Capítulo Nº1

Teoría de la Relatividad Restringida

Relatividad Newtoniana

Las leyes de la dinámica por Newton son tres:1- Ley de inercia o principio de Galileo

Un cuerpo en reposo sigue en el mismo estado y un cuerpo en movimiento continuará moviéndose con velocidad constante y en línea recta, salvo que sobre él actúe una fuerza no equilibrada.Todo sistema de coordenadas que satisfaga esta ley se llaman Sistema coordenado de Galileo o Sistema de referencia inercial

2- Ley de Newton

Cuando una fuerza equilibrada actúa sobre una partícula material la

es proporcional a la fuerza.

3- Ley de Newton La acción de una partícula sobre otra da lugar a una reacción igual y opuesta de esta segunda sobre la primera.

La cantidad de movimiento total de un sistema de partícula permanece constante cuando sobre él no actúa una fuerza exterior o no equilibrada.

Figura N° 1.1

y 'y

0

v

z 'z

'x'0

Sus ecuaciones de transformación

naturalmente t’=tDerivando respecto a t

Derivando otra vez

Postulados fundamentales de la teoría restringida de la relatividad de Einstein.

Se refiere a los sistemas inerciales que se mueven con traslación uniforme de uno respecto al otro.

Dos postulados fundamentales1- Las leyes fundamentales de la física deben tener la misma forma

matemática en todos los sistemas inerciales.

Es decir que las formulaciones matemáticas de las leyes fundamentales que rigen a los fenómenos físicos no sufren variación cuando se pasa de uno a otro de dos sistemas de coordenadas en movimiento de traslación uniforme entre si.

2- Postulado a partir de los experimentos de Michelson y Moreley y análogos.La velocidad de la luz es una constante, independiente del movimiento del manantial o del observador.Ninguna señal o energía puede transmitirse con velocidad mayor que la de la luz.

Transformación de Einstein – Lorenz

Un manantial luminoso se halla en O y O’ coincide con O en el instante en que se emite el impulso de luz para lo cual se hace t = t’=0

Figura N° 1.2

c. velocidad de la luz en posición de la onda esférica estará dada por

en el sistema S

1) en el sistema S’

Si usamos las ecuaciones de la transformación de Galileo suponiendo que las ecuaciones son lineales y de la forma

2)

K, A y B son ciertas constantesSustituyendo las fórmulas (2) en (1)

pero

Para que se verifique esta igualdad debe cumplirse

y y

0

v

z 'z

x'0

x

Sistema descoordenada 'S

Sistema descoordenada S

Cuya resolución da

De la ecuación (3)

Incógnitas De la ecuación (4)

de la (3)

de la (4)

en la (5)

De la (3) y

Entonces las ecuaciones quedan:

A)

Las ecuaciones de transformación de Lorenz-Einstein

B)

Relatividad de la longitud

Una varilla en reposo de longitud en el Sistema S’

Figura N° 1.3

La longitud observada en el Sistema S

De las ecuaciones A)

La longitud de la variable vista desde un Sistema en reposo es menor (contracción del espacio)

Relatividad del tiempo

Relojes en S y S’ suponemos

en Sen S’

S'S

0L 0L

2'x1'xv

Dicho de otra forma: un reloj en movimiento respecto a un observador resulta más lento para un observador estacionado. Dilatación del tiempo.

Ejemplos de Dilatación del tiempo

Desintegración o Degeneración del meson u (muón)

Algunos se desintegran cuando se hallan en reposo o moviéndose con velocidad muy pequeña, pero otros lo hacen en vuelo y a velocidad próxima a la velocidad de la luz.

de desintegración es seg. en reposo.

a velocidad 7 a 8 veces

Ejemplo de aplicación sobre la Relatividad del tiempo

Un dueño de casa, invita a un almuerzo a un grupo de amigos. Este señor es muy excéntrico y exige que todos los comensales se sienten a la mesa a las 12 horas en punto. La mesa en cuestión, es muy larga, supongamos que su longitud L es de una hora luz (la luz tarda una hora en recorrer la distancia L).

