repaso de Álgebra (13)

7/25/2019 Repaso de lgebra (13)

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Citarcomo

Rodrguez

Nieto,

scar(2015)MtodosdeRegresin

A!icada,N

otasdeC!ase,

"ni#ersida

dde!RosarioMaestraen$conomade!as

%o!ticas%&'!icas

MTODOS DE REGRESIN APLICADA

esin 1 Reaso de *!ge'ra Matricia!

Facultad de Economa

Maestra en Economa de las Polticas Plicas


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Citarcomo

Rodrguez

Nieto,


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otasdeC!ase,

"ni#ersida


%o!ticas%&'!icas

CONTENIDO

+ectores geometra #ectoria! Caractersticas -eendencia !inea!

Matrices geometra matricia!.

/ios de matrices eraciones matricia!es Matriz in#ersa Matriz in#ersa genera!izada

Matrices simtricas, #ectores #a!ores caractersticos,descomosicin esectra!


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%o!ticas%&'!icas

!ECTORES


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!ECTOR

u es un #ector3 "n con4unto ordenado de e!ementos de in5ormacin

"n arreg!o de n&meros en donde cada uno de !os #a!ores reresenta unadimensin de in5ormacin.

6os #ectores ueden ser reresentados mediante una magnitud (o !ongitud),

as como una direccin en e! esacio (7ngu!o)


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%o!ticas%&'!icas

!ECTORES " CARACTER#STICAS

Dimensin 1

Dimensin2

$n un e4em!o de dos dimensiones, !os#a!ores de! #ector reresentan !ascoordenadas en un esacio 'idimensiona!

11x

=

12

11'

1 x

xx

12x

( )12111 xxx =


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%o!ticas%&'!icas


Dimensin 1

Dimensin2 6a magnitud o !ongitud de! #ector uede

ca!cu!arse usando e! /eorema de%it7goras

21x

11x

1L

2

21

2

111 xxL +=


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Rodrguez

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"ni#ersida


%o!ticas%&'!icas


Dimensin 1

Dimensin2 6a direccin se determina mediante e!

7ngu!o 8ue 5orma e! #ector resecto a!rimero de !os e4es

12x

11x

1L

2

12

2

111 xxL +=

1


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%o!ticas%&'!icas


Dimensin 1

Dimensin2 $! 7ngu!o uede ser ca!cu!ado mediante

identidades trigonomtricas.9gua!mente !as coordenadas ueden see:resadas en trminos de !a magnitud

e! 7ngu!o

1L

2

12

2

111 xxL +=

1

)( 1121 senLx =

)cos( 1111 Lx =

1

111)cos(

L

x=

1

121)(

L

xsen =


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Rodrguez

Nieto,

scar(2015)MtodosdeRegresinA!icada,N

otasdeC!ase,

"ni#ersida

dde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas

!ECTORES $ DEPENDENCIALINEAL

Cuando se tienen dos o m7s

#ectores uede ser interesantee:aminar !as re!aciones entre e!!os.%or e4em!o 8u tan !e4os o cercaest7n en e! esacio


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Rodrguez

Nieto,


otasdeC!ase,

"ni#ersida



Dimensin 1

Dimensi

n2

Cuando se tienen dos o m7s

#ectores uede ser interesantee:aminar !as re!aciones entre e!!os.%or e4em!o 8u tan !e4os o cercaest7n en e! esacio

212

2111 xxL +=

2

22

2

212 xxL +=

1

111)cos(

L

x=

1

121)(

Lxsen =

2

212 )cos(

L

x=

2

222 )(

Lxsen =

11x

1L

1

2L

2

21x

12x

22x


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"ni#ersida



Dimensin 1

Dimensi

n2

"na 5orma de e:aminar 8u tan !e4os

o cerca est7n dos #ectores en e!esacio es 8ue tan grande es !aroeccin de! uno so're e! otro.

