resistencia de los materiales

Resistencia de los Materiales 2 Pgina 1

INDICE

1. Introduccin...pg. 2

2. Objetivos.pag.3

3. Justificacin...pg. 4

4. Marco terico....pg. 5

5. Ejercicios resueltos...Pg. 21

6. Ejercicios PropuestosPg.27

7. Conclusiones..Pg.28

8. RecomendacionesPg. 29

9. ReferenciasPg.30


INTRODUCCIN

Toda estructura est conformada por un conjunto de elementos que se combinan

de forma ordenada para cumplir una funcin dada, de esta manera la estructura

debe cumplir la funcin a la que est destinada con un grado razonable de

seguridad y de manera que tenga un comportamiento adecuado en las

condiciones normales de servicio, cada uno de los elementos que intervienen en

este comportamiento son muy importantes sin embargo son las columnas las

responsables de dar estabilidad a una estructura.

Las columnas son elementos que sostienen cargas, sometidas principalmente

a compresin, por lo tanto el diseo est basado en la fuerza interna,

conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas. El diseo de

las columnas consiste bsicamente en seleccionar una seccin transversal

adecuada para la misma, con armadura para soportar las combinaciones

requeridas de cargas axiales y momentos incluyendo la consideracin de los

efectos de la esbeltez de la columna. El presente trabajo resume las

caractersticas y mtodos para determinar la carga critica, pandeo, esfuerzo

mximo y esbeltez.


OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

La estabilidad de columnas mediante sus esfuerzos.

OBJETIVOS ESPECFICOS:

Determinar la carga critica, esfuerzo mximo y pandeo de

columnas

Aplicar el teorema de Euler

Aprender a identificar los tipos de esfuerzo al cual est sometido

una columna.

Determinar las consideraciones en el diseo para columnas

esbeltas para llevar a la prctica.


JUSTIFICACIN:

El presente trabajo tiene como nico fin aportar a la formacin del alumno de

ingeniera civil, en temas referentes esfuerzos de columnas las cuales sern de

gran importancia en el campo laboral, siendo uno de los requisitos ms

importantes en el curso de Resistencia de Materiales II, la investigacin.


MARCO TERICO

ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS

Suponga que debe disearse una columna AB longitud L, para soportar una

carga P (figura 1). Imagine que P es una carga axial cntrica y que la columna

tiene sus dos extremos articulados. Si el rea transversal A de la columna es tal

que el valor = / del esfuerzo en la seccin transversal es menor que el valor

permisible para el material utilizado y si la deformacin = / cae

dentro de las especificaciones dadas, podra concluirse que la columna se ha

diseado bien. Sin embargo, puede suceder que al aplicar la carga la columna

se pandee, en lugar de permanecer recta, y se curve repentinamente (figura 2).

La figura 3 muestra una columna, similar a la de la fotografa que da inicio a este

captulo, despus de que se le ha cargado de modo tal que ya no es recta; la

columna se pande. Obviamente, una columna que se panda bajo la carga

especificada est especificada est mal diseada.

Una columna de acero de ala ancha est siendo probada en la mquina

universal de cinco millones de libras de la Lehigh University, en

Bethelehem, Pennsylvania.


Figura 3 Columna pandeanda

Antes de estudiar la estabilidad de la s coumnas elsticas, ser necsario

familiarizarse con el problema considerado un modelo simplificado que consta

de dos barras rgidas AC y BC, conectadas en C por un pasador y un resorte

torsional de constante K (Figura 4)


Si las dos barras y las dos fuerzas P y P estn perfectamente alineadas, el

sistema permanecer en la posicin de equilibrio que muestra la figura 5.a

siempre que no sea perturbado. Pero suponga que C se mueve ligeramente a la

derecha, de modo que cada barra forma ahora un pequeo ngulo con la

vertical (Figura 5.b). Volver el sistema a su posicin de equilibrio original o se

alejar an ms de dicha posicin? En el primer caso se dice que el sistema es

estable en el segundo, que es inestable.

