 1.3 Figura

tan C S θσ+= III

Ley de resistencia para suelos cohesivos - friccionantes.

Terzaghi, según ya vimos en el tema anterior, demostró que el esfuerzo normal “σ” al que se hace mención, es en realidad el esfuerzo efectivo σ; σ=σ–Un. Así las anteriores ecuaciones quedan:

tan Un)- ( tan S θσθσ == I´

C S= II´

tan Un)- ( C tan C S θσθσ +=+= III¨

La cohesión “C” en realidad no es constante, su valor depende del contenido de agua “w” que el suelo tenga C = F(w) así, la expresión general que rige la resistencia al corte quedaría:

θσ tan (w) F S += Pero como prácticamente es imposible determinar esa función, las expresiones usuales son las I’, II’, III’ según sea el caso. Estas leyes son representadas por líneas rectas en el plano Mohr. (Figura 1.3).

Estas líneas rectas son llamadas envolventes de falla pues son el lugar geométrico de todos los puntos que definen los esfuerzos actuantes en las superficies de falla ( σ y S ); para ilustrarlo, adoptemos una muestra de suelo sujeta a esfuerzos principales hasta la falla. (Figura 1.4).

Donde “θ1” es el esfuerzo principal mayor (axial), y “θ3” es el esfuerzo principal menor (lateral). Estado de esfuerzos “A” muestra confinada lateralmente con el mismo esfuerzo (σ3). Estado de esfuerzos “B” muestra confinada lateralmente con σ3 y axialmente aplicado un esfuerzo: σ1 + σ3 = σ1.

Estado de esfuerzos “C” estado correspondiente a la falla, con:

3σ = Confinamiento Horizontal

ifσ = Esfuerzo principal mayor (axial) correspondiente a la falla:

233 2 σσσθσσ +=+=if (Figura 1.5)


6

2 =Pc

Punto de tangencia

C

3

S-

S

S

S-

1f

Circulo que representa al estado de esfurzos C correspondiente a la falla

C

B

A

=Esfuerzo principal mayor (axial)

=Esfuerzo principal menor (lateral)

= +

= + +

te.friccionan-cohesivo suelo un para Mohr de plano el en dosrepresenta falla, la a esfuerzos de Estado 1.5 Figura

s.desviadore esfuerzos distintosy ntoconfinamie de esfuerzo un a sometida suelo de Muestra 1.4 Figura


7

falla. de estado el eny falla la a previo mohr, de plano el en esfuerzos de estado del ciónRepresenta 1.6 Figura

C

S

Estado de esfuerzos B

Estado de esfuezos C

De la figura se puede ver que:

θθθ +=−−= 90)90(1802

⊄=+°= 245 θθ

Donde “⊄ ” ángulo de inclinación de la superficie de falla respecto al plano donde actúa él 2. Esfuerzo principal mayor. (Figura 1.6).

Pruebas para determinar la resistencia al esfuerzo cortante del

suelo. En la practica “S” se determina ya sea en el laboratorio o en el sitio de interés según sea el equipo disponible, grado de aproximación deseada, presupuesto disponible etc. A continuación discutiremos tales pruebas someramente, una discusión profunda al respecto podrá establecerse en bibliografía especializada o en laboratorios dedicados a la materia.

a) Prueba directa de resistencia al

esfuerzo cortante. b) Prueba “in situ” por medio de la

veleta. c) Pruebas triaxiales de resistencia al

esfuerzo cortante. d) Prueba de compresión simple.


8

Muestra

Bastidor inferior

Plano de corte

Yugo

B

Base

Bastidor superior

Sección crítica

F

Micrómetro

directo. corte de prueba la de aesquemátic ciónRepresenta 1.7 Figura

Prueba directa de resistencia al esfuerzo cortante.

Este ensaye que predomino durante muchos años posteriormente fue desplazado por pruebas de tecnología más avanzadas (pruebas triaxiales). Debido a su simplicidad tiene inconvenientes en lo que respecta a la precisión y a la aplicabilidad, sin embargo, esta simplicidad tiene a su vez ventajas (pequeñas): El interés práctico y didáctico. En la siguiente figura presenta esquemáticamente él aparata necesario para tales ensayes. Las dos piedras porosas proporcionan drenaje libre a muestras saturadas si esto resulta deseable, si no, se sustituyen por placas de confinamiento.(Figura 1.7) .En un ensaye, además de conocer los diagramas de esfuerzos VS deformación normales y tangenciales. También es posible conocer los esfuerzos normales (G) y tangencial (S) actuantes en las superficies de falla.

