reporte cuatro

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Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Química

Área de Operaciones Unitarias

Laboratorio de Ingeniería Química 1

Ing. José Manuel Tay Oroxom

Auxiliar: Inga. INFIERI Leda Marysol Gómez Montenegro

INFORME DE PREPARACIÓN

CALIBRACIÓN DE LOS MEDIDORES DE

FLUJO DE AGUA [CMFA]

GRUPO 4 SECCIÓN “A”

200914893 Kevin Samuel Hernández Leal

200915001 Julio Javier Carias Alvarado200915387 Jose David Barrera Lucas

200815533 Carlos Alberto Avalos Pérez

200819142 Cynthia Lisbeth Fuentes Joachín

Guatemala, 10 de abril de 2012



Facultad de IngenieríaÁrea de Operaciones Unitarias

INDICE GENERAL

Contenido

Universidad de San Carlos de Guatemala ..................................... Error! Bookmark not defined.

INFORME DE REALIZACIÓN ......................................................... Error! Bookmark not defined.

Guatemala, 20 de marzo de 2012 ................................................... Error! Bookmark not defined.

GLOSARIO .......................................................................................... Error! Bookmark not defined.

INTRODUCCIÓN ................................................................................ Error! Bookmark not defined.

RESUMENES INDIVIDUALES......................................................... Error! Bookmark not defined.

MARCO TEÓRICO............................................................................. Error! Bookmark not defined.

Intercambiadores de calor............................................................. Error! Bookmark not defined.

Intercambiadores de calor de carcasa y tubos ..........................Error! Bookmark not defined.

1.2.1 Tubos.................................................................................. Error! Bookmark not defined.

1.2.2 Placa tubular...................................................................... Error! Bookmark not defined.

1.2.3 Deflectores......................................................................... Error! Bookmark not defined.

1.3 Tubos para Intercambiadores de Calor................................ Error! Bookmark not defined.

OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA ...................................................... Error! Bookmark not defined.

RESULTADOS.................................................................................... Error! Bookmark not defined.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS...................................................... Error! Bookmark not defined.

CONCLUSIONES ............................................................................... Error! Bookmark not defined.

RECOMENDACIONES...................................................................... Error! Bookmark not defined.

METODOLOGÍA DE CÁLCULO ...................................................... Error! Bookmark not defined.

DIAGRAMA DE PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL ................Error! Bookmark not defined.

............................................................................................................... Error! Bookmark not defined.

DATOS CALCULADOS ..................................................................... Error! Bookmark not defined.

ANÁLISIS DE ERROR................................................................... Error! Bookmark not defined.

FUENTES DE ERROR .............................................................. Error! Bookmark not defined.

RECOMENDACIONES.............................................................. Error! Bookmark not defined.

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................... Error! Bookmark not defined.

ANEXOS .............................................................................................. Error! Bookmark not defined.




LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolo Significado (Dimensional)

Flujo másico (Kg/s)

m Masa de Agua (kg)

t Tiempo (s)

Caudal Volumétrico (m3 /s)

ρ Densidad. (Kg/m3)

ΔP Caída de presión en el medidor (mmHg)

Factor de corrección de las unidades dimensionales.

(adimensional)

g Gravedad. (m/s2)

Densidad del Mercurio (kg/m3)

Densidad del agua (kg/m3

)

Diferencia de alturas en la presión de entrada y la

presión de garganta u orificio (m)




A Área de garganta u orificio del medidor de Flujo (m2)

D Diámetro de garganta u orificio del medidor de Flujo

(m)

V Velocidad del flujo en la garganta u orificio (m/s)

β Relación de diámetros (adimensional)

d Diámetro de la Garganta u orificio (m)

Número de Reynolds (adimensional)

h Diferencia de altura en manómetro (mmHg)

A Área. (m2)

D Diámetro de la tubería (m)

ν Velocidad lineal del fluido (m/s)

μ Viscosidad dinámica del agua (kg/m*s)

g Gravedad (m/s2)

Cv Coeficiente de Descarga (adimensinal)

h Altura del flujo en el vertedero (m)

φ Ángulo de referencia (°)




Pe Presión de entrada (mmHg)

PSa Presión de salida. (mmHg)

dΔP Error por incertidumbre del cambio de presión (Pa)

d Error por incertidumbre de Flujo másico (Kg/s)

dV Error por incertidumbre de velocidad del flujo (m/s)




GLOSARIO

Calibración: Son las operaciones que establecen

la relación entre los valores de

magnitudes indicados por un

instrumento o sistema de medición

bajo las condiciones que se

establecen antes, también se les

puede referir a los valores

representados por una medida

materializada o un material de

referencia y los correspondientes

valores aportados por patrones.

Coeficiente de descarga: Representa la relación de la

velocidad real de energía con

respecto a la velocidad ideal a través

del tubo de un medidor y es un factoradimensional que sirve de corrección

del caudal medido para tomar en

cuenta las pérdidas de energía

presentes.

Flujo: Caudal de un fluido continúo.

Medidor de flujo: Dispositivo utilizado para medir el

caudal o gasto volumétrico de un

fluido o para la medición del gasto

másico. Estos dispositivos suelen

colocarse en línea con la tubería que




transporta el fluido.

Medidor de Orificio: Medidor de flujo de carga variable

que consiste en una reducción en la

sección de flujo de una tubería, de

modo que se produzca una caída de

presión, a consecuencia del aumento

de velocidad.

Medidor de venturi: Medidor de flujo de carga variable

que sirve para medir el gasto que

circula en un conducto, este medidorreemplaza la medida del gasto por la

medida de una diferencia de alturas.

Número de Reynolds Grupo adimensional que indica un

régimen con respecto a la transición

del flujo laminar a turbulento en

tuberías está en función de lavelocidad, densidad y viscosidad del

fluido y del diámetro del tubo.

Ranura: Es un tipo de vertedero tubular, en la

salida de un líquido de un depósito a

través de una abertura estrecha

rectangular en la cual la superficie

libre del líquido que fluye a través de

la ranura está situada a una altura del

fondo.




Rotámetro: Medidor de flujo de área variable

utilizado para determinar el caudal de

un fluido, consiste en un tubo cónico

de vidrio que con el paso del fluidomantiene suspendido un flotador

como indicador.

Vertedero: Medidor de masa utilizado en la

medición del caudal de pequeños

cursos de agua y conductos libres,

permite medir el flujo por medio de la

altura del flujo por encima de una

base plana.




INTRODUCCIÓN

El siguiente informe de laboratorio de operaciones unitarias tiene como finel estudio y comprensión de la calibración de medidores de flujo en un sistema. La

calibración de medidores de flujo es uno de los trabajos que la ingeniería química

se encuentra normalmente en las plantas de procesos, por ello es fundamental

poder llevar a cabo la labor. Para llevar a cabo la práctica se utilizo un sistema de

circulación de agua por medio de una bomba centrifuga la cual daba la energía

para el flujo de agua, en el sistema se contaba con un rotámetro el cual es un

medidor de área variable, el cual tiene medidas llamadas unidades de rotámetro

que se utilizan para la medición del flujo, en este caso era el medidor que se utiliza

como patrón para calibrar los demás medidores. Al rotámetro se encuentra

conectado un manómetro diferencial para encontrar la caída de presión dentro del

medidor lo cual permitía usar tanto unidades de rotámetro como perdida de

presión para la medición flujo y calibración.

En el sistema además se encontraba con dos medidores de carga variable como

lo son el medidor de orificio y el medidor de venturi, estos fueron calibrados

respecto a un flujo másico en función de la perdida de presión , esto mediante la

utilización de una serie de manómetros diferenciales en tres secciones de cada

medidor (entrada , garganta y recuperación) con lo que se puede relacionar el flujo

con la caída de presión en cada sección y se obtiene la calibración de los

medidores .Además se contaba con dos medidores de nivel , medidor de ranura y

vertedero rectangular, estos se calibran mediante la utilización de un flujo másico

respecto a una marca a cierto nivel en el medidor el cual permite calcular la

relación entre flujo y el nivel de agua que se marca en el equipo y por ende

calibrar los medidores.

Teniendo el flujo del sistema como flujo másico fue posible determinar el caudal,

velocidad del flujo y con ello calcular el número de Reynolds y determinar el

coeficiente de descarga para cada corrida utilizando datos provenientes del




sistema como diámetro de tubería, de las secciones de los medidores y además

las propiedades del fluido que se manejo como la densidad y viscosidad dinámica.

Tras tener en cuenta lo anterior se pudo determinar la relación entre las presiones

que se presentan en la garganta y de recuperación respecto al número deReynolds del flujo en el sistema.




RESUMENES INDIVIDUALES

Kevin Samuel Hernández Leal

200914893

RESUMEN

En la práctica No.4 de Laboratorio de operaciones unitarias 1 se realizó la

calibración de medidores de flujo en función de las variables del flujo volumétrico,

altura de rotámetro y caidas de presión. Se utilizaron cuatro medidores de flujo:

ranura, vertedero, orificio y Venturi.

En el sistema de medidores de flujo se definió una ruta de circulación de

agua para cada medidor con una entrada y salida para ello se utilizó una bomba

centrífuga radial el cual al encenderse se verificó si la válvula de salida se

encontraba completamente cerrada. Mediante un rotámetro se reguló la entrada

de agua a cada medidor de flujo el cual se definió 10 alturas de rotámetro con 3

repeticiones cada una, al momento de estabilizarse cada sistema se midieron las

presiones de entrada, salida y recuperación cada una ubicada en la entrada,

salida y parte angosta para cada medidor de flujo respectivamente.

