REPASO BLOQUE II: MATEMÁTICAS 2º ESO PENDIENTE

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES

14

EcuacionEs con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación de primer grado de la forma ax + by = c.

Los números a y b son los coeficientes de la ecuación, x e y son las incógnitas y c el término independiente. Tiene infini-tas soluciones.

sistEmas dE EcuacionEs linEalEs

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de la forma:

ax +by =ecx +dy = f⎧⎨⎩

Un par de números son solución de un sistema cuando verifican las dos ecuaciones a la vez.

(x = 45, y = 12) es solución de x + y = 57x − y = 33{ , ya que 45+ 12 = 57

45− 12 = 33{ .

sistEmas dE EcuacionEs linEalEs EquivalEntEs

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se pueden obtener sistemas de ecua-ciones equivalentes:

• Cambiando el orden de las dos ecuaciones.

• Sumando o restando un número a una de las dos ecuaciones.

• Multiplicando o dividiendo una de las dos ecuaciones por un número no nulo.

• Cambiando una ecuación por la suma de las dos ecuaciones.

solución gráfica dE un sistEma

se cortan en un punto las rectas coinciden las rectas son paralelas

O

Y

X

�

�A (�, −�) O

Y

X

1

1 O

Y

X

1

1

El sistema tiene una única solución. El sistema tiene infinitas soluciones. El sistema no tiene solución.

Método de sustitución

1.º Se despeja una incógnita en una ecuación.

2.º Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación.

3.º Se resuelve la ecuación obtenida.

4.º Sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuacio-nes, se calcula el valor de la otra incógnita.

Método de igualación

1.º Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.

2.º Se igualan los segundos miembros de las ecuacionesobtenidas.

3.º Se resuelve la ecuación obtenida.

4.º Sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuacio-nes, se calcula el valor de la otra incógnita.

Método de reducción

1.º Se multiplican las ecuaciones por los números adecuados para igualar el coeficiente de una de las dos incógnitas.

2.º Sumando o restando las ecuaciones obtenidas, desaparece una de las incógnitas.

3.º Se resuelve la ecuación.

4.º Sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones, se calcula el valor de la otra incógnita.

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES.

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Actividades

EJERCIC IOS PARA PRACTICAR

Ecuaciones con dos incógnitas

33. Halla el valor de la incógnita que falta en las siguientesecuaciones.

a) 3x + y = 7 , si x = 4 c) 6x − 7y = 13 , si x = 1

b) x −8y = 3 , si x = 5 d) 4x + 7y = 5 , si x =−23

34. Completa en tu cuaderno la tabla correspondiente acada una de las siguientes ecuaciones.

a) 3x + 2y = 5

x 1 −1 3 2 ● ●

y ● ● −2 ● 4 2

b) 2x − 3y = −2

x 1 ● 2 5 ● ●

y ● 0 2 ● 2 −2

c) x2+ y = 6

x ● 0 2 8 ● 20

y 8 ● ● ● 0 ●

35. Construye la tabla de valores correspondiente a cadaecuación.

a) −3x + y = 6 b) 5x − y =0 c) 2x + 2y = 8

d) x + 2y = 1 e) x − 12y = 4 f) 5x −4y = 9

37. Representa gráficamente las soluciones de las siguien-tes ecuaciones y encuentra dos soluciones con valoresenteros de cada una de ellas.

a) 4x + y = 3 c) 2x + 3y = 5 b) 3x − y = −3 d) 5x −4y = 9

Sistemas de ecuaciones lineales

38. Indica cuáles de los siguientes sistemas son sistemasde ecuaciones lineales.

a) 2xy + 5y = 14x −4xy = 25{ b) y −9x = 11

7y + 3x = 4{ c) x +8= 142x − 5y = −8{

39. Indica las incógnitas, los coeficientes y los términosindependientes de los sistemas de ecuaciones:

a) −5x + 3y = −114x − 3y = 10{ b)

2x + 67y = 13

x3− y = −9

⎧

⎨⎪

⎩⎪

c)

y4= 3

3x = 6− y3

⎧

⎨⎪

⎩⎪

40. Comprueba si los siguientes pares de valores son solu-

ción del sistema de ecuaciones 2x −8y =4−4x + y = 7

⎧⎨⎩

.

a) (x = 4, y =0) c) (x = −2, y = −1) b) (x = 2, y =0) d) (x = 6, y = 1)

41. Copia y completa en tu cuaderno el sistema

−2x −9y = ¥3x −5y = ¥{ , de forma que la solución sea (x = −1, y = 1).

