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Edgar Javier Morales Velasco, Hipólito Hernández Pérez
[email protected], [email protected]
Cimate de la Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Chiapas, México.
Resumen
En la presente inves4gación par4mos con la revisión de textos y programas de estudio de ecuaciones diferenciales
usados en los cursos de ingeniería electrónica donde se privilegia resolver las ecuaciones diferenciales de un
circuito eléctrico por medio de métodos cuan4ta4vos y la gráfica de la solución analí4ca, dejando a un lado el uso
de los campos de pendientes que permita al alumno iden4ficar el comportamiento gráfico de dichas ecuaciones
diferenciales. En este trabajo se exploró los campos de pendientes mediante el uso de la tecnología de papel y
lápiz así como del so]ware Cabri Geometry II como herramienta de geometría dinámica. En la inves4gación se
diseñaron dos situaciones didác4cas para generar por medio de los estudiantes argumentos sobre los campos de
pendientes de una ecuación diferencial, con la finalidad de reconstruir los significados de los campos de pendientes
de una ecuación diferencial en un marco de prác4cas sociales de la graficación y modelación basados en la
aproximación socioepistemologíca.
Palabras Clave
Situación didác>ca, Prác>cas sociales, Socioepistemología.
ProblemáCca
En revisiones realizadas a los textos y programas de estudio de ecuaciones diferenciales usados
en los cursos de ingeniería electrónica se encontró que se privilegia resolver las ecuaciones
diferenciales de un circuito eléctrico por medio de métodos cuan>ta>vos, es decir, por métodos
algebraicos, dejando a un lado el uso de los campos de pendientes que le permita al alumno
iden>ficar el comportamiento gráfico de dichas ecuaciones diferenciales. En los cursos y textos
de ecuaciones diferenciales ha predominado el enfoque de la solución analí>ca, pero también
existen textos que le dan un enfoque gráfico y visual como los textos de (Lomen y Lovelock,
RESIGNIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE UN CIRCUITO ELECTRICO POR SU CAMPO DE PENDIENTES
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2000; Stewart, 2002). En el caso de la ingeniería electrónica se ha privilegiado el método
cuan>ta>vo, es decir, el método algebraico y la gráfica de la solución analí>ca, pero carecen de
los aspectos gráfico y visual de los campo de pendientes. Respecto a este contexto que se da en
la ingeniería electrónica, Cordero (2000) menciona que en las soluciones de las ecuaciones
diferenciales se ha privilegiado el contexto algebraico, donde las soluciones de las dis>ntas
clases de ecuaciones diferenciales son expresadas por medio de fórmulas algebraicas exactas,
explícitas o implícitas, expansiones en series, expresiones integrales entre otras. El privilegio del
contexto algebraico deja en la mente del estudiante una restringida e insa>sfecha imagen de las
ecuaciones diferenciales. Además Cordero dice que los estudiantes están convencidos de que
existe una receta que permite la integración algebraica exacta de cada clase de ecuaciones
diferenciales. También, él indica que desde un punto de vista epistemológico se encuentra el
desarrollo de la teoría cualita>va de los sistemas dinámicos y por otro se encuentra el desarrollo
de la tecnología; en cuanto a este úl>mo se refiere a las calculadoras, computadoras y souware
para la graficación.
Por tal mo>vo en este trabajo nos dimos a la tarea de explorar el aspecto gráfico y visual de los
campos de pendientes de las ecuaciones diferenciales en un contexto que permita la
resignificación de las ecuaciones diferenciales en el área de la ingeniería en electrónica. El
obje>vo del trabajo, es diseñar situaciones didác>cas en el contexto de los circuitos
electrónicos, para generar a través de los estudiantes argumentos sobre los campos de
pendientes de una ecuación diferencial, con la finalidad de reconstruir los significados de los
campos de pendientes de una ecuación diferencial en un marco de prác>cas sociales de la
graficación y modelación.