Se obtuvieron flujos másicos de agua entre valores de 0.16 a 0.60 kg/s

respecto a la altura del rotámetro de 110 a 250. Para la calibración de los

medidores de flujo de vertedero y ranura se obtuvieron valores de alturas derotámetro en función del flujo volumétrico entre 45 a 65 y 100 a 155

respectivamente. Para las caidas de presión respecto al número de Reynolds para

los medidores orificio y venturi se obtuvieron valores entre 1100 a 4000 y 1250 a

8100 respectivamente.




Al analizar los resultados obtenidos se concluyó que la hipótesis científica

planteada es aceptada, se rechazó la hipótesis nula y se aceptó la hipótesis

alternativa. El medidor de flujo con mayor jerarquía metrológica es el de orificio.

Según el análisis gráfico las curvas de calibración presentaron un comportamientodirectamente proporcional respecto al flujo másico de agua. Los caudales

obtenidos en el sistema de medidores de flujo se encontraron en un rango de 0.15

a 0.65 m3 /s.

Según el análisis gráfico de los errores se determinó que los errores por

incertidumbre y presión no influyeron en los resultados obtenidos.

Segùn el análisis de error gràfico se obtuvieron valores de incerteza para el

número de Reynolds menores a 12%, asì mismo se determinò que el medidor deVenturi presentò mayor incerteza en la caída de presión a comparación al medidorde orificio.




Julio Javier Carías Alvarado

200915001

RESUMEN

En el Laboratorio de Ingeniería Química 1 se realizó la práctica

correspondiente a la calibración de medidores de flujo, con el propósito dedeterminar las relaciones entre el flujo másico del sistema y el parámetro de cada

medidor, esto se hará en base al medidor con mayor jerarquía metrológica. Con

esto se determinarán relaciones con el Número de Reynolds, caídas de presión y

coeficientes de descarga.

El proceso experimental consistió en utilizar 15 diferentes alturas de

rotámetro, y medir la masa de flujo que pasó por el sistema en un determinado

tiempo para cada una de estas alturas, con esto se realizó la curva de calibración

para el medidor con mayor jerarquía metrológica. Partiendo de 5 alturas del

rotámetro se calibraron los demás medidores, tomando datos de altura de

rotámetro y el parámetro de los medidores, para algunos fueron milímetros y para

otros fueron milímetros de Mercurio. De esta forma se obtuvieron las curvas de

calibración para cada medidor de flujo a partir de la curva de calibración del

rotámetro.

Los resultados obtenidos muestran que el flujo másico que pasa por el

rotámetro es directamente proporcional a la altura que el flotador del rotámetro

muestra, y el comportamiento de esta relación tiende a ser lineal. Los medidores




de Vertedero y de Ranura también mostraron una relación directamente

proporcional entre la altura de sus escalas y el flujo másico determinado por la

curva de calibración del rotámetro. Las caídas de presión en los medidores de

Orificio y Venturi fueron directamente proporcionales al Número de Reynolds delfluido del sistema, presentando el medidor de Venturi una mayor caída de presión

a medida que el número de Reynolds aumentó. La relación entre la caída de

presión de recuperación para el medido de Orificio también fue directamente

proporcional al número de Reynolds del fluido, pero para el medidor de Venturi fue

constante. Esto se debe a la perdida por fricción producida por la estructura de

cada medidor de flujo. Los coeficientes de descarga para los Medidores de Orificio

y Venturi son directamente proporcionales al Número de Reynolds del agua en el

sistema.

En base a los resultados obtenidos a través del diseño experimental

planteado la hipótesis científica se aprueba y es aceptada. Los efectos de los

errores por incertidumbre y precisión fueron insignificantes.




José David Barrera Lucas

200915387

RESUMEN

En el presente informe técnico se muestran las tendencias obtenidas de la prácticade calibración de medidores de flujo de agua y las variables involucradas en cadauno de estos. Se utilizó el Rotámetro como patrón para comparar la altura delmedidor de Vertedero y de Ranura respecto al flujo másico; se comparó latendencia de la caída de presión, la caída de presión de recuperación y elcoeficiente de descarga del medidor de Venturi y de Orifico respecto al Número deReynolds del fluido.

Se utilizó un equipo constituido por cinco medidores, el medidor de Venturi y de

Orificio en serie los cuales a su vez estaban en paralelo con los medidores deVertedero y de Ranura, todos estos estaban conectados al Rotámetro en uncircuito cerrado.

La tendencia obtenida al comparar el flujo másico estimado con la altura delrotámetro mostró un comportamiento proporcional al aumento de esta última perosu tendencia no fue lineal. La comparación de la altura promedio de los medidoresde Ranura y de Vertedero presentó tendencias proporcionales al aumento del flujomásico. Al evaluar el comportamiento de la caída de presión y la caída de presiónde recuperación respecto al Número de Reynolds se observó un comportamiento

proporcional al aumento de este último, por lo que el Coeficiente de descargapresentó su tendencia proporcional al aumento del Número de Reynolds.

En base al análisis de error se obtuvo valores de incerteza para el Número deReynolds menores 12%, el medidor de Venturi presentó mayor incerteza en lacaída de presión respecto al medidor de Orificio.




Por lo tanto, en base a los resultados obtenidos, se rechazó la hipótesis nula y seaceptó la hipótesis alternativa al comprobar la relación entre las variablesanalizadas.

Carlos Alberto Avalos Pérez

200815533

RESUMEN

Durante la práctica de calibración de medidores de flujo, se obtuvo el valor de la caída depresión del flujo de agua al pasar a través de un medidor de orificio y un medidor deVenturi y se determinó también la presión de recuperación al salir de ambos medidores.

Los valores de flujo de agua utilizados fueron tomados a partir de la curva de calibraciónrealizada para el rotámetro del equipo, relacionando cada altura con un flujo medido en ladescarga del equipo.

La caída de presión en los medidores fue tomada a partir de la diferencia de altura en losmanómetros conectados a ellos, con lo cual se obtuvo la caída de presión en la gargantadel medidor y en la salida del mismo para la obtención de la presión de recuperación.

Se relacionó la caída de presión con el número de Reynolds obtenido en cada altura derotámetro y se obtuvo además el coeficiente de descarga de cada medidor para compararel nivel de eficiencia de cada uno.

Se determinó que el medidor de Venturi presentó la mayor caída de presión encomparación del medidor de orificio, y una menor presión de recuperación con respecto alúltimo.




El medidor de Venturi tuvo la mayor incerteza en la caída de presión según el análisis de

error, aproximándose al 100% del valor de la caída, mientras que el medidor de orificio

presentó valores inferiores al 5% de error de incerteza.

Cynthia Lisbeth Fuentes Joachín

200819142

RESUMEN

En el presente informe se muestran, discuten y concluyen los resultados

obtenidos de la práctica “Calibración de los Medidores de Flujo de Agua”, con el

objetivo de calibrar cada medidor de flujo de agua del equipo, tomando como

referencia las caídas de presiones que se originan en el rotámetro así como

también comparar las graficas de calibración con las que se originan de las

lecturas directas en unidades de rotámetro, determinar los errores de exactitud y el

efecto que éste causa; determinar el coeficiente de descarga, la recuperación dela presión y pérdida de ésta en función del número de Reynolds.

El medidor utilizado como referencia fue el Rotámetro ya que para una

determinada velocidad de flujo, la posición de equilibrio de un flotador en un

Rotámetro se establece mediante la compensación de fuerzas que se equilibran

dependiendo de la cantidad de fluido en la tubería ya que la medida de caudal en

condiciones cerradas consiste en la determinación de la cantidad de masa ó

volumen que circula por la conducción por unidad de tiempo. Se emplea unabomba centrífuga para la recirculación de flujo en la tubería el cual al inicio pasa

por medio del Rotámetro, éste regula la cantidad de flujo, luego por el medidor de

orificio después pasa por el medidor de Venturi y por último el fluido se hizo pasar




por dos caminos, primero por el medidor de Ranura y luego por el medidor de

Vertedero.

Se tomaron datos a diferentes unidades de Rotámetro, como alturas de

presión de entrada, de salida, de garganta y de orificio, alturas de flujo de agua enel medidor de Ranura y de Vertedero y flujo másico en función del tiempo.

Posteriormente con estos resultados se realizaron curvas de calibración del caudal

en función de las unidades de Rotámetro, para todos los medidores se realizó el

análisis de exactitud tomando como referencia las gráficas halladas en la

literatura.

Se concluyó que el medidor que menores pérdidas de presión detectó fue el

medidor de Venturi debido a su intrincada geometría que predice una óptima

contracción y expansión del fluido utilizado que en este caso se trato de agua

potabilizada. Se observó en las curvas de calibración que el instrumento más

preciso en la medición de flujo másico resultó ser el medidor de Ranura.

