Repaso de teoría electromagnética Ecuaciones de Maxwell:

tBE∂∂

−=×∇ Faraday (inducción)

tDH∂∂=×∇ Ampérè (sin corriente 0=J )

0B∇⋅ = No existencia de mono-polos magnéticos 0D∇⋅ = Gauss (en ausencia de carga libre)

[ :mVE ] Campo eléctrico

[ :mAH ] Campo magnético (o excitación magnética)

[ ]:2mAsD Desplazamiento eléctrico

[ ]:2mVsB Inducción magnética

[ ]:2mAJ Densidad de corriente Ecuaciones constitutivas (Materiales) lineales

EJ σ= σ: conductividad; Ley de Ohm ED ε= εo: 8.8544x10-12 As/mV

ε: permitividad dieléctrica HB µ= µ: permeabilidad magnética

Relaciones generales:

MHB o += µ PED o += ε

:M Magnetización :P Polarización Flujo de energía Vector de Poynting: HES ×= En ausencia de corrientes, se cumple:

(Teorema de poynting) twS∂∂−=⋅∇ ( )J E+ ⋅ disipación

2 2E D H Bw ⋅ ⋅

= + : densidad volumétrica de Energía electromagnética

Integrando en un volumen,

Vencontenidaenergía

V

dvwdtddvS

V

∫∫ −=⋅∇

( )ˆ S

dS n ds Energíadt

⋅ = −∫

⋅ :n̂S

=

22 mWatt

smJ

en

s la cantidad de energía que atraviesa la unidad de área (en dirección ormal a la superficie) por unidad de tiempo

Los detectores promedian:

( ) ( ) [ ]2

0

ˆ ˆ1 mWattIntStdntST

T

=⋅=⋅∫ Intensidad o Irradiancia

Ejemplos:

tierralasobresolarI

≈ 1.4 KW/m2

= 1.4 x 103 W/m2 = 1.4 x 103 J/m2s

Láser de 1 mW; radio del spot r = 1 mm; superficie 262 1014.3 mr −×=π

226 / 3.0

1014.3 1 mKW

mmWI ≈×

≈⇒ −

Detectores de intensidad de luz Parámetros a tener en cuenta: Tiempo de respuesta: TDetector ~ 10-10 s _ 10-8 s (depende del detector y el circuito) Respuesta espectral: respuesta en longitudes de onda, hay diferentes detectores para

distintas regiones del espectro Eficiencia cuántica (ρ): se define como el cociente entre el Nº de pares electrón-hueco

generados en el detector, sobre el Nº de fotones incidentes (para detectores basados en semiconductores) Corriente de oscuridad: es la corriente que se genera a pesar de que no hay fotones

incidentes, esta es proporcional al tiempo de medida (∝t) Offset: es un valor constante en el tiempo, pero proporcional al número de medidas

realizadas Relación señal/ruido: mínima intensidad de señal necesaria para poder ser detectada, a

pesar de la presencia de ruido (SNR umbral)

Ecuación de ondas: Partimos de las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones constitutivas. Hipótesis de trabajo:

- µ y ε independientes de E y H - Medios homogéneos (µ y ε independientes de tr , ) - No hay Fuentes 0=J , ρ = 0

tDH∂∂=×∇

( ) 2

2

2

2

tE

tDH

t ∂∂=

∂∂=×∇

∂∂ ε

( )2

2

H EHt t

µ µ µ∂ ∂∇× = ∇× =

∂ ∂ tε ∂∂

(1)

Por otro lado

tBE∂∂−=×∇

tBE∂∂×−∇=×∇×∇

tHE∂∂×∇−=×∇×∇ µ (2)

Sumando (1) y (2)

02

2=

∂∂+×∇×∇

tEE µε

( ) EEEE 22

0

−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇=

⇒ 02

22 =

∂∂−∇

tEE µε Ecuación de onda

En forma análoga se llega a 02

22 =

∂∂−∇

tHH µε ,

Si el material no es homogéneo,

(1)