SII , σII : Esfuerzos tangenciales y normal actuante en la superficie de falla en el instante de falla, correspondientes al ensaye II. Donde “S” es la resistencia al esfuerzo cortante del suelo en cuestión, si l nivel de esfuerzos fuese σ. El conocer la envolvente de falla representa el objetivo del ensaye, pues conocer tal envolvente implica poder determinar la resistencia “S” para cualquier nivel de esfuerzos al que este sujeto él depósito de suelo que representan las muestras ensayadas. Debido a la naturaleza de la prueba, tiene serias desventajas, como ya lo mencionábamos: Ejecutando varias pruebas con diversos valores de la presión normal pueden trazarse puntos en la grafica σ – S con los valores de las presiones normales y los valores máximos de “S” obtenidos en cada una de las pruebas; uniendo los puntos así obtenidos sé tendrá la envolvente de falla del material correspondiente a este procedimiento de prueba. (Figura 1.8)


9

C

IIS

S

II

I

II

S

IIIIV

"Prueba in situ por medio de veleta"

Plano donde actua

Muestra ensayada, en el estado incipiente de falla.

1Plano donde actua

3

Superficie de falla

F

Polo

Representacion del sistema de esfuerzos.

S

C

3

S

1

Paralela a la superficie de falla

normal. esfuerzo el con corte al aresistenci la de Variación 1.8 Figura

mohr. de plano el en ciónrepresentay falla de incipiente estado el en inducidos Esfuerzos 1.9 Figura

Desventajas o inconvenientes de la prueba

1.- Es imposible conocer los esfuerzos que actúan en planos distintos al de falla durante su realización.

2.- La prueba es aplicable a suelos de falla plástica (arena suelta, arcilla y algunos limos blandos), no debiendo ser aplicada a suelos de falla frágil (arcilla compacta, arenas y gravas compactas).

3.- El área de la sección critica, en realidad varia durante la aplicación de la fuerza tangencial lo que conduciría a efectuar correcciones que normalmente no suelen hacerse.

4.- Es imposible impedir el drenaje de las muestras cuando esto sea deseable.

La segunda desventaja se presenta debido a que se generan grandes concentraciones de esfuerzos en el contacto de la muestra con el aparato, de tal forma que si el suelo tuviese frágil el mecanismo de falla seria progresivo (falla progresiva) eso implicaría que no todos los puntos de la superficie de falla están sometidos al esfuerzo “S” hipótesis fundamental del ensaye. (Figura 1.9)


10

Profundidades a las que se desea calcular "S"

Z 2

Z 1

MM

Rosca para acoplar extensiones

Suelo movilizado

32d= =3d

F

D2 D

D

H

Planta

Fachada

veleta. la de prueba la de nrealizació la ilustra que Esquema 1.10 Figura

En lo que respecta al primer inconveniente, si bien es cierto, es imposible conocer esfuerzos en planos distintos al de falla durante su realización, si es posible hacerlo en el estado incipiente de falla. Para ello se hace uso de la “teoría de polo” determinado así los planos donde actúan los esfuerzos principales (θ3 y θ1 ); La magnitud de θ3 Y θ1 son fácilmente obtenibles si consideramos que solo existen un circuito tangente a la envolvente en el punto (θ, S ) que tenga su centro en el eje “θ”, según se muestra en la siguiente figura.

Prueba in situ por medio de veleta

La gran ventaja de esta prueba, es que mediante ella, es posible conocer “S” a distintas profundidades del deposito en estudio (Z1 Z 2 etc.) de una manera sencilla, y en el instante en que se realiza una simple operación aritmética. (Figura 1.10)

Se hacen perforaciones a profundidades ligeramente menores a las que se desean conocer “S”, después se hinca la veleta a la profundidad deseada (quedando sumergida)

posteriormente se le aplica un giro produciendo un momento (Mm) que es posible medir con un aparato colocado en la parte superior. El mencionado momento se va incrementando, hasta lograr movilizar el suelo atrapada en la veleta teniendo para ello que vencer la resistencia al corte que se ofrece en el área perimetral de la veleta; esa resistencia genera a su vez un momento que obviamente se opone al giro inducido por “ Mm”, ese momento resistente MR será:

MR = Momento resistente generado

+ Momento resistente generado por “S”

Por “S” en el lado lateral en las áreas circulares de las bases.

RB2M RLM RM += 1

2

D S H) D (RLM ××= π

donde )H D ( ×π es el área, “S” el esfuerzo

por lo que S H) D ( ×π es la fuerza y 2

D es la

distancia.


11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=+=+=3

D H S

2

2D S

6

3D HS

2

2D S

12

3D 2 HS

2

2D RBM

πππππ

F

S

S

S

S

D/2

MM

H

1.11 Figura

S H2

D RLM

π= 1’

De la figura en pag.

dFRBM ×=

3

D S

4

2D RBM ×=

π

S 12

3D RBM

π= 1’’

Sustituyendo 1’ y 1’’ en 1

En el instante de la falla incipiente o sea en el equilibrio critico, el momento aplicado medible es máximo e igual al “MR.

