EJERCICIOS1. Ejercicios: graficar la funciones siguientes:

a) f ( x , y )=(x2− y2 )2

b) f ( x , y )= 1

1+ x2+ y2

c) f ( x , y )=sen (|x|+|y|)d) f ( x , y )=e

1x2+ y2

e) f ( x , y )=sen x+sen y

f) f ( x , y )= sen x sen yxy

2. x=-4:.01:4; y=sin(x); plot(x,y), grid, title('Función seno(x)')

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Función seno(x)

1. x= -2.9:0.2: 2.9; y=exp(-x.*x); plot(x,y)

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2. [X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);Z=X.^2.*Y;plot3(X,Y,Z)

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

4-15

-10

-5

0

5

10

15

f ( x , y )=x3+ y3

3. [X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);Z=X.^3.+Y.^3.;plot3(X,Y,Z)

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

4-40

-20

0

20

40

z=e x2+ y2

4. X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);Z=exp(X.^2.+Y.^2.);plot3(X,Y,Z)

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

40

1

2

3

4

5

x 105

z=√ x2+ y2

5. [X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);Z=sqrt(X.^2.+Y.^2.);plot3(X,Y,Z)

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

40

1

2

3

4

6. [X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);Z=sqrt(X.^2.+Y.^2.);plot3(X,Y,Z);mesh(X,Y,Z);surf(X,Y,Z)

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

40

1

2

3

4

7. [X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3); Z=sqrt(X.^2.+Y.^2.);plot3(X,Y,Z); mesh(X,Y,Z);surfc(X,Y,Z)

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

40

1

2

3

4

z=x2+ y2

8. [X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3); Z=X.^2.+Y.^2.; plot3(X,Y,Z);mesh(X,Y,Z);surf(X,Y,Z)

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

40

5

10

15

z= −3 y

x2+ y2+19. [X,Y]=meshgrid(-3:.2:3,-3:.2:3);

Z=-3.*Y./(X.^2.+Y.^2.+1.); plot3(X,Y,Z); mesh(X,Y,Z);surf(X,Y,Z)

-4-2

02

4

-3-2-10123

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

z=−xy e− x2− y2

10. [X,Y]=meshgrid(-3:.2:3,-3:.2:3); Z=-X.*Y.*exp(-X.^2.-Y.^2.); plot3(X,Y,Z);mesh(X,Y,Z);surfc(X,Y,Z)

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

f ( x , y )=( x2+3 x2)e−x2− y2

11. [X,Y]=meshgrid(-5:.2:5,-5:.2:5); Z=(X.^2.+3.*Y.^2.)*exp(-X.^2.-Y.^2.);plot3(X,Y,Z); mesh(X,Y,Z);surfc(X,Y,Z)

-5

0

5

-5

0

50

200

400

600

800

1. [X,Y]=meshgrid(-1:0.5:1);U=2*X;V=-X+Y;quiver(X,Y,U,V)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2. [X,Y]=meshgrid(-1:0.5:1);U=exp(X);V=-X+Y;quiver(X,Y,U,V)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

3. [X,Y]=meshgrid(-1:0.5:1);U=X;V=sqrt(X^2.+Y^2.);quiver(X,Y,U,V)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

4. [X,Y]=meshgrid(-1:0.5:1);Z=X+Y;[c,h]=contour(X,Y,Z);clabel(c,h)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5. Determina y grafica los contornos de un campo escalar y grafica una distribución vectorial de un campo de gradiente asociado.

% Gradient Example% Draws z-Contours and ThenPlots Gradient Vector Field>> v = -2:0.1:2;[x,y] = meshgrid(v);z = sqrt(x.^2 + y.^2);[px,py] = gradient(z,.2,.2);figure(1)contour(v,v,z,'linewidth',2)hold onquiver(v,v,px,py,'linewidth',1)hold offtitle('Gradient Plot');axis equal