2

2

tEE

tH

tH

tHE

∂∂−

×∇×∇=

∂∂×∇−

∂∂×−∇=

∂∂×−∇=×∇×∇

εµµ

µ

µµµ

Recordando ( )µµµ ln∇=∇

Por otro lado: ( ) ( )( ) EEEEE 22 ln ∇−⋅∇−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇ ε (2)

De (1) y (2) obtenemos

( )( ) ( ) ( )EEtEE ×∇×∇−⋅∇−∇=

∂∂−∇ µεµε lnln2

22

La misma ecuación se cumple para H

c=µε1

velocidad de la luz (radiación) en el medio

012

2

22 =

∂∂−∇

tE

cE ; 01

2

2

22 =

∂∂−

tH

cH∇ (3)

Ondas monocromáticas ( ) ( ) ( ϕω += trEtrE o cos , )

) (4)

( ) ( ) ( ψω += trHtrH o cos , En general, se tendrá una superposición de ondas monocromáticas

( ) ( ) ( ) ωϕωω ω dtrEtrE o∫+∞

∞−

+= cos ,,

ω: frecuencia angular [Hz] Sustituyendo (4) en (3) se obtiene:

( )ϕωω +−=∂∂ t

ctE

ccos1

2

2

2

2

2

( ) ( ) 0,, 22 =+∇ ωω rEkrE oo Ecuación de Helmholtz

ck ω≡ : número de ondas Notación compleja:

Resulta conveniente escribir

( ) ( ) ( )ϕω +−= tio erEtrE , ( ) ( ) ( )ψω +−= ti

o erHtrH , Las magnitudes físicas reales se obtienen

( ) ( )[ ]trEtrEE real ,,21 *+= ( ) ( )[ ]trHtrHH real ,,

21 *+=

Ecuación de ondas escalar Cuando no es importante el carácter vectorial de los campos: ( ) ( ) 0 22 =+∇ rEk o (1)

donde puede interpretarse como una componente cartesiana de ( )rEo E .

La razón es que si ( zyx EEEE ,,= ) se demuestra que para el caso de las coordenadas

cartesianas se puede escribir como: 2∇ ( )zyx EEEE 2222 ,, ∇∇∇=∇

Soluciones de la ec. de ondas

Onda plana: ( )( )

fase

trki

o eEtrE

,ω±⋅

= (2)

k : vector de onda Para que la parte especial de (2) sea solución de (1) es necesario

rkirkirkirki ekkeekie ⋅⋅⋅⋅ ⋅−=∇⇒=∇ 2 , la dirección k es arbitraria

2kkk =⋅c

k ω=⇒

Las superficies de fase constante se llaman frentes de onda. En este caso son planos perpendicular a k

Analíticamente: ctetrk o =−⋅ ω ec. de un plano perpendicular a k , a t fijo

_ ctetrk o =−⋅ ω k

rdr

rdr +O

( ) ctetrdrk o =−+⋅ ω

0=⋅ rk rdk ⊥⇒ ( rd está en el plano)

¿A qué velocidad viajan los frentes de onda?

( ) ( ) 0 ==−⋅dtctedtrk

dtd ω k rd

( )dttr +

( )trω=⋅

dtrdk ˆ drkk kc

dtω⋅ = =

ˆ drk cdt

⇒ ⋅ =

c es la proyección de dtrd en la dirección de k

O sea, es la velocidad a la que hay que moverse en dirección de k , para ver fase constante.

µε1=⇒ c es la velocidad de fase de la onda

Ondas esféricas:

( ) ( )trkio eE

rtrE 1, ω±⋅=

Las superficies de fase constante, son ahora esferas y se elige signo positivo o negativo según se trate de una entrante o saliente respectivamente. El término 1/r , es físicamente de esperar:

2EHES ∝×=

La energía que atraviesa (por unidad de tiempo) una esfera de radio r será: por conservación de la energía. Por lo quer 4 2 ∀= cteSrπ S tendrá que ser

proporcional a 1/r2

rE 1∝⇒