3D H S

2D M

2

M ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

3D

2D

M S 2

M

Hπ

Como se puede observar el denominador depende exclusivamente de las características geométricas de la veleta en particular ese denominador es constante en todos los ensayes, por ello se calcula de una vez por todas.

“Constante de la veleta”

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3D H

2D C

2

π

CM S M=∴


12

B ase fija

C abezal

M arco de carga

Extensom etro

C abezal

Espécim en

Poleas

C ableM énsula

Tope

Soporte del extensom etro

confinar. sin compresión de prueba la de aesquemátic ciónRepresenta 1.12 Figura

Pruebas de compresión sin confinar

El calificativo de este ensaye especifica claramente la naturaleza de el, pues consiste en cargar axialmente a una muestra inalterada y representativa hasta llevarla a la falla, sin confinamiento alguno. (Figura 1.12)

A partir de un ensaye con el aparato mostrado, se tiene la carga máxima axial

)u

(q que el espécimen puede soportar sin

confinamiento y el ángulo de inclinación de la superficie de falla “°” respecto plano donde actúa )

u(q . Con el valor )

u(q (esfuerzo

principal mayor) y el confinamiento nulo (esfuerzo principal menor) es fácil concluir que él circulo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en el momento de falla incipiente, es el mostrado. (Figura 1.13).

Pruebas triaxiales de resistencia

al esfuerzo cortante

Estos ensayes, aunque resultan más caros, predominan sobre los anteriormente discutidos debido a su refinamiento en la tecnología que proporciona una mayor . aproximación en los resultados buscados, pues simula mas aceptablemente lo que en la naturaleza ocurre con él deposito en estudio. Las siguientes figuras muestran esquemáticamente a la “cámara triaxial” y un somero relato acerca de su realización

(Figura 1.14).


13

Punto de tangencia

3=0 u

C 2

S

Envolvente de falla

=q1 u

S=C+ tg

Cilindro de lucita

Base y tapa metalica

Muestra cilindrica

Detalles principales de una puestra en una camara triaxial

Membrana flexible

Piedra porosa

Valvula

Al compresor

Esquema de la campana de compresion triaxial

Agua

Valvula

Bureta

triaxial. compresión de prueba la de oesquemátic Diagrama 1.14 Figura

confinar. sin compresión de prueba la de esfuerzos de Estado 1.13 PFigura


14

triaxxial ensaye un en muestra de típicas Formas 1.15 Figura

Procedimiento:

1. Se coloca la muestra envuelta en la membrana de látex, sobre el pedestal.

2. La muestra, sellada con la membrana se coloca en la cámara, aplicando lateralmente la presión de confinamiento con aire y por medio de agua que llena la cámara.

3. Se controla el drenaje de la muestra mediante la válvula inferior.

4. Se aplica la carga vertical, mediante el vástago que penetra en la cámara, hasta que se produce la rotura.

Estas pruebas se dividen en dos etapas: 1ra. Etapa: Aplicación del esfuerzo de

confinamiento presionando con aire el agua dentro de la cámara.

2da. Etapa: Aplicación del esfuerzo

desviador por medio del vástago que se ilustra en la figura 1.15.

Las pruebas triaxiales pueden ser de extensión o compresión.

1. De compresión

a) Esfuerzo horizontal constante, incrementando el axial.

b) Esfuerzo vertical constante, disminuyendo el horizontal.

c) Esfuerzo vertical aumentando, con el horizontal disminuyendo.

2. De extensión

a) Esfuerzo horizontal constante, disminuyendo el axial.

b) Esfuerzo vertical constante, aumentando el horizontal.

c) Esfuerzo vertical disminuyendo, con el horizontal aumentando.

El ensaye mas generalizado en los laboratorios de Mecánica de Suelos, debido a su simplicidad práctica, es el de compresión bajo esfuerzo horizontal constante e incrementando el vertical. Además también, las pruebas triaxiales pueden variar, de acuerdo a sí las muestras drenan o no en la 1ra o 2da etapa. Así en la practica cotidiana de los laboratorios se establecen pruebas de compresión triaxial llamadas: Prueba lenta o drenada ( “L”). La muestra ensayada drena en ambas etapas; en todo momento pues, los esfuerzos en la muestra son efectivos debido a que con el drenaje se disipan las presiones en excesos de la hidrostática generada por la carga en cuestión. Prueba rápida consolidada ( “Rc”). Prueba con consolidación al drenar en la 1ra etapa y sin drenaje en la 2da etapa.