Al sustituir la solución, deben cumplirse ambas ecuaciones:

−2⋅(−1)−9⋅1 = 2−9 = −73 ⋅(−1)− 5⋅1 = −3− 5 = −8{

El sistema es −2x −9y = −73x − 5y = −8{

ACT IV IDAD RESUELTA

42. Copia y completa en tu cuaderno los siguientes siste-mas, de forma que la solución sea (x = 3, y = −2).

a) 5x − 2y = ¥4x + y = ¥{ b)

x +4y = ¥¥x − 3y = 27⎧⎨⎪

⎩⎪

43. Encuentra un sistema de ecuaciones lineales equiva-lente a cada uno de los siguientes.

a) 12x + 16y = 20−3x −6y = −9{ c) 2x − 3y = 5

x = 2y −1

⎧⎨⎪

⎩⎪

b) 2x + y = 2−2x + y = −2{ d)

x + y3= 4

x2− y = 9

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

7. A partir de la gráfica de 3x −2y = 7, encuentra tres so-luciones con valores de x e y enteros. Comprueba quecumplen la ecuación.Representamos la recta y buscamos las coordenadas detres puntos pertenecientes a ella:

O

Y

X

�

�

A (−�, −�)

B (�, −�)

C (�, �)

Tenemos que A(−1, − 5); B(1, − 2); C(5, 4) .

Luego tres soluciones son:(x = −1, y = −5); (x = 1, y = −2); (x = 5, y = 4)

ACT IV IDAD RESUELTA

16

Actividades

44. Indica qué operaciones se han realizado en cada siste-ma de ecuaciones para obtener el sistema equivalente.

a) 12x − 36y = 123x − 7y = 5{ ⇒ x − 3y = 1

6x − 14y = 10{ b) 8x − 5y = 5

9x +4y = −4{ ⇒8x5− y = 1

17x − y = 1

⎧⎨⎪

⎩⎪

Resolución gráfica de sistemas

45. Escribe la solución de los siguientes sistemas de ecua-ciones.

a)  

O

Y

X

1

1

c)

O

Y

X

2

2

b)  

O

Y

X

1

1

d)

O

Y

X

2

2

46. Indica de qué tipo son estos sistemas de ecuaciones.

 Pista Fíjate en qué puntos se cortan las rectas.

a)  

O

Y

X

2

2

c)

O

Y

X

1

1

b)  

O

Y

X

1

1

d)

O

Y

X

1

1

8. Al resolver un sistema gráficamente se han obtenidolas siguientes tablas de valores. ¿Cuál es la solución?

y = 3x −7 x −1 0 1 2 3 4

y −10 −7 −4 −1 2 5

y = −2x +8 x −1 0 1 2 3 4

y 10 8 6 4 2 0

47. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecua-ciones.

a) 2x + y = 7x − y = 5{ c) x + 2y = 3

x − y = −3{ b) x + y = 3

x + 2y = 9{ d) 2x − 3y =0x − y = 1{

49. Encuentra la solución de los siguientes sistemas y com-pruébala gráficamente.

a) x = −3x + y =0{ c) 2x = 6

−x + 3y = 3{ b) y = 4

−3x + y = −2{ d) x = 1y = −3{

50. Resuelve gráficamente el sistema 2x = 63y = −12{ . ¿Cómo

son las rectas que aparecen?

Método de sustitución

51. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el métodode sustitución.

Ejemplo 3x + y = 6x +3y = −6{

y = 6− 3xx + 3y = −6{ ⇒ x + 3(6− 3x) = −6⇒ x + 18−9x = −6⇒

⇒−8x = −6− 18⇒−8x = −24⇒ x = −24−8

= 3; y = −3

Luego la solución es (x = 3, y = −3) .

a) x − y = 43x − y = 7{ e)

2x +4y = 10x − 2y = 1

⎧⎨⎪

⎩⎪

b) x −4y = 52x −8y = 6{ f)

2x − y = 45x + 3y = −1

⎧⎨⎪

⎩⎪

c) 3x − y = 192x + 7y = 5{ g)

x −6y =05x − 7y =0

⎧⎨⎪

⎩⎪

d) −10x + 3y = −24x − y = 8{ h)

2x + y = 54x − 2y = 14

⎧⎨⎪

⎩⎪

9. Resuelve el sistemax + y = 63x = 12

⎧⎨⎪

⎩⎪ y comprueba las solu-

ciones gráficamente.

x + y = 63x = 12{ ⇒ y = −x +6

x = 4{ ⇒ y = −x +6x = 4{ ⇒ y = 2

x = 4{Dibujamos las gráficas de las dos ecuaciones.