En las revisiones realizadas a los libros de texto de análisis de circuitos eléctricos usados en
electrónica, por ejemplo, tenemos a (Bobrow, 1993; Conejo, 2004; Hayt y Kemmerly, 1990) estos
presentan el análisis de circuitos eléctricos con ecuaciones diferenciales de primer orden y de
segundo orden con constantes agrupadas. Los autores mencionan que los resultados de estas
ecuaciones diferenciales también pueden ser u>lizados por otros contextos, por ejemplo el
ingeniero mecánico interesado en el desplazamiento de una masa soportada por un resorte y
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some>da a un amor>guamiento viscoso, también por el interesado en el comportamiento de
un péndulo simple. Los autores muestran el siguiente ejercicio:
Suponga que tenemos el circuito resistor-‐inductor (RL) en serie que se muestra en la figura1. La
red se excita por una tensión escalón unidad, donde R = 4 Ω, L = 2 H, V(s) = 3U(t) y suponemos un
valor inicial de la corriente (en t = 0) de 5 amperios.
Figura 1. Circuito resistor-‐inductor (RL).
La solución que proponen es, que por la segunda ley de Kirchhoff se escribe la ecuación de
malla en el dominio del >empo, se convierte al dominio de la frecuencia
tomando la transformada de Laplace de cada término, y luego de
una serie de procedimientos algebraicos presentan la respuesta de la ecuación diferencial.
. Con este resultado se procede a graficar para ver el
comportamiento del circuito eléctrico.
Como puede observarse en la mayoría de los textos de circuitos eléctricos se privilegia la
solución analí>ca de las ecuaciones diferenciales. El uso de los campos de pendientes en el
análisis de las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos podría permi>r al alumno un
mejor entendimiento respecto a la solución de las ecuaciones diferenciales.
Los conocimientos que se aprenden están influenciados por los medios y las herramientas
u>lizadas para el aprendizaje y la enseñanza. En el caso par>cular de la Matemá>ca esto no deja
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de ser cierto y la incorporación de herramientas computacionales a los procesos educa>vos
influye indiscu>blemente en los significados que se le otorgan a los objetos matemá>cos,
fenómeno que siempre ha sucedido con otros >pos de tecnologías u>lizadas. En este trabajo
par>cular los souware que podrían ser considerados son los que se inscriben dentro de la
categoría de soZware para Geometría Dinámica (Larios, 2006). Las caracterís>cas principales
que diferencian una aproximación u>lizando este souware con respecto a una que considera la
tecnología papel-‐y-‐lápiz, además del hecho evidente y simplista de estar u>lizando
computadoras son:
* Los macros que posibilitan definir ru>nas o cadenas.
* La de construir lugares geométricos.
* La transformación con>nua en >empo real llamada comúnmente “arrastre”.
El arrastre permite la modificación directa de la forma o posición de los objetos geométricos
construidos por el usuario mediante el uso del ratón sin que se dejen de preservar las relaciones
geométricas con las que fueron construidos. Este >po de souware ofrece oportunidades para
explorar situaciones geométricas bajo un ambiente que permite llevar a cabo indagaciones que
de otra manera podrían ser muy restric>vas y que sólo están al alcance de aquellos que ya
>enen un entrenamiento especial (los matemá>cos, por ejemplo) o bien que >enen una mayor
capacidad de imaginación espacial que los demás. El souware permite de manera controlada y
Xsica, por medio del ratón, la transformación de construcciones respetando las relaciones
geométricas y proporcionando una respuesta visual por medio de la pantalla de la computadora
(Larios, 2006). En este trabajo, exploramos los campos de pendientes mediante el uso del
souware Cabri Geometry II como herramienta de geometría interac>va que debido a la sencillez
de su manejo, brinda la oportunidad de que la adaptemos al tema de campos de pendientes de
las ecuaciones diferenciales. Si bien es cierto existen otros programas o las mismas calculadoras
con capacidades para la graficación de los campos de pendientes que hacen lo mismo con el
sólo hecho de introducir la ecuación, la ventaja de Cabri es que existe un procedimiento de
construcción que ayuda a la comprensión del tema y a recordar algunos conceptos de cálculo
(Buendía, Cruz, Poirier, Hernández, Velasco y Megchún, 2006).