15

( )

C

( )3 I

C I

3 II

I

S

C(P ) II

( )3 III

II

III(P )C

III

nto.confinamie de esfuerzos diferentes con ensayadas muestras distintas de Mohr de Circulos 1.16 Figura

Prueba rápida (“R”). “Prueba sin consolidación sin drenaje” pues no drenan en ninguna de las dos etapas. La alternativa de ensaye consistente en impedir el drenaje en la 1ra etapa y dejar que drene en la segunda, no tiene sentido pues en las presiones en exceso de la hidrostática debido al drenaje impedido en la 1ra etapa, se disparan de todas formas al ocurrir el drenaje en la segunda etapa; lo que equivaldrá a la prueba “R”. Para determinar la envolvente de falla (los valores de “C” y “φ ” de un suelo, por medio de estos tipos de pruebas, se ejecutan de 3 a 4 ensayes con distintas muestras del mismo suelo, sometidas a confinamiento distinto. Los Círculos de Mohr teóricamente debieran ser tangentes a la envolvente; en la practica esto no ocurre, por lo que la envolvente sé traza como una línea promedio por encima de unos y por debajo de otros círculos. (Figura 1.16)

Aun que también es posible descartar aquellos círculos que ofrecen valores disparados y en los que no se tiene confianza por la naturaleza de la muestra usada y por las irregularidades de la ejecución del ensaye triaxial.En la figura se ilustran tres círculos de Mohr que representan el estado de esfuerzos correspondientes al instante de la falla de una muestra de suelo sujeta a los confinamientos ( 3σ )I , ( 3σ )II y ( 3σ )III falladas mediante la aplicación axial de los esfuerzos desviadores (Pc)I, (Pc)II y (Pc)III.


16

S

+ P C

2 C

=3 C

2

P = ?C

P C

=V = ?

1

Problema 1.- Una arena limpia fue ensayada en el laboratorio en una cámara triaxial bajo un confinamiento (en una primera etapa)

3σ = cσ ;¿Cuál deberá ser el incremento de esfuerzo axial necesario para someter a la muestra a un equilibrio crítico si la arena tiene un “φ ” conocido?. Solución:

2c

2cP

SencP

+

=

σφ

22cP

SencPc =+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

φσ

φσφ SencSencPcP=−

22

( ) φσφ SencSencP=−1

2

φ

σφ

SencSen

cP−

=1

2

ó bien:

cPcv += σσ

cSencSen

σφ

σφ+

−=

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−=

φ

φ

φ

φσ

Sen

Sen

Sen

Senc 1

1

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=

φ

φφσ

Sen

SenSenc 1

12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

φ

φσσ

Sen

Sencv 1

1

cSen

Senv σ

φ

φσ

−

+=

1

1

Usualmente se denota:

φφφ N

SenSen

=−+

11

De modo que:

cv N σφσ =


17

2(1.5) = 3 t/m

2 m

= 1.5 t/m= 30

2

2

S

= 30

P = ?

3 t/m2

nC

2 P C

Problema 2.- Un deposito de arena limpia tiene las características φ = 30° γ = 1.5 Ton/m3. ¿ Cuánto habrá de disminuir el esfuerzo horizontal en una muestra ubicada a 2m de profundidad para que esta entre en un estado incipiente de falla?. Solución:

2Pc-3

2PC

30Sen =°

2Pc

2Pc-3 30Sen =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛°

2Pc

4Pc - 5.1 =

5.14

3=

Pc

3)5.1( 4 Pc =

2T/m 2 Pc =

o bién: 2-3 =nσ

2m / T 1 =nσ


18

Problema 3.- El estado de esfuerzos plano de un cuerpo esta definido por los siguientes esfuerzos; 1σ = 600 Kg/cm2 de

compresión, 3σ = 150 Kg/cm2 de tensión. Determine, por él circulo de Mohr, los esfuerzos normal y tangencial en un plano inclinado 10° con respecto al plano en que actúa el esfuerzo principal menor. Verifique los resultados analíticamente. Use la convención aceptada en Mecánica de Suelos, según la cual los esfuerzos de comprensión son positivos y los de tensión son negativos. Solución:

Gráficamente, los esfuerzos pedidos son las coordenadas del punto A en la figura

2kg/cm 125−=σ

2kg/cm 125=δ Aritméticamente:

( )θσσσσσ 2-120 Cos22

131 −−

+=

pero:

( ) θθ 2Cos2-120 Cos −=

θσσσσσ 2 Cos

22131 +

++

=

°−°= 1090 Cosθ

°= 80 Cosθ

°+

+−

= 160 Cos2

1506002

150600σ

2kg/cm38.127−=σ

asimismo:

( )θσσδ 2-180Sen 2

31 −=

pero:

( ) θθ 2Sen 2-180Sen =

θσσδ 2Sen 2

31 −=∴

con °= 80θ

°+

= 160Sen 2

150600δ

2kg/cm26.128=δ


19

600400200 800200400

1

232 +

S =

180-

3

10

=80

3

1

2(Kg/cm )2

3

22+1

=160

2S (Kg/cm )


20

2.85

S (Kg/cm )

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0

(2.0,0.8)

2.0

3

2

2

3.0 4.0

1

(3.7,0.8)