1

2L

2

22x

)cos()()cos()()cos( 2112122 sensenL +=

1

12221121

21

1222

21

1121

2122 )cos( L

xxxx

LL

xx

LL

xx

LL

+

=

+=

1L

1

11

1)cos(

L

x=

1

121)(

Lxsen =

2

212 )cos(

L

x=

2

222 )(

Lxsen =

2

21

2

111 xxL +=2222122 xxL +=


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Rodrguez

Nieto,


otasdeC!ase,

"ni#ersida



Dimensin 1

Dimensi

n2

6a roeccin se ca!cu!a mediante

una oeracin denominada roductoesca!ar

1

2L

2

1

12221121122 )cos(

L

xxxxL

+=

1L

( ) 1222112122

21

121121 xxxxx

x

xxxx +=

=

1

21

L

xx =


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Rodrguez

Nieto,


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!ECTORES

Dimensin 1

Dimensi

n2

i dos #ectores #an en !a misma

direccin se dice 8ue son co!inea!eso !inea!mente deendientes, uesuno es m&!ti!o de! otro.

22x

12

1

1

2

2

1

1

21 =

==

L

L

L

L

L

La

L

xx

1L

2

2

2

22

2

2121 aLaxaxxx =+=

21x

( ) ( )

=

=

22

21

2221

22

21

121121x

xaxax

x

xxxxx

11x

12x

2L

21 xax = 21

L

La=


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Rodrguez

Nieto,


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"ni#ersida



Dimensin 1

Dimensi

n2

i dos #ectores 5orman un 7ngu!o

recto !a roeccin de! uno so're e!otro es cero se !e !!amaortogona!es.

22x

00

11

2

'

1 ==LL

xx

1L

21x

( ) 022

21

121121 =

=

x

xxxxx

11x

12x

2L


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RodrguezNieto,


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!ECTORES $ COM%INACINLINEAL

Dimensin 1

Dimensi

n2

i dos #ectores son !inea!mente indeendientes, se ueden com'inar

!inea!mente ara generar cua!8uier #ector de! esacio de dosdimensiones 8ue !os contiene

1X

1

2X

2

21x

12x

22x

11x

1aX

2bX

213 bXaXX +=


16/45Citarcomo

RodrguezNieto,


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Dimensin 1

Dimensi

n2

Distancia euclideana

tra manera de re!acionar #ectores

es mediante e! conceto de distancia

1L

1

2L

2

21x

12x

22x

11x


17/45Citarcomo

RodrguezNieto,


otasdeC!ase,



Dimensin 1

Dimensi

n2

Conjunto de puntos

A una distancia menor que c

c

1L

1

2L

2

21x

12x

22x

11x


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RodrguezNieto,

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nA!icada,N

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s%o!ticas%&'!icas

MATRICES

inteli'enciaarti(cialca)*+ord,ress*com-./0


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s%o!ticas%&'!icas

MATRICES

"na matriz es un arreg!o rectangu!ar de n&meros "na matriz es un con4unto ordenado de #ectores, !uegoes un #ector de #ectores


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o

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s%o!ticas%&'!icas

MATRICES

Dimensin 1

Dimensi

n2

6as matrices se reresentan en e!esacio a tra#s de !os #ectores 8ue!as comonen

21x

21x

22x

11x


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o

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s%o!ticas%&'!icas

MATRICES

/res #ectores en dos dimensiones

-os #ectores en tres dimensiones

6a matriz

%uede ser reresentada como

=

1

3

1

1

0

2

X

( )

( )

( )

=

11

30

12

X

=11

30

12

X


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o

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otasdeC!ase,


s%o!ticas%&'!icas

MATRICES

Dimensin 1

Dimensin2

/res #ectores en dos dimensiones

=11

30

12

X


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o

RodrguezNieto,


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otasdeC!ase,


s%o!ticas%&'!icas

MATRICES

Dimensin 1

Dimensin2

Dim

ensin3

=1130

12

X


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o

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"ni#ersid

adde!RosarioMaestraen$conomade!a

s%o!ticas%&'!icas

TIPOS DE MATRI1

sal2d*3acilisimo*com


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"ni#ersid


s%o!ticas%&'!icas

imtrica

Cuadrada

-iagona!