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Marco Teórico
Nuestro marco teórico se basa en inves>gaciones como el de Cantoral (1996) que menciona
que la matemá>ca educa>va no es la enseñanza de las matemá>cas ni la matemá>ca escolar
una simplificación de la matemá>ca, pero sí existen fuertes vínculos entre sí. No cons>tuyen los
mismos cuerpos de conocimiento, puesto que la matemá>ca educa>va es una disciplina con
ubicación en las prác>cas sociales y conceptuales de enseñar y aprender matemá>ca y de la
matemá>ca escolar. La vieja visión de que la didác>ca de la matemá>ca era sólo una colección
de trucos para el “bien enseñar”, se ha visto modificada por aquel espacio en el cual los
estudios de inves>gación en el campo están siendo usados para construir unidades de
conocimiento organizado que puede ayudar las prác>cas sociales de referencia. En Cordero y
Flores (2007) mencionan que la aproximación socioepistemologíca nos ha señalado que las
prác>cas sociales con referencia al conocimiento matemá>co son un elemento insoslayable en
las explicaciones de los fenómenos didác>cos. Es decir, que para entender la construcción del
conocimiento escolar es necesario formular epistemologías de prác>cas sociales. Éstas
brindarán indicadores para desarrollar tales prác>cas en el sistema didác>co. El planteamiento
anterior integra componentes para tratar a las gráficas de los campos de pendientes de las
ecuaciones diferenciales como prác>cas en lugar de representaciones. El conocimiento
matemá>co escolar en la aproximación socioepistemologíca se concibe como un conocimiento
que se resignifica al paso de la vivencia ins>tucional, lo que hace que la ac>vidad humana o las
prác>cas sociales sean las generadoras de tal conocimiento, ya que éstas son propias de las
formas de organización de los grupos humanos, donde se manifiestan sus pensamientos,
significados y argumentaciones, todos ellos orientados por las intenciones para alcanzar los
consensos requeridos. Al igual que Buendía (2004) señala que la socioepistemología se refiere
al análisis de las relaciones epistemológicas entre prác>cas sociales y el conocimiento
matemá>co. Es necesario estudiar cómo se cons>tuye el conocimiento desde una perspec>va
de la ac>vidad en la que se involucra un individuo como parte de la comunidad y tomar en
cuenta no sólo la producción matemá>ca final, sino las herramientas y los argumentos que el
estudiante pone en juego. La socioepistemología debe significar el reflejo de cualquier
individuo al hacer matemá>cas y en segundo lugar, considerar que el funcionamiento mental
debe estar en correspondencia con el lenguaje de herramientas que resulta de esta ac>vidad.
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Es por eso que creemos que la socioepistemología nos ayude en el trabajo, ya que pretendemos
mostrar la resignificación de los campos de pendientes de las ecuaciones diferenciales en los
circuitos eléctricos como una prác>ca social. Para ello, se diseñarán secuencias didác>cas que
>ene como propósito que el alumno construya un significado de las ecuaciones diferenciales en
los circuitos eléctricos a través de la graficación de los campos de pendientes usando
tecnologías de papel y lápiz y de Geometría Dinámica. Con el marco anterior tratamos de hacer
epistemología de prác>cas sociales de los campos de pendientes que cumpla con la
intencionalidad que demanda el ingreso de un saber al sistema didác>co y porque debe ser
consistente con las formas de organización de los grupos humanos. Además vemos que su
función consiste en buscar las bases para que la reorganización matemá>ca (responsabilidad de
la matemá>ca educa>va) sea coherente y per>nente con los fenómenos didác>cos en cues>ón.
Y para ello, su forma de operar consiste en interpretar el fenómeno didác>co a través de
relaciones complejas que abarcan, a parte de la epistemológica, dimensiones cogni>vas,
didác>cas y sociales.
Diseño de la situación didácCca
La metodología a seguir en esta inves>gación será una que proporcione un mecanismo de
validación interna, como la ingeniería didác>ca. Donde su esquema experimental está basado
en las realizaciones didác>cas en clase, la concepción, observación y análisis de secuencias de
enseñanza, como la inves>gación de Lezama y Farfán (2001) que proponen las siguientes fases
para la construcción de productos de la enseñanza: como primera fase se realiza una
planeación. En una segunda fase consiste en el diseño de la situación didác>ca. Después de
haber diseñado nuestra situación didác>ca se procede a la experimentación donde se elige a un
grupo de estudiantes para llevar a cabo el proceso tanto de observación como recolección de
datos y de información. Por úl>mo se hace una validación interna, en donde se basa en la
confrontación entre el análisis a priori y a posteriori (Ar>gue, 1995).