Figura N° 1.4

Los comensales, para satisfacer la exigencia del dueño de casa, se reúnen en el punto A, cabecera de la mesa, sincronizan sus relojes, van a su lugar alrededor de la mesa y, controlando el tiempo, a las 12 en punto toman asiento. Dado que la luz tarda una hora para recorrer la distancia AB, el dueño de casa ve que ningún comensal se sienta a la hora estipulada. Para agravar la situación, comprueba que el comensal situado en el punto B, toma asiento con una hora de retraso. Esta situación lo enfurece, exige que todos los comensales deben sentarse a la mesa a las 12 en punto. Para que se cumpla su exigencia, reúne a todos los invitados en el punto A y los obliga a resincronizar sus relojes. El comensal sentado en el punto B, dado que la luz tarda una hora en recorrer la distancia AB deberá retrasar su reloj una hora, los situados en la mitad media hora y así sucesivamente.

Todos vuelven a tomar su lugar y el dueño de casa puede comprobar con satisfacción, que todos los comensales se sientan en la hora indicada. ¿Que ocurre para los invitados que están sentados en otro punto de la mesa? ¿ y en los demás puntos?. Existe un tiempo propio que en este caso depende del lugar en una persona se ubique.

Este ejemplo muestra intuitivamente que el tiempo es relativo y no existe la simultaneidad absoluta. Si a esto agregamos que los cuerpos se acortan en la dirección del movimiento y que la medición de la masa no es constante sino varía de acuerdo a la velocidad del sistema inercial en que se encuentra, nos encontramos en la necesidad de crear una nueva mecánica.

L

A B

Cuando los sistemas se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, la mecánica clásica no puede aplicarse, hay que usar una nueva mecánica llamada mecánica relativista.

Ordenación Sucesos: si analizamos el orden de los sucesos vistos por observadores en movimiento uniforme relativo entre si, incluyendo también el concepto de simultaneidad.Dos sucesos que aparezcan simultáneos a un observador se tiene: pueden no serlo para otro que se halla en movimiento respecto al primero.

2 sucesos en S en S’

en el sistema S se producen simultáneamente

Teníamos

Es decir que los sucesos no son simultáneos en el sistema S’. Cabe preguntarse si no se producirá una transposición en el orden de los sucesos.Supongamos que dos sucesos se verifican en el orden de

Para que no se invierta el orden en S’ O sea

O sea

pero

Esto es posible mientras

Es decir que permanecerá inalterado al orden de los sucesos en tanto que no sea posible transmitir ninguna señal superior a la velocidad de la luz.Nunca se invierte el orden de los sucesos.

Velocidad Relativa

Figura N° 1.5

De acuerdo a la relatividad newtoniana la velocidad es

Sin embargo esto no es válido cuando

Cuando w y v son despreciables respecto a c

S 'S

v w

pero en el caso que w=c

c es constante e independiente de la velocidad del manantial o del observador.

Relatividad de la masa

Figura N° 1.6

S’ se mueve respecto a SCon v en x

Colisión elástica que conserva la Energía cinética een y.

Antes de la colisión

A) está en reposo en S y es lanzada en +yB) está en reposo en S’ y es lanzada en –y

luego del choque B es lanzada a en el sentido y en el sentido a Su distancia entre partículas es Y

A un observador en S le parece que el choque ocurre y a un

observador en S’ en en S para(A) ida y vuelta es

y

S

z'z

vx

)B

)A

Bv'

Av

'S

Y

'y

y para B)

Si se conserva la cantidad de movimiento

en el marco S

En S tiene como valor donde T es el tiempo empleado por B ida y vuelta

medido en S

Donde

En S

Al principio se dijo que con S y en S’ eran igualesEn S

Energía Relativa

Figura N° 1.6

T energía cinética

Integrado por partes

Entonces

F

m

0

xf

xfFdxT

0

Si se desarrolla en serie

y

Multiplicando por