Para determinar si el sistema de dos barras es estable o

inestable, se considera las fuerzas que actan sobre la barra AC

(Figura 6). Estas fuerzas constan de dos pares, el formado por

P y P, de momento (/2), que tiende a alejar

La barra de la vertical y el par M, ejercicio por el resorte, que

trata de regresar la barra a su posicin inicial. Dado que el

ngulo de deflexin del resorte es 2, el momento del par M es

= (2). Si el momento del segundo par es mayor que el

del primero, el sistema tiende a retornar a su posicin original de

equilibrio; el sistema es estable. Si el momento del primer par es mayor que el

momento del segundo, el sistema tiende a alejarse de su posicin original de

equilibrio; el sistema es inestable. El valor de la carga para a cual los dos pares

son iguales es la carga crtica se tiene:

(

2) = (2) (1)

Y como ,

= 4/ (2)

Claramente se ve que el sistema es estable para < . Es decir, para los

valores de la carga menores que el valor crtico, y no estable para > .

Suponga que una carga > . Se ha aplicado a las dos barras de la figura

10.4 y que el sistema ha sido perturbado. Como > . El sistema se alejara

de la vertical y luego de algunas oscilaciones, se establecer en una Nueva

posicin de equilibrio (figura 10.7a). Considerando el equilibrio del cuerpo libre


AC (figura 10.7b). Se obtiene una ecuacin similar a la ecuacin (10.1). Pero que

incluye le ngulo finito .

(

2) sin = (2)

4=

sin (3)

El valor de que corresponde a la posicin de equilibrio de la figura 10.7 se

obtiene resolviendo la ecuacin (3). Por prueba y error. Sin embargo, se observa

que, para cualquier valor positivo de , se tiene que () < . As, la ecuacin

10.3 da u valor de diferente de cero solo cuando el miembro izquierdo de la

ecuacin es mayor que uno. Recordando la ecuacin (10.2). Se observa que

ese es el caso aqu. Ya que se ha supuesto > . Pero si hubiera supuesto

< . La segunda posicin de equilibrio mostrada en la figura 10.7 no existira

y la nica posicin de equilibrio seria la correspondiente a = 0. As se verifica

que, para < . la posicin = 0 debe ser estable.

Esta observacin se aplica a estructuras y sistemas mecnicos en general y se

usara en la prxima seccin. Donde se estudiara la estabilidad de las columnas

elstica.


FRMULA DE EULER PARA COLUMNAS ARTICULADAS

Con base en la columna AB de la seccin anterior (figura 1), se busca hallar el

valor crtico de la carga P, es decir, el valor Pcr de la carga para el cual la posicin

de la figura 1 deja de ser estable. Si P > Pcr la menor falta de alineacin o

perturbacin provocar que la columna se doble, es decir, que adopte una forma

curva como en la figura 2.

El propsito ser determinar las condiciones para que la configuracin de la

figura 2 sea posible. Como una columna puede considerarse como una viga en

posicin vertical y bajo carga axial, y se denotar por x la distancia desde el

extremo A de la columna.

Hasta el punto dado Q de la curva elstica y por y la deflexin de dicho punto. El

eje x ser vertical y dirigido hacia abajo y el eje Y horizontal y dirigido a la

derecha. Considerando el equilibrio del cuerpo libre de AQ, se halla en el

momento en Q es = . Sustituyendo este valor de M en la ecuacin.

2

2

d M Py

dx EI EI (4)

Transponiendo el ltimo termino:

2

20

d Py

dx EI (5)


Esta ecuacin diferencial es lineal, homognea, de segundo orden, con

coeficientes constantes. Haciendo.

2 PPEI

(6)

La ecuacin (5) se escribe

22

20

d yp y

dx (7)

Que es la misma ecuacin diferencial que la del movimiento armnico simple

excepto, por supuesto, que en la variable independiente es x en lugar de t. la

solucin general es:

cosy Asenpx B px

Como puede verificarse con facilidad, calculando 2/2 y sustituyendo (y) y

2/2 en la ecuacin

Recordando las condiciones de frontera que deben satisfacerse en los extremos

A y B de la columna, primero se hace = 0 y = 0 en la ecuacin y se tiene

que B=0. Sustituyendo enseguida = , = 0 se obtiene

0AsenpL

Esta ecuacin se satisface para = 0 o si sen = 0. Si ocurre lo primero la

ecuacin se reduce a = 0 y la columna es recta si se satisface la segunda

= o sustituyendo p en y despejando P.