O

Y

X

�

�

P(�, �)

x = �

y = −x + �

Luego la solución es (x = 4, y = 2) .

ACT IV IDAD RESUELTA

17

52. Resuelve por el método de sustitución los sistemas si-guientes.

a) 6x − 5y = 7−3x + 2y = 6{ d) −8x + 5y = −2

6x − 7y = 8{ b) 3x − 2y = 1

−4x + 2y = 2{ e) 4x − 3y = 9−2x +6y = 6{

c) 3x − 5y = −1−2x + 2y = 5{ f) 2x −4y = 7

−3x + 5y = 6{Comprueba gráficamente, las soluciones de los sistemas con valores de x e y enteros.

53. Utiliza el método de sustitución para resolver sistemasde ecuaciones lineales con dos incógnitas.

i) 2x −4y = 8−3x +6y = 5{ ii) x − 2y = 3

2x −4y = 6{Comprueba los resultados resolviéndolos de manera gráfica.

Método de igualación

54. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el métodode igualación.

Ejemplo 3x + y = 62x +3y = −3{

y = 6− 3x

y = −3− 2x3

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒6− 3x = −3− 2x

3⇒ 3(6− 3x) = −3− 2x⇒

⇒ 18−9x = −3− 2x⇒−9x + 2x = −3− 18⇒−7x = −21⇒

⇒ x = −21−7

= 3; y = 6− 3 ⋅3 = −3

Luego la solución es (x = 3, y = −3) .

a) x + y = 4−2x + y = 1{ d) −x + 5y = 4

x − 7y = −2{ b) x − 7y = 9

x −6y = 1{ e) 2x + 5y = 124x − 3y = −2{

c) 6x − y = 74x + y = 3{ f) 4x − 3y =0

5x + 3y = 27{55. Utiliza el método de igualación para resolver estos sis-

temas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

a) 2x − 3y = 13x −4y = 3{ d) 5x + 3y = 1

6x +4y = 7{ b) 4x − 5y = 2

5x −6y = −4{ e) −3x +6y = −24x − 7y = −1{

c) 3x + 5y = 36x + 11y = −6{ f) 8x + 15y = 10

6x + 12y = 11{Comprueba gráficamente las soluciones de los sistemas con valores de x e y enteros.

Método de reducción

56. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el métodode reducción.

Ejemplo 3x +4y = 27x −6y = 20{

3x +4y = 2 ⋅3⎯→⎯7x −6y = 20 ⋅2⎯→⎯⎧⎨⎩

9x + 12y = 614x − 12y = 40{ →

+ 9x + 12y = 614x − 12y = 40{23x = 46

x = 4623

= 2⇒ 3 ⋅2+4y = 2⇒ y = −44

= −1

a) x − y = 43x − y = 7{ d) 3x −4y = 5

3y −4x = −2{ b) 4x − 7y = 5

4x −6y = 6{ e) 4x − 3y = 85x +8y = 10{

c) 3x − 5y = 7y − x = 3{ f) 7x −9y =0

11x + 12y =0{57. Resuelve, usando el método de reducción doble, los

sistemas siguientes.

a) 5x −4y = 13x − 2y = 2{ c) 3x + 3y = 4

8x − 11y = 17{ b) 7x − 5y = 2

5x − 3y = 3{ d) 2x + 3y = 206x +4y = 7{

Comprueba gráficamente las soluciones de los sistemas con valores de x e y enteros.