Se u>lizara lo expuesto anteriormente con el fin de que podamos diseñar situaciones didác>cas
en el área de ingeniería en electrónica que nos permita resignificar las ecuaciones diferenciales,
es decir, que los alumnos aprendan el comportamiento de las ecuaciones diferenciales por
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medio de sus campos de pendientes de forma cualita>va, aspecto explorado escasamente en la
enseñanza-‐aprendizaje de las ecuaciones diferenciales, ya que en la ingeniería en electrónica, la
forma de resolver una ecuación diferencial de un circuito eléctrico es en el marco algebraico
como menciona (Ar>gue, 1995). Resuelta la ecuación diferencial, con la solución se procede a
graficarla y posteriormente realizar el análisis del comportamiento del circuito eléctrico, es aquí
donde vemos una de las u>lidades de los campos dependientes, porque sin necesidad de
resolver a la ecuación diferencial de forma algebraica, sólo con el trazo de dichos campos de
pendientes de la ecuación diferencial se puede conocer el comportamiento del circuito
eléctrico, además de que se aprenden otros conceptos acerca de las ecuaciones diferenciales y a
la vez estas ecuaciones diferenciales se vuelven más significantes para el estudiante.
Para llevar a cabo nuestra inves>gación, primeramente se trabajará con diseños de situaciones
didác>cas, donde hacemos uso de herramientas tecnológicas como la de papel y lápiz y
posteriormente con el souware Cabri.
En el diseño de las situaciones didác>cas, como se menciona anteriormente en el área de
ingeniería en electrónica no se u>lizan los campos de pendientes ni en cursos anteriores de
matemá>cas. Con esta información, nos dimos a la tarea de diseñar situaciones didác>cas
donde el alumno a través de la ecuación diferencial de un circuito eléctrico, trace su campo de
pendientes, bosqueje información y argumente el comportamiento de dicha ecuación
diferencial y a la vez del circuito eléctrico.
Situación didácCca uno
La dinámica para llevar a cabo la situación didác>ca 1 fue en un salón de la facultad de
Ingeniería Civil de la Universidad Autónoma de Chiapas, la cual consis>ó en agrupar a los 31
par>cipantes en equipos de tres alumnos, se les proporcionó la situación didác>ca 1 para
resolverlo en una hora treinta minutos. Mientras que para los estudiantes de Posgrado la
situación didác>ca la resolvieron de forma individual con una duración de una hora treinta
minutos.
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Se les solicitó que explicaran que es una “pendiente”; lo que ellos respondieron fue:
Argumento 1: es la inclinación α de dicha recta con respecto a un eje de referencia, se ob>ene
mediante la función tangente
Argumento 2: es la inclinación que existe si se trazara una línea entre dos puntos en el plano
cartesiano.
Argumento 3: La derivada de la función en un punto.
Luego mediante una gráfica se les pide que encuentren una relación geométrica de la
inclinación de los segmentos con los signos de las pendientes, en esta parte lo que se busca es
que los alumnos relacionen la inclinación de las rectas con el signo de la pendiente, por lo que la
mayoría de los equipos si lograron hacer esta relación; cabe mencionar que los equipos para
establecer su respuesta comentaban de los términos de la inclinación de la recta, de máximos y
mínimos.
Argumento 1: cuando el signo de la magnitud de la pendiente es posi>vo indica que la
pendiente se inclina hacia la derecha eje (+ x), cuando el signo es nega>vo indica que la
pendiente es constante y se inclina sobre la izquierda (-‐ x).
Argumento 2: cuando 0 < α < 90º el signo de la pendiente es posi>vo si solo si el eje de
referencia es el eje x, el signo de la pendiente es nega>vo si solo si 180º < α < 90º, cuando el eje
de referencia es el eje x.
Posteriormente los alumnos calculan una serie de pendientes con la expresión
que servirán para construir el campo de pendientes, todos los equipos lograron obtener las
pendientes, excepto al dibujarlas ninguno de los equipos dibujo completo el campo de
pendientes, argumentaban que eran muchos y se volvía un tanto tedioso estarlas dibujando a
mano; es en esta parte donde el souware Cabri Geometry II nos es de u>lidad ya que facilita el
trazado de las pendientes en menos >empo y menos tedioso como argumentan los alumnos.
Posteriormente se les pide que encuentren la an>derivada de la expresión que u>lizaron para
crear el campo de pendientes, en esta parte también los alumnos muestran la respuesta que se
esperaba: Al final de la situación se les pregunta a los estudiantes si el campo de
pendientes trazado genera las familias de curvas de la solución de la an>derivada; ellos
responden:
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Argumento: si la genera, porque al trazar el campo de pendientes se interceptan las pendientes
posi>vas y nega>vas que generará familias de parábolas, es decir
Figura 2. Campo de pendientes hecho por los equipos.