5.0

(Kg/cm )2

3.7 kg/cm

2 kg/cm

0.8 kg/cm

0.8 kg/cm

2

2

2

3.7 kg/cm2

2 kg/cm

0.8 kg/cm

2

2

0.8 kg/cm2

2

Problema 4.- Un estado de esfuerzos plano en una masa de arena puramente friccionante y compacta, esta definido por lo siguientes esfuerzos: esfuerzo normal en plano horizontal 3.7 Kg/cm2, esfuerzo normal en plano vertical 2.0 Kg/cm2, esfuerzo cortante en los planos vertical y horizontal = 0.8 Kg/cm2. Determine por medio del Circulo de Mohr la magnitud y dirección de los esfuerzos principales y diga si el estado de esfuerzos mencionado es de falla. Ver figura. El estado de esfuerzos es de falla, puesto que la definición de un estado de esfuerzos plano involucra que el otro esfuerzo principal, en la dirección normal al papel valga O (cero) y se trazan en este caso los Círculos de Mohr del estado general de esfuerzos (tridimensional) se ve que él circulo que define a �3 en este caso a de cortar a cualquier envolvente: recta que pase por el origen.

21 kg/cm 1.4=σ

2

1 kg/cm 7.1=σ

2.85 - 3.70.8Tan2 =θ

°=∴ 2.432θ y

°= 6.21θ De hecho todo estado de esfuerzos plano en arenas será de fallas, pues no pude haber equilibrio en la arena con esfuerzo principal nulo, por falta de confinamiento. Gráficamente del circulo de Mohr


21

1

2

3

4

31 2

=7.353

2+1

3

4 5 6

5

6

S (Kg/cm ) 2

87

2-1 3 = 4.15

9 1110 121

(Kg/cm )13

2

Problema 5.- En Una Prueba Triaxial lenta realizada en una muestra de arena, la presión de cámara es de 3.2 kg/cm2 y el esfuerzo desviador en la falla es de 8.3 kg/cm2.Suponiendo que la envolvente de falla de la arena es una recta que pasa por el origen, determine el ángulo de fricción de la arena. Solución: Con relación a la figura.

31

31Sen σσσσφ

+−

=

7.143.8Sen =φ

°=∴ 4.34 φ


22

1

2

Superficie de falla

3

3

S (Kg/cm )

1

2

3

2

3

Polo

1

1

2 3

(3,2)

2

4 5 6 7(Kg/cm )

982

Problema 6.- En una prueba de corte directo drenada, hecha a una muestra de arena puramente friccionante, el esfuerzo normal sobre la muestra fue de 3 kg/cm2. Suponiendo una distribución uniforme de esfuerzos en la zona de falla y una envolvente de resistencia recta y pasando por el origen. Determine por medio del Circulo de Mohr la magnitud y dirección de los esfuerzos principales en la falla.

32Tan =φ

°=∴ 7.33φ

21 kg/cm 7.6=σ 2

3 kg/cm 9.1=σ

4.2Tan132

31 ==− φσσ

3.4 Cos

132

31 ==+

φσσ

El Angulo se obtiene con la expresión:

245 φθ +°=

27.3345 °

+°=θ

°= 62θ


23

c

40

+1c

1

q = 2 t/m2

S (Kg/cm )2

1 t/m2

2 (Kg/cm )3 2

1

Problema 7.- La resistencia a la compresión simple de un suelo arenoso muy fino, húmedo y compacto es de 2 t/m2 y su ángulo de fricción interna puede estimarse en 40°. ¿Cuál será la presión necesaria para producir sobre la resistencia del suelo seco el mismo efecto que la cohesión aparente por capilaridad, en las mismas condiciones de compacidad?. Solución: En la prueba de compresión simple el circulo de esfuerzos efectivo ha de ser tangente a la envolvente de resistencia a 40° y tener como diámetro qu = 2 ton/m2.

°=+

40Sen11cσ

140Sen

1−

°=cσ

2T/m 56.0=cσ


24

Problema 8..- Se desea hacer una excavación con paredes inclinadas a 120° respecto a la horizontal, en un suelo puramente cohesivo, en el que °= 0φ ,

C=1.0 Ton/mª, 2Ton/m5.1=γ Haga el análisis de estabilidad en la pared calculando para ello el factor de seguridad “FS” suponiendo que en el caso de fallar lo haría por una superficie plana con un

°= 30ρ (superficie potencial de falla). La cuña en cuestión tiene un peso “W”; la componente tangencial “Wt” es la fuerza que tiende a producir el movimiento. Si su magnitud supera la resistencia que se genera en la superficie supuesta de falla, la pared se tendrá que considerar inestable, por el contrario, si la resistencia supera a “Wt” la pared será estable. Donde “W” es el peso de la cuña, “Wn” componente normal del suelo, “Wt” componente tangencial de la superficie de la falla del peso y “F” la fuerza total resistente, como producto de la acción de S = C en la superficie supuesta de falla.