Se tomaron en cuenta los errores de precisión cometidos en forma

cuantitativa, los cuales tomaron valores inferiores al 12% debido a la poca

incerteza de los equipos esto nos derivo a obtener datos más precisos y con ello

un error de exactitud aceptable, el medidor de Venturi presento una menor caída

de presión respecto al medidor de orificio, el medidor de Venturi presento mayor

incerteza que el medidor de orificio, con lo que se alentó al éxito en la práctica

experimental y se recomienda darle mantenimiento y limpieza al equipo cada

cierto tiempo para evitar que se formen incrustaciones en la tubería y cuando el

sistema este funcionando se debe mantener siempre una válvula de descarga

abierta, ya sea la que conecta con el medidor de Ranura ó la que lleva el flujo al

medidor de Vertedero .




MARCO TEÓRICO

1. Medidores de flujo

La medición del flujo de fluidos es importante para poder medir y controlar

la cantidad de material que entra y que sale de una planta de procesamiento

químico o de otro tipo. Ya que muchos materiales se encuentran en forma de

fluidos suelen fluir por tuberías y conductos. Para la medición de flujos se utilizan

muchos tipos diferentes de dispositivos, los más sencillos son los que miden

directamente el volumen de los fluidos. Sin embargo, existe una variedad de

medidores de flujo que se pueden adaptar a las necesidades de la planta.

1.1 Clasificación de los medidores de flujo

En la industria se utilizan muchos tipos diferentes de medidores que se

clasifican de acuerdo a su principio de funcionamiento, los cuales comprenden:

Medidores de carga variable:

Medidor de Venturi

Medidor de Orificio

Medidor de boquilla de flujo

Medidor de tubo de flujo

Medidores de área variable

Rotámetros

Medidores de desplazamiento positivo




Medidor de flujo magnético

Medidores ultrasónicos

Medidores de flujo másico

Medidores de velocidad: Tubo de pitot

Los medidores en los que se pesa o mide el volumen directamente son sencillos y

no requieren cálculos especiales para la medición del flujo. Los medidores de

desplazamiento positivo comprenden diferentes tipos de bombas de medida que

difieren en la finalidad, pero no en el fundamento, de bombas rotatorias.

2. Factores de los que depende la selección del tipo básico de medidor de

flujo.

Con la gran variedad de dispositivos para medir el flujo se puede seleccionar un

medidor de flujo adecuado tomando en cuenta algunos factores, los cuales se

mencionan a continuación.

2.1 Rango

Existen medidores que miden flujos muy pequeños (mL/s) para experimentosprecisos en laboratorio, hasta varios miles de metros cúbicos. Entonces para una

instalación particular de medición debe conocerse el orden general de magnitud

del flujo volumétrico, así como el rango de las variaciones esperadas.

2.2 Exactitud requerida

Cualquier dispositivo de medición de flujo que se instale y opere en forma

apropiada tiene una exactitud dentro de 5% del flujo real. Los medidorescomerciales poseen una exactitud del 2%. Si se desea más exactitud, se eleva el

costo del medidor.

2.3 Pérdida de presión




Los detalles de construcción de los distintos medidores producen cantidades de

pérdida de energía conforme el fluido pasa a través de ellos.

Tipos de indicaciónSi el control automático actúa sobre la salida se necesita algún operador que vigile

el medidor.

´

3.4 Tipo de fluido

El rendimiento de algunos medidores de flujo se ve afectado por las propiedades y

condiciones del fluido. Se debe considerar factores como viscosidad, temperatura,corrosión, conductividad eléctrica, visibilidad, propiedades lubricantes y

homogeneidad. Los lodos y fluidos de fases múltiples requieren medidores

especiales

3.4.1 Calibración

Algunos tipos de medidores de flujo requieren calibrarse. Si no están equipados

con gráficas o tablas de resultados reales versus la lectura del indicador se puede

utilizar otro medidor de precisión como estándar con el que se compare la lectura

del dispositivo de prueba.

3.4.2 Otros factores

En la mayoría de los casos también debe considerarse el tamaño físico del

aparato, su costo, el sistema de presión y la aptitud del operador

4. Medidores de flujo de carga variable

El principio fundamental en el que se basan los medidores de carga variable es la

diferencia de presión que existe entre puntos antes y después de una restricción,

que se utiliza para indicar el flujo volumétrico. Los tipos más comunes de




medidores de carga variable son el tubo venturi, el orificio, boquilla de flujo y tubo

de flujo.

5. Tubo de venturiEn la figura 1 se muestra el aspecto básico de un tubo de Venturi. El flujo que

viene de la tubería principal en la sección 1 se hace acelerar a través de una

sección estrecha denominada garganta , donde la presión del fluido disminuye.

Después, el flujo se expande a través de una porción divergente que alcanza el

mismo diámetro de la tubería principal. Se coloca tomas de presión en la pared del

tubo de la sección 1 y en la pared de la garganta. Estas tomas de presión se

conectan a ambos lados de un manómetro diferencial de modo que la diferencia

de altura sea una indicación de diferencia de presión

Figura No.1

Fuente: Robert L. Mott. Mecanica de Fluidos. 6ª Edición; Mexico: Editorial

Pearson Educación 2006.

6. Medidor de Orificio

Cuando se coloca una placa plana con un agujero de bordes afilados de forma

concéntrica dentro de un tubo, como se ilustra en la figura 2, se hace que el flujo

se contraiga de modo repentino conforme se acerca al orificio, y después que se

expanda al regresar a todo el diámetro del tubo. La corriente que pasa a través del




orificio forma una vena contracta y la velocidad rápida del flujo origina una

disminución de la presión corriente abajo del orificio.

Figura No.2

Fuente: Robert L. Mott. Mecanica de Fluidos. 6ª Edición; Mexico: Editorial

Pearson Educación 2006.

Las tomas de presión que están antes y después del orificio permiten la

medición de la presión diferencial a través del instrumento, la cual se relaciona con

el flujo volumétrico por medio de las mismas ecuaciones planteadas para el

medidor de flujo de Venturi. El orificio de la placa puede estar biselado en la parte

posterior, tal como se muestra en la figura 3.




Figura No.3

Fuente: Robert H. Perry. Manual del Ingeniero Químico. 7ª Edición; México

El valor del coeficiente de orificio se ve afectado por variaciones pequeñas en la

geometría de los bordes del orifico. Su valor es mucho menor que el del tubo

Venturi ya que el fluido es forzado a tener una contracción súbita, seguida de una

expansión repentina. Sus medidas se basan en el diámetro del orificio, por lo que

la disminución del diámetro de la corriente en la vena contracta tiende a reducir el

valor del coeficiente.

Figura No.4

Medidor de orificio

Fuente: Robert L. Mott. Mecánica de Fluidos. 6ª Edición; México:




6.1 Recuperación de presión

A causa de las elevadas pérdidas por fricción, debido a los remolinos que

se generan en la reexpansión del chorro, una vez sobrepasada la vena contracta,la recuperación de presión de un medidor de orificio es muy deficiente. La pérdida

de potencia que se origina es una de sus desventajas.

7. Rotámetro

Es el medidor de área más importante, y se presenta en la figura 6. Consta

esencialmente de un tubo cónico de vidrio que se instala verticalmente con el

extremo más ancho hacia arriba. El fluido asciende a través del tubo cónico y

mantiene libremente suspendido un flotador, que es el elemento indicador.

Cuando mayor es la velocidad de flujo, mayor es la altura que alcanza el flotador

en el tubo.

Toda la corriente de fluido tiene que circular a través del espacio anular que existe

entre el flotador y la pared del tubo. El tubo se encuentra graduado y la lectura

viene dada por el borde de lectura del flotador, que corresponde a la mayor

sección transversal del mismo. Es necesario disponer de una curva de calibrado

para convertir la lectura de la escala en velocidad de flujo.

Los rotámetros pueden utilizarse tanto para la medida de flujo de líquidos, como

de gases. Sin embargo este medidor de flujo requiere que el fluido seatransparente para poder ubicar la posición del flotador. Además, el tubo

transparente está limitado en cuanto a capacidad de presión que puede soportar.

Algunos rotámetros están hechos de tubos opacos para soportar presiones

mayores.




Figura No.5

Fuente: Warren L. McCabe, et. al. Operaciones Unitarias en Ingeniería

Química. 4ª Edición

8. Medidores de masa

En muchos casos de ingeniería de procesos e instalaciones agrícolas, los líquidos

fluyen en canales abiertos y no en ductos cerrados. Para medir el gasto




volumétrico en estos casos se suele usar vertederos. Los dos tipos principales son

el vertedero triangular y el vertedero rectangular o de ranura.

8.1 Vertedero

Un vertedero es un dique sobre el cual fluye un líquido, mide la altura h0

(carga del vertedero) en metros por encima de la muesca. Esta carga debe

medirse a una distancia aproximada de 3h0 m corriente arriba del vertedero, por

medio de un nivel o un flotador. Pueden utilizarse hasta caudales de 6000 galones

por minuto.

OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA

Objetivo General

Calibrar los medidores de flujo de agua instalados en el equipo y determinar las

variables que están involucradas en su operación

Objetivo específicos

1. Plantear la hipótesis científica que permita demostrar la validez del trabajo

experimental

2. Calibrar los medidores de flujo de agua a partir del medidor de mayor

jerarquía metrológica

3. Comparar las gráficas de calibración de cada medidor




4. Estimar los caudales obtenidos en cada medidor

5. Evaluar el coeficiente de perdida por contracción y expansión

6. Determinar la relación existente entre la velocidad de descarga en función

del numero de Reynolds7. Analizar en forma grafica el efecto que los errores tienen sobre los

resultados

RESULTADOS

Gráfica no. 1. Flujo másico respecto a la Altura del rotámetro




Color Modelo Matemático R^2 Intervalo de Validez

-3E-12x6 + 3E-09x5 - 1E-06x4 + 0,0003x3 -

0,042x2 + 2,8197x - 77,3010,991

110 – 250

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Gráfica no. 6

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

110 130 150 170 190 210 230 250

F l u j o M á s i c o ( k g / s )

Altura de Rotámetro




Gráfica no. 2. Alturas promedio para el medidor de Ranura y de Vertedero respecto al flujo

másico del rotámetro

Medidor Modelo Matemático R^2 Intervalo de Validez

Ranura -4517,4x3 + 3253,5x2 - 642,66x + 86,154 0,97 0,17 kg/s – 0,34 kg/s

Vertedero 3999,2x3 - 4272,4x2 + 1673,9x - 78,438 0,97 0,17 kg/s – 0,34 kg/s

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Gráfica no. 7

Gráfica no. 3. Caída de presión para el medidor de Venturi y de Orificio respecto al

Número de Reynolds

45

65

85

105

125

145

0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 0.27 0.29 0.31 0.33 0.35

A l t u r a p r o m e d i o ( m m )

Flujo másico (kg/s)





Orificio 9E-07x3 - 0,0056x2 + 13,647x - 7472,9 0,98 980 - 1980

Venturi-6E-06x3 + 0,0232x2 - 23,147x +

8718,60,97 980 - 1980

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Gráfica no. 8.

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

980.00 1080.00 1180.00 1280.00 1380.00 1480.00 1580.00 1680.00 1780.00 1880.00 1980.00

C a í d a d e p r e s i ó n

( P a )

Número de Reynolds




Gráfica no. 4. Caída de presión de recuperación para el medidor de Venturi y de Orificio

respecto al Número de Reynolds


Orificio -4E-06x3 + 0,0167x2 - 17,016x + 6419,3 0,97 980 - 1980

Venturi -5E-07x4 + 0,003x3 - 6,2032x2 + 5689x -

2E+06

1 980 - 1980


Gráfica no. 5. Coeficiente de Descarga para el medidor de Venturi y de Orificio respecto al

Número de Reynolds.

0.00

1000.00

2000.00

3000.00

4000.00

5000.00

6000.00

980.00 1080.001180.001280.001380.001480.001580.001680.001780.001880.001980.00

C a i d a d e p r e s i ó n d e r e c u p e r a c i ó n

( P a )

Número de Reynolds





Orificio 1E-10x3 - 5E-07x2 + 0,0007x - 0,2259 1 980 - 1980

Venturi 4E-11x3 - 1E-07x2 + 0,0002x + 0,0866 1 980 - 1980


1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

1.60E-01

1.80E-01

2.00E-01

2.20E-01

980.00 1180.00 1380.00 1580.00 1780.00

C o e f i c i e n t e d e D e s c

a r g a

Número de Reynolds

Medidor de Venturí

Medidor de Orificio




DISCUSIONES DE RESULTADOS INDIVIDUALES

Kevin Samuel Hernández Leal

200914893

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

En el reporte No.4 de Laboratorio de operaciones 1 se calibraron 4

medidores de flujo siendo el de Venturi, orificio, ranura y vertedero. Las variables

obtenidas fueron las alturas promedio respecto al flujo másico para los medidores

de flujo de vertedero y ranura. Para el caso de los medidores de flujo de Venturi y

orificio las variables obtenidas fueron las caidas de presión, caidas de presión de

recuperación y coeficiente de descarga.

En la gráfica No.1 se muestra el flujo másico de agua respecto a la altura de

rotámetro para el sistema medidores de flujo. Se observa que al aumentar la altura

de rotámetro en un intervalo de 110 a 250 aumenta proporcionalmente el flujo

másico en un rango de 0.16 a 0.60 kg/s obteniendo un comportamiento esperado.

En la gráfica No.2 se muestra las alturas promedio respecto al flujo másico del

rotámetro para los medidores de flujo de ranura y vertedero. Para el medidor de

ranura se observa que al aumentar el flujo másico en un intervalo de 0.18 a 0.34

kg/s aumenta proporcionalmente la altura promedio de rotámetro en un rango de

46 a 65 mm. Para el medidor de vertedero se muestra que al aumentar el flujo

másico aumenta proporcionalmente la altura promedio de rotámetro en un rango

de 100 a 150 mm. Al comparar los datos obtenidos entre los dos medidores se

determinó que el medidor de flujo con mayor altura de rotámetro es el de

vertedero.




En la gráfica no.3 se muestra la caída de presión rescpecto al número de

Reynolds para los medidores de flujo de Venturi y orificio. Para el medidor de

Venturi se observa que al aumentar el número de Reynolds en un intervalo de 980

a 190 aumenta proporcionalmente la caída de presión en un rango de 1100 a 4100Pa. Para el medidor de orificio se muestra que al aumentar el número de Reynolds

aumenta proporcionalmente la caída de presión en un rango de 2200 a 8200 Pa.

Al comparar los datos obtenidos se determinó que el medidor de flujo con mayor

caída de presión es el de Venturi.

En la gráfica No.4 se muestra la caída de presión de recuperación respecto al

número de Reynolds para los medidores de flujo de Venturi y orificio. Para el

medidor de Venturi se observa que al aumentar el número de Reynolds en un

intervalo de 1012 a 1916 aumenta proporcionalmente la caída de presión en un

rango de 49 a 395, así mismo se observa que el comportamiento de la gráfica es

ascendente y descendente en ciertos puntos. Para el medidor de orificio se

observa que al aumentar el número de Reynolds aumenta proporcionalmente la

caída de presión en un rango de 1605 a 5557. Al comparar los datos obtenidos se

determinó que el medidor con mayor caída de presión es el de orificio.

En la gráfica No. 5 se muestra el coeficiente de descarga respecto al número de

Reynolds para los medidores de Venturi y orificio. Para el medidor de Venturi se

observa que al aumentar el número de Reynolds en un intervalo de 1016 a 1916

aumenta proporcionalmente el coeficiente de descarga en un rango de 1.2E-1 a

1.54E-1. Para el medidor de orificio se observa que al aumentar el número de

Reynolds aumenta proporcionalmente el coeficiente de descarga en un rango de

1.75E-1 a 1.88E-1. Al comparar los datos obtenidos se determinó que el medidorde flujo con mayor coeficiente de descarga es el de orificio.

Al analizar las comparaciones gráficas de los resultados obtenidos se determinó

que el medidor de flujo con “mayor jerarquía” metrológica es el de orificio ya que

presenta mayor caída de presión y mayores coeficientes de descarga.




Al analizar los resultados obtenidos se concluye que la hipótesis científica

planteada es aceptada. Al analizar el comportamiento de los medidores de flujo se

determinó que el medidor de flujo con mayor jerarquía metrológica es el de orificio.

Según el análisis gráfico las curvas de calibración presentaron un comportamientodirectamente proporcional respecto al flujo másico de agua. Los caudales

obtenidos en el sistema de medidores de flujo se encontraron en un rango de 0.15

a 0.65 m3 /s. Para el coeficiente de descarga en los medidores de Venturi y orificio

fue proporcional al número de Reynolds del agua en el sistema.

Según el análisis de error gráfico se determinó que los errores en los cálculos

realizados son insignificantes y no interfieren en los resultados obtenidos de la

práctica.

Como se muestra en la gráfica No.12 del análisis de error para el medidor

de Venturi se obtuvieron valores de incerteza mayores en la caída de presión a

comparación del medidor de orificio. Según el análisis de error gráfico se

obtuvieron valores de incerteza para el número de Reynolds menores a 12%.

Como se muestra en la gráfica No.11 el porcentaje de incerteza del número de

Reynolds disminuye proporcionalmente respecto a la altura de rotámetro. Así

mismo se muestra en la gráfica No.12




Julio Javier Carías Alvarado

200915001


Se realizó la práctica correspondiente a la calibración de los medidores de flujo de

agua para elaborar la calibración del medidor de flujo con mayor jerarquía

metrológica y a partir de este realizar las calibraciones para los demás medidores

de flujo, de esta manera se determinó el flujo volumétrico en cada medidor.

En la Gráfica No. 1 se muestra la curva de calibración para el flujo másico en elrotámetro, esta es la relación existente entre el flujo másico del rotámetro en

función de la altura que dio el mismo. La gráfica presenta un comportamiento

directamente proporcional, aumentando el flujo másico a medida que la altura del

rotámetro aumentó. Este es el comportamiento esperado porque un aumento en el

flujo volumétrico del rotámetro ocasiona que el flotador se mueva a una posición




más alta hasta estabilizarse. El comportamiento de esta gráfica no fue

completamente lineal, se esperó un comportamiento lineal para esta curva de

calibración.

En la Gráfica No. 2 se muestran las curvas de calibración para los medidores deflujo de Ranura y de Vertedero. Esta gráfica muestra la relación entre la altura del

flujo promedio de los medidores en función del flujo másico. El comportamiento de

las 2 gráficas es el esperado, puesto que se esperó un aumento en la altura del

fluido de los medidores a medida que el flujo másico del sistema aumentó. La

altura alcanzada por el fluido fue mayor en el medidor de Ranura, debido a la

estructura del mismo, que permite tener un mayor rango de alturas comparado con

el medidor de Vertedero, que posee una escala de alturas con menor rango.