2 2

2

n EIP

L

(10)

El menor de los valores de P definido por la ecuacin (10) es el que corresponde

a n=1. Entonces

2

2cr

EIP

L

(11)


Esta es la frmula de Euler, llamada as en honor del matemtico suizo Leonhard

Euler (1707-1783) sustituyendo esta expresin par P en la

Ecuacin (6) y el valor obtenido para p en la ecuacin (8) y recordando que B=0,

se tiene

xy Asen

L

(12)

Que es la ecuacin de la curva elstica despus de haberse doblado la columna

(fig2) note que el valor de la deflexin mxima = , es indeterminado. Esto

se debe a que la ecuacin diferencial (5) es una aproximacin lnea lisada de la

ecuacin diferencial real para la curva elstica.

Si < la condicin = 0 no puede satisfacerse, por lo que la

solucin dada por la ecuacin (12) no existe. Debe tenerse entonces = 0 y la

nica configuracin posible para la columna es una lnea recta. As para <

la forma recta de la figura 1 es estable.

En el caso de una columna con seccin circular o cuadrada, el momento de

inercia I de la seccin transversal es el mismo con respecto a cualquier eje

centroidal y la columna se curvara en un plano u otro, excepto bajo las

condiciones que se impongan a los extremos. Para otras seccin la carga critica

debe calcularse haciendo I=Imin en la ecuacin (11) si ocurre la curvatura tendr

lugar en un plano perpendicular al correspondiente eje de inercia principal.

El valor del esfuerzo correspondiente a la carga critica es el esfuerzo crtico y

se lo designa por cr . Retomando la ecuacin (11) y haciendo I=Ar2, donde A es

el rea de la seccin transversal y r el radio de giro se tiene

2 2

2

crcr

P EAr

A AL

2

2( / )cr

E

L r

(13)


La cantidad L/r es la relacin de esbeltez de la columna. Es claro, dado la

anotacin del prrafo precedente, que el mnimo valor del radio de giro r debe

usarse al calcular la relacin de esfuerzo crtico de la columna.

La ecuacin (13) muestra que el esfuerzo critico es proporcional al mdulo de

elasticidad del material e inversamente proporcional al cuadrado de la relacin

de esbeltez de la columna la grfica de cr contra L/r se muestra en la figura (9)

para el acero estructural suponiendo E=200 GPa y cr =250 MPa debe

recordarse que al elaborar la grfica cr no se ha usado el factor de seguridad.

Tambin se observa que, si el valor obtenido para cr de la ecuacin (13) o de

la curva de la fig (9) es mayor que el lmite de fluencia y este valor no es de

inters pues la columna fluir a compresin y dejara de ser clsica antes de

curvarse.

El anlisis del comportamiento de una columna se ha basado hasta aqu en la

hiptesis de una carga cntrica perfectamente alineada. En la prctica este caso

es raro por lo que en la seccin (5) se tendr en cuenta el efecto de excentricidad

de la carga. Este mtodo no conducir a una transicin ms suave de la falla por


curvatura de columnas largas y delgadas a la falla por compresin de columnas

cortas. Tambin dar una visin ms realista entre la relacin de esbeltez de una

columna y la carga que la hace fallar.

EXTENCION DE LA FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS CON OTRAS

CONDICIONES DE EXTREMO

La frmula de Euler (11) se dedujo en la seccin precedente para una columna

con extremos articulados y ahora se estudiara como obtener Pcr para columnas

con diferentes condiciones de extremo.

En el caso de una columna con un extremo libre en A y empotrada en B con la

carga P figura (10a) se observa que la columna se comportara como la mitad

superior de una columna articulada figura (10b) la carga critica para la columna

de la figura (10 a) es la misma que para la columna articulada de la figura (10b)

y puede obtenerse mediante la frmula de Euler.


Usando una longitud igual al doble de la longitud real L de la columna dada. Se

dice que la longitud efectiva Le d la columna de la figura 9 es igual a 2L en la

frmula de Euler:

=2

()2 (11)

En forma similar se encuentra el esfuerzo crtico mediante la ecuacin

=2

(

)2 (13)

La cantidad

es la relacin efectiva de esbeltez de la columna y en el caso

considerado aqu, es igual a 2

.