γ l cuña) la de (Area W ××=

donde “l” es la longitud del talud; se supondrá que l =1m, esto es analizaremos un metro de talud, tomando los datos de la figura tenemos que:

( ) 5.112

438 W ××=

Ton/M.L. 324 Talud

°= 30Sen W Wt

21324Wt =

Ton/M.L. 38Wt = Talud

( )1LS F ×=

donde ( )1L × es el area de la superficie potencial de falla.

( )1381.0 F ×= M.L.Ton / 38 F = Talud

por simple inspección:

Wt ⇒ ¡¡Talud inestable!! O calculamos el Factor de Seguridad:

tWF FS=

31238 FS=

67.0 FS=

1 67.0 < Si el suelo además de tener la cohesión C=1Ton/m2 tuviese también propiedades friccionantes definidas por °= 30φ . ¿Qué pasaría con la inestabilidad del talud? En este caso habrá que calcular la “F” correspondiente:

( )1LS F ×= donde:

φσ Tan CS +=

φTan 1L

WCS N

×+=

1)L(Tan 1L

WCF N ×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

+= φ

φTan W1)(LCF N+×=


25

Nivel alcanzado con la excavación

Cuña supuesta comocuerpo rígido

Superficie potencialde falla

Pared de la excavación

120

H = 4 3 m

= 30

Nivel original del suelo

donde C (Lx1) es la “F” debida a la cohesión y WN Tan φ es la “f” debida a la fricción.

φTan 30 CosW 1)3(81F °+×=

31

2332438F +=

31238F +=

M.LTon / 320F = de talud.

Es fácil ver que:

WT < F

O bien que:

TWFFS =

3-1320FS =

67.1FS =

1 67.1 >

El hecho de que °= 30 φ hace que el talud se vuelva estable.


26

H = 4 3 m

H = 8Sen 30 = 4 m

H = 4 3 = 8 3 m

WW

30

WT

F

N

Sen 30


27

CUÑA

H = 4 3 m

= 90

E

Superficie planasupuesta de falla

RELLENO

E

W

R

tgH

R

90-

W

90-

E

discusiónen cuña la de libre cuerpo el atendamosSolución

Problema 9.- Se desea construir un muro de contención, para un relleno, de propiedades establecidas por °= 30 φ , C = 0,

3mTon / 5.1 =γ ; la superficie de contacto entre relleno y muro presenta propiedades de fricción definidas por el ángulo de fricción “δ ”. Para poder proceder a la construcción es necesario previamente hacer un análisis de estabilidad del muro, para ello resulta imprescindible conocer la magnitud del empuje “E” del relleno sobre el respaldo del muro en cuestión. Calcule ese empuje suponiendo que es provocado por una cuña del relleno, la cual tiene que fallar por una superficie plana a “F” como se muestra, tal cuña se comporta como un cuerpo rígido.

a) Haga el calculo suponiendo que 0=δ ; esto es el respaldo del muro es lo suficientemente liso como para que no exista fricción entre él y el relleno.

b) Haga el calculo suponiendo que

°== 152φδ ; esto es el respaldo del muro

presenta rugosidades que le dan propiedades friccionantes con el relleno, iguales a la mitad de las que el relleno tiene internamente.

c) ¿Qué propiedades de fricción deberá de tener el relleno ( ?=φ ), para que el empuje ejercido sea E=12 Ton / ml de muro si el respaldo del muro tiene las propiedades citadas en el inciso (b);

°=15δ .


28

Por geometría elemental se debe cumplir que:

°=+°+ 180 ) - (90)-P( θδφ

P90 −++°=∴ φδθ Aplicando la ley de senos:

) - (PSenE

SenW

φθ=

La expresión 3 )f( E ρ= , se define como el empuje que ejerce alguna cuña con un ángulo “ ρ ”. El valor de “E” es según sea la inclinación de la cuña a la que se refiera. Para efectos del análisis de estabilidad del muro, necesitamos el empuje maximo que es ejercido por alguna cuña con alguna inclinación fρρ = que es el ángulo de inclinación de la superficie potencial de falla. Este empuje maximo (Emax) es posible determinarlo mediante dos procedimientos: a.1) Gráficamente sobre la curva “E” contra

“ ρ ”. Analíticamente usando los principios de máximos y mínimos

a.2) . Obtengámoslo gráficamente; para ello tabulemos la expresión 3.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

°°

×= ρρ

ρ Tan )-(120Sen

)30-(Sen 36 E

Para obtener “Emax” grafiquemos los valores de la tabla totalmente, aparece en la tabla ese valor máximo. Observando la presente curva, es posible ver que la cuña formada por φρ = no genera empuje alguno, esto se debe a que la inclinación de la superficie de falla (supuesta),es igual al ángulo de fricción del material, lo cual implica que la fuerza resultante de fricción contrarresta por si sola el peso de la cuña en cuestión, por lo que no habrá movimiento alguno de la cuña También se observa que cuando °= 90ρ también el empuje es nulo, pues °= 90ρ implica inexistencia del relleno.