En la Gráfica No. 3 se muestra la relación existente entre la caída de presión de

los medidores de flujo de Orificio y Venturi en función del Número de Reynolds. El

comportamiento de esta gráfica es directamente proporcional, aumentando la

caída de presión en los 2 medidores de flujo al aumentar el número de Reynolds

en las tuberías. Este es el comportamiento esperado para las 2 gráficas, porque al

aumentar el régimen de flujo en el medidor de Orificio, este presentará una mayor

diferencia de presión entre sus tomas de presión, esto debido a la estructurainterna del medidor, que consta de un cono que estrangula el fluido, reduciendo el

área de paso del fluido aumentando la presión sobre este. Con el mismo principio

funciona el medidor de Venturi, que en su estructura posee una sección estrecha

de tubería, donde el fluido es acelerado, en este punto la presión del fluido

disminuye, luego se expande a través de la porción divergente que alcanza el

mismo diámetro de la tubería principal. También se observa que la caída de

presión fue mayor en el medidor de Venturi, por una diferencia que aumentó a

medida que el régimen del fluido aumentó.

En la Gráfica No. 4 se muestra la relación existente entre la caída de presión de

recuperación de los medidores de flujo de Orificio y Venturi en función del Número

de Reynolds. El comportamiento de esta gráfica para el medidor de Orificio es

directamente proporcional, aumentando la caída de presión por recuperación a




medida que el régimen del fluido aumentó. Pero en el medidor de Venturi este

comportamiento fue constante. Estos comportamientos se debieron a la estructura

de cada medidor, porque el medidor de Venturi no posee perdidas por fricción

debido al estrechamiento de la sección en su tubería, pero el medidor de Orificio siposee una pérdida de fricción considerable, debido a su estructura interna.

En la Gráfica No. 5 se muestra la relación existente entre el coeficiente de

descarga de los medidores de Orificio y Venturi en función del Número de

Reynolds. Para ambos medidores el comportamiento es directamente

proporcional, el coeficiente de descarga para el medidor de Venturi fue mayor que

el coeficiente de descarga para el medidor de Orificio, esto diferencia fue

constante al aumentar el Número de Reynolds del fluido.

El efecto de los errores en los cálculos realizados es insignificante y no interfiere

con los resultados obtenidos.




José David Barrera Lucas

200915387


La calibración de los medidores de flujo presentó relaciones entre el flujo másicomedido por el Rotámetro y la altura de los medidores de Vertedero y de Ranura dela misma manera se observaron relaciones matemáticas al analizar la caída depresión, caída de presión de recuperación y el coeficiente de descarga delmedidor de Venturi y de Orificio.

La Gráfica no. 1 mostró la tendencia proporcional del flujo másico respecto alaumento de la Altura de Rotámetro, su comportamiento no es lineal debido a laincerteza con la que se midió la masa y el tiempo durante la realización de lapráctica es significativa debido a la sensibilidad de los instrumentos no fue laadecuada.

La Gráfica no. 2 mostró la comparación de la tendencia proporcional de la alturadel medidor de Vertedero y de Ranura respecto al aumento del flujo másicomedido por el Rotámetro. La escala con la que el medidor de Ranura es muchomenor al compararlo con el medidor de Vertedero debido a que el medidor de




Vertedero mide la pared de agua formada dentro del depósito a diferencia del deRanura que mide la altura del agua dentro de un deposito circular hasta ciertonivel.

La grafica no. 3. Mostró la comparación de la tendencia proporcional de la caída

de presión del medidor de Venturi y el medidor de Orifico respecto al Número deReynolds. La disminución de la presión en el medidor de Orificio es menorrespecto a la caída de presión del medidor de Venturi, esto es muestra delaumento de la velocidad por parte del medidor de Venturi.

La gráfica no. 4. Mostró el comportamiento de la tendencia proporcional de lacaída de presión de recuperación del medidor de Venturi y el medidor de Orificiorespecto al aumento de Número de Reynolds. La recuperación en el medidor deVenturi presentó la tendencia constante lo que indicó que la perdida de energía deeste medidor en relación al medidor de Orificio es menor.

La gráfica no. 5. Mostro el comportamiento de la tendencia proporcional delCoeficiente de Descarga del medidor de Venturi y el medidor de Orifico al aumentodel Número de Reynolds. Los valores del Coeficiente de Descarga para el medidorde Orificio presentó valores menores en comparación al Coeficiente de Descargadel medidor de Venturi, esto indicó que se produce mayor pérdida de energía porel medidor de Orificio por su forma geométrica que al utilizar el medidor de Venturi.

En base al análisis de error se obtuvo valores de incerteza para el Número deReynolds menores 12%, el medidor de Venturi presentó mayor incerteza en la

caída de presión respecto al medidor de Orificio. Las gráficas no. 11 mostró elporcentaje de incerteza del Número de Reynolds el cual disminuye con la alturadel rotámetro, la gráfica no. 12 mostró el comportamiento de la incerteza delmedidor de Orificio y de Venturi.




Carlos Alberto Avalos Pérez

200815533


Según lo observado en la gráfica No. 1, el valor del flujo másico con respecto la altura del

rotámetro no presentó una tendencia uniforme, con lo cual se debió a las variaciones

presentadas en el flujo a lo largo de la práctica. El modelo matemático que más se

aproximó al comportamiento obtenido de la curva de calibración fue polinomial de grado 6.

La gráfica No. 2 presenta los valores de las alturas promedio de los medidores, indicando

que el medidor de Venturi presentó una mayor caída de presión al tener una diferencia de

altura mayor que para el medidor de orificio, lo cual se observa en la gráfica No. 3 en la

cual están las caídas de presión de ambos medidores a cada altura de rotámetro.




Debido a que el medidor de Venturi presentó una mayor caída de presión, el valor de la

presión de recuperación fue menor, a diferencia del medidor de orificio que tuvo mayor

presión de recuperación, como se puede observar en la gráfica No. 4. Se observa que lapresión de recuperación del medidor de Venturi permaneció relativamente constante a lo

largo de la práctica, mientras que la presión de recuperación del medidor de orificio fue en

aumento al aumentar la altura del rotámetro. Se determinó que a mayor caída de presión,

la presión de recuperación tuvo un valor menor.

La gráfica No. 5 presentó el valor del coeficiente de descarga de los medidores,

observándose que el medidor de Venturi tuvo mayores valores del coeficiente dedescarga en comparación con el medidor de orificio, lo cual indica que el primero fue más

eficiente. El valor de los coeficientes de descarga fue en aumento al aumentar la altura del

rotámetro.

Cynthia Lisbeth Fuentes Joachín

200819142


En presente informe tiene como fin el estudio practico de la calibración de

medidores de flujo en un sistema de tuberías , para ello se utilizó un sistema que

consistía en cuatro medidores , un medidor de orificio y un medidor de venturi los

cuales son medidores de carga variable los cuales trabajan mediante restricciones

en el flujo lo que causa una variación en la carga de presión del sistema y según la

magnitud de la variación de la presión que es tomada por una serie de

manómetros conectados en tres posiciones (entrada, garganta y recuperación) es

posible relacionar el caudal del fluido a la cantidad de pérdida de presión , además

en el sistema se encontraba un medidor de ranura y un vertedero los cuales

poseen principios de funcionamiento parecidos ya que ambos relacionan el caudal




del fluido con una marca de nivel que el fluido logra en la escala que se encuentra

en el medidor , la diferencia entre ambos medidores se encuentra en la posición y

tipo de canal que se tiene ya que el vertedero toma una posición horizontal y se

trabaja en canales abiertos mientras que el medidor de ranura se encuentra ensentido vertical en canales cerrados .

Para llevar a cabo la práctica se utilizó un medidor como patrón de las

mediciones, en este caso el rotámetro el cual cuenta con medidas de unidades de

rotámetro y un manómetro diferencial que provee una diferencia de presión

medible en milímetros de mercurio, con las cuales se fijaron los flujos de cada

corrida. Al trabajar con los diferentes caudales se pudo obtener una serie de datos

de presiones y niveles de cada medidor los cuales permiten crear una relación

gráfica la cual nos provee un modelo matemático el cual nos indica el caudal en

medidas de unidades de rotámetro , diferencia de presiones y marcas de alturas

en los diferentes medidores.

En la grafica número uno referente a la calibración del vertedero y el

medidor de ranura podemos observar que ambos medidores tienen el mismo

comportamiento, entre más se aumenta el flujo másico del sistema mayor es la

medida de cada medidor , esto es debido a que ambos medidores permiten ciertacantidad de paso del fluido y entre más flujo se presenta aumenta el nivel en el

medidor al sobrepasar la cantidad que puede manejar el medidor el cual al subir

de nivel aumenta su capacidad de paso de flujo.

Observando la grafica número dos referentes a la calibración del medidor

de orificio y medidor de venturi podemos observar una relación directamente

proporcional ya que al aumentar el flujo en el sistema también lo hace así la

variación o perdida de presión en el sistema (presión entre la entrada y la garganta

del medidor) , entre los dos medidores de carga variable se puede denotar que el

medidor de orificio presenta una mayor pérdida de presión a los mismos valores

de flujos que el venturi , esto es debido a que el medidor de orificio presenta una

contracción y expansión súbita del flujo al entrar y salir el flujo por del medidor , en




cambio el venturi posee una contracción y expansión gradual lo cual evita la

perdida de energía (presión) en el sistema.