Sea una columna con dos extremos empotrados A y B que

soporta una carga P (figura 11). La simetra de los apoyos

y de la carga con respecto a un eje horizontal a travs del

punto medio C requiere que la fuerza cortante en C y los

componentes horizontales de las reacciones en A y B sean

cero (figura 12.) se sigue que las restricciones impuestas

sobre la mitad superior AC de la columna por el soporte en

A y por la mitad inferior CB son idnticos (figura 13). La

porcin AC debe ser simtrica con respecto a su punto

medio D y ste debe ser un punto de inflexin, con

momento flector cero. Un rozamiento similar muestra que

el momento flector en el punto medio E de la mitad inferior de la columna tambin

debe ser cero (Figura 14a). Puesto que el momento en los extremos de una

columna articulada es cero, se tiene que la porcin DE de la columna de la figura

14 debe conducirse como una columna articulada (Figura 14b). As se concluye

que la longitud efectiva de una columna con dos extremos fijos es =

2.


En el caso de una columna con un extremo fijo B y un extremo articulado A que

sostiene una carga P (figura 10.15), deber escribirse y resolverse la ecuacin

diferencial de la curva elstica para determina la longitud efectiva de la columna.

En el diagrama de cuerpo libre de la columna entera (fig. 10.16), se observa

primero que se ejerce una fuerza transversal V en el extremo A, adems de la

fuerza axial P, y que V es estticamente indeterminada. Considerando ahora el

diagrama de cuerpo libre de una porcin AQ de la columna (fig. 10.17), se halla

el momento flector en Q es:


M Py Vx

Sustituyendo este valor en la ecuacin

2

2

d y M P Vy x

dx EI EI EI

Transponiendo el trmino que contiene a Y y haciendo

2 PPEI

(6)

Como se hizo en la seccin 3, se escribe

2

2

2

d y VP y x

dx EI (14)

Esta ecuacin diferencia es lineal, no homognea y se segundo orden con

coeficientes constantes. Al observar que los miembros izquierdos de las

ecuaciones (7) y (14) son idnticos, se concluye que es posible obtener la

solucin general de la ecuacin (10.14) aadiendo una solucin particular de la

ecuacin (14) a la solucin (8) obtenida para la ecuacin (7). Es fcil ver que la

solucin es

2

Vy x

P EI


O recordando (6)

V

y xP

(15)

Aadiendo las soluciones, (8) y (15) la solucin general de la ecuacin (14) se

expresa como:

cosV

y AsenPx B Px xP

(16)

Las condiciones A y B y la magnitud V de la fuerza

transversal V no conocida se obtienen de las

condiciones de frontera indicada en la figura.

Haciendo primero x=0, y=0 en la ecuacin (16), se

halla que B = 0. Haciendo x = L, y = 0, se obtiene:

VAsenPL L

P (17)

Finalmente, calculando

cosdy V

AP Pxdx P

Y haciendo, x = L, 0dy

dx resulta.(18)

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores, la

ecuacin solo puede existir slo si

tanPL PL (19)

Resolviendo esta ecuacin por prueba y error, se encuentra

que el menor valor de PL que satisface a la ecuacin de la

anterior

(20)

cosV

AP PLP

4.4934PL


Llevando el valor de P definido por PL, despejamos P, se obtiene la carga crtica

de la columna de la figura.

(21)

La longitud efectiva de la columna se encuentra igualando los miembros de la

derecha de las ecuaciones anteriores.

2

2 2

20.19

c

EI EI

L L

Despejando 2cL se obtiene que la longitud efectiva de una columna con un

extremo fijo y el otro articulado es 0.699 0.7cL L L

En las figuras siguientes se muestran las efectivas correspondientes a las

diferentes condiciones de extremo considerada para cada seccin.

2

20.19cr

EIP

L


COLUMNAS ESBELTAS:

Una columna es esbelta si sus dimensiones transversales son pequeas

respecto a su longitud o tambin si su relacin de esbeltez definida como la

longitud sobre el radio de giro l / r supera ciertos lmites especificados.