Actividades de síntesis

59. Escribe un sistema de ecuaciones cuya única soluciónsea (x = 4, y = −7).

62. Resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones por elmétodo de sustitución, igualación y reducción.

a) x − y = 1x +6y = 8{ b) 4x − 5y = 2

4x −6y = 5{63. Simplifica y resuelve los siguientes sistemas de ecua-

ciones por el método que crees que es más adecuado.

a) 2x − 53

− 3y −43

= −13

y = x + 5

⎧⎨⎪

⎩⎪d) 3(5x − 2)− 7(2y + 3) = 2

2(3x − y)− 23 = 3(4−9x){ b) 2x − 15 = 3(y + 2)

7(x −4) = −1− 5y{ e)

3x − 74

− 2y + 16

=0

x + 25

− 5y +43

= −2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

c) 4(2x − y)− 7(2y + x) = −36−2(x + 2)− 7y = −18{

18

Actividades

11. El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 yel segundo más el cuádruple del primero es 9. Halladichos números.

64. Dos números suman 102 y el primero es 36 unidadesmenor que el segundo. Encuentra ambos números.

66. La suma de dos números es 385. Si a la tercera partedel número mayor le sumamos el triple del número me-nor, el resultado obtenido es 131. ¿De qué números es-tamos hablando?

67. El cajero de un supermercado cuenta los billetes quehay en la caja al final del día.

Cuando termina de contar los billetes de 20 € y de 50 €, tiene un total de 55 billetes que suman 1430 €. ¿Cuántos billetes de cada tipo hay en la caja?

12. Juan ha comprado 10 botellas de leche y 5 botes dezumo y ha pagado 8,5 €. Si el precio de la leche es eldoble que el precio del zumo, calcula los precios de labotella de leche y del bote de zumo.

73. Hace 3 años, David tenía la cuarta parte de la edad desu madre. El año que viene, la edad de la madre será eltriple de la de David. Halla sus edades actuales.

1.º Organizamos los datos en una tabla:

Hace 3 años ahora dentro

de 1 año

Edad de david x − 3 x x + 1Edad de su madre y − 3 y y + 1

2º. Traducimos las relaciones entre los datos en un siste-ma de ecuaciones:

La primera ecuación utiliza las edades que tenían hace tres años:

x − 3 = 14(y − 3), ⇒ 4(x − 3) = y − 3.

En la segunda aparecen las edades que tendrán den-tro de un año:

y + 1 = 3(x + 1)

El sistema que hay que resolver es:

4(x − 3) = y − 3y + 1 = 3(x + 1){

3º. Resolvemos el sistema por el método de igualación:

4x − 12 = y − 3y + 1 = 3x + 3{ ⇒ 4x −9 = y

y = 3x + 2{ ⇒

⇒4x −9 = 3x + 2⇒ x = 11⇒⇒ y = 4 ⋅11−9 = 35

La solución del sistema es (x = 11, y = 35).

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PARA RESOLVER 68. Teniendo en cuenta que una garrafa de aceite equivalea cinco botellas y que tres garrafas y siete botellas deaceite suman 11 L, ¿qué capacidad tiene cada garrafa ybotella de aceite?

70. En la juguetería hay una exposición de bicicletas y tri-ciclos. En total hay 45 vehículos, que suman 107 rue-das. ¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay?

13. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 56 ani-males y 160 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?

 Pista Una gallina tiene 2 patas y un conejo 4, pero tanto las gallinas como los conejos solo tienen una cabeza cada uno.

10. Dos números suman 51. Si restamos la tercera partedel primero menos la sexta parte del segundo, el resul-tado obtenido es 1. Halla los dos números.

Planteamos primero el sistema:

•Dos números suman 51: x + y = 51

• Si restamos la tercera parte del primero menos la sexta

parte del segundo, el resultado es 1: x3− y6= 1

Resolvemos el sistema por el método de sustitución, paraello primero quitamos denominadores en la segundaecuación multiplicando por 6 ambos miembros:

x + y = 51x3− y6= 1

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ x + y = 51

2x − y = 6{ ⇒ x = 51− y2x − y = 6{ ⇒ 2(51− y)− y = 6

102− 2y − y = 6⇒−3y = −96⇒ y = −96−3

= 32⇒ x = 19

La solución es (x = 19, y = 32).

PROBLEMA RESUELTO

19

77. Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte elorden, el número resultante es 45 unidades menor. ¿Dequé número se trata?

Si la cifra de las decenas es x y la de las unidades es y, elnúmero es 10x + y. Si se invierte el orden, el número re-sultante es 10y − x.