rtogona!

ingu!ar

TIPOS DE MATRI1

Rectangu!ar/ienen di5erente n&mero de 5i!as de co!umnas, or !o tantotienen di5erente numero de #ectores 8ue dimensiones en e!esacio en donde se reresentan

=

11

30

12

X


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Citarcom

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"ni#ersid


s%o!ticas%&'!icas

TIPOS DE MATRI1

imtrica

-iagona!

rtogona!

ingu!ar

Rectangu!ar

Cuadrada

/ienen igua! n&mero de 5i!as de co!umnas, or !o tantotienen igua! numero de #ectores 8ue dimensiones en e!esacio en donde se reresentan

=

111

030

012

X


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s%o!ticas%&'!icas

TIPOS DE MATRI1

Cuadrada

-iagona!

rtogona!

ingu!ar

Rectangu!ar

imtrica

$s una matriz cuadrada cuos #ectores 5i!a son igua!es a !os#ectores co!umna, su reresentacin es igua! en am'osesacios

=

211

130

102

X


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otasdeC!ase,

"ni#ersid


s%o!ticas%&'!icas

TIPOS DE MATRI1

imtrica

Cuadrada

rtogona!

ingu!ar

Rectangu!ar

-iagona!

$s una matriz simtrica 8ue s!o tiene #a!ores en !a diagona!or !o tanto sus #ectores coinciden con !os e4es de! esacioen donde se reresenta. 6a matriz identidad es un casoesecia!

=

100

030

002

X


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s%o!ticas%&'!icas

TIPOS DE MATRI1

imtrica

Cuadrada

-iagona!

ingu!ar

Rectangu!ar

rtogona!

$s una matriz cuos #ectores 5orman 7ngu!os de ;0 gradosentre s. 6as matrices diagona!es son un caso esecia! dematrices ortogona!es.


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"ni#ersid


s%o!ticas%&'!icas

TIPOS DE MATRI1

imtrica

Cuadrada

-iagona!

rtogona!

Rectangu!ar

ingu!ar

$s una matriz en donde a!guno(s) de sus #ectores uedeconstruirse como una com'inacin !inea! de !os otros. $sdecir 8ue un #ector est7 contenido en e! su'esacio 5ormadoor !os deende de e!!os (son !inea!mente deendientes)


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s%o!ticas%&'!icas

OPERACIONES CON MATRICES


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OPERACIONES

Mu!ti!icar

umar

9n#ersa

9n#ersagenera!izada

A! transones una matriz !as 5i!as se cam'ian a co!umnas #ice#ersa. 6a transuesta se denota con un suerndice / ocon una comi!!a

/ransoner

(< : 2) (2 :


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9n#ersagenera!izada

9n#ersa

Mu!ti!icar

/ransoner

OPERACIONES

%ara sumar dos matrices =a 8ue sumar !as coordenadas decada uno de sus #ectores. %or !o tanto ara sumar dosmatrices de'en tener !as mismas dimensiones

umar

=1130

12

1X

= 1305

31

2X

=

+

++++

=+22

35

23

1131

0350

3112

21 XX


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9n#ersagenera!izada

9n#ersa

umar

/ransoner

OPERACIONES

$! roducto esca!ar entre marices corresonde a! roductoesca!ar entre !os #ectores 5i!a de !a matriz 8ue remu!ti!ica !os #ectores co!umna de !a matriz 8ue ost mu!ti!ica. 6oscua!es de'en tener !as dimensiones adecuadas.