El primero que intento resolver el problema fue el matemtico Suizo Leonhard

Euler y sus resultados no fueron aceptados a pesar de que treinta aos ms

tarde P. Van Musschenbroek logro demostrar mediante anlisis matemtico la

confiabilidad de los resultados de Euler. Por ejemplo Coulomb ( 1776 ) sostena

que La resistencia de una columna era nicamente funcin de su seccin

transversal y no dependa de su longitud tesis apoyada por numerosos ensayos

en columnas de madera y hierro de longitud relativamente corta.

Hasta ahora se ha estudiado que cuando un elemento de hormign armado se

somete a compresin simple, la falla se presentara ya sea por agotamiento del

hormign a compresin o por fluencia del acero a traccin. En estos casos no se

ha considerado el efecto de la esbeltez porque se ha asumido por hiptesis que

se trata de una columna corta es decir de baja esbeltez.

EFECTOS DE LA ESBELTEZ:

La esbeltez de una columna se expresa en trminos de su relacin de esbeltez

ku/r, donde k es un factor de longitud efectiva (que depende de las condiciones

de vnculo de los extremos de la columna), u es la longitud de la columna entre

apoyos y r es el radio de giro de la seccin transversal de la columna. En general,

una columna es esbelta si las dimensiones de su seccin transversal son

pequeas en relacin con su longitud.

Una "columna esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce

debido a las deformaciones de segundo orden (momentos de segundo orden).

Segn estas definiciones, una columna con una determinada relacin de

esbeltez se puede considerar como columna corta bajo un determinado conjunto

de restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto de restricciones.


Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con mtodos

de anlisis y diseo ms precisos, es posible disear secciones de menores

dimensiones, lo cual da origen a elementos ms esbeltos. En consecuencia, la

necesidad de contar con procedimientos de diseo confiable y racional para las

columnas esbeltas se convierte as en una consideracin importante en el diseo

de columnas.


EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

Una columna articulada de 2m de longitud y seccin cuadrada debe hacerse de

madera. Suponiendo = 13 y = 12 y usando un factor de

seguridad de 2.5. Para calcular la carga crtica de pandeo de Euler, determine el

tamao de la seccin transversal si la columna debe soportar.

a) Una carga de 100 KN.

b) Una carga de 200 KN.

SOLUCION

a) Para una carga de 100 KN. (usando el factor de seguridad especificado)

= 2.5(100) = 250 = 2 = 13

Segn la frmula de Euler (10.11) y resolviendo para I

=

2

2=

(250 103) (22)

2 (13 109)= 7.794 1064

Pero =4

12 , por tratarse de un cuadrado de lado a, entonces

4

12= 7.794 1062 = 98.3 100

Se verifica el valor del esfuerzo normal de la columna

=

=

100

(0.100)2= 10

A qu es menor que el esfuerzo permisible, una seccin transversal de

100x100mm es aceptable.

b) Para una carga de 200 KN.

Resolviendo la ecuacin de Euler (10.11) Para un

= 2.5(100) = 500 = 2 = 13

Se tiene que:

= 15.588 1064

4

12= 15.588 1064 = 116.95


El valor del esfuerzo normal es:

=

=

200

(0.11695)2= 14.62

Dado que este valor es mayor que el esfuerzo permisible, las dimensiones

obtenidas no son aceptables y debe elegirse una seccin con base en su

resistencia a compresin. Se escribe.

=

=

200

12= 16.67 1032

2 = 16.67 1032 = 129.1

Una seccin trasversal de 130x130mm. Es aceptable.


EJERCICIO 2

Una columna de aluminio, de longitud L y seccin transversal rectangular, tiene

un extremo fijo B y soporta una carga cntrica en A. Dos placas lisas y

redondeadas restringen el movimiento del extremo A en uno de los planos

verticales de simetra de la columna, pero le permiten moverse en el otro plano.

a) Determine la relacin / de los lados de la seccin correspondiente al diseo

ms eficiente contra pandeo.

b) Disee la seccin transversal ms eficiente para la columna, si = 20 ., =

10.1 106, = 5 , y el factor de seguridad es 2.5.