Gradient Plot

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

6. Código de onda plana:[x,y]=meshgrid(5:0.05:15,-5:0.05:5);lambda=1;k=2*pi/lambda;f=3e8/lambda;w=2*pi*f;t=linspace(0,60e-9,200);%z=exp(i*k*abs(x+i*y));z=exp(i*k*x);for n=1:length(t)surf(x,y,real(z*exp(-i*w*t(n))));%view(ceil(90*n*1/length(t)),ceil(90*n*2/length(t)));view(3)zlim([-1.5 1.5])xlim([min(min(x)) max(max(x))])ylim([min(min(y)) max(max(y))])shading interpgetframe();end

5

10

15

-5

0

5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

7. f(x,y)=(x sen y, x cos y, y/3):X=linspace (0,2*pi,40);Y=linspace (-3 3, 20);[x,y]=meshgrid (X,Y);Surf (y.*sin (x), y.*cos (x), x./3);View (-50, 50);Axis ([-3 3 -3 3 0 2.*pi/3])

8. t=linspace(0,4*pi,1000);x=cos(t);y=sin(t);z=t/(2*pi); plot3(x,y,z);syms t; x=cos(t);y=sin(t);z=t/(2*pi); ezplot3(x,y,z,[0,4*pi])

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2

x

x = cos(t), y = sin(t), z = t/(2 )

y

z

9. t=linspace(0, 2*pi, 200);a = 10; b = 1.0; c = 0.3;x = b*cos(t);y = b*sin(t);z = c*cos(a*t);plot3(x, y, z, 'k')axis equal -0.5

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

-0.2

0

0.2

1. x=-8:0.5:8; y=-6:0.5:6; [X,Y]=meshgrid(x,y); r=sqrt(X.^2+Y.^2); Z=sin(r)./r; surf(X,Y,Z)

-10-5

05

10

-10

-5

0

5

10-0.5

0

0.5

1

1. x=-8:0.5:8; y=-3:0.5:3; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X.^2-Y.^2)./(X.^2+Y.^2); surf(X,Y,Z)

-10-5

05

10

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

1. x=linspace(-20,20,100); y=linspace(-20,20,100); z=linspace(-20,20,100); [X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z); %Se define Q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9Q= X.^2 +(Y.^2) +(Z.^2) -9; %Se representa la superficie de nivel Q(x,y,z)=0H=patch(isosurface(X,Y,Z,Q,0)); isonormals(X,Y,Z,Q, H); %Para dibujar la superficie en color rojo%e iluminada set(H, 'FaceColor', 'red', 'EdgeColor', 'none');daspect([1 1 1]) view(3)camlightlighting phongaxis equalxlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')

2. zz = linspace(0, 2*pi, 26); [x, y, z] = cylinder(1.1+sin(zz), 16); surf(x, y, z) axis off

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Actividad Experimental # 1: Grafica varias funciones paramétricas:a) r(u,t)={cos t (3+cos u), sen t (3+cos u), sen u}

[u v]=meshgrid(linspace(0,2*pi,40));surf(cos(u).*(3+cos(v)),sin(u).*(3+cos(v)),sin(v));view(-37.5,50);axis([-4 4 -4 4 -3 3])

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

-2

0

2

b) r(u,t)={cos tcos u, sen t cos u, sen u}U=linspace(0,2*pi-pi/4,40);V=linspace(-pi/2,pi/2-pi/4,40);[u v]=meshgrid(U,V);surf(cos(u).*cos(v),sin(u).*cos(v),sin(v));view(60,50);axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2 -1.2 1.2])

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.50

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

c) r(u,t)={sen t, cos t, u}U=linspace(0,2*pi,40);V=linspace(-3,3,20);[u v]=meshgrid(U,V);surf(sin(u),cos(u),v);

view(-37.5,50);axis([-2 2 -2 2 -3 3])

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-2

0

2

d) r(u,t)={u sen t, ucos t, t/3}U=linspace(0,2*pi,40);V=linspace(-3,3,20);[u v]=meshgrid(U,V);surf(v.*sin(u),v.*cos(u),u./3);view(-50,50);axis([-3.5 3.5 -3.5 3.5 0 2*pi/3])

-3-2

-10

12

3

-2

0

2

0

0.5

1

1.5

2

Actividad Experimental # 2: Dibuja el campo vectorial gradiente y campo direccional de:1. z=f (x , y )=x e−x