En las grafica número tres referentes a la relación entre pérdida de presiónde la entrada y la garganta de los medidores de orificio y venturi respecto al

número de Reynolds, la relación de la fuerza de inercia sobre un elemento de

fluido a la fuerza viscosa, (Ref No.3 pág No.231).Se encuentra una relación

directamente proporcional , al aumentar la perdida de presión aumenta el número

de Reynolds , esto se debe a que cuando aumenta el número de Reynolds

aumenta en la velocidad del flujo al mantenerse el mismo fluido en el sistema, de

igual forma al haber más flujo por el medidor se crea una mayor pérdida de

presión en el orificio que en el medidor de venturi .

En la relación entre presión de recuperación respecto al número de

Reynolds que se denotan por la gráfica número cuatro se observa que la pérdida

que se presenta cuando el flujo recupera estabilidad nuevamente en el sistema es

mucho menor que la que se presenta en la restricción del medidor en el flujo ,

siendo menor la caída de presión para el Venturi al aumentar el flujo del fluido ,

esta es la característica con la cual se utiliza el Venturi en la industria, siendo nomayor a 3.5 mmHg el valor máximo de cambio de presión entre la entrada y la

recuperación del flujo , y de 11mmHg aproximadamente para el medidor de orifico

el cual es mucho mayor debido a la expansión abrupta que posee.

En las gráfica cinco se muestra el coeficiente de descarga para los

medidores de orificio y venturi, los cuales muestran valores oscilantes en un rango

de 980 - 1980, lo que indica que el fluido al pasar por estos medidores perdieronenergía, al alejarse de su idealidad que lo representa un valor de 1.

En los flujos escogidos para desarrollar la práctica se determinó que el

régimen del flujo era turbulento, lo cual se verifico teóricamente al obtener los




números de Reynolds para cada corrida que era superiores a cuatro mil. (Ref No.3

pág No.231)

En las gráficas número once y doce podemos observar que el medidor deVenturi presenta una menor caída de presión con respecto al medidor de orificio,

teniendo una mayor incerteza, mientras que el medidor de orificio presenta valores

de incerteza muy bajos respecto a los valores de la caída de presión.

En la tabla numero 12 podemos ver que el porcentaje de incerteza obtenido

presenta valores inferiores al 12% esto nos indica que la incerteza fue mayor al

disminuir la altura del sistema, concluyendo que se acepta la hipótesis alternativa.

CONCLUSIONES

1. La hipótesis científica planteada fue comprobada y aceptada de acuerdo a

los resultados.

2. El medidor de flujo con mayor jerarquía metrológica es el rotámetro.

3. La curva de calibración del rotámetro fue la base para elaborar las demás

curvas de calibración de los medidores restantes.




4. Todas las curvas de calibración presentaron un comportamiento

directamente proporcional entre su parámetro de medida y el flujo másico

del agua.

5. Los caudales utilizados en el sistema variaron en un rango de 0.15 m3 / s y

0.65 m3 / s.

6. El Coeficiente de Descarga en los Medidores de Orificio y Venturi fue

directamente proporcional al Número de Reynolds del agua en el sistema.

7. Los errores por incertidumbre y precisión no influyeron en los resultados

obtenidos.

RECOMENDACIONES

1. Se recomienda cambiar la escala de medición de papel del medidor de

Vertedero por una escala de plástico, con el propósito de usar un material

impermeable que no se dañe con el agua, porque dificulta la toma de

alturas en este medidor.

2. Se recomienda reparar y habilitar el hidrómetro del sistema, para contar con

un medidor de flujo adicional, y comprobar si este puede llegar a ser el

medidor con mayor jerarquía metrológica.




3. Se recomienda investigar sobre la inclusión de otros tipos de medidores de

flujo al sistema, como el medidor de Pitot o un medidor de Flujo de Turbina,

de esta forma se ampliará el criterio y conocimiento sobre los parámetros

de los diferentes medidores de flujo.

4. Se recomienda habilitar la posibilidad de trabajar con un fluido distinto al

agua, como un aceite, para elaborar diferentes curvas de calibración en

rotámetros, y ver el efecto de la viscosidad de los diferentes fluidos en el

rotámetro.

5. Se recomienda elaborar un cronograma de limpieza para los medidores de

flujo, para evitar medidas erróneas debidas a incrustaciones de precipitados

y moho dentro de los medidores.

METODOLOGÍA DE CÁLCULO

1. Calcular el flujo másico

Ecuación no. 1.

Fuente: Reporte no. 4. Bibliografía. Referencia no. 1

Donde

= Flujo másico (kg/s)




m = masa del agua (kg)

t = tiempo (s)

Ejemplo no. 1. Determinar el flujo másico si la masa del agua fue 0,816 kg y el

tiempo de 5 s; (Datos tomados de la tabla no. 1 de la hoja de recolección de datos,

de la sección de anexos).

Nota: con el mismo procedimiento se calculó el resto de los datos obtenidos en el

laboratorio.

2. Cálculo del flujo volumétrico

Ecuación no. 2.


Donde

= Flujo volumétrico (m^3/s)

= Flujo másico (kg/s)

p = Densidad (kg/m^3)

Ejemplo no. 2. Determinar el flujo volumétrico para el flujo de 0,163 kg/ssuponiendo la temperatura del agua a 25 ºC con densidad de 997m^3/kg (Datos

tomados de la tabla no. 13. De la sección de anexos)




Nota: con el mismo procedimiento se calculó el resto de los resultados.

3. Calculo de la velocidad lineal de flujoEcuación no. 3


Donde

= Velocidad lineal (m/s)

= Flujo volumétrico (m^3/s)

= Área transversal del tubo (m^2)

Ejemplo no. 3. Determinar la velocidad de flujo para el flujo volumétrico de

, si el área transversal del tubo es de 5,10 E-04 m^2 (Datos

tomados de la tabla no. 12. De la sección de anexos)

Nota: con el mismo procedimiento se calculó el resto de los resultados

4. Cálculo para determinar el Número de Reynolds.

Ecuación no. 4





Donde

Re = Número de Reynolds



= Diámetro interno (m)

= Viscosidad dinámica (Pa-s)

Ejemplo no. 4. Determinar el Número de Reynolds para la velocidad de 0,32 m/s siel diámetro es de 2,54 E-03 m, tomando la temperatura del agua a 25 ºC con una

densidad de 997 kg/m^3 y la viscosidad dinámica de 8,91E-04 Pa-s (Datos

tomados de la tabla no. 12 y no. 13. De la sección de anexos)

Nota: con el mismo procedimiento se calculó el resto de los resultados

5. Cálculo de la caída de presión para el medidor de Venturi

Ecuación no. 5

( )

Fuente: Reporte no. 4. Bibliografía. Referencia no.

Donde

= caída de presión (Pa)

= Peso específico del mercurio (N/m^3)




= Peso específico del agua (N/m^3)

= Altura de garganta (m)

= Altura de entrada (m)

Ejemplo no. 5. Determinar la caída de presión si la altura de la garganta fue 7E-03

m y la altura a la entrada fue de -3E-03 m, suponiendo la temperatura del agua a

25 ºC con un peso específico de 9771 N/m^3 y el peso específico del mercurio de

133280 N/m^3 (Datos tomados de la tabla no. 13. De la sección de anexos).

( )

Nota: con el mismo procedimiento se calculó la caída de presión para las cinco

corridas realizadas durante la práctica. Para el medidor de Venturi y de Orifico.

6. Cálculo de la caída de presión de recuperación para el medidor de Venturi.

Ecuación no. 6

( )( )


Donde


= Peso específico del mercurio (N/m^3) = Peso específico del agua (N/m^3)

= Altura de recuperación (m)

= Altura de entrada (m)




Ejemplo no. 5. Determinar la caída de presión si la altura de la garganta fue -3E-03

m y la altura a la entrada fue de -3E-03 m, suponiendo la temperatura del agua a

25 ºC con un peso específico de 9771 N/m^3 y el peso específico del mercurio de

133280 N/m^3 (Datos tomados de la tabla no. 13. De la sección de anexos). ( )

Nota: con el mismo procedimiento se calculó la caída de presión para las cinco

corridas realizadas durante la práctica. Para el medidor de Venturi y de Orificio.

7. Cálculo del coeficiente de descarga para el medidor de Venturi.

Ecuación no. 7

√

√


Donde

Co = Coeficiente de descarga


= Diámetro de garganta u orifico (m)

D = Diámetro del tubo (m)






Ejemplo no. 7. Determinar el coeficiente de descarga para la caída de presión de

, para la velocidad de 0,36 m/s; el diámetro de la garganta es de 1,46

E-02 m y el diámetro del tubo de 2,54 E-02 m. Suponer la temperatura del agua a

25 º C con una densidad de 997 kg/m^3.

Nota: con el mismo procedimiento se calculó el coeficiente de descarga para el

medidor de Venturi y para el medidor de Orificio.

ANALISIS DE ERROR

Gráfica No.

Porcentaje de incerteza del número de Reynolds para cada altura de rotámetro




Fuente: Análisis de error, Datos calculados, Resultados

Tabla No.