La primera ecuación del sistema es x + y = 9 y la segunda

es (10x + y)− (10y − x) = 45⇒9x −9y = 45⇒ x − y = 5.

Por tanto: x + y = 9x − y = 5{ ⇒ (x = 7, y = 2)

El número pedido era el 72. Al invertir el orden de las ci-fras se obtiene 27, que es 45 unidades menor.

PROBLEMA RESUELTO

79. Un móvil y una tableta cuestan 500 €. Una empresa detelefonía ofrece el móvil al 50 %, y además te da undescuento del 15  % en la tableta. Con esa oferta, elprecio se queda en 320 €. ¿Cuál era el precio inicial decada artículo?

Si el móvil costaba x y se rebaja el 50 %, se paga el 50 %de x, es decir, 0,5x.

Con la rebaja, se paga solo el 100 % − 15 % = 85 % delprecio de la tableta, que es y, es decir, 0,85y.

Se plantea el sistema:

x + y = 5000,5x +0,85y = 320{

Se resuelve por reducción.

x + y = 5000,5x +0,85y = 320{

−0,5x −0,5y = −2500,5x +0,85y = 320{

0,35y = 70⇒ y = 700,35

= 200⇒ x = 300

El móvil costaba 300 €, y la tableta costaba 200 €.

⋅ (−0,5)

PROBLEMA RESUELTO

14. La edad de un padre es hoy triple de la del hijo. Dentrode 14 años solo será el doble de la que entonces tengasu hijo. ¿Qué edad tiene ahora cada uno de ellos?

15. Hace tres años la edad de un padre era el cuádruple dela de su hijo. Dentro de 2 años, la edad que tenga elpadre será el triple de la del hijo. ¿Qué edad tieneahora cada uno?

74. Hace cuatro años, la edad de un padre y su hija suma-ban 46 años. Dentro de tres años, sumarán 60 años.

a) Plantea un sistema usando esos datos. ¿Hay suficientesdatos para resolver el problema?

b) Resuelve el problema, sabiendo además que el padretiene 36 años más que la hija.

16. La edad de Juan Pablo es el doble que la de su hermanaCelina y entre los dos suman 24 años. Su padre tiene 25años más que Juan Pablo, y su madre, 5 veces la edad deCelina. Halla la edad de los padres de Celina y Juan Pablo.

 Pista Calcula primero las edades de Celina y Juan Pablo.

17. En una fiesta hay doble número de chicos que de chicas. Si se van 3 chicos y entran 5 chicas, entonces el númerode chicos y chicas es el mismo. ¿Cuántas personashabía al principio en la fiesta?

 Pista Las incógnitas son el número de chicas y chicos que había al principio.

75. En un concurso canino el número de perros hembra su-pera en 25 al de machos. Son descalificados 10 machosy 10 hembras, y queda exactamente el doble de hem-bras que de machos. ¿Cuántos perros de cada sexo ha-bía al comenzar el concurso?

19. A Elia le han regalado un ramo de margaritas y rosas. Elnúmero de rosas es 6 unidades menor que el de margaritas. Pasados 4 días se marchitaron 3 rosas y entonces elnúmero de margaritas era doble que el de rosas. ¿Cuántas flores quedaron en el ramo después de 4 días?

20. En un instituto se va a hacer una excursión de fin desemana. Cada uno de los alumnos que va debe pagar20 €, pero si fueran 10 alumnos más, pagarían 15 €.¿Cuántos alumnos van a la excursión? ¿Cuánto cuestarealizarla?

18. La suma de las dos cifras de un número es 10. Si lasinvertimos y restamos al nuevo número el anterior ladiferencia es 36. ¿De qué número se trata?

80. Por una camisa y una falda hay que pagar 92 €. La faldatiene una rebaja del 10 % y la camisa tiene una rebajadel 25 %, por lo que el precio final se queda en 79,8 €.Calcula el precio inicial de la camisa y de la falda.

Encuentra el error

84. Dos amigos que pasean por el zoo mantienen la si-guiente conversación.

— Mira, ahí hay unas grullas, y detrás de ellas hay unascuantas cebras.

— ¿Cuántas?— Así, a simple vista, yo diría que hay 37 cabezas y 87

patas.— Si todos los animales están sanos, creo que tienes que

ir al oculista…

¿Quién llevaba razón?