2− y2

, -1x1, -1y1[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);[px,py] = gradient(z,.2,.2);quiver(px,py)

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25

2. z=f (x , y )=√ x2+ y2, -1x1, -1y1[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);z = sqrt(x.^2 + y.^2);[px,py] = gradient(z,.2,.2);quiver(px,py)

-5 0 5 10 15 20 25-5

0

5

10

15

20

25

a) Representa el campo gradienteb) Grafica su campo direccional

Actividad Experimental # 3: Utilizando Matlab, dibuja el E( r) radial de:

Si: F(x, y, z) = x2 + y2 – 1=0, (cilindro circular de eje z y radio 1).

[X,Y] = meshgrid(cylinder(5,50));U = X^2;V = Y^2;W = 0.;subplot(1,2,1)for z = [-1,0,1]Z = z +0*X;quiver3(X,Y,Z,U,V,W)hold onendaxis imageActividad Experimental # 4: El campo de una onda plana uniforme es:

E ( r )=Eo ( j x− y+ j z )e− j√2 π (x+ z)

a) calcula su campo magnético correspondiente.b) ¿cuál es su frecuencia?c) grafique la forma de la onda en (a) con Matlabd) determine la forma del vector de poynting

Operadores diferenciales

Para describir el comportamiento de una magnitud vectorial en cada punto del espacio, hay que usar el concepto de campo vectorial, que es una función que asigna un vector a cada punto de R² o R3. En la práctica, expresamos un campo vectorial V en R2 de forma:

V(x,y)=u(x,y)i+v(x,y)j

Las funciones u y v, son funciones escalares llamadas componentes del campo V. para hacerse una idea visual del campo vectorial, se dibujan vectores V(x,y) en forma de flechas, en puntos seleccionados del dominio de V; un diagrama de este tipo es la gráfica de campo.

La gráfica de campo vectorial suministra información interesante sobre las propiedades de campo. Con Matlab, los campos vectoriales se representan con la instrucción quiver. Así, para representar campos vectoriales en R2 se utiliza la instrucción:

>>quiver (x,y,u,v)(o de forma más simple: quiver (u,v)), que dibuja los vectores de componentes u y v en los puntos (x,y). Este comando admite una versión más completa para definir una escala, especifiacaciones de línea y relleno que puede ser consultada ejecutando la sentencia: help quiver.

Ejemplos:1. Para obtener la gráfica del campo vectorial F(x,y)=-yi+xj en el cuadrado [-1,1]x[-1,1], se sigue:

>>[x,y]=meshgrid(-1:.5:1);>>u=-y;v=x;>>quiver(u,v), axis square>>legend(‘CAMPO CIRCULAR EN R^2’)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

CAMPO CIRCULAR EN R2

2. >> [x,y]=meshgrid(-1:.5:1);u=zeros(size(y));v=x;quiver(u,v)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

3. >> [x,y]=meshgrid(-1:.5:1);v=zeros(size(x));u=y;quiver(u,v)

-1 0 1 2 3 4 5 6 70.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

En la práctica, un campo vectorial V en R3 de componentes u,v,w se expresa en la forma:V(x,y,z)=u(x,y,z)i+v(x,y,z)j+w(x,y,z)k

Para representar campos vectoriales en R3 se utiliza la instrucción:>>quiver3(x,y,z,u,v,w)

Cuyo efecto es dibujar los vectores de componentes u, v, w en los puntos (x,y,z). Como en el caso bidimensional, admite una versión más completa para definir una escala, especificaciones de línea y relleno (help quiver 3).

Algunos ejemplos comunes de campos vectoriales en Física son los campos de velocidades, los campos de fuerza eléctrica y los campos gravitatorios. Éstos últimos vienen definidos por la Ley de Newton y son de la forma:

F ( x , y , z )= −Gm

(x2+ y2+z2 )32

(x i+ y j+z k )

Donde m es la masa y G es la constante de gravitación universal. Mediante el siguiente problema, vemos que un campo gravitatorio siempre apunta hacia el origen.