)30-(Sen °ρ )-(120Sen ρ° ρTan ρρ)Tan -(120Sen ° “E” Ton / ml de muro

90° 0.866 0.500 00.000 0.0085° 0.819 0.574 11.430 4.4975° 0.707 0.707 3.732 9.6565° 0.574 0.819 2.145 11.7660° 0.500 0.866 1.732 12.0057.5° 0.462 0.887 1.570 11.9450° 0.342 0.940 1.192 10.9945° 0.259 0.966 1.000 9.6540° 0.174 0.985 0.839 7.5835° 0.087 0.996 0.700 4.4930° 0.000 1.000 0.577 0.577 0.00


29

65

E = 12 t/m

35

6

30=30

1

2

3

4

5

12

9

7

8

11

10

E

504540 6055

=60

max

=95958070 75 9085

2

tg


30

[ ]0

Tan)120(Sen

Tan )-(120Sen dd)30-Sen(-)30-Cos(Tan )-(120Sen

ddE

22 =−°

°°°°=

ρρ

ρρρ

ρρρρ

ρ

[ ] [ ] 0)1()-Cos(120Tan Sec)-Sen(120)30-Sen(-)30-Cos(Tan )-Sen(120ddE 2 =−°+°°°°= ρρρρρρρρρ

[ ])120(Sec)30-(Tan Tan 2 ρρρρρ −°−°= CoTanTan

a.2) Anaíticamente usando los conceptos de máximos y mínimos. La expresión 3:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

°°

×= ρρ

ρ Tan )-(120Sen

)30-(Sen 36 E

Habrá que derivar con respecto a “ ρ ” igualando a cero, para despejar el valor de “ ρ ” = fρ que proporciona el empuje máximo (Emax). Operando: Es posible demostrar que tal igualdad se cumple solo si fρρ =°= 60 , valor de “ ρ ” que proporciona el Emax, llevando este valor a la ecuación 3.

maxE E =

°°°°

=60Tan )60-(120Sen

)30-(Sen 36 E ρ

MlTon / 12 E max = de muro

Como se puede ver, esta solución coincide con la anterior; como era de esperarse.


31

b)Particularmente en la ecuación 2 para:

°== 152φδ

°= 30φ 3mTon / 5.1=γ

m34 H = tenemos:

ρρρ

Tan )3015(90Sen )30-(Sen )34()5.1(

21E 2

−°+°+°°

=

ρρρ

Tan )(135Sen )30-(Sen 36E

−°°

= 4

Al igual que en el inciso (a), en este inciso se presentan también dos alternativas, gráfica y analíticamente; expongamos la solución gráfica:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

°°

×= ρρ

ρ Tan )-(135Sen )30-(Sen 36 E

)30-(Sen °ρ )-(135Sen ρ° ρTan ρρ)Tan -(120Sen ° “E” Ton / ml de muro

90° 0.866 0.707 00.000 0.0085° 0.819 0.766 11.430 3.3875° 0.707 0.866 3.732 7.8860° 0.500 0.966 1.732 10.7657.5° 0.462 0.976 1.570 10.8655° 0.423 0.985 1.428 10.8250° 0.342 0.996 1.192 10.3745° 0.259 1.000 1.000 9.3240° 0.174 0.996 0.839 7.4935° 0.087 0.985 0.700 4.5530° 0.000 1.966 0.577 0.577 0.00


32

=60

E = 10.86 t/ml de muro

3530

=30

1

2

3

4

5

11

7

6

8

10

9

E

max

504540 6055 757065 908580

tg

95

=95

Comparando esta curva con la del inciso (a) es posible asegurar que a mayores propiedades de fricción en el respaldo del muro, se tendrá una mejor estabilidad pues el empuje disminuye.

c) Para la solución de este inciso, habrá que particularizar la expresión 2 para:

°=15δ °= 30φ

3mTon / 5.1=γ

m34 H =

57.5 =ρ hipotéticamente igual al correspondiente del inciso (b).

MlTon / 12 E max = de muro Así tenemos:

57.5Tan )57.5-51Sen(90) - (57.5Sen )34()5.1(

21 12 2

°+°+°°

=φ

φ

57.1)Sen(47.5) - (57.5Sen

36 12φφ

+°°

=

) (47.5Sen 0.523 ) - (57.5Sen φφ +°=°

0 ) (47.5Sen 0.523 ) - (57.5Sen =+°−° φφ a


33

Igualando a una cierta cantidad “F”:

F ) (47.5Sen 0.523 * ) - (57.5Sen =+°−° φφ

es posible demostrar que la expresión “a” se cumple para

°≅ 27.3 φ

°<°≅ 30 27.3 φ como era de esperase, pues si con °≅ 30 φ el empuje era de 10.86 Ton., para un empuje mayor (12 Ton.) será necesario que el relleno fuese menos resistente, menor que “ φ ”, como así fue.