Mu!ti!icar

(< : 2) >(2 : 2)(2 :


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o

Rodrgue

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"ni#ersid


9n#ersagenera!izada

Mu!ti!icar

/ransoner

umar

OPERACIONES

9n#ertir una matriz es encontrar otra matriz 8ue a! remu!ti!icar!a oostmu!ti!icar!a de como resu!tado !a matriz identidad. 6as matrices8ue se ueden in#ertir son cuadradas (sea X de dimensiones :)

9n#ersa

$sto es mu &ti! cuando se tiene un sistema de ecuaciones se

8uiere conocer e! #a!or de !os coe5icientes

4

i ? no es singu!ar se uede remu!ti!icar a am'os !ados or !ain#ersa

=


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o

Rodrgue

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"ni#ersid


9n#ersa

Mu!ti!icar

umar

/ransoner

OPERACIONES

%ara in#ertir matrices rectangu!ares se ueden rea!izar dosasos rimero mu!ti!icar or su transuesta ara #o!#ercuadrada !a matriz !uego tomar !a in#ersa de dic=amu!ti!icacin.sea X de dimensiones (n : ) !a in#ersa genera!izada ser7 dedimensiones ( : n) generar7 una matriz identidad dedimensiones ( : ).

9n#ersagenera!izada

@( :n) :(n :) :@( : n) :(n :) > :

$si e! sistema de ecuaciones 8ue se 8uiere dese4ar tiene necuaciones con incgnitas se uede usar !a in#ersa genera!izada

=


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Citarcom

o

Rodrgue

zNieto,


otasdeC!ase,

"ni#ersid


DESCOMPOSICIN ESPECTRAL

)ocesdelostoda)ia,resentes*+ord,ress*com


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Citarcom

o

RodrguezNieto,


otasdeC!ase,


DESCOMPOSICIN ESPECTRAL

i a una matriz simtrica A de dimensiones pxp se !e ueden encontrar #ectores roios c #a!ores roios (raz caracterstica) 8ue cum!an con !asiguiente igua!dad

$ntonces !a matriz se uede descomoner de !a siguiente 5orma

B adem7s cum!an 8ue sean ortogona!es entre si su magnitud sea 1.iii cc =A

1= iicc 0= jicc

ppp cccccc +++= 222111A

DIAGONALI1ACIN DE 5NA


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Citarcom

o

RodrguezNieto,


otasdeC!ase,


DIAGONALI1ACIN DE 5NAMATRI1

i se unen todos !os #ectores caractersticos en una matriz C !os #a!orescaractersticos en !a diagona! de una matriz se cum!e 8ue

6a descomosicin se uede escri'ir como

B muc=as oeraciones com!e4as se =acen muc=o m7s senci!!as

ppp cccccc +++=

222111A

CCA =

CCA = 11

CCA = kk

==j

j)det()det(A


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Citarcom

o

RodrguezNieto,


otasdeC!ase,

"ni#ersidadde!RosarioMaestraen$conomade!

as%o!ticas%&'!icas

DISTANCIAS

Donus /racE


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Citarcom

o

RodrguezNieto,


otasdeC!ase,


DISTANCIA

Dimensin 1

Dimensin2

Conjunto de puntos

A una distancia menor que c

c

1L

1

2L

2

21x

12x

22x

11x


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Citarcom

o

RodrguezNieto,


otasdeC!ase,


6ORMAS C5ADR7TICAS

Dimensin 1

Dimensin2

El conjunto de puntos ovectores situados a una

distancia menor que c de un

vector

c

( ) 2

1

2 cxx

p

j

jij =

( ) ( ) 2c xxIxx

11x1x

2x


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Citarcom

o

RodrguezNieto,


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6ORMAS C5ADR7TICAS

Dimensin2 Conjunto de puntos

A una distanciaestadstica equivalente

( ) 21

2

cs

xxp

i i

ii

=

( ) ( ) 2c xxSxx 1

1x

=

2

2

2

21

10

01

0

000

1

ps

s

s

1S

2x


45/45

mo

ezNieto,


otasdeC!ase,

dadde!RosarioMaestraen$conomade!as%o!ticas%&'!icas

6ORMAS C5ADR7TICAS

Dimensin 1

Dimensin2

( ) 21

2

cs

xxp

i i

ii

=

( ) ( ) 2c xxSxx 1

11x

=

11

1

1

2

1

21

1

1

1

12

1

11

ppp

p

p

ss

ss

sss

1S

1x

2x

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