SOLUCIN

. En la figura 18 se observa que la longitud efectiva de la

columna con respecto al pandeo en este plano es = 0.7. El radio de giro

de la seccin transversal se obtiene escribiendo:

=1

123 =

y, como = 2,

2 =

=

1

123

=

2

12 =

12

La relacin efectiva de esbetez de la columna con respecto al pandeo en el plano

xy es

=0.7

12

(1)


. La longitud efectiva de la columna con respecto al

pandeo en este plano es = 2, y el correspondiente radio de giro es =

12.

As

=2

12

(2)

a. . El diseo ms eficiente es aquel para el cual los esfuerzos crticos

correspondiente a los dos posibles modos de

pandeo son iguales. Refiriendose a la ecuacin (a),

se tiene que ste ser el caso si los dos valores

obtenidos arriba para la relacin efectiva de la

esbeltez son iguales. Se escribe

0.7

12

=2

12

y, dspejando

,

=

0.7

2

= 0.35

b. Diseo para datos dados. (Como = 2.5 )

= (. . ) = 2.5(5) = 12.5

Usando = 0.35, se tiene = = 0.352 y

=

=1500

0.352

Haciendo = 20. En la ecuacin (2), se tiene

=

138.6

, sustituyendo

E,

y en la ecuacin (10.13), se tiene:

=2

(

)2

1500

0.352=

2(10.1106)

(138.6

)

2

= 1.620 = 0.35 = 0.567.


EJERCICIO 3

La columna uniforme AB consta de una

seccin de 8 pies de tubo estructural cuya

seccin se muestra. a) Usando la frmula de

Euler con un factor de seguridad de 2, halle la

carga cntrica admisible para la columna y el

correspondiente esfuerzo normal. b) si la

carga permisible, hallada en la parte a, se

aplica como se muestra en un punto a 0.75

pulgadas del eje geomtrico de la columna,

determine la deflexin horizontal del tope de

la columna y el esfuerzo normal mximo en la

columna. Considere E=29x106 psi.

SOLUCION

Longitud efectiva: Como la columna tiene un extremo fijo y uno libre, su

longitud efectiva es:

Le=2(8 pies) =16 pies = 192 pulgadas.

Carga crtica: usando la frmula de Euler se escribe

2 2 6 4

2 2

(29*10 )(8 lg )

(192 lg)cr

c

EI psi puP

L pu

62.1crP kips


a) Carga admisible y esfuerzo. Para un factor de seguridad de 2, se tiene

62.1

. . 2

crperm

P kipsP

F S

31.05permP kips

2

31.1

3.54 lg

permP kips

A pu

8.79ksi

b) Carga excntrica. Obsrvese q la columna AB y su carga son idnticas

a la mitad superior de la columna que se utiliz en la deduccin de las

frmulas de la secante; se concluye que la frmula de la seccin 10.5 se

aplican directamente al presente caso. Recordando 1

2

perm

cr

P

P y usando

la ecuacin max sec 12 cr

Py e

P

, se calcula la deflexin horizontal de

punto A:

max sec 12 cr

Py e

P

= 0.75 lg sec 1

2 2pu

(0.75 lg)(2.252 1)pu

Ym= 0.939 pulg

El mximo esfuerzo normal se obtiene de la ecuacin

max 21 sec

2 cr

P ec P

A r P

2 2

31.1 0.75*21 sec

3.54 lg 1.50 2 2

kips

pu

8.79 1 0.667(2.252)ksi

max 22.0ksi


EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3


CONCLUSIONES

Se pudo aplicar en los ejercicios la ecuacin de Euler para hallar la carga

crtica.

El pandeo se producir de acuerdo a la longitud y a los apoyos al cual

est la columna.

Se pudo obtener la excentricidad (e) de la carga aplicada a la columna.

Se obtuvo el esfuerzo mximo a travs de una carga puntual.


RECOMENDACIONES

A dems de los procedimientos tericos se bebe realizar ensayos de

laboratorio para poder aplicar de manera ms dinmica lo aprendido en

clase.


REFERENCIAS

MORALES MORALES, ROBERTO, Diseo en Concreto Armado, Fondo

Editorial I.C.G, Lima 2006.

BEER, RUSELL JOHNSTON y DEWOLF (2001).Columnas. Mecnica de

Materiales (pp.606-668).Mxico. Tercera Edicin.

resistencia de los materiales

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