34

Ejercicios 1. Una arena limosa fue ensayada en el laboratorio en una cámara triaxial bajo un confinamiento ( en una 1ra etapa),

23 mTon / 1== cσσ . ¿Cuál deberá ser el

incremento de esfuerzo axial (esfuerzo desviador) necesario para someter a la muestra a un equilibrio crítico si la arena en cuestión tiene °≅ 30 φ , C=0.5 Ton/ m2?. 2. Un deposito de arena limosa tiene propiedades de resistencia definidas por

°≅ 30 φ , C=0.5Ton/m2 , 3mTon / 5.1=γ .¿Cuanto habrá que disminuir

el esfuerzo horizontal en una muestra ubicada a 2 m de profundidad para que esta entre en un estado incipiente de falla?. 3. En una prueba directa de resistencia al esfuerzo cortante sobre un suelo con 0 ≅φ , C=0.5 Ton/ m2, se empleó una presión normal de 1 Ton /m2, produciéndose la falla con un esfuerzo cortante de 1 Ton /m2. Determine el valor de “ φ ” y mediante la teoría del circulo de Mohr , los esfuerzos principales máximos y mínimos en el instante de falla, los planos donde actúan y el ángulo de inclinación de la superficie de falla respecto al plano donde actúa el esfuerzo principal mayor. 4. En un suelo fino no saturado se tuvieron los siguientes resultados en un conjunto de tres pruebas triaxiales rápidas:

Kg/cm2 Kg/cm2 0.25 1.05 0.75 2.05 1.50 3.10

Calcule el valor de los parámetros de resistencia “C” y “ φ ” que podrían considerarse para la elaboración de un proyecto en el que el nivel de esfuerzos normales vaya a estar comprendido entre 1.5 y 2.0 kg/cm2. Respuesta C=0.9 kg/cm2 °= 9.5 φ .

5. Se han hecho tres pruebas triaxiales drenadas con un cierto suelo predominante friccionante, obteniéndose los siguientes resultado:

Prueba (Ton/m2) (Ton/m2) 1 2 8.2 2 4 16.0 3 6 24.4

Dibuje el diagrama de Mohr de las tres pruebas y calcule en él el valor del ángulo “ φ ” del suelo. Calcule en cada uno de los tres casos el esfuerzo cortante en el plano de falla, en el instante de la falla. Respuesta:

7237 ′°≅φ T1= 2.4 Ton/m2 T2= 4.8 Ton/m2 T3= 7.2 Ton/m2 6. Se desea hacer una excavación con paredes verticales (90° respecto a la horizontal) en un suelo puramente cohesivo donde , el 0 ≅φ , C=1.0 Ton/m2,

3Ton/m5.1 =γ . ¿Cuál es la profundidad máxima (Hmax) a la que es posible escavar con paredes estables? (FS=1). Haga el analisis de estabilidad de la pared suponiendo que en caso de fallar, lo haría por una superficie plana con °≅ 45 ρ (superficie potencial de falla).Figura 1.1.1. 7. Resuelva el problema 6 para el caso en que la excavación sea sobre un suelo cohesivo-friccionante con °≅ 30 φ , C=1.0 Ton/m2, 3Ton/m5.1 =γ . 8. Si se desea construir un muro de contención, para un relleno con propiedades de resistencia definidas por °≅ 30 φ , C=0,

3Ton/m5.1 =γ . La superficie de contacto entre el muro y el relleno presenta propiedades de fricción, definidas por el ángulo “S” de fricción. Figura 1.1.2. Para poder proceder a la construcción, es necesario, hacer previamente un análisis de


35

Cuña

Superficie supuesta de falla

Cuña

= 10

= 60

120H = 4 3 m

Fondo de laexcavación

maxH = ?

45

Cuña supuesta comocuerpo rígido

Superficie natural

Superficie planasupuesta de falla

estabilidad del muro, para ello resulta imprescindible conocer la magnitud del empuje “E” del relleno sobre el respaldo del muro en cuestión. Calcule ese empuje suponiendo que es provocado por una cuña del relleno, la cual tiende a fallar por una superficie plana como se muestra en la figura; tal como se comporta como cuerpo rígido. Figura 1.1.1 Figura 1.1.2

a) Haga el cálculo suponiendo que 0 =δ , esto es, el respaldo del muro es lo suficientemente liso como para que no existan propiedades friccionantes entre él y el relleno. b) Haga el cálculo suponiendo que

°== 152 φδ ; esto es, el respaldo presenta

rugosidades que le dan propiedades friccionantes con el relleno, iguales a la mitad de los que el relleno tiene internamente.

resistenciaesfuerzocortante

Documents