Situación didácCca dos:
Para la segunda situación didác>ca se seleccionó a tres grupos de los estudiantes de ingeniería
civil, el lugar que se empleo para llevar a cabo la inves>gación fue en uno de los salones de
posgrado de la maestría en matemá>ca educa>va, en la cual se les realizó una grabación de
video digital y de voz para registrar cualquier comentario durante la solución de la situación
didác>ca, la situación didác>ca fue resuelta en dos horas. Al igual para los estudiantes de
Posgrado se les aplicó la misma situación didác>ca resolviéndola en una hora y media.
Posteriormente esta situación didác>ca fue aplicada a un segundo grupo de 36 estudiantes de
ingeniería civil donde se formaron equipos de tres integrantes. Primero se les proporciona las
ac>vidades 1 y 2, posteriormente se les proporcionó la ac>vidad 3 y 4, la duración de solución
de la situación didác>ca fue de 2 horas. Se les proporcionó un circuito resistor-‐inductor (RL)
como el que se muestro en la figura 1, donde R = 2Ω, L = 1H, Vs = 8V y cuya ecuación diferencial
esta definida por con la condición inicial de t = 0. De los tres equipos, sólo dos
equipos pudieron dibujar el campo de pendientes bien, al concluir la situación didác>ca los
equipos dan una explicación haciendo un análisis del campo de pendientes:
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Argumento del equipo A: No concluyeron bien, les falto dibujar más el campo de pendientes.
Argumento del equipo B: Vemos que la ecuación diferencial >ene un comportamiento
exponencial, llegando a cierto valor para (I) la familia de curvas que podemos ver se vuelven
constantes.
Argumento del equipo C: Para nosotros vemos también que la familia de curvas >ene un
comportamiento exponencial, conforme crece el >empo t la familia de curvas >ende a un valor
constante por lo que el valor de las pendientes comienza a disminuir se hacen cero, es decir, la
corriente (I) al llegar a este valor permanece constante sin variación aunque el >empo aumente.
A con>nuación mostramos argumentos de los alumnos, el primero de ingeniería civil, el
siguiente de posgrado.
En nuestra fase de validación observamos que el propósito de la situación didác>ca si cumplió
con nuestro obje>vo, los equipos hicieron argumentaciones sólo observando los campos de
pendientes. Pero cabe mencionar que en la segunda situación didác>ca el equipo C de los
Figura 2. Campo de pendientes de los alumnos de ingeniería civil.
Figura 3. Campo de pendientes de los alumnos de posgrado.
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alumnos de la carrera de ingeniería civil nos muestra un argumento mas detallado del
comportamiento del circuito eléctrico solo con el análisis del campo de pendientes.
Conclusiones
De los resultados de la situación desarrollada por los estudiantes observamos que pudieron
trazar las pendientes y los campos de pendientes de las ecuaciones diferenciales, además
dibujaron el comportamiento de la familia de las curvas y argumentaron el comportamiento del
campo de pendientes. Vemos pues en este trabajo de abordar a las ecuaciones diferenciales de
forma cualita>va dentro del marco de prác>cas sociales de modelación y graficación y con la
ayuda de tecnologías como el de papel y lápiz o el souware Cabri es interesante, este úl>mo,
facilita el trazo de las pendientes en menor >empo que la de tecnología de papel y lápiz. Al
trazar el campo de pendientes nos recuerda conceptos de cálculo, además de que aprendemos
mayor información de las ecuaciones diferenciales, por ejemplo, la rapidez de crecimiento o
decrecimiento de las pendientes, su comportamiento en el >empo, todo de forma visual. En
cambio, resolver una ecuación de forma algebraica nos deja una restringida e insa>sfecha
imagen de las ecuaciones diferenciales como argumentan en sus obras (Cordero, 2000; Ar>gue,
1999). Por tanto, los argumentos ver>dos por los estudiantes proporcionan elementos para
resignificar el campo de pendientes de las ecuaciones diferenciales. Además al establecer
situaciones didác>cas de este >po, vemos que el alumno se enfrenta a una situación de análisis
>po cualita>vo de las ecuaciones diferenciales. Este análisis cualita>vo, vemos pues, que por su
forma visual aporta un valor enriquecedor en el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales, ya
que muestra de forma gráfica el comportamiento y caracterís>cas de las ecuaciones
diferenciales sin ser resueltas.
Bibliograea
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