Errores por incerteza para el número de Reynolds a cada altura de rotámetro

Altura deRotámetro Incerteza en elflujo másico (kg/s) Incerteza en lavelocidad lineal (m/s) Incerteza en elnúmero de Reynolds

110 0.018368 0.036124058 102.67098

120 0.018188 0.035770055 101.6648401

130 0.018186 0.035766122 101.6536608

140 0.018182 0.035758255 101.6313021

150 0.018182 0.035758255 101.6313021

160 0.017746 0.034900781 99.19420787

170 0.017512 0.034440577 97.8862261

180 0.01731 0.034043306 96.75711362

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

100 120 140 160 180 200 220 240 260

P o r c e n t a j e d e i n c e r t e z a d l e

n ú m e r o d e

R e y n o l d s

Altura del rotámetro




190 0.017278 0.033980372 96.57824432

200 0.016572 0.032591893 92.63194032

210 0.016372 0.032198556 91.51400717

220 0.015812 0.031097213 88.38379437

230 0.015464 0.030412807 86.4385907

240 0.014032 0.027596515 78.43418939

250 0.01365 0.026845242 76.29893708


Gráfica No.

Porcentaje de incerteza en la caída de presión para los medidores de flujo





Tabla No.

Incerteza en la caída de presión para los medidores de flujo

Altura deRotámetro

Incerteza enla caída de

recuperaciónpara el

medidor deorificio

Porcenajede

incertezapara la

caída depresión enel medidorde orificio

Incerteza enla caída de

presión parael medidorde Venturi

Porcentajede

incertezaen la

caída depresión

delmedidor

de Venturi

120 4.149656645 0.26% 26.25906712 53.15%

140 4.124343131 0.18% 222.8190779 90.20%

160 2.39327542 0.08% 466.5421118 94.43%

-20.00%

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

100 120 140 160 180 200 220

P o r c e n t a j e d e i n c e r t e z a

Altura de rotámetro

Medidor de orificio

Medidor de Venturi




180 0.876027132 0.02% 369.3164955 93.44%

200-

1.204890354-0.02% 369.3164955 93.44%


El porcentaje de incerteza obtenido para el cálculo del número de Reynolds encada altura del rotámetro tuvo valores inferiores al 12%, que fueron en decrementoal ir aumentando la altura del rotámetro. Este comportamiento indicó que laincerteza fue mayor al disminuir la altura del sistema.

Se determinó que el medidor de Venturi, a pesar de tener una caída de presiónmenor con respecto al medidor de orificio, tuvo una incerteza mayoraproximándose al valor de la caída de presión, mientras que el medidor de orificiopresentó valores de incerteza muy bajos con respecto a los valores de la caída depresión. Se obtuvo que a mayor caída de presión existió menor incerteza para losmedidores según los datos de incerteza obtenidos para la práctica realizada.

Fuentes de error

Los tiempos utilizados para calcular el flujo másico del sistema fueron muypequeños y necesitaron mediciones rápidas que dieron lugar a errores en lamedición.

La lectura de la masa para la obtención del flujo másico fue aproximadadebido a que los valores obtenidos fueron relativamente pequeños para laescala de la balanza.

El rotámetro presentó variaciones a lo largo de toda la práctica quemodificaron la altura y el flujo con el cual se estuvo trabajando en cadacorrida.




Recomendaciones

Deben tomarse tiempos adecuados al momento de medir el flujo másico en

cada altura de rotámetro para impedir variaciones significativas en losdatos. El manejo de la llave del rotámetro debe estar monitoreado durante toda la

práctica para evitar cambios en la altura del mismo y corregirlos. Debe realizarse una lectura adecuada en los manómetros al tomar los

datos de las alturas en los medidores.




DIAGRAMA DEL PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL REALIZADO

INICIO

NOPapel milimitrado enbuenas condiciones

Reemplazarlocon unonuevo

SI

Ruta circulación delagua ya definida

Definir ruta decirculación

siepre con unasalida de agua

NO

SI

Rotámetro limpio Limpiarrotámetro

NO

SI

Cambiar aguadel tanque

Inicio corridaNO

SI

B

Cerrar la válvulade salida

A

Abrir todas lasválvulas de pasopara que el agua

siga la ruta definida




A

¿Válvula de salidacerrada?

SI

NO Cerrar

la

válvula

Arrancarla bomba

Abrir

válvulade salida

Definir altura

del rotàmetro

Esperar tiempot min para

estabilizar

t = 3 minutos

SI

NO

Esperar

C

B




C

Realizar la medición de las caídasde presión y/o alturas en todos los

medidores de flujo en la ruta definida

Establecer con una cubeta la cantidad de líquido quepasa por el sistema a la altura de referencia del

rotámetro establecida. Tomando el tiempo en que elagua llega a la marca establecida en la cubeta.

D

∆P, h

Realizar 5 repeticiones de las mediciones de la altura del rotámetro, las caídasde presión y/o alturas y la cantidad de líquido por cubeteo que pasa en la ruta

establecida respecto a 5 diferentes alturas del rotámetro

¿5 repeticiones con cadaaltura del rotámetro (5

alturas)?

NO

SI

Apagarla

bomba




Símbolo Significado

Inicio o Fin

Operación

Datos

Decisión

Conector

D

FIN

Cerrar la llavede salida de

agua

Limpiar elárea detrabajo




DATOS CALCULADOS

Tabla no. 1. Flujo másico

Abertura de la Válvula (%) Altura de Rotámetro Masa (kg) Tiempo (s) Flujo másico (kg/s)

44 110 0,816 5 0,163

48 120 0,906 5 0,181

52 130 0,907 5 0,181

56 140 0,909 5 0,182

60 150 0,909 5 0,182

64 160 1,127 5 0,225

68 170 1,244 5 0,249

72 180 1,345 5 0,269

76 190 1,361 5 0,272

80 200 1,714 5 0,34384 210 1,814 5 0,363

88 220 2,094 5 0,419

92 230 2,268 5 0,454

96 240 2,984 5 0,597

100 250 3,175 5 0,635

Fuente: Reporte no. 4. Metodología de cálculo. Inciso no. 1.

Tabla no. 2. Altura promedio para el medidor de Ranura

Altura de

Rotámetro

Altura 1

(mm)

Altura 2

(mm)

Altura 3

(mm)

Altura 4

(mm)

Altura 5

(mm)

Altura promedio

(mm)

120 42 46 50 50 52 48,00

140 50 51 51 52 53 51,40

160 55 54 54 55 56 54,80

180 60 62 62 60 60 60,80

200 70 65 65 65 66 66,20

Fuente: Reporte no. 4. Anexos. Tabla de Recolección de Datos. Tabla no. 4.

Tabla no. 3. Altura promedio para el medidor de Vertedero

Altura de

Rotámetro

Altura 1

(mm)

Altura 2

(mm)

Altura 3

(mm)

Altura 4

(mm)

Altura 5

(mm)

Altura promedio

(mm)

120 103 104 104 103 103 103,40

140 113 115 115 112 114 113,80

160 128 129 128 125 127 127,40

180 143 140 140 137 143 140,60

200 153 155 155 154 155 154,40




Fuente: Reporte no. 4. Anexos. Tabla de Recolección de Datos. Tabla no. 5.

Tabla no. 4. Flujo volumétrico y Velocidad lineal del agua

Flujo másico

(kg/s)

Densidad w

(kg/m^3)

Flujo volumétrico

(m^3/s)

Área Transversal

(m^2)

Velocidad Lineal

(m/s)

0,163 997 1,637E-04 5,10E-04 0,321

0,181 997 1,817E-04 5,10E-04 0,356

0,181 997 1,819E-04 5,10E-04 0,357

0,182 997 1,823E-04 5,10E-04 0,358

0,182 997 1,823E-04 5,10E-04 0,358

0,225 997 2,261E-04 5,10E-04 0,443

0,249 997 2,495E-04 5,10E-04 0,489

0,269 997 2,698E-04 5,10E-04 0,529

0,272 997 2,730E-04 5,10E-04 0,535

0,343 997 3,438E-04 5,10E-04 0,674

0,363 997 3,639E-04 5,10E-04 0,714

0,419 997 4,201E-04 5,10E-04 0,824

0,454 997 4,550E-04 5,10E-04 0,892

0,597 997 5,986E-04 5,10E-04 1,174

0,635 997 6,369E-04 5,10E-04 1,249

Fuente: Reporte no. 4. Metodología de cálculo. Inciso no. 2 y no. 3.

Tabla no. 5. Número de Reynolds

Velocidad Lineal (m/s) Diámetro Interno (m) Viscosidad Dinámica (Pa-s) Número de Reynolds

0,321 0,00254 8,91E-04 912,23

0,356 0,00254 8,91E-04 1012,85

0,357 0,00254 8,91E-04 1013,97

0,358 0,00254 8,91E-04 1016,20

0,358 0,00254 8,91E-04 1016,20

0,443 0,00254 8,91E-04 1259,91

0,489 0,00254 8,91E-04 1390,71

0,529 0,00254 8,91E-04 1503,62

0,535 0,00254 8,91E-04 1521,51

0,674 0,00254 8,91E-04 1916,14

0,714 0,00254 8,91E-04 2027,93

0,824 0,00254 8,91E-04 2340,95




0,892 0,00254 8,91E-04 2535,47

1,174 0,00254 8,91E-04 3335,91

1,249 0,00254 8,91E-04 3549,44


Tabla no. 6. Caída de presión para el medidor de Orificio

Caída de

presión 1 (Pa)

Caída de

presión 2 (Pa)

Caída de

presión 3 (Pa)

Caída de

presión 4 (Pa)

Caída de

presión 5 (Pa)

Caída de presión

promedio (Pa)

2223,16 2470,18 2470,18 2470,18 2470,18 2420,78

3334,74 3581,76 3458,25 3581,76 3458,25 3482,954693,34 4446,32 4446,32 4693,34 4816,85 4619,24

6051,94 6298,96 6422,47 6545,98 6545,98 6373,06

8275,10 8151,59 8275,10 8522,12 8398,61 8324,51


Tabla no. 7. Caída de presión de recuperación para el medidor de Orificio

Caída de

presión de

recuperación 1(Pa)

Caída de

presión de

recuperación 2(Pa)

Caída de

presión de

recuperación 3(Pa)

Caída de

presión de

recuperación 4(Pa)

Caída de

presión de

recuperación 5(Pa)

Caída de presión

de recuperación

promedio (Pa)

1482,11 1605,617 1605,617 1605,617 1605,617 1580,92

2099,65 2346,671 2223,162 2346,671 2346,671 2272,57

2964,22 2964,216 2964,216 3087,725 3211,234 3038,32

3705,27 3952,288 4199,306 4322,815 4322,815 4100,50

5310,89 5310,887 5310,887 5557,905 5557,905 5409,69


Tabla no. 8. Caída de presión para el medidor de Venturi

Caída de

presión 1 (Pa)

Caída de

presión 2 (Pa)

Caída de

presión 3 (Pa)

Caída de

presión 4 (Pa)

Caída de

presión 5 (Pa)

Caída de presión

promedio (Pa)

1235,09 1235,09 1235,09 1358,60 1235,09 1259,79

1976,14 1605,62 1976,14 1852,64 1729,13 1827,93

2840,71 2470,18 2593,69 2593,69 2593,69 2618,39

3581,76 3458,25 3087,73 3581,76 3581,76 3458,25




4569,83 4446,32 4446,32 4569,83 4446,32 4495,73


Tabla no.9. Caída de presión de recuperación para el medidor de Venturi

Caída depresión de

recuperación 1

(Pa)


recuperación 2

(Pa)


recuperación 3

(Pa)


recuperación 4

(Pa)


recuperación 5

(Pa)

Caída de presión

de recuperación

promedio (Pa)

0 123,509 0 123,509 0 49,4036

123,509 0 494,036 370,527 247,018 247,018

617,545 370,527 617,545 370,527 494,036 494,036

247,018 370,527 370,527 494,036 494,036 395,2288

494,036 370,527 370,527 247,018 494,036 395,2288


Tabla no. 10. Coeficiente de descarga para el medidor de Venturi

Velocidad

Lineal (m/s)

Caída de presión

promedio (Pa)

Diámetro de

garganta (m)

Diámetro

tubo (m)

Densidad w

(kg/m^3)

Coeficiente de

Descarga

3,56E-01 1259,79 1,49E-02 2,50E-02 997 2,10E-01

3,58E-01 1827,93 1,49E-02 2,50E-02 997 1,75E-01

4,43E-01 2618,39 1,49E-02 2,50E-02 997 1,81E-015,29E-01 3458,25 1,49E-02 2,50E-02 997 1,88E-01

6,74E-01 4495,73 1,49E-02 2,50E-02 997 2,10E-01


Tabla no. 11. Coeficiente de descarga para el medidor de Orificio

Velocidad

Lineal (m/s)

Caída de presión

promedio (Pa)

Diámetro de

garganta (m)

Diámetro

tubo (m)

Densidad w

(kg/m^3)

Coeficiente de

Descarga

3,56E-01 2420,78 1,50E-02 2,50E-02 997 1,51E-01

3,58E-01 3482,95 1,50E-02 2,50E-02 997 1,26E-014,43E-01 4619,24 1,50E-02 2,50E-02 997 1,36E-01

5,29E-01 6373,06 1,50E-02 2,50E-02 997 1,38E-01

6,74E-01 8324,51 1,50E-02 2,50E-02 997 1,54E-01


Gráfica no. 6. Flujo másico respecto a la Altura del rotámetro




Color Modelo Matemático R^2 Intervalo de Validez

-3E-12x6 + 3E-09x5 - 1E-06x4 + 0,0003x3 -

0,042x2 + 2,8197x - 77,3010,991

110 – 250

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Tabla no.1

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

110 130 150 170 190 210 230 250

F l u j o M á s i c o ( k g / s )

Altura de Rotámetro




Gráfica no. 2. Alturas promedio para el medidor de Ranura y de Vertedero respecto al flujo

másico del rotámetro.


Ranura -4517,4x3 + 3253,5x2 - 642,66x + 86,154 0,97 0,17 kg/s – 0,34 kg/s

Vertedero 3999,2x3 - 4272,4x2 + 1673,9x - 78,438 0,97 0,17 kg/s – 0,34 kg/s

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Tabla no. 2 y no. 3.

45

65

85

105

125

145

0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 0.27 0.29 0.31 0.33 0.35

A l t u r a p r o m e d i o ( m m )

Flujo másico (kg/s)




Gráfica no. 3. Caída de presión respecto al Número de Reynolds


Orificio 9E-07x3 - 0,0056x2 + 13,647x - 7472,9 0,98 980 - 1980

Venturi-6E-06x3 + 0,0232x2 - 23,147x +

8718,6

0,97 980 - 1980

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Tabla no. 5, no. 6 y no. 8.

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

980.00 1080.00 1180.00 1280.00 1380.00 1480.00 1580.00 1680.00 1780.00 1880.00 1980.00

C a í d a d e p r e s i ó n ( P a )

Número de Reynolds




Gráfica no. 4. Caída de presión de recuperación para el medidor de Venturi y de Orifico

respecto al Número de Reynolds


Orificio -4E-06x3 + 0,0167x2 - 17,016x + 6419,3 0,97 980 - 1980

Venturi -5E-07x4 + 0,003x3 - 6,2032x2 + 5689x -

2E+06

1 980 - 1980

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Tabla no. 5, no. 7 y no. 9

0.00

1000.00

2000.00

3000.00

4000.00

5000.00

6000.00

980.00 1080.001180.001280.001380.001480.001580.001680.001780.001880.001980.00 C

a i d a d e p r e s i ó n d e r e c u p e r a c i ó n

( P a )

Número de Reynolds




Gráfica no. 5. Coeficiente de Descarga para el medidor de Venturi y de Orificio respecto al

Número de Reynolds.


Orificio 1E-10x3 - 5E-07x2 + 0,0007x - 0,2259 1 980 - 1980

Venturi 4E-11x3 - 1E-07x2 + 0,0002x + 0,0866 1 980 - 1980

Fuente: Reporte no. 4. Datos Calculados. Tabla no. 5, no. 10 y no. 11.

ANEXOS

Tabla no. 12. Datos sobre el sistema

Área Transversal (m^2)Diámetro de garganta

(m)Diámetro tubo (m)

5,10E-04 1,49E-02 2,50E-02

Fuente: Datos obtenidos del Laboratorio de Ingeniería Química Uno.

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

1.60E-01

1.80E-01

2.00E-01

2.20E-01

980.00 1180.00 1380.00 1580.00 1780.00

C o e f i c i e n t e d e D e s c a r g a

Número de Reynolds

Medidor de Venturí

Medidor de Orificio




Tabla no. 13. Datos sobre las Propiedades del Agua a 25 ºC.

Viscosidad Dinámica

(Pa-s)

Densidad w

(kg/m^3)

Peso Específico

(N/m) Hg

Peso Específico

(N/m) Water

8,91E-04 997 133280 9771Fuente: Reporte no. 4. Bibliografía. Referencia no. 1

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. Cengel, Yunus A. 2007.Intercambiadores de Calor. Capitulo no. 11. TerceraEdición. Editorial McGraw-Hill. México D.F. Pág. 13, 14 y 854

2. Christie J. Geankoplis, et.al. Procesos de Trasporte y Operaciones

Unitarias. (3ª Edicion; México: Compañía Editorial Continental S.A. 1998)

pp. 545-559.

3. McCabe, Warren L. Smith, Julian C. Harriott, Peter. 2007. Operaciones

Unitarias en Ingeniería Química. Capitulo no.11 y 15 Séptima Edición.

Editorial McGraw-Hill. Pág. 239-256

4. Mott, Robert L. 1996. Mecánica de fluidos aplicada. Capitulo no. 3. Cuarta

Edición. Editorial Pearson. México D.F. Pág. 55.

5. Robert L. Mott. Mecanica de Fluidos. (6ª Edición; Mexico: Editorial

Pearson Educación 2006)

6. Perry, Robert H. 1997. Manual del Ingeniero Químico de Perry. Tomo no.

11. Séptima Edición. Editorial McGraw-Hill. Pág. 10-11 – 10-17.




7. Robert H. Perry. Manual del Ingeniero Químico. (7ª Edición; México:

Editorial McGraw Hill Interamericana, 2007) cp.5 pp. 5.13-5.19, 5.24-5.27.

8. Warren L. McCabe, et. al. Operaciones Unitarias en Ingeniería Química.(4ª Edición; México: Editorial McGraw Hill Interamericana 2004) pp. 55-56,

88-94.

reporte cuatro

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